Dap an HSG Toan vong 2 2012 An Giang

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA Năm học 2012 – 2013 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp : 12 BÀI THI THỨ NHẤT SBD : ………… PHÒNG:. . . Thời gian làm bài : 180 phút …… ………… (Không kể thời gian phát đề). Câu 1:(5,0điểm) Cho hai số. dương thỏa. .Tìm giá trị nhỏ nhất của. Câu 2: (5,0 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng. Câu 3:(5,0điểm) Cho dãy số. được xác định như sau:. Xét tính đơn điệu của dãy số và tính:. Câu 4 :(5,0điểm) Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng1 nội tiếp trong đường tròn tâm O, một điểm M trên cung nhỏ BC. Đặt . Chứng minh rằng:. ---Hết---.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO AN GIANG. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA Năm học 2012 – 2013 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp : 12 BÀI THI THỨ HAI SBD : ………… PHÒNG . . . Thời gian làm bài : 180 phút .…… ………… (Không kể thời gian phát đề). Câu 5: (5,0 điểm) Cho dãy. với. Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương. (số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên nào đó).. Câu 6: (5,0 điểm) Trong một buổi liên hoan có 9 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 người này sao cho mỗi người bắt tay với đúng ba người còn lại.. Câu 7: (5,0điểm) Giải hệ phương trình:. Câu 8: (5,0điểm) Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH. Mặt phẳng (P) chứa AH cắt ba cạnh BC, CD, BD lần lượt tại M,N,P ; gọi là góc hợp bởi AM; AN; AP với mặt phẳng (BCD) . Chứng minh rằng. ---Hết---.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG. HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2012 – 2013 MÔN TOÁN VÒNG 2. A.ĐÁP ÁN Do. dương thỏa. ta đặt:. Khi đó. Đặt 5,0 điểm. Câu1. Xét hàm số :. Vậy hàm số giảm trên Vậy khi. Giả sử Vì. ta có ạ. ủ. Vì 5,0 điểm. Câu 2 ớ Vậy f(c) đồng biến trên Vậy. dấu bằng xãy ra khi tam giác đều.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ặ. Xét hàm số. Xét hàm. Vậy hàm số. là hàm số tăng. Vậy dãy số đã cho là dãy giảm. Câu3 Ta có công thức lượng giác Lần lượt thay bởi. hàm số. 5,0 điểm. ta được. Nhân lần lượt từ đẳng thức thứ hai với. Cộng vế theo vế ta được :. là hàm tăng. ta được.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta lại có :. ậ A. x B. Áp dụng định lý Cosin cho hai tam giác MAB và MAC ta được. O. Trừ hai vế ta được: C. y M. z. Bình phương từng đẳng thức(*) ta có:. Câu4. 5,0 điểm. Công vế theo vế ta được Do. lần lượt thay (3); (4) vào (2) ta được ậ . Cho dãy với Chứng minh rằng các số hạng của dãy đều là số chính phương Ta có nhận xét 5,0 điểm. Câu5 Như vậy là bình phương của các số hạng lẻ của dãy Fibonaccy Xét dãy số là dãy Fibonaccy.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Dãy Fibonaccy có tính chất sau. Thật vậy :. Theo quy nạp ta được (2) Ta chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương Rỏ ràng Giả sử với mọi Xét. ụng ụng. Vậy Hay các số hạng của dãy đều là số chính phương. Ta sắp một ô vuông có 9 dòng và 9 cột mỗi dòng và mỗi cột ta tương ứng với người thứ hai người bắt tay với nhau ta đánh số 1 hai người không bắt tay nhau ta đánh số 0. Đường chéo của hình vuông ta đánh số 0. 1 2 3 … 9 Vì mỗi người bắt tay với đúng ba người nên mỗi hàng trong hình 1 0 vuông có đúng ba số 1 vì có 9 hàng 2 0 1 Câu6 nên có 27 số 1. 3 1 0 1 1 Mặt khác người thứ bắt tay với … 1 0 người thứ thì người thứ cũng bắt 0 tay với người thứ nên các số 1 1 0 9 0 trên ô vuông đối xứng nhau qua đường chéo do vậy số các số 1 phải là số chẵn điều này mâu thuẩn với 27 là số lẻ . Vậy không thể sắp xếp 9 người sao cho mỗi người bắt tay với đúng ba người còn lại.. Câu7 Hệ phương trình viết lại là :. 5,0 điểm. 5,0 điểm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đặt. hệ phương trình trở thành. TH1:. TH2: phương trình vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm là:. Gọi a là độ dài cạnh tứ diện ABCD khi đó Đẳng thức cần chứng minh Tương đương với. A. K. B. D P. M. Câu 8. N. H I. 5,0 điểm. J C. D. B. K M. P N. H I. J. C. Xét tam giác BCD Từ H kẻ HI; HJ; HK vuông góc với BC; CD; BD Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử M thuộc đoạn BI và gọi lần lượt là ba góc hợp bởi HM; HN; HP với ba cạnh BC; CD; BD.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ta có tam giác HMI và HNJ vuông tại Ivà J nên tứ giác HICJ nội tiếp Mặt khác tổng ba góc của tam giác BMP bằng. nên. Từ đó suy ra. Vậy B. HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa + Điểm số có thể chia nhỏ đến 0,25 cho từng câu. Tổng điểm toàn bài không làm tròn.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>