Cấu trúc một số lớp môđun trên vành chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

DƯƠNG THỊ PHONG LAN

CẤU TRÚC MỘT SỐ LỚP MƠĐUN TRÊN VÀNH
CHÍNH
Chun ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Mỵ Vinh Quang

TP. Hồ Chí Minh – 2005



MỤC LỤC
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 5
CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................................. 8
CHƯƠNG II: MÔĐUN CYCLIC - MÔĐUN TỰA CYCLIC ................................... 18
CHƯƠNG III: MÔĐUN CHIA ĐƯỢC ...................................................................... 35
CHƯƠNG IV: MÔĐUN KIỂU HỮU HẠN ............................................................... 44
CHƯƠNG V: MÔĐUN NOETHER - MÔĐUN ARTIN ........................................... 67
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 83

3

LỜI CẢM ƠN

Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đối với quý thầy cô trong tổ Đại số
trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh và trường đại học Khoa học Tự
nhiên TP. Hồ Chí Minh đã trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho q
trình viết luận văn này.
Đặc biệt, tơi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang
đã tận tình chỉ dạy, hướng dẫn tơi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành
thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quí báu cho luận văn.
Cuối cùng xin cảm ơn các bạn ở lớp cao học Đại số khóa 13 Trường Đại học
Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã cùng tôi trao đổi thảo luận trong các chuyên đề cao
học, cũng như sự nhiệt tình giúp đỡ, động viên tinh thần để tơi hồn thành luận văn
này.

TP.HCM, ngày 01 tháng 9 năm 2005
Tác giả luận văn
Dương Thị Phong Lan

4


MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhóm Abel là chuyên ngành của Đại số thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học nổi tiếng, có rất nhiều các kết quả thú vị và nổi tiếng về nhóm
Abel.

về mặt Đại số, ta có thể xét nhóm Abel như là một mơđun trên vành z. Do đó
mơđun trên vành chính có thể xem như là một mở rộng của nhóm Abel. Theo hướng
đó trong luận văn này chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng, mở rộng một số các kết quả
đẹp, thú vị của nhóm Abel sang một mơđun trên một vành chính bất kỳ.
Cụ thể trong luận văn này, chúng tôi sẽ đưa ra khái niệm cấp của một phần tử
trong một mơđun (trên vành chính) là tương tự khái niệm cấp của một phần tử trong
nhóm Abel. Sau đó dựa vào khái niệp cấp của phần tử chúng tôi xây dựng các khái
niệm môđun cyclic, môđun tựa cyclic, môđun kiểu hữu hạn. Từ đó chúng tơi đã đưa
ra và chứng minh được các định lý cho phép mô tả được cấu trúc của các môđun
cyclic, tựa cyclic, chia được, môđun kiểu hữu hạn, môđun Noether, môđun Artin.
Cũng cần lưu ý rằng vành

z

khơng chỉ là vành chính mà cịn là vành Euclide

(có thuật chia có dư) và khái niệm cấp của một phần tử trong mơđun có nhiều khác
biệt nên khi chuyển từ nhóm Abel sang mơđun kỹ thuật chứng minh có nhiều thay
đổi.
5


Luận văn được chia thành 5
chương: Chương I: Các kiến thức cơ bản
Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau bao
gồm: các khái niệm vành chính, mơđun, tổng trực tiếp, hệ độc lập tuyến tính và
mơđun tự do.
Chương II: Mơđun cyclic - Mơđun tựa cyclic
Trong chương này chúng tôi đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong
mơđun trên vành chính. Sau đó dựa vào khái niệm cấp chúng tơi đưa ra định nghĩa

môđun tựa cyclic và đặc biệt chứng minh một số tính chất cơ bản của mơđun tựa
cyclic.
Chương III: Mơđun chia được
Trong chương này, chúng tôi sẽ xét một số tính chất của mơđun chia được.
Đặc biệt chúng tơi đưa ra và chứng minh định lý về cấu trúc của môđun chia được
cho phép mô tả được lớp các môđun chia được.
Chương IV: Môđun kiểu hữu hạn
Đưa ra khái niệm về môđun kiểu hữu hạn, môđun kiểu vô hạn và cuối cùng
trình bày các định lý mơ tả cấu trúc của môđun kiểu hữu hạn
Chương V: Môđun Noether - Môđun Artin.
6


Trong chương này nêu lên một vài tính chất của môđun Noether và môđun
Artin. Đặc biệt chúng tôi đưa ra và chứng minh các định lý mô tả cấu trúc của mơđun
Noether và Artin.
Vì thời gian và khả năng hạn chế, luận văn có thể có những thiếu sót nhất
định. Kính mong q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ.

