Tài liệu ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2010 MÔN TOÁN pptx

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2010 MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH .
Câu I Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phương trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=−
2. Giải hệ phương trình :






=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
Câu III 1.Tính tích phân sau:
2
0
3sinx cos
sinx cos 2
x
I dx
x
π
−
=
+ +
∫

2. Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHẦN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn )
Câu Va 1. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh:
A(-2;3),B(
)0;2(),0;

4
1
C
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( )
4; 5;3M - -
và cắt cả hai
đường thẳng:
2 3 11 0
':
2 7 0
x y
d
y z
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
- + =
ï
î
và
2 1 1
'':
2 3 5
x y z
d
- + -

= =
-
.
.Câu VIa Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++
xxmx
.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao ) .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);
Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng (
∆
) và (
)'
∆
có phương trình .
ĐỀ CHÍNH
THỨC
( )
( )





+=

=
+=
∆





=
+=
+=
∆
4t'2
t'2y
t'2-2x
: ;
4
2t-1y
t3x
:
'
zz
Viết phương trình đường vuông góc chung của (
∆
) và (
)'
∆
Câu VIb Cho hàm số
1
232

2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tổng
khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
******** Hết ********
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2010
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
12
−
+
x
x
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(

)12()1(2
'
−
−
=
−
+−−
=
xx
xx
y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
. Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
. Tiệm cận:
−∞=
−
+
=
−
−
→
→
1
12
limlim
1
1
x

x
y
x
x

+∞=
−
+
=
+
+
→
→
1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x
Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim
=

−
+
=
±∞→
±∞→
x
x
y
x
x
Vậy đường thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
Câu Nội dung Điểm
I.2
Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam
giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
1,00
Gọi M









−
+
1
3
2;
0
0
x
x
∈(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0
−
++−
−
−
=

x
xx
x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A








−
+
1
6
2;1
0
x
B(2x
0
-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S
∆
IAB
=
2
1
. IA. IB=

63.212
1
6
2
1
0
0
==−⋅
−
⋅
x
x
(đvdt)
0,25
0,25
* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=
IB (HS tự chứng minh).




−=
+=
⇒−=
−
31
31
12
1
6

0
0
0
0
x
x
x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M
1
(
32;31
++
)
M
2
(
32;31
−−
)
Khi đó chu vi ∆AIB =
6234
+
0,5
II.1
Giải phương trình lượng giác...
x2sin
2
1

xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=−
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3
+=







+






−⇔
( )






+






−+=






+







−⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2

3
2
x
cos
2
x
sin)xsin2(
2
x
sin
2
x
cos
=






+++






−⇔
1,00
Câu Nội dung Điểm

*
x x x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2
π π π
 
− = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + π ∈
 ÷
 
Z
*
2xsin0xsin2
−=⇔=+
(vô nghiệm)
0,5
*
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos

2
x
sin −=






π
+⇔−=






π
+⇔−=+
(vô nghiệm) Vậy nghiệm
của phương trình là:
( )
x k2 k
2
π
= + π ∈ Z
0,5
II.2
Giải hệ phương trình:






=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* Hệ phương trình tương đương với





=−++
=−+−
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2

( 2) ( 3) 4
( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y
x y x

− + − =


− + − + + − − =


Dat
2
2
3
x u
y v

− =

− =

* Thay vào hệ phương trình ta có:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v

+ =


+ + =


2
0
u
v
=


=

hoặc
0
2
u
v
=


=

thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là :
2
3
x
y
=



=

;
2
3
x
y
= −


=

;
2
5
x
y

=


=


;
2
5
x
y


= −


=


;
1,00
0,25
0,25
0,25

0,25
Câu Nội dung Điểm
III.1
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sinx cos 2 2 cos sinx 2

sinx cos 2
cos sinx
2 2
sinx cos 2
sinx cos 2
2ln sinx cos 2 2
2
2 os( ) 1
4
x x
I dx
x
x
dx
dx dx
x
x
dx
x
c x
π
π π π
π
π
π
π
+ + − − −
=
+ +
−

= − −
+ +
+ +
= − + + −
 
− +
 ÷
 
∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2
0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 2
os ( )
2 8
dx
x
c
π
π
π
 
= − + − + −
 
−
∫

2
0
tan( ) 2 tan
2 2 8 2 8
x
π
π π π π
= − − = −
0,25
0,25
0,25
0,25
III.2 1,00
IV Tính thể tích khối chóp...
Cho
0 x y z< ≤ ≤
: Chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y

x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3

2
2
ab
a b c b a c abc c
c
⇔ − + − + ≤ +

( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c⇔ − + − + ≤ +
(2)
Ta có:

2 2
(3)
2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
− ≤ =
⇔ − ≤
Tương tự:
( )
4
2
ab
b c a c− ≤

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25