Day truy hoi voi may tinh cam tay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>D·y truy håi víi m¸y tÝnh casio fx - 570MS. *************** A. Đặt vấn đề:. Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt hơn các MTBT kh¸c. Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn...), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy...từ đó giúp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o. ViÖc biÕt c¸ch lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh nh÷ng kü n¨ng, t duy thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh trong tin häc. Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp trong ch¬ng tr×nh, trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: B. néi dung: I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè: 1) D·y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Trong đó f(n) là biểu thức cña n cho tríc. (UnchØ phô thuéc vµo n). un = f(n), n  N*. C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí A :. 1 SHIFT STO A :. - LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí. 1 SHIFT STO A :. A. =. A. + 1. = (U ) = (U ) ... 1 2. - LÆp dÊu b»ng: Gi¶i thÝch: f(A). A. =. : ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí A. A. + 1 : tÝnh u = f(n) t¹i gi¸ trÞ A (khi bÊm dÊu n bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai).. * Công thức đợc lặp lại mỗi khi ấn dấu = VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: n n 1   1 5   1 5   un        5   2   2    . ; n 1, 2,3.... Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh sau: 1 SHIFT STO A ( (. 1 (. . 1. ANPHA. (. (. ). . ANPHA. A. 5 -. ). 5 :. (. 2. 1 + ). . ANPHA. 5. ). ANPHA =. . 2. ). . ANPHA. A. A. ANPHA. A. + 1=. - LÆp l¹i phÝm: = ... = ... Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.. -.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng: Trong đó f(un) là biểu thức của un cho tríc. ( Un+ 1 chØ phô thuéc vµo Un).  u1 = a   u n+1 = f(u n ) ; n  N* C¸ch lËp quy tr×nh:. - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a = - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña u n+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ANS ) - LÆp dÊu b»ng: = Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a = mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ lu kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i lu kÕt qu¶ nµy. - Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng của dãy số u3, u4... VÝ dô 2: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:  u1 1  un  2   un 1  u  1 , n  N *  n. Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: 1 =. (u1). (. ANS + 2 ) = ... =.  (. ANS + 1 ). = (u ) 2. - Ta đợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = 1 u8 = 1,414215686 u2 = 1,5 u9 = 1,414213198 u3 = 1,4 u10 = 1,414213625 u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552 u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564 u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562 u7 = 1,414201183 u14 =...= u20 = 1,414213562 Ví dụ 3: Cho dãy số đợc xác định bởi: 3   u1  3  3 3 u  u , n N *    n  n 1. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên. Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh sau: 3. SHIFT ANS =. . 3 = SHIFT. (u1) 3. 3 =. (u2). =. (u4 = 3) Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u4 = 3 là số nguyên. 3) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:.  u 1 = a, u 2 b  u = A u + Bu + C ; n  N*.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1:   BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B. Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: .  A + ANPHA A B + C SHIFT STO A. . . A + ANPHA B Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn. B + C SHIFT STO B.   b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B. trong « nhí A lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí B , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thùc hiÖn:. .  A + ANPHA A B + C SHIFT STO A m¸y. tính tổng u4 := Au3 + Bu2 + C và đa vào ô nhớ A . Nh vậy khi đó ta có u4 trên mµn h×nh vµ trong « nhí A (trong « nhí B vÉn lµ u3). Sau khi thùc hiÖn:. .  A + ANPHA B B + C SHIFT STO B m¸y. tính tổng u5 := Au4 + Bu3 + C và đa vào ô nhớ B . Nh vậy khi đó ta có u5 trên mµn h×nh vµ trong « nhí B (trong « nhí A vÉn lµ u4). Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C *NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng COPY để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím mỗi khi. t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau:.   BÊm phÝm: b SHIFT STO A A+ B a + C SHIFT STO B .  A + ANPHA A B + C SHIFT STO A. . A + ANPHA B SHIFT. . . B + C SHIFT STO B. COPY. LÆp dÊu b»ng: = ... = ... * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc (Sö dông nhiÒu) BÊm phÝm:. a SHIFT A. (G¸n Un vµo « nhí A). b SHIFT STO B (G¸n Un + 1 vµo « nhí B) ANPHA C. ANPHA. thøc vµo MH). = A ANPHA. B. + B ANPHA. A. + C (Ghi c«ng. ANPHA. :. ANPHA. A. ANPHA. =. ANPHA. B. ANPHA. :. ANPHA. B. ANPHA. =. ANPHA. C (chuyÓn U n + 2 sang Un + 1). LÆp dÊu b»ng: = (U3) = (U4) = ... Ví dụ 4 : Cho dãy số đợc xác định bởi:. (chuyÓn Un + 1 sang Un).