Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số (GV trần xuân nhàn)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 54 trang )
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa tính đơn điệu:
Cho hàm số y f ( x) xác định trên tập K .
x , x �K , x1 x2 � f ( x1 ) f ( x2 )
Hàm số y f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu 1 2
.
x , x �K , x1 x2 � f ( x1 ) f ( x2 ) .
Hàm số y f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu 1 2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K .
Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm f ( x) , ta hay
T
dùng tỉ số :
f ( x1 ) f ( x2 )
, x1 �x2
x , x �K
x1 x2
và 1 2
. Cụ thể là:
f ( x1 ) f ( x2 ) cùng dấu với x1 x2 ).
Nếu T 0 thì hàm f ( x) đồng biến trên K . (Tức là
f ( x1 ) f ( x2 )
x x
Nếu T 0 thì hàm f ( x) nghịch biến trên K . (Tức là
trái dấu với 1 2 ).
2. Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):
Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên K .
( x ) 0 với mọi x �K thì hàm f ( x) đồng biến trên K .
Nếu f �
( x ) 0 với mọi x �K thì hàm f ( x) nghịch biến trên K .
Nếu f �
Chú ý:
( x) �0 (hay f �
( x) �0 ) trong trường hợp f �
( x) 0 tại
Định lí trên được mở rộng với f �
một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.
Hoàng Xuân Nhà
1
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
a; b và có đạo hàm f �
( x) 0, x �(a; b) thì hàm số
Nếu hàm số y f ( x ) liên tục trên
đồng biến trên
a; b . (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên a; b ).
Dạng toán 1
Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của
hàm số
Bài tốn 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số.
Phương pháp:
o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
T�
m nghie�
m
� x1 , x2 ...
f�
( x ) ; cho y�
0 ����
o Bước 2: Tính y�
(nếu có).
o Bước 3: Lập bảng biến thiên.
o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các
khoảng của tập xác định.
Lưu ý:
o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học sinh
phải tuyệt đối chính xác.
o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ “trong
trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái dấu a , khu
vực ngồi hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a . Tuy nhiên nếu đạo hàm khơng có dạng bậc
hai, thì thuật ngữ “trong trái ngồi cùng” sẽ khơng thể áp dụng. Vậy có quy tắc nào chung
cho việc xét dấu mọi bài toán?
Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:
x �( ; ) rồi
o Để xét dấu đạo hàm y�trên một khoảng ( ; ) nào đó, ta chọn một giá trị 0
thay vào y�
, từ đó suy ra được dấu của y�trên ( ; ) .
o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác sau
khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm.
3
2
Ví dụ 1. Cho hàm số y x 3x 9 x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Hoàng Xuân Nhà
2
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
3;1 .
C. Hàm số đồng biến trên � .
B. Hàm số đồng biến trên
D. Hàm số đồng biến trên
Lời giải:
9; 5 .
5; � .
Tập xác định: D �.
x 1
�
y�
0� �
x 3 .
3x 6 x 9 ;
�
Ta có y�
Bảng biến thiên:
2
�
x
3
y�
0
0
�
42
y
�
10
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:
khoảng
�
1
3;1 .
�; 3 , 1; � . Hàm số nghịch biến trên
Cho�
n
���
�C
4
2
Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y x 2 x 4 là
A. (1;0) và (1; �).
C. (1;0) và (0;1).
B. (�;1) và (1; �).
D. ( �; 1) và (0;1).
Lời giải:
Tập xác định: D �.
x0
�
y�
0� �
x �1 .
4x 4x ;
�
Ta có: y�
Bảng biến thiên:
3
x
�
y�
y
1
0
0
3
�
1;0 , 1; � .
1
0
�
3
4
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng:
khoảng:
0
�
�; 1 , 0;1 . Hàm số nghịch biến trên các
Cho�
n
���
� A
Hoàng Xuân Nhà
3
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2x 1
x2 .
Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số
A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Lời giải:
y
Tập xác định:
y�
D �\ 2
5
x 2
2
.
0, x �2
Ta có:
Bảng biến thiên:
. Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
x
�
y�
2
�
�
2
y
�
2
Cho�
n
���
�C
2
Ví dụ 4. Cho hàm số y 3 x x . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?
� 3�
�3 �
�0; �
� ;3 �
0;3
2
�
�
A.
.
B.
.
C. �2 �
.
D.
Lời giải:
Tập xác định:
D 0;3
3x x �
y�
2
2 3x x 2
Ta có:
Bảng biến thiên:
x
� 3 �
�; �
�
� 2 �.
.
3 2x
2 3x x
2
;
y�
0� x
0
y�
y
0
3
2
0
3
2
3
2 (nhận).
3
0
� 3�
�3 �
0; �
�
� ;3 � Cho�
n
� A
Kết luận: Hàm số đồng biến trên � 2 �
, nghịch biến trên �2 �. ���
Hoàng Xuân Nhà
4
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 5. Cho hàm số y x 3 2 2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (�; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; 2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( �;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (�; 2) và đồng biến trên khoảng (2; 2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( �;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2) .
Lời giải:
D �; 2
Tập xác định:
y�
1
Đạo hàm:
Bảng biến thiên:
.
