(Luận văn thạc sĩ) một số bài toán tối ưu trên đồ thị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Lê Thị Phương Loan

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS Nguyễn Hoàng Thạch

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những nội dung trong luận văn là do sự tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn
Hồng Thạch. Các kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả
khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến
nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ
nào và cũng chưa được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.

Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2019

Người cam đoan

Lê Thị Phương Loan


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS
Nguyễn Hồng Thạch. Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy
về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt q

trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của
Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam trong q trình tơi thực hiện luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Viện Tốn học và các thầy cơ anh chị trong
phịng Cơ sở Tốn học của Tin học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi
trong q trình học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn các bạn học viên chuyên ngành Toán ứng dụng khoá 20172019 đã giúp đỡ, động viên tơi trong q trình thực hiện luận văn.
Cuối cùng, luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết.
Vì vậy tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo
và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.


1

MỤC LỤC

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

1

Lời nói đầu

3

Danh sách bảng

5

Danh sách hình vẽ

6

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

1.1 CÁCKHÁINIỆMCƠBẢNVỀĐỒTHỊ . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Các định nghĩa và thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7

1.1.2 Biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2 ĐƯỜNGĐIVÀTÍNHLIÊNTHƠNG . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1 Đường đi và chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2 Tính liên thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ

19

2.1 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT . . . . . . . . . . .

20

2.2 THUẬTTOÁNDIJKSTRA....................

21

2.2.1 Mơ tả thuật tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán . . . . . . . . . .

23

2.2.3 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

27


2
2.2.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3 THUẬTTOÁNBELLMAN-FORD . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1 Mô tả thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2 Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán . . . . . . . . . .

30

2.3.3 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4 SOSÁNH .............................
3 ỨNG DỤNG: BÀI TỐN LẬP KẾ HOẠCH

33
34

3.1 MƠTẢBÀITỐN ........................

35

3.2 MƠHÌNHĐỒTHỊ ........................

37

3.2.1 Phương pháp thế năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2 Phương pháp PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

46

4.1 KẾTLUẬN ............................

46

4.2 KIẾNNGHỊ............................

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

47

3

LỜI NĨI ĐẦU
Trong khi tối ưu ln là một trong những lĩnh vực quan trọng và có lịch
sử lâu đời của tốn học ứng dụng, thì tối ưu tổ hợp lại là một nhánh khá
"trẻ" chỉ bắt đầu phát triển mạnh từ khoảng đầu thế kỷ 20, do nhu cầu
phát sinh từ một nền sản xuất hiện đại, quy mô lớn. Các bài toán tối ưu
tổ hợp hiện diện khắp nơi trong cuộc sống hiện đại, từ việc lên kế hoạch,
tổ chức các dây chuyền sản xuất, kho bãi đến những khía cạnh đời
thường gần gũi hơn như giao thơng đơ thị, sắp xếp thời khóa biểu, . . .
Cũng được phát triển mạnh trong thế kỷ 20 là lý thuyết đồ thị. Các mơ hình
đồ thị cho phép thể hiện một cách trực quan các tập hợp các đối tượng rời
rạc và các mối quan hệ giữa chúng. Ban đầu gắn liền với khoa học máy
tính, hiện nay lý thuyết đồ thị bản thân nó đã trở thành một lĩnh vực toán
học riêng và vẫn phát triển mạnh. Các mơ hình đồ thị có thể được tìm thấy
trong thiết kế máy tính và phần mềm, trong mạng viễn thơng, trong sinh
học, trong các nghiên cứu về mạng xã hội, trong kinh tế, . . .

Một số bài toán tối ưu tổ hợp có thể được mơ hình hóa (và giải) một
cách rất tự nhiên bằng ngôn ngữ đồ thị. Luận văn này sẽ tập trung vào
một lớp bài toán tiêu biểu trong số đó.
Trong khn khổ luận văn, tơi sẽ trình bày mơ hình tốn học và
phương pháp giải, sau đó minh họa bằng một ứng dụng thực tiễn.
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trình bày các khái niệm, tính chất,
mệnh đề, các nội dung cơ bản để phục vụ cho nội dung trong luận văn.


4
Chương 2 Bài tốn tìm đường đi ngắn nhất trên đồ thị Đây là phần

chính của luận văn. Trong chương này sẽ nêu ra bài toán, phương pháp
giải, giả mã và chứng minh tính đúng đắn của các thuật tốn.

