ve duong phu trong hinh hoc THCS

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.35 KB, 31 trang )

(1)Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. BẢY CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Cách thứ nhất: Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một tia, vẽ thêm đường tròn, ... , chẳng hạn: - Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta ta thường kẻ đường trung tuyến, đường trung bình. - Khi cần tạo ra góc ngoài của tam giác, ta thường kẻ tia đối của tia chứa một cạnh của tam giác. - Kẻ hai đường chéo của tứ giác. - Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên. - Kẻ đường kính của đường tròn khi đề bài có đề cập đến bán kính đi qua tiếp điểm. - Kẻ dây chung của hai đường tròn cắt nhau, kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau. - Khi có một phần của đường tròn, có trường hợp cần vẽ cả đường tròn. b = α. Các đường trung trực của AB, AC Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn 4ABC, A [ cắt nhau tại I. Tính BIC.. Hướng dẫn giải (h.1a) Nối I với A, với B, với C, với trung điểm D của AB, với trung điểm E của AC. A. A. 1 2 D. E I x. 1. 1 C. B. E. D. C. B b). a) Hình 1:. 1.

(2) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Kẻ tia Ix là tia đối của tia IA. b1 = B b1 . Do đó BIx d =A b1 + B b1 = 2A b1 4IDA = 4IDB (c.g.c) ⇒ A d = 2A b2 Chứng minh tương tự: CIx d d b b b b Từ (1), (2) suy ra BIx + CIx = 2A1 + 2A2 = 2 A1 + A2 = 2α.. (1) (2). [ = 2α Vậy BIC. Ví dụ 2. Cho 4ABC có BC = 3cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE lớn hơn 3cm. Hướng dẫn giải (h.1b) Nối DE, BE. Ta có Chu vi 4 ADE = AD + DE + AE = BD + DE + EC. (1). Ta có BD + DE > BE (quan hệ giữa ba cạnh của 4BDE) và BE + EC > BC (quan hệ giữa ba cạnh của 4BEC) nên từ (1) suy ra chu vi 4AED > BE + EC > BC = 3cm.. b = 50◦, C b = 20◦, AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Ví dụ 3. Cho 4ABC có B \ cắt AC ở AHC \ cắt AC ở D. Tính HBD. \ Tia phân giác của AHC Hướng dẫn giải (h.2a) Kẻ tia đối Ax của tia AB. Ta có. E H D x A. D. A I. B. H. C. K C. B. a). b) Hình 2:. b (góc ngoài của 4ABC) [ = ABC [ +C CAx = 50◦ + 20◦ = 70◦ b = 90◦ − 20◦ = 70◦ \ = 90◦ − C CAH 2.

(3) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. [ nên AD là tia phân giác của HAx. 4ABH có AD, HD là các đường phân giác của các góc ngoài cắt nhau tại D \ nên BD là phân giác của ABH. \ = ABC [ : 2 = 50◦ : 2 = 25◦. Do đó HBD b = 120◦. Ở phía ngoài ta giác đó, vẽ các tam giác đều Ví dụ 4. Cho 4ABC có A ABD, ACE. Gọi H, I, K theo thứ tự là trung điểm của DE, AB, AC. Chứng minh rằng 4HIK là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.2b) [ + CAE [ = 120◦ + 60◦ = 180◦ nên B, A, E thẳng hàng. Ta có BAC Tương tự D, A, C thẳng hàng. Vẽ đoạn thẳng EK. 4ACE đều có EK là đường trung tuyến nên là đường 1 4DKE vuông tại K có KH là đường trung tuyến nên KH = DE 2 1 Tương tự, vẽ đoạn thẳng DI, ta được IH = DE 2 1 IK là đường trung bình của 4ABC nên IK = BC 2 4ABC = 4ADE (c.g.c) ⇒ BC = DE Từ (1), (2), (3), (4) suy ra KH = IH = IK nên 4HIK là tam giác đều.. cao. (1) (2) (3) (4). Ví dụ 5. Cho 4ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. Gọi M \. là trung điểm của BE. Tính AHM Hướng dẫn giải (h.3a) Vẽ đoạn thẳng DM. Các tam giác vuông ABE, BDE có AM, DM là hai đường A A K E. M. O H. B. D. H. B. C. M. a). b) Hình 3:. 1 trung tuyến ứng với cạnh huyền BE nên AM = DM = BE . 2 \ = DHM \ = 90◦ : 2 = 45◦. 4AHM = 4DHM (c.c.c) ⇒ AHM . 3. C.

(4) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Ví dụ 6. Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB 6= AC, trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, tia MH cắt đường tròn (O) ở K. Chứng minh rằng AK⊥KH. Hướng dẫn giải (h.3b) Kẻ đường kính AF . Ta có F B⊥AB và CH⊥AB nên F B//CH. Tương tự F C//BH. Suy ra BHCF là hình bình hành. Ta lại có M là trung điểm của BC nên M là trung điểm F H. Do đó ba điểm F, M, H thẳng hàng. \ = 90◦. Vậy AK⊥KH. 4AKF nối tiếp đường tròn đường kính AF nên AKF. Ví dụ 7. Cho đường tròn (O; R), hai dây AB và CD vuông góc với nhau tại điểm I nằm trong đường tròn (C thuộc cung nhỏ AB) . Chứng minh rằng IA2 + IB 2 + IC 2 + ID2 = 4R2 . Hướng dẫn giải (h.4a) Điều phải chứng minh IA2 +IB 2 +IC 2 +ID2 = (2R)2 gợi ý cho ta vẽ đường kính, A 60◦ C. A. E. E. D B. I. O. B. C O m. D b). a) Hình 4:. chẳng hạn kẻ đường kính DE. Vẽ đoạn thẳng EC, ta có EC⊥CD, mà AB⊥CD nên EC//AB. _ _ Suy ra AC=BE (hai cung chắn giữa hai dây song song), do đó AC = BE. Vẽ các đoạn thẳng AC, BD. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông IAC, IBD ta có IA2 + IC 2 = AC 2 IB 2 + ID2 = BD2 Vẽ đoạn thẳng BE. Ta có IA2 + IB 2 + IC 2 + ID2 = AC 2 + BD2 = BE 2 + BD2 = DE 2 = (2R)2 = 4R2. 4.

