(Luận văn thạc sĩ) không gian f dugundji, không gian f milutin và co rút f giá trị tuyệt đối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hồng Dũng

KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI,
KHƠNG GIAN F – MILUTIN
VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hồng Dũng

KHƠNG GIAN F – DUGUNDJI,
KHƠNG GIAN F – MILUTIN
VÀ CO RÚT F – GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Chun ngành : Hình học và tơpơ.
Mã số

: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Nguyễn Hồng Dũng


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn,
giúp đỡ và động viên tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cơ tham gia
giảng dạy lớp Cao học khóa 26 đã cho tơi những kiến thức tốn học về
Đại số, Giải tích và Hình học tơpơ.
Xin kính chúc q thầy cơ thật nhiều sức khỏe và thành công!
Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Tốn – Tin của
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện
học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong
Hội đồng về những góp ý q báu để tơi có thể hồn thiện luận văn hơn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình
học và tơpơ khoa Tốn khóa 26 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời
gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì
những sự quan tâm và động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học.
Nguyễn Hồng Dũng

MỤC LỤC
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 5
1.1. Không gian tôpô ................................................................................................... 5
1.2. Không gian compact ............................................................................................ 6
1.3. Không gian mêtric ................................................................................................ 7
1.4. Đồng cấu nhóm .................................................................................................... 8
1.5. Khơng gian lồi địa phương................................................................................... 9
1.6. Dàn Banach .......................................................................................................... 9
1.7. Toán tử ............................................................................................................... 10
1.8. Độ đo .................................................................................................................. 13
1.9. Hàm tử ................................................................................................................ 14
1.10. Khối lập phương Cantor ................................................................................... 15
1.11. Khối lập phương Tychonoff ............................................................................. 16
Chương 2. KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI VÀ F – MILUTIN ..... 18
2.1. Không gian Dugundji và không gian Milutin .................................................. 18
2.2. Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin .......................... 20
Chương 3. CO RÚT F - GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ KHÔNG GIAN
F - MILUTIN TUYỆT ĐỐI .................................................................. 27
3.1. Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối ...................... 27
3.2. Nhận dạng co rút F – giá trị tuyệt đối cho một vài hàm tử chức năng............. 37
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 50


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu
Với mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp trong phạm trù Comp của
các không gian Hausdorff compact, ta định nghĩa các khái niệm của các không
gian F – Dugundji và F – Milutin, dựa theo khái niệm cổ điển trên các không
gian Dugundji và Milutin. Qua đó, ta chứng minh được rằng lớp các khơng gian
F – Dugundji trùng với lớp các co rút F – giá trị tuyệt đối.
Kế tiếp, cho X là không gian compact Dugundji với các tích tensơ tương
ứng và một hàm tử liên tục đơn cấu F : Comp  Comp , X là một co rút F – giá
trị tuyệt đối khi và chỉ khi tập hai phần tử 0,1 là một co rút F – giá trị tuyệt
đối.
Ta cũng chứng minh được rằng với một hàm tử Lip k của các phiếm hàm k
– Lipschitz ( k  2 ), mỗi co rút Lip k – giá trị tuyệt đối được sinh mở. Mặt khác,
sự compact hóa một điểm của bất kỳ trong không gian rời rạc không đếm được
nào thì khơng thể sinh mở nhưng lại là co rút Lip3 – giá trị tuyệt đối.
Tổng quát hơn, mỗi không gian X compact rời rạc paracompact kế thừa
của cái nâng rời rạc hữu hạn n  ht  X  là một co rút Lip k – giá trị tuyệt đối với
k  2n  2  1 .

1.2. Thực tiễn của đề bài
Một trong các định lý cổ điển Tietze-Urysohn [10] phát biểu: với mỗi hàm
số liên tục f : X 

được xác định trên các tập con đóng X của khơng gian

tơpơ thơng thường Y xác định một thác triển liên tục f : Y 

.

