(Sáng kiến kinh nghiệm) vận dụng bất đẳng thức côsi vào giải một số bài toán tìm GTLN,GTNN

Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GTLN, GTNN
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bất đẳng thức Cô-si là bất đẳng thức rất quan trọng trong toán học, áp dụng
nhiều trong bài tập chứng minh bất đẳng thức và những bài tập tìm giá trị lớn nhất
(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức.
Nhưng bất đẳng thức Côsi khơng được đề cập trong sách giáo khoa tốn THCS
mà chỉ có trong một bài tập của sách bài tập tốn 9.
Hệ quả của bất đẳng thức Cơsi cũng khơng kém phần quan trọng, áp dụng rất
nhiều vào việc tìm GTLN, GTNN của một biểu thức. Nhưng hệ quả của bất đẳng
thức Cơ-si khơng được đề cập trong sách tốn THCS. Đối với giáo viên nhất là
giáo viên dạy nâng cao hoặc bồi dưỡng không thể bỏ qua được việc nghiên cứu và
áp dụng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của nó cho các bài tập tốn ở lớp 9.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, học sinh
cũng có thể gặp bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bất đẳng
thức Cơsi.
Với mong muốn có được một tài liệu để dạy cho học sinh ở THCS tơi sưu tầm,
tuyển chọn một số bài tốn tìm GTLN, GTNN ở bậc THCS và viết thành đề tài:
“Vận dụng bất đẳng thức Côsi vào giải một số bài tốn tìm GTLN, GTNN” để
góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn tốn tại trường THCS.
II. NỘI DUNG
a) Bất đẳng thức Côsi : Với hai số không âm thì trung bình cộng ln lớn hơn
hoặc bằng trung bình nhân của nó.
ab
 ab . Dấu “ = ” xảy ra  a = b
Cụ thể: Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì
2

b) Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi
hai số đó bằng nhau.

S2
Cụ thể: a  b  2 ab mà a + b = S không đổi nên S  2 ab  a.b 
.
4
S2
a b.
Vậy max a.b =
4
c) Hệ quả 2: Nếu tích của hai số dương khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi
hai số đó bằng nhau.
Cụ thể: a  b  2 ab mà a.b = P không đổi nên a  b  2 P .
Vậy min (a + b) = 2 P  a  b
d) Mở rộng với 3 số: Với a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 thì
 a = b = c.

1

a bc 3
 abc . Dấu “ = ” xảy ra
3


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017

III. ÁP DỤNG

1) Một số bài toán đại số vận dụng bất đẳng thức Cơsi
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức : M =

a2  a  2

a2  a 1
Giải

Ta có: M =
Vì

a2  a  2
a2  a 1



a2  a 1  0 ;

2
M = a  a 1 +

a2  a 1

 a2  a 1 

1

a2  a 1 a2  a 1
a 2  a 1
1

 0 nên áp dụng BĐT Cơ-si ta có:
2
a  a 1

1
a  a 1
2

1



với mọi giá trị của a.

2

2
Dấu “ = ” xảy ra khi: a  a  1 

a 2  a  1.

1
a  a 1
2

 2 . Vậy min M = 2

a  0
 a 2  a  1  1  a(a  1)  0  
a2  a 1

a  1
1

Ví dụ 2: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2011-2012)
25
Cho các số a, b, c đều lớn hơn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4
a
b
c
Q


.
2 b 5 2 c 5 2 a 5
Giải
Do a, b, c >

25
(*) nên suy ra: 2 a  5  0 , 2 b  5  0 , 2 c  5  0
4

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương, ta có:
a
 2 b  5  2 a (1)
2 b 5
b
 2 c  5  2 b (2)
2 c 5

c
 2 a  5  2 c (3)
2 a 5
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có: Q  5.3  15 .

Dấu “ = ” xẩy ra  a = b = c = 25 (thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15  a = b = c = 25
Ví dụ 3:
Cho P =

8
với -3< x < 5. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
(x  3)(5  x)

2


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017

Giải
Ta giải bài này bằng cách dùng hệ quả 1 của BĐT Cô-si:
Đặt A= (x  3)(5  x) . Nhận xét P > 0 nên P đạt min khi A đạt max khi và chỉ khi
(x+3)(5 – x) đạt max. Xét tổng (x+3) +(5 – x) = 8 là số không đổi.
Vậy tích (x+3)(5 – x) đạt max  x+3 = 5 – x  2x = 2  x = 1(TMĐK).
Thay x = 1 vào P  min P = 2 khi x = 1
Ví dụ 4:

x 2  72

Cho biểu thức: N 
(x > 0). Tìm x để N đạt giá trị nhỏ nhất.
3x
Giải

x 2  72 x 24
x
24
N
  . Vì  0 ;  0 nên áp dụng hệ quả 2 của BĐT Cơ-si.
3x
3 x
3
x
Xét tích

x 24
x 24
x 24
.  8 không đổi  
 x  6 2 (vì x > 0)
đạt min  
3 x
3 x
3 x

Thay x  6 2 vào N ta có min N  4 2  x  6 2 .
Ví dụ 5: Tìm GTNN của:
1
(x  1)

a) A  x 
x 1

3 x
0  x  1)
b) B  
x 1 x
Giải

a) Ta biến đổi A để áp dụng được BĐT Côsi cho hai số dương: x  1 và
Ta có : A  (x  1) 