(5) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. b = 60◦. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ nửa Ví dụ 8. Cho 4ABC nhọn A đường tròn (O) đường kính BC, nó cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng 4DOE là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.4b) Vẽ thêm cung nửa đường tròn BmC. Theo tính chất góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, ta có _ _ _ ◦ 180 − sđ DE sđ BmC − sđ DE b= hay 60◦ = . A 2 2 _ \ = 60◦. Suy ra sđDE = 60◦, tức là DOE 4DOE cân có một góc bằng 60◦ nên là tam giác đều. Ví dụ 9. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) nối tiếp đường tròn (O; R) có AD = BC = R, tâm O nằm trong hình thang. Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, CD. Chứng minh 4MIN là tam giác đều. Hướng dẫn giải (h.5) Vẽ các đoạn thẳng OI, OC, OD. 4COD có OI là đường trung tuyến nên B. B. A N. M. E. O D. I. a). C. A D K. H. C. b). Hình 5:. [ = IOC [ IOD (1) \=\ Các tam giác OAD, OBC đều nên AOD BOC = 60◦ (2) [ Từ (1), (2) suy ra \ MOI = N OI 4MOI = 4N OI (c.g.c) ⇒ MI = N I. Vẽ đoạn thẳng DM. 4AOD có DM là đường trung tuyến nên DM⊥OA và \ = 30◦. \ = 1 ODA ODM 2 \ + OID [ = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên là tứ giác nội tiếp, suy Tứ giá OMDI có OMD \ = ODM \ = 30◦. ra OIM [ = 30◦. Vẽ đoạn thẳng CN . Tương tự ta có OIN \ = 30◦ + 30◦ = 60◦ nên là tam giác đều. 4MIN có MI = N I và MIN 5.

(6) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Cách thứ hai: Vẽ giao điểm của hai đường Hãy chú ý đến vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam giác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu trong đề bài; vẽ giao điểm của đường thẳng và đường tròn nếu hình vẽ tạo ra các cung có liên quan đến các dữ kiện trong đề bài. Vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợi trong chứng minh (tạo ra những tam giác đặc biệt, những tam giác bằng nhau, những tam giác đồng dạng, những cung bằng nhau hay bù nhau, ...). b cắt AC ở D. Đường Ví dụ 10. Cho 4ABC vuông tại A, tia phân giác của B vuông góc với DB tại D cắt BC tại E. Kẻ EH⊥AC. Chứng minh rằng AD = DH. Hướng dẫn giải (h.5b) Gọi K là giao điểm của BA và DE. 4BDK = 4BDE (c.g.c) ⇒ DK = DE. 4ADK = 4HDE (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = DH. Cách khác: Có thể kẻ DG⊥BC rồi dùng đoạn thẳng DG làm trung gian để chứng minh AD = DH. Cách giải này dùng đến kiến thức về trường hợp bằng nhau cạnh huyền - cạnh góc vuông. Ví dụ 11. Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc đường chéo AC. Kẻ ME⊥AD, MF ⊥CD. Chứng minh rằng BM⊥EF . Hướng dẫn giải (h.6a) Kéo dài BM cắt EF tại H. Để chứng minh MH⊥EF , ta sẽ chứng minh A E H. B M 2 1. A. B 1. 1 K. M. K 1. 1 D. H. F. C. D. C. F b). a) Hình 6:. c1 + Fb1 = 90◦. M c1 , ta kéo dài EM cắt BC ở K. Ta có Để tạo ra góc phụ với M 6. G.

(7) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. c1 + M c2 = 90◦ nên cần chứng minh Fb1 = M c2. M Xét các tam giác vuông EMF và BKM có ( ME = MK (cùng bằng AE). b MF = MK (M thuộc tia phân giác của C). c2 . Do đó 4EMF = 4BKM (c.g.c) ⇒ Fb1 = M c1 + M c2 = 90◦ nên M c1 + Fb1 = 90◦. Ta lại có M Vậy MH⊥EF , tức là BM⊥EF .. Ví dụ 12. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 6cm. Trên tia đối của tia CD lấy các điểm F và G sao cho CF = 3cm, CG = 12cm. Gọi M là giao điểm của \ = 90◦. BF và AG. Chứng minh rằng AMC. Hướng dẫn giải (h.6b) Gọi K là giao điểm của AM và BC. Ta đã có b1 = C b1 . [ = 90◦ nên để chứng minh AMC \ = 90◦ cần chứng minh A ABC Gọi H là giao điểm của CM và AB, ta sẽ chứng minh 4ABK = 4CBH. \ = CBH \ = 90◦, AB = CB, cần chứng minh BK = BH. Ta sẽ Ta đã có ABK tính BK và BH. Áp dụng định lý Ta-lét với AB//CG ta có BA 6 1 BK 1 BK 1 BK = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ BK = 2cm KC CG 12 2 BK + KC 1+2 6 3 Áp dụng định lý Ta-lét với AH//CG ta có BH BM BA 6 2 BH 2 = = = = ⇒ = ⇒ BH = 2cm CF MF CF 9 3 3 3 \ = CHB \ Suy ra BK = BH, đến đây ta có 4ABK = 4CBH (c.g.c) ⇒ AKB \ = CKM \ (đối đỉnh) . mà AKB \ + KCM \ = BAK \ + BKA \ = 90◦ hay AMC \ = 90◦. Do đó CKM Ví dụ 13. Cho 4ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm. Các tia phân b và C b cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng giác của B \ = 90◦. BIM Hướng dẫn giải (h.7a) b1 = B b2 nên để chứng minh BIM b ta chứng \ = 90◦ (tức là BIM \ = A), Ta có B c2 = D b 2 , trong đó D là giao điểm của BI và AC. minh M Ta sẽ chứng minh 4ICM = 4ICD, muốn vậy cần chứng minh MC = DC. Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 = 62 + 82 = 100 = 102 7.

(8) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên A. I 2 1. D 1. 2 1 M. B. A. D 2. C. B. C. E. b). a) Hình 7:. nên BC = 10cm, suy ra BM = MC = 5cm. Theo tính chất đường phân giác ta có AB 6 3 AD + DC 3+5 8 8 AD = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ DC = 5cm DC BC 10 5 DC 5 DC 5 \ = 90◦. Do đó MC = DC, từ đó ta chứng minh được BIM b = 120◦, B b=D b = 90◦, AB = 2, 5cm, AD = 4cm. Ví dụ 14. Tứ giác ABCD có A Tính độ dài CD. Hướng dẫn giải (h.7b) b = BAD \ − 90◦ = 120◦ − 90◦ = 30◦. Gọi E là giao điểm của DA và CB. Ta có E Ta lần lượt tính được √ 1 ◦ √ AE = 5cm, DE = 9cm, CD = DE tan 30 = 9 · = 3 3 (cm). 3. b C b nhọn) nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Ví dụ 15. Cho 4ABC (các B, \ = OAC. [ Chứng minh rằng BAH. Hướng dẫn giải (h.8a) Kéo dài AH và AO cắt đường tròn (O) theo thứ tự ở D và K. Ta có _ _ BC⊥AD, DK⊥AD nên BC//DK, suy ra BD=CK (hai cung chắn giữa hai dây song song). \ = KAC \ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau), tức là BAH \= Do đó BAD [ OAC. b hoặc C b là góc tù, bài toán vẫn đúng. Lưu ý. Trong trường hợp B b = 90◦, cả hai góc BAH b \ và OAC [ đều là góc A. Trong trường hợp C b = 90◦, cả hai góc BAH \ và OAC [ đều là "góc không". Trong trường hợp B. Ví dụ 16. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường vuông góc với AB tại điểm O, lấy điểm C nằm trong nửa đường tròn. Gọi D là giao điểm thứ 8.