Trước đây, đã từng có nhiều nỗ lực nhằm hợp nhất định lý Tietze-Urysohn
và tốn tử chính quy được Dugundji đề cập [9] như một mong muốn hoàn toàn
tự nhiên và hợp lý, tuy nhiên những nỗ lực này đã thất bại vì sự tồn tại của các


2
cặp  X , A của các không gian Hausdorff compact A  X khơng nhận bất kỳ
tốn tử mở rộng tuyến tính chính quy u : C  A  C  X  . Điều này khiến
A.Pelczynski [15] nãy ra ý tưởng giới thiệu một lớp các không gian compact
Dugundji. Tồn tại các không gian compact X nhận với mỗi phép nhúng X  Y
vào một không gian Hausdorff compact Y một tốn tử mở rộng tuyến tính chính
quy u : C  X   C Y  .
Việc nghiên cứu có hệ thống của lớp các không gian compact Dugundji
được bắt đầu bởi A.Pelczynski không lâu sau đó các khơng gian compact
Dugundji đã được chứng minh rằng có thể được mơ tả như là co rút P – giá trị
tuyệt đối với các hàm tử P : Comp  Comp của các độ đo xác suất trong phạm
trù Comp của các không gian Hausdorff compact và các ánh xạ liên tục. Cần
nhắc lại rằng với một khơng gian Hausdorff compact X thì khơng gian độ đo
xác suất P  X  là một không gian con của Tychonoff cấp
các phiếm tuyến tính chính quy  :C  X  

C X 

bao gồm tất cả

(  chính quy có nghĩa là

  f   conv  f  X   ). Ta có thể đồng nhất mỗi điểm x  X với độ đo Dirac
 x : C  X   , gán mỗi hàm số f  C  X  với giá trị của f  x  tại x . Phép

gán x

 x xác định một phép nhúng chính tắc  : X  PX của X vào chính

nó với độ đo xác suất.
Đồng thời R. Haydon đã làm sáng tỏ các hiểu biết về cấu trúc của các
không gian Dugundji compact khi đã chứng minh được lớp các không gian
Dugundji compact trùng với lớp AE  0  của các mở rộng compact tuyệt đối số
chiều không.
Như đã thấy trước và sau Haydon đã có nhiều nghiên cứu và vấn đề được
đặt ra xoay quanh không gian F – Dugundji, không gian F – Milutin cũng như là


3
co rút F – giá trị tuyệt đối và cũng đã đạt được nhiều kết quả. Từ đó cho chúng ta
thấy sự cấp thiết của đề tài cần được quan tâm và nghiên cứu.
Với các kiến thức tôpô đại cương và nghiên cứu trên khơng gian Dugundji
của các nhà tốn học trên thế giới và Việt Nam cũng như từ bài báo F –
Dugundji spaces, F – Milutin spaces and absolute F – valued retracts của hai tác
giả Taras Banakh và Taras Radul xuất bản trong tạp chí Topology and its
Applications năm 2015.
2. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
2.1. Mục tiêu nghiên cứu
Từ chứng minh của R. Haydon rằng lớp các không gian Dugundji compact
trùng với lớp AE  0  của các giãn tử compact tuyệt đối trong số chiều không.
Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu:
 Định lý Haydon và chứng minh định lý Haydon.
 Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của không
gian compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin.
 Giới thiệu một số khái niệm cùng tính chất liên quan của co rút F –

giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt đối..
 Nhận dạng co rút F –giá trị tuyệt đối của một số hàm tử chức năng.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số
kết quả đã có liên quan đến nội dung luận văn làm cơ sở lý luận và trình bày
lại một số khái niệm và kết quả đã có chứng minh một số định lý và tính chất
trong bài.
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, 3 và phần kết thúc.


