(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

Mơn: Vật lý
BÀI TỐN GẶP NHAU TRONG CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC
Tác giả: Nguyễn Văn Dương- Giáo viên Trường THCS Tiền Châu
Dành cho đối tượng: HSG cấp THCS
Thời lượng: 12 tiết
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình vật lý THCS, phần cơ học, nhất là các bài tập cơ học chuyển
động rất đa dạng và khó đối với học sinh. Hơn nữa, trong phân phối chương trình lại ít có
tiết bài tập để luyện tập và chữa bài tập. Do đó, học sinh rất lúng túng khi giải các bài tập ở
sách bài tập và khó khăn hơn khi giải bài tập khi đi thi HSG ở kỳ thi các cấp.
Kiến thức trong bài học tuy khơng khó và nhiều nhưng khả năng vận dụng lại khó và
cũng khá phức tạp, bài tập trong sách bài tập thì khó đối với học sinh. Các bài tập trong sách
bài tập hầu như học sinh khơng làm được, vì nó đa dạng trong khi đó giáo viên lại khơng có
điều kiện chữa bài cho học sinh.
Qua một số năm bồi dưỡng đội tuyển HSG của trường cũng như của thị xã tôi thấy
hầu như kiến thức và kỹ năng giải bài tập phần cơ học, đặc biệt là phần cơ học chuyển động
của các học sinh đã được lựa chọn vào học đội tuyển là yếu và kém, do đó kết quả thi môn
vật lý của nhiều trường và của thị xã là chưa cao.
Chính vì những lý do nêu trên, tơi đã định hướng cách giải và hệ thống phương pháp
giải bài tập phần cơ học chuyển động một cách ngắn gọn theo những bước cơ bản dưới dạng
một chuyên đề với tên là: “Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học” chuyên đề này
này nhằm giúp cho các em học sinh nói chung và học sinh của đội tuyển nắm vững được
phương pháp giải, biết vận dụng vào các dạng bài tập và có cách nhìn nhận một cách đơn
giản bài toán chuyển động cơ học, giúp cho các em hứng thú trong học tập, rèn luyện và yêu
thích môn học.
Trong chuyên đề này, tôi chủ yếu hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về phần
chuyển động cơ học và định hướng về mặt phương pháp giải, kèm theo đó là hệ thống một

số bài tập mẫu, bài tập mở rộng và nâng cao.
Phần chuyển động cơ học là một phần quan trọng trong chương trình và là một nội
dung quan trọng thường có trong các kỳ thi, chính vì vậy tơi đã dành một thời lượng để dạy
phần kiến thức này cho học sinh là khoảng 4 buổi dạy tương đương 12 tiết học.
II- NỘI DUNG
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHẦN CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC
+ Chuyển động cơ học: Sự thay đổi vị trí của một vật so với vật mốc gọi là chuyển
động cơ học.
+ Vật mốc: Vật mốc là vật được coi là đứng yên so với vật đang xét.
+ Chuyển động và đứng yên: Chuyển động và đứng yên có tính tương đối, tuỳ thuộc
vào vật được chọn làm mốc mà vật đang xét được coi là là đứng yên hay chuyển động.
+ Quỹ đạo: Quỹ đạo là đường mà vật chuyển động vạch ra trong không gian.
+ Các dạng chuyển động thường gặp: Tuỳ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo chuyển
động mà ta có chuyển động thẳng, chuyển động cong, chuyển động tròn. Chuyển động tròn
là 1 trường hợp đặc biệt của chuyển động cong.
+ Vận tốc: Độ lớn của vận tốc cho biết mức độ nhanh hay chậm của chuyển động.
Và được xác định bằng tỉ số giữa quãng đường vật đi được và thời gian cần để đi quãng
đường đó.
71


Bài tốn gặp nhau trong chuyển động cơ học

+ Cơng thức tính vận tốc: v =

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

S
t

Trong đó: S là quãng đường đi được (km, m,..)
t: thời gian đi hết quãng đường (h, s…)
Đơn vị tính vận tốc: tuỳ theo đơn vị S và đơn vị của t mà ta xác định được
đơn vị của v; đơn vị hợp pháp là m/s và km/h.
+ Chuyển động đều và khơng đều: Chuyển động đều là chuyển động có độ lớn vận
tốc khơng đổi trong suốt q trình chuyển động. Chuyển động khơng đều là chuyển động có
thay đổi về vận tốc trong khi chuyển động.
+ Vận tốc trung bình của chuyển động:

72

v=

S1 + S 2 + .. ΣS
=
t1 +t 2 +...
Σt


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

B. MỘT SỐ KỸ NĂNG VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN.
Dạng I. Bài toán gặp nhau dựa vào quãng đường:
- Đọc và tóm tắt đầu bài như các bài tốn vật lý thơng thường
- Giả sử sau thời gian t tính từ lúc chuyển động thì 2 vật gặp nhau.
- Xác đinh quãng đường mà hai (hay nhiều vật) chuyển động được sau thời gian t.
- Vẽ sơ đồ chuyển động, dựa vào sơ đồ chuyển động để thiết lập phương trình của bài
tốn và tìm ẩn.

Một số ví đơn giản cho phương pháp giải dựa vào quãng đường.
a) Khi hai vật chuyển động ngược chiều.
Ví dụ 1: Quãng đường AB dài 60km, lúc 6h một người xe máy đi từ A về B với vận
tốc v1 = 30km/h, cùng lúc đó từ B một người đi xe đạp về A với vận tốc v2 = 10km/h.
a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
b) Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Giải.
a) Giải sử sau thời gian t (h) tính từ lúc hai người bắt đầu xuất phát thì hai người gặp nhau
tại C trên đường đi.
Sau thời gian t (h) người đi xe máy đi được quãng đường: S 1 = v1.t =30.t (km)
Sau thời gian t(h) người đi xe đạp đi được quãng đường: S2 = v2.t =10.t (km)
Từ sơ đồ chuyển động ta có:
Tính đến lức gặp nhau tại C:
S1+ S2 = SAB
30.t + 10.t = 60  t = 1,5h. Vậy hai người gặp nhau lúc 7h30 phút
b) Vị trí gặp nhau các A quãng đường S1= 30.1,5 = 45km.
Ví dụ 2: (Khi hai vật không cùng xuất phát)
Quãng đường AB dài 60km, lúc 6h một người xe máy đi từ A về B với vận tốc v 1 =
30km/h. Lúc 6h20 từ B một người đi xe đạp về A với vận tốc v2 = 10km/h.
a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
b) Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Gải:
Với bài tốn gặp nhau mà hai chuyển động khơng xuất phát cùng thời điểm thì mốc thời
gian để xác định gặp nhau thường chọn từ lúc chuyển động sau xuất phát.
Giả sử sau thời gian t(h) tính từ lúc người đi xe đạp xuất phát (6h20) thì hai người gặp nhau
trên đường đi.
Khi người đi xe đạp xuất phát thì người đi xe máy đã đi được quãng đường:
1
3

