(Sáng kiến kinh nghiệm) ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số bậc HAI vào bài TOÁN GIÁ TRỊ lớn NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số và PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:
“ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.

Tác giả sáng kiến : MAI THỊ HỢI
Mã sáng kiến
: 37.52.01

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình mơn Đại số 10, các em học sinh đã được học chương
2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Thời lượng học bài Hàm số bậc hai
khơng nhiều nên việc luyện tập cịn ít. Nhưng thực tế, trong các kỳ thi học kỳ,
chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc có những bài tốn quy về giải bằng bảng
biến thiên của Hàm số bậc hai. Tôi thấy lớp bài tập sử dụng bảng biến thiên
Hàm số bậc hai khá đa dạng. Vì vậy, khi học thì các em phải được tiếp cận với
lớp bài toán với mức độ từ cơ bản đến phức tạp. Năm học 2019-2020, tôi được
giao nhiệm vụ giảng dạy môn toán ở lớp 10. Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy
bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy chuyên đề cùng với mong muốn giúp cho các em
học sinh có thêm tư liệu học tập, tra cứu khi học tập về vấn đề này, tôi mạnh dạn

biên soạn chuyên đề: “ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”.
Trên tinh thần đó, tơi biên soạn theo dạng giúp học sinh dễ hiểu. Tôi xây
dựng phương pháp cho mỗi dạng tổng quát (nếu có) và đưa ra một số ví dụ minh
họa để học sinh vận dụng và nhớ nhanh, giao bài tập học sinh tự luyện. Tôi viết
đề tài này qua kinh nghiệm dạy học nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Tơi rất
mong được sự góy ý, bổ sung của quý đồng nghiệp để đề tài này được hồn
chỉnh và có ý nghĩa hơn.
2. Tên sáng kiến:
“ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI
TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ
PHƯƠNG TRÌNH ”.
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Mai Thị Hợi
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa
- Số điện thoại: 0986 350 623

2


- Email: - Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Mai Thị Hợi.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Chuyên đề này trang bị cho học sinh một chuyên đề đầy đủ để ôn thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, luyện thi THPT Quốc Gia có hiệu quả cao.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử :
Năm học 2019-2020
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung sáng kiến:

Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ:
Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục,
giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng
giải đúng và thích hợp khi gặp bài tốn phức tạp đưa về dạng đơn giản thuộc
dạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo viên phải xây
dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh dễ áp dụng và nhớ lâu.
Một số bài toán thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Sau đây là nội dung
chi tiết:

3


A - LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

y  ax 2  bx  c ( a �0)
Tập xác định của hàm số lả R.
2. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai
* Trường hợp a  0
x

y

* Trường hợp a  0
x

y

ĐỊNH LÍ :

2
Nếu a  0 thì hàm số y  ax  bx  c ( a �0) :

Nghịch biến trên khoảng

( �; 

b
b
);
( ; �)
2a Đồng biến trên khoảng 2a
.

2
Nếu a  0 thì hàm số y  ax  bx  c ( a �0) :

Đồng biến trên khoảng

( �; 

b
b
);
( ; �)
2a Nghịc biến trên khoảng 2a

B - BÀI TẬP

4

DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ BẬC HAI TRÊN R.
Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  ax 2  bx  c ( a �0)
1. Phương pháp:
- Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết luận:
2
* Nếu a  0 thì hàm số bậc hai y  ax  bx  c ( a �0) đạt giá trị nhỏ nhất

b

x
2a .
bằng 4a khi
2
* Nếu a  0 thì hàm số bậc hai y  ax  bx  c ( a �0) đạt giá trị lớn nhất

b

x
2a .
bằng 4a khi
2. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
2
2
a. y  x  2 x  3
b. y  2 x  2 x  1

