PP toa do kg

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phương pháp toạ độ trong không gian I. Các dạng toán cơ bản. 1. Mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng (  ) qua M 0 ( x0 , y0 , z0 ) có véctơ pháp tuyến  n( A, B, C ) là A( x  x 0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 ) 0 . 1.1.Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng     n  AB, AC . Ví dụ.(B-2008). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(0;1; 2), B(2;  2;1), C ( 2;0;1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C. 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2 x  2 y  z  3 0 sao cho MA MB MC . 1.2. Viết phương trình mặt phẳng (  ) đi qua điểm M và đường thẳng d     n  MM 0 , ud  M  d ( 0 ). Bài 1(KTr-97). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(1; 2; 1) và x y  1 z 3   4 1 . d: 3. a) Viết phương trình mặt phẳng qua A và chứa (d). b) Tính khoảng cách từ A đến d. d1 , d 2  1.3. Viết phương  trình   mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng song song.   n  M 1M 2 , u1  M  d ; M  d u1 1 1 2 2 ( ; là véc tơ chỉ phương của d1 ). Ví dụ 1.(B-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 0; 1; 2 ) và d1 :. x y  1 z 1   2 1 1 ,.  x 1  t  d 2 :  y  1  2t  z 2  t . hai đường thẳng 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 , d 2 . 2) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 , N thuộc d 2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng Ví dụ 2.(A-2002) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho 2  x  2 y  z  4 0 1 :   x  2 y  2 z  4 0 và đường thẳng.  x 1  t   2 :  y 2  t  z 1  2t . 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng  2 . 2) Cho điểm M (2; 1; 4 ). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng  2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 1.4. Viết phương trình mặt phẳng (  ) chứa hai đường thẳng cắt nhau d1 , d 2 d2 (chứa d1 và song song   với )    n  u1 , u2  u1 u2 ( , lần lượt là véc tơ chỉ phương của d1 , d 2 ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  1.5.Viết phương trình   mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với mp(  ).  n  ud , n .  1.6.Viết phương trình  mặt phẳng ( ) đi qua điểm M và vuông góc đường thẳng  n nd. d. x  10 y  8 z   2 1 và (  ): 2 x  4 y  z  65 0 . Bài 4(QY-98). Cho d: 3 a) Chứng minh rằng d cắt (  ) tìm toạ độ giao điểm. b) Viết phương trình mặt phẳng (  ) qua M (1; 2; -1) và vuông góc với d. 0. c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (  ). 1.7. Viết phương trình mặt phẳng (  ) chứa đường thẳng d và thoả mãn điều kiện (*)  Phương trình tổng quát của mặt phẳng (  ) là: Ax  By  Cz 0 với ( A2  B 2  C 2 0)  Mp (  ) chứa d nên đi qua hai điểm M , N  d . Khi đó mặt phẳng (  ) chứa hai tham số, chẳng hạn A, B  Sử dụng điều kiện (*) suy ra A, B. Ví dụ 1.(A-2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD. ABC D với A(0;0;0), B (1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và MN. 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  cos . 1 6.. biết Ví dụ 2 (HH-98). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và lập với mặt phẳng (  ) góc 600 với ( ) : 2 x  y  5 z 0 . 2. Đường phẳng: Phương trình tham số của đường thẳng  qua điểm M ( x0 , y0 , z0 )  x x0  at   y  y0  bt   có véctơ chỉ phương u (a, b, c) là  z z0  ct x  x0 y  y0 z  z0   (a, b, c 0) b c Phương trình chính tắc là a .. 2.1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với    ud u. 2.2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( )   ud n. Ví dụ.(D- 2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(1; 4; 2), B ( 1;2; 4) và đường thẳng. :. x 1 y 2 z   1 1 2..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). 2 2 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA  MB nhỏ nhất. 2.3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B   ud  AB. 2.4. Viết phương trình đường   thẳng d đi qua M và song song với hai mặt phẳng  u  n , n . d    cắt nhau ( ) , ( ) 2.5. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 Cách 1.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1  Tìm toạ độ điểm N là giao điểm của d 2 và ( )   Đường thẳng d đi qua M và có véc tơ chỉ phương là MN  Chứng minh đường thẳng d cắt d1 Cách 2.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa M và d1  Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa M và d 2  .  Đường thẳng d đi qua M và có véc tơ chỉ phương là d1 d2 . ud  n , n . Chứng minh đường thẳng d cắt và Cách 3.  Viết phương trình d1 , d 2 dưới dạng tham số  Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng d với d1 và d 2 (toạ độ N, P biểu diễn theo tham số t, s)  Sử dụng giả thiết M, N, P thẳng hàng, suy ra t, s Bài 1(XD-94). Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 5; 0) và cắt hai đường thẳng d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x  z  1 0 ; ( ) : x  y  4 0 và d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (1 ) : 3 x  y  2 0 ; ( 1 ) : y  z  2 0 2.6. Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2 Cách 1.  Viết phương trình 1 ,  2 dưới dạng tham số  Gọi A  1 , B   2 (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s)  AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2   AB.u 0    1  AB.u2 0   Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB. Cách 2.  