(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng của tích phân trong hình học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG II
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

TÊN SÁNG KIẾN:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Tác giả sáng kiến: Lê Thị Phương Hoa
* Mã sáng kiến: 08.52….

Tam Dương, Năm 2019


1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Trong chương trình Giải tích lớp 12, phần kiến thức về tích phân là một nội dung khá rộng và
phức tạp. Trong đó, phần ứng dụng của tích phân trong hình học là một nội dung tương đối khó, nội
dung này đã xuất hiện trong đề thi THPTQG nhiều năm qua và tiếp tục được đưa vào đề thi
THPTQG trong năm tới. Việc giải các bài toán ứng dụng của tích phân trong hình học thường gây
khó khăn cho học sinh, nguyên nhân là do bài toán này thường địi hỏi tính liên tưởng, cần biết vẽ
hình và phân tích bài tốn. Học sinh thường yếu trong hai khâu này.
Để giúp học sinh tháo gỡ những khó khăn đó, tơi xin chọn đề tài nghiên cứu “Ứng dụng hình
học của tích phân”, đề tài của tơi đã phân dạng và phương pháp giải một hệ thống các bài tập liên
quan đến ứng dụng của tích phân trong hình học như tính diện tích hình phẳng và tính thể tích khối

trịn xoay, qua đó giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức, rèn luyện kĩ năng giải bài tập tích phân và
hiểu được mối quan hệ giữa Toán học và thực tiễn.
Tơi rất hy vọng đề tài của tơi có thể giúp ích cho việc học tập của các em học sinh và là tài liệu
tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp.
2. Tên sáng kiến:
Ứng dụng của tích phân trong hình học
3.

Tác giả sáng kiến:
-

Họ và tên: Lê Thị Phương Hoa

-

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Dương II
Số điện thoại: 0982599057
E_mail:

4.

Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tác giả.

5.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.

6.

Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/2/2018.

7.

Mô tả bản chất của sáng kiến:
-

Về nội dung của sáng kiến:

2


A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] ,

a)
trục

b

hoành và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =ò f ( x ) dx
y
y

f ( x)

y f ( x)
O a c1

c2

c3 b x
y 0

(H)
x a

x b
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) , y =g ( x) liên tục trên đoạn
b

[ a; b] và hai đường thẳng x =a , x =b được xác định: S =ò f ( x ) - g ( x ) dx
a

y

(C ): y f
(C1)
(C ): y f
(H)

x a
x
b
b

O

ac

S

1

f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx
a

Chú ý:
- Nếu trên đoạn [a; b] , hàm số f ( x)

b

b

a

a

khơng đổi dấu thì: ị f ( x ) dx =ịf ( x ) dx

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x =g ( y) , x =h ( y) và hai đường thẳng
d

y =c , y =d được xác định: S =ò g ( y ) - h ( y ) dy
c

2.

Thể tích vật thể và thể tích khối trịn xoay

a)
Thể tích vật thể:
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm a và b;
S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm x ,

(a £ x £ b) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] .

(V)


O

a

3


b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: V =ịS ( x ) dx
a

b)
Thể tích khối trịn xoay:
Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x) ,
trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:
y
y

f ( x)

(C ): y

f ( x)

(Ox): y 0
a

O

b

f ( x ) 2 dx

Vx

b x x ax b

a

Chú ý:
Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x
=g ( y)
,

trục hoành và hai đường thẳng

y =c

, y =d quanh trục Oy:

y
(C ): x

d

g( y)
d

Vy

y c
y d

c

g ( y ) 2 dy
c

O

x

- Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f ( x)
, y =g ( x) và hai đường thẳng x =a , x =b quanh trục Ox:
b

V =pò f 2 ( x ) - g 2 (x ) dx
a

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP I- BÀI TẬP TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Những điểm cần
lưu ý:
Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn
b

bởi các đường y = f ( x ), y =g ( x ), x =a , x =b là S =ò f ( x ) - g ( x ) dx .
a

Phương pháp giải tốn
+) Giải phương trình f ( x ) =g ( x) (1)
b

+) Nếu (1) vơ nghiệm thì S =ò( f ( x ) - g ( x )) dx .
a

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc .[ a; b] . giả sử a thì
a

S =ị( f ( x ) - g ( x )) dx +ò( f ( x ) - g ( x )) dx
a

a

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x ) - g ( x) trên đoạn [ a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để
tính tích phân.
4


Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường

y=

lớn nhất của phương trình f ( x ) =g ( x) ( a £ a Phương pháp giải tốn
Bước 1.