1
x 1

1
1
1
 2 (x  1).
2
 1 . Theo BĐT Cô-si: (x  1) 
x 1
x 1
x 1

Vậy A  2  1  3  min A = 3  x  1 

1
 (x  1)2  1  x  2 (loại x = 0 vì x>1)
x 1

b) Ta biến đổi B sao cho áp dụng được BĐT Cô-si
3 x
3
x
3(1  x) x
B 
 3
3

3.
x 1 x x
1 x
x
1 x
3(1  x)
x
 0 và
0
Vì 0 < x < 1 nên
x
1 x
3(1  x) x

2 3
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
x
1 x
3(1  x)
x


Vậy B  2 3  3 . Suy ra min B  2 3  3 
x
1 x

3


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017


3 3
 x1 
2
3 3
 2 x2  6 x  3  0  
B  2 3 3  x 
Vậy
min

3 3
2
 1 (loại)
 x2 

2
Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2016-2017)
Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

7
F   2a  2b  3 a 3  b3 
.
(a  b)2





Giải
Vì a, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

a  b  2 ab  2  2a  2b  2(a  b)  4  2a  2b  3  0 (do ab = 1)
3
3
3
Mặt khác, ta có: a  b  2 (ab)  2 (do ab = 1)

 (2a  2b  3)(a3  b3 )  2(2a  2b  3)  4(a  b)  6
Khi đó ta có: F  4(a  b) 

 3. 3

7
7(a  b) 7(a  b)
7
18(a  b)
6 




6
2
2
(a  b)
8
8
(a  b)
8

7(a  b) 7(a  b) 7
18
21 18
15
.
.

.2
ab

6



6

8
8 (a  b)2 8
4 4
4

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng

15
. Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b =1
4

Ví dụ 7: Cho a, b > 0 cho trước. Các số x, y > 0 thay đổi sao cho

a b
  1.
x y

Tìm x, y để S = x + y đạt giá trị nhỏ nhất theo a, b.
Giải
Ta có:

a b
a b
bx ay
  1 S   x  y    a  b 

x y
x
y
y
x



 S  ab2

bx ay
.
 a  b  2 ab
y x
2

x
ay bx
a
x
 min S  a  b  2 ab 

    
x
y
b
y
 y


a b
 x  a  ab


1


Mà

x y

 y  b  ab

4

a
b


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017

2
1
 với 0 < x < 1
1 x x
Giải
2
1 2  2x  2x 1 x  x
 

Ta có: y =
( 0 < x < 1)
1 x x
1 x
x
Ví dụ 8 : Tìm GTNN của hàm y =

2x 1 x
2x 1  x

 3 2
.
 3 2 2
1 x
x
1 x x
2x 1  x

 x  2 1
Dấu “ = ” xẩy ra 
1 x
x

= 3

2) Một số bài tốn hình học vận dụng bất đẳng thức Cơsi
Ví dụ 1: ( Bài 67 SBT Toán 9 – Tập 1)
a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn nhất;
b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vng có chu vi bé nhất.
Giải
b
Gọi a, b là kích thước của hình chữ nhật. Ta có a >0, b >0.
ab
a
 ab
Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
2

ab
a) Với các hình chữ nhật có cùng chu vi thì
khơng đổi (bằng một phần tư
2
ab
chu vi). Suy ra ab đạt giá trị lớn nhất bằng
khi a = b. Điều này có nghĩa là
2
trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vng có diện tích lớn nhất.

ab
2
đạt giá trị nhỏ nhất bằng ab khi a = b. Điều này có nghĩa là trong các hình chữ
nhật có cùng diện tích thì hình vng có chu vi bé nhất.
b) Với các hình chữ nhật có cùng diện tích thì tích a.b khơng đổi nên ta có:

Ví dụ 2: ( Bài tập 95 SBT Tốn 9 – Tập 1)
a) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương
có thể tích lớn nhất;
b) Trong các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba
kích thước bé nhất.
Giải

c

Gọi a, b,c là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có a > 0, b > 0, c > 0.
a
5

b


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn
Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

Năm học : 2016-2017

a bc 3
 abc
3

a) Với các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì

abc
khơng đổi.
3

abc
khi a = b = c. Điều này có nghĩa là
3
trong các hình hộp chữ nhật có cùng tổng ba kích thước thì hình lập phương có thể
tích lớn nhất.
Suy ra