Lời giải
a. Do hệ số a  1  0 và đỉnh I (1; 2) nên ta có bảng biến thiên của hàm số
y  x2  2 x  3
x
1
y
2
Dựa vào bảng biến thiên:
2
Hàm số y  x  2 x  3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x  1 .
1 3
I ( ; )
2 2 nên ta có bảng biến thiên của hàm số
b. Do hệ số a  2  0 và đỉnh
2
y  2 x  2 x  1
x

1
2
3
2

y

Dựa vào bảng biến thiên

5

3
1
x
2 .
Hàm số y  2 x  2 x  1 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi
Bài 2: (Thi HK 1-THPT Việt Trì 2018-2019). Tìm giá trị của tham số m để
2
2
y
=
x
2
mx
+
m
- 3m - 2 có giá trị nhỏ nhất bằng -10.
hàm số
2

Lời giải
Tập xác định D = R
Do hệ số a  1  0 và đỉnh I (m;  3m  2) nên ta có bảng biến thiên sau:
x

m

y
-3m-2
Dựa vào bảng biến thiên

Hàm số đã cho có giá trị bằng -10 ta phải có
3m  2  10 � 3m  8 � m 

8
3

8
3 là giá trị cần tìm.
Vậy
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = 2 x 2 - 3(m +1) x + m 2 + 3m - 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Tập xác định D = R
m

Do hệ số a  2  0 và đỉnh

I(

3(m  1) 2
; m  6m  25)
4
nên ta có bảng biến

thiên sau:

3(m  1)
4

x

y

m 2  6m  25
Dựa vào bảng biến thiên:
2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng m  6m  25 .
2
2
Đặt f (m)  m  6m  25  (m  3)  16 �16
Dấu "  " xảy ra khi m  3 .
6


Do đó giá trị nhỏ nhất của f (m) bằng 16 khi m  3
Vậy với m  3 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập tự luyện:
Trắc nghiệm
2
Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y =- 2 x + 8 x +1 trên R là
A. 2.

B. 9.

C. 6.

D. 4.

2
Bài 2: Giá trị lớn nhất hàm số y = x + 4 x - 6 đạt được tại

A. x  2
B. x  2
C. x  25 .

D. x  25

2
Bài 3: Hàm số y = mx + 4(m - 1) x - 6 đạt giá trị lớn nhất trên R khi
A. m  0
B. m  0
C. 0  m  1 .
D. m  0
2
Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - 4 x +1 trên R là
A. 3
B. 1
C. 3 .

D. 13

2
Bài 5: Giá trị nhỏ nhất hàm số y = x + 2 x + 3 đạt được tại
A. x  1
B. x  2
C. x  1 .

D. x  0

2
Bài 6: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để hàm số y = mx - 2mx - 3m - 2 có

giá trị nhỏ nhất bằng -10.
A. m  1
B. m  2
C. m  1 .
D. m  2
1
f ( x)  x 2  2(m  ) x  m
m  min f ( x)
 1;1
m
Bài 7: Cho hàm số
. Đặt
và
M  max f ( x)
 1;1
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị tham số m sao cho M  m  8 .
Tính tổng bình phương các phần tử thuộc S .
A. 0
B. 1
C. 2 .
D. 4

DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ BẬC HAI KHÔNG CHỨA THAM SỐ TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG, NỬA
KHOẢNG.
Bài tốn 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
y  ax 2  bx  c ( a �0) trên đoạn   ;   .
Phương pháp: Tùy theo dấu hệ số a ta có bảng biến thiên:
Nếu a  0 thì:
b

xo  

2
a
* Trường hợp 1: Hồnh độ đỉnh
ta có bảng biến thiên
x


f ( )



y

7


f ( )
Dựa vào bảng biến thiên:

Max y  f (  )
  ; 

đạt được khi x   .
xo  

* Trường hợp 2: Hoành độ đỉnh

Min y  f ( )

  ; 

đạt được khi x   .

b
�  ;  
2a
ta có bảng biến thiên

x




f ( )

b
2a


f ( )

y

f (

b
)
2a

Dựa vào bảng biến thiên:

Max y  Max {f ( ), f (  )} Min y  f ( b )
  ; 
  ; 

.

