SKKN: Chuyên đề cực trị

Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

PHẦN I
MỞ ĐẦU
1/ Lí do chọn đề tài:
Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh rất khó
hiểu các bài toán cực trị của các đại lượng điện xoay chiều. Hơn nữa, đây là phần
bài tập vận dụng nhiều kiến thức toán học khó để giải.
Mặc khác, khi xét về ý nghĩa Vật lí của các đại lượng điện xoay chiều, con
người luôn tìm hiểu, khảo sát để tìm sự tối ưu, tìm đến trạng thái cực trị (maximum
and minimum) của chúng, nhằm ứng dụng có hiệu quả nhất cho đời sống trong lĩnh
vực điện xoay chiều.
Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề “CỰC TRỊ CỦA CÁC ĐẠI
LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU” nhằm giúp các em học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết
thông qua các bài tập tự luận và vận dụng giải nhanh các bài tập trắc nghiệm dạng
toán này.
Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã cố gắng trình bày
chuyên đề một cách ngắn gọn và đầy đủ nhất để các em học sinh dễ hiểu. Rất mong
sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề thật sự
là tài liệu tham khảo bổ ích.
2/ Phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.
* Để hoàn thành đề tài này tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau đây:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
+ Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách Đại học và tư liệu từ
các bạn đồng nghiệp trên mạng Internet.
+ Đọc các sách lí luận để làm cơ sở cho việc trình bày hệ thống lý thuyết của
chuyên đề.
- Phương pháp thống kê:
+ Chọn các bài tập có trong chương trình và những bài tập giúp luyện ôn cho
các kì thi tốt nghiệp, Cao đẳng và Đại học.
* Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này giới hạn trong chương V: Dòng điện xoay chiều của chương trình Vật lí
12 nâng cao hiện hành.
Trang 1
C
R
L
A
B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

PHẦN II: NỘI DUNG
CHUYÊN ĐỀ
CỰC TRỊ CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
- Các đại lượng cực trị thường khảo sát:
* cường độ dòng điện; tổng trở
* điện áp giữa hai đầu của một phần tử hoặc một phần đoạn mạch
* công suất và hệ số công suất.
- Phương pháp chung:
* Viết biểu thức đại lượng cực trị (I, P, U
R
, U
L
, U
C
…) theo đại lượng cần tìm (R, L, C,
ω
).
* Xem khi đó trong mạch có xảy ra hiện tượng cộng hưởng dòng điện hay không?
+ Nếu trong mạch có cộng hưởng, dùng lập luận => giá trị cần tìm.
+ Nếu trong mạch không có cộng hưởng, dùng một trong các phương pháp sau để giải:

1/ Bất đẳng thức Cô-si (cauchy) và hệ quả của nó
2/ Tính cực trị của tam thức bậc hai
3/ Khảo sát hàm số.
V ấn đề 1: CỰC ĐẠI CỦA CƯỜNG ĐỘ DÒNG ĐIỆN ( I
max
).
1.1. Hướng dẫn học sinh phân tích dạng toán.
- Giả sử xét đoạn mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp:
- Để I
max
thì phải có sự biến đổi các đại lượng điện trong mạch. Cụ thể:
* R biến thiên
* L biến thiên
* C biến thiên
*
ω
biến thiên (dẫn tới f biến thiên)
* và các cách biến thiên khác …
=> Dạng bài tập chủ yếu là tìm các giá trị R, L, C,
ω
để I
max
và ngược lại.
1.2. Bài tập tự luận – chứng minh công thức.
Bài toán:
Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = U
o
cosωt. Cuộn dây thuần cảm.
Lần lượt cho biến thiên các đại lượng điện (R, L, C, ω).
Tìm giá trị các đại lượng R, L, C, ω để I

max
và biểu thức
cường độ dòng điện cực đại (I
max
) ứng với các đại lượng trên.
Giải
Trang 2
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Trường hợp 1: Cho R biến thiên từ 0 đến

∞
(rất lớn).
Các đại lượng khác có giá trị không đổi và Z
L
≠ Z
C
.

