(Sáng kiến kinh nghiệm) CHUYÊN đề 2 toán luỹ thừa trong q

Mục lục
Trang
A. Đặt vấn đề
B. Nội dung và phơng pháp
I .Tình hình chung
II .Những vấn đề đợc giải quyết
III .Phơng pháp tiến hành
1. Cơ sở lí thuyết
2. Các dạng bài tập
2.1. Dạng 1: Tìm số cha biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần cơ số của luỹ thừa
2.1.2. Tìm số mũ, thành phần số mũ của luỹ
thừa
2.1.3. Một số trờng hợp khác
2.2.

Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ

thừa
2.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
2.2.2. Tìm 2 chữ số tận cùng
2.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
2.3. Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa
2.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa
2.5. Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa
3. Kết quả thực hiện
VI. Những vấn đề hạn chế và hớng tiếp tục nghiên cứu
V. Điều kiƯn ¸p dơng


C. Kết luận

Tài liệu tham khảo


A. Đặt vấn đề
Phải nói rằng: Toán học là một môn khoa học tự nhiên lý thú. Nó
cuốn hút con ngời ngay từ khi còn rất nhỏ. Chính vì vậy, mong muốn
nắm vững kiến thức về toán học để học khá và học giỏi môn toán là
nguyện vọng của rất nhiều học sinh. Trong giảng dạy môn toán , ,việc
giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản , biết khai thác và mở rộng
kiến thức , áp dụng vào giải đợc nhiều dạng bài tập là điều hết sức quan
trọng . Từ đó giáo viên giúp cho học sinh phát triển t duy , óc sáng tạo , sự
nhanh nhạy khi giải toán ngay từ khi học môn số học lớp 6 . Đó là tiền đề
để các em học tốt môn ĐạI Số sau này.
Trong toán học, Toán luỹ thừa là một mảng kiến thức khá lớn, chứa
đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm đợc các bài toán về luỹ
thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất
là đối với học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới đợc làm quen với môn đại số và
mới đợc tiếp cận với toán luỹ thừa nên cha có công cụ phổ biến để thực
hiện các phép biến đổi đại số, ít phơng pháp, kĩ năng tính toán... Để
học tốt bộ môn toán nói chung và Toán luỹ thừa nói riêng, điều quan
trọng là luôn biết rèn nếp suy nghÜ qua viƯc häc lý thut, qua viƯc gi¶i
tõng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trớc một bài toán
khó, cha tìm ra cách giải, häc sinh thùc sù lóng tóng, hoang mang vµ rÊt
cã thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhng nếu có đợc sự giúp đỡ, gợi mở thì các
em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán nh vậy.
Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luü thõa cho häc sinh líp 6,
líp 7, b»ng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi , học
hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, tôi muốn trình bày một số ý kiến về
chuyên đề Toán luü thõa trong Q’’ nh»m cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc cơ
bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phơng pháp giải toán luỹ

thừa cho các đối tợng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các
thao tác t duy, phơng pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu
toán nói chung và toán luü thõa nãi riªng.


B. Nội dung và phơng pháp
I.

Tình hình chung

Thông qua giảng dạy, tôi thấy hầu hết học sinh cứ thấy bài toán liên
quan đến luỹ thừa là sợ, đặc biệt là l thõa víi sè mị lín , sè mị tỉng
qu¸t. Nh đà nói ở trên, học sinh lớp 6, lớp 7 mới đợc tiếp xúc với toán luỹ
thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính
vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh
đà thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khăn chồng
chất: Làm bằng cách nào? làm nh thế nào? ...chứ cha cần trả lời các câu
hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn?
Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn
phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán
luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham kh¶o bỉ Ých
cho häc sinh líp 6, líp7 khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dới
dạng các bài tập.

II.

Những vấn đề đợc giải quyết.