S = .30 = 10km
- Sau thời gian t người đi xe máy đi được quãng đường: S1 = v1.t = 30.t (km)
- Sau thời gian t(h) kể từ lúc xuất phát người đi xe đạp đi được: S 2 = v2.t = 10.t (km)
- Tính đến lúc gặp nhau ta có: S + S1 + S2 = SAB

Từ đó ta có: 10 + 30.t + 10.t = 60 -> t = 1,25h = 1h15phut.
Vậy hai người gặp nhau lúc: 7h35 phút, cách A quãng đường S + S1 = 10 +37,5 = 47,5km
b) Khi hai vật chuyển động cùng chiều.
Ví dụ 3. Trên đường thẳng có hai điểm A và B cách nhau 100m, từ hai vị trí A và B
hai bạn An và Bình cùng chạy theo hướng từ A tới B(An xuất phát tại A, Bình xuất phát tại

73


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

B) với vận tốc của An và Bình lần lượt là: v 1 = 8m/s và v2 = 4 m/s. Sau bao lâu kể từ lúc
xuất phát thì An đuổi kịp Bình, khi gặp nhau họ cách B bao nhiêu mét?
Giải: Giả sử sau thời gian t(s) kể từ lúc hai bạn xuất phát thì họ gặp nhau tại C.

Sau thời gian t (s) An chạy được quãng đường: S1 = v1.t = 8.t (m)
Sau thời gian t (s) Bình chạy được quãng đường; S2 = v2 .t = 4.t (m)
Tính đến lúc gặp nhau ta có: S1 = S2 + SAB -> 8.t = 4.t + 100  t = 25s
Vậy sau 25s kể từ lúc xuất phát An đuổi kịp Bình, khi gặp Bình hai bạn cách B quãng
đường : S = S2 = 4.t = 4.25 = 100m.
Bài tốn này cũng có dạng khác của nó là hai vật xuất phát tại cùng một vị trí nhưng thời
điểm xuất phát khơng cùng nhau, vật trước vật sau. Cách giải cũng tương tự, thời gian gặp
nhau được tính từ lúc vật xuất phát sau, khi đó vật xuất phát trước ở một vị trí cách điểm

ban đầu một đoạn đường và ta giải tương tự.
c) Hai vật vừa cùng chiều vừa ngược chiều
Ví dụ 4: Hai bạn Toàn và Thắng cùng xuất phát tại một vị trí và chạy trên một đường
thẳng về đích, biết rằng bạn nào tới đích trước thì lập tức quay lại. Xác định thời gian và vị
trí hai bạn gặp nhau trên đường chạy kể từ lúc xuất phát. Biết vận tốc của Toàn là v 1 = 4m/s
và vận tốc của Thắng là v2 = 6m/s và khoảng cách từ vị trí xuất phát tới đích là 60m
Gải:
Giả sử sau thời gian t(s) kể từ lúc hai bạn xuât phát thì họ gặp nhau trên đường chạy tại C
(hình vẽ)
-

-

-

-

Sau thời gian t(s) kể từ lúc xuất phát quãng đường mà Toàn chạy được là S 1= SAC
= v1.t = 4.t (m)
Sau thời gian t(s) kể từ lúc xuất phát quãng đường mà Thắng chạy được là: S 2=
SAB + SBC = 6.t (m)
Tính đến lúc gặp nhau tại C ta có S1 + S2 = 2SAB <--> 4.t + 6.t = 120 -> t = 12s.
Vậy sau thời gian t = 12 giây kể từ lúc xuất phát thì hai bạn gặp nhau tại vị trí
cách vị trí xuất phát quãng đường S1 = 4.12 = 48m.

Ví dụ 5: Lúc 6 giờ, một người đạp xe từ thành phố A về phía thành phố B ở cách
thành phố A 114 km với vận tốc 18km/h. Lúc 7h, một xe máy đi từ thành phố B về phía
thành phố A với vận tốc 30km/h .
a) Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và nơi gặp cách A bao nhiêu km ?
b) Trên đường có một người đi bộ lúc nào cũng cách đều xe đạp và xe máy, biết rằng

người đó cũng khởi hành từ lúc 7h. Tính vận tốc của người đó, người đó đi theo hướng nào,
điểm khởi hành của người đó cách A bao nhiêu km?
Giải:
a)
Chọn A làm mốc
Gốc thời gian là lúc 7h
Lúc 7h xe đạp đi được từ A đến C
AC = V1. t = 18. 1 = 18 Km.
Giải sử sau thời gian t(h) kẻ từ lúc xe máy xuất phát (7h) thì hai xe gặp nhau tại D:
Sau thời gian t (h) quãng đường mà xe đạp đi được: S1 = 18.t
(1)
74


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

Sau thời gian t(h) quãng đường mà xe máy đi được: S2 = 30.t
(2)
Khi hai người gặp nhau tại D ta có: AC + S1 + S2 = 114 -> 18 + 18.t + 30.t = 114
 t = 2h. Vậy hai xe gặp nhau lúc 7 + 2 = 9h cách A quãng đường AD = 18 + 36 = 54km.
b) Vì người đi bộ lúc nào cũng cách đều người đi xe đạp và xe máy nên:
* Lúc 7 h phải xuất phát tại trung điểm của CB tức cách A là :
AE = AC + CB/2 = 18 +

114 − 18
= 66 ( km )
2

* Lúc 9 h ở vị trí hai xe gặp nhau tức cách A: 54 Km
Vậy sau khi chuyển động được 2 h người đi bộ đã đi được quãng đường là: S = 66- 54 =
12 ( km )
Vận tốc của người đi bộ là : V3 =

12
= 6 (km/h)
2

Ban đầu người đi bộ cách A: 66km , Sau khi đi được 2h thì cách A là 54 km nên người đó đi
theo chiều từ B về A. Điểm khởi hành cách A là 66km
Dạng II. Bài toán gặp nhau dựa vào thời gian
- Đọc và tóm tắt đầu bài như các bài tốn vật lý thơng thường
- Vẽ sơ đồ chuyển động, xác định các quãng đường mà vật chuyển động đi qua
- Tính tổng thời gian của các chuyển động trên các chặng đường chuyển động
Dựa vào đầu bài đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình, giải và tìm ẩn.
Chú ý: Hướng giải bài tốn gặp nhau dựa vào thời gian có một điểm quan trọng đó là
tính từ một thời điểm nào đó ta chọn làm mốc thời gian thì tính đến lúc gặp nhau thời gian
để các vật đi qua các chặng đường là bằng nhau (t 1 = t2): Ví dụ lúc 7h sáng có hai người
cùng xuất phát tại nhà để đi làm (mỗi người một cơ quan khác nhau), qua một khoảng thời
gian nhất định đến trưa thì họ gặp nhau, thì thời gian để họ đi qua các quãng đường của mỗi
người vẫn bằng nhau tính từ 7h sáng đến thời điểm lần sau họ gặp nhau.
Hướng giải này khiến học sinh dễ nhớ, và rất hiểu vấn đề:
Ví dụ 6: Một xuồng máy đang đi ngược dịng thì gặp một bè đang trơi xi. Sau khi
gặp bè 1/2 giờ thì động cơ tàu bị hỏng. Trong trong thời gian máy hỏng, xuồng bị trơi theo
dịng. Được 15 phút thì sửa xong máy, xuồng quay lại đuổi theo bè (vận tốc đối với nước
như cũ), và gặp bè tại điểm cách điểm gặp lần trước một đoạn l =2,5km. Tìm vận tốc của
dịng nước.
(Bài tập này có thể giải theo phương pháp chọn mốc là bè – tức là coi bè đứng yên và
xuồng chuyển động). Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy nếu HD HS giải theo phương pháp

