(Sáng kiến kinh nghiệm) sử dụng biệt thức delta vào giải toán

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1. Lời giới thiệu:
Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai là n ội dung c ơ b ản,
quan trọng của chương trình đại số 9.
Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải một số dạng toán khác
như thế nào? Điều này cũng đã được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đề
cập. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy Tốn 9 cũng nh ư bồi d ưỡng h ọc
sinh giỏi tốn 9 nhiều năm tơi chưa thấy có tài liệu nào đề cập m ột cách
đầy đủ, sâu rộng về các ứng dụng của biệt thức Delta trong gi ải tốn. Đ ặc
biệt trong chương trình toán THCS, xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến
tam thức bậc hai có dạng:
- Chứng minh bất đẳng thức và cực trị đại số
- Cực trị hình học
- Các bài tốn có nội dung số học và tốn rời rạc
- Phương pháp miền giá trị hàm số
- Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số, ph ương trình và
hệ phương trình nghiệm nguyên.
Đây là một nội dung khó đối với chương trình tốn 9. Th ường xu ất hi ện
trong các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên, đề thi học sinh gi ỏi các c ấp. Khi
giải bài tập dạng này học sinh gặp nhiều khó khăn, v ướng m ắc d ẫn đ ến
khơng hứng thú, bởi vì các em chưa tìm ra được ph ương pháp thích h ợp.
Mặt khác cơng cụ giải các bài tốn trên cịn nhiều h ạn ch ế. Khơng vì th ế
mà giáo viên xem nhẹ các dạng toán này mà giáo viên cần phải bắt đ ầu t ừ


đâu, dẫn dắt như thế nào để các em không lúng túng khi gặp các dạng tốn
này.
Trong q trình giảng dạy tơi đã tìm ra ứng d ụng c ủa bi ệt th ức Delta. Nó
chiếm vị trí rất quan trọng khi giải các bài tập dạng này. V ận d ụng bi ệt

thức Delta, ta tìm ra kết quả bài tốn nhanh chóng. Mặt khác cịn giúp h ọc
sinh có sự hứng thú khi giải tốn. Chính vì vậy tôi vi ết chuyên đ ề “Sử
dụng biệt thức Delta vào giải toán ” . Qua giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 9, tôi thấy chuyên đề này rất thiết thực, các em đã có th ể gi ải
được một số dạng tốn khó trên bằng việc sử dụng biệt th ức Delta. Đ ưa
được các dạng toán đó về dạng quen thuộc và đơn giản h ơn. Bằng s ự c ố
gắng của bản thân và kinh nghiệm giảng dạy đội tuy ển tơi đã hồn thành
chun đề này. Xong với sự hạn chế của bản thân và điều kiện nghiên cứu
chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong đ ược bạn đ ọc
tham khảo, đóng góp ý kiến để chun đề được hồn thiện h ơn.
2. Tên sáng kiến: Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Thủy
- Địa chỉ tác giả sáng kiên: Trường THCS Hợp Thịnh
- Số điện thoại: 0973295907

E_mail:

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Thanh Thủy
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực có thể áp dụng : Giáo dục
- Vấn đề mà sáng kiến giải quyết: Sử dụng biệt thức Delta vào giải một số
dạng tốn khó ở trường phổ thơng
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng th ử: 9/2017


7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
A. Lý thuyết cơ bản:
1. Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

(1)

Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 ( hoặc ∆’ = b’2 - ac ≥ 0 )
2. Dấu của tam thức bậc hai:
2.1 Cho tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Û

Nếu ∆ < 0 thì

> 0 Þ f(x) ln cùng dấu với a

Nếu ∆ = 0 thì

=

Nếu ∆ > 0 thì

= (x – x1)(x – x2). Giả sử x1 < x2

≥ 0 Þ f(x) ln cùng dấu với a (trừ x =

)

Þ f(x) trái dấu với a nếu x1 < x < x2 hoặc f(x) cùng dấu a nếu x < x1 hoặc x >
x2
2.2 Cho tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a >0)
+ f(x) ≥ 0 với "x Ỵ R Û ∆ = b2 – 4ac ≤ 0
B. Các dạng bài tập:

Dạng 1: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ĐẠI SỐ
Bài 1: Cho các số thực x, y, z ≠ 0 thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: x2 ≥ 3.

