(Sáng kiến kinh nghiệm) rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. LỜI GIỚI THIỆU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Đồ thị hàm số là một khái niệm thể hiện hình ảnh trực quan của hàm số,
thông qua đồ thị hàm số mà chúng ta nhận ra được một số tính chất: Tính đồng
biến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm
số, nghiệm (số nghiệm) của một phương trình hay bất phương trình liên quan,...
Trong thời gian gần đây, khi hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang
thi trắc nghiệm khách quan thì các bài tốn liên quan đến đồ thị rất được chú ý
và thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi HSG ở các tỉnh trên cả
nước. Các bài tốn có yếu tố đồ thị xuất hiện ở nhiều dạng toán khác nhau như:
Sự biến thiên của hàm số, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
của hàm số, nghiệm của phương trình – bất phương trình, tích phân – diện tích
hình phẳng,... Phạm vi của đề tài này chỉ đề cập đến hai dạng tốn đó là bài toán
về sự biến thiên và bài toán về cực trị của hàm số.
Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thường
quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầm
tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất. Các em gặp rất nhiều khó khăn
trong việc đọc được các thơng tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị
của chúng. Chính vì vậy tơi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số
dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em
học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị.
Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cách
biến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thị
của hàm số đã cho. Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin về
hàm số dựa vào đồ thị đã cho. Từ đó các em giải được các bài tốn về điểm cực
trị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai thác
các thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan. Qua thực

Năm học 2019 - 2020

Trang 1


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bài
toán theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận,
làm quen và thành thạo các dạng toán này. Đề tài này dựa trên cơ sở của chuyên
đề “ Áp dụng đồ thị vào bài toán xét sự biến thiên và cực trị của hàm số ” của
chính tác giả, đã tham gia báo cáo chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học
2019-2020 và đã được hội đồng thẩm định cấp tỉnh lựa chọn vào nhóm 8 chuyên
đề được tham gia báo cáo cấp tỉnh. Trên cơ sở những ghóp ý q báu của các
Thầy giáo, Cơ giáo trong các cuộc hội thảo cấp trường, cấp cụm và cấp tỉnh tơi
đã có tiếp thu và đã chỉnh sửa, đề xuất thêm các bài tập tự luyện cho học sinh
rèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị. Xin trân thành
cảm ơn các Thầy giáo, Cơ giáo, các bạn đồng nghiệp đã có những ý kiến ghóp ý
cho đề tài trong thời gian qua.
Do còn hạn chế thời gian chuẩn bị cho đề tài cũng như năng lực chuyên
môn nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức
trình bày. Kính mong các Thầy, Cơ đọc và góp ý để báo cáo này được hồn
chỉnh hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Hệ thống một số dạng toán áp dụng đồ thị hàm số để giải bài tốn cực
trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia.
- Đưa ra những nhận xét, đánh giá và dấu hiệu đặc trưng cho các dạng
toán để học sinh nhận dạng phương pháp.
1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
* Đối tượng nghiên cứu:

Một số dạng toán về các phép biến đổi đồ thị thường gặp, các bài tốn
nhận dạng, đọc thơng tin và xử lý thơng tin về hàm số khi biết đồ thị của hàm số
liên quan. Áp dụng đồ thị vào các bài toán về cực trị, tính đơn điệu của hàm số
thường gặp trong chương trình THPT.
* Phạm vi nghiên cứu:
Năm học 2019 - 2020

Trang 2


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thơng, có sự mở rộng phù
hợp với nội dung chương trình thi THPT Quốc gia mơn tốn trung học phổ
thơng.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đề xuất, tuyển chọn và sắp xếp các bài tốn cơ bản, hay theo trình tự từ
dễ đến khó một cách hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách tự nhiên,
khơng gặp nghiều khó khăn và theo một hệ thống. Từ đó tạo được hứng thú cho
học sinh khi gặp dạng toán này.
- Đưa ra một số nhận xét, đánh giá chủ quan có hệ thống về cách tiếp cận
lời giải trong các dạng toán cơ bản, điển hình.
1.5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu.
- Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài tốn.
- Thực nghiệm sư phạm qua cơng tác giảng dạy học sinh đại trà, công tác
bồi dưỡng ôn luyện thi THPT QG của cá nhân tôi trong thời gian 3 năm học, từ
năm 2017 – 2018 đến năm học 2019 – 2020.
Với mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu đã nêu ở trên, đề tài “

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12
” chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp như phần phạm vi đề tài
đã nêu ra. Vì lý do còn hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy, đề
tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót trong cấu trúc cũng như nội dung.
Kính mong q thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho nhận xét, góp ý đề
đề tài được hồn thiện hơn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn !

Năm học 2019 - 2020

Trang 3


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2. TÊN SÁNG KIẾN.
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12
3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Nguyễn Minh Hải
- Địa chỉ: Trường THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0912898797
- E_mail:
4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN.
Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến
5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục
- Đối tượng, phạm vi áp dụng: Giảng dạy cho học sinh lớp 12, ôn thi trung
học phổ thông quốc gia.
- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Hình thành kỹ năng áp dụng đồ thị giải các

bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số cho học sinh lớp 12. Giúp các em
nắm chắc kiến thức môn học và đạt kết quả tốt hơn trong kỳ thi tốt nghiệp
THPTQG.
6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU.
- Sáng kiến được tác giả áp dụng lần đầu: Tháng 06 năm 2018
- Sau mỗi năm sáng kiến đã được tác giả bổ sung, chỉnh sửa để đáp ứng
với yêu cầu giảng dạy của giáo viên cũng như yêu cầu học tập của học sinh.
7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
PHẦN 1. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN.
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Vai trị của hoạt động giải bài tập tốn
Trong q trình dạy học nói chung, cũng như dạy học mơn Tốn nói
riêng, việc phát triển tư duy cho học sinh là một trong những khâu quan trọng và
xuyên suốt trong nội dung, chương trình giảng dạy. Người giáo viên khơng chỉ
Năm học 2019 - 2020

Trang 4


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

truyền thụ những tri thức dưới dạng sẵn có mà cần phải quan tâm nhiều đến việc
dạy phương pháp, dạy cách đi tới tri thức mới cho học sinh. Một trong những
biện pháp để phát triển tư duy học sinh đó là giải các bài tập tốn. Giải các bài
tốn đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học. Chức năng của bài tốn
khơng chỉ bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Chính học sinh tự mình
xây dựng các kiến thức tốn học cho chính bản thân mình thơng qua hoạt động
giải các bài tốn.
1.2. Các bước của hoạt động giải toán
Hoạt động giải toán thường diễn ra theo năm bước sau đây:

Bước 1: Tìm hiểu bài tốn
- Đọc kĩ đề, nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích rõ được các dữ kiện đã cho,
điều kiện gắn liền với bài toán và hiểu được vấn đề mà bài tốn u cầu giải
quyết.
- Tóm tắt bài tốn, đổi đơn vị các đại lượng cho phù hợp.
- Vẽ hình trong các bài tốn hình học, hoặc mơ hình minh họa.
Bước 2. Tìm kiếm phương hướng giải (Chương trình giải)
Đây là vấn đề khó khăn lớn nhất đối với đa số học sinh khi đứng trước
một bài toán, học sinh thường không biết “ khởi động ” như thế nào, không biết
bắt đầu từ đâu. Thông thường học sinh biến đổi một cách tùy tiện, cầu may, mà
khơng có định hướng cụ thể, mặc dù các em có thể đã hiểu được những dữ kiện
và yêu cầu của bài toán.
Một số biện pháp giúp học sinh tìm phương hướng:
- Nhận biết kiến thức: Huy động mọi kiến thức liên quan đến giả thiết và
kết luận của bài tốn. Phân tích theo hướng có lợi, sắp xếp và chắp nối các
kiến thức để tìm ra cách giải.
- Quy lạ về quen.
- Nghiên cứu một vài trường hợp đặc biệt, từ đó dự đốn cách giải cũng
như kết quả bài tốn.
- Phân tích đi lên, đi xuống: Tăng, giảm các điều kiện để tìm ra các dấu
hiệu đặc biệt
Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn.
Trong trường hợp có nhiều cách giải, giáo viên có thể đề nghị học sinh
Năm học 2019 - 2020

Trang 5


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

tiến hành giải theo các cách khác nhau đã phát hiện ra. Từ đó phân tích để đi đến
một cách giải tối ưu cho bài toán.
Bước 4. Tiến hành soạn lời giải.
Đây cũng là một bước khó khăn đối với học sinh, nhiều học sinh khơng
biết cách trình bày lời giải một cách ngắn gọn, rõ ràng và chính xác, khơng
những thế đơi khi họ cịn mắc sai lầm. Chính vì thế việc rèn luyện kỹ năng trình
bày cho học sinh là rất quan trọng.
Bước 5. Kiểm tra, đánh giá kết quả.
Thông thường học sinh không quan tâm nhiều đến việc kiểm tra, đánh giá
kết quả, hoặc đơn giản chỉ dừng lại ở việc đối chiếu một cách rất trực quan các
đáp số với nhau. Khâu kiểm tra, đánh giá kết quả là rất quan trọng vì nó bao
hàm nhiều mục đích khác:
- Kiểm tra các cơng thức và kết quả tính tốn.
- Kiểm tra các suy luận có hợp logic và chặt chẽ khơng, kết quả có thích
đáng khơng.
- Phát hiện cách giải khác đôi khi ngắn gọn hơn, hay hơn.
- Đánh giá phương pháp giải, hệ thống dạng toán điển hình.
- Phát hiện các trường hợp đặc biệt, khái quát hay mở rộng bài toán.
II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
2.1. Hàm số liên tục
2.1.1. Định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại nghiệm của phương
trình.
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b)  0 , thì phương
trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b) .
2.1.2. Chú ý về đồ thị hàm số liên tục
- Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên
khoảng đó.
- Đồ thị của hàm số liên tục nối hai điểm khác phía so với trục Ox thì ln
phải cắt trục Ox tại ít nhất một điểm.
Năm học 2019 - 2020