1. Kiến thức cơ bản
2. Kiến thức bổ sung

3. Các dạng bài tập và phơng pháp chung
3.1. Dạng1: Tìm số cha biết
3.1.1. Tìm cơ số, thành phần trong cơ số của luỹ thừa
3.1.2. Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của luỹ thừa
3.1.3. Một số trờng hợp khác
3.2. Dạng 2. Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa
3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng
3.2.2. Tìm hai chữ số tận cùng
3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên
3.3. Dạng 3. So sánh hai luỹ thừa
3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa
3.5. Dạng 5. Toán đố với luỹ thừa

III. Phơng pháp tiến hành.


1. CƠ Sở Lý THUYếT
a.

Định nghĩa luỹ thừa với số mị tù nhiªn

a .a.........
  a
(n ∈ N*)

an =
n thõa sè
b.

Mét sè tÝnh chÊt :

Víi a, b, m, n ∈ N
am. an = am+n,

am. an . ap = am+n+p (p ∈ N)

am : an = am-n

(a ≠ 0, m > n)

(a.b)m = am. bm

(m ≠ 0)

(am)n = am.n

(m,n ≠ 0)

Quy íc:
a1 = a
a0 = 1


(a ≠ 0)

Víi : x, y ∈ Q; m, n ∈ N; a, b ∈ Z

x.x.........
  x
(x ∈ N*)

xn =
n thõa sè
n

an
a
  = n
b
b

(b ≠ 0, n ≠ 0)

xo = 1
xm . xn = xm+n
xm
= x m−n
n
x

x-n =

1
xn

(xm)n = xm.n
(x.y)m = xm. ym

(x ≠ 0)

(x ≠ 0)

n

 x
xn
  = n
y
 y
c.

(y ≠ 0)

KiÕn thøc bæ sung
* Víi mäi x, y, z ∈ Q:
x < y <=> x + z < y + z
Víi z > 0 th×:

x < y <=> x . z < y . z

z < 0 th×: x < y <=> x . z > y . z
* Víi x ∈ Q, n ∈ N:
(-x)2n = x2n

(-x)2n+1 = - x2n+1

* Víi a, b ∈ Q;
a > b > 0 => an > bn
a>b

<=> a2n +1 > b2n + 1

a > 1 , m > n > 0 => am > an
0 < a < 1 , m > n > 0 => am > an

2.

Các dạng bài tập

1. Dạng 1: Tìm số cha biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phơng pháp: Đa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x3 = -27

b, (2x – 1)3 = 8

c, (x – 2)2 = 16

d, (2x 3)2 = 9

Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là
có thể dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trờng
hợp.

a, x3 = -27
x3 = (-3)3
 x = -3
VËy x = - 3

b, (2x – 1)3 = 8
(2x – 1)3 = (-2)3
=> 2x – 1 = - 2
2x = -2 + 1
2x = - 1


=> x =

−1
2

VËy x

=

−1
2

c, (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
=> 2x -3 =3

hc

2x -3 = -3

2x = 6

2x = 0

x=3

x=0

VËy x = 3 hc x = 0 .
d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
=> x – 2 = -4

hc

x = -2

x–2=4
x=6

VËy x = -2 hc x = 6
Bài 2.

Tìm số hữu tỉ x biết :

x2 = x5

NÕu ë bµi 1 häc sinh lµm thÊy nhĐ nhàng thì đến bài 2 này không
tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà cùng cơ số- cha biết , số
mũ- đà biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây ? Nhiều học sinh
sẽ tìm mò ằ đợc x = o hoặc x = 1, nhng cách này sẽ không thuyết phục
lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mÃn đề bài thì sao ?
Giáo viên có thể gợi ý :

x2 = x5 => x5 – x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 =>

=>

x 2 = 0
 3
 x − 1 = 0

=>

x = 0
 3
x = 1

x = 0
x = 1


Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau :
Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biÕt :

(3y - 1)10 = (3y - 1)20

Híng dÉn : Đặt 3y 1 = x . Khi đó (*) trë thµnh :

(*)

x10 = x20


x = 0

10
x 1 = 0
10

Giải tơng tự bài 2 ở trên ta đợc :

=>

x = 0
10
x = 1

=>

x = 0
 x = −1

 x = 1

Rất có thể học sinh dừng lại ở đây , vì đà tìm đợc x .Nhng đề bài
yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt ®Ĩ t×m y .