* Trường hợp 3: Hoành độ đỉnh
x

Dựa vào
f ( )
biến
y

  ; 

2a

xo  

đạt được khi

x

b
2a .

b


2a
ta có bảng biến thiên



bảng
thiên:

f ( )

Max y  f ( )
  ; 

đạt được khi x   .

Min y  f (  )

đạt được khi x  
Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
y  ax 2  bx  c ( a �0) trên khoảng   ;   ; nửa khoảng   ;   ;   ;  
  ; 

Phương pháp: Làm tương tự bài toán 1.
Lập bảng biến thiên trên khoảng   ;   . Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
y  ax 2  bx  c ( a �0) trên nửa khoảng   ;   ;   ;  
8

1. Phương pháp: Làm tương tự bài toán 1.
Lập bảng biến thiên trên nửa khoảng   ;   ;   ;  
Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
2. Bài tập minh họa:
2
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  2 x  2 trên
đoạn  3; 2 .

(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)
Lời giải
Hàm số y  x  2 x  2 có hồnh độ đỉnh xo  1� 3;2 ta có bảng biến thiên
2

x

-3
17

1

2

y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 17 đạt được khi x  3
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi x  1 .
Bình luận: Bài 1 là trường hợp hoành độ đỉnh thuộc đoạn đang xét.
2

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4 x  2 trên
đoạn  1; 2 .
Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh xo  2 � 1;2 ta có bảng biến thiên
x

1

2
8

y
3
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 8 đạt được khi x  2
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi x  1
Bình luận: Bài 2 là trường hợp hồnh độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và
nằm bên trái đoạn đang xét. Với hệ số a  0 thì hàm số đồng biến trên đoạn
 1; 2 .
9


2
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x  4 x  3 trên
đoạn  1; 0

Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh xo  2 � 1;0 ta có bảng biến thiên
x

-1
-6

0

y
3
Dựa vào bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng -6 đạt được khi x  1
giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi x  0 .
Bình luận: Bài 3 là trường hợp hồnh độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và
nằm bên phải đoạn đang xét. Với hệ số a  0 thì hàm số nghịch biến trên đoạn
 1; 0 .
2
Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y =- x + 2 x + m - 4 đạt giá trị lớn
nhất trên đoạn  1; 2 bằng 3.

Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh xo  1� 1;2 ta có bảng biến thiên
x

-1

1
m3

2

y

Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng m  3 đạt được khi x  1
Theo giả thiết ta có: m  3  3 � m  6
Vậy m  6 là giá trị cần tìm.
Bình luận: Bài 4 chứa tham số nhưng hồnh độ đỉnh xác định nên ta lập ngay
bảng biến thiên.
2
Bài 5: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = x - 2 x + 2m - 3 đạt giá trị nhỏ
nhất trên đoạn  2; 5 bằng -3.

Lời giải
Hàm số đã cho có hồnh độ đỉnh xo  1� 2;5 ta có bảng biến thiên
10


x

2

5

y

2m  3
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2m  3 đạt được khi x  2
Theo giả thiết ta có phương trình: 2m  3  3 � m  0
Vậy m  0 là giá trị cần tìm.
Bình luận: Bài 5 chứa tham số nhưng hoành độ đỉnh xác định nên ta lập ngay
bảng biến thiên.

3. Bài tập tự luyện
Trắc nghiệm
Bài 1: (Thi HK 1-THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phịng 2018-2019). Tìm giá trị
2
của tham số m để hàm số y = x - 2 x + 2m + 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

 2; 5 bằng -3.

A. m  1

B. m  3

C. m  9 .

D. m  0

2
2
Bài 2: Tìm số các giá trị của tham số m để hàm số y = x + (2m +1) x + m - 1
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0; 1 bằng 1.

