phuong trinh bat pt he pt he bpt mu logarit day du nhat

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ MŨ Hành Trình Vạn Dặm Bắt Đầu Từ Một Bước Chân. 1. Giải phương trình:. 2x. 2.  2x. 3  2;. x 1 x. CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 2. Giải phương trình: 5 .8. BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Chú ý: Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hoá.. Phương pháp. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 1. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:  a 1  f x g x a   a     0  a 1  f  x  g  x   a  0   a  1  f  x   g  x   0 hoặc . x. 500.. Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình  k   k  1a(k  1)x .....1a x  0 0. VD minh hoạ. x Khi đó đặt t a điều kiện t>0, ta được:  k t k   k  1 t k  1 ......1 t  0 0. 1. Giải phương trình: 2. 2 x  x . sin.  2  x  x 2 . 2 3 cos x. 2. Giải phương trình:.  x  3. 3x2  5x 2.  x 2  6x  9 . x2  x  4. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Phương pháp Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng: Dạng 1: Phương trình: 0  a 1,b  0  f x a   b    f  x  log a b Dạng 2: Phương trình : f x a   bg(x)  log a a f (x) log a bf (x )  f(x) g(x).log a b. hoặc. log b a f( x ) log b bg(x ).  f(x).log b a g(x) VD minh hoạ. f (x) Mở rộng: Nếu đặt t a , điều kiện hẹp t>0. 2f(x ) t 2 ,a3f(x ) t 3 ,.....,a kf (x ) t k Khi đó: a 1 a  f(x)  t Và. x x Dạng 2: Phương trình 1a  2a  3 0 với a.b=1 1 bx  x t ta Khi đó đặt t a , điều kiện t<0 suy ra  1 t  2  3 0  1t 2   3t   2 0 t được:. f (x ) Mở rộng: Với a.b=1 thì khi đặt t a , điều 1 bf (x)  t kiện hẹp t>0, suy ra. Dạng 3: Phương trình x. 1a2x   2  ab    3b2x 0. khi đó chia 2 vế của x. 2x a2x ,  a.b phương trình cho b >0 ( hoặc ), ta. 2x. x. a a 1    2    3 0  b được:  b .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a t   ,  b  điều kiện t<0, ta được: Đặ t. Khi đó ta thực hiện phép chia cả 2 vế của phương x trình cho c 0 , để nhận được:. 1t 2  2t   3 0. a  b A.    B    C 0 c c từ đó thiết lập ẩn phụ. x. x. Mở rộng: Với phương trình mũ có chưa các f a2f ,b2f ,  a.b  nhân tử: , ta thực hiện theo các bước sau: 2f Chia 2 vế phương trình cho b  0 (hoặc 2f. a ,  a.b . f. ) f a t    b  điều kiện hẹp t>0 Đặ t Dạng 4: Lượng giác hoá. Chú ý: Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 f (x ) cho trường hợp đặt t a vì: x Nếu đặt t a thì t>0 là điều kiện đúng. x2 1 Nếu đặt t 2 thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải là t 2 . Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số.. x. x. cot g2 x. 1. Giải phương trình: 4 2. Giải phương trình:. . 74 3. . x. . .  2sin x  3 0 ;. 2. 74 3  2 3 đánh giá: ; 2  3 2  3 1 .. . . Ta đã lựa chọn được ẩn phụ phương trình.  9.2x. 2. x. 0 .. 4. Giải pt:. 23x  6.2x . 1 3 x  1. 2. . 12 1 2x .. Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến việc sử dụng phương pháp lượng giác hoá.. . . 1  1  22x  1  2 1  22x .2x. .. . t  2 3. BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 2 Phương pháp. Nhận xét: Như vậy trong ví dụ trên bằng việc. . 1. 2. x. . 2. Chú ý: Trong ví dụ trên, vì bài toán không có tham số nên ta sử dụng điều kiện cho ẩn phụ chỉ 1 t 2 vô nghiệm. là t>0 và chúng ta đã thấy với Do vậy nếu bài toán có chứa tham số chúng ta cần xác định điều kiện đúng cho ẩn phụ như sau: 2 1 2 1 1 1 1  x 2  x  x      2x  x 24  t  4 2 4 4 2 . 5. Giải pt:.  3 2  3  2 0. .  b 1    t. c. 2x 3. Giải phương trình: 2. VD minh hoạ 1. x. a t   ,t  0 c và suy ra. . x. cho. Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng của a.b=1, đó là: a b . 1 c c tức là với các phương trình có x x dạng: A.a  B.b  C 0. *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. *Phương pháp này thường sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. *Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số  là một số chính phương.. a.b c . VD minh hoạ 1. Giải phương trình:. 32x  2x  9 .3x  9.2x 0. . . ;.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. 2. Giải pt:. 2. 9x   x2  3 3x  2x2  2 0. .. 8 2x 18   x  1 1 x x 1 x 1. Giải Pt: 2  1 2  2 2  2  2 ;. BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 3. 2x 2. Giải phương trình: 2 . Phương pháp. BÀI TOÁN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 3 sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương trình và khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích.. 2x  6 6 .. Phương pháp Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng:. VD minh hoạ 2. 