Tài liệu Phân 8: Hệ phương trình lượng giác doc

CHƯƠNG IX:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
( )
()
2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩


Ta có:
()
1
1cosx
2
⇔ =


()
xk2k

3
π
⇔=±+ π∈Z

Với
xk
3
2
π
=+ π
thay vào (2), ta được
23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=+π=
⎜⎟
⎝⎠

Với
x
3
π
=− + πk2
thay vào (2), ta được

23
sin 2x sin k4
32

π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
= +π∈
xkk


Bài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+ =
⎧
⎪
π
⎨
+=
⎪
⎩

Cách 1:

Hệ đã cho
xy xy
2sin .cos 1
22
xy
3
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
+=
⎪
⎩


π−
−
⎧
⎧
=
=
⎪
⎪

⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
π
⎪⎪
+=
+=
⎪
⎪
⎩
⎩
xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
3


4
2
2
3
3
−

⎧
−= π
=π
⎧
⎪
⎪⎪
⇔⇔
π⎨⎨
π
+=
⎪⎪
+=
⎩
⎪
⎩
xy
x yk
k
xy
xy
()
2
6
2
6
π
⎧
=+ π
⎪
⎪

⇔∈
⎨
π
⎪
=−π
⎪
⎩
xk
kZ
yk


Cách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3
sin 1
2
3
32
2
6

2
6
π
π
⎧
⎧
=−
=−
⎪
⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
⎛⎞
⎪⎪
+−=
+ =
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠
⎩
⎩
π
⎧
π
⎧
=−
=−
⎪

⎪
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+ =+ π
⎜⎟
⎪
⎪
⎩
⎝⎠
⎩
π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=− π
⎪
⎩

yx

yx
xx
x x
yx
yx
x
x k
xk
k
yk


Bài 175: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 2 (1)
cos x cos y 2 (2)
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩


Cách 1:
Hệ đã cho
xy xy
2sin cos 2 (1)
22
xy xy

2cos cos 2 (2)
22
+−
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
+−
⎪
=
⎪
⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22
−
=
không là nghiệm của (1) và (2) )

24

22
22
+π
⇔=+π
ππ
⇔+=+ π⇔=−+ π
xy
k
x ykyxk

thay vào (1) ta được:
sin x sin x k2 2
2
π
⎛⎞
+−+π=
⎜⎟
⎝⎠


sin x cos x 2⇔+=


2 cos 2
4
2,
4
π
⎛⎞
⇔−

⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π
⎧
=+ π∈
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
= +− π ∈
⎪
⎩


xhh

ykhkh

Cách 2: Ta có
A BACB
CD ACBD
=+=
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=−=
⎩⎩
D+
−

Hệ đã cho
( ) ( )
()()
⎧− + − =
⎪
⇔
⎨
++−=
⎪
⎩
⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎪⎝⎠ ⎝⎠

⇔
⎨
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⎪
++ +=
⎜⎟ ⎜⎟
⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩
sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44
2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1
4
sin sin 2
44
sin 1
4
2
42
2
42

sin sin 0
44
xy
xy
x
xy
y
xk
yh
xy
⎧π π
⎛⎞⎛⎞
− +−=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎧π π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪
−+ −=
⎜⎟⎜⎟
⎪
⎪
π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ

⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞
⎩
+=
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎩
⎧
ππ
+=+π
⎪
⎪
ππ
⎪
⇔+=+π
⎨
⎪
⎪
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −=
⎜⎟⎜⎟

⎪
⎝⎠⎝⎠
⎩


π
⎧
=+ π
⎪
⎪
⇔
⎨
π
⎪
=+ π ∈
⎪
⎩
xk2
4
yh2,h,k
4
Z


Bài 176: Giải hệ phương trình:
−− =
⎧
⎪
⎨
+=−

⎪
⎩
tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)




Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy− =+


()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0
1tgx 0(VN)
⎧
+=
−=⎧
⎪⎪
⇔∨−=
⎨⎨
+≠
⎪
⎩
⎪
+=

⎩

(
xy k kZ
4
π
⇔−=+π ∈
)
,
với
x, y k
2
π
≠ +π


xy k
4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π
≠ +π

Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π

⎛⎞
+ ++ π=−
⎜⎟
⎝⎠


cos 2 3 s 2 1
31 1
s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞
⇔−=⇔−
⎜⎟
⎝⎠
1
2
=


()
5
222 2
66 6 6
y h hay y h h Z
ππ π π
⇔−=+π −=+π ∈

,,
62
(lọai)yhhhayyhh
ππ
⇔=+π ∈ =+π ∈


Do đó:
Hệ đã cho
()
()
5
6
,
6
xkh
hk Z
yh
π
⎧
=++π
⎪
⎪
⇔∈
⎨
π
⎪
=+π

⎪
⎩


Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)
sin x sin y cos x 0 (2)
⎧
−+=
⎪
⎨
−+=
⎪
⎩

Lấy (1) + (2) ta được:
33
sin x cos x 0+ =

33
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
xk(k
4
⇔=−
⇔=−

⇔=−
π
⇔=−+π∈Z)

Thay vào (1) ta được:
( )
32
sin y cos x cos x cos x 1 cos x
=− = −


==
2
1
cos x.sin x sin 2x sin x
2


ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4
⎞
π
⎟
⎠

π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟
⎝⎠
1
sin k
24


⎧
⎪
⎪
=
⎨
⎪
−
⎪
⎩
2
(nếu k chẵn)
4
2
(nếu k lẻ)
4

Đặt
2

sin
4
α=
(với
02
< α< π
)
Vậy nghiệm hệ
()
ππ
⎧⎧
=− + π ∈ =− + + π ∈
⎪⎪
⎪⎪
∨
⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩
 


x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h

yh2,hyh2,h


II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩


Điều kiện:
cos x.sin y 0≠

Cách 1: Hệ đã cho
() ()
11
sin x y sin x y
22

sin x.cos y
10
cos x.sin y
⎧
+ +−=
⎡⎤
⎣⎦
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−=
⎪
⎩
−


() ( )
() ()
()
+ +−=⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
−
+ +−=⎧

⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0
−


( )
()
+=−
⎧
⎪
⇔
⎨
−=
⎪
⎩
π
⎧
+=−+ π ∈
⎪
⇔
⎨
⎪

−=π ∈
⎩


sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h


()
()
ππ
⎧
=− + + ∈
⎪
⎪
⇔
⎨
ππ
⎪
=− + − ∈
⎪
⎩
≠


x2kh,k,h
42

y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)