Tài liệu Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến P, Q, R pdf

Bt ng thc Schur v phng phỏp i
bin p,q,r
Vừ Thnh Vn
Lp 11 Toỏn-Khi chuyờn THPT-HKH Hu
Nhữ cĂc bÔn  biát, bĐt ng thực Schur l mởt bĐt ng thực mÔnh v cõ nhiãu ựng dửng, tuy nhiản nõ văn
cỏn khĂ xa lÔ vợi nhiãu bÔn hồc sinh THCS cụng nhữ THPT. Qua b i viát n y, tổi muốn cụng cĐp thảm cho
cĂc bÔn mởt kắ thuêt sỷ dửng tốt BDT Schur, õ l kát hủp vợi phữỡng phĂp ời bián ; ; .
Trữợc hát, tổi xin nh-c lÔi vã bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián ; ; .
1 Bt ng thc Schur
1 ( )
m m ; ; ; ;


( )( ) +

( )( ) +

( )( ) 0:
Hai trữớng hủp quen thuởc ữủc sỷ dửng nhiãu l = 1 v = 2
( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 0 (i)

2
( )( ) +
2
( )( ) +
2
( )( ) 0 (ii)
2 Phng phỏp i bin ; ;
ối vợi mởt số b i bĐt ng thực thuƯn nhĐt ối xựng cõ cĂc bián khổng Ơm thẳ ta cõ th ời bián lÔi nhữ sau
t = + + ; = + + ; = : V ta thu ữủc mởt số ng thực sau
( + ) + ( + ) + ( + ) = 3

( + )( + )( + ) =
(
2
+
2
) +
(

2
+
2
) + (
2
+
2
) =
2
2
2

( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) =
2
+

2
+
2
+
2
=

2
2

3
+
3
+
3
=
3
3 + 3

4
+
4
+
4
=
4
4
2
+ 2
2
+ 4

2

2
+
2

2
+
2

2
=
2
2

3

3
+
3

3
+
3

3
=
3
3 + 3
2

4

4
+

4

4
+
4

4
=
4
4
2
+ 2
2

2
+ 4
2
t =
2

2
+ 18 27
2
4
3
4
3
; khi õ

2

+
2
+
2
=
3


2
( )( )( ) =


1
3 CC V D MINH HA
Cõ th thĐy ngay lủi ẵch cừa phữỡng phĂp n y l mối r ng buởc giỳa cĂc bián ; ; m cĂc bián ; ; ban
Ưu khổng cõ nhữ

2
3

3
27

2
3
9
2
3
+ 9 7

2
+ 3 4
2

4
+ 4
2
+ 6 5
2

Nhỳng kát quÊ trản Ơy ch-c ch-n l chữa ừ, cĂc bÔn cõ th phĂt trin thảm nhiãu ng thực, bĐt ng thực
liản hằ giỳa 3 bián ; ; . V iãu quan trồng m tổi muốn nõi án l tứ bĐt ng thực (i) v (ii), ta cõ

(4
2
)
9
(tứ (i))

(4
2
)(
2
)
6
(tứ (ii))
Tuy nhiản trong mởt số trữớng hủp thẳ cõ th cĂc Ôi lữủng 4
2
cõ th nhên giĂ tr Ơm lăn giĂ tr dữỡng
nản ta thữớng sỷ dửng

m

0;
(4
2
)
4

m

0;
(4
2
)(
2
)
6

Cõ l án Ơy cĂc bÔn  hiu ữủc phƯn n o vã bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián ; ; . Sau Ơy
l mởt số vẵ dử minh hồa, những trữợc hát, cĂc bÔn hÂy têp l m thỷ rỗi xem Ăp Ăn sau
3 Cỏc vớ d minh ha
3.1 Bt ng thc Schur
1
; ; : m

( + )
3
8(4 + 4 + )
+

( + )
3
8(4 + 4 + )
+

( + )
3
8(4 + 4 + )
1:
( )
LI GII. t
=

( + )
3
8(4 + 4 + )
+

( + )
3
8(4 + 4 + )
+

( + )
3
8(4 + 4 + )
= 8(4 + 4 + ) + 8(4 + 4 + ) + 8(4 + 4 + )
= 32( + + )( + + ) 72
p dửng bĐt ng thực Holder, ta cõ

