sáng kiến kinh nghiệm một số bài TOÁN GIAO điểm của đồ THỊ hàm số bậc BA với một ĐƯỜNG THẲNG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (783.39 KB, 24 trang )
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
ro q á rì
ả dạ
ơ
rì lớp 12, bồ d ỡ
ọ
s
ỏ , và ô
ạ ọ ô
ậ
ấ á bà oá ì
số
ể
ồ
à số oả ã
k
o r ớ là ộ ả
oá
ơ
ố
k ó ố vớ ọ s , ro
ó ó dạ
oá v
o ể ủ ồ
à
số bậ b vớ ộ
ẳ .
Để óp p ầ
úp á e ó
à l
k ảo, ể s
ơ
và
ố
ợ á dạ bà ập l q
ế dạ
oá à vì ế ô
ã ọ
à “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
x
ợ phân công dạ lớp 12, bồ d ỡ
ọ s
ỏ k ố 12, ũ
bồ d ỡ
ọ s
ỏ á í
ầ
và
ơ x nô
ạ ọ
o á e
ô
x
ếp xú
và ì
ể
ứ loạ oá ày.
2. Khó khăn
ớ
ỉ
r
ộ số dạ
oá
ặp ô q
á ví dụ,
ả
ợ á bà oá ổ q á .
3. Số liệu thống kê
r ớ k
ọ s
k á lú
ú
ro v
ả ũ
l
ọ p ơ p áp p ù ợp ể ả bà oá dạ
à .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
- Thông qua q q rì dạ
ứ á dạ bà oá l q
- ro
ễ ô ã vậ k
. ừ ó ì
à
ơ sở
ọ ô ã ì ò óp ặ ,
.
á ố á nộ d
ủ
ứ
à .
2. Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
- ộ ủ
à
ợ
ứ r
ơ sở lí
ế và bà ập à
á e
ã ợ ọ ro
ơ
rì
-Đ à o á e
ấ
ợ á dạ bà oá ó ứ
số
v
o ể ủ à số bậ b vớ ộ
ẳ .G úp o ọ s
p á
và lĩ
ộ kế
ứ .
Phương pháp 1.
ộ
o
ẩ
ộ
ộ
ủ p
ơ
rì h hoành
ể .
Cho à
số bậ b C : y ax3 bx2 cx d (a 0) và
ẳ
d : y a ' x b '
-
Tr. 1
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Đồ
p
ơ
ủ
rì
à
oà
ó
í
é p
số ( ) và (d) ắ
ộ
o
là oà
ơ
rì
ể
ủ
ú
ộ ủ
á
o
oà
ộ
o
ạ k
ể
và
ỉk
p
b
, và
ủ ( ) và (d),
ó
ók
ể .
ể
ax3 bx2 cx d a ' x b ' ax3 bx2 c a ' x d b ' 0
ế p
ơ
rì
(*) ó
ộ
k
a 0*
là x0 thì
(*) x x0 a1 x 2 b1 x c1 0
x x0
2
a1 x b1 x c1 0 **
ơ
1/
oặ
rì
ó
p
ơ
rì
(**) vô
p
ơ
rì
(**) ó
kép x0
ơ
2/
(*) ó 1
rì
(*) ó 2
kép khác x0 oặ
ó
p
b
ro
ó ó
ộ
ộ
là
x0
ơ
3/
p
b
rì
(*) ó 3
p
ơ
rì
(**) ó
k á x0
Các ví dụ:
VÍ DỤ 1
o à
( ). ì
ể ồ
/3
ể
b/ 2
ể
/1
p
số y x3 m 1 x 2 m 2 m 3 x 3 m 2
( ) ắ rụ
oà
ó ồ
Ox ạ
b
ể
Định hướng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là.
x3 m 1 x 2 m 2 m 3 x 3 m 2 0
(1)
Nhận xét: x 1 là một nghiệm của phương trình (1)
Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của
phương trình (1) thì các em có thể làm như sau:
-
Tr. 2
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào
PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình
nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1)
Chẳng hạn:
Cho m= 0 thì PT(1) trở thành x3 x 2 3x 3 0 có nghiệm x 1; x 1,7
Cho m=1 thì PT(1) trở thành x3 2 x 2 x 2 0 có nghiệm x 1; x 2
Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ
thể đều có nghiệm chung là x =1. Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của
phương trình (1)
Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào
phương trình (1), nếu thoả mãn thì x 1 là một nghiệm cần tìm của
phương trình (1). Khi đó ta giải bài toán như sau.
Giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
ủ ( ) và rụ
oà
x3 m 1 x 2 m 2 m 3 x 3 m 2 0
Vì x = 1 là
ộ
ủ p
ơ
rì
(1) ,
là.
