(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện

Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN TỚI
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Vấn đề I. QUAN HỆ SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song
�
a, b �(P )
aP b � �
a �b  �
�

a) Định nghĩa:
b) Tính chất

(P) �(Q) �(R)
�
�
(P) �(Q)  a
a,b,c �
�
ng qui
�
 �(P) �(R)  b � �
a
P
b
P
c
�
�

(Q) �(R)  c
�

�
(P ) �(Q)  d
�
�
d P aP b
 �(P ) �a,(Q) �b � �
d �a(d �b)
�
�
�a P b

�
a �b

 �a P c, bP c � a P b
�
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
d // (P)  d  (P) = 

a) Định nghĩa:
b) Tính chất
�
d �(P ), d ' �(P )

 �d P d '
�

�
d P (P )

 �(Q) �d,(Q) �(P )  a � d P a
�

� d P (P )

�
(P ) �(Q)  d

 �(P ) P a,(Q) P a � d P a
�
3. Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa:
(P) // (Q)  (P)  (Q) = 
b) Tính chất
�
�
(P ) �a, b
(P ) �(Q)
�
�
� (P ) P (Q)  �
(P ) P (R) � (P ) P (Q)
 �a �b  M
�
�
a P (Q), bP (Q)
(Q) P (R)

�
�

�
(Q) P (R)
�
 �(P ) �(Q)  a � a P b
�
(P ) �(R)  b
�

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh

1


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
song song trong hình hoc phẳng(như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo,…)

 Chứng minh hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
 Áp dụng các định lí về giao tuyến song song
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d P (P ) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với mặt

phẳng kia.
Vấn đề II. QUAN HỆ VNG GÓC
1. Hai đường thẳng vng góc.
a) Định nghĩa:

a  b   a�, b  900

b) Tính chất
r

r

 Giả sử u là VTCP của đường thẳng a, v là VTCP của đường thẳng b. Khi đó
rr
a  b � u.v  0 .
�
b�
�
c

 �a  c � a  b
�
2. Đường thẳng và mặt phẳng vng góc
a) Định nghĩa:

d  (P)  d  a, a  (P)

b) Tính chất
 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
�

a, b �(P ), a �b  O
� d  (P )
�
d  a, d  b
�
�
aP b

�
a �b

 �(P )  a � (P )  b
�

 �a  (P ), b  (P ) � a P b
�

�
(P ) P (Q)
 �a  (P ) � a  (Q)
�

 �(P )  a,(Q)  a � (P ) P Q)
�

�
a P (P )

 �b  (P ) � b  a
�

�
(P ) �(Q)
�
a �(P )

 �a  b,(P )  b � a P  P )
�

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của

2


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
đoạn thẳng đó.
 Định lí ba đường vng góc.
Cho a  (P ), b �(P ) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a.
3. Hai mặt phẳng vuông góc.
a) Định nghĩa:

(P)  (Q)  �
(P ),(Q)  900

b) Tính chất:
�
(P ) �a

 Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: �a  (Q) � (P )  (Q)
�
�
(P )  (Q)
�
� a �(P )
 �A �(P )
�
a

A
,
a

(
Q
)
�

�
(P )  (Q),(P ) �(Q)  c
� a  (Q)
 �a �(P ),a  c
�

�
(P ) �(Q)  a
�
� a  (R)
 �(P )  (R)

�
(
Q
)

(
R
)
�

4. Chứng minh quan hệ vng góc.
a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc.
Để chứng minh d  a , ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vng góc với nhau.
 Chứng minh d  b mà b P a .
 Chứng minh d vng góc với (P) và (P) chứa a.
 Sử dụng định lí ba đường vng góc .
 Sử dụng các tính chất của hình hoc phẳng (như định lí Pitago).
b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh d vng góc với hai đường cắt nhau nằm trong (P).
 Chứng minh d vng góc với (Q) và (Q) // (P).
 Chứng minh d // a và a  (P).
 Chứng minh d  (Q) và (Q)  (P) và d vng góc với giao tuyến của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
c) Chứng mính hai mặt phẳng vng góc .
3

Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).
 Chứng minh  (�
P ),(Q)  900
Vấn đề III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng.