Giải:
Ta có:

Û

Vậy các số y, z là nghiệm của phương trình:
t2 - (x3 - x)t + x2 = 0 (*)
Do tồn tại x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài tốn nên ph ương trình (*) có
nghiệm
∆ = (x3 - x)2 – 4x2 ≥ 0 Û (1 – x2)2 ≥ 4 (do x ≠ 0) Û

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn : 9a2 + 8ab + 7b2 ≤ 6
Tìm GTLN của biểu thức: P = 7a + 5b + 12ab
Giải:
Xét hàm số:
f(a,b) = 9a2 – (4b+7)a + 7b2 + 3
Ta có: Da = -59(2b – 1)2 ≤ 0
Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:


f(a,b) ≥ 0

7a + 5b + 12ab – 9 ≤ 9a2 + 8ab + 7b2 – 6 ≤ 6 – 6 = 0
7a + 5b + 12ab ≤ 9

Vậy Pmax = 9 dấu bằng xảy ra

a=b=

Bài 3: Cho a, b là hai số thỏa mãn a2 + 4b2 = 1. Chứng minh rằng:

Giải:
Đặt a – b = x => a = x + b. Thay a = x + b vào a 2 + 4b2 = 1 ta được:
(x + b)2 + 4b2 = 1 Û x2 + 2bx + b2 + 4b2 = 1 Û 5b2 + 2bx + x2 – 1 = 0 (*)
Xem (*) là phương trình bậc hai ẩn b. Phương trình (*) có nghiệm Û ∆’ ≥ 0
Û - 4x2 + 5 ≥ 0 Û x2 ≤

Vậy

Dạng 2: CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác đều ABC, trên các đoạn thẳng BC, CA và AB l ần l ượt
lấy các điểm I, J, K sao cho K không trùng với A, K không trùng v ới B
và

. Chứng minh:

.


Giải:
Ta có:

JKB =

BAC +

Mà:

JKB =

JKI +

AJK ( góc ngồi tam giác AJK)
IKB
Mặt khác:

Suy ra

AJK =

BAC =

JKI = 600

BKI

Vậy D BKI đồng dạng với DAJK
Suy ra

Đặt AK = x, BK = y (x, y > 0)
Ta có : x + y = AB = a (không đổi)
Và: AK. BK = m (m > 0)
Do đó x, y là nghiệm của phương trình X2 – aX + m = 0. Phương trình này
phải có nghiệm nên : D = a2 – 4m ≥ 0

m


Vậy BI.AJ = AK.BK

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y =

tức là K là trung điểm của đoạn

AB.
Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức

Giải:
Đặt a = 2016, a > 0, ta có bài tốn tổng qt:
Tìm GTLN của biểu thức

ĐKXĐ: x ≠ - a, ta có:
P(x + a)2 = x

Px2 + (2aP – 1)x + a2P = 0 (*)

Do tồn tại P nên tồn tại giá trị tương ứng của x, nghĩa là (*) có nghi ệm
D = (2aP – 1)2 – 4a2P2 ≥ 0

Ta có:

1 – 4aP ≥ 0

P≤

(do a > 0)


Vậy maxP =

, thay a = 2016, ta được:

max P =

Bài 2: Tìm miền giá trị của hàm số:

Giải:
Biến đổi biểu thức về dạng phương trình bậc hai ẩn x, xem B nh ư một
tham số

Û (x2 + 1)B = x
Û Bx2 – x + B = 0 (1)
- Nếu B = 0 Û x = 0
- Nếu B ≠ 0 ta có : ∆ = 1 – 4B2
Do tồn tại x để xác định giá trị của B thì
Û∆≥0
Û 1 – 4B2 ≥ 0
Û B2 ≤