4
Mở đầu: Nội dung của phần mở đầu nhằm đề cập đến những ghi nhận ban
đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương
pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nội dung của chương 1 nhằm đưa ra một
số kiến thức cơ bản cần thiết cho chương 2 và chương 3.
Chương 2: Không gian F – Dugundji và F – Milutin: Chương 2 của luận
văn nhằm giới thiệu không gian compact F – Dugundji và F – Milutin cùng các
tính chất liên quan.
Chương 3: Co rút F – giá trị tuyệt đối và không gian F – Milutin tuyệt
đối: Chương 3 của luận văn nhằm giới thiệu co rút F – giá trị tuyệt đối và không
gian F – Milutin tuyệt đối và các tính chất liên quan. Cuối chương tơi xin trình
bày một số kết quả có được khi xét F là một hàm tử cụ thể.
Kết luận: Chúng tôi đã hệ thống lại các kết quả đã được trình bày trong
chương 2 và chương 3 cùng một số vấn đề nhằm định hướng phương hướng
nghiên cứu trong tương lai.


5

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung của chương này giới thiệu và nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ
bản nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau. Các định nghĩa được
trình bày trong chương 1 được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3], [4],
[12].
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho:
1. , X  ;
2. U ,V   U V  ;
3. U i  , i  I 

U i  .
iI

Khi đó, ta gọi  là một tôpô trên X và  X ;  là một không gian tôpô.
1.1.2. Lân cận của một điểm
Cho không gian tôpô  X ;  và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận
của x nếu tồn tại V  sao cho x V và V  U .
1.1.3. Tập đóng
Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở.
1.1.4. Tôpô cảm sinh
Cho không gian tôpô  X ;  và A  X .
Ta có họ  A   A  U :U mở trong X  là họ các tập mở trong A và  A là
một tôpô trên A được cảm sinh từ tơpơ  . Khi đó  X ; A  được gọi là không
gian tôpô con của không gian tôpô  X ;  .


6

1.1.5. Tơpơ tích
Khơng gian X thỏa mãn X :  X i là tích Descartes của các khơng gian
iI

tơpơ X i , i  I , tơpơ tích trên X được định nghĩa là tôpô yếu nhất đối với mọi
phép chiếu liên tục pi : X  X i . Tơpơ tích cịn được gọi là tơpơ Tychonoff.
1.1.6. Cơ sở của không gian tôpô
Cho không gian tôpô  X ;  , x  X , họ

x

nào đó là những lân cận của

điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô  tại x (hay là cơ sở lân cận tại

x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V 

x

sao cho x V  U .

Họ con B các phần tử của tôpô  được gọi là cơ sở của  trên X nếu
mọi phần tử thuộc  đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc B .
Họ con

  được gọi là tiền cơ sở của tôpô  nếu họ tất cả các giao

hữu hạn có thể của các phần tử thuộc lớp

tập thành một cơ sở của tôpô  .

Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay không
quá đếm được) những tập hợp mở.
1.1.7. Không gian Hausdorff
Không gian tôpô  X ; được gọi là không gian Hausdorff (hay T2  không
gian) nếu với mọi cặp điểm bất kì x, y  X có các lân cận U1 , U 2 sao cho
x U1 , y U 2 và U1  U 2   .

1.2. Không gian compact
1.2.1. Phủ và phủ mở
Cho X là không gian tôpô, một họ C  Ui  X , i  I  là một phủ của X
nếu X 

Ui .
iI

Một phủ con của C là một tập con của C mà vẫn phủ X .
Ta gọi C là một phủ mở nếu mỗi thành phần của nó là một tập mở (nghĩa
là U i chứa trong  , với  là một tôpô trên X ).


7
1.2.2. Định nghĩa
Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu mỗi phủ mở bất kỳ
của X luôn có phủ con hữu hạn.
1.2.3. Compact hóa
Cho khơng gian tơpơ X , không gian tôpô Y được gọi là compact hóa của
khơng gian tơpơ X nếu X đồng phơi với một không gian con trù mật của Y .
1.2.4. Compact hóa một điểm
Compact hóa của khơng gian compact X bằng việc thêm vào không gian