7


CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho các chương sau bao
gồm: Khái niệm vành chính, mơđun, tổng trực tiếp, hệ độc lập tuyến tính và mơđun tự
do.
Định nghĩa 1.1:
Vành chính là vành giao hốn, có đơn vị, khơng có ước của 0 và trong đó mọi
iđêan đều là iđêan chính.
Định nghĩa 1.2:

Cho R là vành chính, một mơđun trên R (hay gọi gọn hơn một R-mơđun) là
một nhóm cộng Abel M cùng với một ánh xạ:
φ: RxM → M
(a,x) ↦ ax

thỏa mãn các tiên đề sau: với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y∈ M.
a(x+y) = ax + ay

(a+b)x = ax + bx
(ab)x = a(bx)
lx = x.
8

87T


Về sau nếu cho R-mơđun M mà khơng nói gì thêm ta hiểu cho M là mơđun
trên vành chính R.
Định nghĩa 1.3:
Khái niệm tổng trực tiếp của họ các môđun con được trình bày theo hai cách:
Cho R-mơđun M và {Mi }i∈I là họ các môđun con của M, M là tổng trực tiếp của họ

{Mi }i∈I , Ký hiệu M = ⨁ Mi nếu:
87T

i) Mọi

phần

tử

i∈I

x ∈M

87T95T

được

biểu

thị

duy

nhất

dưới

dạng

x=  ∑ x i , xi ∈ Mi và hữu hạn x i ≠ 0.
i∈I

ii) M= ∑ M i , và Mi ∩
i∈I

∑M
i≠ j

j

R

= {0}.

Hai cách định nghĩa trên là tương đương với nhau, thật vậy:

i)⇒ii) ∀x ∈ M , x được biểu diễn duy nhất dưới dạng x =

∑x
i∈I

i

, x i ∈ M i do đó

M = ∑ M i . Giả sử M i ∩ ∑ M j ≠ {0} , tồn tại x ≠ 0 để x ∈ M i ∩ ∑ M j . Khi đó x có
i≠ j

i∈I

i≠ j

ít nhất hai cách biểu diễn x= ∑ x k , trong đó x i =x, và tại các vị trí khác bằng 0,
k∈I

hoặc x = ∑ x k trong đó x i =0 và tồn tại chỉ số j ≠ i: x j =x. Điều này vơ lý vì theo i) x
k∈I

được biểu diễn duy nhất. Vậy Mi ∩

∑M
i≠ j

j

9

= {0}.


ii) ⇒ i) Theo ii) M = ∑ M i nên x được biểu diễn như sau: X = ∑ x i Nếu x có thêm
i∈I

i∈I

cách biểu diễn khác: x = ∑ x ′i thì :
i∈I

x i - x ′i = ∑ x j -∑ x ′j ∈ M i ∩ ∑ M=j
j≠ i

j≠ i

{0} , ∀i ∈ I

i≠ j

0 , ∀i ∈ I . Vậy x i = x ′i , ∀i ∈ I . Tức là sự biểu

Do đó x i - x ′i = ∑ x j -∑ x ′j =
j≠ i

j≠ i

diễn của x là duy nhất. ♦
Định nghĩa I.4:
Cho X là tập con khác rỗng bất kỳ của M, tập hợp các môđun con của M chứa
X là khác rỗng vì chứa M. Giao của tập hợp trên là một môđun con của M và được
gọi là môđun con sinh ra bởi tập hợp X, kí hiệu X .
Nếu M = X thì X được gọi là hệ sinh của M.
Nếu M = X và X hữu hạn thì M được gọi là hữu hạn sinh.
Mệnh đề I.5:
Môđun con của một R-môđun M sinh ra bởi một tập con khác rỗng X của M là
tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính với hệ tử trong R của các phần tử của X: X =
� ∑ a x x / hữu hạn a x khác 0 �
x∈X

Chứng minh:
10


Tập hợp T tất cả các tổ hợp tuyến tính

∑a

x∈X

thì T là môđun con của M chứa X, vậy

x

x hữu hạn a x khác 0, a x ∈ R ,

X ≤ T. Đảo lại mọi môđun con chứa X đều

chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của X, hay T ≤ X .