Trang 6


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2.2. Hàm số đồng biến, nghịch biến
2.2.1. Định nghĩa 1.
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D (D là một khoảng, nửa khoảng,
đoạn).
- Hàm số y  f ( x) gọi là đồng biến trên tập D nếu x1 , x2  D và x1  x2 thì

f ( x1 )  f ( x2 ) .
- Hàm số y  f ( x) gọi là nghịch biến trên tập D nếu x1 , x2  D và x1  x2
thì f ( x1 )  f ( x2 ) .
2.2.2. Nhận xét về đồ thị
- Đồ thị hàm số đồng biến trên tập D là một đường đi lên từ trái sang phải
trên tập D.
- Đồ thị hàm số nghịch biến trên tập D là một đường đi xuống từ trái sang
phải trên tập D.
2.2.3. Định lí 1
Cho hàm số y  f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
- Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D.
- Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D.
- Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm hằng số trên tập D.
2.2.4. Định lí 2
Cho hàm số y  f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
- Nếu f '( x)  0, x  D và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm
số là hàm đồng biến trên tập D.
- Nếu f '( x)  0, x  D và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm

số là hàm nghịch biến trên tập D.
2.3. Điểm cực trị của hàm số
2.3.1. Định nghĩa.
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( trong đó a có
thể là  , b có thể là  ), x0  (a; b).
a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho

f ( x)  f ( x0 ), x  ( x0  h; x0  h) \ {x0 } thì ta

nói hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 .
b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho

f ( x)  f ( x0 ), x  ( x0  h; x0  h) \{x0 } thì ta

nói hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
2.3.2. Nhận xét
- Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại
điểm x0  (a; b) thì f '( x0 )  0 .
2.3.3. Định lí 1
Năm học 2019 - 2020

Trang 7


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm
trên K hoặc K |{x0 } , với h > 0.
a) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h)
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y  f ( x) .

Bảng biến thiên

b) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h)
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) .
Bảng biến thiên

2.3.4. Định lí 2
Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( x0  h; x0  h )
( h  0 ). Khi đó:
a) Nếu f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số
y  f ( x) .

b) Nếu f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số
y  f ( x) .

2.4. Các dạng đồ thị của các hàm số cơ bản thường gặp
2.4.1. Đồ thị hàm bậc 2: y  ax 2  bx  c (a  0)
0

0

0

a>0

a<0

Năm học 2019 - 2020

Trang 8

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2.4.2. Đồ thị hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  c (a  0)
y '  0 có hai nghiệm

y '  0 có nghiệm kép

y '  0 vô nghiệm

phân biệt

a>0

a<0

2.4.3. Dạng đồ thị hàm y  ax 4  bx 2  c (a  0)
y '  0 có ba nghiệm phân biệt

y '  0 có một nghiệm

a>0

a<0

2.4.4. Dạng đồ thị hàm số y 

ax  b
cx  d

ad  bc  0

Năm học 2019 - 2020

(c  0, ad  bc  0)

ad  bc  0

Trang 9


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2.5. Một số phép biến đổi đồ thị hàm số
Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Khi đó đồ thị của một số hàm số liên
qua đến hàm số y  f ( x) được xác định như sau:
2.5.1. Đồ thị hàm số y  f ( x)
Đồ thị hàm số y  f ( x) có được bằng cách lấy đối xứng với đồ thị (C)
qua trục Oy.
2.5.2. Đồ thị hàm số y   f ( x)
Đồ thị hàm số y   f ( x) có được bằng cánh lấy đối xứng với đồ thị (C)
qua trục Ox.
2.5.3. Đồ thị hàm số y | f ( x) |
 f ( x) khi f ( x)  0
  f ( x) khi f ( x)  0

Ta có: y | f ( x) | 

Do đó đồ thị hàm số y | f ( x ) | gồm hai phần

Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên trên của trục Ox, kể cả trục Ox.
Phần 2: Phần đối xứng qua Ox với phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox.
2.5.4. Đồ thị hàm y  f (| x |)
 f ( x) khi x  0
và hàm số y  f (| x |) là hàm chẵn
 f ( x) khi x  0

Ta có: y  f (| x |)  

Do đó đồ thị hàm số y  f (| x |) gồm hai phần
Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên phải của trục Oy, kể cả trục Oy.
Phần 2: Phần đối xứng với Phần 1 qua trục Oy
2.5.5. Đồ thị hàm y  f ( x)  a
Đồ thị hàm y  f ( x)  a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ

u  (0; a ) .