(1)
ó
Pt (1) x 1 x 2 mx m2 3 0
x 1
2
2
x mx m 3 0
1'
Đặ g x x2 mx m2 3 , g x 12 3m2
ơ
rì
oà
(1) là p
số
ơ
rì
ủ (1) bằ
oà
ộ
số
o
o
ể
ể
ủ ( ) và rụ
ủ ( ) và rụ
oà
Ox
/ Đồ
( ) ắ Ox ạ 3
p
b
,
ể
p
ơ
p
b
rì
ơ
rì
(1’) ó
(1) ó 3
p
b
k á 1
2
2 m 2
g x 0
12 3m 0
2
m 2; 2 \ 1
m m 2 0
m 1; m 2
g 1 0
b/ Đồ
hay p
ro
( ) ắ Ox ạ 2
ơ
rì
ó ó
ộ
ể
(1’) ó
ơ
rì
(1) ó ú
kép k á 1 oặ
ó2
2
,
p
b
là 1
-
Tr. 3
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
+
ơ
rì
(1’) ó
kép k á 1
g x 0
12 3m 2 0
m 2; m 2
m 2 .
m
m
2
m
2
1
2
+
ơ
rì
(1’) ó
p
b
ro
ó ó
ộ
là 1
12 3m2 0
2 m 2
g x 0
m 1
m
2;
m
1
m
2;
m
1
g
1
0
Vậ m = -1 ; m = -2
/ Đồ
hay p
ì ( ) ắ Ox ạ 2
( ) ắ Ox ạ 1
ơ
rì
ể
ơ
(1’) vô
ể
oặ
rì
(1) ó ú
ó
1
,
kép là x = 1
g x 0
12 3m 2 0
m (; 2) (2; )
0
g x
12 3m 2 0
m 2
m 1 m 2
2
Vậ vớ m ; 2 2; thì ( ) ắ Ox ạ 1
VÍ DỤ 2
oà
ì
ạ 3
ể ồ
ể
p
.
số y x3 3x2 m 2 x 2m ắ rụ
à
b
ể
ó oà
ộ
.
Bài giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
ủ
ồ
x 3 3 x 2 m 2 x 2m 0
và rụ
oà
là
1
x 2
x 2 x2 x m 0 2
x x m 0 1'
Đồ
à
số ắ rụ
oà
p
ơ
rì
(1) ó 3
p
ơ
rì
(1’) ó 2
ạ b
ể
p
p
p
b
ó oà
ộ
b
b
k á -2
1' 1 4m 0
S 1 0
m 0
1'
2
m 2
P1' m 0
2 2 2 m 0
VÍ DỤ 3 (K ỐI A 2010)
-
Tr. 4
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
số y x3 2x2 1 m x m (14),
o à
/ K ảo sá s b ế
b/ ì
và vẽ ồ
ể ồ
oà
ộ x1 , x2 , x3
ủ
à
oả
ã
à
là
số
số vớ
=1
số (1) ắ rụ
k
oà
ạ 3
ể
p
b
ó
x12 x22 x32 4
Bài giải:
ơ
b/
rì
oà
ộ
o
ể
ủ
ồ
à
số ( ) và rụ
oà
là:
x3 2 x2 1 m x m 0 1
x 1
2
x x m 0 1'
Đồ
p
à
ơ
số (1) ắ rụ
rì
oà
(1’) ó 2
ạ 3
p
ể
b
p
b
k
Y
ầ bà oá
oả
ã k
ỉk
k á 1
g x x2 x m và x1 1, x2 , x3 là á
Kí
và
và
ủ (1’)
ỉk
1
1
1 4m 0
g x 0
m 4
m 4
1
m 1
m 0
m 0 4
g 1 0 m 0
2
m 0
2
2
1 2m 3 m 1
x2 x3 3 x1 x2 2 x1 x2 3
VÍ DỤ 4
ứ
rằ
ồ
luôn ắ (d): y=3 x 3m tạ 3
Đ
ể
à
p
số y x3 3mx 2 3m2 x m3 (C)
b
.(
là
số)
ể
ủ ( ) và (d),
ớ
é p
ơ
rì
oà
ộ
o
ó
x3 3mx 2 3m2 x m3 3x 3m
x3 3mx 2 3(m2 1) x m3 3m 0
Đố vớ bà
à k
ợ
dụ ở r . K
ó ta
o
ậ
x0 ủ
á p
ử
ẩ
ộ số
ơ
á r ụ
ể
rì
ơ
ứ
ủ
oà
ì
k ô
ì
ữ
ộ
o
ể
theo m,
-
Tr. 5
ví
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
ẳ
ạ
ro
ví dụ 4
ấ x=
là
ộ
ủ p
ơ
trình.
Giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
ủ ( ) và (d) là
x3 3mx 2 3m 2 x m3 3x 3m
(1)
x 3 3mx 2 3(m 2 1) x m3 3m 0
( x m)( x 2 2mx m 2 3) 0
x m
2
2
x 2mx m 3 0
(2)
Đặ g ( x) x 2 2mx m2 3
Ta có 3 0, m
Và g(m) 3 0, m
S
r p (2) l ô
b
p
( p
ó2
p
b . Vậ ( ) l ô
b
k á
,k
ắ (d) ạ b
ó p (1) l ô
ể
p
b
ó
.
)
VÍ DỤ 5
ì
ể ồ
à
rụ
ạ 3
ể
b
rì
oà
oà
p
số y x3 2mx 2 2m 2 1 x m 1 m 2 ắ
ó oà
d ơ
.
Giải:
ơ
ộ
o
ể
ủ ( ) và (d) là
x 3 2mx 2 2m 2 1 x m 1 m 2 0 (1)
( x m)( x 2 mx m 2 1) 0
x m
2
2
x mx m 1 0
(2)
Đặ g ( x) x 2 mx m2 1
eo
b
ầ bà oá
ì m 0 và
(2) p ả ó
p
,k á
m 0
m 0
m 0
2
g( x ) 0
4 3m 0
2
2
2
P 0 m2 1 0
m
m 1
3
3
3
S 0
m 0
m 1 m 1
g(m) 0 m2 1 0
-
Tr. 6
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
VÍ DỤ 6
3
ể
ì
p
b
số y x3 2m 1 x2 9 x ắ rụ
ể ồ
à
ó oà
ộ lập
à
oà
ạ
ộ ấp số ộ .
Giải:
Đồ
số y x3 2m 1 x2 9 x ắ rụ
à
ó oà
ộ lập
à
ộ ấp số ộ
x3 2m 1 x2 9 x 0 1 ó 3
ộ
oà
p
p
b
ạ 3
ơ
lập
ể
p
b
rì
à
ộ ấp số
.
ơ
rì
x 0
x3 2m 1 x 2 9 x 0 x x 2 2m 1 x 9 0 2
x 2m 1 x 9 0 1'
ơ
rì
Do ó oà
c
a
(1’) ó x1.x2 9 0
ộ
o
Để x1 , x0 , x2 lập
ể
à
ủ
ồ
ắ rụ
ộ
oà
rá dấ
1 ấp số ộ
ể ồ
ạ 3
ó2
vớ Ox sẽ là x1 x0 0 x2
x1 x2 2 x0 2m 1 0 m
VÍ DỤ 7: Tì
l ô
ể
à
p
1
2
số y f ( x) x3 3mx2 2m(m 4) x 9m2 m Cm
b
ó oà
ộ lập
à
ộ ấp số
.
Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìn ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ
thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Chú ý: Nếu đa thức y f ( x) ax3 bx2 cx d a 0 ó á
là
x1; x2 ; x3 thì y f ( x) a x x1 x x2 x x3
Giải:
Giả sử (Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt x1; x2; x3 khi đó:
-
Tr. 7
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
x3 3mx 2 2m(m 4) x 9m2 m x x1 x x2 x x3
x3 3mx 2 2m(m 4) x 9m2 m x3 ( x1 x2 x3 ) x 2 ( x1x2 x2 x3 x3 x1 ) x x1x2 x3
ừ ó
ó
x1 x2 x3 3m
Vì x1; x2; x3 tạo thành cấp số cộng nên x1 x3 2x2 khi đó:
x1 x2 x3 x1 x3 x2 3x2 3m x2 m
Vì x2 là oà
ộ
o
ểm nên
f ( x2 ) 0 m2 m 0 m 0; m 1
Vớ
=0
ì f ( x) x3 0 x 0 (loạ )
Vớ
=1
ì
f ( x) x3 3x2 6x 8 0
x 1 x2 2x 8 0
x 1
x 1 0
2
x 2
x 2x 8 0 x 4
Ta t ấ
Vậ
á số -2 ; 1 ; 4 ạo à
=1
VÍ DỤ 8
ắ rụ
oả
ì
oà
ã
vớ ô
s bằ
3
ầ bà oá .
ể ồ
ạ 3
ấp số ộ
ể
số y x3 5 m x2 6 5m x 6m Cm
à
p
b
ó oà
ộ lập
à
ộ ấp số
nhân.