B. 3

A. 1

D. 0

C. 2 .

2

2
Bài 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = 4 x - 4mx + m - 3m + 2
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0; 2 bằng 3.













1; 4  7
4 7
1; 4  7
A.
B.
C.  1 .
D.
Bài 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất
2
2
hàm số y = 4 x - 4mx + m - 2m trên đoạn  2; 0 bằng 3. Tính tổng T các
phần từ của S.
A. T  3

B.

T

1
2

C.

T

9
2.

D.

T 

3
2

2
2
2
Bài 5: Cho hàm số y = x - (m + m - 4) x + 4m + 2 m - 4 (m �0) . Gọi
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0; 1 lần lượt là y1 , y2 . Số giá trị của

m đề y1  y2  8
A. 1
B. 4

C. 2 .
D. 0
Bài tốn 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số khác quy
về hàm số bậc hai.
1. Phương pháp:
11


Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
Bước 2: Đặt t  P( x) , điều kiện của t.
Bước 3: Bài tốn đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm
số bậc hai trên đoạn, nửa khoảng, khoảng.
Lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
2. Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a. y  x 4  2 x 2  2 trên đoạn  2; 0

b. y  x 4  4 x 2  1 trên nửa khoảng  1; 2 

c. y   2 x 4  4 x 2  3 trên khoảng  1; 2 
Giải:
a. y  x 4  2 x 2  2 trên đoạn  2; 0

2
Đặt t  x . Khi x � 2; 0 � t � 0;4 .
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
y  g (t )  t 2  2t  2 trên đoạn  0; 4

Hoành độ đỉnh to  1� 0;4 ; hệ số a  1  0

Bảng biến thiên
t

0

1

4
10

g(t)
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
2
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 10 đạt được khi t  4 � x  2
2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi t  1 � x  1
Câu b, c làm hoàn toàn tương tự. Nhưng bước quan trọng nhất của bài tốn là
tìm điều kiện cho ẩn phụ.
Ta gặp tiếp bài toán quy về hàm số bậc hai sau:
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a. y  x 2 

1
1

2(
x


)2
x2
x

b. y  x 2 

Giải:
12

1
1

(
x

)2
x2
x


a.

y  x2 

1
1

2(
x


)2
x2
x

Tập xác định: D  R \  0
Đặt

t x

1
1
x2  2  t 2  2
x , đk: t �2 . Suy ra
x

2
2
Hàm số trở thành: g (t )  t  2  2t  2 � g (t )  t  2t  4
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  2t  4 trên miền t �2 .

Hoành độ đỉnh to  1� �; 2 � 2; � ta có bảng biến thiên
t

�
�

-2

-1

�
�

2

g(t)
4
-4
Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng -4 đạt được khi
�
x  2  3
1
x   4 � x 2  4 x  1  0 � �
x
x  2  3
�
b) Đặt

t  x

1
1
x2  2  t 2  2
x , đk: t �R . Suy ra
x

2

2
Hàm số trở thành: g (t )  t  2  t  2 � g (t )  t  t
Bài tốn trở thành: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a. y  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)

b. y  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) trên đoạn  3; 0
c. y  (2 x  1)( x  1)( x  3)(2 x  5) trên đoạn  1; 2
Giải:

a. y  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)
Tập xác định: D  R
2
2
Viết lại hàm số: y  ( x  4 x  3)( x  4 x  12)

13


�x 2  4 x  3  t  1
�
�2
2
2
t

x

4
x


4

(
x

2)
,
Đặt
đk: t �0 . Suy ra �x  4 x  12  t  16
2
g
(
t
)

(
t

1)(
t

16)
�
g
(
t
)

t

 17t  16
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  17t  16 trên miền t �0 .