(9) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên A. H. 1. 1. E. F. C. O B. D 1. 1. C. H. A. O. B. K. D a). b) Hình 8:. hai của AC với nửa đường tròn. Lấy điểm E thuộc cung AD. Vẽ đường tròn (C; CA) và vẽ dây BH của đường tròn đó sao cho BH đi qua E. Chứng minh rằng DE⊥AH. Hướng dẫn giải (h.8b) b1 + ADE b1 = ADE \ = 90◦. Ta đã có B \ (hai góc nội tiếp của (O) Cần chứng minh A b1 + B b1 = 90◦. cùng chắn cung AE), do đó cần chứng minh A b1, B b1 là những góc nội tiếp của đường tròn (C). Ta kéo dài AD cắt Các góc A b1 chắn cung HF . đường tròn (C) ở F để có A Ta có _ _ 180◦ sđ AH + sđ HF b b = = 90◦ B1 + A 1 = 2 2 b1 = 90◦. Vậy DE⊥AH. \+A Suy ra ADE. Cách thứ ba: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước Trong tam giác, khi có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ thêm trung điểm của một cạnh khác. Trong hình thang, khi có trung điểm của một cạnh bên, ta thường vẽ thêm trung điểm của cạnh bên thứ hai. Việc vẽ thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra: - Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán; - Một tam giác cân thuận lợi trong chứng minh; 9.

(10) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. - Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng. b cắt cạnh BC ở D. Ví dụ 17. Cho 4ABC có AB < AC. Tia phân giác của A Chứng minh rằng DC > DB.. Hướng dẫn giải (h.9a) Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Do AB < AC nên E nằm giữa A. B 1. B. E 2. 1 2. 1 2. C. D a). A. M. C. b) E Hình 9:. A và C. b1 = E b1. Suy ra B b2 = E b2 . 4ADB = 4ADE (c.g.c) nên DB = DE và B b2 > C b (góc ngoài của 4ABC) nên E b2 > C. b Ta lại có B b2 > C b nên DC > DE. Theo chứng minh trên DB = DE. 4DEC có E Do đó DC > DB.. \ Ví dụ 18. Cho 4ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của AC. So sánh ABM \ và MBC. Hướng dẫn giải (h.9b) Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB. b1 = E b1 4AMB = 4CME (c.g.c) suy ra AB = CE và B Do BC > AB nên BC > CE. b>B b2 4BCE có BC > CE nên E b1 > B b2, tức là ABM \ > MBC. \ Từ (1), (2) suy ra B. (1) (2). Ví dụ 19. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại O, đoạn thẳng MN (nối trung điểm M của AD và trung điểm N của BC) cắt AC, BD lần lượt tại hai điểm H, G (không trùng với O). Chứng minh rằng OG = OH. Hướng dẫn giải (h.10a) Gọi I là trung điểm của AB. IM là đường trung bình của 4ABD nên IM//BD BD . và IM = 2 10.

(11) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. A. B. I. E. O M 1. 1. A. N. G H. D. B. C a). D. M. C. b) Hình 10:. IN là đường trung bình của 4ABC nên IN//AC và IN = Do Do Do Từ. c1 = N b1 AC = BD nên IN = IM, 4IMN cân và M c1 = OGH \ (đồng vị) IM//BD nên M b1 = OHG \ (đồng vị) IN//AC nên N \ = OHG, \ do đó OG = OH. (1), (2), (3) suy ra OGH. AC . 2. (1) (2) (3). [ = α. Lấy điểm D thuộc cạnh AC Ví dụ 20. Cho 4ABC có AB < AC, BAC AB + AC \ theo α. . Gọi M là trung điểm của BC. Tính MDC sao cho CD = 2 Hướng dẫn giải (h.10b) Để làm xuất hiện tổng AB + AC, ta lấy điểm E trên tia đối của tia AC sao cho AE = AB, khi đó CE = AB + AC, do đó D là trung điểm của CE. [ b = ABE [ = BAC = α . 4ABE cân tại A nên E 2 2 b (đồng vị). \ =E MD là đường trung bình của 4EBC nên MD//BE ⇒ MDC \ = α. Do đó MDC 2 Ví dụ 21. Cho 4ABC vuông tại A, AC = 6cm, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của HC. Đường vuông góc với AI tại I và đường vuông góc với AB tại B cắt nhau tại K. Tính BK. Hướng dẫn giải (h.11a) Gọi N là trung điểm của AH. IN là đường trung bình của 4AHC nên IN//AC. Ta lại có AB⊥AC nên IN ⊥AB. 4ABI có AH⊥BI, IN ⊥AB nên N là trực tâm, suy ra BN ⊥AI. Ta có BN ⊥AI, KI⊥AI nên BN//KI. Ta có IN ⊥AB, KB⊥AB nên IN//KB. 6 AC = = 3 (cm). Tứ giác BN IK là hình bình hành, suy ra BK = IN = 2 2 11.

(12) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên A. A. N B. 6, 5. 5. H. I. C. N. 6. 6, 5. M. B. K. C. b). a) Hình 11:. Ví dụ 22. Tính diện tích 4ABC, biết AB = 5cm, AC = 13cm, đường trung tuyến AM = 6cm. Hướng dẫn giải (h.11b). AC 1 = · 13 = 6, 5(cm). 2 2 5 AB = = 2, 5(cm). Do MN là đường trung bình của 4ABC nên MN = 2 2 2 2 2 2 2 \ = 90◦ 4AMN có AM + MN = 6 + 2, 5 = 42, 25 = 6, 5 = AN 2 nên AMN (định lý đảo Py-ta-go). Ta có. Gọi N là trung điểm của AC, ta có AN =. 1 1 SAM N = AM · MN = · 6 · 2, 5 = 7, 5(cm2); 2 2 SAM C = 2SAM N = 2 · 7, 5 = 15 cm2 ; SAM C = 2SAM N = 2 · 15 = 30 cm2 .. Ví dụ 23. Cho 4ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa của cung BAC. Kẻ IH⊥AC. Chứng minh rằng CH = HA + AB. A. I. A. I. H E O B. D. E K C. B. C a). b) Hình 12:. Tìm cách giải Để chứng minh CH = HA + AB, ta đặt trên CH một đoạn bằng AB, rồi chứng 12.