Vậy T = X
. Định nghĩa I.6:
Cho tập hợp X = {x1 , x 2 ,..., x n } các phần tử khác 0 của M, tập X là độc lập
n

nếu

∑a x
i

i

= 0 thì a i x i = 0, ∀i =1, n .

i=I

Tập X khơng độc lập ta nói X phụ thuộc.
Định nghĩa I.7 :
Cho tập hợp X khác rỗng chứa trong M, X được gọi là cơ sở của M khi và chỉ
khi X là hệ sinh của M và X độc lập.
Phần tiếp theo của chương này, chúng tôi sẽ trình bày một vài vấn đề về
mơđun tự do. Ta đã biết trong lý thuyết nhóm, mọi nhóm Abel tự do đều là nhóm xạ

ảnh và trong mơđun (trên vành chính) cũng vậy.
Định nghĩa I.8 :

11


Cho R-mơđun M, nếu M có một cơ sở khác rỗng X thì M được gọi là mơđun
tự do trên tập hợp X.
Mệnh đề I.9:
Cho M là môđun tự do trên tập hợp X khác rỗng thì M ≅ ⊕R .
Chứng minh :
Nếu X= {x i }i∈I , là cơ sở của M thì M=  x i
i∈I

x j   xi
i≠ j

. Nếu có x j ∈ X để

≠ 0 thì tồn tại r ∈ R , r ≠ 0 sao cho:
0 ≠ rx j = r1x1 +r2 x 2 +...+ rk x k ,

với x 1 ,x 2 ,...,x k là các phần tử phân biệt thuộc X khác x j ⇒ rx j -r 1 x 1 ...-r k x k=0, trong đó có ít nhất rx j ≠ 0, mâu thuẫn với tính độc lập của X. Do đó
x j   xi
i≠ j

= 0 . Mà X l à hệ sinh của M nên M = ⊕ X i .
i∈I

Mặt khác, với mỗi i ∈ I , do x i là phần tử độc lập của X nên ánh xạ

φi : R → Rx i =
Xi
r  rx i
là đẳng cấu. Vậy M = ⊕ x i = ⊕Rx i ≅
i∈I

i∈I

⊕R . ♦
i∈I

Mệnh đề 1.10 :
12


Cho mơđun tự do M, nếu M có cơ sở là X và Y thì |x| = |Y|, (|x| là lực lượng
của tập hợp X)
Chứng minh :
Cho p là một phần tử nguyên tố thuộc R, iđêan p = pR là tối đại do đó R
một trường. Khi đó mơđun thương M

pM

pR

có cấu trúc khơng gian véctơ trên R

là

pR

với tích vơ hướng được xác định như sau :

φ: R

pR

×M

pM

→M

pM

(a + pR, x+pM)  ax+pM
Phép nhân này không phụ thuộc vào đại diện của các lớp vì nếu

a+ pR = a'+pR
a'= a + pr, r ∈ R
⇒

 x+pM = x'+pM  x'= x + py, y ∈ M
Khi đó a'x' = (a+pr)( x+py) = ax + pay + prx + prpy ∈ ax + pM.
Vậy a'x' +pM = a x +pM.
Vì X là một cơ sở của M nên với mọi y ∈ M đều viết được một cách duy nhất
dưới dạng y =

∑a

x∈X

x

x trong đó (a x ) là họ các phần tử thuộc R với hữu hạn a x khác 0.

Từ đó suy ra rằng mỗi phần tử của M
y + pM =

∑a

x∈X

x

x + pM =

pM

∑ (a

x∈X

x

đều viết được duy nhất dưới dạng

x + pM ) =

13

∑ (a

x∈X

x

+ pR )( x+pM )


Điều n à y chứng tỏ rằng
trên R

pR

( x + pM )x∈X

là một cơ sở của không gian véctơ M

và |x| = |(x+pM) x∈X | = dim M

pM

pM

Vậy |x| là duy nhất xác định. ♦
Mệnh đề I.11 :
Cho R-môđun tự do F trên tập hợp X, nếu H là môđun con của F thì H là
mơđun tự do trên Y và |Y| ≤ |x|.