thời gian bằng nhau sẽ dễ hiểu hơn.
Giải: Gọi vận tốc của xuồng đối với nước là v 1, gọi vận tốc nước là v2. gọi A là điểm xuồng
gặp bè lần thứ nhất, B là điểm xuồng hỏng máy, C là điểm sửa xong máy, D là điểm xuồng
gặp bè lần hai.
Từ sơ đồ chuyển động trên ta có:
- Tổng thời gian để bè trôi từ A đến D là: t1 =

AD 2,5
=
v2
v2

(1)

1 1
CD
+ +
(2)
2 4 v1 + v1
10 + 2v1 − 3v 2
1
1
Với CD = 2,5 + AC = 2,5 + (AB – BC) = 2,5 + (v1 − v 2 ) − v 2 =
(3)
2
4
4

- Tổng thời gian để xuồng đi từ A -> B -> C -> D là: t 2 =

75


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: t 2 =

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

3 10 + 2v1 − 3v 2
+
4
4(v1 + v 2 )

(4)

Tính đến lúc xuồng gặp bè tại D ta có: t1 = t2

2,5 3 10 + 2v1 − 3v 2
= +
⇒ 10.(v1 + v2) = 3.v2(v1+v2) + v2(10 +2v2 - 3v3)
v2
4
4(v1 + v 2 )

-> 10v1+10v2 = 3v1.v2 + 3v22 + 10v2 + 2v1.v2 – 3.v22 -> 10v1 = 5.v1.v2 -> v2 = 5
Vậy vận tốc dòng nước là 5km/h.
Ví dụ 7. Một canơ chạy trên sơng, cả khi xi dịng và ngược dịng đều có vận tốc
đối với nước khơng đổi. Khi chạy xi dịng, nó vượt qua một chiếc bè tại A. Sau đó 40
phút canô quay ngược lại và gặp bè tại điểm B ở phía hạ lưu đối với điểm A và cách A 4km.

Tính vận tốc của dịng nước.
Giải: Gọi vận tốc của canô so với nước là v 1, gọi vận tốc của nước là v2, A là điểm canô gặp
bè lần 1, B là điểm canô gặp bè lần 2, C là điểm canô quay đầu.
Từ sơ đồ chuyển động ta có:
- Tổng thời gian bè trơi từ A đến B là:
t1 =

AB 4
=
v2
v2

(1)

- Tổng thời gian canô đi từ A đến C rồi đến B là: t 2 =
Với
t2 =

BC =

2
BC
+
3 v1 − v 2

(2)

2(v1 + v 2 ) − 12
2
(v1 + v 2 ) − 4 =

thay vào (2) ta có:
3
3

2 2(v1 + v 2 ) − 12
+
3
3(v1 − v 2 )

(3)

Kể từ lúc ca nô gặp bè tại A đến lúc gặp bè tại B ta có: t1 = t2

4 2 2(v1 + v 2 ) − 12
= +
-> 12(v1 – v2) =2v2(v1 – v2) +2v2(v1 + v2) - 12.v2 -> v2 = 3
v2 3
3(v1 − v 2 )

Vậy vận tốc dịng nước là v = 3km/h.
Ví dụ 8. Một chiếc thuyền bơi từ bến A đến bến B ở cùng một bên bờ sông với vận
tốc đối với nước là v1 = 3km/h. Cùng lúc đó một ca nô chạy từ bến B theo hướng đến bến A
với vận tốc đối với nước là v 2 = 10km/h. Trong thời gian thuyền đi từ A đến B thì ca nơ kịp
đi được 4 lần qng đường đó và về đến B cùng một lúc với thuyền. Hãy xác định:
a. Hướng và độ lớn vận tốc của nước sơng.
b. Nếu nước chảy nhanh hơn thì tổng thời gian cano đi trong quá trình trên (với quãng
đường như câu a) có thay đổi khơng? Vì sao?
Gải:
a) Gọi khoảng cách giữa hai bến sông là S = AB, giả sử nước chảy từ A đến B với
vận tốc u ( u < 3km/h )

S
v1 + u
2S
2S
+
- Thời gian chuyển động của ca nô là: t2 =
v2 − u v2 + u
S
2S
2S
+
Theo bài ra: t1 = t2 ⇔
=
v1 + u v 2 − u v 2 + u

- Thời gian thuyền chuyển động từ A đến B là: t1 =

76


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Hay:

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

1
2
2
+

⇒ u 2 + 4v 2 u + 4v1v 2 − v 22 = 0 thay số ta được
=
v1 + u
v2 − u v2 + u
u 2 + 40u + 20 = 0 (1)

Giải phương trình (1) ta được: u ≈ - 0,506 km/h
Vậy nước sông chảy theo hướng BA với vận tốc gần bằng 0,506 km/h

v + u + v2 − u
4.S .v
2S
2S
+
= 2S ( 2 2
) = 2 22
2
v2 − u v2 + u
v2 − u
v2 − u
2
2
Khi nước chảy nhanh hơn (u tăng) ⇒ v - u giảm ⇒ t2 tăng (S, v2 không đổi)

b) Thời gian ca nô đi và về: t2 =

Dạng III. Bài toán gặp nhau dựa vào quãng đường và thời gian.
Cách giải này thường được áp dụng cho những bài toán phức tạp.
Một số điểm cần chú ý:
Đặt ẩn như các bài tốn thơng thường