- Định luật Ôm cho:

)(R
U

Z
U

22
CL
ZZ −+
==I
(1)
- Nếu R biến thiên, I
max
khi: R = 0
- Từ (1) =>
CL
max
ZZ
U
I

−
=
Vậy:
0
=
R
=>
CL
max
ZZ
U
I
−
=
Trường hợp 2: Cho L, C, ω biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có
giá trị không đổi.
+ Cho L biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Định luật Ôm cho:

)(R
U

Z
U

22

CL
ZZ −+
==I
(1)
- Nếu Z
L
biến thiên, I
max
khi Z cực tiểu. Khi đó Z
L
– Z
C
= 0 =>
2
Cω
1
L =
- Từ (1) =>
R
U
I
max
=
Vậy:
2
Cω
1
L =
=>
R

U
I
max
=
+ Cho C biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Định luật Ôm cho:

)(R
U

Z
U

22
CL
ZZ −+
==I
(1)
- Nếu Z
C
biến thiên, I
max
khi Z cực tiểu. Khi đó Z
C
– Z
L
= 0 =>
2

L
1
C
ω
=
- Từ (1) =>
R
U
I
max
=
Vậy:
2
L
1
C
ω
=
=>
R
U
I
max
=
+ Cho
ω
biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Định luật Ôm cho:

22
22
)
1
(R
U

)(R
U

Z
U

ω
ω
C
L
ZZ
CL
−+
=
−+
==
I
(1)
- Nếu ω biến thiên, I
max
khi Z cực tiểu. Khi đó Z
C
– Z

L
= 0 =>
LC
ω
1
=
- Từ (1) =>
R
U
I
max
=
- Vậy:
LC
ω
1
=
=>
R
U
I
max
=
Trang 3
C
R
L
A
B
C

R
L
A
B
C
R
L
A
B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Học sinh cần nhớ để áp dung trắc nghiêm:

*
0
=
R
=>
CL
max
ZZ
U
I
−
=

*
2
Cω
1

L =
hoặc
2
L
1
C
ω
=
hoặc
LC
ω
1
=
=>
R
U
I
max
=

1.3. Bài tập trắc nghiệm – Đáp án.
Câu 1: Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp
u = U
o
cosωt. Cuộn dây thuần cảm. Cho R biến thiên từ 0
đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi và Z
L
≠ Z

C
.
Câu 1.1: Với giá trị nào của R thì cường độ dòng điện cực đại ?
A. R = 0 B. R→∞ C. R=Z
L
D. R=Z
C
.
Câu 1.2: Khi cường độ dòng điện đạt cực đại thì đại lượng nào sau đây cũng đạt cực
đại?
A. Điện áp U
R
giữa hai đầu điện trở thuần
B. Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch điện
C. Hệ số công suất cosϕ của đoạn mạch điện
D. Không đại lượng nào kể trên.
Câu 1.3: Tiếp câu 1.2. Cho Z
L
= 20Ω, Z
C
= 75Ω, U = 220V. Tính I
max
.
A. 11A B. 4A C. 2,9A D. Các giá trị khác A, B, C.
Câu 2: Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = U
o
cosωt. Cuộn dây
thuần cảm. Cho L biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị

không đổi.
Câu 2.1: Với giá trị của L có biểu thức nào thì cường độ
dòng điện đạt cực đại ?
A. L = CR B.
2
Cω
1
L =
C.
ωC
1
L
=
D.
C
L
ω
=
Câu 2.2: Khi cường độ dòng điện đạt cực đại thì các đại lượng nào kể sau cũng đạt
cực đại ?
Trang 4
C
R
L
A
B
C
R
L
A