2. 2. x  3x 2  4x 6x 5 42x 3x 7  1 ; 1. Giải Pt: 4 2 x2  5x 6  21 x 2.26 5x  m 2. Cho pt: m.2 2.1. Giải phương trình với m=1; 2.2. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.. BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 4 Phương pháp *Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ. *Trong hệ mới thì k-1 thì phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. *Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x, khi đó ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình. Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f  x,   x   0. y   x  Bước 3: Đặt ta biến đổi phương trình y   x   f  x;y  0 thành hệ:  VD minh hoạ. Hướng1: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử đồng biến) Bước 3: Nhận xét: x x 0  f  x  f  x 0  k + Với do đó x x 0 là nghiệm. x  x 0  f  x   f  x  k + Với do đó phương trình vô nghiệm x  x 0  f  x   f  x 0  k + Với do đó phương trình vô nghiệm. Vậy x x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Hướng 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch f  x 0  g  x 0  biến. Xác định x 0 sao cho Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x x 0 Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3) Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến) Bước 3: Khi đó: (3)  u v với u,v  Df.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VD minh hoạ. x 1 x 4 x 2 1. 4  2 2  6 ; 4x 8  4.32x 5  27 0 ; 2. 3. log2 x 3 ; 1. Giải phương trình: x  2.3. 2. Giải Pt:. log3. x 3. Cho pt: 5. 2. .  1 x 2  3x  2  2     5. 2mx 2. . 3x  x2  1. x. 2. 2x2 4mx 2. x 2  2mx  m 4 m  5; 3.1. Giải phương trình với 3.2. Giải và biện luận phương trình . 5. x 2. x. 3. 4.3  9.2 5.6 ; x x x 4. 8.3  3.2 24  6 ; 72x x 6.  0.7   7 x 5. 100 ; x x 3x 1 6. 125  50 2 ; 2 x 1 x 2 x 7. 4x  x.3  3 2x .3  2x  6 ; x 1. BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Phương pháp Với phương trình có chưa tham số: f(x,m)=g(m). Chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y=f(x,m) và đường thẳng (d): y=g(m). Bước 2: Xét hàm số y=f(x,m) + Tìm miền xác định D + Tính đạo hàm y’ ròi giải phương trình y’=0 + Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: + Phương trình có nghiệm  minf  x,m  g(m) max f  x,m  (x  D) + Phương trình có k nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt   d   C   + Phương trình vô nghiệm VD minh hoạ 2 x2  2x 2.   x2  2x m  2 ;. 1. Cho pt: 1.1. Giải phương trình với m=8; 1.2. Giải phương trình với m=27; 1.3. Tìm m để phương trình có nghiệm. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình: x2  4x 3.  1 m4  m2  1  5   có 4 nghiệm phân biệt. 3. Giải và biện luận theo m số nghiệm của x x phương trình: 2  3 m 4  1 .. BÀI TẬP. x 1 x 2 x 4 x 3 10. 7.3  5 3  5 ; x x x 11. 6.4  13.6  6.9 0 ; x 2x  1 12. 4 8 ; 2x 1  3.52x  1 110 ; 13. 5 x x x 14. 3.4  2.9 5.6 ; 2x 8  4.3x 5  27 0 ; 15. 3 x 1 x 2 x 4 x 3 16. 7.3  5 3  5 ;. 1. 1. x x 17. 6.9  13.6.  2  3. 6.. x2  2x 1. 1.  6.4 x 0 ;. .  2 3. . x2  2x  1. 101  10 2  3. . 18.. ;. x 1 x x x 2 19. 5  2  5  2 0 ; 2 2x  3 4x 3x  5 ; 20. 2. x. 1. x. 3. x 2x  1 2 2 21. 9  2 2  3 ; x  log 2  9  2x  3 22. ; x.  3x  2x 2  2 2. x x 8. 5 .8 500 ; x 1 x 2 x 3 x 4 9. 3  3  3  3 750 ;.  2  3    7  4 3  2  3  23. x x x 24. 25  15 2.9 ; x 2  16 10.2 25. 4. 2x2 1. 26. 2. x2  x.  9.2. x 2. ;. 2x 2. 2 0 ; 1 12 23x  6.2x  3 x  1  x 1 2 2 27. ; x. x 2 28. 1  3 2 ; x 29. 2 128 ; x x 30. 4  2  6 0 ; X x 1 3 31. 25  6.5  5 0 ; x x 32. 9  5.3  7 0 ; x x 33. 9  25.3  54 0 ;. x. . 4 2  3. ;.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 x 2 x 34. 3  3 30 ; 2 x 1  82.3x  9 0 ; 35. 3. f x. a   a. 3x 2x 2x 3x 36. 7  9.5 5  9.7 ; 2. 2. x 1  36.3x  3  3 0 ; 37. 9 2 x2 1  3x 1  6 0 ; 38. 9 x. a  0   a  1   f  x   g  x    0 Dạng 2: Với bất phương trình:  a  1   f  x  g  x  f  x g x  a a   a 1   0  a  1   f  x  g  x  hoặc a  0   a  1   f  x   g  x  0 Chú ý: Cần đặc biệt lưu ý tới giá trị của cơ số a đối với bất phương trình mũ.. 3 2. x x 1 39. 4  9 6 ; 2x 2x x x 40. 5 3  2.5  2.3 ; x 41. 2. 2. 2. . 1. 2.  3x 3x  1  2x 1 2x .5x  1  102 x 5 42. ; 43.. 3 5. . x. 2. 2. .  16 3  5. x. x. . ;. x. 2x 3. ;. x. 44. 3.16  2.81 2.36 ;.  45.. 2 2 x. 46.. 2. 47. x. . . lo2x. . x 2. 2. . log2 x. . 2. 1  x 2. ;. 2. x  4  x  2 4 x  4  4x  8. log2 9. 