Vẽ sơ đồ của chuyển động
Biểu diễn các quãng đường cho các chuyển động
Ví dụ 9: Hải, Quang và Tùng cùng khởi hành từ A lúc 8 giờ để đi đến B, với AB = 8
km. Do chỉ có một xe đạp nên Hải chở Quang đến B với vận tốc v 1 = 16 km/h, rồi liền quay
lại đón Tùng. Trong lúc đó Tùng đi bộ dần đến B với vận tốc v2 = 4 km/h.
a, Hỏi Tùng đến B lúc mấy giờ? Quãng đường Tùng phải đi bộ là bao nhiêu km?
b, Để Hải đến B đúng 9 giờ, Hải bỏ Quang tại một điểm nào đó rồi lập tức quay lại chở
Tùng cùng về B, Quang tiếp tục đi bộ về B. Tìm quãng đường đi bộ của Tùng và của
Quang. Quang đến B lúc mấy giờ?
Biết xe đạp luôn chuyển động đều với vận tốc v 1, những người đi bộ luôn đi với vận tốc
v2.
a)
- Gọi C là điểm gặp nhau của Hải và Tùng.
- Trong cùng khoảng thời gian t1:
Hải đi xe đạp đoạn đường s + s1 và Tùng đi bộ quãng đường s3.
Ta có:
s + s1 = v1.t1 ; s3 = v2.t1 ; s1 + s3 = s
⇒ s + s1 + s3 = v1.t1 + s3 ⇒ 2s = v1.t1 + v2.t1
⇒ t1 =

2s
= 0,8 (h)
v1 + v2

- Sau đó từ C, Hải và Tùng cùng về B với vận tốc v1 trong thời gian t2 :
t2 =

s1 s - s3
8 − 4.0,8
=

=
= 0,3 (h)
v1
v1
16

- Thời gian tổng cộng của Tùng đi là : t = t1 + t2 = 0,8 + 0,3 = 1,1(h) = 1 giờ 6 phút.
- Vậy Tùng đến B lúc 9 giờ 6 phút và quãng đường Tùng đi bộ là :
s3 = v2.t1 = 4.0,8 = 3,2 (km).

77


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

b) Gọi t1 là thời gian Hải đi xe đạp chở Quang từ A đến D rồi quay về E, cũng là thời
gian Tùng đi bộ từ A đến E (AE = s3).
s3 = v2.t1
(1)
-Sau đó Hải và Tùng cùng đi xe đạp từ E đến B (EB = s1) trong khoảng thời gian t2.
Ta có : s1 = v1.t2
(2)
t1 + t2 = 9 – 8 = 1 (h)
(3)
s3 + s1 = 8 (km)
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4), giải ra ta có: t1 =

2
(h)
3

- Quãng đường đi bộ của Tùng là : s3 = v2.t1 =

8
≈ 2,67 (km)
3

- Ta cũng có : AD + DE = v1.t1
(5)
- Từ (1) và (5) => AD + DE + AE = 2AD = v1.t1 + v2.t1 = t1(v1 + v2)
=> AD =

=

=

(km)

- Quãng đường đi bộ của Quang : DB = s2 = AB – AD = 8 - Tổng thời gian Quang đi từ A → B là : t3 =

+

=
=

≈ 1,33 (km)
+

=

(h) = 45 ph

Vậy Quang đến B lúc 8 giờ 45 phút.
Ví dụ 10.
Cùng một lúc hai người chuyển động đều, cùng chiều nhau với vận tốc là V 1=
40km/h; V2 = 30km/h, cách nhau một quãng L. Cùng lúc đó người thứ ba ở cùng vị trí người
thứ nhất nhưng chuyển động ngược chiều với hai người trên. Khi gặp người thứ hai thì
người thứ ba lập tức quay lại đuổi theo người thứ nhất với vận tốc như cũ là V 3 = 50km/h.
Kể từ khi gặp người thứ hai và quay lại đuổi kịp người thứ nhất thì người thứ ba đi mất thời
gian 5,4 phút.
a) Tính khoảng cách L?
b) Khi gặp lại người thứ nhất, họ cách người thứ hai bao xa?
a) Đổi 5,4 phút = 0,09 h
Gọi t (h) là thời gian từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ ba gặp xe thứ hai(t > 0)
Suy ra độ dài quãng đường L là: L = (30+50).t
(1)
Lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là :
L + (40 - 30).t (km)
Mặt khác kể từ lúc gặp xe thứ hai xe thứ ba quay lại đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian 0,09
h nên lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là:
(50 - 40).0,09 = 0,9 (km)
Vậy ta có phương trình: L+ (40 - 30).t = 0,9 thay (1) vào ta có
(30+50).t + (40 - 30).t = 0,9
Giải ra ta có t = 0,01h
Vậy L = (30+50).0,01 = 0,8(km)
b) Xe thứ ba vừa gặp xe thứ hai liền đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian 0,09 h nên trong
thời gian đó xe thứ nhất gia tăng thêm khoảng cách so với xe thứ hai là:

0,09.(40 - 30) = 0,9 (Km)
Vậy khi gặp lại xe thứ nhất thì chúng cách xe thứ hai là :
78


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

0,9 + 0,9 =1,8(Km)
C. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG NÂNG CAO
Bài 1: Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ 2 điểm A, B cách nhau L=10km đi lại
gặp nhau. Hai người dự định sẽ đi với vận tốc v = 20km/h và khi tới địa điểm kia sẽ lập tức
quay trở lại. Nhưng suốt thời gian đi trên đường có gió thổi liên tục với hướng và tốc độ
không đổi. Biết rằng khi chuyển động theo gió tốc độ tăng bao nhiêu thì khi đi ngược gió
vận tốc giảm bấy nhiêu. Người ban đầu đi thuận chiều gió tới địa điểm kia rồi quay về ngay,
cịn người ban đầu đi ngược chiều gió khi tới đích phải nghỉ ngơi tại đó sau đó mới quay lại
đi tiếp. Biết rằng họ gặp nhau ở M và N cách A lần lượt là L M = 2km và LN = 6km. Người đi
xe đạp ban đầu bị ngược gió nghỉ lại ở điểm nào? Trong bao lâu?
Giải:
Xét 2 trường hợp:
a) Nếu gió thổi từ A đến B. Gọi vận tốc gió là v 0. Ta thấy AN > NB điểm gặp nhau
lần đầu tiên tại N, thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là bằng nhau:
S AN
S
= BN
v + v0 v − v0

=> v0 = 4km/h.

Vì gió thổi từ A đến B nên người đi từ B sẽ nghỉ tại A một khoảng thời gian t;
Kể từ lúc gặp nhau lần thứ nhất tại N đến lúc gặp nhau lần thứ 2 tại M thì thời gian
của hai người đi qua các quãng đường là bằng nhau: Ta có.
Kể từ lúc gặp nhau tại N, người đi từ A đi tiếp về B và quay lại M hết tổng thời gian:
t1 =

S BN
S
+ BM
v + v0 v − v0

Kể từ lúc gặp nhau tại N người đi từ B đi tiếp về A (nghỉ tại đó thời gian t) sau đó đi
tiếp về M hết tổng thời gian:
t2 =

S AN
S
+ AM + t
v − v0 v + v 0

Khi hai người gặp nhau tại M ta có t1 = t2
S BN
S
S
S
+ BM = AN + AM + t , thay số ta được t = 12,5 phút.
v + v0 v − v0 v − v0 v + v0

b) Nếu gió thổi theo chiểu từ B đến A, tương tự như trên ta có v 0 = 12km/h, và người
đi từ A phải nghỉ tại B khoảng thời gian là t, tính tốn tương tự ta được t =