X một điểm được gọi là khơng gian compact hóa một điểm của X .
1.2.5. Khơng gian paracompact
Không gian tôpô X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở
của X ln có phủ mở, mịn địa phương hữu hạn. Có nghĩa là: cho một phủ mở
của X là U i  , tồn tại một phủ mở Vi | Vi  Ui  thỏa x  X , Vx là một lân
cận của x và tập i : Vi  Vx   là hữu hạn.
1.2.6. Paracompact kế thừa
Một không gian tôpô X được gọi là paracompact kế thừa nếu mỗi không
gian con của X là paracompact.
1.3. Không gian mêtric
1.3.1. Định nghĩa
Cho tập X   . Một ánh xạ d : X  X 

được gọi là mêtric trên X

nếu các điều kiện sau được thỏa mãn x, y, z  X :
1) d  x, y   0 ,

d  x, y   0  x  y.
2) d  x, y   d  y, x .
3) d  x, y   d  x, z   d  z, y .
Nếu d là mêtric trên X thì cặp  X , d  gọi là một không gian mêtric.


8
1.3.2. Mêtric đầy đủ
Dãy  xn n1 trong không gian mêtric  X , d  được gọi là dãy Cauchy (hoặc dãy


cơ bản) nếu:   0, n0  : i, j  n0  d  xi , x j    .
Không gian mêtric  X , d  được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
1.3.3. Tôpô sinh bởi mêtric
Cho  X , d  là một không gian mêtric, tôpô sinh bởi cơ sở gồm các quả cầu mở

B = Bd  a, r  : a  X , r  0 được gọi là tôpô sinh bởi mêtric (hay tôpô mêtric).
1.3.4. Không gian mêtric hóa
Khơng gian tơpơ X được gọi là khơng gian mêtric hóa nếu trên X có một
mêtric d : X  X 

sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tơpơ xuất phát

trên X .
1.4. Đồng cấu nhóm
1.4.1. Định nghĩa
Cho hai nhóm  G,
cấu

nhóm

nếu

ánh

 và  H ,  , ánh xạ
xạ

f

bảo

f :  G,    H ,  được gọi là đồng

tồn

cấu

trúc

nhóm,

nghĩa

là:

f  x y   f  x   f  y  với mọi x, y  G .
1.4.2. Đơn cấu
Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là đơn cấu nếu f là đơn ánh.
1.4.3. Toàn cấu
Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh.
1.4.4. Đẳng cấu
Một đồng cấu f :  G,    H ,  được gọi là đẳng cấu nếu f là đơn cấu và
toàn cấu hay f là song ánh.


9
1.5. Không gian lồi địa phương
1.5.1. Nửa chuẩn của không gian
Cho X là một không gian vectơ trên trường số

Một ánh xạ p : X 

( 

hoặc

được gọi là nửa chuẩn trên X nếu x, y  X ,  

 ).
thỏa

mãn:
i.

p  x  0 ,

ii.

p  x   p  x ,

iii. p  x  y   p  x   p  y 
1.5.2. Không gian lồi địa phương
Một không gian vectơ được trang bị dãy các nửa chuẩn được gọi là không
gian lồi địa phương.
1.6. Dàn Banach
1.6.1. Không gian Riez
Không gian Rietz E là một không gian vectơ sắp thứ tự riêng phần  , với
bất kỳ x, y, z  E thỏa:
i.

x y x z  y z.

ii.

a  , x  y  ax  ay .

iii.

Với bất kỳ cặp vectơ x, y  E , tồn tại một supremum (kí hiệu x  y )
trong E tương ứng với    .
1.6.2. Chuẩn của không gian

Cho X là một không gian vectơ trên trường số
ánh xạ p : X 

( 

 ). Một

được gọi là một chuẩn trên X nếu x, y  X ,  

mãn:
i.

hoặc

p  x  0 ,
p  x   0  x   (  chỉ phần tử không trong X );

thỏa

10
ii.

p  x   p  x ;

iii.

p x  y  p  x  p  y .