2
8( + + )
3
c
Vừ Thnh Vn
2
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ta c¦n chùng minh
8(α + β + χ)
3
 Θ
, 8(α + β + χ)
3
 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα)  72αβχ
, (α + β + χ)
3
 4(α + β + χ)(αβ + βχ + χα)  9αβχ (óng theo b§t ¯ng thùc Schur).
Vªy ta câ pcm. 
ς δ 2 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ
(α
2
+ 2)(β
2
+ 2)(χ
2
+ 2)  9(αβ + βχ + χα):
(ΑΠΜΟ 2004)
LÍI GIƒI. Khai triºn b§t ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n chùng minh
α
2

β
2
χ
2
+ 2(α
2
β
2
+ β
2
χ
2
+ χ
2
α
2
) + 4(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 8  9(αβ + βχ + χα)
Ta câ
α
2
+ β
2
+ χ
2

 αβ + βχ + χα
(α
2
β
2
+ 1) + (β
2
χ
2
+ 1) + (χ
2
α
2
+ 1)  2(αβ + βχ + χα)
α
2
β
2
χ
2
+ 1 + 1  3
3
π
α
2
β
2
χ
2


9αβχ
α + β + χ
 4(αβ + βχ + χα)  (α + β + χ)
2
(theo b§t ¯ng thùc Schur)
•p döng c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n, ta câ
(α
2
β
2
χ
2
+ 2) + 2(α
2
β
2
+ β
2
χ
2
+ χ
2
α
2
+ 3) + 4(α
2
+ β
2
+ χ
2

)
 2(αβ + βχ + χα) + 4(αβ + βχ + χα) + 3(α
2
+ β
2
+ χ
2
)
 9(αβ + βχ + χα):
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi α = β = χ = 1: 
ς δ 3 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ
2(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + αβχ + 8  5(α + β + χ):
(Τρƒν Ναm Dνγ)
LÍI GIƒI. Sû döng b§t ¯ng thùc AM-GM, ta câ
6ς Τ = 12(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 3(2αβχ + 1) + 45  5  2  3(α + β + χ)
 12(α
2
+ β

2
+ χ
2
) + 9
3
π
α
2
β
2
χ
2
+ 45  5

(α + β + χ)
2
+ 9

= 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) +
9αβχ
3
π
αβχ
 10(αβ + βχ + χα)

 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) +
27αβχ
α + β + χ
 10(αβ + βχ + χα)
M°t kh¡c, sû döng b§t ¯ng thùc Schur,
9
α + β + χ
 4(αβ + βχ + χα)  (α + β + χ)
2
= 2(αβ + βχ + χα)  (α
2
+ β
2
+ χ
2
)
c
Võ Thành Văn
3
3.1 Bất đẳng thức Schur 3 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Do â
7(α
2
+ β

2
+ χ
2
) +
27
α + β + χ
 10(αβ + βχ + χα)
 7(α
2
+ β
2
+ χ
2
) + 6(αβ + βχ + χα)  3(α
2
+ β
2
+ χ
2
)  10(αβ + βχ + χα)
= 4(α
2
+ β
2
+ χ
2
 αβ  βχ  χα)  0:
B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi α = β = χ = 1: 
ς δ 4 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ 2 σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ
α

β
3
+ χ
3
+
β
α
3
+ χ
3
+
χ
α
3
+ β
3

18
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
)  αβ  βχ  χα
:
(Μιχηαελ Ροζενβεργ)
LÍI GIƒI. B§t ¯ng thùc c¦n chùng minh t÷ìng ÷ìng vîi
Ξ
χψχ

α(α + β + χ)
β
3
+ χ
3

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
)  αβ  βχ  χα
,
Ξ
χψχ
α
2
β
3
+ χ
3
+
Ξ
χψχ
α
β
2
+ χ

2
 βχ

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2
+ χ
2
)  αβ  βχ  χα
•p döng b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz, ta câ
Ξ
χψχ
α
2
β
3
+ χ
3

(α
2
+ β
2
+ χ
2
)
2
Π

χψχ
α
2
(β
3
+ χ
3
)
Ξ
χψχ
α
β
2
+ χ
2
 βχ

(α + β + χ)
2
Π
χψχ
α(β
2
+ χ
2
 βχ)
Ta c¦n chùng minh
(α
2
+ β

2
+ χ
2
)
2
Π
χψχ
α
2
(β
3
+ χ
3
)
+
(α + β + χ)
2
Π
χψχ
α(β
2
+ χ
2
 βχ)