�, b   a
�', b'
a//a', b//b'   a

Chú ý: 00   a�, b  900
b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
�,(P ) = 900.
 Nếu d  (P) thì  d

�,(P ) =  d
�, d ' với d là hình chiếu của d trên (P).
 Nếu d  (P ) thì  d
�,(P )  900
Chú ý: 00   d





�
a  (P )
�, b
� (�
P ),(Q)   a
�
b

(
Q
)
�

c) Góc giữa hai mặt phẳng.

�
a �(P ),a  c
�, b
 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng �b �(Q),b  c   (�
P ),(Q)   a
�

Chú ý :





00 � (�

P ),(Q) �900

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác.
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích hình chiếu (H) của (H)
trên (Q),  =  (�
P ),(Q) . Khi đó:

S = S.cos

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đén một đường thẳng(mặt phẳng) bằng độ dài đoạn
vng góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng(mặt phẳng)
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đườngthẳng chéo nhau bằng:

 Độ dài đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.

4


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
Vấn đề IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1. Hệ thức lượng trong tam giác.
a) Cho ABC vng tại A, có đường cao AH.
 AB2  AC 2  BC 2  AB2  BC.BH , AC 2  BC.CH



1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 AB  BC.sinC  BC.cosB  AC.tanC  AC.cot B
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; có độ dài các đường trung tuyến là ma, mb,
mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p.
 Định lí hàm số cosin:
a2=b2  c2 �2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC
a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

 Định lí hàm số sin:

 Công thức độ dài đường trung tuyến.
ma2 

b2  c2 a2
c2  a2 b2
a2  b2 c2
 ; mb2 
 ; mc2 

2
4
2
4
2
4

2. Các cơng thức tính diện tích.
a) Tam giác:
1
2

1
2

1
2

1

2

 S  a.ha  b.hb  c.hc
 S

abc
4R

2S  AB.AC  BC.AH

 ABC đều, cạnh a:
b) Hình vng:
c) Hình chữ nhật:

 S  p p  a  p  b  p  c

 S  pr

 ABC vuông tại A:

1
2

1
2

 S  bc sin A  ca. sin B  ab sin C

S

a2 3
4

S = a2
S = a.b

(a: cạnh hình vng)
(a, b: hai kích thước )

�
d) Hình bình hành: S = đáy  chiều cao = AB.AD.sinBAD

5


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

e) Hình thoi:
f) Hình thang:

1
�
S  AB.AD.sinBAD
 AC.BD
2
1
S   a  b .h
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1

2

g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc. S  AC.BD
Vấn đề V. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật.
V  abc
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật..
2. Thể tích của khối chóp:
1
V  S .h
3

với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

3. Thể tích của khối lăng trụ.
V  S .h

với S là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ

4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện.
a) Tính thể tích bằng cơng thức

 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,…
 Sử dụng cơng thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung.
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
them vào và khối đa diện mới tạo thành, có thể dễ tính được thể tích.

d) Tính thể tích bằng cơng thức tỉ số thể tích .
Ta có thể vận dụng tính chất sau :
Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên
Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
VOABC
VOA'B'C '



OA OB OC
.
.
OA' OB ' OC '

* Bổ sung.
 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên

6


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
 Diện tích tồn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.

PHẦN 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Loại 1: Hình chóp có chân đường cao là đỉnh của đa giác đáy
Loại 1. 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy.
1
3

Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là cạnh bên vng góc với
mặt đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC
vuông tại A, AB = a 3 , AC = a. Góc giữa SB và (SAC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối
S

chóp S.ABC.
Giải:
+ Ta có SA  ( ABC ) nên SA là chiều cao của
hình chóp S.ABC

1
� VS . ABC  SA.S ABC
3
+ Ta có SABC

B

1
1
3 2
 AB. AC  a 3.a 
a
2
2
2

A

+ Tính SA?

�SA  ( ABC ) � SA  AB
�
� AB  (SAC )
Ta có �AC  AB
�AC �SA  A
�

C

 A là hình chiếu của B trên (SAC)
 SA là hình chiếu của SB trên (SAC)

� (vì  SAB vng tại A
 Góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SA và là góc BSA
�  900 )
nên BSA

�  600
 BSA

7


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

�  a 3.cot 600  a 3.
Xét  SAB vng tại A có SA  AB.cot BSA
1

3

1
3

Vậy VS . ABC  SA.S ABC  a.