Chứng minh:
Cho I là tập được sắp thứ tự tốt, X = {x α }α∈I , ∀α ∈ I , đặt
=
Fα

xγ / γ < α

Fα+1 = x γ / γ ≤ α = Fα ⊕ x α , H α = H ∩ Fα , H α+1 = H ∩ Fα+1 , F= ∪ Fα , H= ∪ H α ,

⇒ H α =H ∩ Fα =∪
( H α ) ∩ Fα =H α+1 ∩ Fα
Do H α+1

Hα

≅

H α+1

H ∩ Fα

≅

(H α+1 + Fα )

Mà x α {r.x α / r ∈ R} ≅ R x α ≅ R ⇒
=
Thì hoặc H α+1 ≅ H α hoặc H α+1 =
Hα

Fα

≤

H α+1

Fα+1

Hα

Fα

≅ xα

≅ R ( H α có thể là 0)

h α ≅ R ⇒ H α+1
= Hα ⊕ h α

Vì F = ∪Fα , với mọi h ∈ H ≤ F thì h thuộc về một số Fα+1 nào đó.

14


Đặt μ(h) là chỉ s ố α nhỏ nhất để h ∈ F a+1 ( do I được sắp thứ tự tốt). H* là
môđun con của H được sinh bởi tất cả các h α . Giả sử H* là môđun con thực sự của
H lấy j là chỉ số nhỏ nhất trong tập { μ(h) / h ∈ H và h ∉ H* } chọn h ’ ∈ H và h ’ ∉ H*
với μ(h') =j thì h ' ∈ F j +1 , h ’ ∈ H ⇒ h' ∈ H ∩ F j+1 = H j+1 , = H j ⊕ h j ⇒ h'=x+ah j ,
x ∈ H j và a ∈ R ⇒ x=h'-ah j ∈ H, X ∉ H* do h' ∉ H* ,
Và μ(x) < j (do x ∈ H j ) v ậ y mâu thuẫn với j là nhỏ nhất do đó H = H*

⇒ H= h α ≠ 0 / α < β

Giả sử a 1 h α1 + a 2 h α2 + … + a n h αn = 0 , trong đ ó α1 < α 2 <...< α n thì a i h αi = 0.
Thật vậy, giả sử a n h αn ≠ 0 mà
a n h αn = - a 1 h α1 - a 2 h α2 -…- a n-1h αn-1 ⇒ a n h αn ∈ H αn ∩ h αn = 0 vơ lý. Do đó H có

hệ sinh độc lập tuyến tính.
Vậy H là mơđun tự do trên tập { h α ≠ 0/ α<β }. ♦
Định nghĩa I.12:
Một môđun M được gọi là xạ ảnh nếu cho một toàn cấu ε : K → N và đồng
cấu α : M → N, N, K là các R-mơđun thì tồn tại một đồng cấu β : M → K, sao cho
εβ = α , hay biểu đồ sau giao hoán:

15


Định lý I.13:
R-Môđun M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M là môđun tự do.
Chứng minh:
( ⇐ ) Giả sử M là môđun tự do trên tập con X, M = X , N, K là các R-môđun Lấy ε :
K → N là toàn cấu, α : M → N là đồng cấu,
∀x ∈ X ⇒ α(x) ∈ N , do ε là toàn cấu nên tồn tại k x ∈ K để ε (k x )= α (x).
Định nghĩa β : N → K như sau:
β (x)=k x , khi đó εβ (x) = ε (k x ) = α (x) ⇒ εβ = α (trên hệ sinh).
Vậy M là môđun xạ ảnh.
( ⇒ )Giả sử M là mơđun xạ ảnh. Ta có F(M) là mơđun tự do sinh bởi M, nên tồn tại
một toàn cấu ε : F(M) → M. Ấp dụng tính chất xạ ảnh của M tồn tại β : M → F(M)
sao cho εβ = id M , hay biểu đồ sau giao hoán:

16

Khi đó ker β ={0} ⇒ M ≅ im β ≤ F(M)
Do F(M) là môđun tự do theo mệnh đề M là môđun tự do.
Mệnh đề 1.14:
Cho R-môđun M. N là môđun con của M sao cho M
N ⊕ K với K là môđun con của M.