Û


Vậy maxB =

Ûx=1

* Vậy miền giá trị của B là:

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

Giải:
ĐKXĐ: x Ỵ R
Ta có: P(x2 + 1) = x2 + 4

x+3

(P – 1)x2 - 4

x + P – 3 = 0 (*)

Do tồn tại P nên tồn tại giá trị tương ứng của x, nghĩa là (*) có nghi ệm.
•

Nếu P = 1, (*) - 4x – 2 = 0 x =

•

Nếu P ≠ 1, thì (*) có nghiệm:
D = -P2 + 4P + 5 ≥ 0

(P – 5 )(1 + P) ≤ 0

-1 ≤ P ≤ 5.

Khi P = - 1 thì D = 0, phương trình có nghiệm kép x = -

Khi P = 5 thì D = 0 , phương trình có nghiệm kép x =

Vậy max P = 5 và min P = -1.
Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

.


Giải:
Chuyển yêu cầu về việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình :

Trong đó x là ẩn số, y là tham số, z là tham số có điều kiện.
Xét các trường hợp:
+ Khi z = 0

x + 2y + 1 = 0

+ Khi z ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
D≥0

1 – 4z(zy2 – 2y + 7z -1) ≥ 0

-4z2y2 + 8yz – 28z2 + 4z + 1 ≥ 0

(2)
Xem (2) là bất phương trình ẩn y, bất phương trình này nghiệm đúng
với mọi giá trị của y khi:

16z2 + 4z2(-28z2 + 4z + 1) ≥ 0

-28z2 + 4z + 5 ≥ 0

≤z≤

Khi z nhận các giá trị này thì đẳng thức ở (1) và (2) xảy ra. Lúc đó

và x =


Vậy maxA =

x = 1; y = 2 và minA =

x=

;y=

Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN,
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN.
Bài 1: Trong mọi cặp số (x; y) thỏa mãn: x2 – yx2 + 2xy – y + 7 = 0. Tìm
cặp số (x; y) mà y có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Ta có x2 – yx2 + 2xy – y + 7 = 0

(1 – y) x2 + 2yx – y + 7 = 0 (*)

•

Với y = 1, từ (*) ta có: 2a – 1 + 7 = 0 x = - 3

•

Với y ≠ 1, xem (*) là phương trình ẩn x.

(*) có nghiệm

ymin =

D' ≥ 0

y2 – (1 – y)(-y + 7) ≥ 0

x=-7.

Vậy (x; y ) = (-7;

)

Bài 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
x2 + 2x – 4y2 + 9 = 0 (1)
Giải:

8y ≥ 7

y≥

.

Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆’= 1 + 4y 2 – 9 = 4(y2 - 2) ≥0 Þ y2 ≥
2Þ

để phương trình có nghiệm ngun ngồi điều kiện ∆’ ≥ 0 ta cần thêm
điều kiện ∆’ là số chính phương.
Đặt 4y2 – 8 = k2 ( k ỴN) Þ 4y2 – k2 = 8 Û ( 2y – k )(2y + k) = 8
Vì 2y – k + 2y + k = 4y là số chẵn nên 2y – k và 2y + k cùng tính ch ẵn, l ẻ
Và ( 2y – k )(2y + k) = 8 ( 8 chẵn ) nên 2y – k và 2y + k cùng ch ẵn
Þ

(loại)

Hoặc

(loại). Vậy phương trình khơng có nghiệm

ngun
Bài 3: Giải hệ phương trình

Giải:
Từ (2)

x2 + y2 + xy – 3x – 4y + 4 = 0

x2 + (y – 3)x + (y – 2)2 = 0

Để phương trình này có nghiệm với ẩn x, ta phải có:

D = (y – 3)2 – 4(y – 2)2 ≥ 0

Mặt khác (2)

(y – 1)(3y – 7) ≤ 0

0≤y≤

(3)

y2 + (x – 4) y – 3x + 4 + x2 = 0.

