Dạy học phương trình đường thẳng trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.68 MB, 103 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Trần Thạch Thảo
DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHƠNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Nguyễn Trần Thạch Thảo
DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHƠNG GIAN
Chun ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số
: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐÀO HỒNG NAM
Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài: “Dạy học phương trình đường thẳng trong khơng
gian” là một cơng trình nghiên cứu độc lập dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Hồng
Nam. Ngồi ra khơng có bất cứ sự sao chép của người khác. Mọi số liệu sử dụng phân
tích trong luận văn và kết quả nghiên cứu là do tơi tự tìm hiểu, phân tích một cách
khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng và chưa được cơng bố dưới bất kỳ hình
thức nào. Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nếu có sự khơng trung thực trong thơng
tin sử dụng trong cơng trình nghiên cứu này”.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 05 năm 2020
Học viên
NGUYỄN TRẦN THẠCH THẢO
LỜI CÁM ƠN
Sẽ khơng có thành cơng nào nếu vắng bóng sự dìu dắt, hướng dẫn và chia sẻ.
Trong khoảng thời gian học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,
tơi đã rất may mắn khi nhận được sự giảng dạy tận tình của thầy cơ, sự quan tâm,
giúp đỡ của gia đình và bạn bè. Với lịng biết ơn sâu sắc nhất, tơi xin trân trọng
cảm ơn:
Tiến sĩ Đào Hồng Nam, người Thầy tận tình hướng dẫn tôi không chỉ về kiến
thức khoa học mà cịn ln động viên những khi tơi muốn bỏ cuộc. Thầy đã giúp đỡ
tơi rất nhiều trong suốt q trình làm luận văn này.
Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hồi Châu, Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Phó
giáo sư Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, Tiến sĩ Vũ Như Thư Hương, Tiến sĩ Nguyễn
Thị Nga, Tiến sĩ Tăng Minh Dũng đã tận tình giảng dạy cho tơi những kiến thức về
didactic tốn, cung cấp cho tơi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Ban lãnh đạo Phòng Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành chương trình và các thủ tục bảo
vệ luận văn.
Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến tất cả các bạn khoá cao học 28 Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã cùng tôi trải qua khoảng thời gian đáng
nhớ vừa qua.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến những người thân u trong
gia đình ln động viên và là điểm tựa để tơi vượt qua mọi khó khăn.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 05 năm 2020
Học viên
NGUYỄN TRẦN THẠCH THẢO
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
Chương 1. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN ................................... 10
1.1. Phân tích đặc trưng khoa học luận phương trình đường thẳng trong
khơng gian ............................................................................................. 10
1.1.1. Hình học giải tích thời cổ đại ............................................................... 10
1.1.2. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 ............................................................ 11
1.2. Kết luận ....................................................................................................... 16
1.2.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển .................................................... 16
1.2.2. Các cách tiếp cận ................................................................................. 17
1.2.3. Phạm vi tác động.................................................................................. 17
Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI
TƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHƠNG GIAN .................................................................................... 18
2.1. Phần lý thuyết .............................................................................................. 21
2.1.1. Phương trình tham số của đường thẳng ............................................... 21
2.1.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian ..................... 24
2.2. Phần bài tập ................................................................................................. 27
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................... 41
3.1. Thực nghiệm A............................................................................................ 42
3.1.1. Mục đích .............................................................................................. 42
3.1.2. Thực trạng ............................................................................................ 42
3.1.3. Hình thức ............................................................................................. 42
3.1.4. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm .................................. 43
3.1.5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 58
3.1.6. Kết luận ................................................................................................ 64
3.2. Thực nghiệm B ............................................................................................ 64
3.2.1. Mục đích .............................................................................................. 64
3.2.2. Thực trạng ............................................................................................ 64
3.2.3. Hình thức ............................................................................................. 64
3.2.4. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm .................................. 64