N

là tự do khi đó M =

Chứng minh:
, α : M → F là tồn cấu chính tắc, áp dụng tính chất xạ ảnh của
N
F (do F là tự do), ta có biểu đồ sau giao hoán:
Lấy F = M

=
∀x ∈ M ⇒ α(x-β(x)) α(x)-αβα(x)
=
= α(x)-α(x) 0 ⇒ x - βα(x) ∈ ker α
⇒ x ∈ ker α + imβ ,
∀x ∈ ker α ∩ imβ ⇒ α(x) =0 và x= β (y) mà y = αβ (y) = α (x) = 0 ⇒ y = 0 ⇒ X = β (y)

= 0 ⇒ ker α ∩ im β = {0}.
Vậy M = ker α ⊕ im β = N ⊕ K , K = im β ≤ M. ♦

17

CHƯƠNG II: MÔĐUN CYCLIC - MÔĐUN TỰA CYCLIC

Trong chương này chúng tôi đưa ra khái niệm cấp của một phần tử trong
mơđun trên vành chính. Sau đó dựa vào khái niệm cấp chúng tôi đưa ra định nghĩa
môđun tựa cyclic và đặc biệt chứng minh một số tính chất cơ bản của môđun tựa
cyclic.
Định nghĩa II.l:
Cho R-môđun M với mỗi X thuộc M, đặt Ann(x) = {a ∈ R / ax = 0} thì Ann(x)
là một iđêan của R. Do R là vành chính nên Ann(x) = a .
Khi đó ta định nghĩa cấp của X là a (phần tử a là duy nhất sai khác một phần tử
khả nghịch của vành R), kí hiệu ord(x) = a
Nếu a ≠ 0 ta nói x có cấp hữu hạn là a - Ta cũng nói mơđun cyclic sinh
bởi x: Rx = x có cấp là a.
Nếu a = 0 ta nói x có cấp vơ hạn - Ta cũng nói mơđun cyclic sinh bởi x: Rx=

x có cấp vơ hạn.
Cần chú ý rằng mơđun cyclic có cấp hữu hạn có thể có vơ hạn phần tử và
mơđun cyclic có cấp vơ hạn cũng có thể có hữu hạn phần tử. Sau đây là các ví dụ
minh họa cho vấn đề này.
18


Ví dụ II.2 :
Lấy R = Q[x], p = P(x) = x2 +1, P(x) là đa thức bất khả quy trong Q[x]
Đặt M =

Q[x]
=
x2 +1

{ax+b/a,b ∈ Q} . Khi đó M là R-mơđun và M = 1 .

Ta có (x2 + l) 1 = 0 nên ord( 1 ) ≠ 0 ⇒ 1 có cấp hữu hạn nhưng M= 1 có vơ hạn phần
tử.
Vậy mơđun cyclic 1 có cấp hữu hạn nhưng lại có vơ hạn phần tử
Ví dụ II.3 :
Lấy R = Z p , p là số nguyên tố thuộc z.
M = Z p là môđun trên Z p thì M = 1 , ta có a.1 = 0 ⇔ a = 0 do đó 1 có cấp vơ hạn
nhưng mơđun cyclic M = 1 chỉ có hữu hạn phần tử (p phần tử)
Sau đây chúng ta sẽ xét một số tính chất của cấp :
Mệnh đề II.4 :
Cho x thuộc M, x có cấp là a khi và chỉ khi a x = 0 và nếu có bx = 0 thì b  a
Chứng minh :
( ⇒ )Giả sử cấp của X là a v à ∀ b ∈ R, bx = 0 ta sẽ chứng minh b  a . Thật vậy: bx = 0
⇒ b ∈ Ann(x) = a do đó b ⊂ a , vậy b  a .

19


( ⇐ )giả sử a x = 0 và ∀b ∈ R , bx = 0 thì b  a ta sẽ chứng minh cấp của
vậy: theo định nghĩa cấp của một phần tử ta có Ann(x)= a ′

X

là a, thật

⇒ a'x=0

⇒ a '  a ( l ) . Mặt khác ax=0 ⇒ a ∈ Ann(x) = a ′ ⇒ a  a ' (2)