2. log2 x. x .3. x. log2 3. ;. ;. x x 2. x 48. 3 .8 6 ; log 2 x  2x  3log8 x  5 0 ; 49. 2.x. 50. x  x. log2 3.  x  2 51. 52. 4. lg10x. x. log2 5. log2 4 x  2. 6. lg x. x. VD minh hoạ 1. Giải các bất phương trình: 1 2x  1 x2  2x 1.1. 2 ;. ;. 4  x  2 lg100x. 2.3.  1 3     2x   3 53. x. 3. ;. ;. x. 1.2.. x.  1  1  2    6   2x  6     ;. 2x  1  7.3x  1  1  6.3x  9x 1 0 ; 54. 5.3 x x x 1 55. 12.3  3.15  5 20 ;. 2x  1  2x. x.  x  1. 10  3. 1. 2. 2. . 2. x2  2x. . 10  3. . .. x2  2x. 2x  1. x2  2x 1  x.  x 2. CHỦ ĐỀ II: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau: Dạng 1: Với bất phương trình:. . x 1 x 3.   x 2  2x x  1. .. Phương pháp. . 2x  1  2. 2. BÀI TOÁN I: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. . x 3 x 1. Chú ý: Để tránh sai sót không đáng có khi biến đổi bất phương trình mũ với cơ số nhỏ hơn 1 các em học sinh nên lựa chọn cách biến đổi:. log2 2x  x log2 6 2.3log2 4x ; 56. 4 x x 57. 3  5 6x  2 ;. 58.. g x .  a  1   f  x   g  x    0  a  1  f  x   g  x   hoặc. Nhận xét rằng:. . 10  3. . . 10  3 1 . . 10  3  10  3. . Khi đó bất phương trình được viết dưới dạng:. 1.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> . 10  3. . x 3 x 1. .  10  3. . x 1 x 3. . . 10  3. . x  3 x 1  x  1 x 3. 1. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 1.   3  x  Phương 5 pháp   1  x  5 Mục đích chính của phương pháp này là chuyển Vậy nghiệm của bất phương trình là: các bài toán đã cho về bất phương trình đại số  3;  5  1; 5 quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc 2 hoặc các hệ bất phương trình. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ VD minh hoạ . . x  3 x 1 x2  5  0  0  x  1 x 3  x  1   x  3.  . . Phương pháp. x. Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit hoá theo cùng 1 cơ số cả hai vế của bất phương trình mũ. Chúng ta lưu ý 1 số trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình mũ: f(x) Dạng 1: Với bất phương trình: a  b ( với b>0)  a  1   f  x   log a b   0  a  1  f  x   log a b . 1.. 2 Giải bất Pt:. 2.. 9 Giải bất pt:. 2.  . 3  11 2 2. 3.. 5 Giải bất pt: 5x . 4. Giải bất pt:. .  2  2x  2 1 . . 21. 3 x. . x. x. 2.5. 52x  4. . 2 5 2 6. 2.  5. 2x  1. . x. 1. 21. . . 2. ;. x. ;. x. 2x log2 5. ;. 3 5. .. BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 2 Phương pháp. Dạng 2: Với bất phương trình:  a  1   f  x  0   b  0  f (x ) a  b     a  1       f(x)  log a b      0  a  1    f(x)  log a b  . Phương pháp này giống như phương trình mũ. VD minh hoạ 2. x x 1 x 1. Giải bất phương trình: 4  2  4 0 ; 9x  2 x  5 .3x  9  2x  1 0 2. Giải bất pt: .. BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 3 Phương pháp. Dạng 3: Với bất phương trình: a f( x)  bg(x )  lg a f(x )  lg bg( x )  f(x).lga  g(x).lg b hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b. VD minh hoạ 2. x x 1. Giải bất phương trình: 49.2  16.7 ;. Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong bất phương trình và khéo léo biến đổi bất phương trình thành phương trình tích, khi đó lưu ý:  A  0  A  0   B  0 B  0  A.B  0  A.B  0    A  0  A  0    B  0 và  B  0 VD minh hoạ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> x x 2 x 2x 1. Giải bất phương trình: 6  2 4.3  2 ;. x 1 x 7. 4  16  2.log 4 8 ;. x 2x 1  4x  2 ; 2. Giải bất pt: 2  2x  1  2 3. Bất phương trình:.  x 8. 4  2. 5x  1  5x  3  52x log5 2  2.5x 1  16 nghiệm là: 3.1. x 1 ; 3.2. x>1.. có. CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ĐƯỢC GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH. 2 x  1. 2 x  1. 8.  2 0. ;. 1  x. 1 x. 10. 9.4  5.6  4.9 ; 4 x 4 x  9 x 1 9 x ; 11. 8.3. x 12.. 2. . x.  x 1 1 2. ĐẶT VẤN ĐỀ. 2z 13. 6.9. Như vậy thông qua các bài toán trên, chúng ta đã biết được các phương pháp cơ bản để giải bất phương trình mũ và thông qua các ví dụ minh hoạ chúng ta cũng có thể thấy ngay một điều rằng, một bất phương trình có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau. Trong mục này sẽ minh hoạ những ví dụ được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau với mục đích cơ bản là: + Giúp các em học sinh đã tiếp nhận đầy đủ kiến thức toán THPT trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải. + Giúp các em học sinh lớp 10 và 11 lựa chọn được phương pháp phù hợp với kiến thức của mình.. 14.. x.  13.62x. 2. ; x.  6.42x. 2 x 1 15. 4x  3 .x  3. 16.. . 5 2. . 2x  x2 1. 17. 25. x 1. x. .  2.3 x .x 2  2x  6 ;.  5 1 2x  x2 1. 9. . .  