(13) Trần Văn Lợi. minh đoạn còn lại bằng HA. Hướng dẫn giải (h.12a) Trên CA lấy điểm E sao cho ta chứng minh IE = IA. Xét 4ICE và 4IBA có    IC = IB [ = IBA [ ICE   CE = BA. Trường THCS Định Liên. CE = AB, ta sẽ chứng minh HE = HA. Muốn vậy. _ _ (do IC=IB) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (cách lấy điểm E). Do đó 4ICE = 4IBA (c.g.c) ⇒ IE = IA. Đường xiên IE = IA nên hình chiếu HE = HA. Do đó HE + CE = HA + AB, hay CH = HA + AB.. 1 Ví dụ 24. Cho 4ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên 3 1 cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi K là giao điểm của BE và CD. 3 ◦ \ = 90 . Chứng minh rằng AKD Hướng dẫn giải (h.12b) \ = 90◦. Ta sẽ chứng minh tứ giác AEKD nội tiếp và AED Vẽ đoạn thẳng ED. Gọi I là trung điểm của AD. 1 [ = 60◦ nên là tam giác 4AIE có AI = AE = cạnh 4ABC đều và IAE 3 đều, suy ra EI = IA = ID. \ = 90◦ 4AED có EI = IA = ID nên AED (1) [ = BDC, \ do đó AEKD là tứ giác nội tiếp (2) 4AEB = 4BDC (c.g.c) ⇒ AEB \ = AED \ = 90◦ (các góc nội tiếp cùng chắn một cung của Từ (1), (2) suy ra AKD đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEKD). Ví dụ 25. Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi I là trung điểm của AC, gọi D là giao điểm thứ hai của BI với đường tròn, gọi E là giao điểm thứ hai của AD với đường tròn. Chứng minh rằng BE//AC. Hướng dẫn giải (h.13) Khai thác yếu tố IA = IC, ta vẽ điểm K sao cho I là trung điểm của DK. Khi b1 = C b1. đó AKCD là hình bình hành, suy ra A b1 = B b1 (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn một Ta lại có C b1 = B b1 . Suy ra ABCK là tứ giác nội tiếp (theo cung chứa góc). cung) nên A b2 = C b2 (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung). Tứ giác ABCK nội tiếp nên B 13.

(14) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên B. E. 2 1 O. D A. 1. 1 2. I. C. K Hình 13:. b2 = E b (góc tạo bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn một Ta lại có B b2 = A b2 (so le trong, AD//CK) nên E b=A b2 . cung), C b=A b2 nên BE//AC. Hai góc so le trong bằng nhau E. Cách thứ tư: Vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước Ta thường vẽ tia phân giác của một góc nếu góc đó gấp đôi một góc khác trong bài toán. Việc vẽ một góc bằng một góc cho trước nhằm tạo ra một tam giác cân, một hình thang cân, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng ... Ví dụ 26. a) Chứng minh định lý: Nếu một tam giác vuông có một góc bằng 30◦ thì cạnh đối diện với góc đó bằng nửa cạnh huyền. b = 30◦. Lấy điểm D thuộc cạnhBC sao cho b) Cho 4ABC vuông tại A có B \ = 15◦. Chứng minh rằng tổng AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC. BAD. Hướng dẫn giải (h.14) b = 30◦ (h.14a). a) Xét 4ABC vuông tại A có B \ = 30◦. Vẽ điểm D trên cạnh BC sao cho BAD b = BAD \ nên là tam giác cân do đó AD = BD 4ABD có B (1) b=\ 4ACD có C CAD = 60◦ nên là tam giác đều, suy ra AD == AC = CD (2) 1 Từ (1), (2) suy ra AC = BD = CD tức là AC = BC. 2 ◦ b \ \ b) (h.14b) Kẻ AH⊥BC. Ta có CAH = B = 30 (cùng phụ với BAH); \ = 90◦ − 15◦ − 30◦ = 45◦ nên 4DAH vuông cân. DAH Đặt AH = b thì DH = b. b = 30◦ nên AH = 1 AB (theo câu a), do đó AB = 2b. 4ABH vuông có B 2 14.

(15) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên B. B D D. 4a b. 2b. H b C. A. A. a). a 2a. C. b) Hình 14:. Đặt CH = a, theo câu a ta có AC = 2CH = 2a, BC = 2AC = 4a. Chu vi 4ABC bằng AC + AB + BC = 2a + 2b + 4a = 6a + 2b AC + CD = 2a + a + b = 3a + b Từ (1), (2) suy ra AC + CD bằng nửa chu vi 4ABC.. (1) (2). Ví dụ 27. Cho 4ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi K là một điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng KE + KD ≥ AB. Hướng dẫn giải (h.15a) [ = DAK \ Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ điểm I sao cho EAI A. A D. D. I. E. I 1 34 2. E. K B. K. H. C. B. C b). a) Hình 15:. [ + EAK \ = 90◦ và 4IAK vuông cân tại A. và AI = AK, khi đó EAI 4EAI = 4DAK (c.g.c) ⇒ EI = KD, do đó KE + KD = KE + EI.. Ta lại có KE + EI ≥ KI (bất đẳng thức tam giác), √ KI = KA 2 (KI là cạnh huyền của tam giác vuông cân) KA ≥ AH (AH là đường cao của 4ABC) 15.

(16) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Từ các kết quả trên suy ra √ √ KE + KD = KE + EI ≥ KI = KA 2 ≥ AH 2 = AB. Vậy KE + KD ≥ AB. Xảy ra đẳng thức KE + KD = AB khi K ≡ H và D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Ví dụ 28. Cho 4ABC vuông tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho \ ACD = 1[ [ = 1 ABC. [ Gọi I là giao điểm ACB. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho ABE 3 3 của BE và CD. Tính số đo các góc của 4DIE. Hướng dẫn giải (h.15b) 2 b b 2 [ [ [ = 120◦, do đó DIE [ = 120◦. IBC + ICB = B + C = · 90◦ = 60◦ nên BIC 3 3 Gọi K là giao điểm các đường phân giác của 4IBC. [ = BIC [ = 120◦ nên Ib1 = Ib2 = Ib3 = Ib4 = 60◦. Do DIE 4BID = 4BIK (g.c.g) ⇒ ID = IK. Chứng minh tương tự IE = IK. [ = 120◦ nên IDE [ = IED [ = 30◦. 4DIE có IE = IK (= IK) và DIE. b = B, b D b > C. b Chứng minh rằng BC > AD. Ví dụ 29. Cho tứ giác AKCD có A Hướng dẫn giải (h.16a) b=B b và D b >C b⇒A b+D b >B b + C. b Từ A A. B. α. C. D a). A. x. E Hình 16:. B. K. D. C. b). b+ B b+C b+D b = 360◦ nên A b+ D b > 180◦. Ta lại có A b ta có A b + α = 180◦ ⇒ D b > α. Gọi α là góc bù với A, \ = α. Trên tia BC lấy điểm E sao cho ADE \<\ Do ADE ADC nên E nằm giữa B và C, ta có BC > BE (1) b + ADE b=B b nên là hình \ = 180◦ nên AB//DE. Hình thang ABED có A Do A thang cân, suy ra AD = BE (2) Từ (1), (2) suy ra BC > AD. 16.

