(Sáng kiến kinh nghiệm) HƯỚNG dẫn học SINH lớp 8 GIẢI DẠNG TOÁN tìm NGHIỆM hữu tỷ của đa THỨC một BIẾN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

MÃ SKKN:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 8 GIẢI DẠNG
TỐN:
TÌM NGHIỆM HỮU TỶ CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

Lĩnh vực

: Toán học

Cấp học: Trung học cơ sở
Tài liệu kèm theo:
Đĩa CD minh họa cho SKKN

NĂM HỌC 2016- 2017


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang 2

1/ Lí do chọn đề tài

Trang 2

2/ Mục đích nghiên cứu

Trang 2

3/ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trang 2

4/ Nhiệm vụ nghiên cứu

Trang 3

5/ Phương pháp nghiên cứu

Trang 3

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trang 4

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trang 4

II. TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG

Trang 4

III. GIẢI PHÁP

Trang 5

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

Trang 17

I. KẾT QUẢ

Trang 17

II. CÁC VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trang 17

Tài lệu tham khảo

Trang 19

1/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình Tốn THCS, các bài toán về đa thức chiếm một số
lượng rất nhiều. Trong đó việc tìm nghiệm ngun và nghiệm hữu tỷ của đa thức
có ý nghĩa thực tiễn rất lớn và cũng mang lại nhiều điều thú vị.
Tuy nhiên, vì lí do khung chương trình nên thời lượng và kiến thức đưa vào
chương trình sách giáo khoa về nghiệm của đa thức cịn tương đối hạn chế. Vấn

đề tìm nghiệm của đa thức chỉ trình bày gọn trong một bài (Bài 9: Nghiệm của
đa thức một biến), nội dung tồn bài chủ yếu tập trung vào định nghĩa mà
khơng đi sâu phân tích , hướng dẫn các phương pháp tìm nghiệm. Do vậy các
em học sinh khi gặp các bài tốn liên quan đến tìm nghiệm của đa thức 1 biến
thì đa số cịn lúng túng, chưa định hướng được cách giải quyết bài toán.
Như vậy, khi giảng dạy và bồi dưỡng mơn Tốn cho học sinh địi hỏi giáo
viên phải có phương pháp phù hợp nhằm giúp các em tháo gỡ những vướng
mắc nêu trên.Hơn nữa góp phần hướng dẫn cho các em khả năng tự học, để tiến
tới đáp ứng nhu cầu của mơn Tốn cũng như các môn học khác trong xu hướng
học tập hiện nay.
Qua thực tế giảng dạy và học tập, bản thân tôi đã tích luỹ được một số kiến
thức và phương pháp hướng dẫn học sinh tìm nghiệm của đa thức tương đối hiệu
quả. Vì thế tơi chọn trình bày đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng
tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến"
2. Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này không những trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm
nâng cao năng lực học mơn tốn cho các em và giúp các em có cách suy nghĩ
đúng đắn để giải quyết bài tốn tìm nghiệm của đa thức một biến mà cịn nhằm
góp thêm một phương pháp bồi dưỡng kiến thức toán cho học sinh THCS nói
chung. Khi các em thành thạo việc tìm nghiêm của đa thức thì việc giải quyết
các dạng bài liên quan sẽ dễ dàng hơn, tránh được những sai lầm thường mắc
phải. Từ đó các em vững vàng và tự tin hơn khi làm toán.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Trong chương trình tốn THCS hiện hành, khái niệm nghiệm của đa thức
được đưa vào chương III phần Đại số lớp 7. Các vấn đề khác về đa thức được
tiếp nối ở lớp 8 và tiếp tục được vận dụng ở lớp 9. Vì thế các bài tốn tìm
nghiêm của đa thức được xem xét chủ yếu áp dụng cho đối tượng học sinh lớp
7, 8( nhất là học sinh khá giỏi).
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:

2/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Đề tài tập trung nghiên cứu kiến thức liên quan đến nghiệm của đa thức một
biến đồng thời tìm hiểu các phương pháp tìm nghiệm của đa thức một biến và
mối liên hệ giữa dạng toán này với một số dạng toán khác.
Mặt khác đề tài cũng đi sâu tìm hiểu thực tế khả năng giải dạng tốn tìm
nghiệm của đa thức một biến ở học sinh, từ đó phân tích tìm chọn hướng đi
phù hợp đối tượng học sinh mà mình giảng dạy rồi thử nghiệm để rút ra những
thành công , thất bại tổng hợp kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và bồi
dưỡng toán cho học sinh THCS nhằm lựa chọn con đường dẫn dắt học sinh học
tập dạng toán đã nêu sao cho đạt hiệu quả cao nhất
5. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được hồn thành thơng qua phương pháp nghiên cứu lý luận(tìm hiểu,
nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng, sách tham khảo...) để xác định
những nội dung kiến thức cần thiết phục vụ cho đề tài.
Ngoài ra, đề tài cũng đã sử dụng phương pháp thực nghiệm sư phạm tổng kết
kinh nhgiệm ở những lớp trước để áp dụng tốt hơn cho lớp sau, khoá sau.