2 3. . x2 2 x  m m2 m  1. 5. log3. 19. 5. 5. x 2 x.  0,12. 1 ; log x  1 x. 3. 5 3    3 . 2. x 2.   x  4  .3. log x  1  2x  1. ;. 1. ;. . 2 1; 22. 5 2 log6 x  x log6 x 12 ; 23. 6. log2  x  1. log2 x 24. 2 .3 2. 8  4 3. .  log x  x log x 10 ;. 18. 5. . x2 2 x  m m2 m 1. x 1 x 1. ; 2 34.152x  x. log 1 log 2 32.log3 x  3x log3 9. 2 3. 0 ;. 2. 21. 1. Tìm m dương để bất phương trình sau có. x. 2x.3x 2  5x  3x 2  4x 2 .3x ;. x2  4. VD minh hoạ. 2. 2  5x  3x2  2x . 20..  nghiệm:. 2x 3.  1 22x 1  21    2 9. 1 x.  52 ;. 3. log2  x  2. .5. x  2x  1  7.3 25. 9 log2 x 4 32 ; 26. x 2. 1. 12 ;. 2. x  2x  x  1. 2. BÀI TẬP. 2 x 27. 4x  x.2. x 7 x 1. 2  2 9 ;. x 1 2x 1  122  0 . 28. 3  2. 2 ; 2.  3.2x  x 2 .2x  8x  12 ; x. 2. 1. 1.  1 x  1 x  3 12    3   2.  3  ; loga x loga 4 4  3.x 3. 16 ; 4.. . 5 1. .  x2  x.  2 x. 2.  x 1. CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ. 3. . 2x x  x 4  9.9 x 4  0 ; 5. 3  8.3 2 3x  4  x2  4 .3x  2 1 6. ;. . . 5 1. . BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.  x 2 x. ;. Phương pháp Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ mũ là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> hợp. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải (hệ bậc nhất 2 ẩn, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II và hệ đẳng cấp bậc 2) Bước 3: Giải hệ nhận được. Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu. VD minh hoạ. 1. Giải hệ phương trình:. 32x 2  22y 2 17   x 1 y  2.3  3.2 8. ; m3 x 1  2y 2m  x 1  m2y m  1 ; 2. Cho hệ phương trình: 3 2.1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 2.2. Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên. 2cot gx siny 3 9  sin y 9  81cot gx 2m 3. Cho hệ phương trình:  ; 3.1. Giải hệ phương trình với m=1; 3.2. Tìm m để hệ có cặp nghiệm (x;y) thoả  0 y  2. mãn 2. 2. 42x  2  22x y  4y 1  2y 2 2x2  y 2  3.2 16 .   4. Giải hệ phương trình: 22 x 1 3.2 x y 2  2  2 2x 5. Giải hệ phương trình: 2y  3y 2  2 . 9log2  xy   3 2  xy  log2 3   2 2  x  1    y  1  1 6. Giải phương trình: ; 3x 1 y 2 y 3x 2  2 3.2  3x 2  1  xy  x  1 7. Giải hệ phương trình:  . BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa.. Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc cả 2 ẩn, giải phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết. Bước 3: Giải hệ mới nhận được. VD minh hoạ 3x  3y y  x  2 x  xy  y 2 12 1. Giải hệ phương trình:  . x 2  2x 3  y  y 2  2y 3  x 2. Giải hệ phương trình:  . x y 2  2  y  x   xy  2  2 x  y 2 2 3. Giải hệ Pt :  .. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các: + Tam thức bậc hai +Tính chất hàm số mũ +Bất đẳng thức +…….. Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ hoặc biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn. VD minh hoạ. ..  2x  3y2  1  2x 2  3y2  1   2  x y  1 1 Giải hệ Pt : 2 .3 .. BÀI TẬP  x  y 4x 5 y   x y  3   x3 y  1 1.  ; x y  y x 4 32  log  x  y  1  log3  x  y  2.  3 ;.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3.. x  1 1y 2y  .9 9 3   x  3y 2x  4  x y.  3 2 2    32 2 16. .  . ;. 3y  2xy 5 2 2 .2 x  x 2 1 y   y 3 3.3 y 4.  ; xy 1  2 2 5. lg x  lg y 2 ; 32x  2y 77  y  3x  2 2 7 6. ; 2.log y x. y 3  4y  log xy log y x 2 7.  x ; x y 3.2  2.3  6  x 1 y 1 2  3  19 8.  ; x y  x  y 5 3  x y 5 3 5.3x  y  3 9.  ; 3x 2 2 5y  4y  x  4  2x 1 y  x 10.  2  2 ; 4  x 4  y .3y  x 1   4 x4  y 0 8 x  y  6 11. ;. . . . . 3lg x 4lg y  lg 4 lg3 4x   3y     12. ; 5  logxy  y.x x 2  log y log y  y  3x  1 13.  4 ; 23x 1  2y  2 3.2y 3x  3x 2  xy  1  x  1 14.  2x  xy  y 14   8 log  x 1  y  2  log y 2  x  1  3 15. ;. x. y. y. x.  1  2  1  2. 4 4. .. CHỦ ĐỀ 4: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp Dựa vào các phép toán biến đổi tương đương cho các bất đẳng thức trong hệ bất phương trình, ta có thể tìm được nghiệm của hệ. Phép toán thường A  B    A C BD  C  D  được sử dụng là: Việc lựa chọn phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ bất phương trình mũ thường được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của hệ có nghĩa. Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi tương chuyển hệ về 1 bất phương trình đại số đã biết cách giải. Bước 3: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa ra lời kết luận cho hệ. Với hệ bất phương trình mũ chứa tham số thường được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của hệ có nghĩa. Bước 2: Thực hiện các phép biến đổi tương đương (phương pháp thế được sử dụng khá nhiều trong phép biến đổi tương đương) để nhận được từ hệ 1 bất phương trình 1 ẩn chưa tham số. Bước 3: Giải và biện luận theo tham số bất phương trình nhận được. Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa ra kết luận cho hệ. Chú ý: Đối với hệ bất phương trình mũ 1 ẩn thường được giải từng bất phương trình của hệ, rồi kết hợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình. VD minh hoạ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2. .. Giải hệ bất Pt:. 2. 22x 1  9.2x x  22x 2  2 2x  5   x  4x  3. .. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp Việc lựa chọn đặt ẩn phụ thích hợp cho hệ phương trình mũ, ta có thể chuyển hệ về các hệ đại số đã biết cách giải. Cụ thể ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức của hệ có nghĩa. Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ cho hệ và điều kiện cho các ẩn phụ. Bước 3: Giải hệ nhận được từ đó suy ra nghiệm x; y Bước 4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm tìm được, từ đó đưa ra lời kết luận cho hệ. VD minh hoa. ..  22x  2 2y  1   2 2x 2y log3  2  2  0 Giải hệ bất Pt: .. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Phương pháp Trong phần này chúng ta sử dụng phương pháp cần và đủ đã biết để giải các hệ bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối. VD minh hoạ .. + Các bất đẳng thức cơ bản như: Côsi, Bunhiacôpxki…… + Tính chất trị tuyệt đối ……… Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó. VD minh hoạ. ..  2x y  1  2y  2y  x y y y Giải hệ bất Pt : 2 2  2  2  1 .. CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ LOGARIT CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ Phương pháp Để chuyển ẩn số khỏi lôgarit người ta có thể lôgarit hoá theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, bất phương trình. Chúng ta lưu ý các phép biến đổi cơ bản sau: 0  a 1 log a f(x) b   b f  x  a Dạng 1: Pt: Dạng 2: Phương trình: 0  a 1 log a f  x  log a g  x    f  x  g  x   0 Chú ý: Việc lựa chọn điều kiện f(x)>0 hoặc g(x)>0 tuỳ thuộc vào độ phức tạp của f(x) và g(x).. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất. 22x  22y  2y 1 m  1  2y 2x x 1 2  2  2 m  1. BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp Nhiều bất phương trình đánh giá tinh tế dựa trên: + Tam thức bậc 2. VD minh hoạ 1. Giải phương trình: 2 2 log 9 x  log 3 x.log3. . 2x  1  1. ;. 2. Giải phương trình: log 3 x  log 4 x log 5 x . BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 1 Phương pháp.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Nếu đặt t log a x với x>0 thì: 1 log a k x t k ;log x a  t với 0  x 1 log b c clogb a do đó nếu Dạng 2: Ta biết rằng: a log b x log b a đặt t a thì t x . Tuy nhiên trong log b x nhiều bài toán có chứa a , ta thường đặt ẩn phụ dần với t log b x .. 1. Cho phương trình: log 2  5x  1  .log 4  2.5x  2 m. Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 3 sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức lôgarit trong phương trình và biến đổi phương trình thành phương trình tích. VD minh hoạ .. Giải phương trình: 2 log2  x  x  1   log 2 x.log 2 x 2  x  2 0   .. . . Phương pháp. ; 1.1. Giải phương trình với m=1; 1.2. Xác định m để phương trình có nghiệm x 1 . 2. Giải phương trình:. . Phương pháp. BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 4. VD minh hoạ. log2 x . BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 3. . . . log 6 x . x2  1. x2  1 .log3 x  x 2  1. Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k-1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. VD minh hoạ. .. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 2. 1. Giải phương trình:. . . . . x 2  1  3log 2 x  x 2  1 2. log 2 x . ;. 2. Phương pháp. 2. Giải phương trình:. Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọnẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biết số  là 1 số chính phương. VD minh hoạ .. Giải phương trình: lg 2 x  lg x.log 2  4x   2log 2 x 0. .. 3  log 2  x  4x  5.  2 5  log 2 x 2  4x  5 6. . . .. BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 5 Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 5 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình. Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f  x,   x   =0. y   x  Bước 3: Đặt , ta biến đổi phương.