3.2.5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................... 70
3.2.6. Kết luận ................................................................................................ 72
3.3. Kết luận ....................................................................................................... 72
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 74
PHỤ LỤC ............................................................................................................ PL1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
Chữ viết đầy đủ
KNV
Kiểu nhiệm vụ
SGK
Sách giáo khoa
SBT
Sách bài tập
HS
Học sinh
Ghi chú
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê kết quả khảo sát ................................................................. 1
Bảng 2.1. Thống kê phân loại bài toán ............................................................ 38
Bảng 3.1. Chi tiết trả lời câu 6- Phiếu 1 ........................................................... 59
Bảng 3.2. Lựa chọn chiến lược- Phiếu 1 .......................................................... 60
Bảng 3.3. Chi tiết trả lời câu 10- Phiếu 1 ......................................................... 61
Bảng 3.4. Chi tiết trả lời phiếu 2 ...................................................................... 62
Bảng 3.5. Lựa chọn chiến lược của các nhóm- Phiếu 3 ................................... 63
Bảng 3.6. Lựa chọn chiến lược ........................................................................ 70
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Hình 3.1. Biểu diễn điểm A, B ......................................................................... 45
Hình 3.2. Cơng cụ đường thẳng đi qua hai điểm ............................................. 46
Hình 3.3. Vẽ đường thẳng qua hai điểm A, B ................................................. 46
Hình 3.4. Thanh trượt k.................................................................................... 47
Hình 3.5. Lệnh Đường Thẳng (A, AB) ............................................................ 47
Hình 3.6. Tạo điểm C, D .................................................................................. 48
Hình 3.7. Lệnh Đường Thẳng (C,D) ................................................................ 48
Hình 3.8. Lệnh Tích VecTơ Có Hướng (AB, CD) .......................................... 49
Hình 3.9. Vẽ d’’ song song d ............................................................................ 50
Hình 3.10. d cắt d’ ............................................................................................ 50
Hình 3.11. d song song d’ ................................................................................ 51
Hình 3.12. Giao điểm d và d’ (a) ..................................................................... 51
Hình 3.13. Giao điểm d và d’ (b) ..................................................................... 52
Hình 3.14. Vị trí tương đối của d và d’ (a) ...................................................... 54
Hình 3.15. Vị trí tương đối của d và d’ (b) ...................................................... 55
Hình 3.16. Cơng cụ tìm đối tượng ................................................................... 55
Hình 3.17. Lệnh Tích Vơ Hướng (v, AB) ........................................................ 56
Hình 3.18. Mặt phẳng chứa d và d’.................................................................. 57
Hình 3.19. Biểu diễn d1 , d2 ............................................................................. 68
Hình 3.20. Tạo đường vng góc (a) ............................................................... 68
Hình 3.21. Tạo đường vng góc (b) ............................................................... 69
Hình 3.22. Giao điểm d và d2 .......................................................................... 69
Hình 3.23. Biểu diễn d vng góc d1 ............................................................... 71
Hình 3.24. Giao điểm của d và d2 .................................................................... 71
1
MỞ ĐẦU
1. Khảo sát ban đầu
Gần đây, chúng ta thường xuyên được nghe các cụm từ: “dạy học lấy học sinh
làm trung tâm”, “dạy học phát triển năng lực”, “đổi mới phương pháp dạy học” trên
báo đài, trong các cuộc họp chuyên môn,.. Tuy nhiên, những cụm từ ấy đã được phát
huy hết tác dụng chưa? Học sinh được làm chủ tiết học của mình khơng?
Xuất phát từ những băn khoăn, thắc mắc chúng tôi tiến hành khảo sát với giáo
viên - người tạo ra môi trường để những cụm từ trên thành hiện thực.
Nội dung câu hỏi khảo sát
1. Thầy/ Cô đã từng ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Tốn chưa?
2. Nếu có thì đó là những tri thức nào?
3. Nếu chưa, hãy nêu những nguyên nhân gây khó khăn hoặc cản trở thầy/ cơ?
4. Tri thức “Vị trí tương đối của hai đường thẳng” được Thầy/ Cô giảng dạy theo
phương pháp nào?
Bảng 1.1. Thống kê kết quả khảo sát
Câu 1
Có
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Chưa
GV1
x
3
Khách quan
Truyền thống
GV2
x
4
Khách quan
Truyền thống
GV3
x
2
Khách quan
Truyền thống
GV4
x
2
Chủ quan
Truyền thống
GV5
x
3
Khách quan
Truyền thống
GV6
x
1
Khách quan
Truyền thống
0
Chủ quan
Truyền thống
GV7
x
GV8
x
3
Khách quan
Truyền thống
GV9
x
5
Khách quan
Truyền thống
GV10
X
3
Khách quan
Truyền thống
0
Khách quan
Truyền thống
2
Khách quan
Truyền thống
GV11
x
GV12
x
Tỉ lệ
83,3%
16,7%
2
Theo kết quả thống kê có 83,3% giáo viên đã từng ứng dụng công nghệ thông
tin vào công tác giảng dạy. Tuy nhiên, số lượng bài được ứng dụng là rất ít so với
lượng tri thức cần dạy. Điều này làm chúng tôi đặt ra những câu hỏi: Do đâu việc ứng
dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy lại hạn chế? Học sinh có phát triển được
năng lực sử dụng công nghệ thông tin? Phương pháp giảng dạy đã thật sự đổi mới?