Hồnh độ đỉnh

to 

17
� 0; �
2
ta có bảng biến thiên

t

17
2

0
g(t)

�
�

16



225

4

Dựa vào bảng biến thiên:

225
4 đạt được khi
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng
�
34
x  2 
�
17
2
( x  2)2  � �
2
�
34
x  2 
�
�
2
Bình luận: Bài 3 a) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R.
b. y  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) trên đoạn  3; 0


Tập xác định: D  R
Giải
2
�
�x  4 x  3  t  1

�2
2
2
y

(
x

4
x

3)(
x

4
x

12)
Viết lại hàm số:
. Suy ra �x  4 x  12  t  16

2
Đặt t  x  4 x  4

Coi t là hàm số. Lập bảng biến thiên hàm t trên  3; 0
Bảng biến thiên:
x

-3

-2

14

0
4


t
1
0

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t: t � 0;4
2
Hàm số trở thành: g (t )  (t  1)(t  16) � g (t )  t  17t  16
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  17t  16 trên miền  0;4 .

Hoành độ đỉnh

to 
t

17
� 0;4 
2
ta có bảng biến thiên
0
16

4

g(t)



225
4

Dựa vào bảng biến thiên:

225
4 đạt được khi
Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng
x  0 (t/m)
�
t  4 � ( x  2) 2  4 � �
x  4 (loai)
�
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 16 đạt được khi
t  0 � ( x  2)2  0 � x  2
Bình luận: Ở câu b) bài tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên
đoạn  3; 0 nên ta phải tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ t. Việc tìm điều kiện cho


t là ta giải bài tốn: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn  3; 0 .
c) Làm tương tự phần b).
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a. y   x 2  2 x  4 (3  x)( x  1)  1

b. y  x 2  2 x  2 x 2  2 x  5  3
c. y   x 2  4 x  (3  x)( x  1)  3
Giải

a. y   x 2  2 x  4 (3  x)( x  1)  3

15


Tập xác định: D   1;3
2
2
Viết lại hàm số: y   x  2 x  4  x  2 x  3  1
3  x  x 1
t  (3  x)( x  1) �
2
2
Đặt
. Điều kiện cho t: t � 0;2
2
Hàm số trở thành: y  g (t )  t  4t  4
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  4t  4 trên miền  0;2 .

Đến đây làm tương tự như bài 4.

b. y  x 2  2 x  2 x 2  2 x  5  3
Đkxđ: x �R
Đặt

t  x 2  2 x  5  ( x  1) 2  4 �2

. Điều kiện cho t: t � 2; �

2
Hàm số trở thành: y  g (t )  t  2t  2
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  2t  2 trên miền  2;� .

Đến đây làm tương tự như bài 4.

c. y   x 2  4 x  (3  x)( x  1)  3
Tập xác định D   1;3
2
2
Viết lại hàm số: c. y   x  4 x   x  4 x  3  3

Đặt

t   x 2  4 x  3  1  ( x  2)2 �1 . Điều kiện cho t: t � 0;1

2
Hàm số trở thành: y  g (t )  t  t  6
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
g (t )  t 2  t  6 trên miền  0;1 .

Đến đây làm tương tự như bài 4.
Bình luận: Ba phần trên đây là 3 cách tìm điều kiện cho ẩn phụ khác nhau.
Phần a) sử dụng Bất đẳng thức Cauchy tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
Phần b) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t.

Phần c) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  4
Lời giải
16


y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  4
Tập xác định: D   1;3
t ��
2;2 2 �
�
�
Đặt t  x  1  3  x . Điều kiện cho t:
Suy ra:

t2  4
( x  1)(3  x ) 
2

t2  4
1
y  g (t )  t 
 4 � g (t )  t 2  t  2
2
2
Hàm số trở thành:
Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1

g (t )  t 2  t  2
t ��
2;2 2 �
�
�
2
trên miền
Đến đây làm tương tự như bài 4.
3. Bài tập tự luyện:
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a. y  2 x  1  1  x  (2 x  1)(3  x)  1
b. y   3 x 2  2 x  4 (5  x)(3x  1)  1