1
2 x 1
0 � 2 x 1 � x 1 � y 6.
2 x
2 x ; y�
�
x
1
y�
2
�
6
y
5
�
Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
Cho�
n
���
�B
�;1
và nghịch biến trên khoảng
1; 2 .
x
sin 2 x,
x � 0;
2
Ví dụ 6. Cho hàm số
với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
0; .
0; .
A. Hàm số đồng biến trên
B. Hàm số nghịch biến trên
7 11 �
� 7 �
�
0; �
;
�
�
12
12
12 �
�
�
�
�.
C. Hàm số nghịch biến trên
.
D. Hàm số nghịch biến trên
y
Lời giải:
Tập xác định:
Đạo hàm:
y�
D �; 2
.
1
1
1
2sin x cos x sin 2 x y�
0 � sin 2 x
2
2
2 .
;
�
�
2 x k 2
x k
�
�
6
12
��
��
( k ��)
7
7
�
�
2x
k 2
x
k
�
� 12
6
�
. Do
� 11
x
�
�x � 0;
� � 12
�
7
k ��
�
�
x
� 12
.
Hoàng Xuân Nhà
5
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bảng biến thiên:
x
7
12
0
y�
+
0
11
12
0
+
y
7 11 �
�
;
n
�
� Cho�
�D
Ta thấy mệnh đề đúng là: Hàm số đã cho nghịch biến trên �12 12 �. ���
Ví dụ 7. Hàm số
y 2 x 2 3x 5
�3 5 �
�; �
A.
và �4 2 �
� 5�
�; �
�
C. � 2 �.
�; 1
Tập xác định:
D �; 2
đồng biến trên khoảng nào ?
� 5�
1; �
�
B. � 2 �
.
� 3�
1; �
�
D. � 4 �và
Lời giải:
�5
�
� ; ��
�2
�
.
.
2 �
2 x 2 3x 5 4 x 3
u
�
�
�
2
u
.
u
u
.
u
y�
u � u 2 2 u u
2 2 x 2 3x 5
2
u
Áp dụng cơng thức
, ta có:
.
��
3
1 �x �
��
3
4
�
2
��
1 x �
�
2
x
3
x
5
4
x
3
�
0
�
�
�
5
4
y�
�0 � �
� ��
��
x�
2
5
�
�
�� 2
x
�2 x 3 x 5 �0
�
� 2
5
�x ٹ1� x
�
2
Xét
.
2
� 3�
1; �
�
4 �và
�
Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng:
�5
�
� ; �� ���
Cho�
n
�D
�2
�
.
Bài toán 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận về tính đơn điệu hàm số
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:
f ( x) , g ( x)
Cho hàm số
cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
�
�
�
k. f x �
x với k là hằng số
�
x �g �
x
�
� k . f �
�f x �g x �
� f �
Hoàng Xuân Nhà
6
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
�
�
x . g x f x .g �
x
�f x .g x �
� f �
� f �x .g x f x .g �x
�f x �
�
�
2
�
g x �
�g x �
�
�
� .f u
�
�f u �
� u ��
y f x ����
T hay x b�
�
iu
� y f u
Ví dụ 8. Cho hàm số
trên khoảng:
1; � .
A.
f x
f�
x x 2 x 1 . Hàm số đã cho đồng biến
có đạo hàm trên � là
B.
�; � .
0;1 .
C.
Lời giải:
�;1 .
D.
Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu:
x0
�
f ' x 0 � x 2 x 1 0 � �
x 1 .
�
Ta có
Bảng biến thiên:
�
x
y�
y
0
0
�
1
0
�
�
Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
1; � .
Cho�
n
���
� A
Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).
f ' x x 2 x 1 �0 � x 1 �0
2
(do x �0, x ��) ۳ x 1 .
1; � .
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Ta có:
Ví dụ 9. Cho
hàm
số
f�
x x 2 x 1
2018
y f x
x 2
2019
liên
tục
trên
�
và
có
đạo
hàm
.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x �2 .
1; 2 và 2; � .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
2; 2 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Lời giải:
Hoàng Xuân Nhà
7
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
f�
x x 2 x 1
Ta có
x 2 4 x 1
2018
x 2
2018
x 2
2019
x 2 x 1
2018
x 2
2018
x 2
2018
.
f�
x �0 � x 2 4 x 1
2018
x 2
2018
2018
�
x 1 �0
�
, x ��
�
2018
�0 � x 2 4 �0
x
2
�
0
�
(do �
)
Xét
x �2
�
��
x �2 . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng �; 2 , 2; � ; hàm số nghịch biến trên
�
khoảng
2; 2 .
Cho�
n
���
�D
y f x
f ' x x 2 5 x 6, x ��
y 5 f x
Ví dụ 10. Cho
có đạo hàm
. Hàm số
nghịch
biến trên khoảng nào?
�; 2 và 3; � .
3;� .
B.
A.
2; � .
2;3 .
D.
C.