(17) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. b < B. b Chứng minh rằng Ví dụ 30. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có A AC > BD.. Hướng dẫn giải (h.16b) \ = BAD. \ Trên tia DC lấy điểm K sao cho ABK \ < ABC [ nên ABK \ < ABC, [ suy ra K nằm giữa D và C. Do BAD Hình thang ABKD có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân, suy ra AK = BD (1) \ và Ta sẽ chứng minh AC > AK bằng cách xét 4AKC và so sánh các AKC ACK. Gọi Dx là tia đối của tia DC. Ta có \ = BDx [ (dễ chứng minh) AKC [ > BCK \ > ACK \ BDx \ > ACK, \ do đó AC > AK Suy ra AKC Từ (1), (2) suy ra AC > BD.. (2). Ví dụ 31. Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại B và cắt đường tròn (O0 ) tại C và D (C nằm giữa B và D). Tia DA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh rằng [ AB là tia phân giác của CAE. Hướng dẫn giải (h.17a) [ = EAB [ (góc tạo bởi tiếp tuyến với Gọi Bx là tia đối của tia BC, ta có EBx x. F. B. E. C 1 O. A. G A. D 1. 2. O. K. D I 1. 0. F. E. H. O B C. a). b) Hình 17:. dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1) [ = EBx. [ Ta sẽ chứng minh BAC Gọi F là giao điểm thứ hai của tia BA và đường tròn (O0 ). Ta chứng minh được 17.

(18) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. b=A b1 = A b2 = D b 1 ) nên EBx [ =F \ BE//DF (kẻ tiếp tuyến chung tại A, ta có E DC (đồng vị). \ [ (cùng bù với CAF [ ). Suy ra EBx [ = BAC [ Ta lại có F DC = BAC (2) [ = BAC. [ Do đó AB là tia phân giác của CAE. [ Từ (1), (2) suy ra EAB Ví dụ 32. Cho đường tròn (O), các đường kính AB và CD. Gọi I là một điểm \ và nằm trong đường tròn (O). Vẽ các dây BE và CF đi qua I. nằm trong AOD [ = IF [ Gọi K là giao điểm của OI và DE. Chứng minh rằng IEK K. Hướng dẫn giải (h.17b) b = Fb, ta sẽ chuyển Fb về vị trí đối xứng với với nó qua OK. Để chứng minh E [ = OIC. [ Kẻ dây HG đi qua I, ta Lấy điểm H trên đường tròn (O) sao cho OIH [ = IF [ có H đối xứng với C qua OK, G đối xứng với F qua OK, suy ra IGK K(1) [ = IEK [ bằng cách chứng minh IGEK là tứ giác nội tiếp. Ta sẽ chứng minh IGK b1 [ =H Ta có CH⊥KO và CH⊥DH nên KO//DH ⇒ GIK (2) b 1 bù GEK \ GEDH là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên H (3) [ bù GEK, \ do đó IGEK là tứ giác nội tiếp, suy ra Từ (2), (3) suy ra GIK [ = IEK [ IGK (4) [ = IF [ Từ (1), (4) suy ra IEK K.. Cách thứ năm: Vẽ đường thẳng vuông góc Vẽ đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước là một cách vẽ đường phụ thường dùng. Cách vẽ đó tạo ra tam giác vuông, từ đó khai thác được các tính chất của tam giác giác vuông, hoặc làm xuất hiện các tam giác vuông bằng nhau, các tam giác vuông đồng dạng. Trong trường hợp có điểm thuộc tia phân giác của một góc ta thường vẽ đường thẳng vuông góc để sử dụng tính chất của tia phân giác. Trong trường hợp có các góc 30◦, 45◦, 60◦, 120◦, 135◦, cách vẽ đường thẳng vuông góc tạo ra những tam giác vuông đặc biệt như "nửa tam giác đều" hay tam giác vuông cân. Trong các bài toán về đường tròn, ta cũng thường kẻ đường vuông góc từ tâm đến dây của đường tròn. Khi có hai đường tròn tiếp xúc nhau, ta thường kẻ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm của hai đường tròn. Ví dụ 33. Cho góc vuông xOy và điểm A thuộc tia phân giác của góc vuông đó. [ = 90◦. Chứng minh Lấy điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho BAC rằng AB = AC 18.

(19) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Hướng dẫn giải (h.18a) Giả sử OB ≥ OC. Kẻ AH⊥Ox, AK⊥Oy y A. K. 2. A E 12. 1. C. H x O. H. 1 B. B. K. 2 D. C b). a) Hình 18:. 4AOH = 4AOK (cạnh huyền - góc nhọn) nên AH = AK. b1 = A b2 (cùng phụ với CAH) \ nên 4AHB = AKC \ (c.g.c) ⇒ AB = AC. Ta lại có A b = α, tia phân giác của A b cắt BC ở D. Ví dụ 34. Cho 4ABC (AB < AC), A \ = α. Chứng minh rằng DB = DE. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho CDE. Hướng dẫn giải (h.18b) Kẻ DH⊥AB, DK⊥AC. 4ADH = 4ADK (cạnh huyền - góc nhọn) nên DH = DK. \ + BDE \ = 180◦ mà CDE \ = BAC [ nên BAC [ + BDE \ = 180◦ Ta có CDE (1) b1 + ADH b2 + ADK \ = 90◦ và A \ = 90◦ nên BAC [ + HDK \ = 180◦ Ta có A (2) b1 = D b 2. \ = HDK, \ do đó D Từ (1), (2) suy ra BDE 4BDH = 4EDK (g.c.g) ⇒ BD = DE.. Ví dụ 35. Cho 4ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Qua B kẻ BH⊥CD (H ∈ \ CD), BH cắt CA tại E. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của CHE. Hướng dẫn giải (h.19a) Kẻ AI⊥BE, AK⊥HC. Các tam giác ABI và ACK có cạnh huyền AB = AC. b1 = C b1 (cùng phụ với E). b góc nhọn B Do đó 4ABI = 4ACK ⇒ AI = AK. \ nên HA là phân giác của CHE. \ Điểm A cách đều hai cạnh của CHE Ví dụ 36. Cho hình vuông ABCD. Gọi E, G, F theo thứ tự là các điểm thuộc các cạnh AB, AD, CD, kẻ đường thẳng vuông với EF , cắt đường thẳng BC ở H. Chứng minh rằng EI = GH.. 19.