−5
( h)
16

vơ lý.
Vậy gió thổi từ A đến B, người đi từ B nghỉ tại A thời gian 12,5 phút.
Bài 2: Một người đến bến xe buýt chậm 20 phút sau khi xe buýt đã rời bến A, người
đó bèn đi taxi đuổi theo để kịp lên xe buýt ở bến B kế tiếp. Taxi đuổi kịp xe buýt khi nó đã
đi được 2/3 quãng đường từ A đến B. Hỏi người này phải đợi xe buýt ở bến B bao lâu ? Coi
chuyển động của các xe là chuyển động đều.
Giải:
Gọi C là điểm taxi đuổi kịp xe buýt và t là thời gian taxi đi đoạn AC.
Khi taxi chạy thì xe buýt đã chạy được 20 phút.
79


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học
2
3

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu
1
3

Theo đầu bài ta có: AC = AB; CB = AB ⇒ AC = 2CB
- Thời gian xe buýt đi đoạn AC là: t + 20 (phút);
- Thời gian mỗi xe đi tỷ lệ thuận với quãng đường đi của chúng, nên thời gian
CB là:

taxi đi đoạn

t
(phút).
2

t + 20 t
= + 10 (phút)
2
2
t
 t
Vậy thời gian người đó phải đợi xe buýt ở bến B là:  + 10 − = 10 phút)
2
 2

Thời gian xe buýt đi đoạn CB là:

Bài 3: Lúc 6h30ph, ba bạn An, Bình, Chiến cùng xuất phát đi thăm bạn Dũng ở xã
bên cạnh, cách đó 6km. Vì chỉ có 1 chiếc xe đạp nên họ vạch ra kế hoạch đi để cả 3 cùng
đến nơi một lúc là: Bình trở An cịn Chiến đi bộ, đi được một đoạn thích hợp An xuống xe
đi bộ cịn Bình quay lại đón Chiến, nhưng dọc đường quay lại xe bị hỏng phải dừng lại sửa
do đó Bình và Chiến đến nhà Dũng trễ sau An 5 phút. Biết vận tốc đi bộ của các bạn là v 1=
4km/h, vận tốc đạp xe là v2 = 12km/h. Bỏ qua thời gian quay đầu và lên xuống xe.
1. An đến nhà Dũng lúc mấy giờ?
2. Tính thời gian sửa xe.
Giải:
Thời điểm An đến nhà Dũng là đúng như dự định, gọi vị trí xuất phát là A, vị trí
1.
đích là B, vị trí An xuống xe để đi bộ là N và vị trí Bình gặp Chiến (trường hợp

xe khơng hỏng) là N hình vẽ.

Gọi t1 là tổng thời gian đi bộ của An, t2 là tổng thời gian An ngồi xe,
Ta có: v1.t1 + v2.t2 = SAB
(1)
Tổng quãng đường xe đạp phải đi là: SAB + 2.SNM
Ta có: v2(t1 + t2) = SAB + 2.SNM
(2)
Ta đi xác định SNM như sau: Thời gian Bình quay lại gặp Chiến kể từ lúc xuất phát là:
t=

v −v  S
2S AN
v .2 S
2.v .S
⇒ S AM = 1 AN ⇒ S NM = S AN − S AM = S AN − 1 AN = S AN . 2 1  = AN
v1 + v 2
v1 + v 2
v1 + v 2
2
 v 2 + v1 

Thay vào (2) và rút gọn ta có: v 2(t1 + t2) = SAB + SAN; với SAN = SAB – v1.t1 thay vào ta
có hệ phương trình:
v .t + v 2 .t 2 = S AB
4.t + 12.t 2 = 6
4.t + 12.t 2 = 6
⇒ 1 1
⇒  1
⇒ 1

v1 .t1 + v 2 .t 2 = S AB + S AB − v1 .t1
12.t1 + 12.t 2 = 12 − 4.t1
16.t1 + 12.t 2 = 12

Giải hệ ta được t1 = 30 phút, t2 = 20 phút.
Vậy An đến nhà Dũng lúc 7h20phút.
Giả sử khoảng thời gian sửa xe là t3, trong thời gian sửa xe Chiến đi thêm được
2.
quãng đường là: v1.t3 do đó tổng quãng đường xe đạp đi sẽ được giảm: 2.v1.t3
Và tổng thời gian xe đạp đi được giảm:

2.v1 .t 3
v2

Theo đầu bài bạn Bình và Chiến đến trễ 5phút so với An ta có:
80


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học
t3 −

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

2.4.t 3
2.v1 .t1
5
1
1
=
⇔ t3 −

=
⇒ t3 = h
v2
60
12
12
4

Vậy thời gian Bình sửa xe là 15 phút:
Bài 4. Thường ngày vào lúc 11h, khi Nam tan học và về nhà thì bố Nam cũng đạp xe
đón Nam về nhà cho nhanh kẻo nắng. Nếu bố Nam xuất phát đúng lúc Nam rời trường về
nhà thì hai bố con gặp nhau sau 30 phút ở một vị trí nhất định. Nhưng hơm đó do có việc
nên Nam rời trường về nhà muộn hơn thường ngày 15 phút, vì thế vị trí Nam gặp bố cách vị
trí thường ngày vẫn gặp 400m. Quãng đường từ nhà đến trường là 5km. Tìm vận tốc của 2
bố con Nam.
Giải: Gọi vận tốc đi bộ của Nam là v1, vận tốc đạp xe của bố Nam là v2.
+ Khi 2 bố con cùng xuất phát ta có:

1
(v1 + v 2 ) = 5 ,
2

-> v1 + v2 = 10

(1)

+ Giả sử sau t (h) tính từ lúc Nam rời trường về nhà thì 2 bố con Nam gặp nhau:
1
5 = ( v1 + v 2 ).t + .v 2 (2)
4

+ Vị trí Nam gặp bố thường ngày cách trường: S1 = v1.1/2
+ Vị trí Nam gặp bố hơm về trễ 15p:
S2 = v1.t

(3)
(4)

v2
4 = 20 − v 2 = 20 − (10 − v1 ) = 1 + v1
Từ (1) và (2) ta có: t =
v1 + v 2 4(v1 + v 2 )
40
4 40
1
Khoảng cách giữa 2 vị trí gặp nhau là: S1 – S2 = v1 . − v2 .t
2
2
1
1 v
v v v
<-> 0,4 = v1 . − v1 ( + 1 ) <-> 0,4 = 1 − 1 − 1 <-> v12 – 10v1 +16 = 0 ->
2
4 40
2 4 40
5−

V1 = 2, v1= 8 (loại giá trị 8 vì nếu vậy thì vận tốc đạp xe của bố Nam chậm hơn, khơng phù
hợp đầu bài lad đi đón Nam để về sớm.)
D. MỘT SỐ BÀI TẬP MỞ RỘNG CỦA BÀI TỐN GẶP NHAU:

Dạng tốn mở rộng của bài tốn gặp nhau, thường rơi vào những bài toán chuyển động mà
sự gặp nhau xảy ra nhiều lần trong quá trình chuyển động. Sau đây là một vài bài tập ví dụ
cho dạng toán này.
Để giải được dạng bài tập này, cần phân tích và yêu cầu HS đọc kỹ đề bài để nắm rõ được
các quá trình chuyển động để rút ra được quy luật và cách giải nhanh gọn.
Bài 1. Khoảng cách từ nhà đến trường là 12km. Tan trường bố đi đón con, cùng với
một con chó. Vận tốc của con là v1 = 2km/h, vận tốc của bố là v2 = 4km/h. Vận tốc của con
chó thay đổi như sau:
Lúc chạy lại gặp con với vận tốc v 3 = 8km/h, sau khi gặp đứa con thì quay lại chạy
gặp bố với vận tốc v 4 = 12km/h, rồi lại tiềp tục quá trình trên cho đến khi hai bó con gặp
nhau.
Hỏi khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được qng đường là bao nhiêu?
Giải:
Thời gian hai bố con gặp nhau là: t =

S
12
=
= 2(h).
v1 + v2
2+4

+ Tính vận tốc trung bình của con chó:
- Thời gian con chó chạy lại gặp người con lần thứ nhất là:
t1 =

S
12
=
= 1,2 (h).

v1 + v3
2+8
81


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S1 = t1.v3 = 1,2.8 = 9,6 (km).
- Thời gian con chó chạy lại gặp bố lần thứ nhất là:
t2 =

S1
9,6 − 1,2.4
=
= 0,3 (h).
v2 + v4
4 + 12

- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S2 = t2.v4 = 0,3.12 = 3,6 (km).
⇒ Vận tốc trung bình của con chó là:
vtb =

S1 + S 2 9,6 + 3,6
=
= 8,8(km).
t1 + t 2

1,2 + 0,3

Vận tốc trung bình của con chó khơng thay đổi trong suốt q trình chạy do đó: Quãng
đường con chó chạy được cho đến khi hai bố con gặp nhau là:
Schó = vtb.t = 8,8.2= 17,6(km).
Vậy đến khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là:
S = 17,6 km.
Bài 2: Hai vật chuyển động cùng chiều trên hai đường thẳng đồng tâm, có chu vi lần
lượt là : C1 = 50m và C 2 = 80m. Chúng chuyển động với các vận tốc lần lượt là: v1 = 4m/s và
v2 = 8m/s. Giả sử tại một thời điểm cả hai vật cùng nằm trên cùng một bán kính của vịng
trịn lớn, thì sau bao lâu chúng lại nằm trên cùng một bán kính của vịng trịn lớn?
Giải:
Bài này có nhiều cách giải, sau đây là hai cách giải của tôi.
Cách giải 1:
Thời gian vật 1 đi hết 1 vòng tròn nhỏ là: t1 =

C1 50
=
= 12,5 (s).
v1
4

Thời gian vật thứ hai đi hết một vòng tròn lớn là:
t2 =

C 2 80
=
= 10 (s).
v2
8

Giả sử sau khi vật thứ nhất đi được x vòng và vật thứ hai đi được y vịng thì hai vật lại
cùng nằm trên một bán kính của vịng trịn lớn.
Ta có: T là thời gian chuyển động của hai vật.
T = t1 x = t 2 y ⇒

x t2
10
4
= =
= .
y t1 12,5 5

Mà x, y phải nguyên dương và nhỏ nhất do đó ta chọn x = 4 và y = 5.
Nên thời gian chuyển động của hai vật là: T = t1 x = 12,5.4= 50 (s).
Cách giải 2:
Ta lấy vật thứ 3 trên đường trịn lớn sao cho bất kì lúc nào thì vật thứ 3 và vật thứ nhất
luôn luôn nằm trên cùng một bán kính của đường trịn lớn.
Do vậy thời gian vật thứ 3 chuyển động hết đường tròn lớn đúng bằng thời gian vật thứ
nhất chuyển động hết đường tròn nhỏ. Cho nên vận tốc của vật thứ 3 là :
= 6,4 m/s.

82

v3 =

C2
80
=
t1

12,5


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

Bây giờ bài toán trở thành bài toán vật thứ hai đuổi vật thứ 3 trên đường tròn lớn. Đến
lúc vật thứ hai đuổi được vật thứ 3 thì vật thứ hai đã chuyển động hơn vật thứ nhất qng
đường đúng bằng chu vi vịng trịn lớn.
Ta có:

C 2 = T( v2 − v3 ) ⇒ T =

C2
80
=
= 50 (s).
v2 − v3 8 − 6,4

Bài 3: Một người ra đi vào buổi sáng, khi kim giờ và kim phút chồng lên nhau và ở
trong khoảng giữa số 7 và 8. khi người ấy quay về nhà thì trời đã ngã về chiều và nhìn thấy
kim giờ, kim phút ngược chiều nhau. Nhìn kĩ hơn người đó thấy kim giờ nằm giữa số 1 và
2. Tính xem người ấy đã vắng mặt mấy giờ.
Giải: Vận tốc của kim phút là 1 vòng/ giờ. Vận tốc của kim giờ là 1 vòng/ 12 giờ.
Coi kim giờ là đứng yên so với kim phút.
Vận tốc của kim phút so với kim giờ là: (1 – ) = vòng/giờ.
Thời gian để kim giờ và kim phút gặp nhau giữa hai lần liên tiếp là: = (giờ)
Khi đó kim giờ đi được 1 đoạn so với vị trí gặp trước là: . = vịng.
Khi đó kim phút đã đi được 1 vịng tính từ số 12. nên thời gian tương ứng là (1 + ) giờ.