Giải:
Đồ
ể
à
p
số y x3 5 m x2 6 5m x 6m Cm ắ rụ
b
ó oà
ộ lập
à
x3 5 m x2 6 5m x 6m =0 (1) ó 3
ấp số
ộ ấp số
p
oà
p
b
lập
ạ 3
ơ
à
rì
ộ
.
-
Tr. 8
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
ơ
rì
x 3 5 m x 2 6 5m x 6m 0 ( x 2) x 2 3 m x 3m 0
x 2
x 2 0
2
x 3
x
3
m
x
3
m
0
1'
x m
Để p
ơ
rì
(1) ó b
p
b
ì m 3; 2
Trường hợp 1 : m 3 2
Để dã số m; 3; 2 lập
à
1 ấp số
ì
m.(2) 3 m 9 / 2
2
Trường hợp 2 : 3 m 2
Để dãy số 3; m; 2 lập
à
1 ấp số
ì
3.(2) m2 m2 6 m 6
Trường hợp 2 : 3 2 m
Để dã số 3; 2; m lập
à
1 ấp số
ì
3.m 2 m 4 / 3
2
Vậ vớ m 9 / 2; 6; 4 / 3
VÍ DỤ 9
ắ rụ
ì
oà
ể ồ
ạ 3
ể
à
p
oả
ã
ầ bà oá .
số y f ( x) x3 3m 1 x2 5m 4 x 8 Cm
b
ó oà
ộ lập
à
ộ ấp số
nhân.
Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể
vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Giải:
Giả sử (Cm ) cắt Ox tại ba điểm phân biệt x1; x2; x3 khi đó:
-
Tr. 9
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
x3 3m 1 x 2 5m 4 x 8 x x1 x x2 x x3
x3 3m 1 x 2 5m 4 x 8 x3 ( x1 x2 x3 ) x 2 ( x1x2 x2 x3 x3 x1 ) x x1x2 x3
ừ ó
ó
x1.x2 .x3 8
Vì x1; x2; x3 tạo thành cấp số nhân nên x1.x3 x2 khi đó:
2
x1.x2 .x3 x2 8 x2 2
3
Vì x2 là oà
ộ
o
ể
f ( x2 ) f (2) 0 2(2 m) 0 m 2
Với m = 2 thì
f ( x) x3 7x2 14x 8 0
x 1 x2 6x 8 0
x 1
x 1 0
2
x 2
x 6x 8 0 x 4
ấ
á số 1 ; 2 ; 4 ạo à
Vậ
=2
oả
ã
ấp số
ro
r
v
oạ ộ
ợp p
ơ
ẩ
o
ể
bộ bằ
2
ầ bà oá .
Phương pháp 2. Sử dụ
ế
vớ ô
ồ
rì
à
oà
bà oá k ô
ì
ó
ể sử dụ
ồ
số bậ 3 và v rí
ộ
o
ó á
à
ể
r.
không dễ dàng
k
số bậ b
p ứ ạp v
ể
ả q ế
bài toán.
à
G o ể ủ ồ
à số bậ b C : y ax3 bx2 cx d (a 0) và
ẳ d : y a ' x b '
v bà oá xé
o ể ủ ồ
số C ' : y ax3 bx2 c a ' x d b ' (a 0) vớ rụ oà .
ồ
ủ
à số ( ) và (d) ắ
ạ k ể k và ỉ
khi ồ
à
Bả
số ( ’) ắ rụ
ó
ắ dạ
ồ
-
oà
à
ạ k
số :
ể .
y f x ax3 bx2 cx d a 0
Tr. 10
: MT S BI TON GIAO IM CA TH HM S BC BA VI MT NG THNG
a>0
=0 ú
a<0
y
p
b
y
I
b2 4ac 0
0
0
x
x
I
=0 ú
kộp
b2 4ac 0
= 0 vụ
y
b2 4ac 0
y
I
I
0
1/
( ) r
o
1
0
x
x
y ' 0
f khoõ
ng coựcửùc trũ (h.1a)
f coự2 cửùc trũ
y ' 0
(h.1b)
yCẹ .yCT 0
yCẹ .yCT 0
2/
( ) r
o
2
f coự2 cửùc trũ
yCẹ .yCT 0
3/
( ) r
o
3
f coự2 cửùc trũ
yCẹ .yCT 0
0
y'
yCẹ .yCT 0
(h.2)
0
y'
yCẹ .yCT 0
(h.3)
y
y
(C)
(C)
yCẹ
A
x0
O
(h.1a)
x
-
A
x0
yCT
x1 o
x2
(h.1b)
x
Tr. 11
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
y
y
(C)
(C)
yCÑ
A
x0 o
yCÑ
(h.2)
B x2
A
x0 x1 x'0 o
yCÑ
B
x1
x'0
x
C
x"0
x
(h.3)
(yCT = f(x0) = 0)
4/ Đồ
( ) ắ rụ
oà
ạ 3
ể
p
b
ó oà
f ( x) coù2 cöïc tròx1 0; x2 0
yCÑ .yCT 0
y(0) 0
5/ Đồ
( ) ắ rụ
oà
ạ 3
ể
p
b
ộd ơ
(h4)
ó oà
ộ
f ( x) coù2 cöïc trò x1 0; x2 0
(h5)
yCÑ .yCT 0
y(0) 0
H.4
H.5
VÍ DỤ 10
ì
ể ồ
à
số y f ( x) x3 3x 1 m ắ rụ
oà
Ox : y = 0
/ ạ 3
ể
b/ ạ 2
ể
/ ạ 1
ể
p
b
.