3
a
3

3 2
3 3
a 
a (đvtt).
2
6

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với
mặt phẳng (ABCD). Góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng 600. G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt
phẳng ( ) đi qua SG và song song với BD cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích
khối chóp S.BDNM.
Giải:
+ Ta có SA  ( ABCD ) nên SA là chiều cao của

S

hình chóp S.BDNM

1

� VS . BDNM  SA.S BDNM
3
( ) / / BD
�
�
BD �( ABCD )
� MN / / BD
+ Ta có �
�
( ) �( ABCD)  MN
�

A

Ta có M , N , G �( ) �( ABCD ) nên M, N, G thẳng hàng

�

D

B

O
N

MN CG 2
2
2 2

 � MN  BD 

a
BD CO 3
3
3

� S BDNM

2 2
aa 2
MN  BD
MN  BD 1
1
5
3

.GO 
. BD 
. a 2  a2
2
2
6
2
6
18

+ Tính SA?

�SA  ( ABCD ) � SA  BD
�
� DB  ( SAC )

Ta có �AC  DB
�AC �SA  A
�
( SBD) �ABCD )  BD
�
�
( SAC ) �( SDB )  SO
Mà �
�
( SAC ) �( ABCD )  AC
�

8

M
G

C


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

� (vì  SOA vng
 Góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc giữa SO và AC và là góc SOA
�  900 )
tại A nên SOA

�  600
 SOA

� 
Xét  SAO vng có SA  OA.tan SOA
1
3

1
3

Vậy VS . ABC  SA.S ABC  .a

a 2
2
a 6
.tan 600  a
. 3
2
2
2

6 5 2 5 6 3
. a 
a (đvtt).
2 18
108

Loại 1. 2: Hình chóp có 2 mặt bên cùng vng góc với mặt đáy thì giao tuyến của hai
mặt bên vng góc với mặt đáy.
1
3

Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S .h , đường cao là giao tuyến của hai
mặt bên vng góc với mặt đáy
S
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có các mặt
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng (ABC),
tam giác ABC đều cạnh a. Góc giữa (SBC) và (ABC)
bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Giải:
B

( SAB )  ( ABC )
�
�
( SAC )  ( ABC )
� SA  ( ABC )
+ Ta có �
�
( SAB ) �( SAC )  SA
�

A
M
C

� SA là chiều cao của hình chóp S.ABC
1
� VS . ABC  SA.S ABC
3
+ Ta có S ABC 

1
1
3
3 2
AB. AC.sin A  a.a.

a
2
2
2
4

+ Tính SA?
Gọi M là trung điểm của BC, mà tam giác ABC là tam giác đều nên ta có AM  BC

9


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

�SA  ( ABC ) � SA  BC
�
� BC  ( SAM )
Ta có �AM  BC
�AM �SA  A
�
( SBC ) �( ABC )  BC
�
�
( SAM ) �( SBC )  SM

Mà �
�
( SAM ) �( ABC )  AM
�

� (vì  SMA vng tại
 Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa SM và AM và là góc SMA
�  900 )
A nên SMA

�  600
 SMA

�  a 3 .tan 600  a 3 . 3  3a
 Xét  SAM vng có SA  AM .tan SMA
2

Vậy VS . ABC

2

2

S

1
1 3
3
3 3
 SA.S ABC  . a. a 2 

a (đvtt).
3
3 2 4
8

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có
các mặt (SAB) và (SAD) cùng vng góc với
mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình
thang vng tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a.
Góc giữa SC và (ABCD) bằng 450.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

M
A

D

Giải:

( SAB )  ( ABCD)
�
�
( SAD)  ( ABCD) � SA  ( ABCD )
+ Ta có �
�
( SAB ) �( SAD)  SA
�

B

� SA là chiều cao của hình chóp S.ABCD
1
� VS . ABCD  SA.S ABCD
3
+ Ta có ABCD là hình thang vng tại A và B,
AB = BC = a, AD = 2a

10

C


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

� S ABCD 

1
1
3
AB.( AD  BC )  a.(a  2a )  a 2
2
2
2

+ Tính SA?
Gọi M là trung điểm của AD thì AM = a nên tứ giác ABCM là hình vng cạnh a

� AC  a 2
Ta có SA  ( ABCD ) nên A là hình chiếu của S trên (ABCD)
 AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

� (vì  SCA vng tại A
 Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và AC và là góc SCA

�  900 )
nên SCA

�  450
 SCA

=>  SAC vuông cân tại A nên SA  AC  a 2

1
3

1
3

3
2

Vậy VS . ABCD  SA.S ABCD  .a 2. a 2 

2 3
a (đvtt).
2

Loại 2: Hình chóp có chân đường cao là một điểm đặc biệt của đa giác đáy (trừ đỉnh
của đa giác đáy)
Loại 2.1: Hình chóp đều có chân đường cao là tâm của đa giác đáy
1

3

Phương pháp: Sử dụng công thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với tâm
của đa giác đáy.