3/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trong chương trình tốn 7, khái niệm Nghiệm của đa thức một biến được phát
biểu như sau:

Nếu tại x = a, đa thức P(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng a(hoặc x =a) là
một nghiệm của đa thức đó.
Như vậy, về mặt lý luận, để tìm nghiệm của đa thức P(x) cần tìm giá trị x
sao cho P(x) = 0.Tuy nhiên để tìm nghiệm của đa thức P(x) có nhiều cách khác
nhau tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể. Từ bài toán tìm nghiệm của đa thức ta có thể
áp dụng để giải được bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương
trình đa thức .....
II. TÌM HIỂU VÀ PHÂN TÍCH THỰC TRẠNG
Trong thực tế giảng dạy nhiều năm tơi thấy phần lớn giáo viên khi dạy về
nghiệm của đa thức một biến cũng chỉ dừng lại ở phạm vi nội dung kiến thức
của sách giáo khoa, 1 số ít giáo viên có cung cấp cho học sinh cách tìm nghiệm
của 1 số đa thức cụ thể nhưng chưa khái quát thành phương pháp. Một số ít khác
đã quan tâm đến cung cấp phương pháp giải cho HS song trong q trình học tập
do khơng thường xun sử dụng nên học sinh rất mau qn vì các phương pháp
này có được là nhờ GV cung cấp chứ không phải tự các em khám phá
được.Cũng chính vì vậy các em khơng mấy hứng thú khám phá kiến thức,
phương pháp mới nên khó kích thích được lịng hăng say với bộ mơn của các
em.
Về phía học sinh khi gặp loại tốn này mà đa thức một biến có bậc lớn hơn 2
thì đều gặp khó khăn và lúng túng. Học sinh lớp 8, 9 mặc dù đã được học về
phân tích đa thức thành nhân tử song cũng gặp khơng ít khó khăn trong việc
phân tích thành nhân tử để tìm nghiệm, hầu hết các em cịn mị mẫm và máy
móc. Khi chưa được hướng dẫn về phương pháp như đề tài này, phần lớn HS
mà tôi trực tiếp bồi dưỡng ở nhiều năm học khác nhau đều chỉ tìm được nghiệm
của các đa thức có tính chất đặc biệt dễ nhận thấy hoặc dễ nhẩm nghiệm(Đa thức
có nghiệm ±1;0 ...; các đa thức có hệ số cao nhất bằng 1, hệ số tự do bé...), cịn
đối bài tốn tìm nghiệm các đa thức có hệ số cao nhất khác 1, đa thức mà hệ số
tự do có nhiều ước số, đa thức hệ số nguyên có nghiệm hữu tỷ và đặc biệt đa
thức hệ số hữu tỷ có nghiệm hữu tỷ là những bài tốn khó địi hỏi HS phải nắm
vững phương pháp mới giải thành cơng được.

Trong q trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi cũng đã cố gắng tìm kiếm
và sưu tầm tài liệu song các tài liệu hướng dẫn HS giải loại tốn "Tìm nghiệm
hữu tỷ của đa thức" ít thấy. Một số tài liệu chỉ đề cập đến các định lý và hệ quả

4/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

liên quan mà khơng đi vào hướng dẫn phương pháp tìm như thế nào đối với từng
dạng đa thức hay từng yêu cầu cụ thể về nghiệm.
Trước thực trạng đó, tơi đã tìm tịi, suy nghĩ, phân tích các phương pháp
hướng dẫn học sinh tháo gỡ những vướng mắc nêu trên và tiến hành thử nghiệm
thực tế đối với học sinh khá giỏi ở trường mình. Sau nhiều lần rút kinh nghiệm
tơi đã chọn ra được các giải pháp hiệu quả nhất như sau:
III. GIẢI PHÁP
1. Xác định những kiến thức cơ bản liên quan
1.1.Định nghĩa: Nếu tại x = c đa thức f(x)có giả trị bằng 0 thì ta nói rằng c
(hoặc x =c) là một nghiệm của đa thức đó.
1.2. Một đa thức (khác đa thức khơng ) có thể có nhiều nghiệm hoặc khơng có
nghiệm nào.
1.3. Một đa thức bậc n có nhiều nhất là n nghiệm phân biệt. Đa thức bậc 0 thì
khơng có nghiệm. Đa thức khơng (khơng có bậc) thì có vơ số nghiệm.
1.4. Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm.
Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa chẵn bằng tổng các luỹ
thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm.
* Từ định nghĩa trên ta thấy khi f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x) M(x - c)
* Định lý Bêzu: Dư của phép chia đa thức f(x) cho x -c là giá trị f(c)
Bổ sung:
1.5. Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên)