Bài giải
Nhận xét:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
x 3 3x 1 m 0
4
Ta không nhẩm được nghiệm của phương trình (4)
-
Tr. 12
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Giải: y f ( x) x3 3x 1 m
Ta có y ' 3x2 3
x 1
y ' 0 3x 2 3
x 1
Do ó à
số l ô
/ Đồ
ắ rụ
ó
ạ,
oà
ạ 3
ể
ể
p
b
,
ó
ycd . yct 0 y 1 . y 1 0 m 13 m 0 m 1 m 3 0 1 m 3
b/ Đồ
à
số ắ rụ
oà
ạ 2
ể ,
ó
m 1
ycd . yct 0 y 1 . y 1 0 m 1 3 m 0
m 3
/ Đồ
à
số ắ rụ
oà
ạ 1
ể , ta có
m 1
ycd . yct 0 y 1 . y 1 0 m 1 3 m 0 m 1 m 3 0
m 3
Vì à
l ô
số l ô
ồ
ó
ạ
ể
k ô
xẩ r r
ợp à
số
bế .
Nhận xét: Ví dụ 10 ta có thể sử dụng phương pháp 3,củng kha đơn giản.
VÍ DỤ 11
oà
ạ 3
ì
ể ồ
ể
p
à
số y f ( x) x3 x2 18mx 2m ắ rụ
b
Nhận xét:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
x3 x2 18mx 2m 0
ủ
ồ
và rụ
oà
là
*
Nhận thấy không nhẩm được nghiệm của phương trình (*) này
Giải: y f ( x) x3 x2 18mx 2m
y 3x2 2 x 18m, y 1 54m
Đồ
p
à
số y f x x3 x2 18mx 2m
ắ rụ
oà
ạ 3
ể
b
f coù2 cöïc trò
y .y 0
CÑ CT
-
Tr. 13
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Ta có
+ à
r y 0 ó 2
số ó 2
p
y 0 m
b
1
54
+ Ta có y y( x). 12m x
3 9
9
x
1
2
G ả sử x1; x2 là oà
p
ơ
rì
ộ ủ
á
ể
r
ì x1; x2 là
ủ
’= 0 hay y '( x1 ) 0; y '( x1 ) 0
Suy ra
2
y1 12m x1
9
2
y2 12m x2
9
2
2
2
2
Do ó y1. y1 0 12m x1 x2 0 12m 6m 0 m 0
9
9
Vậ
<0
oả
ã
ầ bà oá .
Nhận xét : Trong ví dụ này nếu tính ycd . yct theo ví dụ 7 thì quá trình tính
toán trở nên phức tạp, vì thế ta sử dụng tính chất của điểm cục trị «Nếu
hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
x0 thì f '( x0 ) 0 » chú ý 3, trang 14 sgk giải tíc12, chương trình chuẩn
xuất bản năm 2008. Nhà xuất bản BGD.
VÍ DỤ 12
ì
và
ẳ
ể ồ
số = f x x3 3mx2 3m2 x 1 ( Cm )
à
( dm ) y 3 x m 2 ắ
ạ 3
ể
p
b
ó oà
ộd ơ .