Chương 3 Ứng dụng: Bài toán lập kế hoạch Nêu ra một mơ hình
thực tiễn, và cách áp dụng từ bài tốn tìm đường đi ngắn nhất bên
trên để giải quyết mơ hình đó.
Các khái niệm, nội dung trong luận văn được tham khảo từ các tài liệu
[1], [2], [3], [4], [5], [6] và viết lại theo ý hiểu của tác giả.


5

Danh sách bảng
3.1 Ví dụ mơ hình dự án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36


6

Danh sách hình vẽ
1.1 Đơn đồ thị vơ hướng(a) và có hướng(b) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Đơn đồ thị vơ hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b) . . . .

9
9

1.3 Hai phép biểu diễn đồ thị vơ hướng trong hình 1.1a . . . . . . . . . .

12

1.4 Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b . . . . . . . . . .

13

1.5 Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a . . . . . . . . .

14

1.6 Ví dụ về một đồ thị có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1 Minh họa cho chứng minh ý 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 1. . . . . . . . . . . . . .

24

2.3 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 2. . . . . . . . . . . . . .

25

2.4 Minh họa cho chứng minh ý 2 trường hợp 3. . . . . . . . . . . . . .

26

2.5 Thực thi thuật toán Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6 Minh họa cho chứng minh trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.7 Thực thi thuật toán Bellman-Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1 Đồ thị Conjunctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp thế năng . . . . . . .

39

3.3 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp thế năng . . . . . . . . . . . . .

42

3.4 Biểu diễn đồ thị của bảng 3.1 bằng phương pháp PERT . . . . . . . .

44

3.5 Biểu diễn kết quả bằng phương pháp PERT . . . . . . . . . . . . . .

44

3.6 Biểu diễn của bài toán bằng biểu đồ Gantt . . . . . . . . . . . . . .

45


7

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ
Các khái niệm, nội dung được trình bày sau đây nhằm phục vụ cho nội
dung trong khuôn khổ luận văn. Để tìm hiểu thêm các kiến thức về đồ thị,
độc giả có thể tham khảo các tài liệu trong mục tài liệu tham khảo.

1.1.1 Các định nghĩa và thí dụ
Định nghĩa 1.1.1. Một đồ thị vơ hướng G = (V; E) được xác định bởi:
V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh,
E là tập các cặp đỉnh (không thứ tự), được gọi là cạnh. Hai đỉnh
thuộc một cạnh được gọi là các đầu mút của cạnh đó.
Trong khuôn khổ luận văn, ta xét các đồ thị hữu hạn, tức là có tập
hợp đỉnh hữu hạn.


8
Nếu giữa hai đỉnh bất kỳ có khơng q một cạnh thì G được gọi là
một đồ thị đơn.
Định nghĩa 1.1.2. Một đồ thị có hướng G = (V; E) được xác định bởi:
V là một tập khác rỗng gồm các đỉnh,

E là một tập gồm các cạnh có hướng (hay cung), mỗi cạnh đi từ
một đỉnh đầu tới một đỉnh cuối.
Nếu với hai đỉnh u; v bất kỳ, có nhiều nhất một cạnh đi từ u tới v thì
G được gọi là một đồ thị đơn có hướng.
Nếu (a; b) 2 E thì (a; b) được gọi là cạnh (cung) của G với đỉnh đầu là
a, đỉnh cuối là b và có hướng đi từ a tới b.
Ví dụ 1.1.1. a. Đồ thị vô hướng G = (V; E) trong đó:
V = fa; b; c; d; e; fg,
E = f(a; b); (a; e); (b; e); (c; d)g (Hình
1.1.a) b. Đồ thị có hướng G = (V; E) trong đó:
V = fa; b; c; d; e; fg,
E = f(a; b); (b; e); (c; d); (d; c); (e; a); (f; f)g (Hình 1.1b)
Đồ thị G = (V; E) được gọi là đồ thị có trọng số (hay trọng đồ), nếu
mỗi cạnh có một trọng số kết hợp, thường được cung cấp bởi một
hàm trọng số w : E ! R.
Ví dụ 1.1.2. a. Đồ thị vô hướng G = (V; E) trong đó:
V = fa; b; c; d; e; fg,
E = f(a; b); (a; e); (b; e); (c; d)g