p

Nếu phân số q (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước
của số hạng tự do.
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất
bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
1.8. Nếu α ≠ ±1 là nghiệm nguyên của đa thức f(x) với hệ số nguyên thì
và

f (1)
1− α

f (−1)
phải là các số nguyên.
1+ α

1.9. Sơ đồ Hoocne: Giả sử f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0.
Chia f(x) cho x - c ta được thương q(x) có bậc n - 1 là:
q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1. và dư là hằng số r. Khi đó ta có sơ đồ
sau gọi là sơ đồ Hoocne:
an
c

an-1 ...

bn= an

Nhân

bn-1 ...

Cộng

ak=

...

bk

...

bk-1

a1
b1

a0
r

Quy tắc của sơ đồ: Mỗi phần tử dòng dưới bằng tích của c với phần tử đứng
ngay trước nó cộng với phần tử tương ứng ở dòng trên.
2. Những giải pháp đã tiến hành
5/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Trên cơ sở xác định rõ phạm vi các kiến thức liên quan mà giáo viên đã nắm
bắt. Đầu tiên cần giúp các em nắm vững các kiến thức đó theo một quy trình phù

hợp với mức độ nhận thức từ thấp đến cao của các em.Cụ thể chúng ta có thể
tiến hành như sau:
2.1. Giáo viên (GV) cho học sinh (HS) củng cố những kiến thức hiểu biết
của mình về nghiệm của đa thức đã được học qua sách giáo khoa(SGK).
Trước hết GV cho HS vận dụng các kiến thức cơ bản để giải bài tốn cụ thể.
Chẳng hạn:
Bài tốn 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. 5x - 7
b. (x - 3)(2+x)
c. x2 - 4
d. x2 + 3
e. x2 + 2x
Đa số HS đều hiểu và vận dụng được những kiến thức cơ bản vào giải bài tập
đã cho.Những bài tập này giúp HS củng cố lại các kiến thức cơ bản đã được học
trong nội dung chính khố.
Đáp số bài toán 1:
a. x =

7
5

b. x = 3 hoặc x = -2

c. x = ±2

d.vô nghiệm
e. x = 0 hoặc x = -2
Trong các bài tập dạng đơn giản như trên, HS dễ dàng dùng các kiến thức
được học ở SGK để giải. Nhưng khi gặp bài tốn sau:
Tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2

Nếu khơng bổ sung thêm kiến thức thì HS sẽ gặp khó khăn. Do đó bước tiếp
theo:
2.2. GV hướng dẫn HS bổ sung những kiến thức cơ bản khác liên quan
cần thiết đến nghiệm của đa thức.
Chẳng hạn đối với tiểu mục 1.4 ở trên GV có thể cung cấp cho HS. Tuy
nhiên, trong dạy Toán cái đáng quý nhất là làm cách nào đó để HS tự mình rút ra
được những nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần ở các em khả năng
khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hố kiến thức. Như thế khơng chỉ dừng lại ở việc
giải bài toán cụ thể mà các em cịn có ý thức tìm tịi phương pháp giải cho các
bài toán cùng loại hoặc từ bài toán cụ thể xem xét bài tốn tổng qt. Vì vậy GV
cần giúp HS hình thành, phát hiện các kiến thức mới có liên quan từ những bài
tốn mang tính chất tình huống :

6/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c;
Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1.
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2
b. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1. Áp dụng để tìm
một nghiệm của đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
Lược giải:
a. Với x = 1 ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = 0 nên f(1) = 0
Điều này chứng tỏ x= 1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = 0 nên đa thức f(x) = 8x 2 - 6x - 2 có một
nghiệm là x = 1
b. Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = 0 nên f(-1) = 0

