(Sáng kiến kinh nghiệm) chuyên đề một số phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN

CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Người thực hiện: Nguyễn Thị Quý Hợi
Tổ: Toán - Tin
Trường: THPT Trần Văn Lan

NĂM HỌC 2018 - 2019

1


A. MỞ ĐẦU
Tốn học là mơn khoa học tự nhiên gây nhiều hứng thú cho học sinh, là môn học rất
quan trọng khơng thể thiếu trong q trình học tập của học sinh. Trong các môn học ở
trường phổ thông, Tốn được xem là mơn cơ bản, là nền tảng để các em học sinh học tập và
tiếp thu một số môn học khác. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt mơn Tốn thì giáo viên
cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cơ bản cần thiết cho học sinh, cần đổi mới các phương
pháp dạy học, làm cho các em trở nên u thích mơn Tốn hơn, vì có yêu thích nên các em
mới dành nhiều thời gian cho việc học tốn, từ đó kích thích tính tự học và sáng tạo của học
sinh trong việc học toán và giành thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu học tập của học sinh
trong thời đại mới.
I. Lý do chọn đề tài
Tốn học 11 tiếp nối chương trình Tốn 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học phần
phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn khơng nhỏ cho học sinh vì học sinh khơng
năm trắc cơng thức lượng gián nên khả năng vận dụng công thức cực kỳ hạn chế đó là một
trong những lí do tơi chọn sáng kiến kinh nghiệm trên

1, Cơ sở lý luận:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ
môn Đại số và giải tích 11.
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Tốn học trình bày trong các tài liệu.
- Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo khoa lớp
11(cơ bản và nâng cao)
- Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11
2, Cơ sở thực tiễn
- Khả năng vận dụng linh hoạt cơng thức lượng giác của học sinh cịn yếu
2


- Khả năng nhận dạng phương trình lượng giác của học sinh cịn hạn chế
- Những thuận lợi và khó khăn trong q trình giảng dạy bộ mơn Đại só và giải tích và nhất
là phần phương trình lượng giác
II. Mục đích nghiên cứu:
-

Nhằm nâng cao nghiệp vụ chun mơn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

-

Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi

III. Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài nghiên cứu:
1, Nhiệm vụ: Những nội dung chính của phần phương trình lượng giác:
- Phương trình lượng giác cơ bản:
+ Phương trình: sinx = a

+ Phương trình: cosx = a

+ Phương trình: tanx = a

+ Phương trình: cotx = a

- Một só phương trình lượng giác thường gặp:
+ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
+ Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
+ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
- Áp dụng để giải các phương trình lượng giác khác và giới thiệu sơ lược về hệ phương trình
lượng giác một ẩn.
2, Yêu cầu:
- Học sinh nắm rõ các công thức biến đổi về lượng giác ở lớp 10 đã học.
+ Công thức cộng.
+ Công thức nhân đôi.
+ Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích.
3


- Nhớ cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
- Biết phân biệt các dạng phương trình lượng giác cơ bản.
- Nắm phương pháp chung để giải các phương trình.
- Biết kết hợp nghiệm.
IV. Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh khối 11 bậc phổ thông trung học.

V. Phương pháp nghiên cứu:
- Tham khảo các tài liệu.

Sách giáo khoa 11 cơ bản và nâng cao(Nhà xuất bản giáo dục)
Chuẩn kiến thức kỹ năng(Nhà xuất bản giáo dục)
Sách giáo khoa 11(chỉnh lí hợp nhất năm 2000) (Nhà xuất bản giáo dục)
Giải toán lượng giác 10 đành cho các lớp chuyên(Nhà xuất bản giáo dục)
- Tham gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do Sở giáo dục tổ chức( Nếu có điều kiện ), các
buổi sinh hoạt tổ, nhóm chun mơn.
VI. Thời gian nghiên cứu:
- Trong q trình được phân cơng giảng dạy khối 11 bậc phổ thông trung học.

4


B. NỘI DUNG
I. Kiến thức cơ bản cần nắm vững
1 . Hệ thức cơ bản
sin 2 x + cos 2 x = 1 ;

1 + tan 2 x =

1 
π

x ≠ + kπ ( k ∈ Z ) ÷

2
cos x 
2


1 + cot 2 x =

1
( x ≠ kπ ( k ∈ Z ) )
sin 2 x

2 .Hệ thức liên hệ
a) Hai cung đối nhau

b) Hai cung bù nhau
sin( π − x ) = sin x
cos( π − x ) = −cosx

tan( π − x ) = − tanx
cot( π − x ) = −cotx

c) Hai cung hơn kém nhau
sin( π + x ) = − sin x
cos( π + x ) = − cosx

tan( π + x ) = tanx
cot( π + x ) = cotx

d) Hai cung phụ nhau

5


π
− x ) = cosx
2

π
cos( − x ) = sin x
2
sin(

π
− x ) = cotx
2
π
cot( − x ) = tanx
2

tan(

e) Hai cung hơn kém nhau

sin(
cos(

π
+ x ) = cosx
2

π
+ x ) = − sin x
2

π
+ x ) = − cotx
2

π
cot( + x ) = − tanx
2

tan(

3 .Công thức cộng

sin( a ± b ) = sin acosb ± cosa sin b
cos( a ± b ) = cosacosb msin a sinb
tan( a ± b ) =