9

(a) Đơn đồ thị vơ hướng

(b) Đơn đồ thị có hướng

Hình 1.1: Đơn đồ thị vơ hướng(a) và có hướng(b)

và w(a; b) = 3; w(a; e) = 4; w(b; e) = 4:5; w(c; d) = 6 (Hình 1.2a)
b. Đồ thị có hướng G = (V; E) trong đó:

V = fa; b; c; d; e; fg,
E = f(a; b); (b; e); (c; d); (d; c); (e; a); (f; f)g
w(a; b) = 1:5; w(b; e) = 2; w(c; d) = 5,w(d; c) = 3:2; w(e; a) = 4; w(f; f)
= 8 (Hình 1.2b)

(a)

(b)

Hình 1.2: Đơn đồ thị vơ hướng có trọng số(a) và có hướng có trọng số (b)

Định nghĩa 1.1.3. Một đồ thị con của đồ thị G là một đồ thị H = (W; F )
sao cho W V; F E.
Tiếp sau đây là một số thuật ngữ cơ bản của lý thuyết đồ thị.


10
Trước tiên, ta xét các thuật ngữ mô tả các đỉnh và các cạnh của đồ thị
vô hướng. Nếu (u; v) là một cạnh nằm trong đồ thị G = (V; E) ta nói
đỉnh v kề với đỉnh u. Trong đồ thị vô hướng, quan hệ kề là đối xứng.
Nếu e = (u; v) là cạnh của đồ thị ta nói cạnh này là liên thuộc với hai
đỉnh u và v, hoặc cũng nói là nối đỉnh u và đỉnh v, đồng thời các đỉnh u
và v sẽ được gọi là các đỉnh đầu của cạnh (u; v).
Để biết có bao nhiêu cạnh liên thuộc với một đỉnh, ta dựa vào định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.4. Bậc của một đỉnh trong một đồ thị vô hướng là số lượng các

cạnh liên thuộc trên nó.
Ký hiệu: deg(v).
Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v) = 0.
Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu deg(v) = 1.

Ta xét các thuật ngữ tương tự cho đồ thị có hướng
Tương tự với đồ thị vơ hướng, ta có khái niệm về quan hệ kề đối với đồ
thị có hướng. Và trong một đồ thị có hướng, quan hệ kề khơng nhất thiết
đối xứng. Nếu v kề với u trong một đồ thị có hướng, đơi lúc ta viết u ! v.
Nếu (u; v) là một cạnh trong một đồ thị G = (V; E) , ta nói rằng (u; v) liên
thuộc từ (incident from) đỉnh u và liên thuộc đến (incident to) đỉnh v.
Định nghĩa 1.1.5. Trong một đồ thị có hướng, bậc đi ra của một đỉnh là số
lượng cạnh rời khỏi nó, bậc đi vào của một đỉnh là số lượng cạnh nhập vào nó.
Bậc của một đỉnh trong đồ thị có hướng là bậc đi ra cộng bậc đi vào của nó.

Hay ta cịn có thể viết dưới dạng sau:
Giả sử G = (V; E) là một đồ thị có hướng và v 2 V . Kí hiệu:


11
+

d (v) = fx 2 V j(v; x) 2 Eg
d (v) = fy 2 V j(y; v) 2 Eg
+

Khi đó jd (v)j được gọi là bậc đi ra, jd (v)j được gọi là bậc đi vào của v.
+

d(v) = d (v) + d (v)
+

Đỉnh v được gọi là đỉnh cô lập nếu d (v) + d (v) = 0.
+

Đỉnh v được gọi là đỉnh treo nếu d (v) + d (v) = 1.

1.1.2 Biểu diễn đồ thị
Biểu diễn đồ thị trên mặt phẳng là một biểu diễn cho ta phép nhìn nhận
đối tượng này một cách khá trực quan. Tuy nhiên, ta vẫn cần tới các biểu
diễn khác của đồ thị để đáp ứng các đòi hỏi khác nhau của các ứng
dụng. Và có hai cách thường dùng để biểu diễn một đồ thị G = (V; E) : sử
dụng một danh sách kề hoặc sử dụng một ma trận kề. Phép biểu diễn
danh sách kề cung cấp một cách gắn gọn để biểu diễn các đồ thị thưa 2

là những đồ thị mà jEj nhỏ hơn nhiều so với jV j . Phép biểu diễn ma trận
2

kề được ưa dùng khi đồ thị là trù mật -jEj sát với jV j hoặc khi ta cần
nhanh chóng biết một cạnh nối hai đỉnh đã cho hay không.

Biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề
Trong khoa học máy tính, danh sách kề là một cấu trúc dữ liệu gắn bó
chặt chẽ với việc biểu diễn đồ thị.
Phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị G = (V; E) gồm một mảng Adj có
độ lớn là jV j, ứng với các đỉnh của V . Với mỗi đỉnh u của đồ thị, ta cho tương
ứng với nó một danh sách các đỉnh kề với u, nghĩa là sao cho có cạnh


12
(u; v) 2 E.
Nếu G là một đồ thị có hướng thì tổng các chiều dài của tất cả các danh
sách kề là jEj, bởi mỗi cạnh (u; v) thể hiện v xuất hiện trong Adj[u].

Nếu G là một đồ thị vơ hướng thì tổng các chiều dài của tất danh sách

kề là 2jEj, vì nếu (u; v) là một cạnh vơ hướng thì u xuất hiện trong
danh sách kề của v và ngược lại.
Danh sách kề có thể thay đổi để biểu diễn đồ thị có trọng số. Khi đó, trọng
số w(u; v) của cạnh (u; v) được lưu trữ với đỉnh v trong danh sách kề của u.

Một nhược điểm của phép biểu diễn danh sách kề đó là để xác định
xem một cạnh đã cho (u; v) có tồn tại trong đồ thị hay khơng, ta khơng
cịn cách nào nhanh hơn là tìm kiếm v trong danh sách kề Adj[u].Có
thể khắc phục nhược điểm này bằng một phép biểu diễn ma trận kề
của đồ thị, để đổi lại, ta phải dùng nhiều bộ nhớ hơn.
Ví dụ 1.1.3. Hai phép biểu diễn đồ thị vơ hướng Hình 1.1a.

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.3: Hai phép biểu diễn đồ thị vơ hướng trong hình 1.1a

Ví dụ 1.1.4. Hai phép biểu diễn của đồ thị có hướng Hình 1.1b


13

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.4: Hai phép biểu diễn đồ thị có hướng trong hình 1.1b

Biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề

Xét đơn đồ thị vô hướng G = (V; E) với tập đỉnh V = fv1; v2; : : : ; vng. Khi đó

ma trận kề của đồ thị G là ma trận

1

0
a11 a12 : : : a1n
B
B
B

A = (aij )n

n

=

a21 a22 : : : a2n

C

B

C

B

C

a

n1

trong đó:

8
>

>1; nếu (vi; vj ) 2 E

<
>

>0; nếu (vi; vj ) 2= E

:

C
C

B

@

aij =

C

a

n2

::: a

nn

A


14
Dễ thấy rằng ma trận kề A của đồ thị có hướng G hồn tồn xác định G.
Vì vậy, ma trận kề được coi là một biểu diễn của G. Ta có một số tính chất:

Tính chất 1.1.1. i. Ma trận kề của đồ thị vô hướng là một ma trận đối xứng.
ii. Tổng các phần tử trên dòng i (cột j) bằng bậc của đỉnh tương ứng.
Cũng tương tự phép biểu diễn danh sách kề của một đồ thị, phép
biểu diễn ma trận kề có thể được dùng cho các đồ thị có trọng số. Khi
đó, nếu G là một đồ thị có trọng số, ta có ma trận
A = (aij )n n
trong đó:
8
>

>w(vi; vj ); nếu (vi; vj ) 2 E

a =
ij

<

>

>0;

:

nếu (vi; vj ) 2= E

Ví dụ 1.1.5. Ví dụ về danh sách kề và ma trận kề có trọng số cho đồ thị trong

ví dụ 1.2a.