B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

A. Điện áp U
R
giữa hai đầu điện trở thuần
B. Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch điện
C. Hệ số công suất cosϕ của đoạn mạch điện
D. Các đại lượng A, B, C.
Câu 2.3: Tiếp câu 2.2. Cho R = 400Ω, Z
L
= 300Ω, U= 240V. Tính I
max
.
A. 0,8A B. 0,6A C. 0,48A D. Giá trị khác A, B, C.
Câu 3: Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = U
o
cosωt. Cuộn dây
thuần cảm. Cho C biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị
không đổi.
Câu 3.1: Với giá trị của C có biểu thức nào thì cường độ dòng điện đạt cực đại ?
A. C = CR B.
ωL
1
C
=
C.
2

L
1
C
ω
=
D.
L
C
ω
=
Câu 3.2: Khi cường độ dòng điện đạt cực đại thì các đại lượng nào kể sau cũng đạt
cực đại ?
A. Điện áp U
R
giữa hai đầu điện trở thuần
B. Công suất tiêu thụ bởi đoạn mạch điện
C. Hệ số công suất cosϕ của đoạn mạch điện
D. Các đại lượng A, B, C.
Câu 3.3: Tiếp câu 3.2. Cho R = 80Ω, Z
L
= 60Ω, U= 120V. Tính I
max
.
A. 2A B. 1,2A C. 1,5A D. Giá trị khác A, B, C.
ĐÁP ÁN
Câu
1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3
Đáp án
A D B B D B C D C
V ấn đề 2: CỰC ĐẠI CỦA ĐIỆN ÁP.

2.1. Hướng dẫn học sinh phân tích dạng toán.
- Giả sử xét đoạn mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp:
- Tương tự cường độ dòng điện cực đại. Để điện áp (giữa hai đầu của một phần tử hoặc một phần
đoạn mạch) đạt cực đại thì phải có sự biến đổi các đại lượng điện trong mạch.
=> Dạng bài tập chủ yếu là tìm điện áp cực đại (giữa hai đầu của một phần tử hoặc một phần
đoạn mạch) khi các đại lượng điện R, L, C,
ω
biến đổi.
Trang 5
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

2.2. Bài tập tự luận – chứng minh công thức.
Loại 1: ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU ĐIỆN TRỞ CỰC ĐẠI (U
R max
).
Bài toán:
Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = U
o
cosωt. Cuộn dây thuần cảm.
Xét điện áp hiệu dụng U

R
giữa hai đầu điện trở. Lần lượt
cho biến thiên các đại lượng điện (R, L, C, ω). Tìm giá trị
các đại lượng R, L, C, ω để U
R max
và biểu thức U
R max
ứng
với các đại lượng trên.
Giải
Trường hợp 1: Cho R biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị
không đổi và Z
L
≠ Z
C
.

- Ta có:
2
222
)(
1
)(
R
ZZ
U
ZZR
RU

RIU
CLCL
R
−
+
=
−+
==
(1)
- Khi
∞→
R
:
0
)(
2
2
→
−
R
ZZ
CL
- Từ (1) =>
UU
R
=
max
- Vậy:
∞→
R

=>
UU
R
=
max
Trường hợp 2: Cho L, C, ω biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có
giá
trị không đổi.
- Ta có:
22
)(
CL
R
ZZR
U
R
Z
U
RRIU
−+
===
(1)
- Khi cho L hoặc C hoặc ω biến thiên, Z
L
và Z
C
biến thiên.
- Vì R không đổi:

RIU
R
=
đạt cực đại khi I
max
(Z
min
) => cộng hưởng điện
=>
0
=−
CL
ZZ
=>
ωC
1
L
=
ω
.
- Từ (1) =>
UU
R
=
max
- Vậy:
0
=−
CL
ZZ

=>
UU
R
=
max
Học sinh cần nhớ để áp dung trắc nghiêm:
*
∞→
R
hoặc
2
Cω
1
L =
hoặc
2
L
1
C
ω
=
hoặc
LC
ω
1
=
=>
UU
R
=

max
Loại 2: ĐIỆN ÁP HAI ĐẦU CUỘN DÂY CỰC ĐẠI (U
L max
).
Trang 6
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

Bài toán:
Cho đoạn mạch xoay chiều được đặt vào điện áp u = U
o

cosωt. Cuộn dây thuần cảm.
Xét điện áp hiệu dụng U
L
giữa hai đầu cuộn dây. Lần lượt
cho biến thiên các đại lượng điện (R, L, C, ω). Tìm giá trị
các đại lượng R, L, C, ω để U
L max
và biểu thức U
L max
ứng
với các đại lượng trên.
Giải
Trường hợp 1: Cho R biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị
không đổi và Z
L
≠ Z
C
.