+ Nếu a  0 tịnh tiến (C) lên phía trên a đơn vị.
+ Nếu a  0 tịnh tiến (C) xuống phía dưới a đơn vị.
2.5.6. Đồ thị hàm số y  f ( x  a)
Đồ thị hàm số y  f ( x  a) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo


vectơ u  (a;0) .
+ Nếu a  0 tịnh tiến (C) sang trái a đơn vị.
+ Nếu a  0 tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị.
2.5.7. Đồ thị hàm số y  f ( x  a )  b
Đồ thị hàm số y  f ( x  a)  b có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo


vectơ u  (a; b) .
Hoặc: - Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x  a) từ đồ thị (C) được đồ thị ( C1 )
- Vẽ đồ thị y  f ( x  a )  b từ đồ thị ( C1 )
Năm học 2019 - 2020

Trang 10


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2.6. Một số điểm cần chú ý khi đọc các thông tin trên một đồ thị hàm số
2.6.1. Khi biết đồ thị của hàm số y  f  x 
- Khi biết đồ thị của hàm số (hoặc bảng biến thiên ) chúng ta cần phải
nhận dạng được các yếu tố sau đây:
+ Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x 
+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  x  .
+ Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.
+ Sự tương giao của đồ thị hàm số y  f  x  với một số đường đặc
biệt: các trục tọa độ, các đồ thị hàm số khác liên quan,...
2.6.2. Khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x 
- Khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  (hoặc bảng xét dấu của f '  x  )
chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây:
+ Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định.
+ Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x 
+ Điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  x  .
III. CÁC DẠNG TỐN ĐIỂN HÌNH
Định hướng chung khi giải bài tốn về sự biến thiên, cực trị của hàm
số bằng phương pháp đồ thị.
Hướng 1. – Từ đồ thị hàm số (hàm số) đã cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm
số liên quan bằng các cách biến đổi đồ thị.

- Dựa vào đồ thị rút ra kết luận.
Hướng 2. – Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho chúng ta lập được bảng xét
dấu của hàm số liên quan.
- Dựa vào bảng xét dấu rút ra kết luận
3.1. Bài tốn về sự biến thiên của hàm số
3.1.1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  u ( x)   v( x) khi
biết đồ thị của hàm số y  f  x 
Chú ý: Khi biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên của hàm số) hàm số y  f  x  thì
khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên cơ sở sau:
- Khoảng đồng biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là
đường đi lên kể từ trái qua phải.
- Khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là
đường đi xuống kể từ trái qua phải.

Năm học 2019 - 2020

Trang 11


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Ví dụ 1. (NB)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0  .

B.  2;    .

C.  0; 2  .

D.  0;    .

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và  0; 2  .
Chọn phương án C.
Ví dụ 2. (NB)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng dưới đây?
A. (2; 6) .
B. (0; 4) .
C. (3; 4) . D. (1; 4) .

Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng (2; 4) do đó đồng biến
trên (3; 4) .
Chọn phương án C.
Ví dụ 3. (TH)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có đồ thị như
hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  ?

Hướng dẫn giải
 f  x  khi x  0

Ta có: y  f  x   

 f   x  khi x  0

. Mặt khác hàm số y  f  x  là hàm số chẵn

trên tập  . Nên đồ thị của hàm số y  f  x  nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Do đó đồ thị hàm y  f  x  gồm 2 phần:
- Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía bên phải trục Oy ,
kể cả Oy.
- Phần 2: Lấy đối xứng Phần 1 qua trục Oy .
Năm học 2019 - 2020

Trang 12


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Đồ thị hàm số y  f  x 

Đồ thị hàm số y  f  x 

Từ đồ thị suy ra:
Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng  3; 1 và  0;1 và  3;   .
Hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng  ; 3  và  1; 0  và 1;3  .
Ví dụ 4. (TH)
Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị
như hình vẽ bên. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh
đề sau:
A. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 .
B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 1; +  .
C. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1; 0  .
D. Hàm số y  f  x  đồng biến biến trên khoảng  1;1 .
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm y  f  x  cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hồnh độ
x  a (a  1); x  b(0  b  1); x  c(c  1).

Cách vẽ đồ thị hàm số  C  : y  f  x 
 f  x

Ta có y  f  x   

khi f  x   0

.

  f  x  khi f  x   0
Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số  C  từ đồ thị hàm số y  f  x  gồm 2 phần

sau:
Phần 1: Giữ nguyên đồ thị y  f  x  phần nằm phía trên trục Ox, kể cả Ox.
Phần 2: Lấy đối xứng với phần 1 qua trục Ox.
Đồ thị hàm số y  f  x 
Đồ thị hàm số y  f  x 

Từ đồ thị suy ra:
Năm học 2019 - 2020

Trang 13


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng (; a),  1; b  , (1; c).
Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng (a; 1),  b;1 , (c; ).
Đối chiếu với các điều kiện của a, b, c ta nhận thấy (1; 0)  (1; b) nên hàm số nghịch

biến trên khoảng  1; 0  .
Ví dụ 5.(VDT)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như
hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số
g  x  f  x 1  ?

Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số g  x   f  x  1 

Đồ thị hàm số y  f  x 

- Từ đồ thị hàm số y  f  x  vẽ đồ thị hàm số y  f  x  (đường nét đứt trên hình
vẽ)
- Từ đồ thị hàm số y  f  x  vẽ đồ thị hàm số y  f  x  1  bằng cách tịnh tiến đồ
thị hàm số y  f  x  sang trái 1 đơn vị (đường nét liền trên hình vẽ). Dựa vào đồ
thị ta thấy:
Hàm số g  x   f  x  1  đồng biến trên các khoảng (4; 2), (1; 0), (2; ).
Hàm số g  x   f  x  1  nghịch biến trên các khoảng (; 4), (2; 1), (0; 2).
Ví dụ 6. (VDC)
Cho hàm số y  f ( x)  ax 4  bx 2  c, (a  0) có đồ thị
(C)
như
hình
vẽ.
Hàm
số
g ( x)   f






3

x2 1   3  f







x2  1 


2

đồng biến trên

khoảng nào?
A.  0;   .

B. (1;0)

C. (;0)

D. (1;1)
Hướng dẫn giải

Năm học 2019 - 2020

Trang 14


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Do hàm y  f  x  có đạo hàm trên  nên hàm y  g  x  cũng có đạo hàm trên  .
f '  x   0  x  1; 0;

Ta có g ( x)  3  f




f '  x   0 x  ( 1; 0)  (1; ); f '  x   0 x  ( ; 1)  (0;1).



2

x2  1  .  f
 




x2  1   6 f






 

x2 1 .  f



x2 1  .





 3 f ( x 2  1).  f ( x 2  1)  .  f ( x 2  1)  2 

 

x
 3 f ( x 2  1).
. f '( x 2  1).  f ( x 2  1)  2  .
2


x 1


f 

Từ đồ thị  C  có f  x   2 , x   . Suy ra f
x 2  1  1, x   nên dựa vào  C  suy ra


x  1   0 . Do đó g '( x )  0  x  0 .

x 2  1  2  0, x   . Mặt khác
2

Ta có bảng xét dấu của y  g '( x) ( Thông qua xét dấu của g '(1) )

Do đó hàm số y  g ( x) đồng biến trên [0; ) . Vậy hàm số đồng biến trên
khoảng (0; ) .
Ví dụ 7. (VDC)
Cho

hàm

số

y  f  x   ax3  bx 2  cx  d

với

a, b, c, d ; a  0 là các số thực, có đồ thị như hình vẽ

bên. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc
khoảng
(2019; 2019)

để
hàm
số
g ( x)  f  x3  3x 2  m  nghịch trên khoảng  2;   ?

A. 2012
C. 4028

B. 2013
D. 4026
Hướng dẫn giải

Ta có g ( x)  (3x 2  6 x) f ( x 3  3x 2  m) .
Với mọi x  (2; ) ta có 3x 2  6 x  0 nên để hàm số g ( x)  f  x3  3x 2  m  nghịch
biến trên khoảng  2;    g '( x)  0, x  (2; )  f ( x 3  3x 2  m)  0, x  (2; ) .
x 1
;
x  3

Từ đồ thị ta nhận thấy: f ( x)  0  

x 1
f '( x)  0  
x  3

Do đó:
f ( x3  3x 2  m)  0, x  (2; )  h( x)  x 3  3 x 2  m  (;1]  [3; ), x  (2; ). (*)

Xét hàm số h( x)  x3  3x 2  m trên khoảng x  (2; ) .
Năm học 2019 - 2020

Trang 15


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Ta có: h '( x)  3 x 2  6 x  3 x( x  2)  0, x  2  Hàm h( x) đồng biến trên khoảng
x  (2; ) .
Lại có h(2)  m  4; lim h( x)  .
x 

Suy ra tập giá trị của hàm h( x) trên khoảng x  (2; ) là T  (m  4; )
Do đó (*)  (m  4; )  (;1]  [3; )  m  4  3  m  7 .
Do m nguyên thuộc khoảng (2019; 2019) nên các giá trị nguyên của m là
7;8;9;...; 2018.

Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn phương án A
3.1.2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  u ( x)   v( x) khi
biết đồ thị của hàm số y  f '  x  .
Chú ý: Khi cho đồ thị của hàm y  f '  x  thì chúng ta cần nhận ra được các
khoảng đồng biến ( f '  x   0 ) tương ứng với phần đồ thị y  f '  x  nằm phía bên
trên trục Ox, cịn các khoảng nghịch biến ( f '  x   0 ) tương ứng với phần đồ thị
y  f '  x  nằm phía dưới trục Ox.
Ví dụ 1. (NB)
Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có
đồ thị của hàm y  f   x  như hình vẽ. Mệnh đề nào
dưới đây sai?
A. Hàm số f  x  nghịch biến trên  1; 0  .
B. Hàm số f  x  đồng biến trên 1;   .
C. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  .