c. y  x 2  3x  2 x 2  3x  3

d. y   x 2  2 x  (3  x)( x  1)  1
e. y  ( x  5)( x  1)( x  3)( x  3)
DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH
f ( x, m)  0 CÓ NGHIỆM, CÓ n NGHIỆM ( n �N )
1. Phương pháp:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định D của phương trình đã cho.
Bước 2: Đặt t  P( x) , điều kiện của t �D0 . Đưa phương trình đã cho về
phương trình ẩn t: g(t , m)  0
Bước 3: Cô lập m: g(t , m)  0 � h(t )  h(m) (1)

Bài tốn đưa về: phương trình đã cho có nghiệm thuộc tập D khi phương trình
ẩn (1) có nghiệm thuộc tập D0 .
Lập bảng biến thiên của hàm số y  h(t )
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả về tham số m.

2. Bài tập minh họa:
Bài 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm

17


x 2  2 x  2  m  0 trên đoạn  3; 2  .
(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)
Lời giải:
Cô lập tham số m:

x 2  2 x  2  m  0 (1)
� x2  2x  2  m
Phương trình ( 1) có nghiệm thuộc

(2)

 3; 2

khi và chỉ khi phương trình (2) có

 3; 2 . Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường

nghiệm thuộc đoạn

2
3; 2
thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  x  2 x  2 trên đoạn 
.

Lập bảng biến thiên:
2
3; 2
Xét hàm số y  x  2 x  2 trên đoạn 
.

Hoành độ đỉnh xo  1� 3;2 ta có bảng biến thiên
x

-3
17

1

2

y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn

 3; 2

khi 1 �m �17

Vậy với 1 �m �17 là các giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

x 2  2 x  2  m  0 trên đoạn  3; 2  .

(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)
Lời giải:
Cô lập tham số m:

x 2  2 x  2  m  0 (1)
� x2  2x  2  m

18

(2)


Phương trình ( 1) có 2 nghiệm thuộc
2 nghiệm thuộc đoạn

 3; 2

khi và chỉ khi phương trình (2) có

 3; 2 . Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường

2
3; 2
thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  x  2 x  2 trên đoạn 
tại 2 điểm

phân biệt.
Lập bảng biến thiên:
2

3; 2
Xét hàm số y  x  2 x  2 trên đoạn 
.

Hoành độ đỉnh xo  1� 3;2 ta có bảng biến thiên
x

-3
17

1

2

y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có 2 nghiệm thuộc đoạn

 3; 2

khi 1  m �2

Vậy với 1  m �2 là các giá trị cần tìm.
Bài 3. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt

x 4  2 x 2  2  m  0 trên đoạn  3; 2 .

(Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019-2020)

Lời giải:

x 4  2 x 2  2  m  0 (1)
2
x � 3; 2 � t � 0;4
Đặt t  x . Khi

Phương trình (1) trở thành

t 2  2t  2  m  0 (2)
� t 2  2t  2  m

(3)

19


Phương trình ( 1) có nghiệm thuộc
nghiệm thuộc đoạn

 3; 2

khi và chỉ khi phương trình (3) có

 0;4 . Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi đường

2
0;4 .
thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  t  2t  2 trên đoạn 

Lập bảng biến thiên:
2
y

t
 2t  2 trên đoạn  0;4 .
Xét hàm số

Hồnh độ đỉnh to  1 ta có bảng biến thiên
x

0

1

4
10

y
2
1
Dựa vào bảng biến thiên:
Phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn

 3; 2

khi 1 �m  10

Vậy với 2 �m  17 là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2m  2  0

b. y  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) trên đoạn  3; 0
c. y  (2 x  1)( x  1)( x  3)(2 x  5) trên đoạn  1; 2