Giả

Tín

Bước 2.
a

1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT THƠNG HIỂU
Câu 1. Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y =f (x) , y =g(x)
liên tục trên [a ; b] và hai đường thẳng x =a , x =b (a A. S =pòab
C. S =ịab ( f (x) - g(x))2.dx .
Câu 2.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f ( x) , liên tục trên [a ; b] trục
hoành và hai đường thẳng x =a , x =b ( a b

A. S =ị f ( x) dx.
a
b

S =pòf

2

a

b

B. S =òf

( x) dx.

b

C. S =pị f ( x) dx.

D.

a

a

( x) dx.

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
vị diện tích)
A.

3

4

Đặt h(x) =( x3 +11x - 6) - 6x2 =x 3 - 6x2
Bng xột du
x

h(x)

1
ũ(

S =0

ổ4
=- ỗỗ

x


è4

Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =x 3 , y =4x là:
A. 8
Ta có x3 =4 xÛ x =- 2Ú x =0 Ú x =2
5


ÞS=
-2

Vậy S =8 (đvdt).

Chú ý:Nếu trong đoạn [ a; b] phương

ta có thể dùng cơng thức ị

Cho hàm số y =f ( x) liên tục và nhận g

Câu 5.

thang cong giới hạn bởi đồ thị của y =f
được tính theo cơng thức
b

A

. S =ịf ( x ) dx.
a

S =ịf 2 (x ) dx.

Theo cơng thức (SGK cơ bản) ta có S
Câu 6.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bở
[a; b] , trục hồnh và hai đường thẳng
b

.S =ị

A
a
b

S =pịf ( x ) dx.

a

Theo cơng thức (SGK cơ bản) ta có S
Câu 7.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bở

trên đoạn [a; b] , trục hồnh và hai đườ
b

A.S=ị
a
b

C. S =ị f ( x ) - g ( x ) dx.
a

Theo công thức (SGK cơ bản)

Câu 8.

Cho đồ thị hàm số

a
b

D. S =pò f ( x ) - g ( x ) 2 dx.
a


6


A. S =ò f ( x ) dx +òf ( x ) dx

-2
-2

C. S =ò f ( x ) dx +òf ( x ) dx

Hướng dẫn giải
0

1

Theo định nghĩa ta có S =ị f ( x ) dx -ịf ( x ) dx
Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x3
thẳng
A. 19

Ta có

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số

thẳng
A. 4

Ta có

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =3 x , trục hoành và hai đường
thẳng x =1, x =8 là
45
A.
2

Ta có 3

x ³ 0 trên đoạn [1;8] nên S =


Câu 12. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =sin x , trục hoành và hai đường

3 p

thẳng x =p , x = 2 là

A
Hướng dẫn giải

7


Ta có

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
p
thẳng x =
A. ln

Ta có

6

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
thẳng
e6
A.

2
Hướng dẫn giải

Ta có e2x ³ 0 trên đoạn [0;3] nên S =

2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng x =1, x =4 là
A.
Hướng dẫn giải
3

2

Ta có x - 3x =0 Û x =3 Ỵ [1;4]
Khi đó diện tích hình phẳng là

4

S =ị


4

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =x 4 - æ x 4 ử
27 51
+ ỗ ỗ - x3 ữữ =6 + =
đường thẳng x =0 , x =3 là
4
è
ø3
4

4

3x2 - 4 , trục hồnh và hai

A.