+) Víi x = 0 ta cã : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y =

+) Víi x = 1 ta cã : 3y -1 = 1

1
3

=> 3y = 2 => y =

2
3

+) Víi x = -1 ta cã : 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0

VËy

y=

1
3

;

2
3

;0

Bµi 3 : T×m x biÕt :

(x - 5)2 = (1 – 3x)2

Bài nàyngợc với bài trên , hai lũy thừa đà có số mũ -đà biết- giống nhau
nhng cơ số cha biết lại khác nhau . Lúc này ta cần sử dụng tính chất :
bình phơng của hai lũy thờa bằng nhau khi hai cơ số bằng nhau hoặc
đối nhau .
Ta cè :

(x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – 5 = 1 – 3x

hc

x–5=

3x – 1
=>

4x = 6

2x

= -4

=>

x=

6
4

=

3
2

x

= -2

Bài 4 : Tìm x và y biết :

(3x - 5)100 + (2y + 1)200



0

(*)

Với bài toán này , cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau ,
lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu



, thật là khó ! Lúc này

chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết đợc vấn đề :
hÃy so sánh

(3x - 5)100 và (2y +1)200 víi 0 .


Ta thÊy : (3x - 5)100
(2y +1)200

≥
≥

∀ ∈

0
0

x

Q

∀ ∈
x Q

=> BiĨu thøc (*) chØ cã thĨ b»ng 0 , kh«ng thĨ nhá h¬n 0
VËy :

(3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi

(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0

3x – 5 = 2y + 1 =0

=> x =

5
3

và

Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho :

(x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4

Theo bµi 3 , häc sinh sÏ nhËn ra ngay :
Z

y=

−1
2

(x + 2)2





0

x

(1)

2(y 3)2



0



x

Z

(2)

Nhng nảy sinh vấn đề ë “ < 4 ” , häc sinh kh«ng biÕt làm thế nào.
Giáo viên có thể gợi ý :
Từ (1) và (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y 3)2 < 4 thì chỉ có thể
xảy ra những trờng hợp sau :
+) Trờng hợp 1 :

(x + 2)2 = 0

và

=> x = -2
+) Trờng hợp 2 :

(x + 2)2 = 0

=>
+) Trêng hỵp 3 :

=>

=>
+) Trêng hỵp 4 :

=>
vµ

x = -2

(x + 2)2 = 1

(y – 3)2 = 0
(y – 3)2 = 1

=>
vµ

x + 2 = 1
 x + 2 = −1


y=3
y = 4
y = 2


(y – 3)2 = 0

=>

y=3

 x = −1
 x = −3


(x + 2)2 = 1

vµ

(y – 3)2 = 1


=>

 x = −1
 x = −3


=>

y = 4
y = 2


Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng của x và y thỏa mÃn đề bài là :
x
y

-2
3

-2
4

-2

2

-1
3

-3
3

-1
4

-3
2

-3
4

-1
2

Thật là một bài toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trờng
hợp ,bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mÃn điều kiện đề bài .
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tơng tự sau :
1 . Tìm x biết :
a, (2x – 1)4 = 81

b, (x -2)2 = 1

c, (x - 1)5 = - 32

d, (4x - 3)3 = -125

2 . T×m y biÕt :
a,

y200 = y

b, y2008 = y2010

c, (2y - 1)50 = 2y – 1

d, (

y
3

-5 )2000 = (

y
3

-5 )2008

3 . T×m a , b ,c biÕt :
a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2
b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6

≤

≤

0
0

c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6
d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6
3.1.2





0

0

Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.