(a) Biểu diễn danh sách kề của G

(b) Biểu diễn ma trận kề của G

Hình 1.5: Hai phép biểu diễn đồ thị có trọng số trong hình 1.2a


15

1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ TÍNH LIÊN THƠNG
1.2.1 Đường đi và chu trình
Xét một đồ thị vơ hướng
Giả sử G = (V; E) là một đồ thị vô hướng. Một đường đi trong G là một
dãy v0e1v1e2v2 : : : envn sao cho:
+ Với mọi i = 0; 1; 2; ::; n; vi 2 V ,
+ Với mọi i = 1; 2; : : : ; n; ei 2 E và ei = (vi 1; vi) hoặc ei = (vi; vi 1).
Khi đó, n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn
được gọi là đỉnh cuối của đường đi trên.

Một chu trình là một đường có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Một đường đi đơn (chu trình đơn) là một đường đi (chu trình) không đi
qua cạnh nào quá một lần.
Xét một đồ thị có hướng
Hồn tồn tương tự, ta có các định nghĩa với đồ thị có hướng.
Giả sử G = (V; E) là một đồ thị có hướng. Một đường đi trong G là một
dãy v0e1v1e2v2 : : : envn sao cho:
+ Với mọi i = 0; 1; 2; ::; n; vi 2 V ,
+ Với mọi i = 1; 2; : : : ; n; ei 2 E và ei = (vi 1; vi).
Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh vn được gọi là
đỉnh cuối của đường có hướng trên. Một đường đi đơn (chu trình đơn) là một


16
đường đi (chu trình) khơng đi qua cạnh nào q một lần.
Trong trường hợp đồ thị có hướng, xét một đường đi v 0e1v1e2v2 : : :
envn, mỗi cạnh ei đều có đỉnh đầu là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh
đứng sau ei trong dãy, tức là nó được xác định bởi chính hai đỉnh đó.
Vì vậy, khi đồ thị khơng có cạnh bội, ta biểu diễn đường đi bằng dãy các
đỉnh, bỏ qua các cạnh, và đơn giản gọi dãy các đỉnh v 0v1v2 : : : vn của G là
đường đi trong G nếu với mọi i = 0; 1; ::::; n 1; (vi; vi+1) là một cạnh của G.

Ví dụ 1.2.1. Giả sử G = (V; E) là đồ thị có hướng như hình 1.6. Khi đó:
a. a ! b ! f ! e ! b ! c là một đường đi có hướng với đỉnh đầu là a, đỉnh
cuối là c với độ dài bằng 5.
b. a ! b ! e ! d ! c ! b ! e ! f là một đường đi vô hướng với đỉnh đầu là a,
đỉnh cuối là f với độ dài bằng 7.
c. b ! f ! e ! b là một đường đi có hướng khép kín.
d. b ! e ! d ! c ! b là một đường đi vơ hướng khép kín.

Hình 1.6: Ví dụ về một đồ thị có hướng


17

1.2.2 Tính liên thơng
Xét một đồ thị vơ hướng
Định nghĩa 1.2.1. Một đồ thị G = (V; E) được gọi là liên thông nếu với
hai đỉnh vivà vj khác nhau bất kỳ của G đều tồn tại một đường đi đơn
trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj .
Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông.
Một thành phần liên thông của G là một đồ thị con liên thông cực đại
(theo nghĩa bao hàm) của G.
Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.1. Với mọi cặp đỉnh u; v khác nhau, các thành phần liên
thông chứa u và chứa v hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau. Chúng trùng
nhau khi và chỉ khi u và v được nối với nhau bởi một đường đi.
Xét một đồ thị có hướng
Định nghĩa 1.2.2. Một đồ thị G = (V; E) được gọi là liên thông yếu (liên
thông) nếu với hai đỉnh vi và vj khác nhau bất kỳ của G đều tồn tại một
đường đi đơn trong G với đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj .
Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là khơng liên thơng.
Ngồi ra, ta có định nghĩa liên thơng mạnh cho đồ thị có hướng.
Định nghĩa 1.2.3. Một đồ thị G = (V; E) được gọi là liên thông mạnh
nếu với hai đỉnh bất kỳ khác nhau vi và vj , tồn tại cả đường đi với đỉnh
đầu là vi, đỉnh cuối là vj và đường đi với đỉnh đầu là vj , đỉnh cuối là vi.


18
Nhận xét 1.2.1. Một đồ thị liên thơng mạnh thì liên thông. Điều ngược lại chưa

chắc đúng.
Như vậy hai máy tính bất kỳ trong mạng có thể trao đổi thơng tin được
với nhau khi và chỉ khi đồ thị tương ứng với mạng này là đồ thị liên thơng.