(20) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên B H 1. A. D. B. 1 K. G. I 1 A. E. E. 1. M. C. D a). H C. K. F b). Hình 19:. Hướng dẫn giải (h.19b) Để tao ra hai tam giác vuông bằng nhau có cạnh huyền là EF và GH, ta kẻ EK⊥CD, HM⊥AD. b1 = H b 1 (cùng phụ với hai góc bằng nhau), EK = MH (cùng bằng cạnh Ta có E của hình vuông). Do đó 4EKF = 4HMG (g.c.g) ⇒ EF = GH.. b = 60◦, C b < 90◦, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng Ví dụ 37. Cho 4ABC có B minh rằng diện tích hình chữ nhật có kích thước a và c bằng a2 + c2 − b2 . Hướng dẫn giải (h.20a) Kẻ đường cao AH. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB y A 12 H. A c 60◦ H B a a). b. A 1. I x. C. K. O. B. M. B H. M c). b) Hình 20:. ta có b2 = AH 2 + HC 2 = AH 2 + (a − BH)2 = AH 2 + a2 − 2a · BH + BH 2 c = AH 2 + BH 2 + a2 − 2a · 2 2 2 = c + a − ac Vậy ac = a2 + c2 − b2 . 20. C.

(21) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. Ví dụ 38. Cho góc vuông xOy, điểm A cố định thuộc tia Oy, điểm B cố định thuộc tia Ox sao cho OB = OA. Điểm M chạy trên tia Bx. Đường vuông góc với 1 1 + có giá trị không đổi. OB tại B cắt AM ở I. Chứng minh rằng AI 2 AM 2 Hướng dẫn giải (h.20b) Kẻ đường vuông góc với AM tại A, cắt BO ở K. Kẻ IH⊥OA. 4AOK và 4 IHA có b = 90◦ \=H AOK. OA = HI (cùng bằng OB) b1 = Ib1 (cùng phụ với A b2 ) A. Do đó 4AOK = 4IHA (g.c.g) ⇒ AK = AI. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AKM, ta có 1 1 1 1 1 1 + = nên + = , không đổi. AK 2 AM 2 AO2 AI 2 AM 2 AO2 Ví dụ 39. Cho 4ABC nhọn có tan B = 3 tan C. Chứng minh rằng đường trung tuyến AM bằng cạnh AB. Hướng dẫn giải (h.20c) AH AH Kẻ AH⊥BC. Ta có tan B = , tan C = . HB HC AH 1 AH =3· ⇒ HB = HC. Do tan B = 3 tan C nên HB HC 3 1 1 Do đó HB = BC = BM. 4 2 Vậy HB = HM ⇒ AB = AM Ví dụ 40. Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) cắt nhau tại A và B. Điểm M nằm trên đường tròn (O0 ) và nằm ngoài đường tròn (O). Các tia MA, MB cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại C, D (khác A, B). Chứng minh rằng O0 M⊥CD. Hướng dẫn giải (h.21a) \ = ABM \ (góc tạo Kẻ Mx⊥O0 M (Mx khác phía với B đối với CM). Ta có CMx bởi tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp cùng chắn một cung). b = ABM b Hai góc so le trong \ (ABCD là tứ giác nội tiếp). Suy ra CMx \ = C. C bằng nhau nên Mx//CD. Ta lại có Mx⊥O0 M nên O0 M⊥CD. Ví dụ 41. Cho hai đường tròn (O) và (O0 ) ở ngoài nhau. Gọi AB, CD là các tiếp tuyến chung ngoài, A và C thuộc (O), B và D thuộc (O0 ). Gọi I là trung 21.

(22) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên x A. C. K. B. A O0. M. O. O. F. I. N O0. H B. M C. D a). E. D b). Hình 21:. điểm của OO0 . Gọi giao điểm thư hai cúa CB với các đường tròn (O), (O0 ) theo thứ tự là E, F . Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn; b) CE = BF . Hướng dẫn giải (h.21b) a) Kẻ IK⊥AB. Hình thang OABO0 có OI = IO0 và IK//OA//O0B nên AK = KB. Điểm I thuộc đường trung trực của AB nên IA = IB. Chứng minh tương tự IC = ID. Do đường nối tâm OO0 là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn (O) và (O0 ) nên AB và CD đối xứng với nhau qua OO0 , do đó IA = IC. Vậy IA = IB = IC = ID, tức bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn (I; IA). b) Kẻ IH, OM, O0 N vuông góc với CB. Ta có OI = IO0 và OM//IH//O0N nên theo tính chất đường thẳng song song cách đều thì MH = HN (1) Do IC = IB nên HC = HB (2) Từ (1), (2) suy ra HC − MH = HB − HN , tức là CM = N B. Ta lại có CE = 2CM, BF = 2N B nên CE = BF .. Cách thứ sáu: Vẽ đường thẳng song song Việc vẽ thêm đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước nhằm: - Tạo ra một đường thẳng trung gian để chứng minh hai đường thẳng song song. 22.

(23) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. - Tạo ra một hình bình hành khi cần "dời song song" một đoạn thẳng đến một vị trí thuận lợi. - Sử dụng định lý Ta-lét để có các đoạn thẳng tỷ lệ. b+ C b+B b = 360◦. Ví dụ 42. Cho h.22a, trong đó Ax//By. Chứng minh rằng A. Hướng dẫn giải (h.22b) b+ C b1 = 180◦ Kẻ Cm//Ax, ta có A A. (1). A. x. 1 2. C. C y. B. x m y. B. a). b) Hình 22:. b+C b2 = 180◦ Ta có Ax//By và Cm//Ax nên Cm//By, suy ra B Từ (1), (2) suy ra b+C b1 + C b2 = 360◦ A b+ C b+B b = 360◦. Do đó A. (2). b Qua trung điểm Ví dụ 43. Cho 4ABC (AB < AC), Ax là tia phân giác của A. M của BC, kẻ MH⊥Ax, cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng BD = CE. Hướng dẫn giải (h.23a) b1 (đồng vị). \ =E Kẻ BK//AC thì BKD. D. A. M. B. 1. A. E C. KH. B. 1 1 2. 12. K H. x. D. 2. 1. a). b) E Hình 23:. b=E b1. 4AHD = 4AHE (g.c.g) nên D. 23. C 3 N.