Lời giải:
( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2m  2  0 (1)
Tập xác định: D  R
2
2
Viết lại phương trình : ( x  4 x  3)( x  4 x  12)  2m  2 (2)

2
�
�x  4 x  3  t  1
�2
2
2
t

x

4
x

4

(
x


2)
,
t
�
0
Đặt
đk:
. Suy ra �x  4 x  12  t  16
Hàm số trở thành: (t  1)(t  16)  2m  2

20


Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn
t �0 . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng y  2m 2 cắt đồ thị hàm
2
số g (t )  t  17t  16 trên miền t �0 .
2
Xét hàm số g (t )  t  17t  16 trên miền t �0 .

Hồnh độ đỉnh

to 

17
� 0; �
2
ta có bảng biến thiên

t

17
2

0

�
�

g(t)
16



225
4

Dựa vào bảng biến thiên:
225
2m �
2 ۳۳
4
Phương trình (1) có nghiệm khi

2m

217
4

217

8

m

Bình luận: Bài 4 tìm tham số để phương trình có nghiệm trên R. Bài 5 sau đây
mở rộng bài 4 có nghiệm hay có k nghiệm trên tập cho trước.
Bài 5: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau:
( x  1)( x  1)( x  3)( x  5)  2m  1
a) có nghiệm trên đoạn  3; 0
b) có 4 nghiệm trên đoạn  3; 0
Lời giải
Tập xác định: D  R
2
2
Viết lại phương trình : ( x  4 x  3)( x  4 x  5)  2m  1 (1)

�x 2  4 x  3  t  1
�2
2
t

x

4
x

4
Đặt
. Suy ra �x  4 x  5  t  9

Tìm điều kiện của t. Coi t là hàm số. Lập bảng biến thiên hàm t trên  3; 0
Bảng biến thiên:
x

-3

-2

t
21

0
4


1
0

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t: t � 0;4
2
Phương trình trở thành: (t  1)(t  5)  2 m  1 � t  6t  5  2m  1
2
Xét hàm số g (t )  t  6t  5 trên miền  0;4 .

Hoành độ đỉnh to  3 � 0;4  ta có bảng biến thiên
t

0
5

3

4

g(t)
-3
-4
a) Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn  3; 0 khi và chỉ khi phương trình (2)
có nghiệm thỏa mãn t � 0;4 . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng

y  2m  1 cắt đồ thị hàm số g (t )  t 2  6t  5 trên miền t � 0;4 .
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm trên đoạn  3; 0
5
4 �2m  1 �5 � 5 �2m �4 �  �m �2
2
khi
5
 �m �2
Vậy với 2
thì phương trình (1) có nghiệm trên đoạn  3; 0

b) Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn  3; 0 khi và chỉ khi phương trình
(2) có 2 nghiệm thỏa mãn t � 0;4 . Phương trình (2) có nghiệm khi đường
2
thẳng y  2m  1 cắt đồ thị hàm số g (t )  t  6t  5 trên miền t � 0;4 tại 2
điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn  3; 0

5
4 �2m  1 �3 � 5 �2m �4 �  �m �2

2
khi
5
 �m �2
Vậy với 2
thì phương trình (1) có 4 nghiệm trên đoạn  3; 0 .

22


Bài 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để phương trình có bốn nghiệm thực

4 x  4 x  5  x  4 x  2m  1
phân biệt
(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2015-2016)
2

2

Lời giải
Đkxđ: x �R
2
2
Viết lại phương trình x  4 x  5  4 x  4 x  5  6  2m (1)
2
2

t

x

4
x

5

(
x

2)
 1 �1 . Điều kiện cho t: t � 1; �
Đặt
2
Phương trình trở thành: t  4t  6  2m (2)
2
Xét hàm số g (t )  t  4t  6 trên miền t � 1; � .