Phơng pháp : Đa về hai lũy thừa có cùng cơ số

Bài 1 : Tìm n N biết :
a, 2008n = 1

c, 32-n. 16n = 1024

b, 5n + 5n+2 = 650

d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm đợc câu a,

a, 2008n = 1

=> 2008n = 20080 => n = 0


Nhng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn : tổng của hai lũy
thừa có cùng cơ số nhng không cùng số mũ . Lúc này rất cần có gợi ý của
giáo viên :
b, 5n + 5n+2 = 650
5n + 5n.52 = 650
5n.(1 + 25) = 650
=> 5n = 650 : 26
5n = 25 = 52
=> n = 2
Theo hớng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d,
c, 32-n. 16n = 1024
(25)-n. (24)n = 1024
2-5n. 24n = 210
2-n = 210
=> n = -10
d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
3n-1 + 5 . 3n-1 = 162
=>6 . 3n-1 = 162
3n-1 = 27 = 33
=> n 1 = 3
n=4
Bài 2 : Tìm hai số tù nhiªn m , n biÕt :
2m + 2n = 2m+n
Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này , không biết phải làm nh thế
nào để tìm đợc hai số mũ m và n . Giáo viên gợi ý :

2m + 2n = 2m+n

2m+n – 2m – 2n = 0
=> 2m.2n -2m -2n + 1 = 1
2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1
(2m - 1)( 2n - 1) = 1
V× 2m

≥

1 , 2n

≥

1

∀

m,n

(*)
∈

N


Nªn tõ (*) =>

2 m − 1 = 1
 n

2 − 1 = 1

=>

2 m = 2
 n
2 = 2

=>

m = 1

n = 1

VËy : m = n = 1
Bµi 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3n
b, 8.16





234

2n



4

Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo
viên hớng dẫn học sinh đa các số về các lũy thừa cã cïng c¬ sè .

≤

a, 3 < 3n
31 < 3n

≤

=> n
b, 8.16
23.24
27
=> n





234

35

{ 2;3;4;5}

2n
2n
2n

4
22
22

{ 2;3;4;5;6;7}

Bài 4 : Tìm sè tù nhiªn n biÕt r»ng :
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
Víi bµi nµy , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xÐt vỊ sè mị cđa c¸c
lịy thõa trong mét tÝch thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hớng giải bài to¸n :
415 . 915 < 2n . 3n < 1816 . 216
(4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16
3615 < 6n < 3616
630 < 6n < 632
=> n = 31
B©y giê, häc sinh không những biết làm các bài toán tơng tự mà
còn có thể tự ra các bài toán dạng tơng tự.
1. Tìm các số nguyên n sao cho


a. 9 . 27n = 35

b.

c. 3-2. 34. 3n = 37

d.

(23 : 4) . 2n = 4
2-1 . 2n + 4. 2n =

9. 25
2. Tìm tất cả các số tự nhiªn n sao cho :
a. 125.5
c. 243

≥
≥

≥

5n
3n

≥

5.25
9.27

b.

(n54)2 = n

d.

2n+3 2n =144

3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
a. 2x+1 . 3y = 12x

b. 10x : 5y = 20y

4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
a. 411 . 2511

b.



2n. 5n

≤

2012.512

45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65
.
= 2n
35 + 35 + 3 5
25 + 25

Híng dÉn:
3.

a.

2x+1 . 3y = 12x
2x+1 . 3y = 22x.3x

=>

3y
22x
=
3 x 2 x +1
3y-x = 2x+1

=> y-x = x-1 = 0
Hay x = y = 1
b. 10x : 5y = 20y
10x = 20y . 5y
10x = 100y
10x = 1002y
=> x = 2y

4 b.

45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65
.
= 2n
5
5
5
5
5

3 +3 +3
2 +2
4.4 5 6.6 5
.
= 2n
3.35 2.2 5


46 66
. 6 = 2n
6
3 2
=> 46 = 2n

=>

212 = 2n

=> n = 12

3.1.3. Một số trờng hợp khác
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1)

x+2

= (x-1)x+4

(1)