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính theo
S
a thể tích khối chóp S.ABC.
Giải:
+ Gọi H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
 SH  ( ABC ) (vì S.ABC là hình chóp đều)
 SH là chiều cao của hình chóp S.ABC

1
� VS . ABC  SH .SABC
3

A

M

C

H

11

B

Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

+ Ta có S ABC 

1
1
3
3 2
AB. AC.sin A  a.a.

a
2
2
2
4

+ Tính SA?
Gọi M là trung điểm của BC, mà tam giác ABC là tam giác đều nên ta có

BH 

2
2 3
3
BM  . a 
a
3
3 2
3
2

�3 �
33
Xét  SHB vng có SH  SB 2  BH 2  (2a )2  � a �
a
�3 � 3
1
3

1
3

Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .

33
3
11 3
a. a 2 
a (đvtt).
3
4
12

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vng tâm O cạnh a, góc giữa
cạnh bên và mặt đáy là 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
S
Giải:
+ Ta có S.ABCD là hình chóp đều mà O là tâm
của đáy ABCD nên SO  ( ABCD)

� SO là chiều cao của hình chóp S.ABCD

1
� VS . ABCD  SA.S ABCD
3

A
D

+ Ta có ABCD là hình vng cạnh a

� S ABCD  a 2
O
+ Tính SO?
Ta có S.ABCD là hình chóp đều nên các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau C
B 0
 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) bằng 60
Ta có SO  ( ABCD) nên O là hình chiếu của S trên (ABCD)
 OA là hình chiếu của SA trên (ABCD)
� (vì  SAO
 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) là góc giữa SA và OA và là góc SAO

�  900 )
vng tại O nên SAO

12


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

�  600
 SAO
� . AO  tan 600.a
=>  SAO vuông tại O nên SO  tan SAO
1
3

1
3

Vậy VS . ABCD  SA.S ABCD  .a

2
6
a
2
2

6 2
6 3
.a 
a (đvtt).
2
6

Loại 2.2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy
các góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy.
1
3

Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với tâm
đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình chữ nhật
tâm O, AB = a, AD = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là

a
. Tính theo a thể
2

tích khối chóp S.ABCD.
S

Giải:
+ Ta gọi O’ là hình chiếu của S trên (ABCD)
Mà SA = SB = SC = SD nên O’A = O’B = O’C = O’D
Suy ra O ' �O
Do đó SO là chiều cao của hình chóp S.ABCD

1
� VS . ABCD  SO.S ABCD
3
2
+ Ta có S ABCD  AB. AD  a.2a  2a

H
A

D
K

O

+ Tính SO?

B
�AB / / CD
�
Ta có �AB �( SCD ) � AB / /( SCD )
�
CD �( SCD )
�
� d ( AB, SD)  d ( AB,( SCD))  d ( A,( SCD))  2d (O,( SCD))
Gọi K là trung điểm của CD thì OK  CD
CD  SO
�
�
CD  OK
� CD  ( SOK )
Ta có �
�
OK �SO  K
�

13

C


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Mà CD �( SCD ) nên ( SCD )  ( SOK )

Ta lại có ( SCD) �( SOK )  SK nên trong mặt phẳng (SOK) từ O kẻ OH  SK

� OH  ( SCD)
� d (O,( SCD))  OH
Xét  SOK vng tại O có OK là đường cao nên ta có:
1
1
1
1
1
1
3


�

 2
2 
2
2
2
2
2
OH
SO OK
SO
a
�a � a
��
�2 �

a 3
3
1 a 3 2 2 3 3
 .
.2a 
a (đvtt)
3 3
9
� SO 

1
3

Vậy VS . ABCD  SO.S ABCD

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a, và
các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 300. Tính theo a, h thể tích khối chóp S.ABC.
Giải:
+ Ta gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)
Do đó SH là chiều cao của hình chóp S.ABC

1
� VS . ABC  SH .S ABC
3
+ Ta có

AB  AC  BC 5a  5a  6a

 8a
2

2
� S ABC  p ( p  AB )( p  AC )( p  BC )
p

S

= 8a(8a  5a)(8a  5a )(8a  6a )
= 12a 2
+ Tính SH?