Ví dụ 1.2.2. Đồ thị trong hình 1.1a là đồ thị vơ hướng không liên thông.


19

CHƯƠNG 2

BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI
NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ
THỊ
Một trong số các bài toán quan trọng của lý thuyết đồ thị là bài tốn tìm
đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong một đồ thị. Trong thực tế, bài toán
này có một ý nghĩa to lớn, vì nhiều bài tốn có thể đưa về dạng bài tốn tìm
đường đi ngắn nhất. Ví dụ, bài tốn chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo
khoảng cách hoặc thời gian hoặc chi phí) trên một mạng giao thông đường
bộ, đường thủy hoặc đường khơng, bài tốn lập lịch thi cơng các cơng đoạn
trong một cơng trình lớn, bài tốn lựa chọn đường truyền tin với chi phí nhỏ
nhất trong mạng thơng tin,. . . Và để giải quyết những bài tốn đó, các thuật
toán được xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật tốn
có hiệu quả. Trong chương này chúng ta sẽ xét một số thuật toán như vậy.


20

2.1 BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Cho một đồ thị có hướng có trọng số G = (V; E; w). Độ dài một đường đi

p = (v0v1:::vk) được định nghĩa bởi:
Pk
w(p) =

1 w(vi 1; vi)

Ta định nghĩa khoảng cách đường đi ngắn nhất (u; v) từ u đến v bởi cơng thức:

8
>

(u; v) =

>min w(p); nếu có một lộ trình từ u đến v <
>

>1;

:

nếu khơng có một lộ trình từ u đến v

Khi đó, một đường đi p từ u đến v là ngắn nhất nếu w(p) = (u; v).
Ta có thể có các dạng của bài tốn:
1. Cho trước 2 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất giữa chúng.
2. Cho trước 1 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến các
đỉnh cịn lại.
3. Cho trước 1 đỉnh. Tìm một đường đi ngắn nhất từ mỗi đỉnh đến đỉnh đó.

4. Tìm một đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh.
Ta dễ dàng nhận thấy, bài toán thứ hai và thứ ba là bài tốn ngược
của nhau, nên độ khó là tương đương.
Bài tốn thứ nhất là trường hợp con của bài toán thứ hai, và bài toán
thứ hai là trường hợp con của bài toán thứ tư.
Tuy nhiên, ta sẽ thấy rằng thực chất việc giải bài tốn thứ nhất khơng đơn giản


21
hơn giải bài tốn thứ hai, vì muốn tìm đường ngắn nhất giữa hai đỉnh,
ta vẫn phải khảo sát cả đồ thị.
Ngược lại, việc giải bài toán thứ hai lại thực sự đơn giản hơn bài toán thứ tư,
và một trong những thuật tốn có độ phức tạp thấp để giải bài toán thứ tư là
gọi n lần bài toán thứ hai, mỗi lần chọn đỉnh nguồn là một đỉnh của đồ thị.

2.2 THUẬT TỐN DIJKSTRA
Thuật tốn Dijkstra được mang tên nhà khoa học máy tính người
Hà Lan Edsger Dijkstra vào năm 1956 và công bố năm 1959, là một
thuật toán giải quyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong
một đồ thị có hướng liên thơng khơng có cạnh mang trọng số âm.
Dữ kiện của bài toán quy về việc xét bài toán thứ nhất.
Trong phần này, ta sẽ tập trung vào mơ tả thuật tốn và chứng minh tính
đúng đắn của thuật tốn. Độ phức tạp sẽ thừa nhận, khơng chứng minh.

2.2.1 Mơ tả thuật tốn
Thuật tốn áp dụng cho các đồ thị liên thơng có trọng số khơng âm.
Trong thuật tốn này, ở mỗi bước, ta đã xét thêm được một đỉnh v, xác
định được đường đi ngắn nhất từ s đến v. Mục đích của việc cập nhật
là để xét các đỉnh lân cận u với v xem đường đi mới từ s đến u và

thơng qua v có ngắn hơn đường đi cũ hay khơng, nếu ngắn hơn thì ta
thay thế nó cho đường đi cũ, và v sẽ được gán cho p[u].