Lời giải:
g x 5 f x , x ��
g�
x 5 f �
x mà f ' x x 2 5 x 6, x �� nên
Đặt
. Ta có
g�
x 5 x 2 5 x 6 5 x 2 25 x 30 ;
g�
x �
��
0 5 x 2 25
x�
0 2 x 3
g x
30 �
2;3 .
Xét
. Do đó hàm số
nghịch biến trên
Cho�
n
���
�D
Ví dụ 11. Cho hàm số
y f x
g x f x x2 1
A.
3; � .
Ta có:
có đạo hàm
f�
x 3 x x 2 1 2 x, x ��. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
�;1 .
1; 2 .
1;0 .
B.
C.
D.
Lời giải:
g�
x f �
x 2 x 3 x x 2 1 2 x 2 x 3 x x 2 1
;
x3
�
f�
x 0 � 3 x x 2 1 0 � �
x �1 .
�
Bảng biến thiên:
x
y�
�
1
0
1
0
3
0
Hoàng Xuân Nhà
�
8
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
y
ơ
Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng
Ví dụ 12. Cho hàm số
y f x
�; 1 , 1;3 .
Cho�
n
���
�C
y f ' x
xác định trên � và có đạo hàm
thỏa mãn
f ' x 1 x x 2 g x 2021
g x 0, x ��.
trong đó
y f 1 x 2021x 2020
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào?
0;3 .
�;3 .
1; � .
3; � .
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Đặt
h x f 1 x 2021x 2020 � h�
x 1 x �. f �
1 x 2021 f �
1 x 2021.
Theo đề
Do đó
f�
x 1 x x 2 g x 2021 � f �
1 x x 3 x g 1 x 2021.
Thay x bởi 1 – x
h�
x 3 x g 1 x 2021�
x �
�
� 2021 x x 3 g 1 x
g x 0, x ��� g 1 x 0, x ��.
Mặt khác
Cho�
n
h�
��
0
x x �
3 0 � 0 x 3. ���
x �
�A
Do đó
Ví dụ 13. Cho hàm số
y f x
.
f�
x x 2 x 1 .g x 1 trong
có đạo hàm liên tục trên � và
g x 0, x ��
y f 2 x x
đó
. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng
sau?
� 5�
� 3�
2; �
1; �
�
�
�; 1 .
0; 1 .
A. � 2 �.
B.
C. � 2 �.
D.
Lời giải:
Đặt
h�
x 2 x �f �
2 x x� f �
2 x 1.
, suy ra
f�
x x 2 x 1 .g x 1
h x f 2 x x
Ta có
� f�
2 2 x 1�
2 x 2 x �
�
�g 2 x 1 2 x 5 2 x g 2 x 1
h�
x �
2 x 5 2 x g 2 x 1�
�
� 1 x 2 5 2 x g 2 x .
g x 0, x ��� g 2 x 0, x ��
Theo đề,
, do đó:
5
h�
��
0 x 2
0
2 x
.
2x �
x �
5�
2
.
Do đó:
Hồng Xn Nhà
9
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
y f 2 x x
Vậy hàm số
� 5�
2; �
.
�
Cho�
n
� A
đồng biến trên � 2 � ���
Bài toán 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận về tính đơn điệu
Phương pháp chung:
g x
g�
x .
o Đặt
là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm
o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để có được bảng xét
g�
x .
dấu cho
g�
x để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
o Dựa vào bảng xét dấu của
Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:
f x
+
-
+
-
g x
+
-
-
+
f x .g x
+
+
-
-
f x : g x
+
+
-
-
f x g x
+
-
Chưa biết
Chưa biết
y f x
y 2018. f x
Ví dụ 14. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số
đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
- �
x
+�
1
+
y�
+�
+�
y
0
A.
�; 0 .
0
B.
1; � .
0; � .
C.
Lời giải:
D.
�;1 .
g�
x 2018. f �
x .
, ta có:
g�
�
۳
x �
2018. f �
x 0 f �
x 0 x 1.
Xét
Cho�
n
y 2018. f x
1; � . ���
�B
Vậy hàm số
đồng biến trên khoảng
Đặt
g x 2018. f x
Ví dụ 15. Cho hàm số . Hàm số có bảng xét dấu như sau:
x
�
2
1
f�
( x)
0
0
3
0
�
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Hoàng Xuân Nhà
10
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A.
0;1 .
Đặt
B.
2; 1 .
2;1 .
C.
Lời giải:
D.
4; 3 .
g x f x2 2 x � g �
x x 2 2 x �. f �
x2 2 x 2x 2 . f � x 2 2 x
.
2 x 2 �0
2 x 2 �0
�
�
�
g x �0 � 2 x 2 . f �
(1)
�
(2)
x 2 2 x �0 � �
� 2
� 2
f�
x 2 x �0
f�
x 2 x �0
�
�
Xét
�x �1
�x �1
�
2 x 2 �0
�
x ��
� 2
�
��
��۳
x 1
x 2 x �2
� 2
��
��
x 2 x �0 ��x 2 2 x �3 ��x �3
�f �
��
��
x �1
��
Giải (1), ta có:
. (*)
�x �1
�x �1
2 x 2 �0
�
�2
�
�
� �x 2 x �2 � �x ��
� 3 �x �1
� 2
�
�
�f x 2 x �0 �x 2 2 x �3
3 �x �1
�
�
Giải (2), ta có:
. (**)
x �S 3; 1 � 1; �
2; 1 �S , do đó
Hợp hai kết quả (*), (**), ta được:
. Ta thấy
x � 2; 1
Cho�
n
�B
thì hàm số nghịch biến. ���
Giải thích ():
t �2
�
f�
t �0 � �
t �3 .