Số p  x  gọi là chuẩn của phần tử x . Ta kí hiệu x thay cho p  x  .
1.6.3. Không gian định chuẩn
Không gian vectơ X cùng với chuẩn  trong nó được gọi là một không
gian định chuẩn, ký hiệu:  X ,   .
Nếu p là một chuẩn trên không gian vectơ X thì ta có: d  x, y  : p  x  y 
là một mêtric trên X , gọi là mêtric sinh bởi chuẩn p ).
1.6.4. Không gian Banach
Không gian định chuẩn  X , 



được gọi là không gian Banach nếu X và

mêtric sinh bởi  là không gian đầy đủ.
1.6.5. Dàn Banach
Một dàn Banach  X ,

X, 

 là một không gian Riesz với một chuẩn

sao cho

là một không gian Banach và mọi x, y  X sao cho x  y  x  y

với x : x   x .
1.7. Toán tử
1.7.1. Định nghĩa
Một toán tử A : f 

n

I   f I 

gán mỗi hàm f  f 

n

I 

cho một hàm

A f   f  I  . Vì vậy nó là một ánh xạ giữa hai khơng gian hàm.
1.7.2. Phiếm hàm
Với X là một không gian tôpô, một toán tử F : X 

, với

 ,

được xây dựng với mục đích thiết lập một cấu trúc tính toán trên X được gọi là
phiếm hàm. Phụ thuộc vào mục đích mà phiếm hàm này có thể tuyến tính hoặc
khơng tuyến tính hoặc được định nghĩa trên cả khơng gian X .


11


12
1.7.3. Tốn tử tuyến tính
Một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vectơ V lên chính nó được gọi là
một tốn tử tuyến tính trên V .
Một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào trường số
được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.
1.7.4. Tốn tử mở rộng
Cho hai đa tạp tuyến tính D  A và D  B  là tập xác định của hai tốn tử
tuyến tính A : D  A 

và B : D  B  

với

là không gian Hilbert. B

được nói là tốn tử mở rộng của A nếu D  A  D  B  và B  v   A v  với mỗi

v  D  A .
1.7.5. Tốn tử chính quy
Cho hai khơng gian tơpơ X và Z . Ta kí hiệu khơng gian tuyến tính của tất

cả các ánh xạ liên tục từ X vào Z là C  X , Z  . Nếu Z 
tính C  X ,



, khơng gian tuyến

được ký hiệu là C  X  . Nếu khơng gian X là compact thì các

khơng gian tuyến tính C  X  chứa một cấu trúc của một dàn Banach với chuẩn
sup f  sup xX f  x  .
Theo Dugundji [9], với X là tập con đóng của khơng gian tơpơ mêtric hóa

Y và Z là một khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, tốn tử tuyến tính
u : C  X , Z   C Y , Z  được gọi là toán tử chính quy nếu tốn tử u thác triển
mỗi hàm số liên tục f  C  X , Z  thành hàm số f  C Y , Z  với các giá trị nằm
bao lồi đóng conv  f  X   của f  X  con Z .
1.7.6. Tốn tử trung bình
Tốn tử trung bình là một hàm số hai biến M : 0,1  0,1  0,1 thỏa
mãn các tính chất sau. x, y 0,1 :
i.

min  x, y   M  x, y   max  x, y  , M min,max .


13
ii.

M  x, y   M  y, x  .

iii.

M là hàm số liên tục và đơn điệu tăng.

1.8. Độ đo
1.8.1. Định nghĩa
Cho một không gian đo được  X , F  , một ánh xạ  : F  0,  được gọi
là một độ đo nếu:
i.

   0 .

ii.

 có tính chất  - cộng tính, nghĩa là nếu các tập E1, E2 ,... trong X đếm
được,

khơng

gian

nhau

từng

đơi

một

và

E



Ek

thì

k 1



 
Ek      Ek  .
 k 1  k 1





Nếu  là một độ đo xác định trên  - đại số F thì bộ ba  X , F ,   được
gọi là một không gian độ đo.
1.8.2. Độ đo xác suất
Cho một không gian độ đo  X , F ,   , nếu P  X   1 thì P được gọi là độ
đo xác suất hay xác suất.
1.8.3. Độ đo Dirac
Độ đo Dirac là độ đo  x trên tập X xác định với x  X và bất kỳ tập đo
được A  X sao cho:
0, x  A

.
1,
x

A


 x  A  1A  x   
Độ đo Dirac là một độ đo xác suất.