3

abc đạt giá trị lớn nhất bằng

b) Với các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì tích a.b.c khơng đổi nên ta có:

abc
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 abc khi a = b = c. Điều này có nghĩa là trong
3
các hình hộp chữ nhật có cùng thể tích thì hình lập phương có tổng ba kích thước
bé nhất.
Ví dụ 3: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2006-2007)
Từ điểm S ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp
điểm). Cát tuyến qua S (cắt bán kính OB) cắt đường tròn tại M, N. Qua O, vẽ
đường thẳng vng góc với OS cắt các tia SA, SB thứ tự tại E, F. Khi đường tròn
(O; R) và đường thẳng MN cố định, tìm vị trí của S trên đường thẳng MN để diện
tích tam giác SEF nhỏ nhất.
Giải
Ta có: SSEF = 2.SSOE = SE.OA = (SA+AE).R
SSEF đạt giá trị nhỏ nhất  SA+AE đạt giá trị nhỏ nhất.
Theo hệ thức lượng trong ∆SOE vng tại O

E

Ta có: SA. AE = OA2 = R2 ( không đổi )

A

Nên SA + AE nhỏ nhất  SA = AE = R
(theo hệ quả 2 bất đẳng thức Cô-si )

S

O

 ∆SOE vuông cân tại E và ∆SOA vuông

cân tại A  SA = OA = R  OS  R 2 .

M
N

Vậy S là giao điểm của đường tròn tâm O,
F

bán kính R 2 với đường thẳng MN.

B

Ví dụ 4: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2007-2008)
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính BC = 2R khơng đổi. Vẽ hai dây BM, CN
sao cho cắt nhau tại H. Tia BN cắt CM tại A. Tìm vị trí của điểm P trên trên đoạn
thẳng BC để tích PH. PA đạt giá trị lớn nhất.
6


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017
Giải

Ta có: ∆PBH ∽∆PAC(g-g) 

A

PH PB


 PH.PA  PB.PC
PC PA

 PH.PA đạt giá trị lớn nhất  PB.PC đạt giá trị lớn nhất.

Mà PB + PC = BC = 2.OB = 2.R ( không đổi )
N
 PB.PC đạt giá trị lớn nhất  PB = PC = R
(theo hệ quả 2)  P ≡ O.
Vậy P ≡ O thì PH.PA lớn nhất và Max PH.PA = R2. B

M
H
P O

C

Ví dụ 5: ( Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2009-2010)
Cho đường trịn tâm O có các đường kính MN, PQ (PQ không trùng MN).
Các tia NP, NQ cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tâm O thứ tự ở E, F.
Khi MN cố định, PQ thay đổi, tìm vị trí của E và F khi diện tích tam giác NEF đạt
giá trị nhỏ nhất.
N
Giải
1
Ta có : SNEF  .MN.EF . Do MN không đổi
P
2
nên SNEF đạt giá trị nhỏ nhất

O
 EF đạt giá trị nhỏ nhất. Theo hệ thức Q
lượng trong ∆NEF vng tại N, ta có:
F
ME.MF = MN2 khơng đổi.
M
2
2
Mà ME + MF = EF  EF  (ME  MF)  4.ME.MF  4MN2 (theo bđt Cô-si)

E

 EF  2MN (do EF > 0). Do đó Min EF = 2MN  ME = MF = MN.
Vậy vị trí của E và F cùng cách tiếp điểm M một khoảng bằng MN khi MN cố
1
định, PQ thay đổi thì SNEF đạt giá trị nhỏ nhất. Min SNEF  .MN.EF  MN 2
2

Ví dụ 6: (Đề thi vào lớp 10 THPT Hà Tĩnh 2012-2013)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D ∈
BC, E ∈ AC).Gọi F là giao điểm của tia CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
AD BE CF


.
thức: Q 
A
HD HE HF
Giải
Đặt SBHC = S1, SAHC = S2, SAHB = S3, SABC = S.

E
Vì ∆ABC nhọn nên trực tâm H nằm bên trong ∆ABC, F
do đó: S = S1 + S2 + S3 .
H
AD SABC S


Ta có:
(1)
HD SBHC S1
D
B
C
7


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

BE SABC S


HE SAHC S2

(2)

CF SABC S


HF SAHB S3

(3)

Năm học : 2016-2017

Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:

1 1 1
AD BE CF S S S


    S   
HD HE HF S1 S2 S3
 S1 S2 S3 
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 3 số dương, ta có:
1
1
1
3



S  S1  S2  S3  3 3 S1.S2 .S3 (4) ;
S1 S2 S3 3 S1.S2 .S3
Q

(5) .