(24) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. b do đó 4BKD cân, BD = BK \ = D, Suy ra BKD b \ = C. BK//AC nên KBM 4KBM = 4ECM (g.c.g) nên BK = CE Từ (1), (2) suy ra BD = CE.. (1) (2). Ví dụ 44. Cho 4ABC (AB < AC). Trên cạnh CA lấy điểm I sao cho CI = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AI. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. Gọi K là giao điểm của DI và EC, gọi N là giao điểm của BK và AC. Chứng minh rằng 4BCN là tam giác cân.. Tìm cách giải (h.23b) b1 = N b . Đề bài cho AB = CI nên Để chứng minh 4BCN cân ta sẽ chứng minh B ta "dời" đoạn thẳng AB đến vị trí thuận lợi hơn bằng cách vẽ qua C đến đường b2 = N b , vừa tạo thẳng song song với AB, cắt DK ở H. Cách vẽ này vừa tạo ra B b2 = E b=C b1 . Như vậy chỉ cần chứng minh HK là tia phân giác của BHC. \ ra C Hướng dẫn giải Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt DK ở H. Đặt Ib1 = Ib2 = α. b = Ib2 = α ⇒ A b1 = 2α, C b3 = A b1 = 2α, 4ADI cân nên D b1 = C b3 − Ib1 = 2α − α = α. do đó H b 1 nên CH = CI = AB. 4CIH có Ib1 = H \= Tứ giác ABHC có AB//CH, AB = CH nên là hình bình hành, suy ra BHC b1 = 2α. A b 1 = α nên HK là tia phân giác của H. b Ta lại có H b=C b1. Ta lại có E b=C b2 (so le trong, BE//CH) nên 4BEC có BC = BE nên E b1 = C b2 . C b và H b nên B b1 = B b2 . 4BCH có K là giao điểm của các tia phân giác C b2 = N b (so le trong, BH//AN ) nên B b1 = N b. Ta lại có B Vậy 4BCN là tam giác cân. Ví dụ 45. Tính diện tích hình thang ABCD (AB//CD) biết AB = 4cm, CD = 9cm, BD = 5cm, AC = 12cm.. Hướng dẫn giải (h.24a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. ABEC là hình bình nên CE = AB = 4cm, BE = AC = 12cm. \ = 90◦ (định lý 4BDE có BD2 + BE 2 = 52 + 122 = 169 = 132 = DE 2 nên DBE Pi-ta-go đảo). Ta lại có BE//AC nên BD⊥AC. 1 Hình thang có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích bằng ·5·12 = 2 30(cm2). 24.

(25) Trần Văn Lợi A 4. Trường THCS Định Liên B 12 5. D. 9. a). C 4 E. B. A x 1 2 x x 1 D. E. b). C. Hình 24:. b = 120◦, AB = c, AC = b. Tính độ dài đường phân Ví dụ 46. Cho 4ABC có A giác AD. Hướng dẫn giải (h.24b) b1 = A b1 = 60◦. Kẻ DE//AB thì D 4ADE có hai góc bằng 60◦ nên là tam giác đều. Đặt AD = DE = AE = x. DE//AB nên theo định lý Ta-lét ta có. DE CE x b−x bc = hay = ⇔x= AB CA c b b+c Vậy AD =. bc . b+c. Ví dụ 47. Cho 4ABC có AC = 2AB, đường phân giác AD. Lấy điểm I trên 2 đoạn thẳng AD sao cho AI = AD. Gọi E là giao điểm của BI và AC. Tính tỷ 3 AE số . EC Hướng dẫn giải (h.25a) AE EK AE dưới dạng · . Kẻ DK//BE. Ta viết EC EK EC AI 2 AE = = Do BE//DK nên theo định lý Ta-lét EK ID 1 BD AB 1 Theo tính chất đường phân giác: = = . DC AC 2 BD 1 EK 1 EK = = ⇒ = Do DK//BE nên theo định lý Ta-lét KC DC 2 EC 3 AE EK 2 1 2 AE 2 Từ (1), (2) suy ra · = · = , tức là = . EK EC 1 3 3 EC 3. (1). (2). Ví dụ 48. Cho 4ABC cân tại A, đường phân giác BD. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Gọi I là một điểm thuộc cạnh BC, gọi K là giao điểm của EI và AB, gọi H là giao điểm của KC và BD. Chứng minh rằng HI//AC. 25.

(26) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên A A K. E K. I B. H. D. C. B. C a). D. N I b) E. Hình 25:. Hướng dẫn giải (h.25b) KH KI Ta sẽ chứng minh = . HC IE KH KI Ta có BH là đường phân giác của 4BKC nên = (1) HC IE KN KB KI = = (2) Kẻ KN//AE (N ∈ BC), ta có IE CE BC ( vì KN = KB, CE = BC) KH KI Từ (1), (2) suy ra = , do đó HI//CE, tức là HI//AC. HC IE Ví dụ 49. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E, F chia hình thang ABCD thành hai hình thang có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng EF 2 bằng trung bình cộng của bình phương hai đáy của hình thang ABCD. Hướng dẫn giải Trường hợp AB = CD, ta có ngay EF = AB = CD nên EF 2 =. AB 2 + CD2 2. Trường hợp AB 6= CD, giả sử AB < CD (h.26a) Gọi BH là đường cao của hình thang ABEF (có diện tích S1 ), F K là đường cao của hình thang EF CD (có diện tích S2 ). Đặt CD = a, AB = b, EF = x. Ta có (b + x) · BH , 2. (a + x) · F K . 2 a+x BH = Do S1 = S2 nên (b + x) · BH = (a + x) · F K ⇒ FK b+x Kẻ BG//AE (G ∈ EF ), kẻ F I//ED (I ∈ CD). Ta có S1 =. S2 =. 26. (1).