�
o Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng có được:
�
x 2 2 3
2 x �2
1
�2
�
� t
f�
x 2 3
2 x ��0 � �2
�1
x 2 3
2 x �3
t
�
�
1
�
2
t
�
o Thay t bởi x 2 x , ta có:
.
Ví dụ 16. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
- �
x
- 4
- 1
2
+
+
0
0
0
f�
(x)
Hàm số
A.
+�
4
0
-
2 2
x 8x 5
3
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
� 1�
1; �
�
1;
�
.
�; 2 .
B.
C. � 2 �.
D.
Lời giải:
y f (2 x 1)
1;7 .
Hoàng Xuân Nhà
11
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Đặt
g x f (2 x 1)
2 2
4
2
�
�
x 8x 5 � g �
(2 x 1) x 8 2 �f �
(2 x 1) x 4 �
x 2 f �
3
3
3
�
�.
1
5
�5
�
�x �
x �
�
�
4 �2 x 1 �2
�
2
2
2
f�
(2 x 1) �0 � �
��
f�
(2 x 1) �0 � �
2 x 1 �4
3
1
3
�
�
�
x�
�x �
� 2
�
2
2.
Xét
; do đó
2
x 4 0 � x 6.
Xét 3
Ta có bảng xét dấu tạm thời như sau:
- �
x
-
5
2
1
2
-
3
2
-
f�
(2 x 1)
+
2
x- 4
3
-
-
-
-
Chưa
biết
dấu
-
Chưa
biết
dấu
-
f�
(2 x 1)
2
x4
3
0
+
0
0
+�
6
0
+
Chưa
biết
dấu
� 5 1 ��3 �
; ��
,
;6 �
�
g x
2
2
2
�
��
�.
Từ bảng trên, ta thấy hàm số
chắc chắn nghịch biến trên các khoảng:
� 1� � 5 1�
1; ���
; �
.
�
Cho�
n
�C
Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn vì � 2 � � 2 2 � ���
Đúc kết: Qua bài trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu các biểu thức vốn là bài tốn khơng quen
thuộc của đa số học sinh (các em chỉ quen xét dấu tích, thương các đa thức mà thơi). Vì vậy, ta cần
rút ra thuật tốn cho loại toán này.
g�
x k. f �
x h x khi đã biết bảng xét dấu của f �
x , k là hằng số.
Bài toán: Xét dấu
h x 0
x , x ...
o Cho
để tìm các nghiệm 1 2 (nếu có).
x, k . f �
x , h x , kf �
x h x theo quy
o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho
tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì
chưa xác định được dấu.
Ví dụ 17. Cho hàm số
- �
x
f�
(x)
Hàm số
+
y f x
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
- 1
0
1
-
0
+
y 3 f x 2 x3 3 x2 9 x 2018
0
+�
5
2
+
0
-
nghịch biến trên khoảng nào dưới đấy?
Hoàng Xuân Nhà
12
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3�
�
�; �
�
2�
A. �
.
� 3�
0; �
�
B. � 2 �.
2; �
C.
Lời giải:
�3 �
� ;1�
D. � 2 �.
.
g�
x 3 f �
x 2 3x 2 6 x 9 .
; đạo hàm:
1 � x 2 �1 �
3 � x �1 �
3 �x �1
�
3 f �
��
��
x 2 �0 � f �
x 2 �0 � �
x 2 �5
x �3
x �3 .
�
�
�
Xét
3 �x �1
�
3 f �
x 2 �0 � �
x �3
�
Do đó
.
Đặt
g x 3 f x 2 x 3 3x 2 9 x 2018
x 1
�
3x2 6 x 9 0 � �
x 3 .
�
Xét
Bảng xét dấu tạm thời như sau:
- �
x
- 3
+�
3
1
3 f �
x 2
+
0
-
0
+
3x 2 6 x 9
+
0
-
0
+
3 f �
x 2 �
�
x
�g �
2
3x 6 x 9 �
+
+
0
-
0
+
3;1
�3 �
;1�� 3;1
�
g x
mà � 2 �
nên hàm
Ta thấy hàm số
g x
chắc chắn nghịch biến trên
0
+
Chưa
biết
dấu
�3 �
;1 � Cho�
�
n
�D
2 �. ���
�
nghịch biến trên
Dạng tốn 2
Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm
số
3
2
y
ax
bx
cx
d đơn điệu trên �.
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số
Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: D �.
3ax 2 2bx c .
o Bước 2: Đạo hàm y�
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a �0 ).
�۳��
y� 0, x �
Hàm số đồng biến trên
� 0, x �
�ۣ
ۣ
�y�
Hàm số nghịch biến trên
a y� 0
�
�
�
Gia�
i t�
m
y��0 ���
�
� m.
a y� 0
�
�
�
Gia�
i t�
m
y��0 ���
�
� m.