Điều này chứng tỏ x= -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 7 - (+11) + 4 = 0 nên đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
có một nghiệm là x = -1
Qua việc giải bài tập 1 GV cho HS nêu các bước mà các em đã tiến hành giải
để rút ra phương pháp:
- Tính f(1); f(-1) theo a, b, c.
- Căn cứ vào đề bài để suy ra f(1) =0 ; f(-1) =0.
- Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức để kết luận x = 1; x = -1 là một
nghiệm của đa thức f(x).
Như vậy, sau khi rút ra được phương pháp giải thì HS hoàn toàn tự lực hoàn
thành tốt bài tập sau:
Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1
b. Nếu - a + b - c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1
Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu bài tốn tổng qt. HS hồn tồn có thể
thực hiện tốt u cầu này:
Bài tốn 2.2: Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. Chứng tỏ rằng:
a. Nếu tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức bằng 0 thì x = 1 là một
nghiệm của f(x).
b.Nếu tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm của f(x).
Với đối tượng HS khá GV yêu cầu HS giải bài toán tổng quát vừa nêu.
2.3. HS áp dụng các kiến thức cơ bản trên vào bài tập đơn giản:
GV cho HS rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống các bài tập để HS nắm chắc
và nhớ lâu hơn những vấn đề đã được học.
Bài tập áp dụng :
1. Tìm một nghiệm của mỗi đa thức sau:
a. f(x) = x3 - x2 + x - 1;
b. g(x) = 11x3 + 5x2 + 4x +10;
c. h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12

2. Trong các số sau: 1; -1; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức
7/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

f(x) = x4 + 2x3 - 2x2 -6x + 5
3.Cho các đa thức:
a. f(x) = x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3;
b. g(x) = 3x4 + x3 + x2 -7x - 10;
c. h(x) = 4x3 + 2x2 - x + 1
Nghiệm lại rằng x = -1 là nghiệm của mỗi đa thức đã cho.
Trong thực hành tìm nghiệm của đa thức HS khơng chỉ gặp những đa thức
có những tính chất đặc biệt như trên và yêu cầu của bài toán cũng không dừng
lại ở việc kiểm tra 1 số cho trước có phải là nghiệm hay khơng hoặc chỉ cần tìm
một nghiệm của đa thức.Chẳng hạn bài tốn:
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12.
Rõ ràng, chỉ với những kiến thức cơ bản đã nắm HS đã gặp vướng mắc trong
việc tìm phương pháp giải. Với học sinh lớp 8, sau khi nắm chắc các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể thêm bớt hay tách hạng tử...
đưa về tích các đa thức có bậc thấp hơn để tìm nghiệm. Song cũng khơng phải là
dễ dàng. Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm những kiến thức mới, những phương
pháp mới để HS có thể giải được những bài toán như đã nêu một cách nhẹ
nhàng hơn.
2.4. GV hướng dẫn HS bổ sung và vận dụng những kiến thức nâng cao
liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.
Cũng với cách làm như trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức.
Bài toán .
Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. (Hệ số nguyên)
p

Giả sử phân số tối giản q là nghiệm của f(x) thì p là ước của a 0; q là ước của
an.
GV hướng dẫn HS giải bài toán:
p

GV(?) Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản q là
nghiệm của f(x) thì suy ra điều gì?
p

HS: Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản q là nghiệm
p

pn

p n −1

p

của f(x) thì ta có: f( q ) = an n + an-1 n −1 + ... + a1 q + a0 = 0 (*)
q
q
GV(?) Quy đồng mẫu số sẽ suy ra được điều gì?
HS: Ta có (*) ⇔ a 0 q n + a1pq n −1 + a 2 p 2q n −2 + ... + a n p n = 0 (1)
GV(?) Từ (1) hãy chứng tỏ p là ước của a0; q là ước của an?
HS: Từ (1) suy ra:

8/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến
a 0 q n = −(a1pq n −1 + a 2 p 2 q n − 2 + ... + a n p n )
⇒ a 0q n = − p(a1q n −1 + a 2 pq n − 2 + ... + a n p n −1 )
⇒ a 0q n Mp

Mà ( p, q ) = 1 ⇒ q n Mp ⇒ a 0 Mp hay p là ước của a0
Tương tự từ (1) suy ra:
a n p n = −(a 0q n + a 1pq n −1 + ... + a n −1p n −1q)
⇒ a n p n = −q(a 0 q n −1 + a1pq n −2 + ... + a n −1p n −1 )
⇒ a n p n Mq

Mà ( p, q ) = 1 ⇒ p n Mq ⇒ a n Mq hay q là ước của an.
Sau khi giải bài toán này HS dễ dàng rút ra được kết luận ở tiểu mục 1.5 là:
Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên)
p