- Ta có:
22
)(
CL
L
LL
ZZR
UZ
IZU

−+
==
(1)
- Vì Z
L
; Z
C
có giá trị không đổi, ta suy ra R = 0: I
max
=> U
L max
- Từ (1) =>
CL
L
L
ZZ
UZ
U
−
=
max
- Vây:
0
=
R
=>
CL
L
L
ZZ

UZ
U
−
=
max
Trường hợp 2: Cho L, C, ω biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có
giá trị không đổi.
+ Cho L biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Để tìm U
L max
trong trường hợp này ta dùng các
phương pháp sau:
1/ Tính chất cực trị của tam thức bậc hai
2/ Phương pháp hình học
3/ Đạo hàm.
1/ Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai:
- Ta có:
22
)(
CL
L
LL
ZZR
UZ
IZU
−+

==
1
2
2
22
+−
+
=
L
C
L
C
Z
Z
Z
ZR
U
(1)
Đặt







−=>+==
+−
+
=

CC
L
L
C
L
C
ZbZRa
Z
x
Z
Z
Z
ZR
A
2;0 ;
1
1
2
22
2
22
- Suy ra: A = ax
2
+ bx + 1. Đồ thị của tam
thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh
ứng với A
min
(bề lõm hướng lên).
- Khi A
min

thì U
L max
:
Trang 7
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
C
R
L
A
B
a
A
4
min
∆
−=
A
a
b
2
−

x
o
Trường THPT Pleiku -Gia Lai Giáo viên: Nguyễn Văn Hoành

* Khi đó:
)(2
2
1
2
22
C
C
L
ZR
Z
Za
b
x
+
=⇒−=
2
2
2
1
ω
C
CRL
Z
R
ZZ

C
CL
+=⇒+=⇒
và
22
2
22
222
min
)(4
4)(4
4
CC
CC
ZR
R
ZR
ZZR
a
A
+
=
+
−+
=
∆
−=
- Từ (1) =>
R
ZRU

U
C
L
22
max
+
=
- Vây:
2
2
1
ω
C
CRL
+=
=>
R
ZRU
U
C
L
22
max
+
=
2/ Phương pháp hình học
- Vẽ giản đồ véc tơ và giải tam giác
- Từ hình vẽ ta có:
α
β

αβ
sin
sin
sinsin
UU
U
U
L
L
=⇒=
mà
22
sin
C
RC
R
ZR
R
U
U
+
==
α
; U không đổi.
=> U
L max
khi
1sin
=
β

=>
R
ZRU
U
C
L
22
max
+
=
- Vậy:
R
ZRU
U
C
L
22
max
+
=
=>
2
2
1
ω
C
CRL
+=
3/ Phương pháp đạo hàm
- Ta vẫn tính được kết quả:

2
2
1
ω
C
CRL
+=
=>
R
ZRU
U
C
L
22
max
+
=
.
+ Cho C biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
- Ta có:
22
)(
CL
L
LL
ZZR
UZ
IZU

−+
==
(1)
- Vì R và Z
L
không đổi. Khi đó
0
=−
CL
ZZ
thì I
max
(cộng hưởng điện) và U
L max
- Từ (1): =>
U
R
Z
U
R
Z
IZU
C
L
LL
===
maxmax
- Vây:
2
L

1
C
ω
=
=>
U
R
Z
U
R
Z
U
C
L
L
==
max
+ Cho
ω
biến thiên từ 0 đến
∞
(rất lớn). Các đại lượng khác có giá trị không đổi.
Trang 8
o
R
U
RC
U
C
U

L
U
U
I
α
β
C
R
L
A
B