Hoàng Xuân Nhà
13
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
3
2
Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y ax bx cx d có a chứa tham số thì ta cần xét a 0 để kiểm tra
xem hàm số có đơn điệu trên � hay khơng.
ax b
y
cx d ( c �0, ad bc �0 ) đơn điệu trên mỗi
Bài tốn 2: Tìm tham số m để hàm số
khoảng xác định của nó.
Phương pháp:
�d�
D �\ �
�
�c .
o Tập xác định:
ad bc
(cx d ) 2 .
o Đạo hàm:
o Điều kiện đơn điệu:
y�
Gia�
i t�
m
0, x �D � ad bc 0 ���
�m .
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định � y�
Gia�
i t�
m
0, x �D � ad bc 0 ���
�m .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định � y�
ax b
cx d có c chứa tham số thì ta nên xét c 0 để kiểm tra xem hàm số có
Lưu ý: Nếu hàm số
đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay khơng.
y
Bài tốn 3: Tìm tham số m để hàm số
xác định của nó.
Phương pháp:
� e�
D �\ �
�
d .
�
o Tập xác định:
y
ax 2 bx c
dx e
( ad �0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng
a b
a c
b c
Ax 2 Bx C
A
�
0
B
2
,
C
0 d
0 e
d e.
( dx e) 2
o Đạo hàm:
với
,
o Điều kiện đơn điệu:
y� 0, x D
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ۳�
y�
�A 0
� Ax 2 Bx C �0, x ��� �
Gia�
i t�
m
�m .
� �0 ���
0, x �D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định � y�
�A 0
� Ax 2 Bx C �0, x ��� �
Gia�
i t�
m
�m .
� �0 ���
Lưu ý:
ax 2 bx c
y 2
dx ex f thì ta cũng làm theo phương
Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số
pháp nêu trên.
Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài toán 2, bài toán 3 là: Đối với bài
�0, y�
�0. Lý do
toán 2, đạo hàm y�
chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ khơng được cho y�
Hồng Xuân Nhà
14
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
0 thì sẽ có vơ số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y�
0 tại một
là nếu ta cho y�
số hữu hạn điểm x mà thơi).
Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số
biến trên �.
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 4 .
Lời giải:
Ta có
y
1 3
x mx 2 8 2m x m 3
3
đồng
D. m 4 .
y�
x 2 2mx 8 2m
Hàm số đồng biến trên
. Nhận thấy a 1 �0 .
a0
�
۳����
y� 0, x ��
� �
�
�0
�
�
1 �0
�
�2
m 8 2m �0
�
4 m 2.
Cho�
n
�A
Ta thấy m 2 thỏa mãn đề bài. ���
y m 1 x 3 m 1 x 2 2m 1 x 5
Ví dụ 19. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số
nghịch biến trên tập xác định.
5
2
7
2
�m �1
�m 1
�m 1
�m �1
A. 4
.
B. 7
.
C. 2
.
D. 7
.
Lời giải:
y�
3 m 1 x 2 2 m 1 x 2m 1
Ta có:
.
�
y
3
0,
x
�� nên hàm số đã cho nghịch biến trên �. Do đó
Xét m 1 0 � m 1 , ta có:
m 1 thỏa mãn. (*)
1 0
m 1 . Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:
Xét m �۹
m 1 0
�
m 1
�
2
�
�� 2
� �m 1
�
2
7
7 m 5m 2 �0
�
m 1 3 m 1 2m 1 �0
�
�
. (**)
2
�m �1
Cho�
n
�D
Hợp các kết quả của (*) và (**), ta có 7
thỏa mãn đề bài. ���
Nhận xét: Hai ví dụ trên có sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a ln khác 0; trường
hợp cịn lại thì a chứa tham số m, khi đó ta phải xét thêm a 0 để kiểm tra xem đạo hàm có ln
mang một dấu thỏa mãn đề bài khơng.
x m2
y
x 4 đồng biến trên từng
Ví dụ 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
khoảng xác định của nó?
Hồng Xn Nhà
15
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. 5.
Tập xác định:
B. 2.
D �\ 4
C. 3.
Lời giải:
y�
. Đạo hàm:
D. 1.
4 m2
x 4
2
.
0, x �4
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó � y�
� 4 m 2 0 � m 2 4 � m �(2; 2) . Vì m ��� m � 1;0;1 .
Cho�
n
�C
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn. ���
Ví dụ 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
khoảng xác định của nó?
A. 5 .
B. Vơ số.
C. 7 .
y
9x m
mx 1 nghịch biến trên từng
D. 3 .
Lời giải:
90
Nhận thấy c m chưa chắc khác 0 nên ta xét c m 0 trước. Khi đó y 9 x có y�
(khơng thỏa mãn đề bài).
9 m2
y�
2
mx 1 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Xét c m �0 , ta có
� y�
0, x �
m 3
�
1
� 9 m2 0 � �
m 3 . Vì m ngun nên có vơ số giá trị m thỏa mãn đề
m
�
Cho�
n
�B
bài. ���
x 2 m 1 x 1
y
2 x
Ví dụ 22. Hàm số
nó khi các giá trị của m là
m �
5
2.