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> y   x   f  x;y  0 trình thành hệ:  .. VD minh hoạ 1. Giải phương trình: log 2  x 2  4   x log 2  8  x  2 . VD minh hoạ .. Giải phương trình:. log 22 x  log 2 x  1 1. .. BÀI TOÁN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. ; 2. Giải phương trình: log 4 5  x2  2x  3 2log 2  x 2  2x  4  3. Giải phương trình: x  3 4. Giải phương trình:. Phương pháp Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến). Bước 3: Nhận xét: x x 0  f  x  f  x0  k + Với do đó x x 0 là nghiệm x  x0  f  x   f  x0  k + Với do đó phương trình vô nghiệm x  x 0  f  x   f  x 0  k + Với do đó phương trình vô nghiệm. Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của phương trình Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Hướng 2: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x) Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Xác định x0 sao cho f(x0)=g(x0). Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=x0.. log 3.  1 x  3x  2  2     5. . . 2. x. log2 5. ;. ;. 3x  x 2  1. 2 .. BÀI TOÁN 8: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ 1. Giải phương trình:. log 3. 2. . . 4  x  x  5 1. BÀI TẬP 1.. log 4  x  3  log 4  x  1  2  log 4 8. ;. 2. 2. 3.. log 5 x  x  2x  65 2. ; lg5  lg  x  10   1 lg  21x  20   lg  2x  1  1  1 1 1  1  lg  x   lg  x    lg  x   2  2 2 2  8; . lg x . 4.. 2 2 5. lg x  3lg x lg x  4 ; log 1 x  3 log 1 x  2 0 3 3 6. ; 2 x log 21  4x   log 2 8 8 2 7. ;. 8.. log. 5. 4. x. 9.. 2.  6  log 5 2x  2 2. . . 2. 10. Hướng 3: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến). Bước 3: Khi đó (3)  u v với u,v  Df. log 2 x. 2. . 4log x x  2log 4x x 3log 2x x 2 2 3. log 3 2  log x 1 x. ;. 3. ;. ;. 2. 11.. log x x  40log 4x x  14log16x x3 0. ; log x.log x.log x  2 3 5 12. log 2 x.log3 x  log 2 x.log 5 x  log 3 x.log 5 x ; 2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x3. 19.. 1   log 2 x 3 2 ; 3 lg  lg x   lg  lg  x   2 0 ; log3  x  1   log5  2x  1  2 ; 2 log 2  x  3  log 2  6x  10   1 0 ; 2.log 6 x  4 x log 4 x ; log x2  x  2 x 1 ; 2 2 log x 4x .log 2 x 12 ;. 20.. log x  x  1   lg 4,5 0. 13. 14. 15. 16. 17. 18.. log3  3x  .log 2 x  log3. . 39. 40. 41. 42.. 43.. 25.. log. 2 2 3. x. .  2x  2 log 2. 3. . log 2 2x  log x 2x  log2 4 x. 28.. 2. ;. 50.. 30. 31..  log2 x. 32.. ;  x  3 log  x  2  4  x  2 log3  x  2 16 2 3. . log  x 3 3 . 1  2x  x. . 1  2;. 2 log 2 36  log 2 81 log 2 3x  4x  15 33. log 2 4 ; 2 log x 1  2x  1  2 34. ; 2 log 2 x   x  1  log 2 x  2x  6 0 35. ; 36. 4.log 9 x  log x 3 3 ;. . . . . 2. x 2  1  x  log 2. 3. ;. ;. . . x 2  1  x 6. log 2 2  log 2  4x  3. ; x  log 1 x  log3 3x 4 3. x. 3. 3. . . ;. 3. . . . . . . x 2  1 .log 5 x  x 2  1. log 4 x . . log 2 6  x log 2 3  x  1 37. ; 38. log 2  x 2  3x  2   log 2  x 2  7x  12 3  log 2 3. 51. 52.. ;. . x2  1. ;. log 2 9x  5.3x 4. . . log x  9. x 1. ;  4.3  2 3x  1 x. x. . ;. . 54.. log x  log3 9  6  1 ; x log 2  2  4   x log 2  2x  12  1. 55.. log 2  x  1  log x 1 16. 53..  log x2  1  log x  2 2. 2. x  x log 4 x. log 20 x . log2 x3 1. . . 8. . 1 lg  x  10   lg x 2 2  lg 4 2 29. ;. 3x2  2. . 4.  5 1. ;. 7 0 6 45. ; 46. log 5 x  log3 x log 5 3.log 9 225 ; 1 log 2  3x  1   2  log 2  x  1  log 2 x  3 47. ; x x 1 log 2 4  4 x  log 1 2  3 2 48. ; log x  2log x  2  log x.log x 2 7 2 7 49. ;. 2.log x log3 x.log 3  2x  1  1 26. ; 3. log3 x  log3 3x  1 0 27. ; 4. x 1. . log x 2  log 4x . 2 9. 4. 3. 44.. log 3 x. log x 3 3  log 3 3 3  6. ; x  2x  3. 2.log 6. log. ;. 2. . log5  5  1  .log 25  5. log 2. . 2. . x  1  1  x  2 log 2 x2  x 0 x. 3 3   log2  x    log2  x   3 x x   21. ; 2 x  lg  x  x  6  4  lg  x  2 22. ; 2 log 2  x  3  log 2  6x  10   1 0 23. ; 24.. .  2 2 56.. log2 x. . x 2. ;. ;. 2. . log2 x. 1  x 2. ;. 2. 57. 58. 59.. log 2  x  1  log 1  x  1  2. log 2  log3  log 2 x   1. x. 2. 2.    4 2 x.  1 lg x  1 2. 60. 61.. 2. ;. ;. .  1  .lg  x 2  1  0. ; log32  x  1    x  5 log 3  x  1   2x  6 0. . log 2 x . . . x2  1 .log 3 x  x 2  1. . log 6 x . . x2  1. ;. ;.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> theo cùng 1 cơ số cả 2 vế bất phương trình. Chúng ta lưu ý các phép biến đổi cơ bản sau: Dạng 1: Với bất phương trình: log a f  x   log a g  x . log 4 x  log 1 x  log 8 x3 5 62. 63.. 16. . x. . . x 1. log 5 5  1 .log 25 5. ;  5 1. ; log x  log x  log 3.log 225 5 3 5 9 64. ; log 9  x  8   log 3  x  26   2 0 65. ; 2 66. x .log x 27.log 9 x x  4 ;.  