Tài liệu Đề thi và đáp án chuyên lý thi học sinh giỏi Bến Tre ppt

1
SỞ GD – ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG
BẰNG SÔNG CỬU LONG
TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN
THỜI GIAN: 180 PHÚT


Bài 1 : ( Số học )

Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác .
Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng
nhau .

Bài 2 : ( Đại số )

Cho 2006 số thực :
1 2 2006
; ;........;a a a
thoả điều kiện :

 
1 2 2006
cos cos2 ......... .cos2006 1f x a x a x a x     
với mọi giá trò của x .
Chứng minh :
1 2 2006
.......... 2006a a a   
.

Bài 3 : ( Giải tích )

Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
đây :
(1)
f(2006) = 2006

(2)
f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R

2
(3)
2
1
Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( )
x



Bài 4 : ( Hình học phẳng )
Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng (

) không cắt (C ) . Từ
một điểm M thay đổi trên (

) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình
chiếu vuông góc của O lên (

) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh .

Bài 5 : ( Hình học không gian )

Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC . Gọi
,,  
là các góc
do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên
(BCD) thuộc miền tam giác BCD .
Tìm giá trò lớn nhất của
3
T cos cos .cos cos .cos .cos        


ĐÁP ÁN

Bài 1 : ( Số học )

Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác .
Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng
nhau .

Xét số a tùy ý trong 17 số đã cho .
a nguyên tố cùng nhau với iùt nhất 13 số khác là b
1
,b
2
,b
3
, …..b
13 .

3
Do mỗi số không nguyên tố cùng nhau với nhiều nhất là 3 số khác nên b
1

sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 9 số khác trong các số b
2
, b
3
,…..b
13
.
Giả sử b
1
nguyên tố cùng nhau với 9 trong 12 số đó là c
1
, c
2
,….c
9
.
c
1
sẽ nguyên tố cùng nhau với 5 số khác trong các số c
2
, c
3
,……c
9
.
Giả sử là d

1
, d
2
, ……d
5
.
d
1
sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 1 trong 4 số d
2
, d
3
,d
4
, d
5
.
Giả sử là d
1
nguyên tố cùng nhau với số e trong 4 số trên .
Ta có : 5 số a,b
1
,c
1
,d
1
, e là 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau trong 17
số đã cho .
Bài 2 : ( Đại số )

Cho 2006 số thực :
1 2 2006
; ;........;a a a
thoả điều kiện :

 
1 2 2006
cos cos2 ......... .cos2006 1f x a x a x a x     
với mọi giá trò của x .
Chứng minh :
1 2 2006
.......... 2006a a a   
.
Ta có :
2007
sin1003 .cos
2
cos cos2 .......... cos2006
sin
2

  

   
= A (1,0 đ )
Mặt khác khi
2
2007
k



( Trong đó k = 1 ; 2 ; ……..; 2006 ) thì A = -1 (1,0
đ )
Thay
1 2 2006
2 4 4012
; ; ............;
2007 2007 2007
x x x
  
  
, vào biểu thức ; f (x)
ta có :
1 2 2006
2 4 4012
cos cos ........... cos 1
2007 2007 2007
a a a
  
    


1 2 2006
4 8 8024
cos cos ........... cos 1
2007 2007 2007
a a a
  
    

…………………………………………………………………………………………….
4
1 2 2006
4012 8024 4012.2006
cos cos .......... cos 1
2007 2007 2007
a a a
  
    

Cộng các đẳngthức trên ta được :
1 2 2006
............. 2006a a a     

Vậy ta được :
1 2 2006
.......... 2006a a a   
. ( 2 đ )
Bài 3 : ( Giải tích )

Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
đây :
(4)
f(2006) = 2006

(5)
f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R

(6)
2

1
Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( )
x


 (2) cho
 
x = y = 0 f 0 0 (4)
(0,25 đ )

0 f 1+ (-1) f(1) + f(-1) f(-1)= - f(1)  


(0,25 đ )
 (1) và (2) : 2006 =
f(1) + f(2005)=2f(1) + f(2004)

=
... 2006 f(1)

 Vậy
f(1) = 1 và f(-1) = -1 (5)
(0,25 đ )
Xét trường hợp
x 0 ,x 1,ta có .  


x 1 x 1
f( ) f( ) f( ) f(1) 1 (6)
x 1 x 1 x 1


   
  
(1,00 đ )

2
2
x x x 1
f( ) . f( ) Do(3)
x 1 x
(x 1)






22
22
x x 1 x 1
hay f( ) f(1 ) f(1) f( )
x 1 x x
(x 1) (x 1)

   






2
22
x x 1
f( ) 1 f(x) (7)
x1
(x 1) x

  





(1,00 đ )

22
1 1 1
f( ) f(x 1) f(x) 1 (8)
x1
(x 1) (x 1)
   




(0,50 đ )
5

2

2 2 2
x 1 1
(6),(7),(8) 1 f(x) f(x) 1 1
(x 1) x (x 1)

    






 Suy ra :
f(x) x
(0,25 đ )
 Vậy f(x) =
0 nếu x 0
1 nếu x 1
x nếu x 0 , x 1



  


  


 Hay
f(x) x , x R  

(0,25 đ )

Bài 4 : ( Hình học phẳng )
Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng (

) không cắt (C ) . Từ
một điểm M thay đổi trên (

) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình
chiếu vuông góc của O lên (

) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh .
ĐÁP ÁN

Gọi I,J lần lượt là giao điểm của OA , OM với TH
Hạ AK vuông góc TH tại K (0,50
đ)
Do A thuộc đường tròn ngoại tiếp
THM
nên E,F,K thẳng hàng
(đường thẳng Simson) (0,50
đ)
Ta có :
2
22
OT R
OI.OA OJ.OM OT OI I cố đònh
OA OA
     

(1,00 đ)
Gọi L là giao điểm của OA và EF

LAK
=

AOM
(so le trong)
=

AHM
(cùng chắn AM)


K
T
E
M
A
F
I
J
O
L
H