C.
D. 1 m 1 .
Lời giải:
g x
x 2 4 x 2m 1
y�
2
2
D �\ 2
2 x
2 x
Tập xác định:
. Đạo hàm:
.
�0, x �D
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y�
A. m �1 .
B. m 1 .
( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của
Hoàng Xuân Nhà
16
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
g x x 2 4 x 2m 1 �0, x �D
�
"
"
D
(Dấu
chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên )
5
�
���
0���
4
1 .
2m 1 0 2m 5 0 m
Cho�
n
g
�C
2 . ���
Bài tốn 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên �.
Phương pháp:
Cách giải 1: Cô lập m về một vế.
y�
f�
x , cho y� f �
x �0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên �.
o Tính đạo hàm
y�
f�
x �0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên �.
Ngược lại:
g m �h x
g m h x ; g m �h x ; g m h x
o Cô lập m để có được dạng
(hoặc
).
h x
h x
o Tìm Max-Min cho hàm số
trên �. (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm
).
o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.
Cách giải 2: Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất
t � 1;1 .
o Đặt t sin x (hoặc t cos x ) với điều kiện
a.1 b �0
�
a sin x b �0, x ��� at
b
�
0,
t
�
1;1
�
�
14 2 43
a. 1 b �0
�
t sin x
o Bất phương trình:
.
a.1 b 0
�
a cos x b 0, x ��� at
b
0,
t
�
1;1
�
�
14 2 43
a. 1 b 0
�
t cos x
o Hoàn toàn tương tự:
.
Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y ax b . Vì đạo hàm của
;
nó khơng đổi dấu trên
y �0, x � ;
bất kì nên chỉ cần y ( ) �0, y( ) �0 thì
; tương
�
a. b 0
�
�y 0
y ax b 0, x � ; � �
��
.
a. b 0
y 0
�
�
tự như thế:
Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị của m �� để hàm số y sin x cosx mx đồng biến trên �.
A. 2 �m � 2 .
B. 2 m 2 . C. m � 2 .
D. m � 2 .
Lời giải:
cosx s inx m .
Ta có: y�
�0, x ��� cosx s inx m �0, x ��
Hàm đồng biến trên � � y�
m �s
inx�۳cos
x�
, x �
Ta thấy giá trị lớn nhất của
m
� �
2 sin �x
, x �
�
� 4�
. (*)
� �
2 sin �x �
� 4 �bằng 2 nên (*) ۳ m
Cho�
n
�C
2. ���
Ghi nhớ:
Hoàng Xuân Nhà
17
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
g x
o Giả sử hàm
tồn tại Max-Min trên �. Ta có:
m �g�۳
x , x � m Max g x
m g x , x ��� m Max g x
m�
��
g x
, x �
�
m
g x
�
Min g x
m g x , x ��� m Min g x
�
�
không tồn tại Max-Min trên �, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm
M g x M 2
được điều kiện bị chặn: 1
, khi đó:
m �g�۳
x , x � m M 2
m �۳
g x , x � m M 2
o Nếu hàm
m ��
�g x
, x �
m
�g�
x , x �
m M1
Ví dụ 24. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số
biến trên tập xác định �.
5
m�
2.
A.
m M1
y 3 sin 2 x cos 2 x 2m 1 x 2021
đồng
5
3
m�
m � .
2.
2
B.
C.
D.
Lời giải:
y�
2 3 sin 2 x 2 cos 2 x 2m 1
y� 0, x �
Ta có:
. Hàm số đồng biến trên � ۳�
m
5
2.
� 2 3 sin 2 x 2 cos 2 x 2m 1 �0, x ��
�3
�
1
� �
� 2m 1 �4 �
sin
2
x
cos
2
x
, x ��� 2m 1 �4sin �
2x �
, x ��
�
�2
�
2
6�
�
�
�
(*)
� �
4sin �
2x �
(*) -�2�m 1
6 �bằng 4 nên
�
Ta thấy giá trị nhỏ nhất của
4
m
3
.
2
Cho�
n
���
�D
Ví dụ 25. Cho hàm số y (2m 1) sin x (3 m) x . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số đã cho
đồng biến trên �.
1
m .
2
A.
� 1 2�
m ��
; �
.
� 2 3�
B.
� 2�
m ��
4; .
� 3�
�
C.
Lời giải:
1�
�
m ��
4; �
.
2�
�
D.
(2m 1) cos x 3 m .
Đạo hàm: y�
y� 0,
x��
� (2m 1) cos x 3 m 0, x � (*)
Hàm số đồng biến trên � ۳��
Đặt
t cos x, t � 1;1
. (*) được viết lại:
(2m 1)t 3 m �0, t � 1;1
1 4 4 2 4 43
g (t )
Hoàng Xuân Nhà
18
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
� 2
2m 1 3 m �0
m�
�g (1) �0
�
�
��
��
�� 3
2m 1 3 m �0
�g (1) �0
�
�
m �4
�
� 2�
m ��
4;
� 3�
�thỏa mãn đề bài.