Thoạt nhìn ta thấy đây là một bài toán rất phức tạp, vì số cần tìm
có mặt cả trong số mũ và cơ số. Vì thế, học sinh rất khó xác định cách
giải . Nhng chúng ta có thể đa về bài toán quen
thuộc bằng một phép biến đổi sau :
Đặt x-1 = y ta có:

x+2=y+3
x+4=y+5

Khi đó (1) trë thµnh :

yy+3 = yy+5
yy+5 - yy+3 = 0
yy+3(y2 – 1) = 0

=> yy+3 = 0 hc y2 – 1 = 0.
* NÕu: yy+3 = 0 => y = 0
Khi ®ã : x – 1 = 0 hay x = 1.
* NÕu : y2 – 1 = 0
=> y2 = (±1)2 => y = 1 hc y = -1
Víi y = 1 ta cã : x – 1 = 1 hay x = 2
Víi y = -1 ta cã : x – 1 = -1 hay x = 0
VËy : x

{ 0;1;2}

Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)2003 = (6-x)2003
Với bài này, x xuất hiện cả trong cơ số và cả ở ngoài (không phải ở
trong số mũ nh bài trên). Học sinh sẽ lúng túng và gặp khó khăn khi tìm

lời giải, khi đó giáo viên hớng dÉn.
x. (6-x)2003 = (6-x)2003


x. (6-x)2003 - (6-x)2003 = 0
(6-x)2003 (x-1) = 0
=> (6-x)2003 = 0 hc (x-1) = 0
* NÕu (6-x)2003 = 0

=> (6-x) = 0

x=6
* NÕu (x-1) = 0
VËy : x

=> x = 1

{1;6}

Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biÕt :
a. 2a + 124 = 5b
b. 10a + 168 = b2
Với bài toán này, nếu học sinh sử dụng các cách làm ở trên sẽ đi vào
con đờng bế tắc không có lời giải. Vậy phải làm bằng cách nào và làm
nh thế nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt của lũy thừa và tính chất
chia hết của một tổng để giải bài toán này :
a) 2a + 124 = 5b

(1)

* XÐt a = 0, khi đó (1) trở thành
20 + 124 = 5b

Hay 5b = 125
5b = 53
Do đó a= 0 và b = 3
* Xét a



1. Ta thấy vế trái của (1) luôn là số chẵn và vế phải của (1)

luôn là số lẻ với mọi
a



1 , a,b



N, điều này vô lý.

Kết luận : VËy : a = 0 vµ b = 3.
b) 10a + 168 = b2

(2)

Tơng tự câu a
* Xét a = 0, khi đó (2) trở thành

100 + 168 = b2
169 = b2


(13)2

= b2

=> b = 13 (vì b



N)

Do đó a = 0 và b = 13.
* Xét a



1.

Chúng ta đều biết với mọi số tự nhiên a



1 thì 10a có chữ số tận

cùng là 0 nên suy ra 10a + 168 có chữ số tận cùng là 8, theo (2) thì b2 có
chữ số tận cùng là 8. Điều này vô lý.
KÕt luËn : VËy : a = 0 vµ b = 13.

Giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tơng tự sau :
Tìm các số tự nhiên a , b để :
a. 3a + 9b = 183
b. 5a + 323 = b2
c. 2a + 342 = 7b
d. 2a + 80 = 3b
3.2.

Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa

3.2.1

Tìm một chữ số tận cùng
* Phơng pháp : cần nắm đợc một số nhận xét sau :

+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa
nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó .
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thờng đa về dạng các số có
chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó .
+) Lu ý : nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn
sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng
là 4 .
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn
sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng
là 9

+) Chú ý :
= 4096

24 = 16

74 = 2401

34 = 81

84


Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các sè : 20002008 , 11112008 ,
987654321 , 204681012 .
Dùa vµo những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm đợc
đáp án :
20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0
11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1
987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5
204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
20072008 , 1358

2008

, 23456 , 5235, 204208, 20032005 ,

99

9

56

7

, 4

,996, 81975 ,

20072007 , 10231024.
Hớng dẫn : Đa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số
tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 .
+) 20072008 = (20074)502 = (

...... 1

)502 =

...... 1

nên 20072008 chữ số tận

cùng là 1 .
+) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 =

...... 1

. 1357 =

...... 7

=>13 5725 có chữ số tận cùng là 7 .
+) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501.
=

...... 1 ...... 3
.