Nếu phân số q (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an
Kết luận này sẽ là cơng cụ rất hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ của một đa
thức với hệ số nguyên.
Ngoài ra, cũng từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá bài toán để rút
ra một nhận xét mới:
GV(?) Trong bài toán 3, nếu hệ số cao nhất bằng 1 thì có thể suy ra được điều
gì?
HS: (Xem xét trường hợp an = 1)
Khi đó ta có đa thức sẽ là: g(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số
p

nguyên) . Nếu q (tối giản) là nghiệm của f(x) thì theo kết luận trên ta có p là ước
p

của a0 và q là ước của 1. Vì vậy q = ±1 nên q là một số nguyên.
Đến đây, HS hoàn toàn tự mình rút ra được kết luận 1.6 và 1.7 là:
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước
của số hạng tự do.
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nhất
bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
Bây giờ, GV cho HS rèn luyện một số bài toán để vừa áp dụng vừa củng cố
những kiến thức mà các em đã khám phá được ở trên.
Bài tốn 4:
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x3 - x2 -4x + 4
Bài tập này GV có thể yêu cầu HS tìm các cách khác nhau để giải.
Lược giải:
Cách 1:
Dễ thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 nên nhận x = 1 làm một
nghiệm.Chia f(x) cho x - 1 ta thu được đa thức x 2 - 4 có nghiệm x = ±2 . Như vậy
đa thức đã cho có các nghiệm là: x = 1; x = ±2
9/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Cách 2:
Ta có f(x) = x3 - x2 -4x + 4 = (x3 - x2) - (4x - 4) =
= x2 (x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x2 - 4 ) = (x -1)(x - 2 )(x + 2).
Vậy nghiệm của f(x) là x = 1; x = ±2 .
Cách 3:
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1.
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay x ∈ Ư(4) tức là x ∈ { ±1; ±2; ±4}
Kiểm tra ta có: f(1) = 0

nên x = 1 là nghiệm.
f(-1) = 6 ≠ 0 nên x = -1 không là nghiệm.
f(-2) = 0
nên x = -2 là nghiệm.
f(2) = 0
nên x = 2 là nghiệm.
f(-4) = - 60 ≠ 0 nên x = - 4 không là nghiệm.
f(4) = 36 ≠ 0 nên x = 4 không là nghiệm.
Các cách giải khác nhau giúp học sinh có sự so sánh và chọn lựa phương pháp
sao cho nhanh gọn, dễ hiểu nhất. Tuy nhiên, với 1 đa thức bậc cao thì cách 1 và
cách 2 không dễ thực hiện. Lúc này nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra
nghiệm cũng khơng dễ khi hệ số cao nhất có giá trị lớn. Để việc kiểm tra các giá
trị ước số có phải là nghiệm khơng trở nên đơn giản hơn thì cần giúp HS tiếp
cận với sơ đồ Hoocne.
Một thực tế là nếu chỉ cung cấp cho HS lược đồ mà khơng hướng dẫn các em
tự xây dựng thì các em rất dễ quên nếu không sử dụng thường xuyên, và khi
qn thì khơng biết cách tìm lại nó. Như vậy, công việc tiếp theo của GV là
hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne.

10/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Bài tốn:
Tìm dư trong phép chia đa thức f(x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
cho x -c.
GV ? Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) thì bậc của đa thức q(x) và dư
của phép chia sẽ như thế nào? Từ đó biểu diễn đẳng thức liên hệ giữa f(x); q(x)
và dư như thế nào?

HS: Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) bậc của đa thức q(x) là n - 1
q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1 và dư là hằng số r. Tức là:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = (x - c)(bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1) + r (I)
GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định thì từ (I) ta lập được hệ nào
HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có:
an = bn
an-1 = bn-1 - cbn
an-2 = bn-2 - cbn-1

an = bn
bn-1 = cbn + an-1
bn-2 = cbn-1+ an-2
Từ đó suy ra:

................

................

ak = bk - cbk+1

bk = cbk+1+ ak

................

................

a0 = r - cb1

r = cb1 + a0

Từ đó ta thành lập sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:

c

an

an-1 ...

Cộng

bn= an

bn-1 ...

bk +1

a=
k
bk

...
...

a1

a0

b1

r

Nhân

Với sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiểm tra các giá trị ước số của hệ số tự do có
phải là nghiệm khơng một cách đơn giản đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương
và số dư trong phép chia f(x) cho x - c.
Chẳng hạn với Bài tốn 4 nêu trên ta có thể làm như sau:
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1.
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay x ∈ Ư(4) tức là x ∈ { ±1; ±2; ±4}

11/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Dùng sơ đồ Hoocne ta có:
1

-1

-4

4

-1

1

-2

-2

6

1

1

0

-4

0

-2

1

-3

2

0

2

1

1

-2

0

-4

1

-5

16

-60

4

1

3

8

36

Từ sơ đồ ta có x = 1; x = ±2 là các nghiệm của đa thức đã cho.
Mặc dù sơ đồ Hoocne là công cụ kiểm tra nghiệm tương đối hiệu quả nhưng
với đa thức có hệ số tự do lớn và có nhiều ước thì việc dùng sơ đồ cũng chưa tối
ưu. Vì vậy, để tiếp tục bổ sung phương pháp GV có thể cho HS làm bài tập sau:
Bài toán: Cho đa thức f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) .