Ta có H là hình chiếu của S trên (ABC)
Mà các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc 300

� SHA  SHB  SHC
� HA  HB  HC
A
� H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C
H
B
14


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

� HA 


AB. AC.BC 5a.5a.6a 25


 a
4SABC
4.12a 2
8

Ta có các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy các góc bằng 300
0
 Góc giữa cạnh bên SA và (ABCD) bằng 30

Ta có H là hình chiếu của S trên (ABC)
 HA là hình chiếu của SA trên (ABC)
� (vì  SAH
 Góc giữa cạnh bên SA và (ABC) là góc giữa SA và HA và là góc SAH

�  900 )
vuông tại H nên SAH

�  300
 SAH

� . AH  tan 30 0.
Xét  SAH vuông tại H nên SH  tan SAH
1
3

1 25 3
25 3 3
a.12a 2 
a (đvtt).

3 24
6

Vậy VS . ABCD  SA.S ABCD  .

15

25
25 3
a
a
8
24


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Loại 2.3: Hình chóp có hai cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường
trung trực (nằm trên mặt đáy) của đoạn thẳng nối hai đỉnh của đáy thuộc hai cạnh bên đó.
1
3

Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân
đường cao nói ở trên.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, có mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trên mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD.
Giải:
+ Gọi H là trung điểm của AB, mà tam giác SAB là tam giác đều

� SH  AB

S

( SAB )  ( ABCD )
�
�
Mà �
( SAB ) �( ABCD )  AB
�SH �( SAB )
�
� SH  ( ABCD )
A
� SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD
1
� VS . ABCD  SH .S ABCD
3
C
2
+ Ta có ABCD là hình vng cạnh a nên S ABCD  a
+ Ta có SH là chiều cao của tam giác đều cạnh a nên SH 

1
3

B

H

D

3
a
2

1 3 2
3 3
a.a 
a (đvtt)
3 2
6

Vậy VS . ABCD  SH .S ABCD  .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC là tam
giác đều cạnh a, M là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) đi qua S,
G và song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại H và K. Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 0.
Tính theo a thể tích khối chóp S.AHK.

16


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình
chữ nhật có AB = a¸ AD = 2a. Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABCD.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 2a. Góc giữa mặt bên và
mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. M là trung điểm cạnh CD và SM =
3a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với mặt đáy (ABC).Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, AB.
Mặt phẳng (P) đi qua S, H và song song với AM cắt BC tại K. Tính theo a thể tích khối chóp
S.BHK.
Loại 2.4: Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường
cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
1
3

Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với tâm
đường tròn nội tiếp của đa giác đáy.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt
bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Giải:
S
Hạ SH  ( ABC ) , kẻ HE  AB, HF  BC, HJ
 AC

suy ra SE  AB, SF  BC, SJ  AC . Ta có
�
�  SJ
� H  60O 
SEH  SFH

SAH SFH SJH nên HE =HF =
HJ = r
( r là bán kính đường trịn nội tiếp ABC )
Ta có SABC =

p ( p  a )( p  b)( p  c)

C

H

a bc
9a Nên SABC =
với p =
2

E

F
B

9.4.3.2 a 2
Mặt khác SABC = p.r  r 

J

A

S 2 6a

p
3

17

Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Tam giác vuông SHE:
SH = r.tan 600 =

2 6a
. 3 2 2 a
3

Vậy VSABC =

1
vtt
6 6 a 2 .2 2 a 8 3 a 3  �
3
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC đỉnh S, đáy là tam giác cân với AB=AC=3a,BC=2a.
Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 60 0. Kẻ đường
cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và SABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải:
a) + Gọi H là hình chiếu của điểm S trên
mp(ABC)
Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của S
trên các cạnh AB, BC, CA. Từ đó, suy ra:

S

HIAB, HJBC, HKCA; góc của các mặt
bên (SAB), (SBC), (SCA) với mặt đáy (ABC)
lần

lượt

là

� , SJH
� , SKH
�
SIH

I

và

C

K

A

�  SJH
�  SKH
�  600 .
SIH

H
J

B

Xét tam giác SHI vng tại H, ta có: HI  SH cot 600 (1);