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  u 1 = 1, u 2 2   u n+2 = 3u n+1+ 4 u n + 5 ; n  N*. H·y lËp quy tr×nh tÝnh un. Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh:   2 SHIFT STO A 3 + 4 1 + 5 SHIFT STO B .  3 + ANPHA A 4 + 5 SHIFT STO A. . 3 + ANPHA B. . SHIFT. . 4 + 5 SHIFT STO B. COPY. = ... = .... ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671... HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B ANPHA. C. ANPHA. = 3 ANPHA. B. + 4 ANPHA. ANPHA. :. ANPHA. A. ANPHA. =. ANPHA. B. ANPHA. :. ANPHA. B. ANPHA. =. ANPHA. C. A. + 5. = ... = .... ta cũng đợc kết quả nh trên. 4) D·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng:.  u 1 = a   u n+1 = f   n, un   ; n  N*. f  n, un   Trong đó  lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n.. * Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy: A : chøa gi¸ trÞ cña n B : chøa gi¸ trÞ cña u. - Sö dông 3 « nhí:. n. C : chøa gi¸ trÞ cña u n+1 - Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính. sè h¹ng tiÕp theo cña d·y - LÆp phÝm : = Ví dụ 5 : Cho dãy số đợc xác định bởi:  u1 = 0   n  u n+1 = n+1  u n +1  ; n  N*. H·y lËp quy tr×nh tÝnh un. Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 1 SHIFT STO A ANPHA  (. C. 0 SHIFT STO B. ANPHA. ANPHA. B. =. (. + 1 ). ANPHA ANPHA. A :.  ( ANPHA. ANPHA A. A. ANPHA. + 1 ) ) =.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ANPHA. A. :. ANPHA. B. 2,. 5 , 3, 2. 7 ,... 2. + 1 ANPHA. ANPHA. =. ANPHA. C. = ... = .... 1 , 2. ta đợc dãy:. 1,. 3 , 2. II/ LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph¬ng ph¸p gi¶i: - Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chứng minh công thức tìm đợc bằng quy nạp VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt: a1 0  n( n  1)  an 1  (n  2)(n  3) ( an  1) ; . n N *. Gi¶i: - Tríc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: 1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B ANPHA. C.  (. ANPHA. (. (. ANPHA. ANPHA. B. =. ANPHA. + 2 ). A. + 1 ). (. ANPHA. (. A. ANPHA. ANPHA :. A. ANPHA. ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B 1 7 27 11 13 9 , , , , , ,... - Ta đợc dãy: 6 20 50 15 14 8. A. + 3 A. + 1 ) ) ) . ANPHA. =. ANPHA = ANPHA C. - Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 = 0 1 5 1.5   a2 = 6 30 3.10 7 2.7 2.7   a3 = 20 40 4.10 27 3.9  a4 = 50 5.10. ... . a2004 . 2003.4009 20050.         .  dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an . (n  1)(2n  1) 10( n  1). (1). * DÔ minh công thức (1) đúng * b»ng quy víi mäidµng n  Nchøng n¹p.. VÝ dô 2: XÐt d·y sè: a1 1, a2 3.  * an 2 2an  an  1; n  N. Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. Gi¶i: - TÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh:  3 SHIFT STO A 2 1 + 1 SHIFT STO B  . 2 2. -. ANPHA. A. + 1 SHIFT. STO. A. -. ANPHA. B. + 1 SHIFT. STO. B.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> . SHIFT. COPY +. = ... = .... - Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,... - T×m quy luËt cho d·y sè: 1(1  1) a1 1  2 2(2  1) a2 3  2 3(3 1) a3 6  2 4(4  1) a4 10  2 5(5  1) a5 15  2. ....         .  dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: an . n(n  1) 2. (1). * Ta víi hoµn minh c«ng thøc (1) đúng mäitoµn n  chøng N*. Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2.  A lµ mét sè chÝnh ph¬ng. Cách giải khác: Từ kết quả tìm đợc một số số hạng đầu của dãy,ta thấy: - Víi n = 1 th× A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = 2 th× A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = 3 th× A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2 Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*) Bằng phơng pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh đợc (*). III/ Mét sè d¹ng bµi tËp sö dông trong thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: n. un.  2  3   2  3 . n. 2 3 Bµi 1: Cho d·y sè (n = 0, 1, 2,...): a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn. b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3. Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi:  ao 2  2  an 1 4an  15an  60 ,. n N *. a) Xác định công thức số hạng tổng quát an. A. 1  a2n  8  5 biểu diễn đợc dới dạng tổng. b) Chøng minh r»ng sè: b×nh ph¬ng cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp víi mäi n  1. Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: uo 0, u1 1  un 2 1999un 1  un , n  N. T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n sao cho un lµ sè nguyªn tè. Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi:  a1 5, a2 11   an 1 2an  3an  1 ,. n 2, n  N. Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d¬ng, sè ©m. b) a2002 chia hÕt cho 11. Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  a1 a2 1  an2 1  2  a  , n  an  2 . n 3, n  N. Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn. Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức: n n  2 3 n an  2  3  , n  N *   2  3      ; (kÝ hiÖu lµ phÇn nguyªn cña sè ).. . . Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ. an3  an 3. Bài 7: Cho dãy số a1 = 3; an + 1 = 1  an . a) Lập quy trình bấm phím tính an + 1 b) Tính an với n = 2, 3, 4, ..., 10 xn3  1 1 xn 1  3 . Bài 8: Cho dãy số x1 = 2 ;. a) Hãy lập quy trình bấm phím tính xn + 1 b) Tính x30 ; x31 ; x32 xn 1 . 4  xn 1  xn (n  1). Bài 9: Cho dãy số a) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = 1 và tính x100. b) Lập quy trình bấm phím tính xn + 1 với x1 = -2 và tính x100. xn 1 . 4 xn2  5 1  xn2 (n  1). Bài 10: Cho dãy số a) Cho x1 = 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của xn + 1 b) Tính x100 n. Un. 5 7  5 7 . n. 2 7 Bài 11: Cho dãy số với n = 0; 1; 2; 3; ... a) Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4 b) Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1 – 18Un . c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un. Hướng dẫn giải: a) Thay n = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 vào công thức ta được U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640 b) Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình: U 2 aU1  bU 0  c  U 3 aU 2  bU1  c  U aU  bU  c 3 2  4.  a  c 10  10a  b  c 82  82a  10b  c 640. Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0 c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS. Đưa U1 vào A, tính U2 rồi đưa U2 vào B lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp Un + 2 với n = 2, 3, ... n. n.  3 5   3 5  U n     2 2   2   Bài 12: Cho dãy số với n = 1; 2; 3; .... a) Tính 5 số hạng đầu tiên U1, U2, U3, U4 , U5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> b) Lập công thức truy hồi tính Un + 1 theo Un và Un – 1. c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 1 trên máy Casio Bài 13: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức 13 − √ 3 ¿n ¿ 13+ √ 3 ¿n − ¿ với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . . ¿ U n=¿ a) Tính U 1 ,U 2 , U 3 ,U 4 ,U 5 , U 6 , U 7 ,U 8 b) Lập công thức truy hồi tính U n+ 1 theo U n và U n −1 c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ 1 theo U n và  Un. U n −1. Bài 14: Cho dãy số được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ U0 = U1 = 1. a) Lập một quy trình tính un. b) Tính các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh. Hướng dẫn giải: a) Dãy số có dạng: U0 = U1 = 1, Un + 2 = Un + 1 . Un + 1, (n =1; 2; ...) Quy trình tính Un trên máy tính Casio 570 MS: b) Ta có các giá trị của Un với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau: ài. U0 = 1 U5 = 22. U1 = 1 U6 = 155. U2 = 2 U7 = 3411. U3 = 3 U4 = 7 U8 = 528706 U9 = 1803416167. B. 15: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 2, Un + 1 = 3Un + Un – 1. (n  2) a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio b) Tính các giá trị của Un với n = 18, 19, 20 Bài 16: Cho dãy số U1 = 1, U2 = 1, Un + 1 = Un + Un – 1. (n  2) a) Hãy lập một quy trình tính Un + 1 bằng máy tính Casio b) Tính các giá trị của Un với n = 12, 48, 49, 50 ĐS câu b) U12 = 144, U48 = 4807526976, U49 = 7778742049 , U49 = 125862690 Bài 17: Cho dãy số sắp thứ tự với U1 = 2, U2 = 20 và từ U3 trở đi được tính theo công thức Un + 1 = 2Un + Un + 1 (n  2). a) Tính giá trị của U3 , U4 , U5 , U6 , U7 , U8 b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Un c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của Un với n = 22; 23, 24, 25 C. KÕt luËn: Trªn ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè thêng gÆp trong toán học bồi dỡng học sinh giỏi vụựi mục đích là để tham khảo cho giáo viªn d¹y to¸n, gi¸o viªn d¹y båi dìng häc sinh gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio vµ c¸c em häc sinh cã n¨ng khiÕu vÒ häc to¸n. Qua qu¸ tr×nh triÓn khai th«ng qua thực tế giảng dạy, với kinh nghiệm bản thân, qua đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp c¸c em n¾m v÷ng h¬n kiÕn thøc c¬ b¶n cña m«n häc gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio và có đủ sửù tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy đợc khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng nh t duy độc lập đặc biệt.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> gióp c¸c em nh÷ng kü n¨ng, t duy thuËt to¸n vµ cã mét hµnh trang tèt chuÈn bÞ cho mét cÊp häc cao h¬n. Ñứng trước nhu cầu muốn vươn lên học tốt của học sinh và hoà vào không khí đổi mới phương pháp giảng dạy trong đó có bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin mạnh dạn giới thiệu một số kinh nghiệm của mình. Bài viết chắc chắn không trỏnh khỏi thiếu sút. ẹeồ đề tài ủửụùc hoaứn thieọn hụn vaứ vieọc aựp duùng ủeà taứi vaứo thực tế giảng dạy có hiệu quả. Rất mong nhận đựoc sự đĩng gĩp của đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn..

<span class='text_page_counter'>(10)</span>