Tài liệu Hai quy tắc đếm cơ bản doc

HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
D FG E

I. LÝ THUYẾT
I.1. Quy tắc cộng

I.1.1 Ví dụ
Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà
trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến trong lớp 11A hoặc lớp 12B.
Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học
sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?
Giải
Nhà trường có hai phương án chọn. Phương án thứ nhất là chọn một học
sinh tiên tiến của lớp 11A, mà lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến nên có 31
cách chọn. Phương án thứ hai là chọn một học sinh tiên tiến của lớp 12B, mà
lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến nên có 22 cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng
nhà trường có 31+22=53 cách chọn.
I.1.2 Định nghĩa
Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương
án B. Có n cách thực hiện phương án A và có m cách thực hiện theo phương
án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong k phương án A
1
,
A
2
, …, A
k
. Có n

1
cách thực hiện phương án A
1
, n
2
cách thực hiện phương án
A
2
, … và n
k
cách thực hiện phương án A
k
. Khi đó công việc có thể được
thực hiện bởi n
1
+ n
2
+ … + n
k
cách.
I.1.3. Ví dụ
Giả sử đi từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu
hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa,
3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A
đến tỉnh B trong một ngày?
Giải
Người đi sẽ có bốn phương án chọn. Phương án thứ nhất là đi bằng ô tô,
mà mỗi ngày có 10 chuyến ô tô nên phương án này có 10 cách chọn. Tương
tự, phương án thứ hai là đi bằng tàu hỏa có 5 cách chọn, phương án thứ ba là
đi bằng tàu thủy có 3 cách chọn, phương án thứ tư là đi bằng máy bay có 2

cách chọn. Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + 5 + 3 + 2=20 cách chọn.
I.1.4. Lưu ý
Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp
không giao nhau:
Nếu tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B không giao nhau.Khi đó thì số phần tử
của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B, tức là:
∪
| A B| = |A| + |B|.
∪
Tuy nhiên trong nhiều bài toán , chúng ta phải tính số phần tử của hai tập
hợp A và B có giao khác rỗng. Nếu trong trường hợp này ta vẫn lầy số phần
tử của tập A cộng với số phần tử của tập B thì khi đó số phần tử của A B sẽ
được tính hai lần. Cho nên, đối với trường hợp này ở kết quả chúng ta phải
trừ đi số phần tử của A B. Vậy:
∩
∩
Nếu cho tập hợp hữu hạn bất kỳ A và B giao nhau khác rỗng.Khi đó thì số
phần tử của A B bằng số phần tử của A cộng với số phần tử của B rồi trừ
đi số phần tử của A
∩
B, tức là:
∪
| A B| = |A| + |B| - | A
∪ ∩
B|.
Quy tắc trên gọi là quy tắc cộng mở rộng.
I.2. Quy tắc nhân

I.2.1 Ví dụ
Lộc muốn qua nhà Phúc để cùng Phúc lại chơi nhà Trung. Từ nhà Lộc đến

nhà Phúc có 4 con đường đi, từ nhà Phúc tới nhà Trung có 6 con đường đi.
Hỏi Lộc có bao nhiêu cách chọn đi đến nhà Trung
Giải





Nhà Lộc Nhà Phúc Nhà Trung

Vì từ nhà Lộc tới nhà Phúc có 4 con đường đi nên có 4 cách chọn. Với mỗi
cách đi từ nhà Lộc tới nhà Phúc thì sẽ có 6 cách đi tiếp từ nhà Phúc tới nhà
Trung (vì từ nhà Phúc qua nhà Trung có 6 con đường đi). Vậy có 4.6=24
cách đi từ nhà Lộc qua nhà Phúc đến nhà Trung.

I.2.2 Định nghĩa
Quy tắc nhân cho công việc với hai công đoạn được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A
có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B
có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo nm cách.
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn được phát biểu như sau:
Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A
1
, A
2
, …, A
k.
Công
đoạn A
1

có thể làm theo n
1
cách, công đoạn A
2
có thể làm theo n
2
cách, …,
công đoạn A
k
có thể làm theo n
k
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo n
1
n
2
…n
k
cách.
I.2.3. Ví dụ

Ví dụ 1
Tình đến văn phòng phẫm mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt
hàng: bút, vở và thướt, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở, 3 loại thước. Hỏi
Tình có bao nhiêu cách chọn món quà gồm một bút,một vở và một thước?
Giải
Một món quà phải có một bút, một vở và một thước.
Một bút được chọn từ 5 loại bút nên có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn một bút, một vở được chọn từ 4 loại vở nên có 4
cách chọn.

Ứng với mỗi cách chọn một bút và một vở, một thước được chọn từ 3 loại
thước nên có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà.

Ví dụ 1

Từ các số tự nhiên có thể lập được bao nhiêu tờ vé số mà mỗi vé có 6 chữ
số khác nhau?
Giải
Gọi A=
{}

9,8,7,6,5,4,3,2,1,0
6 số của tờ vé số có dạng
abcdef
với a,b,c,d,e,f
∈
A
a được chọn từ tập A có 10 phần tử nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A\
{ }
a
có 9 phần tử nên có 9
cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a và b, c được chọn từ tập A\
{ }
ba,
có 8 phần tử nên
có 8 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b và c, d được chọn từ tập A\

{ }
cba ,,
có 7 phần tử
nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b, c và d, e được chọn từ tập A\
{ }
dcba ,,,
có 6 phần
tử nên có 10 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b,c,d và e, f được chọn từ tập A\ có 5
phần tử nên có 5 cách chọn.
{}
edcba ,,,,
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 10.9.8.7.6.5 = 151200 cách chọn.
II. BÀI TẬP

II.1 Phương pháp giải

II.1.1 Sử dụng qui tắc cộng để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc cộng trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Phân tách cách giải quyết một công việc thành k phương án độc lập
với nhau: A
1,
A
2,
… ,A
k
.
Bước 2: Nếu:
A

1
có n
1
cách khác nhau.
A
2
có n
2
cách khác nhau.
…….
A
k
có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
+ n
2
+ … + n
k
cách
II.1.2 Sử dụng qui tắc nhân để giải bài toán đếm.
Để sử dụng qui tắc nhân trong bài toán đếm, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Phân tách một công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp:
A
1,
A
2,
… ,A

k
.
Bước 2: Nếu:
A
1
có n
1
cách khác nhau.
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,
A
2
có n
2
cách khác nhau.
…….
Ứng với mỗi cách thực hiện A
1,…,
A
k-1
thì A
k
có n
k
cách khác nhau.
Bước 3: Khi đó, ta có n
1
. n
2
.

… n
k
cách.
Chú ý:
• Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết được rằng
bài đó phải dùng qui tắc cộng hay qui tắc nhân. Thông thường, nếu một
bài toán mà công việc có thể giải quyết theo nhiều phương án hay có
nhiều trường hợp xảy ra thì ta thường dùng qui tắc cộng, còn nếu bài toán
mà công việc được thực hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều
công đoạn hay là trường hợp nhỏ này liên kết với trường hợp nhỏ kia thì
ta thường dùng qui tắc nhân.
• Trong nhiều trường hợp chúng ta cần kết hợp cả hai qui tắc để giải bài
toán đếm.
II.2. Bài tập vận dụng

II.2.1. Các bài toán sử dụng qui tắc cộng (qui tắc cộng mở rộng).
Bài 1
Giả sử bạn muốn mua một cái áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu
khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn
(về màu và cỡ áo)?