Bài giải :
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
ủ
ồ
x3 3mx 2 3m 2 x 1 3x m 2
x3 3mx 2 3 1 m 2 x 1 m 2 0
Đặ y g ( x) x3 3mx 2 3 1 m 2 x 1 m 2
1
ó ồ
( Cm ’)
y ' g '( x) 3x 2 6mx 3 1 m 2 ;
Đồ
( Cm ) ắ ( dm ) ạ b
-
ể
p
b
ó oà
ộd ơ
k
Tr. 14
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
ồ
( Cm ’) ắ rụ
oà
ạ 3
ể
p
b
ó oà
ộd ơ
y g( x) coù2 cöïc trò x1 0; x2 0
yCÑ .yCT 0
y(0) 0
* Vì 'g ( x ) 3m 9 1 m2 9 0, m >0
à
2
x1; x2 vớ
ọ
số l ô
ó
r
.
x m 1
y ' 0 3x 2 6mx 3 1 m2 0 1
x2 m 1
* Gọ y1; y2 là á
á r
r
ì
y1 m2 3 m 1
y2 m2 2m 1 m 1
ó, yCÑ .yCT = m2 3 m2 1 m 2 2m 1
K
Do ó
m 3; 1 1 2;1 3;1 2
yCÑ .yCT 0 m2 3 m2 1 m2 2m 1 0
* y(0) 0 1 m2 0 m ; 1 1;
Vậ m 3; 1
p
b
ó oà
3;1 2
ì ồ
à
số ắ
ạ 3
ể
ộd ơ
Chú ý:
* à
ó
r
ơ
rì
f x 0 vô
oặ
2
kép f x b 4ac 0
ó
*
số f k ô
à
số f ó 2
r
ơ
rì
f x 0 ó 2
p
b
f x b 2 3ac 0
Phương pháp 3.
ơ
p áp à
số
Nếu phương trình hoành độ giao điểm F x, m 0 biến đổi được về dạng
f x g m trong đó:
* f x là hàm số có đồ thị (C)
-
Tr. 15
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
* g m là hàm hằng (phụ thuộc tham số m) có đồ thị là đường thẳng d:
song song trục hoành và đi qua 0; g m
Khi đó ta có thể giải bài toán như sau:
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Dựa vào BBT Số giao điểm của (C) và d
VÍ DỤ 13 B
y
l ậ
eo
1 3
x x m và rụ
3
số
oà
số
o
ể
ủ ( Cm ):
Ox .
Bài giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
ủ
1 3
x x m 0
3
ồ
à
số và rụ
oà
(*)
Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3.
ậ xé
ó
ể
ấ
ơ
1 3
x3
x x m 0 x m
3
3
rì
(**)
Vì hàm số g x x3 x (C) không phụ thuộc vào tham số nên hình
1
3
dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có
thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải.
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
là
1 3
x3
x x m 0 x m
3
3
é
à
số g x x3 x (C)
1
3
TXD: D = R
x 1
x 1
Ta có f x x 2 1, f x 0
-
Tr. 16
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bả
bế
x
-1
f x
-
f x
0
o
ể
ẳ
ừ bả
oà
là số
oà
ạ 1
ể
Vớ
2
m 3
, ( ) ắ rụ
m 2
3
oà
ạ 2
ể
Vớ m , ( ) ắ rụ
2
3
oà
ạ 3
ể
VÍ DỤ 14
à
2
3
ì
ể ồ
Ox ạ b
rì
ể
ủ
o
ta có:
Vớ
ơ
o
=
bế
oà
-
2
3
2
m 3
, ( ) ắ rụ
2
m
3
rụ
0
2
3
ủ ( Cm ) vớ rụ
( ) vớ
+
Số
1
oà
ể
số Cm : y f ( x) x3 x2 mx 3 ắ
p
ộ
o
b .
ể
ủ
ồ
à
số và rụ
oà
x3 x2 mx 3 0 (1)
Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
ó
ơ
rì
ể
ậ xé
ấ
x3 x2 mx 3 0 m
x3 x2 3
x
(2)
x3 x 2 3
Vì hàm số y g ( x)
hoàn toàn lập được bảng biến thiên
x
-
Tr. 17
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
là
x3 x2 3
x x mx 3 0 m
x
3
é
à
2
x3 x 2 3
số y g ( x)
Cm '
x
TXD : D = D R \ 0
g '( x)
2 x3 x 2 3
x2
g '( x) 0 2 x3 x 2 3 0 x 1 2 x 2 3x 3 0
x 1 0
2
x 1
2
x
3
x
3
0
(
VN
)
Bả
bế
x -
’
y +
0
-
1
0
+
+
-
Để Cm ắ rụ
oà
p ả ắ Cm ' ạ b
D
vào bả
VÍ DỤ 15
ắ rụ
5
ạ b
ể
p
p
b
.