142
5

Ta có x 4 - 3x 2 - 4 =0 Û
Khi đó diện tích hình phẳng l
3

S =ũ

x4
0

ổ5
x

=

ỗ

-x3

ỗ

ố

5

8
Cõu 17. Din tớch hỡnh phng c gii hn bởi đồ thị hàm số y
thẳng x =2 là
A. 3 +2ln 2

Ta có x +1 =0 Û x =- 1 nên

2

S=

ị
-1

Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y =2 - x2 và đường thẳng

y =- x

7

A.

là

-1

2

Ta có 2 - x 2 =- xÛ

Câu 19. Diện tích hình phẳng
được giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng x =0, x

p

2

Nên S =ò(2

= 2 là

9

D. 2
y =cos2x , trục hoành và hai

A. 2
Hướng dẫn giải

Ta có

S

Nên

Câu 20.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
đường
A.

Ta có x 4 - 3x 2 - 4 =0
Khi ú din tớch hỡnh phng l
3

S =ũ
ổ5

x

=

ỗ
ỗ

ố
Cõu 21.

5

Din tớch hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
thẳng x =2 là
A. 3 +2ln 2

9


Hướng dẫn giải
Ta có x +1 =0 Û x =- 1 nên

S

=
ị

Câu 22.
A.

Diện tích hình phẳng

9
2

Ta có 2 - x 2

Nên S =ị(2 +x - x

Câu 23. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =cos2x , trục hoành và hai đường

p

thẳng x =0, x = 2 là
A. 1

Ta có cos2x
Nên
p

2

S

=

0

Câu 24. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
A.

Ta có

ë

1


Nên

Câu 25.

S=

Diện tích
3

2

y =x - 4x +2x +1 là
A.

37
13

Ta có 2x 3 - 3x 2

1

Nên S =ò

x
-2

10


ổ4
x

ỗ
=

ỗ
ố4

Cõu 26. Din tớch hỡnh phng gii hn bi thị hàm số y =- x2 +4 , đường thẳng x =3 , trục tung
và trục hoành là
A.
Xét pt - x2 +4 =0 trên đoạn [ 0;3]
Suy ra S =ò

Câu 27. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
thẳng x 3,
202

A.
Hướng dẫn giải
Xét pt x 3 - 4x =0 trên đoạn [ - 3;4]
Suy ra S =ò
Câu 28. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
x =e là

e2 - 1
A.
Xét pt x ln x =0 trên nữa khoảng (
e e2 +1
Suy ra S =òx ln xdx = 41
Câu 29.

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =x 2 +x - 2, y =x +2 và hai đường
thẳng x =- 2; x =3. Diện tích của (H) bằng
A.

87

5
Hướng dẫn giải
Xét phương trình (x 2 +x - 2) - (x +2) =0 Û x 2 - 4 =0 Û x =±2

Suy ra S =ò

B.

Câu 30. Gọi (H) là hình
phẳng được giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số
Diện tích của (H) bằng


A.

(

= 1+e x

y

)

Hướng dẫn giải

(

Xét pt 1+e x

) x - ( 1+e) x =0 có nghiệm x =0, x =1
x , y =( 1+e) x .

e +1

D. 2

11


1

Suy ra S =ò
0

3. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Câu 31. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

(H) bằng

7

A.
3

Xét pt
Suy ra S =ò
Bảng xét dấu x2 - 1 trên đoạn [ 0;3]
x2 - 1

Vậy S =2
Câu 32. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
của (H) bằng
A.

Xét pt
1

(

Suy ra S =ò - x 2 +5 x

) dx +ò( x

2

)

(

- 3x +6 dx +ò - x 2 +5 x

) dx =

0

Câu 33.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P ): y =x 2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hồnh
độ x =2 và trục tung bằng
8
A

.

3

PTTT của (P) tại x =2 là y =4 x
Xét pt

(


Suy ra S =ị

Câu 34. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số
9

A.
4

Biến đổi về hàm số theo biến

Xét pt tung độ giao điểm (- y 2
12


Câu 35. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các th hm s
A. 27 ln 2

Xột cỏc pthg

Suy ra

ổ

3

ỗ
ũỗ

S=

Cõu 36. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là

A.

Ta có y

0

8
3

è


Câu 37. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng
y =8 x , y =x và đồ thị hàm số y =x3 là
A. 68

13


Ta có
8x - x =0 Þ

1

Nên S =ị( 8x - x) dx +ị
0

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

trong miền x ³ 0, y £1là
A. 4
Hướng dẫn giải : Ta có
x - 1 =0 Þ x =1; x -

S=


Nên

14