. Vậy
Cho�
n
���
�C
ax b
cx d
c �0, ad bc �0
Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số nhất biến
đơn điệu trên
một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
Phương pháp:
�d�
D �\ �
�
c .
�
o Bước 1: Tập xác định:
y
ad bc
(cx d ) 2 .
o Bước 2: Đạo hàm
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu:
y�
0
ad bc 0
�y �
�
�
�
K��
��d
d
x
�
,
x
�
K
�K
�
�
Gia�
i t�
m
c
�
�c
���
�m .
Hàm số đồng biến trên
0
ad bc 0
�y�
�
�
�
K��
��d
d
x
�
,
x
�
K
�K
�
�
Gia�
i t�
m
c
�
�c
���
�m .
Hàm số nghịch biến trên
Hoàng Xuân Nhà
19
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
y
Mở rộng Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số
trên khoảng K cho trước.
t u x � t�
u�
x
(1)
ad bc
at b
f t
� f�
t
2
ct d
ct d
c �0, ad bc �0
đơn điệu
Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai
vế phải của (1) và (2).
Cách tính nhanh đạo hàm loại này
Đặt
a .u x b
c .u x d
y�
ad bc
.u �
x
2
c
.
u
x
d
�
�
�
�
(2)
Nếu học sinh thực hiện cách tính như trên vài lần thì những bài sau đó các em có thể nhẩm
được đạo hàm rất nhanh chóng và chính xác.
m 1 cos x m
y
2 cos x m . Ta thực hiện như bảng sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số
Đạo hàm của hàm số đã
cho là tích hai vế phải của
(1) và (2).
sin x (1)
Đặt t cos x � t �
f t
m 1 t m �
2t m
f�
t
m m 1 2 m
2t m
2
y�
m 3m
2
2t m
2
2 cos x m
2
. sin x
(2)
Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để hàm số
khoảng
A. 3.
m 2 3m
y
x6
x 5m nghịch biến trên
10; � ?
B. Vô số.
C. 4.
Lời giải:
D. 5.
D �\ 5m
Tập xác định :
.
5m 6
y�
2
x 5m
10; � � y� 0, x � 10; �
Ta có
. Hàm số nghịch biến trên khoảng
� 6
5m 6 0
m
6
�
�
��
�� 5
� 2 �m .
5m � 10; �
5
�
�
5m �10
�
Cho�
n
� m � 2; 1; 0; 1 ���
�C
Do m ��
.
Hoàng Xuân Nhà
20
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
khoảng
A. 2 .
y
mx 4
m x nghịch biến trên
3;1 ?
B. 3 .
Tập xác định:
D �\ m
C. 1 .
Lời giải:
y�
;
Hàm số nghịch biến trên khoảng
D. 4 .
m2 4
m x
2
3;1
0, x � 3;1
� y�
.
�2 m 2
�
�
m 40
m �3
�
��
��
�
�
m � 3;1 � ��
m �1
�
� 1 �m 2 .
2
Cho�
n
�C
Do m �� nên m 1 . Vậy có một giá trị m thỏa mãn đề bài. ���
Ví dụ 28. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
y
tan x 2
tan x m
��
�0; �
đồng biến trên � 4 �.
A. m 2 .
C. 1 �m 2 .
B. m �0 hoặc 1 �m 2 .
D. m �0 .
Lời giải:
��
��
tan x �
m �۹
0, x� �
0; � m tan x, x �
0; �
4
4�
�
�
�
Điều kiện:
۹����
m tan x,
tan x
0;1
m
m �0
�
�
m �1 . (*)
�
0;1
Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:
Đạo hàm của hàm số đã cho
là tích hai vế phải của (1) và
(2).
1
cos 2 x (1)
Đặt
t 2
m 2
f t
� f�
t
2
t m
t m
t tan x � t �
y�
m 2
1tan4 2x 4m3
2
.
1
2
cos
{ x
(2)
Hoàng Xuân Nhà
21
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
��
y�
0, x ��
0; �� m 2 0 � m 2
4�
�
Ta có
.
(**)
m �0
�
�
Cho�
n
1 �m 2 . ���
�B
Từ (*) và (**) suy ra �
� �
sin 2 x 1
� ; �
sin 2 x m đồng biến trên �12 4 �.
Ví dụ 29. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
1
m�
2.
A. m �1 .
B. m 1 .
C.
D. m 1 .
Lời giải:
1
x �
2x �
sin 2 x 1
4
6
2
2
Ta có: 12
. Học sinh
y
dùng đường trịn lượng giác để kiểm chứng.
� �
sin 2 x m �0, x �� ; �
�12 4 �
Điều kiện:
1
�
� 1
m �
m�
�1 � �
� m �sin 2 x, sin 2 x ��
;1 ��
2�� 2
�
�2 � �
m �1
m �1 (*)
�
�
Đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số đã cho
là tích hai vế phải của (1) và
(2).
2cos 2 x (1)
Đặt t sin 2 x � t �
t 1
m 1
f t
� f�
t
2
tm
t m
(2)
y�
m 1
1sin4422x 4m43
2
.2 cos
2x
123
1
m�
2 thỏa mãn đề bài.