14
1.9. Hàm tử
1.9.1. Định nghĩa
Cho các phạm trù

và



, một hàm tử F :

là một quy luật tương

ứng mỗi vật A

với một vật F  A 

trong phạm trù

với một cấu xạ F   : F  A  F  B  trong phạm trù

và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B
.

Hơn nữa, thỏa mãn hai tiên đề sau:
Với mỗi vật A  : F 1A   1F  A .

F     F    F   với mỗi cặp cấu xạ  ,   trong

mà xác định

được tích  .
Các hàm tử đơi khi cịn được gọi là hàm tử hiệp biến để phân biệt với các
phản hàm tử hay hàm tử phản biến được định nghĩa như sau.
1.9.2. Hàm tử phản biến
Hàm tử phản biến G :
một vật G  A 



là quy luật tương ứng mỗi vật A

và tương ứng mỗi cấu xạ  : A  B trong

G   : G  B   G  A trong phạm trù

với

với một cấu xạ

. Hơn nữa, hai tiên đề sau phải thỏa

mãn:
i.

Với mỗi vật A  : G 1A   1G A .

ii.

G     G   G    với mỗi cặp cấu xạ  ,   trong

mà xác định

được tích  .
1.9.3. Hàm tử tuyến tính
Cho hai phạm trù tuyến tính

và

(với các vật là các khơng gian

vectơ và mũi tên là các ánh xạ tuyến tính). Lấy hai vật X ,Y 
F:



được

gọi

là

tuyến

tính

F : Hom  X , Y   Hom  F  X  , F Y   là tuyến tính.

nếu

, một hàm tử
ánh

xạ


15
1.9.4. Hàm tử monad
Cho phạm trù

, một monad trên

bao gồm một hàm tử T :

hai phép biến đổi tự nhiên  :1  T (với 1 là hàm tử đơn vị trên



và

) và

 :T 2  T (với T 2 là hàm tử T T :  . Đồng thời thỏa hai điều kiện sau:
i.
ii.

3
 T    T (là phép biến đổi tự nhiên T  T ).

 T   T  1T (là phép biến đổi tự nhiên T  T , 1T là phép biến

đổi đơn vị từ T vào T ).
1.9.5. Hàm tử Dirac
Hàm tử  : Comp  Comp gán mỗi không gian compact X với khơng gian con
đóng   X    X  x  : x  X  

C X 

với độ đo Dirac trên X được gọi là hàm

tử Dirac.
Hiển nhiên rằng hàm tử Dirac  thì đẳng cấu với hàm tử đơn vị (trong
phạm trù
trong

, hàm tử biến một vật trong
thành một mũi tên trong

thành một vật trong

và mũi tên

, kí hiệu: 1 hoặc id ).

1.10. Khối lập phương Cantor
1.10.1. Nhóm tơpơ
Nhóm tơpơ G là một khơng gian tơpơ (cũng là một nhóm) sao cho phép
tốn trên khơng gian tơpơ tích G  G thỏa:
GG  G

 x, y 

xy

và nghịch đảo

G G
x

x 1

liên tục.

1.10.2. Khối lập phương Cantor
Khối lập phương Cantor là một nhóm tơpơ có dạng 0,1 với tập chỉ số
A

A . Cấu trúc đại số và tơpơ của nó là tích trực tiếp và tơpơ tích trên nhóm Cyclic
bậc hai (2 thành phần) (trên nó có trang bị cấu trúc tơpơ rời rạc).
Nếu A là tập đếm được hữu hạn thì khối lập phương Cantor tương ứng là

không gian Cantor. Khối lập phương Cantor thì đặc biệt giữa những nhóm


16
compact vì với mỗi nhóm compact là ảnh liên tục của một khối lập phương
Cantor mặc dù thường không là ảnh đồng phôi. Ta giả sử các không gian là
không gian Hausdorff.
Một khối lập phương Cantor với một tôpô thông thường là:
i.