Từ (1) và (2) suy ra

a ′ = a . Vậy cấp của X là a . ♦

Mệnh đề II.5 :
i) Nếu x ∈ M có cấp là a thì với mọi b ∈ R, bx có cấp là

a
.
( a,b )

ii) Nếu x,y ∈ M , X có cấp là a, y có cấp là b và (a,b)=l thì x+y có cấp là ab
iii) Nếu trong M có các phần tử x 1 , x 2 ,…, x n có cấp là a 1 , a 2 ,…, a n thì M có chứa
phần tử có cấp là [ a 1 , a 2 ,…, a n ] (bội chung nhỏ nhất của a 1 , a 2 , …, a n )
Chứng minh :
i) Ta có

b
a
bx =
ax = 0
( a,b )
( a,b )

nếu có k(bx) = 0 ⇒ (kb)x = 0 theo mệnh đề II . 4 kb  a ⇒

b
a
k

( a,b ) ( a,b )

 a
a
a
b 
vì 
=1 nên k 
hay ord(bx) =
,
 ( a,b ) ( a,b ) 
( a,b )
( a,b )



ii) Ta có ab(x+y) = abx + aby = 0. Mặt khác nếu có k(x + y)= 0

20


thì 0=ka(x+y) = kax + kay = kay ⇒ ka  b mà (a,b) = 1 nên k  b.
Tương tự ta có k  a và (a,b) = 1 nên k  ab
Vậy odr(x+y) = ab.
iii) Ta có x i có cấp là a i = p1k1i ...p kmmi , do sự phân tích trên ta có bội chung nhỏ nhất
của a 1 , a 2 ,…, a n là [a 1 a i , a 2 ,…, a n ] = p1l1 ...p lmm với l i =max{k ịj / j = l,n }, i= l,m . x 1 có
cấp là a1 = p1k1l ...pikil ...p kmm1 , giả sử l i = max{k ij /j= l,n }=k il ,
k i-1l k i+1l
Đặt yi = ( p1k1l ...pi-1
pi+1 ...p mk m1 )x 1 , theo i) cấp của y i là pili và các pili là nguyên tố cùng

nhau do đó y= y1 + y 2 + ...+ym là phần tử thuộc M và theo ii) y có cấp là p1l1 ...p lmm . ♦
Định nghĩa II.6:
Cho R-môđun M, p nguyên tố thuộc R
Đặt M p = {x ∈ M/ x có cấp là lũy thừa của p}. M p là môđun con của M và
được gọi là thành phần p-nguyên sơ của M.
M p là môđun con của M, thật vậy:
♦

x 1 , x 2 ∈ M p thì ord(x 1 ) = p r , ord(x 2 ) = p s đặt k =

max(r,s) thì k(x 1 +x 2 )=0, khi đó ord(x 1 +x 2 ) = pi với 0 ≤ i ≤ k do đó x 1 +x 2 ∈ M p .

21


♦ x ∈ M p , r ∈ R thì ord(x) = ps ⇒ ps(ra) = 0 do đó ord(ra) = pj với 0 ≤ j ≤ s ⇒
ra ∈ M p . Vậy M p là môđun con của M.
Định nghĩa II.7 :
Môđun M được gọi là p-môđun nếu mọi phần tử khác khơng thuộc M có cấp
là lũy thừa của p.
Định nghĩa II.8 :
Cho R-môđun M, đặt M T = {x e M / cấp của X hữu hạn}. Khi đó M T được gọi
là phần xoắn của M và phần xoắn M T là môđun con xoắn lớn nhất của M.
Thật vậy :
♦ ∀ x 1 ,x 2 ∈ M T thì cấp của x 1 , x 2 hữu hạn. Tồn tại a 1, a 2 ∈ R, a 1 ,a 2 ≠ 0
để a 1 x 1 =0 và a 2 x 2 = 0 ⇒ a 1 a 2 (x 1 + x 2 ) = 0, mà a 1 , a 2 ≠ 0 và R là vành chính nên
a 1 a 2 ≠ 0 do đó cấp của x 1 + x 2 khác 0. Vậy x 1 + x 2 ∈ M T .
♦ ∀ a 1 ∈ R, a 1 ≠ 0; ∀ x ∈ M T thì cấp của x khác 0, do đó tồn tại a ∈ R, a ≠ 0
để ax = 0 ⇒ a 1 x = 0 ⇒ a(a 1 x) = 0. Do đó cấp của a 1 x hữu hạn hay a 1 x ∈ M T .