Ta có: m 1 0 � m 1 (**). Từ (*) và (**) ta có
Cho�
n
���
�C
Bài tốn 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với
K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
Phương pháp:
� �
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y = f (x) .
Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
y� 0, x
Hàm số đồng biến trên K ۳"�
K.
y� 0, x K .
Hàm số nghịch biến trên K ۣ"�
Bước 3:
Hoàng Xuân Nhà
22
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Cách 1:
Biến đổi theo dạng m � g(x), " x �K (hoặc m � g(x), " x �K ).
Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi x �K .
Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.
Cách 2:
Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y = 0 (x phụ thuộc m).
Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).
�
3
2
Bài tốn mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên một
khoảng có độ dài p.
Phương pháp:
2
�
o Bước 1: Đạo hàm y = 3ax + 2bx + c .
o Bước 2:
�
Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p � y có hai nghiệm
�
a<0
�
�
�
x1 - x2 = p � �
� D y�
�
=p
�
�
a
�
�
y
x,x
�
phân biệt 1 2 thỏa mãn
.
- �
x
-
y�
x1
0
x2
+
0
+�
-
�
Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p � y có hai nghiệm
phân biệt
x1, x2
x
- �
y�
thỏa mãn
�
a>0
�
�
�D
x1 - x2 = p � �
� y�
�
=p
�
�
a
�
� y�
x1
+
0
-
.
+�
x2
0
+
Lưu ý:
o Dạng này không cần điều kiện a �0, D > 0 vì điều kiện
o Điều kiện
x1 - x2 = p
D
= {p
a
+
đã bao hàm hai ý trên.
có thể được xử lý theo hai cách chính:
Một là sử dụng định lí Vi-ét:
x1 - x2 = p � x12 - 2x1 x2 + x22 = p2
Hoàng Xuân Nhà
23
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2
� b�
�
c
�
�
�
- 4 - p2 = 0
�
�
2
2
�
�
a�
a
� (x1 + x2 ) - 4x1 x2 - p = 0
Hai là tự chế công thức:
� x1 - x2 =
x1 =
.
- b+ D
- b- D
, x2 =
2a
2a
b+ D + b+ D
D
2 D�
=
=
2a
a
a
(công thức này rất tiện lợi cho trắc
nghiệm).
o Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài p, �p, p, �p ” ta cũng sẽ
làm tương tự.
3
2
Ví dụ 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y x 6 x mx 3 đồng biến trên
0; � .
khoảng
A. m �12 .
B. m �0 .
C. m �0 .
Lời giải:
D. m �12 .
3x 2 12 x m
Ta có: y�
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2
�
3x�
12
�x�۳
m 0, x
0;
0; �
�0 , x � 0; �
khi và chỉ khi y�
3x 2 12 x x � 0; �
,
.
m
2
Xét f ( x) 3x 12 x với x 0 .
( x) 6 x 12 ; f �
( x) 0 � x 2 .
Ta có f �
Bảng biến thiên:
�
x
f�
x
f x
2
0
�
12
�
�
Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m �12 .
Cho�
n
���
�D
y x 4 2 m 1 x 2 m 2
Ví dụ 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
đồng biến trên
Hoàng Xuân Nhà
24
1
PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
1;5 là:
khoảng
A. m 2 .
B. 1 m 2 .
y�
4 x 3 4( m 1) x 4 x x 2 m 1
C. m �2 .
Lời giải:
D. 1 �m �2 .
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
1;5
�0 , x � 1;5
khi và chỉ khi y�
�
4{ x�
m
1 �0, x (1;5)
x 2 m 1� 0, x (1;5)
�
x2 ��
x 2 1, x (1;5)
m
.
( x) 2 x 0 � x 0 (loại).
Xét f ( x) x 1 với 1 x 5 . Ta có: f �
Bảng biến thiên:
�
x
�
1
5
f�
x
2
26
f x
2
Cho�
n
�C
Do đó giá trị m thỏa mãn yêu cầu của bài toán là m �2 . ���
Ví dụ 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
[1;+�) ?
nghịch biến trên nửa khoảng
14 �
�
� 14
�
; ��
� �; �
�
15 �.
�.
A. �
B. � 15
y=
�
14 �
�
�
- 2; 15 �
�
�
C. �
.
Lời giải:
mx 3
+ 7mx 2 +14 x - m + 2
3
�
14 �
�
�
- �; �
�
15 �
�
D. �
.
mx 2 14mx 14 . Điều kiện đề bài tương đương với tìm m để:
Ta có y�
�2
�
y�
mx 2 14mx 14 �0, x � 1; � � m �1
x4
14
x
2 43 ��14, x � 1; �
�
�
ۣۣ
�
m �
14
, x
x4
1
214
43x
2
1;
. Đến đây, ta có hai cách đánh giá hàm số vế phải.
Cách 1:
�x 2 �1
, x � 1; � � x 2 14 x �15, x � 1; �
�
14
x
�
14
Ta có: �
14
14
��
���
, x�
1;
2
x 14 x 15
14
x 14 x
2
14
, x
15
1;
.
Hoàng Xuân Nhà
25