Không gian thuần nhất:
Một không gian thuần nhất M là một khơng gian với tác động nhóm bắt

cầu bởi một nhóm Lie. Do một tác động nhóm bắt cầu có nghĩa là có chỉ một
quỹ đạo nhóm, M đẳng cấu với không gian thương G / H bới H là nhóm đẳng
hướng G x . Việc lựa chọn x  M không làm ảnh hưởng đến sự đồng cấu của

G / Gx vì tất cả các nhóm đẳng hướng là liên hợp.
ii.

Compact.

iii.

Số chiều không (không gian được gọi là có số chiều khơng nếu nó có một
cơ sớ gồm các tập vừa đóng vừa mở).

iv.

AE  0 là mở rộng tuyệt đối của không gian compact số chiều không (mỗi

ánh xạ từ một tập đóng của một khơng gian tới khối lập phương Cantor thì
mở rộng thành tồn khơng gian).
Thật ra mỗi không gian AE  0 là ảnh liên tục của một khối lập phương

Cantor và dễ dàng chúng minh được rằng mọi nhóm compact là AE  0 . Điều đó
dẫn tới rằng mọi nhóm compact số chiều khơng thì đồng phơi với một khối lập
phương Cantor và mỗi nhóm compact là ảnh liên tục của một khối lập phương
Cantor.
1.11. Khối lập phương Tychonoff
1.11.1. Không gian Tychonoff
Cho không gian tôpô X , X được gọi là không gian đầy đủ chính quy nếu
với bất kỳ tập đóng F và bất kỳ điểm x không thuộc F tồn tại một hàm số liên
tục f : X 

sao cho f  x   0 và f  y   1, y  F .


17

X là một không gian Tychonoff, hoặc không gian T3 , hoặc không gian
1

2

T , hoặc không gian T3 đầy đủ nếu X là khơng gian đầy đủ chính quy và
Hausdorff.
1.11.2. Khối lập phương Tychonoff
Cho đoạn đơn vị

 0,1 và số đếm   0 , ta định nghĩa khối lập

phương Tychonoff của  là khơng gian
Ví dụ: tích


sS

s



với tơpơ tích.

với  là lực lượng của S và mọi s  S ,

s

 .

Tính chất:
i.

Khối lập phương Tychonoff là khơng gian compact.

ii.

Nếu    thì khơng gian

iii.

Khối lập phương Tychonoff



có thể nhúng vào trong khơng gian


gian compact của chỉ số   0 .



.

là không gian phổ dụng cho mọi không


18

Chương 2. KHÔNG GIAN COMPACT F – DUGUNDJI
VÀ F – MILUTIN
Chương này sẽ trình bày một số khái niệm về không gian Dugundji,
không gian Milutin, không gian co rút P – giá trị tuyệt đối và định lý Haydon
về mối quan hệ giữa những không gian trên. Tiếp theo là trình bày các khái
niệm về khơng gian compact F – Dugundji và không gian compact F –
Milutin nhằm chuẩn bị cho phần chính của chương là một số định lý liên
quan đến hai không gian này. Phần chương 2 của luận văn được tham khảo
từ tài liệu [5].
Trong bài luận văn này, các không gian tôpô được xét là không gian
Hausdorff. Các khái niệm được tham khảo trong [20].
2.1. Không gian Dugundji và không gian Milutin

2.1.1. Không gian Dugundji [15.6.34]
Một không gian compact X được gọi là không gian Dugundji nếu cho
mỗi không gian compact T và mỗi phép nhúng đồng phơi  : X  T có một
tốn tử mở rộng chính quy.
2.1.2. Khơng gian Milutin [15.5.27]
Một khơng gian compact X được gọi là không gian Milutin nếu tồn tại
m
một toàn cấu  : D  T (với D m là tập Cantor) thì có một tốn tử trung bình

chính quy.
2.1.3. Co rút P – giá trị tuyệt đối
Cho hàm tử P : Comp  Comp , một không gian Hausdorff compact X
được gọi là co rút P – giá trị tuyệt đối nếu cho mỗi phép nhúng X  Y vào
một khơng gian compact Hausdorff Y thì tồn tại một ánh xạ liên tục
f : Y  PX là thác triển chính tắc của phép nhúng  : X  PX [11].