Gọi góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2  d làđường vuông  ud  u1 , u2  u1 , u2 ( lần lượt là hai véc tơ chỉ phương của 1 ,  2 ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>      n   ud , u1   Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1  Tìm toạ độ điểm B là giao điểm của  2 và ( )   Đường thẳng d đi qua B và có véc tơ chỉ phương là ud. Cách 3.  Gọi góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 ,  2  d làđường vuông  ud  u1 , u2  u1 , u2 ( lần lượt là hai véc tơ chỉ phương của 1 ,  2 )   n  ud , u1   Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d và 1      n   ud , u2   Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d và  2  Đường thẳng d là giao tuyến của ( ) và (  ). Bài 1(TM-97). Cho hai đường thẳng chéo nhau  x 1  d1 :  y  4  2t  z 3  t .  x  3u  d 2 :  y 3  2u  z  2 . và . a) Tính khoảng cách giữa d1 và d2. b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 2.7. Viết phương trình đường thẳng d song song với 1 (vuông góc với ( ) ) và cắt hai đường thẳng chéo nhau  2 ,  3 Cách 1.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa  2 và song song với 1  Tìm toạ độ điểm A là giao điểm của  3 và ( )     Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương là ud u1 ( u1 là véc tơ chỉ 1. phương của )  Chứng minh đường thẳng d cắt  2 Cách 2.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa  2 và song song với 1  Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa  3 và song song với 1  Đường thẳng d là giao tuyến của ( ) và (  ) (Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số hoặc chính tắc)  Chứng minh đường thẳng d cắt  2 và  3 Cách 3.  Viết phương trình  2 và  3 dưới dạng tham số  Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng d với  2 và  3 (toạ độ A, B biểu diễn theo tham số t, s)   Sử dụng giả thiết d// 1 (vuông góc với ( ) )  ud , u1 cùng phương, suy ra t, s. Ví dụ 1.(A-2007). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 :. x y  1 z 2   2 1 1 và.  x  1  2t  d 2 :  y 1  t  z 3 .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1) Chứng minh rằng d1 và d 2 chéo nhau 2) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7 x  y  4 z 0 và cắt hai đường thẳng d1 và d 2 2.8. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d1 và cắt đường thẳng d 2 Cách 1.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d1  Tìm toạ độ điểm B là giao điểm của d 2 và ( )   Đường thẳng  đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB  Chứng minh đường thẳng d cắt  2 (Vì d1  ( )  d1   ) Cách 2.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d1  Lập phương trình mặt phẳng (  ) đi qua A và d 2  Đường thẳng  là giao tuyến của ( ) và (  ) Bài 1(QHQT-95). Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2; -3) vuông góc với. . a (6; 2; 3) và cắt đường thẳng.  x 1  3t  d :  y  1  2t  z 3  5t . . 2.9. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong ( ) , đi qua A và vuông góc với d   u  u , n .   d  Cách 1. Cách 2.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d  Đường thẳng  là giao tuyến của ( ) và (  ) (Viết phương trình đường thẳng  dưới dạng tham số hoặc chính tắc) Ví dụ.(A-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng. d:. x  1 y 3 z  3   1 2 1 và mặt phẳng (P): 2 x  y  2 z  9 0 .. 1) Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. 2) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P), biết  đi qua A và vuông góc với d. 2.9. Viết phương trình đường thẳng  , đi qua A, cắt và vuông góc với d Cách 1.  Viết phương trình d dưới dạng tham số   Gọi B  d , toạ độ điểm B biểu diễn theo tham số t; AB  d  AB.ud 0   Đường thẳng  đi qua A và có véc tơ chỉ phương là AB. Cách 2.  Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với d  Lập phương trình mặt phẳng (  ) đi qua A và chứa d.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>  Đường thẳng  là giao tuyến của ( ) và (  ) (Viết phương trình đường thẳng . dưới dạng tham số hoặc chính tắc) 3. Mặt cầu + Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm I (a, b, c) bán kính R là: ( x  a ) 2  ( y  b) 2  ( z  c ) 2  R 2 2 2 2 2 2 2 + Phương trình tổng quát: x  y  z  2 Ax  2 By  2Cz  D 0 với A  B  C  D  0  Giao của mặt cầu và mặt phẳng. 2 2 2 2 Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D 0 và mặt cầu ( S ) : ( x  a)  ( y  b)  ( z  c) R. có tâm I bán kính R. Khi đó: d ( I ,( ))  R  ( )  ( S ) = đường tròn (T). Phương trình (T) là:  Ax  By  Cz  D 0  2 2 2 2 ( x  a )  ( y  b)  ( z  c ) R. Cách xác định tâm J của (T) và bán kính của (T) như sau: + Lập phương trình đường thẳng d qua I nhận véctơ pháp tuyến ( ) là véctơ chỉ phương..  n. của mặt phẳng. 2 2 + Giải hệ d và ( ) tìm được J. Gọi r là bán kính của (T), khi đó r  R  IJ .  d ( I ;( )) R  ( ) là tiếp diện của mặt cầu..  d ( I ;( ))  R  ( )  ( S ) . Bài 1 (Khối D - 2008). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C (0;3;3), D(3;3;3). 1) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D. 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 2 (Khối B - 2007). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3 0 và mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  14 0 . 