D. Hàm số f  x  đồng biến trên  2;   .
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta thấy f   x   0, x   ; 2  ; f   x   0, x   2;   ; f   x   0  x  1; 2.
Từ đó suy ra các mệnh đề A, C, D đúng và B sai.
Ví dụ 2. (TH) (Dựa theo Mã 102- Đề thi THPT Quốc gia năm 2018-2019)
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và đồ
thị hàm y  f '  x  như hình bên. Hàm số y  f  5  2 x 
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;3 .

B.  0; 2  .

C.  3;5  .

D.  5;   .

Hướng dẫn giải
Ta có y  f  5  2 x   y  2 f   5  2 x  .
Hàm số nghịch biến  y  0  2 f   5  2 x   0  f   5  2 x   0 .
Năm học 2019 - 2020

Trang 16


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

5  2 x  1
x  2
.


 3  5  2 x  1 3  x  4

Dựa vào đồ thị hàm y  f '  x  ta có f   5  2 x   0  

Vậy hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên các khoảng  3; 4  ,  ; 2  . Chọn
phương án B.
Ví dụ 3. (VDT) ( Đề thi HSG lớp 12 Tân Yên – Bắc Giang năm 2019)
Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  .
Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
y  f 1  x 2  nghịch biến trên khoảng nào sau đây ?

A. (1; 2).

1
B.   ;  
 2



C. (2; 1)

D. (1;1)

Hướng dẫn giải.
Ta có y  f 1  x   y '  2 xf '(1  x 2 ); Khi đó y '  0  xf '(1  x 2 )  0
2

 x0
x0



Khi đó y '  0  xf '(1  x )  0  
  1  x 2  1  x  0 .
2
f
'(1

x
)

0

 1  x 2  2

2

Ta có bảng biến thiên của hàm y  f 1  x 2 

Từ BBT suy ra hàm y  f 1  x 2  nghịch biến trên [0; ) . Chọn phương án A.
Ví dụ 4. (VDT)
Cho hàm số y  f  x  với đạo hàm f   x  có đồ thị như
hình vẽ bên. Đặt

g  x   3 f  x   x3  3 x 2  3 x  2019 .

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng 1; 2  .
B. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  1; 0  .
C. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 .
D. Hàm số y  g  x  nghịch biến trên khoảng  2;   .

Hướng dẫn giải
Ta có: g   x   3 f   x   3x 2  6 x  3 ;
g   x   0  3 f   x   3x 2  6 x  3  0  f   x   x 2  2 x  1
Năm học 2019 - 2020

Trang 17


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

- Xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số y  f   x  và
y  x2  2x  1.
Nhận thấy đồ thị hàm số y  f   x  và đồ thị hàm số
y  x 2  2 x  1 cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt
B, C , D có hoành độ lần lượt là x  0; x  1; x  2 . Khi
x  0
đó g '( x)  0  f   x   x  2 x  1   x  1 .
 x  2
2

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;1
Chọn phương án C.
Ví dụ 5. (VDC)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có f  0   0 và đồ
thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên. Hàm số
y  3 f  x   x 3 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.  1;0  .

B.  0;1 .

C. 1;   .

D. 1;3  .

Hướng dẫn giải
Xét hàm số g  x   3 f  x   x 3  g '  x   3  f '  x   x 2  . Ta có:
g '  x   0  f '  x   x 2 (1).

Nhận thấy đồ thị hàm số y  x 2 đi qua 3 điểm
O(0; 0), A(1;1), B (2; 4) và hai đồ thị hàm số y  f '  x  ,
y  x 2 cắt nhau tại đúng 3 điểm O(0; 0), A(1;1), B(2; 4) .
x  0
Khi đó g '  x   0  f '  x   x   x  1 .
 x  2
2

Từ đồ thị hàm số y  f '  x  và y  x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ ta
thấy:
Với x   ;0  hoặc x   2;   thì f '  x   x 2  f '  x   x 2  0  g '  x   0.
Năm học 2019 - 2020

Trang 18


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Với x   0; 2   f '  x   x 2  f '  x   x 2  0  g '  x   0.

Có f  0   0  g  0   0 và lim g ( x)  lim (3 f  x   x3 )  . Suy ra đồ thị hàm
x 

x 

y  g  x  cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x  0; x  a (a  2).

Từ đó ta có bảng biến thiên

Minh họa bằng đồ thị:
Đồ thị hàm số y  g  x 

Đồ thị hàm số y | g  x  |

Từ đồ thị hàm số y  g  x  vẽ đồ thị hàm số y  g  x  . Suy ra hàm số
y  3 f  x   x 3 đồng biến trên khoảng  0; 2  và  a;   với g  a   0, a  2. Chọn

phương án B.
1.3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1. (NB)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số
f  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau
đây?
A.  0;   . B.  0; 2  . C.  2; 0 . D.  ; 2  .