Những kết quả khảo sát ban đầu phần nào cung cấp cơ sở để chúng tôi lựa chọn
đề tài.
2. Lý do chọn đề tài và những câu hỏi ban đầu
Giáo viên ngày nay bên cạnh việc truyền đạt các kiến thức theo phương pháp
dạy học tích cực thì cần phải dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
Đặc biệt, trong bộ mơn Tốn “khơ khan” thì việc giúp các em hứng thú, say mê để có
thể phát triển hết các năng lực thì khơng phải việc dễ dàng.
Trong chương trình Tốn 12, chúng tơi nhận thấy tri thức “Phương trình đường
thẳng trong khơng gian” là tri thức gây khó khăn cho học sinh trong việc hiểu và ghi
nhớ các cơng thức. Từ đó, những câu hỏi ban đầu đã dần được hình thành:
“Giáo viên giảng dạy tri thức phương trình đường thẳng trong khơng gian theo
hình thức nào?”
“Học sinh tiếp cận phương trình đường thẳng trong khơng gian bằng phương
pháp nào?”
“Có thể phát triển năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn cho học sinh
thông qua tri thức này không?”
Theo yêu cầu cần đạt của chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn:
“Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh hình thành và phát triển được tính
chăm chỉ, kỉ luật, kiên trì, chính xác, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác,
trung thực; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Tốn. Đồng thời góp
phần hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực: tự chủ và tự học; giao tiếp
và hợp tác; giải quyết vấn đề và sáng tạo.
Đặc biệt, học sinh hình thành và phát triển được năng lực toán học, bao gồm các
thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng lực mơ hình hố tốn
3
học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp tốn học; năng lực sử
dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.”
Trong thời đại cơng nghệ tiến bộ như hiện nay, chúng tôi nhận thấy năng lực sử
dụng cơng cụ phương tiện học tốn là năng lực quan trọng và cần được bồi dưỡng.
Chính những yếu tố trên đã thúc đẩy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy
học phương trình đường thẳng trong khơng gian”. Trong phạm vi luận văn, chúng tôi
mong muốn gớp phần phát triển kĩ năng sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn cho
học sinh thơng qua tri thức phương trình đường thẳng trong không gian. Cụ thể hơn,
luận văn sẽ nghiên cứu về: “Ứng dụng phần mềm GeoGebra để dạy học phương trình
đường thẳng trong khơng gian”.
Những vấn đề chúng tơi quan tâm như sau:
Phương trình đường thẳng trong khơng gian được trình bày như thế nào
trong SGK Tốn 12 ở Việt Nam? Có những tổ chức tốn học nào gắn với tri
thức trên?
Giáo viên và học sinh đã ứng dụng công nghệ vào dạy và học như thế nào?
Ứng dụng GeoGebra như thế nào để học sinh khám phá được phương trình
đường thẳng trong khơng gian?
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên
cứu của mình trong khn khổ của lý thuyết didactic Tốn, cụ thể là Thuyết nhân
học- Chuyển hóa sư phạm và quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức, lý thuyết
tình huống và đồ án didactic.
3.1. Thuyết nhân học
Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của thuyết
nhân học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra (Lê Thị Hoài Châu, 2018).
a) Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức
Quan hệ thể chế
Quan hệ R(I, O) của thể chế I với đối tượng tri thức O là tập hợp các tác động
qua lại mà I có thể duy trì đối với O. Các tác động qua lại chẳng hạn như: I mô tả O
4
và nói về O như thế nào, sử dụng O ra sao? O xuất hiện thế nào trong I, có vai trị gì,
có quan hệ gì với những đối tượng khác,… trong I?
Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại
mà X có thể duy trì đối với O. Nó cho biết X nghĩ về O như thế nào, sử dụng O ra
sao?
Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập
hay điều chỉnh mối quan hệ R(X, O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của
thế chế I mà cá nhân X là một thành phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ
R(X, O). Muốn nghiên cứu R(X, O), ta cần đặt nó trong R(I, O).
b) Tổ chức tốn học
Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế
toán học cũng là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mơ hình cho phép mơ
tả và nghiên cứu thực tế đó. Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998)
đã đưa ra khái niệm tổ chức toán học.