(27) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên m C. B. A. A E. G H. D. B. E. F. K D. I K C a). n b). Hình 26:. 4BGF v 4F IC (g.g) nên tỷ số hai đường cao bằng tỷ số đồng dạng: GF x−b BH = = FK IC a−x. (2). a+x x−b = , do đó a2 − x2 = x2 − b2. b+x a−x 2 2 AB 2 + CD2 b + a 2 2 , tức là EF = Vậy x = 2 2 Từ (1), (2) suy ra. Ví dụ 50. Cho đoạn thẳng AB. Vẽ về hai phía của AB các cung chứa góc α là AmB và AnB. Lấy điểm C thuộc cung AmB (CA < CB), điểm D thuộc cung \ = AED. \ AnB (DA < DB). Vẽ hình bình hành CBDE. Chứng minh rằng ABD Tìm cách giải (h.26b) \ = AED, \ ta sẽ tạo ra một góc bằng AED \ bằng cách vẽ hình Để chứng minh ABD \ = AED. \ Chỉ cần chứng minh AKD \ = ABD \ bình hành AEDK, khi đó AKD bằng cách chứng minh điểm K nằm trên cung AnB. Hướng dẫn giải Vẽ hình bình hành AEDK, ta có AK//ED, AK = ED (1) CBDE là hình bình hành nên CB//ED, CB = ED (2) Từ (1), (2) suy ra AK//CB, AK = CB, do đó ACBK là hình bình hành. \ = ACB [ = ADB \ nên K nằm trên cung AnB, suy ra ABD \ = AKD. \ ta có AKB \ = AKD \ (góc đối của hình bình hành) nên ABD \ = AED. \ Ta lại có AED Ví dụ 51. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến KA với đường tròn. Trên đoạn KO lấy điểm B nằm trong đường tròn. Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Vẽ dây AD đi qua B, vẽ dây AE đi qua C. Gọi I là giao điểm của DE và KO. Chứng minh rằng BK = CI. 27.

(28) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên A. K. B D. 1 G 1 1 O C 1. 1. 2 I. E H. Hình 27:. Hướng dẫn giải (h.27) Kẻ dây AG//BC, ta sẽ chứng minh 4ABK = 4GCI. \ = GCI [ Do tính đối xứng qua đường trung trực của BC nên AB = GC và ABK (1) Vẽ dây DH//BC. Do A và G, B và C, D và H đối xứng hau qua đường trung trực của BC và A, B, D thẳng hành nên G, C, H thẳng hàng. Ta có b1 = D b 1 (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) G = Ib1 (so le trong, DH//KI). b1 = A b1 = K b nên GCEI là tứ giác nội tiếp, suy ra Ib2 = E \ = CGI [ Từ (1), (2) suy ra BAK Từ (1), (3) suy ra 4ABK = 4GCI (g.c.g), do đó BK = CI.. (2) (3). Cách thứ bảy: Vẽ tam giác Trong cách vẽ tam giác, cách vẽ thêm tam giác đều hoặc vẽ tam giác vuông cân rất có hiệu quả. Ví dụ 52. Cho 4ABC vuông cân tại A. Vẽ điểm D nằm trong tam giác đó sao cho \ DAC = \ DCA = 15◦. Chứng minh rằng BA = BD. Hướng dẫn giải (h.28a) [ = IBA [ = 15◦. Vẽ 4IAB có điểm I nằm trong 4ABC và IAB Ta có 4IAB = 4DAC (g.c.g) ⇒ AI = AD. Ta lại có [ = 90◦ − IAB [ − DAC \ IAD = 90◦ − 15◦ − 15◦ = 60◦. 28.

(29) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên B. E 12. I. A K D. A. 1 C. a). 2. 1. B. C b). Hình 28:. [ = 60◦. nên 4IAD đều suy ra IA = ID và AID Ta có [ = 360◦ − AIB [ − AID [ BID = 360◦ − 150◦ − 60◦ = 150◦. 4BIA = 4BID (c.g.c) nên BA = BD.. b = 110◦. Vẽ điểm K nằm trong tam giác đó Ví dụ 53. Cho 4ABC cân tại A, A \ = 25◦, BCK \ = 30◦. Chứng minh rằng BA = BK. sao cho CBK Hướng dẫn giải (h.28b) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ 4EBC. Ta có ◦ [ = 180 − BAC [ :2 ABC. = (180◦ − 110◦) : 2 = 35◦.. b1 = EBC b2 . \ − ABC [ = 60◦ − 35◦ = 25◦ = B nên B. \ 60◦ BEC b b b1 . Ta lại có 4AEB = 4AEC (c.c.c) ⇒ E1 = E2 = = = 30◦ = C 2 2 4ABE = 4KBC (g.c.g) ⇒ BA = BK.. Ví dụ 54. Cho 4ABC vuông cân tại A và điểm M nằm trong tam giác đó có \ = 135◦, MA = 1cm, MC = 2cm. Tính độ dài MB bằng cách vẽ tính chất AMC 4MAD vuông cân tại A (D và M nằm khác phía đối với AC). Hướng dẫn giải (h.29a) Ta có 29.

(30) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên D. B. A. α c. 5 M. 1 A 2. C. D. α α B. a). 5. h R b O. A 2α. B. C. H K. C b). c). Hình 29:. \ = AMC \ − AMD \ = 135◦ − 45◦ = 90◦ CMD MD2 = AM 2 + AD2 = 1 + 1 = 2 √ Suy ra CD2 = MD2 + MC 2 = 2 + 22 = 6 nên CD = 6 (cm). b1 = A b2 (cùng bằng 90◦ − MAC). \ Ta có A √ 4MAB = 4DAC (c.g.c) nên MB = CD = 6 (cm).. b = 2B, b AB = 5cm, AC = 4cm. Tính độ dài BC. Ví dụ 55. Cho 4ABC có A. Tìm cách giải (h.29b) b = α, A b = 2α. Ta sẽ tạo ra 4DBC có D b = α, DBC \ = 2α, muốn 4BAC có B vậy 4ABD cân tại A. Hướng dẫn giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. b = DBA \ = 1 BAC. [ 4ABD cân tại A nên D 2 b = α, DBC [ = α thì BAC [ = 2α, D \ = α + α = 2α. Đặt ABC Do đó 4BAC v 4DBC (g.g), suy ra AC BC 4 BC = ⇒ = ⇒ BC 2 = 36 ⇒ BC = 6(cm) BC DC BC 5+4. Ví dụ 56. Cho 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O : R), đường cao AH = h. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Gọi S là diện tích 4ABC. Chứng minh rằng: a) bc = 2Rh;. b) S =. abc . 4R. Hướng dẫn giải (h.29c) a) Cần tạo ra hai tam giác đồng dạng có các cạnh liên quan đến b, c, h, 2R. 30.

(31) Trần Văn Lợi. Trường THCS Định Liên. b (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung), \ = B Kẻ đường kính AK. Ta có AKC \ = AHB \ (= 90◦) nên 4ACK v 4AHB (g.g) ACK AK AC 2R b suy ra = ⇒ = ⇒ bc = 2Rh. AB AH c h 1 bc abc 1 = . b) Từ câu a) suy ra S = ah = a · 2 2 2R 4R Lưu ý: Bài toán vẫn đúng nếu bỏ điều kiện 4ABC nhọn.. 31.

(32)

ve duong phu trong hinh hoc THCS

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về