Bài tập 2. (NB) (Khảo sát 12 lần 1-THPT Yên Lạc - năm học 2019-2020)
Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ. Hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng
sau đây?
A. ; 1

B. 1;1
C. 0;1
D. 1;

Năm học 2019 - 2020

Trang 19


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 3. (NB) (Khảo sát 12 lần 1-THPT Lê Xoay-năm học 2019-2020)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  như hình
bên dưới. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số f  x  đồng biến trên 1;   .
B. Hàm số f  x  đồng biến trên  2;1 .
C. Hàm số f  x  nghịch biến trên  1;1 .
D. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  .
Bài tập 4. (NB) (KSCL trường Lý Thánh Tông – Hà nội lần 2 năm 2019-2020)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số
y  f  x  đồng biến trên khoảng nào?
A.  ; 1
B.  1;1
C.  2;  
D.  0;1

Bài tập 5. (NB) (KSCL trường Lê Quý Đôn – Quảng Ninh năm 2019-2020)
Cho hàm số y  f x  có đồ thị như hình vẽ
Hàm số đồng biến trên khoảng:
A.  2; 0 

B.  2; 1 .

C.  1; 0  .

D.  0;2  .

Bài tập 6. (NB) (KSCL lần 1- THPT Quốc Thái – An Giang năm 2019-2020)
Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên . và có đồ thị
y  f '(x ) như hình vẽ. Hàm số y  f (x ) nghịch biến
trong khoảng nào dưới đây?
A. ; 1 .
B. 0; 2 .
C. 1; 0.

D. 2; .

Bài tập 7. (NB) (KSCL lần 1- THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm 2019-2020)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tập số thực  và
có đồ thị như hình vẽ bên và f  2   f (2)  0 . Hàm
số y  f  3  x  nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ?
A. (;1)

B. (1; 2)

Năm học 2019 - 2020

C. (5; )

D. (2;3)
Trang 20


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 8.(TH) ( Sở Nghệ An-Thi liên trường lần 1 năm học 2019-2020)
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị y  f ( x ) như hình vẽ
bên. Hỏi hàm số g  x   f  x 2  5 nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A.  4; 1 B.  2; 5  C.  1;1
D. 1; 2 


2

Bài tập 9. (TH)
Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f ( x ) trên  và đồ thị
của hàm số y  f ( x ) như hình vẽ. Hàm số
g  x   f ( x 2  2 x  1) đồng biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.  ;1 . B. 1;   .
C.  0; 2  . D.  1;0  .
Bài tập 10. (TH)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  như hình
bên. Hàm số y  f  3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới
đây?
A.  4;    . B.  2;1 .

C.  2; 4  .

D. 1; 2  .

Bài tập 11. (TH)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có đồ thị như hình
vẽ. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau đây ?
A.   ;  3 .
B.   ;  2  .
C.   ;  2  và  0;   
D.  3;  2  và  0;    .
Bài tập 12.(TH)
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
 , biết ràng hàm số y  f '  x  có đồ thị như
hình vẽ bên. Hàm số g ( x)  f  3  x 2  đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. (2;0) B. (2;3) C. (1;0) D. (0;1)
Bài tập 13. (TH) (KSCL lần 1- Chuyên Hạ Long – Quảng ninh năm 2019-2020)
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên  và đồ
thị hàm số y  f '( x) hình vẽ bên. Hàm số
y  f (3  2 x) đồng biến trên khoảng nào trong các
khoảng dưới đây ?
A. (; 1). B. (1;2). C. (2; ). D. (1;1).
Năm học 2019 - 2020

Trang 21


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 14. (TH)
Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  , có đồ
thị như hình vẽ bên. Có tất cả các giá trị nguyên của tham số
m để hàm số y  f  2 x  m  nghịch biến trên khoảng (4;5).

Bài tập 15. (VDT)
Cho hàm số f  x   ax3  3bx 2  2cx  d ( a  0 ) có đồ thị như
hình vẽ bên. Hàm số
g  x 

a 4
x   a  b  x 3   3b  c  x 2   d  2c  x  d  2019 nghịch
4

biến trên khoảng nào sau đây?
A.  ;0  .

3
B.   ; 0  .
 4



C. 1; 2  .

D.  2;   .

Bài tập 16. (VDT)
Cho

hai

hàm

số

f  x   ax3  bx 2  cx 

1
2

và

g  x   dx 2  ex  1

 a, b, c, d , e  R; a. d  0  . Biết rằng đồ thị
của hai hàm số y  f  x  và y  g  x  cắt nhau tại ba
điểm có hồnh độ lần lượt là 3; 1;1 như hình vẽ dưới
1
6

7
2

đây. Hàm số h  x   f  x   g  x   x3  x 

3
2

nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  3; 2 
B.  3;3 
C.  3; 1 D.  1; 2 
Bài tập 17. (VDT) (HSG 12 huyện Lương Tài – Bắc Ninh năm 2018-2019).
Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  .
Hàm y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số
y  2 f  2  x   x 2 nghịch biến trên khoảng:

A. (3; 2).

B.  2; 1

C. (1; 0)

D. (0; 2)

Bài tập 18. (VDT) ( Khảo sát chuyên Vĩnh Phúc lần 1 năm học 2018-2019)
Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  , biết hàm
số y  f '( x  2)  2 có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm
số f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng
dưới đây?
A. (; 2).