Hoành độ đỉnh to  2 � 1; � ta có bảng biến thiên
t

1

2

�
�

g(t)
-9
-10
Phương trình (1) có 4 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa
mãn t � 1; � . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng y  2m  1 cắt đồ
2
thị hàm số g (t )  t  6t  5 trên miền t � 0;4 tại 2 điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm khi
9
10 �2m �9 � 5 �m �
2
Bài 7: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

 x 2  2 x  4 (3  x)( x  1)  1  m
Lời giải

 x 2  2 x  4 (3  x)( x  1)  1  m
Đkxđ: x � 1;3
Viết lại phương trình

 x2  2 x  3  4  x2  2 x  3  2  0

3  x  x 1
t  (3  x)( x  1) �
2
2
Đặt
. Điều kiện cho t: t � 0;2
2
Phương trình trở thành: t  4t  4  m

2
Xét hàm số g (t )  t  4t  4 trên miền  0;2 .

23


Hồnh độ đỉnh to  2 � 0;2 ta có bảng biến thiên
t

0

2
8

g(t)
-4
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa
mãn t � 0;2 . Phương trình (2) có nghiệm khi đường thẳng y  m cắt đồ thị
2
hàm số g (t )  t  4t  4 trên miền t � 0;2
Dựa vào bảng biến thiên: Phương trình (1) có 4 nghiệm khi
4 �m �8
3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phương trình:

x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  0

a. Giải phương trình với m = 3.

(1) (m-tham số)

b. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm?
(Trích ĐHSP Vinh 2000)

Bài 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm?

( x  3)(2 x  1)  1  2 x 2  5 x  5  2m
Bài 3. Cho phương trình:

x  1  8  x  ( x  1)(8  x)  2m  3

a. Giải phương trình khi m = 3.
b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.?
(Trích ĐHKTQD - 1998)
Bài 4: Có bao nhiêu số ngun m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt?

x 2  2 x  2 ( x  3)(5  x )  3  2m  0

Bài 5. Cho phương trình:

(x  1)( x  3)  4( x  3)

x 1
m0
x3

a. Giải phương trình với m = -3
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ?

Bài 6. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

24


x  2  2  x  ( x  2)(2  x )  m  3

x  4  x   x 2  4 x  2m  0

Bài 7: Tìm m để PT sau có nghiệm:

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 10
trường THPT Xuân Hòa, khi học chương 2 – Đại số 10.
- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh ôn thi học kỳ, ôn thi sinh
giỏi, ôn thi THPT Quốc Gia.
8. Thơng tin cần bảo mật (Khơng có)
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
Môn Tốn là mơn học phục vụ trực tiếp cho việc thi cử của học sinh, vì vậy
ln được sự quan tâm nhà trường, các em học sinh cũng như các bậc phụ
huynh. Khơng những thế đây cịn là mơn học được nhiều lĩnh vực khác áp dụng.
Đối với học sinh: phải thuộc cần đọc kỹ đề bài, cần rèn luyện tư duy
logic, nắm được kỹ thuật giải để nhận dạng nhanh và áp dụng vào giải bài tập.
Đối với giáo viên: cần giảng dạy theo chủ đề, phân dạng bài tập, có
phương pháp và bài tập tự luyện. Thường xuyên cập nhật kỳ thi học sinh giỏi
tỉnh, kỳ thi THPT Quốc Gia để bổ sung kiến thức kịp thời phù hợp với chương
trình và cấu trúc đề thi.
Đối với nhà trường: cho phép giáo viên linh hoạt trong việc thực hiện
phân phối chương trình chuyên đề. Điều này giúp giáo viên thuận tiện hơn trong
việc áp dụng dạy học và kiểm tra đánh giá theo yêu cầu đổi mới.

- Đối với cơ sở vật chất: vở ghi hoặc giấy nháp, máy tính casio, sổ tay ghi
lại dạng tốn.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có).
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
10.1.1. So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy
theo hướng phân dạng
a. Phương pháp dạy khi chưa phân dạng
25