Khi gặp nhau ở giữa số 7 và số 8 thì kim phút đã đi được 7 vịng, nên thời điểm đó là:
7 + giờ.
Tương tự. giữa 2 lần hai kim đối nhau liên tiếp cũng có thời gian là giờ.
Chọn tại thời điểm 6h. kim phút và kim giờ đối nhau. Thì khi tới vị trí kim giờ nằm giữa số
1 và
số 2. thì thời gian là: 7 + giờ.
Chọn mốc thời gian là 12h. thì khi hai kim đối nhau mà kim giờ nằm giữa số 1 và số 2 thì
thời điểm đó là (6 + 7 + ) giờ.
Vậy thời gian người đó vắng nhà là (13 + ) – (7+ ) = 6 giờ.
Bài 4: Chiều dài của một đường đua hình trịn là 300m. Hai xe đạp chạy trên đường này
hướng tới gặp nhau với vận tốc V 1 = 9m/s và V2 = 15m/s. Hãy xác định khoảng thời gian
nhỏ nhất tính từ thời điểm họ gặp nhau tại một nơi nào đó trên đường đua đến thời điểm họ
lại gặp nhau tại chính nơi đó
Giải: Thời gian để mỗi xe chạy được 1 vòng là: t1= = (s) , t2 = = 20(s)
Giả sử điểm gặp nhau là M. Để gặp tại M lần tiếp theo thì xe 1 đã chạy được x vịng và xe 2
chạy được y vịng. Vì chúng gặp nhau tại M nên: xt1 = yt2 nên: =
X, y nguyên dương. Nên ta chọn x, y nhỏ nhất là x = 3, y = 5
Khoảng thời gian nhỏ nhất kể từ lúc hai xe gặp nhau tại một điểm đến thời điểm gặp nhau
cũng tại điểm đó là t = xt1 = 3. =100 (s)
E. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Minh và Nam đứng ở hai điểm M, N cách nhau 750m trên một bãi sông,
khoảng cách từ m đến sông là 150m, khoảng cách từ N đến sơng là 600m. Tính thời gian
ngắn nhất để minh chạy ra sông múc một thùng nước mang đến chỗ Nam. Cho biết đoạn
sông thẳng, vận tốc chạy của Minh không đổi v = 2m/s, bỏ qua thời gian múc nước.
Bài 2: Một thuyền đánh cá chuyển động ngược dịng nước làm rơi một cái phao. Do
khơng kịp phát hiện, thuyền tiếp tục chuyển động thêm 30 phút nữa thì mới quay lại đuổi
theo và gặp phao tại nơi cách chỗ rơi 5km. Tính vận tốc dịng nước. Biết vận tốc thuyền
không đổi.
Bài 3: Một chiếc bè gỗ trơi trên sơng. Khi cách 1 bến phà 15km thì bị 1 cano chạy
cùng chiều vượt qua. Sau khi vượt qua bè 45 phút thì cano quay lại và gặp bè ở một nơi chì

cịn cách bến phà 6km. Tìm vận tốc nước chảy.
83


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

Bài 4: Ca nơ dang ngược dịng qua điểm A thì gặp một bè gỗ trơi xi. Cano đi tiếp
40ph thì bị hỏng máy nên bịt trơi theo dịng nước. Sau 10ph sửa xong máy ca nơ quay lại
đuổi theo bè và gặp bè tại B. Cho AB = 4,5km. Tìm vận tốc dịng nước. Biết vận tốc cano
không đổi.
Bài 5: Hàng ngày bố Lâm đạp xe từ nhà tới trường đón con, bao giờ ơng cũng đến
trường đúng lúc Lâm ra cổng trường. Một hôm, Lâm tan học sớm 45ph, em đi bộ về nên đã
gặp bố giữa đường về, bố liền đèo Lâm về nên hôm đó em đã về nhà sớm 30 ph.
a) Lâm đã đi bộ trong bao lâu?
b) So sánh vận tốc đạp xe của bố Lâm và vận tốc đi bộ của Lâm
Bài 6: Giang và Huệ cùng đứng một nơi trên một chiếc cầu AB cách đầu cầu 50m.
Lúc Tâm vừa đến nơi cách đầu cầu A một quãng đúng bằng chiều dài chiếc cầu thì Giang và
Huệ đi theo hai hướng ngược nhau. Giang đi về phía Tâm và Tâm gặp Giang ở đầu A, gặp
Huệ ở đầu B. Biết vận tốc Giang bằng nửa vận tốc Huệ. Tìm chiều dài cầu.
Bài 7: An và Bình cùng đứng ở giữa 1 chiếc cầu. Khi thấy Long đang đi xe đạp về
phía đầu cầu A, cách A đúng bằng chiều dài cầu thì 2 bạn (An, Bình) chia tay nhau đi về hai
phía. An đi về phía A với vậ tốc 6km/h và gặp Long sau thời gian t 1 = 3ph tại A. Sau đó 2
bạn đèo nhau và cùng đuổi theo Bình và gặp bạn tại đầu B sau thời gian t 2 = 3,75ph. Biết
vận tốc của An gấp 1,5 lần vận tốc Bình.
a) Tính chiều dài cầu và vận tốc xe đạp.
b) Nếu 2 bạn vẫn đứng ở giữa cầu thì xẽ gặp Long sau bao lâu?
Bài 8: Ba người đi xe đạp đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Người thứ nhất và
người thứ hai xuất phát cùng lúc với các vận tốc tương ứng là v 1=10km/h và v2=12km/h.

Người thứ ba xuất phát sau hai người nói trên 30 phút. Khoảng thời gian giữa hai lần gặp
nhau của người thứ ba với hai người đi trước là ∆ t =1h. Tìm vận tốc của người thứ ba.
Bài 9: Ba người đi xe đạp trên cùng một con đường từ A đến B. Người thứ nhất có
vận tốc v1=8km/h, người thứ v2=10km/h và xuất phát muộn hơn người thứ nhất 15 phút.
Người thứ 3 xuất phát muộn hơn người thứ 2 là 30 phút và đuổi kịp người đi trước mình tại
hai nơi cách nhau 5km. Tìm vận tốc người thứ 3. ĐS: v3=13,33km/h
Bài 10: Một người đứng cách đường giao thông một khoảng d=200m, và một ô tô
chạy trên đường này với vận tốc V1=10m/s . Tại thời điểm khi người nhìn thấy xe, phương
nối liền người với xe tạo với đường một góc α =150. Sau thời gian bao lâu, người đó phải
bắt đầu chạy với vận tốc V 2=4m/s để đuổi kịp xe? Nếu quyết định bắt gặp xe theo phương
tạo với đường giao thơng một góc β=600. Ngưới đó có thể chọn những phương nào để đến
kịp xe? Hãy xác định vận tốc tối thiểu mà người đó phải chạy để đuổi kịp xe.
Bài 11: Hai người bơi xuất phát từ một điểm A trên bờ một con sông và phải đạt tới
một điểm A ở bờ bên kia nằm đối điện với A. Muốn vậy, người thứ nhất bơi để chuyển động
được theo đúng đường thẳng AB, còn người kia ln bơi theo hướng vng góc với dịng
chảy, rồi khi đến bờ chạy ngược trở lại B với vận tốc u. Tính giá trị của u để hai người đến
B cùng 1 lúc. Biết vận tốc dòng chảy là v 0 = 2km/h và vận tốc bơi dưới nước của hai người
là v2 = 2,5km/h. (ĐS: 3km/h)
Bài 12: Một người đứng cách một con đường thẳng 1 khoảng h = 50m. Ở trên đường
có 1 ơtơ đang chạy lại gần anh ta với vận tốc v 1 = 10m/s. Khi cịn thấy ơtơ cách mình 130m
thì anh ta bắt đầu chạy ra đường ra đường để đón ơtơ theo hướng vng góc với đường. Hỏi
người ấy phải chạy với vận tốc bao nhiêu để có thể gặp được ôtô? (ĐS: 4,2m/s)
Bài 13: Lúc 6h30p khi Hương vừa rời nhà đến trường học bằng xe đạp thì mẹ
Hương cũng đi bộ đi làm đến cơ quan (nằm trên đường từ nhà đến trường Hương). Khoảng
cách từ nhà đến trường là 3,6km. Giữa chừng Hương chợt nhớ chưa xin chữ ký mẹ, Hương
liền quay lại và gặp mẹ xin chữ ký sau đó Hương đến trường vừa đúng 7h (giờ vào lớp).
84