Gọi α ≠ ±1 là nghiệm của f(x). Chứng minh:

f (1)
f ( −1)
∈ Z;
∈Z
1− α
1+ α

Hướng dẫn:
GV: Do α ≠ ±1 là nghiệm của f(x) thì có thể biểu diễn f(x) dưới dạng tích hai
đa thức như thế nào? Từ đó biểu diễn q(x) dưới dạng thương và tiến hành chứng
minh?
HS: Do α ≠ ±1 là nghiệm của f(x) nên theo định lý Bêzu ta có thể viết:
f(x) = q(x)( x − α ) (1)
Vì f(x) là đa thức với hệ số nguyên, x − α cũng là đa thức hệ số nguyên nên
q(x) là đa thức hệ số nguyên. Từ (1) ta có: q(x) =
Khi x = 1 thì q(1) =

f (x)
x −α

f ( −1)
f (1)
∈Z
∈ Z ; Khi x = -1 thì q(−1) =
−(1 + α )
1− α

Như vậy sau khi hoàn thành việc chứng minh bài tốn HS có thêm một

phương pháp thử nghiệm rất hiệu quả chính là kết luận 1.8 đã nêu.
Bây giờ GV cho HS áp dụng vào bài toán cụ thể để áp dụng kiến thức mà
các em vừa khám phá được nhằm so sánh và thấy được lợi ích của việc tìm tịi
phương pháp giải tốn từ những bài tốn khác đã giải.
Bài tốn 5:
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 8x4 + 20x3 - 20x2 + 19x -12

12/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Lược giải bài tốn 5:
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1.
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay x ∈Ư(12) tức là x ∈ { ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12}
Xét thấy đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm bằng 1
Dùng sơ đồ Hoocne ta suy ra được:
f(x) = (x - 1)(x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12)
Ta tìm x để g(x) = x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = 0.
Dễ thấy các hạng tử bậc lẻ đều có hệ số âm do đó với mọi x<0 thì g(x) > 0 vì
vậy g(x) khơng có nghiệm âm.Ta chỉ xét các ước dương của 12.
Ta có: g(1) = 12 .
g(-1) = 40
A=

g(1)
g(−1)
;B=
1− α

1+ α

12
40
= −12 ∈ Z ; B =
=∉ Z (loại)
−1
3
Với α = 3 thì A = - 6 ∈ Z ; B = 10 ∈ Z
Với α = 4 thì A = - 4 ∈ Z ; B = 8 ∈ Z
12
∉ Z (loại)
Với α = 6 thì A =
−15
12
∉ Z (loại)
Với α = 12 thì A =
−11
Vậy nếu g(x) có nghiệm thì x ∈ { 3; 4} . Dùng sơ đồ Hoocne thử nghiệm:

Với α = 2 thì A =

1

-7

13

-7

12

3

1

-4

1

-4

0

4

1

-3

1

-3

0

Vậy g(x) có nghiệm là x = 3; 4. Suy ra f(x) có nghiệm x ∈ { 1;3; 4}
Các bài tập để HS tự củng cố rèn luyện:
Bài tập:
Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a. x3 - 6x2 + 15x - 14
c.
x5 - 7x3 - 12x2 + 6x + 36
b. x4 - 2x3 - 8x2 + 13x - 24
Nhận xét: Với những kiến thức đã được học, HS đã vận dụng và giải được các
bài tập yêu cầu.
Sau đó GV đưa ra tình huống: Tìm nghiệm của đa thức sau:
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4
Với tình huống này thì nhiều em cịn lúng lúng vì hệ số cao nhất khác 1. Do đó
GV có thể đặt câu hỏi gợi ý tìm phương pháp giải đối với đa thức tổng quát như
sau:

13/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

GV? Với đa thức có hệ số cao nhất khác 1 do đó có thể tồn tại nghiệm hữu tỷ.
Vậy có thể chuyển bài tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số ngun về
bài tốn tìm nghiệm ngun của đa thức tương ứng được không? chuyển bằng
cách nào?
Gợi ý: Chẳng hạn từ việc tìm nghiệm của đa thức
f(x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (hệ số nguyên) nghĩa là tìm x để
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0.(*)Ta có thể nhân hai vế của (*) với a nn −1 khi
đó ta có phương trình nào ?
HS: Nhân hai vế của (*) với a nn −1 khi đó ta có phương trình:
(anx)n + an-1( a n x)n-1 + ... + a1 a nn −1 x + a0 a nn −1 = 0
GV? Nếu đặt y = anx ta được phương trình nào?
HS: Nếu đặt y = anx ta được phương trình:
yn + an-1yn - 1 + ...a1 ann-2y + a0 a nn −1 = 0 (**)