Để phương trình này có nghiệm với ẩn y, ta phải có:
D = (x – 4)2 – 4(x2 – 3x + 4) ≥ 0

x(3x – 4) ≤ 0

Từ (3) và (4) ta có

0≤x≤

(4)

, khơng thỏa mãn (1)

Vậy hệ phương trình đã cho vơ nghiệm.
Bài 4: Tìm các cặp (x ; y) thỏa mãn: 10x2 + 5y2 – 2xy – 38x – 6y + 41 = 0 (1)
Giải:
(1)

10x2 – 2(y + 19)x + 5y2 – 6y + 41 = 0 (2)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi:
D' ≥ 0

(y+19)2 – 10(5y2 – 6y + 41 ) ≥ 0

- 49y2 + 98y – 49 ≥ 0
Với y = 1 suy ra x = 2
Vậy (x; y) = (2; 1).

-49(y – 1)2 ≥ 0

y=1


Bài 5: Giải hệ phương trình

Giải:
Từ (1) suy ra: x2 + (y – 3) x + 2 – y = 0 (*)
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn x, ta có
D = (y – 3)2 – 4(2 – y) = (y – 1)2
Nên (*) có hai nghiệm x = 1 và x = 2 – y
+ Với x = 1 thay vào (2) ta được y = -1 hoặc y = 1
+ Với x = 2 – y thay vào (2) ta được y = 1 suy ra x = 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (1; 1) và (x; y) = (1; -1)
Bài 6: Giải hệ phương trình:

Giải:
Hệ phương trình

Đặt a = x + y, b = x – y khi đó hệ trên có d ạng

Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm a, ph ương
trình (2) có nghiệm b suy ra


+ Với z = 2 thay vào hệ (I) ta có a = b = 1 suy ra x = 1; y = 0
+ Với z = -2 thay vào hệ (I) ta có a = b = -1 suy ra x = -1; y = 0
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 2) và (x; y; z) = (-1; 0;
-2)
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ba số nguyên a, b, c thỏa mãn a + b + c và c là các s ố lẻ. Ch ứng
minh rằng phương trình: ax2 + bx + c = 0 khơng có nghiệm ngun.
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + 2 > 0 với mọi
(x,y)
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0. Dấu “=” xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC có
đặc điểm gì?
Bài 4: Cho đẳng thức: x2 – x + y2 – y = xy (1). Chứng minh rằng:
(y - 1)2 ≤

; (x - 1)2 ≤

Bài 5: (Đề thi THPT chuyên KHTN 2013) .
Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình:
1.

2x2 + 3xy + y2 – 4x – 3y + 1 = 0

2.

(x + y)(x + 2y) = 5 + x


Bài 6: Cho hệ phương trình:

giả sử hệ có nghiệm,

chứng minh rằng:

Bài 7: Cho x2 + y2 + xy = 1. Tìm GTLN, GTNN của A = x2 – xy + 2y2

Bài 8: (Đề thi vào lớp 10 năm 2009 ĐH KHTN – ĐHQG Hà N ội).
Giải hệ phương trình:

Bài 9: Cho các số thực x, y thỏa mãn 9x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức

Bài 10: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
* Sáng kiến đã được áp dụng vào:
+ Báo cáo chuyên đề Cụm do phịng GD&ĐT Tam Dương tổ ch ức do
chính tác giả báo cáo
+ Sáng kiến được áp dụng vào bồi dưỡng học sinh khá, gi ỏi l ớp 9 c ủa
trường THCS Hợp Thịnh thi vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, chuyên ĐHSP