...... 3

=(

...... 1

)501.

...... 3

=

=> 20072007 có chữ số tận cùng là 3

.
+) 23456 = (24)864 = 16864 =

...... 6

+) 5235 = 5232. 523 = (524)8.

=> 23456 có chữ số tận cùng là 6 .

...... 8

=(

...... 6

)8 .

...... 8

=

...... 6 ...... 8
.
=

...... 8
=> 5235 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 8 .
+) 10231024 = (10234)256 = (
tận cùng là 1 .

...... 1

)256 =

...... 1

=>10231024 có chữ sè


+) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = (

...... 1

...... 1

)501. 2003 =

. 2003
=> 20032005 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 3 .
+) 204208 =( 2042)104 = (

...... 6

)104 =

...... 6

=> 204208 có chữ số tận

cùng là 6.
56

+) Ta thấy
+) 1358

2008

7

45

là một số lẻ nên

= (13584)

502

= (

67

có chữ số tận cùng là 4

...... 6

)502 =

...... 6

=> 1358

có chữ

2008

số tận cïng lµ 6.
+) 81975 = 81972. 83 = (84)493.

...... 2

=

...... 6

...... 2

=> 81975 có chữ số

tận cùng là 2 .
+) 996 = ( 94)24 =(

...... 1

)24 =

...... 1

+) Ta thÊy 9 là một số lẻ nên
9

99

=> 996 có chữ số tận cùng là 1 .

9

có chữ số tận cùng là 9 .

Bµi 3 : Cho A = 172008 – 112008 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của
A.
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ
số tận cùng của tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .

Hớng dẫn :

Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta cã :

A = 172008 – 112008 – 32008 =

...... 1

-

...... 1

-

...... 1

=

...... 0

-

...... 1

=

...... 9

Vậy A có chữ số tận cùng là 9 .

Bài 4 : Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chøng tá r»ng :

M



10

Ta thÊy mét sè chia hÕt cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng
tỏ M



10 ta chứng tỏ M có chữ sè tËn cïng lµ 0 .


Gi¶i : 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = (
244 =(242)2 = 5762 =
1321 = (134)5.13 = (
VËy M =

...... 7

+

..... 6

...... 3

-

)6.17 =

...... 1

.17 =

...... 7

..... 6

...... 1

=

...... 1

)5.13 =

...... 0

=> M

...... 1


. 13 =

...... 3

10

Đến đây, sau khi làm bài 2 , bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm
các bài toán tổng quát sau :
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có d¹ng:
a. A = 24n – 5

(n

b. B = 24n + 2+ 1 (n

∈

∈

N, n ≥ 1)

N)

c. C = 74n – 1

(n

∈

N)

Híng dÉn : a, Cã : 24n = (24)n = 16

cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 6

=> 24n – 5 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 1
b, B = 24n + 2+ 1 (n

∈

N)

Ta cã 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n

có chữ số tận cùng là 4

=> B = 24n + 2+ 1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5
c, C = 74n – 1
Ta cã 74n = (74)n = (2401)n

có chữ số tận cùng là 1

VËy 74n – 1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0 .
Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có d¹ng:
n

a,

22 −1

A=

chia hÕt cho 5 (n

n

b,

B=

24 + 4

chia hÕt cho 10 (n

n

c,

H=

92 + 3

chia hÕt cho 2 (n

∈

∈

∈

N, n ≥ 2)

N, n 1)

N, n 1)

Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho
5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hớng đợc phải tìm chữ số
tận cùng nh bài 5, nhng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các


22

lũy thừa

n

n

24

,

n

92

,

, học sinh không biết phải tính nh thế nào, rất có thể

học sinh sẽ nhầm:
n

n

n

a 2 = 2 2n 2 4 = 2 4n 9 2 = 9 2n
,
,
Khi đó giáo viên hớng dẫn nh sau :
a) Với n

∈

2

N, n ≥ 2, ta cã :
2

2n

=

2 2 .2

n −2

( )