GV? Nhận xét gì về phương trình (**) ?
HS: Là phương trình mà vế trái là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 do đó nếu có
nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là nghiệm ngun.
Như vậy , bao giờ ta cũng chuyển được việc tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức
với hệ số nguyên về việc tìm nghiệm nguyên của một đa thức tương ứng.
Đối với bài tốn tình huống đã nêu ở trên ta có thể giúp HS giải như sau:
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4
GV?: Đa thức f(x) đã cho có hệ số cao nhất bằng 2.Hãy xác định số cần nhân
vào (ann - 1) để đưa về đa thức tương ứng với hệ số cao nhất bằng 1?
HS xác định ann - 1 = 22 = 4 và tiến hành thực hiện:
Ta có: 2x3 + 3x2 + 6x - 4 = 0 ⇔ 23 x3 + 3. 22 x2 + 6. 22 x - 4.22 = 0
⇔ (2x)3 + 3.(2x)2 + 12.2x - 16 = 0
Đặt y = 2x ta có: f(y) = y3 + 3y2 + 12y - 16 = 0
Xét thấy tổng các hệ số của f(y) là 1 + 3 + 12 - 16 = 0 nên f(y) có một
nghiệm là 1. Do đó ta có: f(y) = (y - 1) (y2 + 4y + 16) = 0
Suy ra y = 1 hoặc y2 + 4y + 16 = 0
(1)
Do (1) vơ nghiệm (có ∆ ' = -12 < 0) nên f(y) chỉ có 1 nghiệm y = 1
Suy ra f(x) chỉ có một nghiệm là x =

1
2

14/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

2.5. GV hướng dẫn HS tổng hợp các kiến thức và khái quát thành phương
pháp

Như thế, HS đã biết phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ
số nguyên qua các bài tốn, các ví dụ. Khi đó GV có thể yêu cầu HS :
Hãy tổng hợp thành các bước tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên?
HS nêu các bước thực hiện.
GV tổng kết thành phương pháp:
Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên:
Bước 1:
Chuyển về đa thức tương ứng có hệ số cao nhất bằng 1
Từ đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (hệ số nguyên) đã cho chuyển về
tìm nghiệm của đa thức:
f(y) = yn + bn-1 yn - 1 + ...+b1y + b0 = 0 (nhân f(x) với ann - 1 và đặt y = anx)
Bước 2:
Tìm tất cả các ước của b0.
Giả sử tập các ước của b0 là M = { α1; α 2;α3 ...}
Bước 3:
Loại bớt các ước của b0
f (1)
f (−1)
∈ Z và B =
∈ Z (*) lần lượt với các giá trị của α ∈ M
1− α
1+ α
chọn các ước α ∈ M thoả mãn (*); chẳng hạn được P = { αi;α m;α n ...}

Xét A=

Bước 4:
Kiểm tra nghiệm bằng sơ đồ Hoocne
Kiểm tra các phần tử của P bằng sơđồ Hoocne để tìm nghiệm (của f(y))
Bước 5:

Kết luận nghiệm của f(x)
y

Từ y = anx ta có x = a
n
Mở rộng: Đối với HS giỏi GV có thể nêu vấn đề tìm nghiệm của đa thức có hệ
số hữu tỷ để HS nghiên cứu nâng cao thêm.
p0

p1

p2

pn

GV: Cho đa thức g(x) = q + q x + q x + ... + q x (pi; qi ∈ Z ; qi ≠ 0 )
0
1
2
n
Làm thế nào để tìm được nghiệm hữu tỷ của đa thức trên?
Gợi ý: Suy nghĩ tìm cách đưa về bài tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số
nguyên được không?
2

pi

n

1

HS: Quy đồng mẫu số các phân số q đưa về dạng g(x) = f(x) trong đó f(x) là
B
i
đa thức có các hệ số nguyên rồi tiếp tục giải theo thuật toán trên để tìm nghiệm
của f(x) vì f(x) = 0 khi và chỉ khi g(x) = 0

15/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Khi đó ta có:
Thuật tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số hữu tỷ:
Trước hết: Quy đồng mẫu các hệ số đưa về bài tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa
thức hệ số ngun.
Sau đó: Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên
2.6. Một số bài tập cho HS tự giải:
Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. 4x4 - 7x2 - 5x - 1
b. x 5 + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16
3
2

