DE THI HOC SINH GIOI TOAN HOC 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng gi¸o dôc quËn T©y Hå. đề thi học sinh giỏi lớp 9 N¨m häc 2010-2011. Trêng THCS Chu V¨n An. M«n thi : Ngµy thi: Thêi gian lµm bµi:. To¸n 27/9/2010 120 phót. C©u 1 (6 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A=(. x+ 1 xy + x + − 1) xy+1 xy − 1. :. (. x+1 xy+ x − +1) xy+1 xy − 1. a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A nÕu. x=√ 14+6 √ 5. ,. 5− 1 √5+1. y= √. c) Cho x+ y=√ 2 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A C©u 2 (6 ®iÓm) a) Cho x lµ sè tháa m·n √ x2 −2 x+ 25− √ x 2 −2 x+ 9=2 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B= √ x2 −2 x+ 25+ √ x 2 −2 x+ 9 b) Tìm số tự nhiên n để √ n2 +91 còng lµ sè tù nhiªn Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đờng cao AH. a) Gi¶ sö BH=3cm;AC=2cm. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC? b) Gi¶ sö BH=AC, trung tuyÕn BM cña tam gi¸c ABC c¾t AH t¹i I. Chøng minh CI lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACB C©u 4 (2 ®iÓm) Chia mét h×nh trßn thµnh 10 h×nh qu¹t b»ng nhau, trong mỗi hình quạt đặt một viên bi (hình vẽ). Ngời ta thực hiện phép biến đổi nh sau: Lấy hai hình quạt bất kì có bi rồi chuyển từ mỗi hình quạt đó một viên bi sang h×nh qu¹t liÒn kÒ nhng theo 2 chiÒu ngîc nhau (nÕu mét viên ở một hình quạt đợc chuyển theo chiều kim đồng hå th× viªn bi ë h×nh qu¹t kia chuyÓn theo chiÒu ngîc l¹i). Hỏi sau một số hữu hạn các bớc biến đổi nh trên ta có thể chuyển tất cả các viên bi vào một hình quạt đợc không? Vì sao ?. kú thi häc sinh giái líp 9. Phßng gi¸o dôc quËn T©y Hå Trêng THCS Chu V¨n An. N¨m häc 2010-2011. Híng dÉn chÊm Thi m«n to¸n I.Hớng dẫn chung Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng II.Thang điểm và đáp án. C©u. §¸p ¸n a) Rút gọn đúng đến A=− xy b) Tìm điều kiện xác định : x. -1; xy ≠± 1. §iÓm 3,5 ® 0,5 ®.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 3 − √ 5 (TM §KX§) TÝnh ra x=3+ √ 5 y= 2 Thay vào A đợc A=− 2. C©u1 6®. c) ¸p dông B§T Thay. x+ y=√ 2. x+ y 2 ¿ ≥ xy 2 ¿. 0,25 ® víi mäi x,y. và biến đổi dẫn đến. ChØ ra A=− xy=− 1. 1®. 0,5 ®. 1 A=− xy ≥− 2. 0,25 ®. 2 Vµ KL : GTNN cña A lµ A =− 1 x= y= √ min 2 2 2 2 2 2 2 a) Ta cã B.2=( √ x −2 x+ 25+ √ x −2 x+ 9 ).( √ x −2 x+ 25− √ x −2 x+ 9 )=16. khi. Suy ra B=16:2=8 C©u 2 b) §Æt √ n2 +91=m⇒ m>n vµ (m− n)(m+ n)=1. 91=7 .13 ; m+n>m-n (6®) XÐt 2 TH:  m+n=91; m-n=1 ta đợc n=45  m+n=13; m-n=7 ta đợc n=3 . Thử lại đúng  KL: n ∈ {3 ; 45 } a) §Æt CH=x §K: 0<x<2 AD hÖ thøc lîng: AC 2=CH . CB ⇒ 22=x ( x +3) Giải PT: x 2+3 x −4=0 ta đợc x 1=− 4 <0 loại ;. 1® 0,5 ®. A. x 2=1(TM). D. 1,5 ®. M I. BC=4cm; AH=√ 3 cm ⇒S ABC=2 √ 3 cm2 B. C©u 3. H. x. b) VÏ tia Ax//BC; tia BM c¾t tia Ax t¹i D, Δ MAD= ΔMCB AD=BC. 1®. C. 6®. áp dụng định lí Ta-let ta có:. 2,5 ® 0,5 ® 2®. (g.c.g). ⇒. AC2 IA AD BC CH AC2 CA = = = = = IH BH BH BH BH .CH CH. 1® 1,5 ® 0,5 ®. Từ đó chứng minh đợc CI là tia phân giác của góc ACB. C©u 4 2®. Ta chøng minh kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh qu¹t -T« c¸c h×nh qu¹t b»ng 2 mÇu ®en, tr¾ng xen kÏ (h×nh vÏ) -Tæng sè c¸c viªn bi trong c¸c h×nh qu¹t ®en b»ng tæng sè c¸c viªn bi trong h×nh qu¹t tr¾ng vµ b»ng 5 -Theo cách biến đổi, tại mọi thời điểm thì tống số viªn bi trong trong c¸c h×nh qu¹t ®en vµ h×nh qu¹t trắng đều là 1 số lẻ -VËy kh«ng thÓ chuyÓn tÊt c¶ c¸c viªn bi vµo mét h×nh qu¹t( sè bi trong h×nh quạt đó là số chẵn). 0,5 ® 0,5 ®. 0,5 ® 0,5 ®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>

<span class='text_page_counter'>(4)</span>