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

Xem đồng hồ Hương thấy thời gian đi từ nhà đến lúc H quay lại đúng bằng thời gian từ lúc
gặp mẹ đến trường, vận tốc đi bộ của mẹ là 4km/h, vận tốc xe đạp của H không đổi, bỏ qua
thời gian quay đầu, lên xuống xe và thời gian xin chữ ký.
a) Tính vận tốc đạp xe của Hương (ĐS: 12km/h)
b) Nếu Hương gặp mẹ ở nhà rồi mới đến trường thì Hươgn bị muộn bao lâu thời
gian?(ĐS: 12p)
Bài 14: Một tàu hỏa chuyển động với vận tốc 60km/h trên đường ray thẳng theo
hướng về địa điểm A và một máy bay tuần tra bay với vận tốc 120km/h. Khi máy bay bay và
tàu hỏa cách A 480km về cùng một phía thì máy bay cũng bay về A. Khi tới A thì ngay lập
tức máy bay bay về gặp đầu tàu, được goi là lần gặp thứ nhất, sau đó nó lại bay về A quá trìh
cứ tiếp diễn như thế cho tới khi máy bay gặp tàu lần thứ 6 thì nó hồn thành nhiệm vụ tuần
tra. Tìm quãng đường mà máy bay bay được từ lúc cách A 480km đến khi nó gặp lại tàu lần
thứ 6. (ĐS: 598,68km)
Bài 15: Nhà An có 5 người về quê ăn tết, khi 5 người bắt đầu đi bộ từ bến xe về thì ở
nhà chú Thanh cũng bắt đầu đạp xe từ nhà đi đón, khi gặp chú chỉ lai được một người về
nhà trong khi đó những người cịn lại vẫn tiếp tục đi bộ về , cứ thế cho tới khi cả 5 người về
đến nhà. Biết nhà cách bến xe 15km, vận tốc đạp xe là 8km/h, vận tốc đi bộ của cả nhà là
2km/h. Tính tổng quãng đường mà chú Thanh đã đạp xe từ lúc xuất phát đến lúc mọi người
đều về nhà. Bỏ qua thời gian quay đầu và lên xuống xe.
Bài 16: Có 4 bạn học sinh cùng đến trường tham dự kì thi tốt nghiệp, nhưng chỉ có
một chiếc xe máy và 2 mũ bảo hiểm. Chấp hành luật giao thông nên hai bạn đi xe và hai bạn
đi bộ, dọc đường bạn đang ngồi sau xuống xe tiếp tục đi bộ và xe có hai lần quay lại đón 2
bạn đi bộ ở những vị trí thích hợp sao cho cả 4 bạn đều đến trường cùng một lúc. Biết rằng
vận tốc đi xe gấp 5 lần đi bộ và coi rằng vận tốc đi bộ của các bạn đều như nhau, nơi xuất
phát cách trường 5 km. Xác địng vị trí mà xe đã đón 2 bạn đi bộ cách vị trí xuất phát là bao
nhiêu ?
Bài 17: Một cậu bé đi lên núi với vận tốc 1m/s. khi còn cách đỉnh núi 100m cậu bé

thả một con chó và nó bắt đầu chạy đi chạy lại giữa đỉnh núi và cậu bé. Con chó chạy lên
đỉnh núi với vận tốc 3m/s và chạy lại phía cậu bé với vận tốc 5m/s. Tính quãng đường mà
con chó đã chạy từ lúc được thả ra tới khi cậu bé lên tới đỉnh núi? (ĐS 350m)
Bài 18: Trên quãng đường dài 100 km có 2 xe 1 và 2 cùng xuất phát và chuyển động
gặp nhau với vận tốc tương ứng là 30 km/h và 20 km/h. cùng lúc hai xe chuyển động thì có
một con Ong bắt đầu xuất phát từ xe 1 bay tới xe 2, sau khi gặp xe 2 nó quay lại và gặp xe
1… và lại bay tới xe 2. Con ong chuyển động lặp đi lặp lại tới khi hai xe gặp nhau. Biết vận
tốc của con ong là 60Km/h. Tính tổng quãng đường ong bay?. (ĐS: 120km)
Bài 19: Một người đi bộ và một vận động viên đi xe đạp cùng khởi hành ở một địa
điểm, và đi cùng chiều trên một đường tròn chu vi C = 1800m. vận tốc của người đi xe đạp
là v1= 22,5 km/h, của người đi bộ là v2 = 4,5 km/h. Hỏi khi người đi bộ đi được một vịng
thì gặp người đi xe đạp mấy lần. Tính thời gian và địa điểm gặp nhau? (Đs: 4 lần…..)
Bài 20: Hai bạn Toàn và Thắng đạp nhiều vòng quanh phố
và cùng xuất phát tại một góc phố A, Tồn đi theo hướng AB,
Thắng đi theo hướng AC. 4 phút kể từ lúc xuất phát 2 bạn gặp
nhau tại C, được gọi là lần gặp nhau thứ nhất, sau đó hai bạn vẫn
tiếp tục đạp xe theo hướng cũ với vận tốc như trước.
a) Sau bao lâu kể từ lần gặp nhau đầu tiên tại C thì hai bạn lại
gặp nhau tại C lần 2, lần 3?
b) Lần gặp nhau thứ 4 tại C thì hai bạn thơi khơng đạp xe nữa. Tính đến lúc đó thì
tổng qng đường mà Thắng và Tồn đã đi là bao nhiêu?
85


Bài toán gặp nhau trong chuyển động cơ học

Nguyễn Văn Dương-THCS Tiền Châu

III: KẾT LUẬN
Có thể nói rằng bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng đối với mỗi nhà

trường và mỗi giáo viên, kết quả thi HSG khẳng định “thương hiệu” của mỗi nhà trường và
một phần “danh dự” của giáo viên. Qua mấy năm tham gia công tác BD HSG của trường
THCS Tiền Châu và thị xã tôi thật sự đam mê và bị cuốn hút với công việc này.
Áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy phần chuyển động cơ học tôi thấy học sinh
hiểu và khơng thấy sợ dạng tốn này nữa cụ thể là hs của tôi trong mấy năm qua đạt kết quả
cao trong các kỳ thi HSG.
Chính vì lý do trên tơi đã mạnh dạn viết lại những gì mình tâm đắc để bạn đọc và quý
thầy cô tham khảo.
Nhất định trong bài viết của mình tơi sẽ có thể gặp phải những sai sót mong được sự
góp ý của bạn đọc. Mọi sự đóng góp ý kiến xin liên hệ qua địa chỉ
(điện thoại 0986.774.920 – 0924.934.456)

86