ể
b
ì
ẳ
= -m
ó -m>5m<-5
bế
ì
+
+
ể ồ
số Cm : y f ( x) x3 3x2 m 2 x 4
à
oà
Ox ạ b
ể
p
rì
oà
o
ể
b
oả
ã
- 2 < x1 < x2 < x3
Giải:
ơ
ộ
là
x3 3x2 m 2 x 4 0 m
-
x3 3x2 2x 4
x
Tr. 18
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
é
x3 3x 2 2 x 4
số y g ( x)
Cm '
x
à
TXD : D = D R \ 0
g '( x)
2 x3 3x 2 4
x2
g '( x) 0 2 x3 3x 2 4 0 x 2 2 x 2 x 2 0
x 2 0
2
x2
2
x
x
2
0
(
VN
)
Bả
bế
hiên
x -
’
y +
-2
0
-
2
0
-
+
+
+
+
10
-
Để Cm ắ rụ
ì
ẳ
oà
2
ạ b
ể
p
b
oả
p ả ắ Cm ' ạ b
=-
ể
ã - 2 < x 1 < x 2 < x3
p
b
oả
ã
- 2 < x1 < x2 < x3
D
vào bả
VÍ DỤ 16
rụ
oà
ó 2 < - m < 10 - 10 < m < -2
bế
ì
ể ồ
Ox ạ b
số Cm : y f ( x) x3 2x2 mx 4 ắ
à
ể
p
b
oả
ã
x1 <-3 < x2 < x3
Giải:
ơ
rì
oà
ộ
o
ể
là
x3 2x2 4
x 2x mx 4 0 m
x
3
é
à
2
x3 2 x 2 4
số y g ( x)
Cm '
x
TXD : D = D R \ 0
-
Tr. 19
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
2 x3 2 x 2 4
g '( x)
x2
g '( x) 0 2 x3 2 x 2 4 0 x 1 2 x 2 4 x 4 0
x 1 0
2
x 1
2
x
4
x
4
0
(
VN
)
Bả
bế
x
’
y
-
-3
-1
0
-
+
0
+
+
+
+
+
49/3
-
7
Để Cm ắ rụ
ì
ẳ
oà
ạ b
ể
p
b
p ả ắ Cm ' ạ b
=-
oả
ể
ã x1 < -3 < x2 < x3
p
b
oả
ã
x1 < -3 < x2 < x3
D
vào bả
VÍ DỤ 17
ắ rụ
ó - m > 49/3 m < - 49/3
bế
ì
ể ồ
oà
Ox ạ
rì
oà
số Cm : y f ( x) m 1 x3 3mx2 3mx m 4
à
ộ
ể .
Giải:
ơ
ộ
m 1 x
3
é
à
o
ể
là:
3mx 3mx m 4 0 m
2
x3 4
( x 1)3
x3 4
số y g ( x)
C '
( x 1)3 m
TXD : D = D R \ 1
3(4 x 2 )
g '( x)
( x 1) 4
x 2
3(4 x 2 )
g '( x) 0
0 4 x2 0
4
( x 1)
x 2
-
+
Tr. 20
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bả
bế
x
’
y
-
-2
0
-
11
+
2
0
+
+
-
+
4
1
1
4/9
-
Để Cm ắ rụ
C '
ộ
m
D
oà
ạ
ộ
ể
ì
ẳ
=
p ả ắ
ể .
vào bả
Bài tập:
Bài 1. ì
m4
ó
m 4 / 9
bế
ể ồ
số y mx3 3mx2 1 2m x 1 ắ rụ
à
oà
Ox
/ ạ 3
ể
p
b/ ạ
b
ể
/ ạ
ộ
Bài 2. ì
ể
( ) y x3 3x 2 mx 2m lầ l ợ ủ
ể ồ
số y = -x + 2 ắ
/3
ể
b/ 2
ể
/1
ể
Bài 3. ì
oà
ạ 3
Bài 4. ì
rụ
oà
.
ạ.
p
b .
ể ồ
ể
p
à
b
ể ồ
ạ 3
à
ể
số y x3 mx2 (2m 1) x m 2 ắ rụ
ó oà
à
p
ộd ơ
số Cm : y f ( x) x 3 3mx 2 3 m 2 1 x m3 ắ
b
, ro
ó ó ú
ể
ó oà
ộ
âm
-
Tr. 21
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài 5
á
ể ( m) ắ rụ ò
ạ 3 ể p
b
2
y = (x - 1)(x + mx + m)
Bài 6: o số y x3 3mx2 3(m2 1) x 3m ó ồ
là ( m) ( m là tham
số). á
ể ( m) ắ rụ ò
ạ 3 ể p
b
3
Bài 7:
o à số: y = x - 3x + 2.