Theo Chevallard, mỗi tổ chức toán học là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ, θ, Θ],
trong đó T là một kiểu nhiệm vụ;τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T; θ là cơng nghệ
giải thích cho kỹ thuật τ; Θ là lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ.
Một tổ chức toán học mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi
là một tổ chức toán học.
Việc phân tích tổ chức tốn học liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta
vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ
cá nhân X duy trì đối với tri thức O. Thơng qua các tổ chức toán học liên quan đến tri
thức O, giúp ta xác định HS hiểu như thế nào về O, sử dụng O ra sao?
3.2. Lý thuyết tình huống
Lý thuyết tình huống (LTTH) là một trong những lý thuyết cơ sở và ra đời sớm
nhất trong nghiên cứu Didactic Toán và được G. Brousseau xây dựng từ những năm
1980. Một trong những yếu tố cơ sở của LTTH là giả thuyết tâm lí theo quan điểm
tâm lí nhận thức của Piaget: chủ thể học bằng cách thích nghi (đồng hoá và điều tiết)
5
với mơi trường, nơi tạo ra những mâu thuẫn, khó khăn và mất cân bằng. Ở đây, môi
trường được tạo ra từ các tình huống do GV xây dựng nhờ phần mềm GeoGebra.
Nguyên tắc phương pháp luận cơ bản của LTTH là xác định kiến thức thông
qua một tập hợp tình huống tạo ra vấn đề (cần giải quyết) mà chỉ có kiến thức đó mới
cho phép giải quyết một cách tối ưu. Tập hợp các tình huống này bao gồm các bài
toán đặc thù cho một tri thức, trong đó HS phải xây dựng các cơng cụ kiến thức mới
so với kiến thức đã có để giải quyết bài tốn này. Brousseau mơ tả các tình huống
như sự tương tác giữa môi trường và HS. Một trong những vai trị mấu chốt của tình
huống didactic là cung cấp thơng tin và tác động phản hồi, trong đó tác động phản
hồi là thơng tin đặc biệt có từ mơi trường: nghĩa là thơng tin như một sự xác nhận tích
cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều chỉnh hành động này,
chấp nhận hay loại bỏ một giả thuyết, hay tiến hành một lựa chọn giữa nhiều cách
giải quyết.
Chúng tôi lựa chọn sử dụng một số khái niệm của lý thuyết tình huống như:
biến, chiến lược, phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm,.. Nó tạo điều kiện để
giải thích cho sự lựa chọn của chúng tơi đối với từng tình huống thực nghiệm. Do
vậy, chúng tơi xin trích dẫn một số khái niệm cần thiết:
3.2.1. Biến dạy học
Một họ các bài tốn có thể được sinh ra từ một tình huống bằng việc thay đổi
những giá trị của một số biến. Các biến này, đến lượt nó, lại làm thay đổi những đặc
trưng của các chiến lược giải (độ khó khăn, tính hợp thức, sự phức tạp,…). Chúng sẽ
là biến dạy học nếu bằng cách thực hiện sự tác động lên chúng, người ta có thể gây
nên những thích nghi và những điều tiết của việc học tập (G.Brousseau, 1980).
G. Brousseau gọi biến dạy học là những biến có thể làm thay đổi đặc trưng của
những chiến lược giải hay câu trả lời của HS và GV có thể thực hiện việc lựa chọn
các giá trị của biến.
3.2.2. Phân tích tiên nghiệm - Phân tích hậu nghiệm
Phân tích tiên nghiệm: là thiết lập một mơ hình dự kiến về thực tế. Khi phân
tích tiên nghiệm, người ta thường tìm cách xác định các yếu tố:
6
- Các biến dạy học có thể tác động trong tình huống cơ sở, những chiến lược
hay câu trả lời có thể xuất hiện và ảnh hưởng của biến trên chiến lược.
- Những cái có thể quan sát được, minh chứng các chiến lược hay câu trả lời.
- Những kiến thức ẩn đằng sau những chiến lược đó, nghĩa là những kiến thức
mầm mống cho sự nảy sinh các chiến lược.
- Những kiến thức có thể nảy sinh và các lựa chọn giá trị của biến tạo ra điều
kiện nảy sinh đó.
Phân tích hậu nghiệm: là dựng lại tình huống thực tế xảy ra khi triển khai thực
nghiệm tình huống tiên nghiệm. Trong đó, điểm mấu chốt là thực hiện sự phân tích
đối chứng giữa những cái đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm với những dữ liệu
và mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được khi triển khai tình huống thực nghiệm.