Xét tam giác SHJ vuông tại H, ta có: HJ  SH cot 600 (2);
Xét tam giác SHK vng tại H, ta có: HK  SH cot 600 (3);
Từ (1), (2) và (3), ta có: HI=HJ=HK hay H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
(đpcm)
Do tam giác ABC cân tại A nên ba điểm A, H, J thẳng hàng, suy ra: AHBC

�AH  BC
BC(SHA). Suy ra: BCSA. (đpcm)
�BC  SH

Từ đó, ta có �

b) Ta có ABC là tam giác cân tại A nên AJ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác
ABC, do đó JA 

AB 2  BJ 2  2a 2

18


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:

Từ đó S ABC 

1
BC. AJ  2a 2 2
2

Chu vi của tam giác ABC là 2p=AB+BC+CA=8ap=4a.
Ta có S ABC  p.HJ  HJ 

SABC a 2

p
2

Xét tam giác SHJ vng tại H, ta có HS  JH tan 600  HS 

1
3

Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là VS . ABC  S ABC .HS 

19

a 6
.
2

2a 3 3
 �vtt
3


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Loại 2.5: Hình chóp có hai mặt bên cùng tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân
đường cao cách đều hai giao tuyến của hai mặt bên với mặt đáy.
1

3

Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với
chân đường cao nói ở trên.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, AB=BC=a, hai
mặt bên (SAB) và (SBC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600
Hãy tính thể tích hình chóp đó theo a?
Giải:
Dễ thấy SHP  SHQ nên HP  HQ . Do đó H

S

nằm trên đường phân giác của góc ABˆ C .
Trong tam giỏc SBM kẻ SH vng góc BM.
Suy ra SH là đường cao của hình chóp S. ABC.
+ Ta có : SABC

1
a2
 AB.BC 
2
2

a2
S
a
2
HP  r  ABC 

p

a  a  a 2 4 2 2
SH  HP.tan600 
VS.ABC

P

B

Q

a 3

A
H
M
C

4 2 2

1
1 a2 a 3
3a3
 SABC .SH  . .

(dvtt)
3
3 2 4 2 2 24 12 2

Ví dụ 2: Cho hình chãp S.ABCD cã đáy ABCD là hình chữ nhật với AB
= a; CD = 2a. Các mặt bên (SAD) và (SBC) cùng tạo với mặt đáy một góc

600 . Tính thể tích hỡnh chãp theo a .
Giải:

20


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
+) Dùng: SK  AD, SI  BC v SH IK tại
H, ta chứng minh đợc SH  (ABCD) và
HI=HK=a/2.
+) Ta cã:

S

1
1
V  .SABCD.SH  .AB.AD.HK .tan600
3
3
1
a
a3 tan600 a3 3
.a.2a. .tan600 

 �vtt
3
2
3
3

A

D

K
H
B

C

I

Loại 2.6: Hình chóp có một mặt phẳng qua đỉnh và vng góc với mặt đáy thì chân
đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó với mặt đáy.
1
3

Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân
đường cao nói ở trên.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M, N, P là trung điểm của
SB, BC, CD. Chứng minh AM vng góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Giải:
+ Gọi H là hình chiếu của S trên cạnh AD.
Khi đó H là trung điểm của AD và
SH(ABCD)

S

SHBP (1).

M

Trong hình vng ABCD, ta có BPHC
(2).
Từ

(1)

và

(2),

ta

B

có:

A
K

BP(SHC)BPSC.

N

H
D

�AN // HC

Mà �
BP(AMN)
�MN // SC
Vậy BPAM (đpcm)
+ Ta có SH(ABCD) (SHB)(ABCD) và
(SHB)(ABCD)=HB. Do đó, ta gọi K là

21

P

C


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
hình chiếu của điểm M trên HB thì
MK(ABCD) MK(CNP).
Xét SAD đều cạnh a có SH là đường cao nên SH 

a 3.
2

Xét SHB có MK//SH (vì SH và MK cùng vng góc với (ABCD)) nên MK 
Do đó, ta có VCPMN

SH a 3 .

2
4

1
1 �1 a a �SH a 3 3
 SCNP .MK  .� . . �
.