a  1   0  f  x   g  x    0  a  1     f  x   g  x  . 2. 67. 68.. log3  x  2  log 3 x 2  4x  4 9 2. . log1 2x 6x  5x  1. .  log1 3x  4x2  4x  1  2 0. x 69.. 2.  1 lg 2 x2  1.    4 2 x. 2. ;. ;. .  1 lg  x 2  1 0. ;. 70. log5 x 2  1  log 1 5 log 5  x  2  2log 1  x  2 . . . 5. 25. 71.  x  2 log32  x  1  4  x  1 log3  x  1   16 0 72. 3 2 3 3 log 1  x  2  3 log 1  4  x   log 1  x  6  2 4 4 4. 0  a 1  f  x   0 g x  0     a  1   f  x   g  x    0   . Dạng 2: Với bất phương trình:  a  1  b  0  f  x   a log a f  x   b    0  a  1  f  x   a b  Dạng 3: Với bất phương trình:  a  1  b  f  x   a log a f  x   b    0  a  1  0  f  x   a b . 3 x3 1 VD minh hoạ log3 .log 2 x  log 3   log 2 x x 3 2 73. ; 1. Giải bất phương trình: 74. log x  3x  1  log x  x2  1 ; 2 2 log 3x 7  9  12x  4x   log 2x 5  6x  23x  21  4 log x  5x2  8x  3  2 2. Giải bất phương trình: ; 75. x2 .log 6 5x2  2x  3  x log 1 5x 2  2x  3 x 2  2x BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 6 LOGARIT 3 log 2 x.log3 x log3 x  log 2 x  3 76. Phương pháp 2 x  3 .log 2  x  1   2log x  1 2  77. VD minh hoa 2  x  3 .log x  1 2  2log 2 x  1 ; 1. Giải bất phương trình: 78. 2lg  5 x  1   lg  5  x   1   x  2 ; log 2 x  x log7  x  3   2log 7  x  3  log 2 x 2  log3  35  x3  3 log  5  x  CHỦ ĐỀ 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 2. Giải bất phương trình: ; 3. Giải bất phương trình: BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP 1 log 1 x  log 1 1  3 x  1 BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 2 3 3 ; Phương pháp. . . . Để chuyển ẩn số khỏi loga người ta có thể mũ hoá. .

<span class='text_page_counter'>(15)</span> BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 1 Phương pháp Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về bất phương trình đại số quen biết đặc biệt là các bất phương trình bậc 2 hoặc các hệ bất phương trình VD minh hoạ. VD minh hoạ .. Giải bất phương trình: log3 x.log 2 x  2log 3 x  log 2. x 4. BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ. 1. Giải bất phương trình: Giải bất phương trình:  1   x3   32  log 2 x  2  4 log3  8 log 24  x   log 1 2    9log 2  2   4log 1 2  x   x 1  ; 8 x  2  2 2. Giải bất phương trình: Chú ý: Trong ví dụ trên các em cần lưu ý khi 1 1 thực hiện các phép biến đổi cho 2 toán tử:  log 1 2x 2  3x  1 log 1  x  1 2 2 3 3 3     3 x  x  x  3 . log 1 2    log 1      log 1    8 8 8     2  2 2  BÀI TẬP 2  2  x3    log 2     log 2 x 3  log2 8  x 2  8x  1 8 log 2     2 x  1 1. ; 2   2 x log 2  2  1   log3  4x  2 2 log 1 2  x   log 1 2  x     log 2  x   log 22  x  2. ; 2  2  2 log 1 x  3x  2  1 2 3. ; BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ-DẠNG 2 log 9 3x 2  4x  2  1  log 3 3x 2  4x  2 4. ; Phương pháp x 5 1 log x3  6x 3 ; VD minh hoạ 5. 2x  1 1 log 4  . Giải bất phương trình: x 1 2; 6. log 32 x  log 2  8x  .log 3 x  log 2 x 3  0 . 1  log x  x   2 4  ; BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT 7. .. . . . . . ẨN PHỤ-DẠNG 3 Phương pháp Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong bất phương trình và biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích, khi đó lưu ý:  A  0  A  0   B  0 B  0  A.B  0  A.B  0    A  0  A  0    B  0 và  B  0. . . .  x3   32  log24 x  log 21    9log 2  2   4.log21 x x  2 8  2 8. ; 2 2x  log 2 x  4x  4  2   x  1  log 1  2  x  2 9. log x2  4x  5 1 10. ; 11. log 2 x  log 2x 8 4 ;. .  12.. . . x2  4x  3  1 log 5 . 1 x. . x 5. . 8x  2x2  6  1 0. ;.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  4x 13. 14.. 2.  16x  7  log 3  x  3 0. 2. ;. 1 log3 x2  5x  6  log 1 x  2  log 1  x  3 2 3 3 log3. 15.. 2x  3 1 1 x ;. . 16. log 2 x  log 3 x  1  log 2 x.log3 x ; 1 1  log 1 2x 2  3x  1 log 1  x  1  3 3 17. ; 2 log 2  x  3x  2 18. ; 2 log 5  x  11x  43   2 19. ; 2 log 1 x  4x  6   2 2 20. ; log 1  x  1  log 2  2  x  2 21. ; 2 x  6x  9 log 1   log 2  x  1  2 x  1   2 22. ; x  18  2  log 4 18  2x .log 2    1 8   23. ; x log x  log 9 3  9   1 24. ; log 1  x  1   log 1  x  1   log 3  5  x   1 3 3 25. ; log3x  x2  3  x   1 26. ; 2 log x  x  x  2  1 27. ; 2  2  x 2  7x  12   1  x  28. 2  14x  2x 2  24  2 log x x;. . 31. 32.. . log0,3. . . . x 5  x 1 0. . 2  5x  3x 2. . x. . . .  2x  1  log x   1 x  1   47. ; 2 1  log3 x 1 48. 1  log3 x ; 3 log2 3 x  2log 4 x  1 4 49. ; 3 log5 35  x 3 log5  5  x  50. ; 1 log x2  x 1 2x2  2x  1  2; 51. 1 log 7 x  log 7 x  2 2 52. ;. . ;. . ;. 8. . ;. 