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Bài 3 (Khối B - 2005). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;  3;0), B(4;0;0), C (0;3;0), B1 (4;0; 4) . 1) Tìm toạ độ các đỉnh A1 , C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1 B1 ) . 2) Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, M và song song với BC1 . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1 C1 tại điểm N, tính độ dài đoạn MN. Bài 4(BCVT-99). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCDA1 B1C1 D1 với D(0; 0; 0), A(a; 0; 0), C(0; a; 0), D (0; 0; a). M là trung điểm 1 của AD, N là tâm CC1D1D. Tìm bán kính mặt cầu qua B, C1, M, N. 4. Góc, khoảng cách, diện tích, thể tích..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 4.1 Khoảng cách.  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz 0 và điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) . d ( M 0 , ( P)) . Ax0  By0  Cz 0  D 2. 2. 2. A  B C Khi đó:  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Cho điểm M 1 và đường thẳng d đi qua M 0 và có véctơ chỉ phương u . Khi đó khoảng cách từ M 1 tới d được xác định như sau.    M 0 M1; u     d ( M 1 , (d ))  u Cách 1.. Cách 2. + Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M 1 và d  ( P) . + Giải hệ giữa d và (P) tìm được toạ độ H. + d ( M 1 ,(d )) M 1H  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau () và () .  M (  ) u 0 Cách 1. Cho qua điểm có véctơ chỉ phương '. .       u , u  .M 0 M 0 d ( , )       u , u .  Cho () qua điểm M 0 có véctơ chỉ phương u ; Cách 2. + Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa () và song song với () mặt phẳng  (P)    n p  u , u       qua M 0 có cặp véctơ chỉ phương là u và u . Vậy véctơ pháp tuyến + d (, ) d ( M 0, ( P)). 4.2. Góc.   Góc giữa hai đường thẳng: Cho đường thẳng ( ) có véctơ chỉ phương u (a, b, c)   (  ) u Cho đường thẳng có véctơ chỉ phương (a, b, c)    cos  cos(u, u) . aa  bb  cc. a 2  b 2  c 2 a2  b2  c2   Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n( A, B, C ) , mặt   ( P ) n phẳng có véctơ pháp tuyến ( A, B, C ) .  AA  BB  CC  cos  cos (n, n)  A2  B 2  C 2 A2  B2  C 2 Gọi  là góc giữa ( P) và ( P) , Khi đó. Gọi  là góc giữa () và () , Khi đó.  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: cho đường thẳng d có véctơ chỉ phương   u (a, b, c ) , mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n( A, B, C ) ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Khi đó gọi  là góc giữa d và (P) thì.  sin   cos(u, n) . Aa  Bb  Cc a 2  b 2  c 2 A2  B 2  C 2. 1  S OBA   OA; OB  2 4.3. Diện tích, thể tích:   thể tích hình hộp , hình tứ diện là:      1 VABCD. ABC D   AB, AD  . AA ; VABCD   AB, AC  . AD 6. Ví dụ 1 (Khối A - 2006). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD. ABC D với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A(0;0;1) . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và MN. 2) Viết phương trình mặt phẳng chứa AC và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  cos . 1 6.. biết Ví dụ 2 (Khối A - 2004). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0), B(0,1, 0), S (0;0; 2 2) . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.. 1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. 2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Ví dụ 3 (Khối D - 2004). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 . Biết A(a;0;0), B( a;0;0), C (0;1;0), B1 ( a;0; b), a  0, b  0 . 1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b. 2) Cho a, b thay đổi, nhưng luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 lớn nhất. Ví dụ 4 (Khối B - 2002). Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh bằng a. 1) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D . 2) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B1 B, CD, A1D1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1 N . Ví dụ 5 (Khối A - 2003). Trong không gian với hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A(0;0; b) (a  0, b  0) . Gọi M là trung điểm cạnh CC  . 1) Tính thể tích khối tứ diện BDAM theo a và b. a 2) Xác định tỉ số b để 2 mặt phẳng ( ABD) và (MBD) vuông góc với nhau.. 5. Cực trị hình học Ví dụ 1 (Khối A - 2008). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm d:. x 1 y z 2   2 1 2. A (2; 5; 3 ) và đường thẳng 1) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất. Ví dụ 2 (Khối B - 2007). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3 0 và mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  14 0 . 1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Ví dụ 3 (Khối A - 2002). Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz  x  2 y  z  4 0 1 :   x  2 y  2 z  4 0 và cho 2 đường thẳng.  x 1  t   2 :  y 2  t  z 1  2t . 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng  2 . 2) Cho điểm M (2; 1; 4 ). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng  2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A( 1;3;  2), B(  3;7;  18) , mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  1 0 . 1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tìm toạ độ điểm M  ( P) sao cho MA + MB nhỏ nhất..

<span class='text_page_counter'>(10)</span>