18(α + β + χ)
5(α
2
+ β
2

+ χ
2
)  αβ  βχ  χα
Gi£ sû α + β + χ = 1 v °t αβ + βχ + χα = θ; αβχ = ρ ) ρ  mαξ
ν
0;
(4θ1)(1θ)
6
ο
. Ta c¦n chùng minh
(1  2θ)
2
θ
2
 (θ + 2)ρ
+
1
θ  6ρ

18
5  11θ
B§t ¯ng thùc cuèi d¹ d ng chùng minh b¬ng c¡ch x²t 2 tr÷íng hñp 1  4θ v 4θ  1.
¯ng thùc x£y ra khi α = β = χ ho°c α = β; χ = 0 ho°c c¡c ho¡n và t÷ìng ùng. 
ς δ 5 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν α
4
+ β
4
+ χ
4
= 3. Χηνγ mινη ρ←νγ

1
4  αβ
+
1
4  βχ
+
1
4  χα
 1:
(Μολδοϖα ΤΣΤ 2005)
c
Võ Thành Văn
4
3.1 Bt ng thc Schur 3 CC V D MINH HA
LI GII. Quy ỗng mău số rỗi khai trin, ta cƯn chựng minh
49 8( + + ) + ( + + ) 64 16( + + ) + 4( + + )
2

2

2
, 16 + 3( + + )
2

2

2
+ 8( + + )
p dửng bĐt ng thực Schur v giÊ thiát
4

+
4
+
4
= 3, ta cõ
(
3
+
3
+
3
+ 3)( + + ) [( + ) + ( + ) + ( + )] ( + + )
, 3 + 3( + + ) ( + )
2
+ ( + )
2
+ ( + )
2
p dửng bĐt ng thực AM-GM, ta cõ
( + )
2
+ ( + )
2
+ ( + )
2
+ 12 8( + + )
) 15 + 3( + + ) 8( + + )
Mt khĂc ta lÔi cõ
1
2

2

2
:
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi = = = 1:
6 m ; ; m + + = 3: m

3
+
3
+
3
+ 7 10:
( )
p dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
m

0;
(4
2
)
9

= m

0;
(12
2
)

9

Ta cƯn chựng minh

3
9 + 10 10
Náu 2

3 thẳ ta cõ

3
9 + 10 10
3
9 10 12 9 10 = 3 10 > 0
Náu 2

3 < 4 thẳ

3
9 + 10 10
3
9 +
10
9
(12
2
) 10 =
1
9
( 3)[(16

2
) + 3(4 ) + 2] 0:
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi = = = 1.
7 ; ; m + + = 3: m
3 +
12

5

1

+
1

+
1


:
( )
c
Vừ Thnh Vn
5
3.1 Bt ng thc Schur 3 CC V D MINH HA
LI GII. ời bián theo ; ; , bƠt ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau
3 + 12 5
Mt khĂc,theo bĐt ng thực Schur, ta cõ
3
3(4
2

)
9
= 4 9
Ta cƯn chựng minh
4 9 + 12 5
, 3 (úng).
Vêy ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi = = = 1:
8 ; ; m
2
+
2
+
2
= 3. m
1
2
+
1
2
+
1
2
3:
(PhÔm Kim Hũng)
Quy ỗng, rút gồn v ời bián theo ; ; , bĐt ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
8 + 3 12 + 5
p dửng bĐt ng thực Schur, ta cõ
3
(4
2

)
3
=
(2 3)
3
Tứ giÊ thiát

2
2 = 3
) =

2
3
2
Thay 2 iãu trản v o bĐt ng thực cƯn chựng minh, ta cõ
8 +
(
2
6)
3
12 +
5(
2
3)
2
, (2 3)( 3)
2
0
BĐt ng thực cuối úng nản ta cõ pcm. ng thực xÊy ra khi v ch khi = = = 1:
9 m ; ; m + + = 3: m

1
9
+
1
9
+
1
9

3
8
:
( mmm)
LI GII. B i n y  ữủc anh Hũng sỷ dửng cho phƯn bĐt ng thực Chebyshev trong cuốn "SĂng tÔo bĐt
ng thực". BƠy giớ cĂc bÔn s ữủc thĐy mởt lới giÊi khĂc vợi bĐt ng thực Schur v phữỡng phĂp ời bián
; ; rĐt tỹ nhiản.
Bián ời bĐt ng thực cƯn chựng minh v chuyn vã dÔng ; ; , ta cõ
8(243 18 + 3) 3(729 81 + 27
2
)
c
Vừ Thnh Vn
6