Nhân vế theo vế (4) và (5), ta được: Q ≥ 9. Đẳng thức xẩy ra  S1  S2  S3 hay H
là trọng tâm của ∆ABC, nghĩa là ∆ABC đều. Vậy Min Q = 9
Ví dụ 7:

Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC ( M khác B và C).
Kí hiệu SABM , SDCM lần lượt là diện tích của các tam giác ABM, DCM. Chứng
minh tổng SABM + SDCM không đổi. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để
2
2
S ABM
 SDCM
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a.
Giải
BM . AB a.BM

Ta có: S AMB 
( do AB = a)
2
2
DC.MC a.MC
S DCM 

( do DC = a)
2
2
a.BM a.MC a.( BM  MC )


Vậy S AMB  S DCM 
2
2
2

A

a.BC a 2

 không đổi (do BC = a).
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có :

D

a

a

2
2
2
2
2
2
S ABM
 SDCM
 2.S ABM .SDCM  2(S ABM
 SDCM
)  S ABM
 SDCM
 2.S ABM .SDCM

2

S

2
ABM

S

2
DCM

(S ABM  S DCM )2 1  a 2  a 4

   
2
2 2  8

Vậy giá trị nhỏ nhất của: S

2
ABM

S

2
DCM

a2
a4
 đạt được khi: S ABM  S DCM 
4

8

 điểm M là trung điểm BC.

8

B

M

C


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn

Năm học : 2016-2017

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi x, y, z theo thứ tự là
khoảng cách từ điểm M ở trong tam giác tới các cạnh BC, AC, AB.
Xác định vị trí của điểm M để tổng

a b c
  có giá trị nhỏ nhất.
x y z
Giải
A

Gọi S là diện tích tam giác ABC
 S = SMBC + SMAC + SMAB
1

(ax + by + cz)
2

S=

y

z

 ax + by + cz = 2S không đổi.

b

c

M

Ta xét biểu thức:

a b c
P = (ax + by + cz)(   )
x y z

x
a

B

C

x y
y z
x z
) + bc(  ) + ca(  )
y x
z y
z x
Theo bất đẳng thức Côsi với x, y, z > 0
= a2 + b2 + c2 + ab( 

Ta có:

x y
  2 , dấu “ = ” xảy ra khi x = y
y x

y z
  2 , dấu “ = ” xảy ra khi y = z
z y

x z
  2 , dấu “ = ” xảy ra khi x = z
z x

a b c
Do đó P  a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Hay 2S(   )  (a + b + c)2
x y z
2

2

2

a b c a  b  c
a  b  c
a b c






Nên min (
)=
 x=y=z
x y z
2S
x y z
2S
2

2

 M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
3) Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm GTNN của
Bài 2: Tìm GTNN của

x2  2
x2 1

( HD: Áp dụng : x  1 và
2

1
x2 1

)

x 8
9
với x > 1 (HD: Áp dụng : x  1 và
)
x 1
x 1
9


Sáng kiến kinh nghiệm mơn Tốn
Bài 3: Tìm GTLN của A = x 1 x

Năm học : 2016-2017
2

với -1≤ x ≤ 1 (HD: Áp dụng : x2 và 1 – x2)

Bài 4: Tìm GTNN của y =

2
1

2x
1 x
 với 0 < x < 1(HD: Áp dụng :
và
)
1 x x
1 x
x

Bài 5: Tìm GTLN của B =

yz x  1  xz y  2  xy z  3
với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3
xyz

(HD: B 

y2
x 1
z 3 1
1
1


 

)
x
y
z

2 2 2 2 3

Bài 6: Tìm GTNN của C =

x2  x  2
x2  x  1

(HD: Áp dụng :

x 2  x  1 và

1
x2  x 1

)

IV. KẾT LUẬN
Bất đẳng thức Côsi và hệ quả rất quan trọng trong việc chứng minh bất đẳng
thức và tìm GTLN, GTNN của biểu thức nên chúng ta cần khai thác và tìm hiểu
sâu hơn về bất đẳng thức này.
Thơng qua việc hướng dẫn học sinh tìm tịi, sáng tạo các bài tốn mới từ những
bài tốn đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin hơn trong giải tốn, nhờ đó mà học
sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho
học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa học.
Để gây hứng thú và niềm say mê nghiên cứu khoa học cho học sinh, trước hết
người thầy giáo phải nêu cao tấm gương tự học, tự nghiên cứu nhằm nâng cao trình
độ chun mơn nghiệp vụ của mình. Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà tơi
tích luỹ được khi dạy các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có vận dụng
bất đẳng thức Côsi, hy vọng rằng đề tài này của tôi góp phần tăng thêm hiệu quả
học tập của học sinh. Dù đã cố gắng học hỏi trau dồi kiến thức song khơng tránh

khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự quan tâm góp ý chân thành của
đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để đề tài ngày một hoàn thiện hơn. Xin
trân trọng cảm ơn.
Ngày 04/01/2017

10