3 −1
})
2 3
1
(ĐS; x ∈ {1; ±2; } )
2

(ĐS; x ∈ { ;

c. 6x2 - 7x - 3
7
2

d. x4 - x 4 − x 3 − x 2 + 6x − 2

2.7. Khai thác một số ứng dụng của dạng toán:
GV nên giúp HS phân tích một số ứng dụng của loại toán này đối với các bài
toán dạng khác chẳng hạn như: tốn giải phương trình đa thức, phân tích đa thức
thành nhân tử...
Chỉ cần thay đổi một chút ở yêu cầu của đề bài ta có thể chuyển bài tốn tìm
nghiệm của đa thức sang dạng khác. Chẳng hạn thay vì :
"Tìm nghiệm của các đa thức"
a. 4x4 - 7x2 - 5x - 1
b. x 5 + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16
bằng yêu cầu "phân tích các đa thức đã cho thành nhân tử” ...

16/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
I.

KẾT QUẢ

Trong thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi tại trường, tôi nhận
thấy khi thực hiện đề tài đã bước đầu đem lại những kết quả tiến bộ tương đối
rõ.
•
Các em tự tin hơn trước những bài tốn tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một
biến(trong các bài kiểm tra, bài thi, trong thực hành giải toán khi gặp dạng toán
này các em đã vận dụng tốt).
•
Trước mỗi bài tốn khác nhau các em đã chú ý đến việc chọn lựa kiến thức
liên quan và tìm cách giải tối ưu.
•
Khả năng tự học và sáng tạo toán học được nâng lên rõ rệt. Phương pháp
học tập được HS chú ý đến hơn. HS bước đầu biết cách tự nghiên cứu tài liệu
để tìm hiểu các chun đề. Từ những bài tốn mang tính tổng quát các em đã
biết tìm hiểu và khai thác phương pháp giải cho từng dạng liên quan. Từ kết quả
của bài tốn cụ thể các em cũng hình thành dần thói quen xem xét, phát biểu bài
tốn tổng qt hoặc bài tốn tương tự. Đây là những thói quen tích cực và cần
thiết đối với người học tốn.
•
Ở những khố học sinh mà tơi trực tiếp giảng dạy, ơn tập và bồi dưỡng
trong các kỳ thi có nhiều HS đạt kết quả cao. Hơn nữa, khi các em học lên
THPT đều học mơn Tốn rất tốt trong đó các khố học sinh ra trường năm học
2014-2015, 2015-2016 ...
•
Thành cơng của đề tài cịn thúc đẩy tơi mạnh dạn đem cách làm này vào
giảng dạy, khai thác những dạng bài tốn khác và đều cho hiệu quả rất tốt.
•
Đề tài cũng góp thêm một tài liệu, một phương pháp bồi dưỡng học sinh
khá giỏi để đồng nghiệp tham khảo, rút kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân.
II. CÁC VẤN ĐỀ CẦN LƯU Ý KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

♦ Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Tốn THCS để từ đó đưa ra cho
học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo khả năng tiếp thu của đối
tượng học sinh.
♦ Khơng "rót" kiến thức và phương pháp cho các em khiến các em thụ động,
thiếu tìm tịi sáng tạo.Cần kiên trì tìm chọn cách xây dựng kiến thức cũng
như phương pháp để các em có cơ hội được tự khám phá.
♦ Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy. Từ đó có sự
điều chỉnh nâng dần hợp lý mức độ khó của các bài tập phù hợp với quá
trình phát triển tư duy của học sinh nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
♦ Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng
Toán cho học sinh.

17/19


Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

Trên đây tôi đã trình bày phương pháp hướng dẫn HS lớp 8 giải dạng tốn tìm
nghiệm hữu tỷ của đa thức 1 biến. Các chun đề khác hồn tồn có thể làm
tương tự.
Với kinh nghiệm ít ỏi trong cơng tác chun mơn và sự nhiệt tình vì chất
lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy
nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tơi rất mong cũng có
nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời
góp ý bổ sung để tơi có hướng đi tốt hơn trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng
tốn cho học sinh.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

18/19

Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng tốn: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Vũ Hữu Bình - Nâng cao và phát triển toán 7,8 - NXB Giáo dục - 2003
2) Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 - NXB
Giáo dục - 2004
3) Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao và các chuyên đề
đại số 7 - NXB Giáo dục
4) Sách giáo khoa toán 7 - NXB Giáo dục - 2007
5) Vũ Hữu Bình - Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 7,8 - NXB Giáo dục - 2004
6) Hoàng Kỳ - Đại số sơ cấp - Nhà xuất bản giáo dục 2001
7) Các đề thi học sinh giỏi các năm học .

19/19