B. (1;1).

Năm học 2019 - 2020

3 5

C.  ;  .
2 2




D. (2; ).
Trang 22


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 19. (VDT)
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  thoả
f  2   f  2   0 và đồ thị của hàm số y  f '  x  có dạng
2

như hình bên. Hàm số y   f  x   nghịch biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau ?
A.  1; 3  .


B.   1;1 .

2

C.  2; 1 .

D. 1; 2  .

Bài tập 20. (VDT)
Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình
bên dưới và f 2  f 2  0. Hàm số g  x    f 3  x 
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. 2;1.
B. 1;2.
C. 2;5. D. 5; .
Bài tập 21.(VDT)
2

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , biết
ràng hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm
số g ( x)  f  x   x3  x đồng biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau đây ?
A. (0;2)

B. (2;0)

C. (1;1)

D. (4; 2)

Bài tập 22.(VDT) (KSCL -THPT Lê Quý Đôn – Quảng Ninh năm 2019-2020)
Cho hàm số f  x  xác định trên tập số thực  và
có đồ thị f   x  như hình sau.
Đặt g  x   f  x   x , hàm số g  x  nghịch biến trên
khoảng
A.  2;    .

B.  ; 1 .

C. 1;   .
D.  1;2  .
Bài tập 23. (VDT) (KSCL - THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2019-2020 )
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
tập số thực  và có đồ thị hàm
y  f '  x  như hình vẽ bên. Hàm số
g  x   f ( x  1) 

x3 x 2

đồng biến trên
3 2

khoảng nào sau đây ?
A. (; 1)
B. (0;1)
C. (2; )
D. (1;0)

Năm học 2019 - 2020

Trang 23


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 24. (VDC)
Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  , có đồ
thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m thuộc đoạn  2019; 2019 để hàm số
y  f  cos x  2 x  m  đồng biến trên nửa khoảng  0;    .

A. 2019.

B. 2020.

C. 4038.

D. 4040.

Bài tập 25. (VDC)
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  có f (1)  0 và đồ thị
hàm số y  f ( x) như hình vẽ bên. Hàm số
y  2 f ( x  1)  x 2 đồng biến trên khoảng

A.  3;   .

B.  1; 2  .

C.  0;   .

D.  0;3

3.2. Bài toán về cực trị của hàm số
3.2.1. Tìm điểm cực trị của hàm số y  f  u ( x)   g ( x) khi biết đồ thị của hàm
số y  f  x 
Chú ý: Nhìn vào đồ thị hàm y  f  x  nhận ra các điểm cực trị của hàm số đó:
Là các điểm nối tiếp giữa khoảng đồng biến và nghịch biến hoặc giữa khoảng
nghịch biến và đồng biến của hàm số.

Ví dụ 1. (NB)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị
cực đại của hàm số g  x   f  x   1 là
A. 2.

B.

5
2

C. 4.

D.

9
.
2

Hướng dẫn giải
Tịnh tiến đồ thị hàm y  f  x  lên phía trên theo phương Oy một đoạn 1 đơn vị ta
thu được đồ thị hàm y  g  x  , từ đó ta có:
7
2

9
2

-Hàm số y  f  x   1 đạt cực đại tại x  2 và giá trị cực đại là f  2   1   1  .
-Hàm số y  f  x   1 đạt cực tiểu tại x  4 và giá trị cực tiểu là
7

5
f  4   1    1   . Chọn phương án D
2
2

Ví dụ 2. (TH) Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x 3  3x 2  3 và hàm
y | x |3 3x 2  3

Hướng dẫn giải
Năm học 2019 - 2020

Trang 24


Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bước 1. Vẽ đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  3 .
Nhận thấy có một điểm cực trị thuộc trục Ox.
Bước 2. Vẽ đồ thị các hàm số y  x 3  3x 2  3 và y | x |3 3 x 2  3
Đồ thị hàm

Đồ thị hàm

Đồ thị hàm

y  x3  3 x 2  3

y  x3  3x 2  3

y | x |3 3 x 2  3

Bước 3. Kết luận: Hàm số y  x 3  3x 2  3 có 5 điểm cực trị.
Hàm số y | x |3 3 x 2  3 có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 3. (VDT)
Đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  x  3 có bao nhiêu điểm cực trị.
A. 9 .

B. 5 .
C. 7 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Đồ thị hàm số y  f  x  được suy ra bằng cách:
Bước 1. Vẽ đồ thị hàm y  x 3  3x 2  x  3  f ( x) .
Bước 2. Vẽ đồ thị hàm y  f (| x |) từ đồ thị hàm y  f ( x) .
Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  từ đồ thị hàm số y  f  x  .
ĐT hàm
3

2

y  x  3x  x  3

Năm học 2019 - 2020

ĐT hàm
3

2

y | x | 3x  | x | 3

ĐT hàm
3

y  x  3x 2  x  3

Trang 25