Vậy M T là môđun con của M.
♦ M được gọi là môđun xoắn nếu M = M T hay mọi phần tử của M có cấp hữu
hạn.
22


♦ M được gọi là môđun không xoắn nếu M T = 0 hay mọi phần tử khác 0 của
M có cấp vơ hạn.
Mệnh đề II.9
Cho R-mơđun M, nêu M T là phần xoắn của M thì M

MT

là mơđun khơng

xoắn.
Chứng minh :
Giả sử M

MT

là mơđun xoắn, khi đó với mọi 0 ≠ x ∈ M

MT

, x có cấp hữu

hạn a, a x = 0 ⇒ ax ∈ M T . Do M T là mơđun xoắn nên ax có cấp là a 1 ≠ 0 ⇒ a 1 ax=
0, do R là vành chính nên a 1 a ≠ 0, nên x có cấp hữu hạn hay X ∈ M T , vô lý với x

≠ 0 . Vậy M M là môđun không xoắn.
T
Mệnh đề II.10:
Cho R-môđun M, phần xoắn M T là tổng trực tiếp của các thành phần p-nguyên
sơ của M.
Chứng minh:
Lấy x ∈ M T , x ≠ 0 thì x có cấp hữu hạn a.
Do R là vành chính nên ta có sự phân tích a = p1e1 .p e22 ...p ekk , p i là các phần tử nguyên tố
phân biệt trong R và e i > 0,

23


Đặt a i = a

piei

thì a 1 ,a 2 ,...,a k là các phần tử nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tại

r 1 ,r 2 ,...,r k thuộc R sao cho r 1 a 1 + ... + r k a k = 1 , khi đó:
k

k

i=1

i=1

x = (∑ ri a i )x= ∑ ri x i ,với x i = a i x,
mà piei x i = 0 ⇒ cấp của x i là pi j , 0 ≤ e j < e i . Do đó x i ∈ M pi .

e

Vậy M=

∑M

p
p nguyên tố

Lấy x ∈ M p ∩ ∑ M q , tồn tại m sao cho pmx = 0 và x = x 1 + x 2 + ...+ x t , x i
q≠p

∈ M qi , q i ,q 2 ,…,q t phân biệt. Vì x i ∈ M qi nên tồn tại m i sao cho q imi x i = 0 ⇒

( q1m1 .q 2m2 ...q mt t ) x = 0 đặt d = q1m1 .q 2m2 ...q mt t thì d và pm là nguyên tố cùng nhau nên tồn
tại r, s sao cho rd + pm s =1. Khi đó x= l x =(rd + pms)x=0 ⇒ x

=

0. Từ đó suy ra

Mp ∩ ∑ Mq = 0
q≠p

Vậy M T =

⊕ M .♦
p

p nguyên tố

Trong lý thuyết nhóm, nếu G là nhóm cyclic cấp hữu hạn n thì G là nhóm hữu
hạn có n phần tử. Do đó nếu H là nhóm con cyclic cấp n của G thì hiển nhiên H ≡ G.
Đối với môđun vấn đề không đơn giản như vậy. Giả sử M là môđun cyclic cấp hữu
hạn a như ta đã thấy ở ví dụ trên M có thể có vơ hạn phần tử. Vậy vấn đề đặt ra là giả
sử N là môđun con cấp a của M thì có thể khẳng định N ≡ M được không, câu trả lời
là khẳng định tuy nhiên chứng minh khơng đơn giản (vì M có thể có vơ hạn phần tử)
24


cụ thể ta có bổ đề sau, đây là bổ đề có vai trị quan trọng trong các chứng minh sau
này của chúng ta.
Bổ đề II.11:
M là môđun cyclic cấp hữu hạn a thuộc R và nếu N là môđun con cyclic cấp a
của M thì N ≡ M.
Chứng minh :
Cho M = x là môđun cyclic cấp hữu hạn a và N = y là môđun con cyclic cấp
hữu hạn a của M. Vì N ≤ M nên y ∈ M, tồn tại b ∈ R, b ≠ 0, b không khả nghịch để y =
bx theo mệnh đề II.5:

a = ord(y) = ord(bx) =

a
b
⇒
=a ⇒ (a,b) = 1
( a,b ) ( a,b )

tồn tại u, v ∈ R để ua+vb =1, khi đó x=(ua + vb)x = vbx =vy ⇒ x ∈ N = y .
Vậy N ≡ M. ♦

Sau đây chúng ta sẽ xét một số tính chất của môđun cyclic.
Mệnh đề II.12 :
Môđun con của môđun cyclic là môđun cyclic. Mọi môđun con khác không
của môđun cyclic cấp vô hạn là môđun cyclic cấp vô hạn.
25