 �vtt
3
3 �2 2 2 � 2
96

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh 2a, SA=a, SB  a 3 và
mp(SAB) vng góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.BMDN .
Giải:
+ Do ABCD là hình vng nên
S
BDACBDMN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, khi đó
SH(ABCD).
Xét tam giác SAB có AB 2  SA2  SB 2
tam giác SAB vuông tại S; có SH là đường
cao

của

tam

giác

SAB

A

nên
M

1
1
1
a 3


.
2
2
2  SH 
SH
SA SB
2
Do

vậy,

B

ta

D

H

N

C

có

1
1 �1
�a 3
VS .BMDN  S BMDN .SH  .� .a 2.2a 2 �
.
3
3 �2
�2
a3 3

 �vtt
3

Loại 2.7: Hình chóp có một cạnh bên vng góc với cạnh đáy khơng kề với nó thì
chân đường cao thộc đường thẳng vng góc hạ từ đỉnh của đa giác đáy thuộc cạnh bên đó
tới cạnh đáy đó.

22


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
1
3

Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân
đường cao nói ở trên.
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân đỉnh A,AB=AC=a, SA vng góc với
BC Tam giác SBC vng tại S và góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) là 450 . Tính
thể tích khối chóp S. ABC
Giải:
Gọi K là trung điểm của BC.
Trong tam giác SAK kẻ SH  AK (*)
Tam giác ABC cân , suy ra AK  BC
(1)
Mà theo giả thiết BC  SA (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BC  (SAK ) ,
Suy ra BC  SH (**)
Từ (*) và (**), suy ra SH  ( ABC)
Ta có : SABC 
SK 

S

C

A
H
K

1
a2
AB.AC 

2
2

B

a
1
a 2
0
; SH  SK .tan45 
BC 
2
2
2

1
1 a2 a a3
VS.ABC  SABC .SH  . . 
(đvtt)
3
3 2 2 12
Vớ d 2: Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với

các góc A, B vuông, AD = 2a; AB = BC = a. BiÕt r»ng SA = a 2 , SA vuông
góc với CD và (SCD) tạo với đáy (ABCD) một góc 60 0 . Tớnh thể tích khối chóp đã
cho theo a.
Giải:
Trong tam giác SAC kẻ SH  AC (*)
Ta có: DC  AC
(1)

Mà theo giả thiết có DC  SA (2)
Từ (1) và (2) suy ra DC  (SAC)
Suy ra DC  SH (**)
23


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Từ (*) và (**) suy ra SH  (ABCD)
1
1
3a2
SABCD  ( AD  BC).AB  (a  2a).a 
2
2
2

Lại có : tam giác SAC có SA  AC  a 2 và góc
SCA bằng 60 0 , suy ra tam giác SCA đều.
Do đó SH 

VS.ABCD 

a 6
2

1
1 3 a 6 a3 6
SABCD .SH  . a2.

 �vtt

3
3 2
2
4

S

D

A
H

B

C

Loại 2.8: Hình chóp có chân đường cao cho trước
1
3

Phương pháp:Sử dụng cơng thức tính V  S .h , chiều cao là đoạn thẳng nối dỉnh với chân
đường cao đã cho trước.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB =
AD = 2a, CD =a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính
thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
Giải:
+Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùng vng góc với mp(ABCD), nên SI là đường cao của hình
chóp

24


Chuyên đề “Phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện”:
Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD). Hay góc SHI = 600

Đáy ABCD có diện tích là:
Sd 

S

1
 AB  CD . AD 3a 2
2

+Tam giác IBC có diện tích
S IBC  S d  S IAB  S ICD 

3a 2
2

A

Suy ra: IH .BC 2 S IBC  IH 

3a
5

vì

1
3a 3 15
V  .SI .S d 
3
5

B

I
D

với trung điểm M của AB thì tam
giác MBC vuông
+ Xét tam giác vuông SIH : SI  IH . tan 60 0 

J

H

C

3a 15
. Vậy thể tích của hình chóp là :
5

 �vtt

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA =
a; hình chiếu vng góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho
AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của cạnh

SA và tính thể tích của khối tứ diện SMBC theo a.
Giải:
S

AC = a 2 ; AH = a 2
4

→ SH = SA 2  AH 2 
→ CM = SH.AC / SA =

a 14
4

M

a 7
2

C
D

AM² = AC² – CM² = 2a² – 7a² / 4 = a²/4
Suy ra AM = a/2 = SA/2. Vậy M là trung điểm
của SA.
Ta có VS.ABC = (1/3)SH.SABC =

H
A

a 3 14

24

→ VS.BCM = (SM / SA).VS.ABC = (1/2).VS.ABC

25

B