thuộc ĐHQG Hà Nội, THPT chuyên Vĩnh phúc và các trường THPT cơng lập

có uy tín của tỉnh Vĩnh Phúc
+ Sáng kiến còn được áp dụng vào bồi dưỡng đội tuy ển học sinh gi ỏi
toán lớp 9 của trường THCS Hợp Thịnh thi học sinh giỏi các cấp và thi gi ải
tốn trên mạng Violympic
+ Sáng kiến cịn được áp dụng vào bồi dưỡng đội tuy ển h ọc sinh gi ỏi
giải tốn trên máy tính cầm tay của trường THCS Hợp Th ịnh
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh giỏi toán lớp
9.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo
các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do
áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Khi chưa áp dụng sáng kiến: Học sinh gặp các dạng toán như: Ch ứng minh
bất đẳng thưc, các bài toán số học, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, mi ền
giá trị của hàm số, giải phương trình và hệ phương trình có nhi ều ẩn s ố,
giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên trong các đề thi
thường các em gặp nhiều khó khăn, lúng túng, v ướng mắc d ẫn đ ến không
hứng thú, bởi vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích h ợp. M ặt khác
cơng cụ giải các bài tốn trên cịn nhiều hạn chế. và thường nh ững câu đó
học sinh để mất điểm và rất ít học sinh làm được. Do vậy kết quả các kỳ
thi học sinh giỏi giải Toán chưa được cao và ổn định.


Khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy đội tuy ển HSG gi ải Toán, h ọc sinh
tiếp thu kiến thức dễ dàng, có được một cơng cụ hỗ trợ là biệt th ức Delta
từ đó các em dễ dàng tìm ra phương pháp giải tốn ngay cả v ới h ọc sinh
khá, đa số các em có kỹ năng trình bày lời giải ch ặt chẽ và đ ầy đ ủ. T ừ đó

học sinh rất hứng thú và hăng say trong h ọc tập. K ết qu ả các kỳ thi h ọc
sinh giỏi giải Toán các cấp đã được nâng lên cả về số lượng và chất l ượng.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có th ể thu được do áp
dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
- Khi sáng kiến được báo cáo tại chuyên đề cụm do phịng GD&ĐT Tam
Dương tổ chức, các thầy cơ dạy tốn của các trường trong c ụm đ ều đánh
giá cao chuyên đề về tính thiết thực và khả năng áp dụng của chun đ ề,
nó cịn phù hợp với cả các đội tuyển học sinh giỏi của các tr ường đ ại trà,
các thầy cô coi đây là một tài liệu hay, một ph ương pháp m ới đ ể áp d ụng
giảng dạy các đội tuyển của mình. Nhiều thầy cơ cịn khơng nghĩ là s ử
dụng biệt thức Delta có thể giải được các bài tốn khó như chứng minh
bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số...
- Các thầy, cô giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường THCS Hợp Thịnh
cũng đã áp dụng chuyên đề vào bồi dưỡng đội tuyển, thấy rằng chuyên đề
thiết thực và phù hợp, đặc biệt là giải tốn bằng máy tính cầm tay và giải
tốn trên mạng Violympic các em có thể áp dụng và tìm ra đáp số nhanh
chóng của nhiều bài tốn
Kết quả của đội tuyển Toán trường THCS Hợp Thịnh cụ thể như sau:

Năm học
2018-2019

Kết quả thi HSG
cấp huyện
01Ba và 1KK

Kết quả thi HSG

Ghi chú

cấp Tỉnh
Áp dụng CĐ


11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng th ử ho ặc
áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số

Tên tổ

TT

chức/cá

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

nhân
1

Lê Thị Thu

Trường THCS Hợp

Hiền

Thịnh

Đội tuyển toán lớp 9
của trường THCS Hợp
Thịnh

2

Phùng Xuân

Trường THCS Hợp

Hoan

Thịnh

Đội tuyển toán lớp 9
của trường THCS Hợp
Thịnh

Hợp Thịnh, ngày 05 tháng 3
năm2019

Hợp Thịnh, ngày 02 tháng 3 năm 2019
Tác giả sáng kiến

Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
Nguyễn Thị Thanh Thủy