tana ± tanb
1 mtanatanb

4 .Công thức nhân đôi, công thức nhân ba

sin2a = 2 sinacosa
cos 2a = cos 2a − sin 2 a
= 2cos 2a − 1
= 1 − 2 sin 2 a

tan2a =

2tana
1 − tan 2a

5 .Công thức hạ bậc
cos 2a =

1
( 1 + cos 2a )
2
6


s in2 a =

1
( 1 − cos 2a )
2

6.Công thức biến đổi tích thành tổng
sin a cos b =

1
 sin ( a − b ) + sin ( a + b ) 
2

cos a cos b =

1
cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 
2

sin a sin b =

1
cos ( a − b ) − cos ( a + b ) 
2

7 .Công thức biến đổi tổng thành tích
cos a + cos b = 2 cos

a+b
a−b
cos
2
2

cos a − cos b = −2 s in

a+b
a−b
s in
2
2

sina + sinb = 2 sin

a+b
a−b
cos
2
2

sina − sin b = 2 cos

a+b
a−b

sin
2
2

II. Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx=a(1)
+) Nếu

.

+) Nếu

Chú ý:
7


a) PT sinx=sin

Tổng quát : sinf(x)= sing(x)

b) PT sinx=sin

c) Nếu

và
d) Các trường hợp đặc biệt
+) a=1 PT sinx=1

+) a=-1 PT sinx=-1

+) a=0 PT sinx=0

2. Phương trình cosx = a(2)
8


+) Nếu

.

+) Nếu

Chú ý:
a) PT cosx=cos

Tổng quát : cosf(x)= cosg(x)

b) PT cosx=cos

c) Nếu

điều kiện

d) Các trường hợp đặc biệt
+) a=1 PT cosx=1

+) a=-1 PT cosx=-1
+) a=0 PT cosx=0
9

3. Phương trình tanx=a

Chú ý:
a) PT tanx=tan

Tổng quát : tanf(x)= tang(x)

b) PT tanx=tan

1. Phương trình cotx=a

Chú ý:
a) PT cotx=cot

Tổng quát : cotf(x)= cotg(x)

10


b) PT cotx=cot

III. Các dạng phương trình lượng giác
1. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
VD1: Giải phương trình:
Giải: pt

VD2: Giải phương trình :
Giải: pt

VD3: Giải phương trình:
Giải: pt

11


VD4: Áp dụng
Giải các phương trình:

2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
VD1: Giải phương trình:

(1)

Giải :Đk:
Ta có (1) có dạng :

Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện.
Vậy pt(1) có các nghiệm là:

VD2: Giải phương trình:

(2)

Giải:
+) Với cosx=0 thì VT=-1, VP=3 nên cosx=0 khơng thoả mãn pt(2)
+) Vì cosx ≠ 0, chia cả hai vế của pt(2) cho

12

ta được:


VD3: Giải phương trình:

Giải: pt

VD4: Giải phương trình:

(Đề thi TSĐH khối B-2003)
Giải: Đk: sin2x≠0
Khi đó pt

13


Kết hợp đk ta được nghiệm của pt đã cho là:

VD5: Áp dụng
Giải các phương trình:

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
VD1: Giải phương trình:

(Đề thi TSĐH khối D-2007)
Giải: pt

VD2: Giải phương trình:

(Đề thi TSĐH khối B-2008)

14


Giải: pt

VD3: Giải phương trình:

Giải: pt

VD4: Áp dụng
Giải các phương trình:

15


4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
Dạng:
Cách giải: Đặt
(

VD1: Giải phương trình:
Giải: pt

Giải(2): Đặt

Khi đó (2)

VD2: Giải phương trình:
16

Giải: Đặt
Pt đã cho trở thành

+)

VD3: Giải phương trình:
Giải: Đk
Khi đó pt

Đặt

Pt trở thành

VD4: Áp dụng
Giải các phương trình:
17


5. Phương trình dạng:
Đặt

)

VD1: Giải phương trình :
Giải: PT

Giải (2): Đặt

)

18


VD2: Giải phương trình :

Giải: PT

Giải (2) Đặt

)

19


VD3: Áp dụng
Giải các phương trình:

6. Phương trình dạng:
Cách giải: Xét 2 TH
TH1:
TH2:

VD1: Giải phương trình :
Giải : PT(1)

+)

20

+)

chia cả hai vế của pt(2) cho

Vậy pt đã cho có các nghiệm là:
VD2: Giải phương trình :
Giải: ĐK:

Khi đó PT

VD3: Áp dụng
Giải các phương trình:

7. Phương trình dạng:

)

VD1: Giải phương trình :

Giải: ĐK:
Khi đó PT(1)

21

ta được:


)

Khi đó PT(2)

VD2: Giải phương trình :
Giải: ĐK:

Khi đó PT đã cho có dạng:

22


VD3: Áp dụng
Giải các phương trình:

8. Phương trình lượng giác sử dụng đến nhiều phép biến đổi lượng giác:
VD1: Giải phương trình :
Giải: PT

VD2: Giải phương trình :
=2

23


VD3: Giải phương trình :

Giải: PT

VD4: Giải phương trình :

Giải: PT

VD5: Giải phương trình :

Giải: ĐK:
24


Ta có:

Kết hợp với điều kiện ta có
là nghiệm của phương trình đã cho
VD6: Giải phương trình :
Giải: PT

Đặt t =

(0

+ t -1=0

25