= 24

2n2

= 16 2

n2

có chữ số tận cùng là 6

n

22 −1

=> A =


VËy A

5

b) Víi n

24

cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5

∈

2 4 .4

n

=

N, n ≥ 1, ta cã :

n −1

( )

4 n −1

= 24

= 16 4

n −1

cã ch÷ sè tận cùng là 6

n

=> B =
Vậy B



9

=

có chữ số tận cïng lµ 0

10

c) Víi n
2n

24 + 4

∈

9 2 .2

N, n ≥ 1, ta cã :

n −1

( )

= 92

2 n −1

= 812

n 1

có chữ số tận cùng là 1

n

=> H =
Vậy H



92 + 3

cã tËn cïng lµ 4

2

Bµi tËp lun tËp :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
22222003; 20082004;
20042004;

77772005;

20052005;
1112006;

2, Chøng tá r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n :
a, 34n + 1 + 2

chia hÕt cho 5

b, 24n + 1 + 3

chia hÕt cho 5

c, 92n + 1 + 1

chia hÕt cho 10

20062006
20002000;

9992003;
20032005


3, Chứng tỏ rằng các số có dạng:

22

a,

n

+1

có chữ số tËn cïng b»ng 7

(n

cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 7

(n

n

24 + 1

b,

32

c,

n

+4
34

d,

chia hÕt cho 5

(n

∈

n

-1

chia hÕt cho 10

(n

∈
∈

N, n ≥ 2)
N, n ≥ 1)

N, n ≥ 2)
∈

N, n ≥ 1)

4, Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a, A = 66661111 + 11111111 - 665555
b, B = 10n + 555n + 666n
c, H = 99992n +9992n+1 +10n

(n

d, E = 20084n + 20094n + 20074n

∈

(n

N*)

∈

N*)

5 . Trong c¸c sè sau sè nµo chia hÕt cho 2 , cho 5 , cho 10 ?
a, 34n+1 + 1

(n

b, 24n+1 -2

(n

c,
d,

22

n

+4

94

(n

n

-6

(n

∈

∈
∈
∈

N
N)
N, n ≥ 2)

N, n 1)

6 . Tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên a để
7 . Tìm số tự nhiên n ®Ĩ

n10 + 1



a2 + 1



5

10

8 . Chøng tá r»ng , bới mọi số tự nhiên n thì :
a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n



10

b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2

(n > 1)


6

Híng dÉn :
6 . a2 + 1



5 => a2 + 1 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

=> a2 phải có chữ số tận cùng là 9 hoặc 4
=> a phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 hoặc 2 hoặc 8


7 . n10 + 1



10 => n10 + 1 ph¶i có chữ số tận cùng là 0

=> n10 = (n2)5 phải có chữ số tận cùng là 9
=> n2 phải có chữ số tận cùng là 9
=> n phải có chữ số tận cùng là 3 hoặc 7 .
8 . a,

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n. (32+1) – 2n-1.( 23 + 2)
= 3n. 10 – 2n-1. 10 = 10 . (3n – 2n-1)

10

∀ ∈

n



N
b,

3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n. (33+3) + 2n+1.( 22 + 2)
= 3n. 30 + 2n+1. 6 = 6. (5.3n +


2n+1) 6



n

3.2.2

N

Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa .

* Phơng pháp : Để tìm hai chữ số tËn cïng cđa mét lịy thõa , ta
cÇn chó ý những số đặc biệt sau :
+) Các số có tận cùng là 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng tận cùng bằng chính nó .
+) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thờng đa về dạng
các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
+) c¸c sè 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng b»ng 76 .
+) c¸c sè 320; 910; 815; 74; 512; 992 cã tËn cïng lµ 01 .
+) Số 26n (n



N, n >1)

Bài 1 : Tìm hai chữ số tận cùng của :

2100 ; 3100

Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm đợc bài này :
2100 = (220)5 = (
3100 = (320)5= (
Bài 2:

...... 76
...... 01

)5 =
)5 =

...... 76
...... 01

Tìm hai ch÷ sè tËn cïng cđa :

a, 5151
d, 14101. 16101

b, 9999

c, 6666


Hớng dẫn :Đa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là : 01 ; 25 hoặc 76 .
a, 5151

= (512)25. 51 = (

...... 01

)25. 51 =

...... 01

. 51 =

...... 51

=> 5151 cã 2 ch÷ sè tËn cïng là 51
Tơng tự :

b, 9999 =(992)49.99 = (
c, 6666 =(65)133.6 = (

...... 01

...... 76

)49 . 99=

...... 01

...... 76

)133 . 6=

. 99 =

.6=

...... 99

...... 56

d, 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = (
224 =

=

...... 76

...... 76

)50 .

. 224

...... 24
Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát:
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng cđa:
a, 512k;
b, 99 ;
2n

c, 65n;

512k+1
99

(k

∈

N*)

99 99

;

2n+1

6 66

65n+1;

99

;

(n

66

;

(n

∈
∈

N*)
N*)

Gỵi ý:
a, 512k = (512)k = (

...... 01

)k

512k+1 = 51. (512)k = 51. (

b, 992n = (992)n = (

...... 01

...... 01

)n

992n+1 = 99. (992)n = 99. (
99 99
N, n > 1)

)k

...... 01

99

, ta cã 9999 là một số lẻ =>

)n
99 99

99

có dạng 992n+1

(Với n

=>

99 99

99

= 99.(992)n = 99 . (

...... 01

)n

(Víi n

∈

N, n >

1)
c,

65n = ( 65)n = (

...... 76

)n

65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. (

6 66
(n

∈

...... 76

)n

66

, ta cã 6666 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, =>

6 66

66

cã dạng 65n+1

N, n > 1)
=>

6 66

66

=6.(

...... 76

)n

Bài tập luyện tập:
1. Tìm hai chữ số tận cùng của :
99

9

a, 72003

b,

c, 742003

d, 182004

e, 682005

f, 742004

2. Tìm hai chữ số tận cùng của :
a, 492n ; 492n+1

(n

b, 24n . 38n

(n

c, 23n . 3n; 23n+3 . 3n+1

(n

d, 742n

(n

; 742n+1

∈
∈
∈
∈

N)
N)
N)
N)

3. Chøng tá r»ng :
a,

A = 262n - 26



b, B = 242n+1 + 76



5 vµ



10( n

100

∈

N, n > 1)
(Víi n

∈

N)

c, M = 512000 . 742000 . 992000 có 2 chữ số tận cùng là 76.
3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên.
*Phơng pháp : Chú ý một số điểm sau.
+) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng
có tËn cïng b»ng chÝnh sè ®ã.


+) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng
bằng 0625.
Bài 1.

Tìm 3 chữ sè tËn cïng, 4 ch÷ sè tËn cïng cđa 52000.

Häc sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đà có
từ các phần trớc.
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
VËy : 52000 cã ba ch÷ sè tận cùng là 625.
có bốn chữ số tận cùng là 0625.
Bài 2 : Tìm ba chữ số tận cùng của:
a, 23n . 47n

(n

b, 23n+3 . 47n+2

(n




N*)
N)

Để tìm đợc ba chữ số cuối của một lũy thừa đà là khó với học sinh.,
bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả
thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên.
a,

23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n

376n cã tËn cïng lµ 376 => 23n . 47n cã tËn cùng là 376.
b , 23n+3 . 47n+2.
Dù đà làm đợc câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi

lúng túng ở số mũ. Giáo viên có thể hớng dÉn :
23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47
= (23)(n+1) . 47n+1 . 47
= (8.47)n+1 . 47
= 47 . 376n+1
Ta có :376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có
chữ số tận cùng là 672
Bµi 3: Chøng tá r»ng:
a.
b.

54

n

52

+ 375
n

- 25





1000

100

(n
(n

∈
∈

N, n ≥ 1)
N, n ≥ 2)

c. 2001n + 23n . 47n + 252n cã tËn cïng b»ng 002