Gọ d là q A(3; 2) và ó số ó là . ì
ểd ó ắ ( ) ạ
3 ể p
b
Bài 8: Cho h/s: y x3 3x2 (m 2) x 2m (Cm) Tìm m ể (Cm)
a) Cắ rụ oà
ạ 3 ể p/b
b) Cắ rụ oà
ạ 3 p/b ó oà
ộ
c) Cắ rụ oà
ạ 3 ể p/b ó ú 2 oà
ộd ơ
d) Cắ rụ oà
ạ 3 ể p/b ó ú 2 oà
ộ
e) ó
vớ Ox
f) ắ Ox ạ ộ ể
Bài 8: Cho h/s: y x3 6x2 (m 2) x 9 m (Cm ) . ì
ể
a) (Cm) ắ rụ oà
ạ ộ ể
b) (Cm) ắ Ox ạ b
ể p
b . ứ
ỏ rằ b
ể
à
ó
oà
ộ
(Cm)
) ếp xú vớ ox
Bài 9:
o à số y x3 mx2 1 xá
s o o ồ
à số ếp
xú vớ
ẳ
=5. á
ọ ộ ếp ể ?
Bài 10. ì
ể ồ
à số Cm : y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x +
ắ
rụ
oà
Ox ạ b
Bài 11. ì
ắ rụ
oà
ạ 3
p
ể ồ
ể ồ
ể
p
ể
à
b
b
oả
ã
- 4 < x1 < x2 < x3.
số Cm : y f x x 3 2x 2 mx 8
à
Ox ạ b
Bài 12: ì
oà
ể
p
b
oả
ã
x1 < - 1 < x2 < x3.
số y f x x3 7x 2 mx 8 Cm ắ rụ
ó oà
ộ lập
à
ộ ấp số
.
Bài 13:Cho h/s: y x3 (2m 3) x2 9x .Tìm m ể ồ
ủ à số s
ắ
rụ oà
ạ 3 ể p
b
ạo à
ấp số ộ . ì ấp số ó
-
Tr. 22
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
IV. KẾT QUẢ
ro q á rì
à, ô
ậ
ấ k
ọ
vậ dụ
ợ
ớ s
ĩ à , á e sẽ
ó
ả q
ợ bà oá
o ể ủ ồ
à số bậ b ó r
và bà
o ể ủ
ồ
ó
. G úp á e
ấ
ợ s l
ặ ẽ ữ số o ể ủ
ồ
và số
ủ p ơ
oà
ộ o ể ủ
ú
ừ ó à ó ể s
ĩ ả q
ợ
dạ bà ập k á .
Bà oá
o ể ủ
ồ
là ộ bà oá q
rọ
ơ
rì
oá
, ó
x
ó ặ ro
á
p ũ
ạ ọ , o ẳ . Vì vậ vớ
à à ,
ó sẽ úp í
o ấ l ợ
ủ á e ro
á ợ kể
ố ấp.
s
ế
oá
rì
ế
ro
ố
vọ
r
V. BÀI HỌC KINH NGHIÊM.
Để ả á bà oá ụ ể ầ rè l
o ì k ả ă
ậ
xé bà r ớ k bắ ầ là bà , ừ ó l
ọ á p ơ p áp p ù
ợp ể ó ợ kế q ả ủ bà oá
ộ á
ẹ à
ơ , phát huy
ợ í
í
sá
ạo ro
ọ ập. ừ ó úp á e
ể bà
ộ á s sắ ,
ó ũ
ó
ĩ là á e sẽ ớ bà l
ơ !
VI. KẾT LUẬN
Đ x ấ
ổ
ô rể k
ro
oà ổ ể
p á
ợ ì
q ả ủ
ủ
rú k
k ắ p ụ
ữ p ầ ò ạ
ế ủ
à .
ọ s
ó ể sử dụ
à ể rè l
o
kĩ
ă
ả ộ số bà oá v
o ể ủ ồ
à số bậ b vớ
ẳ và á bà oá l q .
r
là ộ và k
do ô óp ặ và ì ò
.
Trong quá trình trình bày k ó rá k ỏ ộ số s só .
Kí
o bạ ọ , ồ
p ó
óp k ế
ì , ể
ủ ô
ô x
oà
và
à
ả
q ả ơ .
ơ !
GƯỜI
Ự
IỆN.
Tâm
-
Tr. 23
: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
ÀI LIỆU
áo k o
ả í
A K ẢO
12ấ bả
1. Sá
ă 2008,
B G áo
dụ
2. á bà ả
rọ
ô l
ô oá - ập 1. á
ả
rầ p ơ –
B Đạ ọ q ố
à ộ
3.
ơ p áp ả oá
ả í 12. á
ả rầ Vă Kỷ –
d Đạ ọ q ố
.
-
Tr. 24