2. ;. log x  log 2 4  6  1 ; log x  log x  log x.log 3 5 3 5x; 44. log2 x2  9x  8 2 log2  3  x  45. ; 1 log x 2 2  log 2 x   log 2x 2 ; 46.. 1 log3 x2  5x  6  log 1 x  2  log 1  x  3 2 3 3. . 8. 43.. . log5 x2  4x  11  log11 x2  4  11. 33.. 42.. log x 5x2  8x  3  2. ; x  3  1 3 log 4 3x  1 .log 1   16  4 4. log 2 x  1  log 2   2x  2. 1  9.log 1 2 x  1  4log 1 x. . . ;. 1  log 2  x  2 6  x 40. 2x  1 ; log 1  x  1  2 0 2 2x  x  8 41. ;. . . 30.. 39.. . . x 5 0 log 2  x  4   1. . 2. . . 29.. 38.. . .  1  log 9 x   log3 x   4  34. ; 4x  5 1   log x2   x  2   2; 35. 1 log 1  x  1   log 1 1  3 2  x 2 2 2 36. ; 3 1 log 4 3 x  log 2 x  1 2 2 37. ; 2. 3. 0. . 2. ;. log2  x  1  log3  x  1 53.. x 2  3x  4. 3. 0. ;.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> lg x 2  3x  2. . 54.. lg x  lg2.  2. 55.. ; log x 3  5x  18x _  16   2. 56.. log2x 64  log x2 16 3.  3 4 x  x  1 3y   x  y  log x 1(2) 3 1. Giải hệ Pt:  ; 2 2 4x  y 2   log  2x  y   log 3  2x  y  1 2. Giải hệ Pt:  2 .. . 2. 57.. 2 1 2. ;. ;. 2. log x  log 1 x  0 4. ;. 1  log x  x   2 4  58. ; 2 2x  log 2  x  4x  4  59.  2   x  1  log 1  2  x  2. 60. 61.. log. . x 2  x. . 2 log. 2 x 1. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp ;. ;. 1   2.log 225  x  1 log5   .log 1  x  1   2x  1  1  5. 62.. log 4 2x 2  3x  2  1  log 2 2x 2  3x  2. . . . ;.  x3   32  log 24 x  log 21    9log 2  2   4log 21 x 8 x  2 2 63. ; log 22 x  log 1 x2  3  5 log 4 x 2  3. . 64. 65.. 2. . log 1 9. x 1. . .  1  2  log 1 3. 2. 2. x 1. 7. . . ;. Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải các hệ lôgarit là việc sử dụng các ẩn phụ. Tuỳ theo dạng của hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức của hệ có nghĩa. Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đã biết cách giải (hệ đối xứng loại I, loại II và hệ đẳng cấp bậc hai) Bước 3: Giải hệ nhận được. Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu. VD minh hoạ. .. CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT BÀI TOÁN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa. Bước 2: Sử dụng các phép thế để nhận được từ hệ 1 phương trình theo ẩn x hoặc y (đôi khi có thể là theo cả 2 ẩn x, y) Bước 3: Giải phương trình nhận được bằng các phương pháp đã biết đối với phương trình chứa căn thức. Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ phương trình.. ..  yx  yx 4 32  log  x  y  1  log3  x  y  Giải hệ Pt:  3 .. BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Phương pháp Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho 2 biểu thức của hệ có nghĩa. Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được 1 phương trình hệ quả theo 1 ẩn hoặc theo cả 2 ẩn, giải phương trình này bằng phương pháp hàm số đã biết. Bước 3: Giải hệ mới nhận được. VD minh hoạ. VD minh hoạ. .

<span class='text_page_counter'>(18)</span> .. Giải hệ phương trình: log 2 x  3 1  log3 y  log 2 y  3 1  log 3 x. BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp VD minh hoạ ex  ey  log 2 y  log 2 x   xy  1   2 x  y 2 1(2) 1. Giải hệ Pt:  log 2  x  y  x  y  1  log  xy  1 x  y  1 . 2. Giải hệ Pt:  x y 2 BÀI TẬP. log x  3x  2y  2  log  3y  2x  2 10.  y . log x  3x  5y   log y  3y  5x  4  log  3x  5y  .log y  3y  5x  4 11.  x . 1 2  2 log3 x  log3 y 0   x 3  y 2  2y 0 12.  . log3 y log3 x x  2y 27   log y  log3 x 1 13.  3 . 2  5.log 2 x  log 4 y  8  5.log 2 x3  log 4 y  9 14.  . 2 2 2 lg x lg y  lg  xy   2 lg  x  y   lg x.lg y 0 15.  . 16. 2  2.log1 x   xy  2x  y  2  log 2y  x  2x  1 6   log1 x  y  5  log 2y  x  4  1  3 4 x  x  1  1 .3y   x log x  y 1 17.  3 . log 2 log xy   3 4 3 2   xy   2 x  y 2  3x  3y 12 18.  . y x  x y 4 32  log  x  y  1  log3  x  y  19.  3 .. x  y  log 2 y  log 2 x   2  xy   3 3 1. x  y 16 . lg x lg y 3 4  lg 4 lg3 4x   3y     2. . log 2 x  log2 y 2  log 2 3  log  x  y  1 3.  7 . 2 log y x  log x y  5  4.  xy 8 . log8 y log 8 x x y 4  log x  log 4 y 1 5.  4 . log 8 y log 8 x x y 4   20. log x  log 4 y 1 6.  4 . 7. log 4 x2  y 2  log 4  2x   1 log 4  x  3y   21.  x 2 log 4  xy  1   log 4 4y  2y  2x  4 log 4  1 y  log 2  log 4 x  log 4  log 2 y   log  log 2 x  log 2  log 4 x  22. 8.  4 . 2x  xy  y 14   8 log  x 1  y  2  log y 2  x  1  3 9. .. . . . . . . x  log3 y 3  2 x  2y  y  12 .3 81y . log 2 xy 4  x  log 1 y 2  2. .. 2.  1 2x 3 2 x  xy  2y 2  2  x2y  2x  2x2 y  4x  1 0 . . . ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>