19

2.1.4. Định lý Haydon
Cho một không gian Hausdorff compact X thì các điều kiện sau là
tương đương:
(1) X là khơng gian compact Dugundji.
(2) X là co rút P – giá trị tuyệt đối.
(3) X là một mở rộng tuyệt đối trên không gian 0 chiều.
Chứng minh

 3  1 Xem [12], không gian compact Milutin.
Ta nhắc lại trong [12] rằng một khơng gian compact Hausdorff X là
Milutin nếu có một toàn ánh liên lục f : K  X từ một khối lập phương

Cantor K  0,1 , nhận một tốn tử trung bình chính quy u : C  K   C  X 


có nghĩa là một tốn tử tuyến tính chính quy sao cho u  f    cho bất kỳ

  C  X  . Trong [14], Milutin chứng minh rằng một đoạn đơn vị  0,1 là
Milutin và được suy ra từ tính chất mỗi khơng gian compact Dugundji là
Milutin. Chiều đảo của định lý này là không đúng dễ thấy qua ví dụ siêu



khơng gian exp2 0,1

2

 là Milutin mà không là Dugundji, xem [12, 6.7]. 

Định lý 2.1.4. chỉ ra rằng không gian compact Dugundji được liên kết
chặt với hàm tử độ đo xác suất P (điều này đã được nghiên cứu và mở rộng
bởi Scepin trong [19]). Mối quan hệ của lớp các không gian Dugundji với một
số hàm tử khác được nghiên cứu bởi Alkinson và Valov trong [5], [21].
Cùng với các tính chất đã nêu, nội dung luận văn còn đề cập đến: với
mỗi hàm tử chức năng F : Comp  Comp ta giới thiệu khái niệm không gian
compact F – Dugundji và không gian compact F – Milutin cùng với các đặc
trưng của chúng với các toán tử mở rộng và toán tử trung bình giữa các


20

không gian các hàm liên tục dẫn đến tổng quát hóa định lý 2.1.4. cho các hàm

tử khác.
Ta có thể chứng minh rằng lớp các không gian compact F – Dugundji
trùng với lớp của không gian co rút F – giá trị tuyệt đối. Trong các phần tiếp
theo ta sẽ nghiên cứu trên các hàm cụ thể không gian co rút F – giá trị tuyệt
đối và quan hệ của nó trong lớp các khơng gian compact F - Dugundji và của
những tập compact sinh mở.
2.2. Một số định lý của không gian F – Dugundji và F – Milutin
Với X là một khơng gian compact, ta kí hiệu dàn Banach của các hàm
số liên tục với chuẩn   sup xX   x  là C  X  . Hàm số  :C  X  
(không nhất thiết liên tục) được gọi là một phiếm hàm của C  X  . Không gian
C X 

của tất cả các phiếm hàm trên được trang bị tôpô tích Tychonoff.

Với mỗi x  X thì độ đo Dirac  X  x  

C X 

là một phiếm hàm gán

cho mỗi hàm   C  X  với một giá trị   x  tại x.
Cho X , Y là hai không gian compact, mọi ánh xạ liên tục f : X  Y
đều cảm sinh một tốn tử tuyến tính f * : C Y   C  X  , f * : 

 f giữa

các không gian hàm tương ứng được gọi là đối ngẫu của f . Toán tử đối ngẫu
thứ hai của f là hàm số f ** :
với phiếm hàm f **    
Đặt

C .

C f 

C Y 

C X 



C Y 

, f **    : 

biến mỗi phiếm hàm  

C X 

  f  .

: f ** chúng ta có thể kết luận rằng cấu trúc của

: Comp  Tych là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Comp đến phạm

trù Tych của các không gian Tychonoff và các ánh xạ liên tục của chúng.
Hàm tử Dirac là hàm tử con của hàm tử

C  .

.