3.3. Đồ án dạy học
Theo Artigue M. (1988) (M. Artigue, 1988) và Chevallard Y. (1982), đồ án
dạy học là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình
thức cơng việc dạy học tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức
khoa hoạ thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều
so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học.
Sau đây là một số yếu tố về khái niệm đồ án didactic:
Chức năng kép của đồ án dạy học
Đồ án dạy học cho phép thực hiện:
-
Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các nghiên cứu dạy học
trước.
-
Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc
nghiên cứu, bằng việc thực hiên chúng trong một hệ thống giảng dạy.
Các pha khác nhau của phương pháp đồ án
1. Các phân tích ban đầu: dựa trên
-
Các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực.
-
Một phân tích khoa học luận về tri thức trong trị chơi.
-
Một phân tích các kiến thức của học sinh (các quan niệm), các khó khăn gặp
phải trong việc học (các chướng ngại).
7
-
Một phân tích thể chế (chương trình, SGK,..)
2. Quan niệm về lớp (kịch bản), phân tích tiên nghiệm.
3. Thực nghiệm và tổ chức các quan sát.
4. Phân tích hậu nghiệm và sự hợp thức hố nội tại.
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu và mục tiêu nghiên cứu
4.1. Mục tiêu tổng quát
Xây dựng đồ án dạy học phương trình đường thẳng trong khơng gian góp phần
phát triển kĩ năng sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn cho học sinh.
4.2. Mục tiêu cụ thể
Làm rõ đặc trưng của phương trình đường thẳng trong khơng gian trong thể chế
dạy học Toán lớp 12 hiện hành.
Xây dựng biểu mẫu khảo sát mức độ ứng dụng GeoGebra để dạy và học tri thức
phương trình đường thẳng trong khơng gian.
Xây dựng tình huống dạy học Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong khơng
gian góp phần phát triển năng lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn cho học sinh.
Cụ thể hoá mục tiêu trên bằng những câu hỏi nghiên cứu sau đây:
-
CH1: Hình học giải tích nói chung và phương trình đường thẳng nói riêng
có những đặc trưng khoa học luận nào? Bài toán nào gợi ý cho phương pháp
toạ độ? Phương trình đường thẳng có những cách tiếp cận nào?
-
CH2: Sự xuất hiện phương trình đường thẳng trong khơng gian trong thể
chế Toán lớp 12 THPT ở Việt Nam như thế nào? Vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng trong khơng gian có những cách tiếp cận nào? Những tổ chức
tốn học nào liên quan đến vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không
gian?
-
CH3: Xây dựng đồ án dạy học bằng GeoGebra như thế nào để học sinh
khám phá được tri thức phương trình đường thẳng trong không gian?
5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn
5.1. Các phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tơi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên
cứu của mình như sau:
8
Phương pháp nghiên cứu lí luận
Phân tích, tổng hợp một số cơng trình đã có để làm rõ phạm vi lí thuyết tham
chiếu của đề tài. Đặc biệt làm rõ các vấn đề liên quan đến khái niệm mơ hình hóa.
Phân tích lịch sử phát triển của phương trình đường thẳng nhằm làm rõ một số
kiểu bài tốn hay tình huống làm nảy sinh tri thức. Mối liên hệ, tác động của phương
trình đường thẳng đến các tri thức khác. Nghiên cứu này đồng thời là một tham chiếu
cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện phía sau.
Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học Hình học lớp 12 đối với phương trình
đường thẳng trong khơng gian
Dựa vào phân tích trên, chúng tơi sẽ nghiên cứu quan hệ thể chế đối với phương
trình đường thẳng trong khơng gian. Nghiên cứu thể chế được tiến hành qua việc phân
tích chương trình và SGK hình học lớp 12. Nghiên cứu này cần phải chỉ rõ phương
trình đường thẳng trong khơng gian cũng như vị trí tương đối giữa chúng được đưa
vào chương trình và SGK như thế nào?
Trong sự lựa chọn của các tác giả chương trình và SGK chúng có mối quan hệ
gì? Người ta u cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào? Chúng tôi cũng sẽ chỉ
ra các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
trong khơng gian trong dạy học hình học lớp 12.
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Nghiên cứu thực nghiệm
Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tơi sẽ có thể đưa ra những giả
thuyết về việc học tập vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Để
kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tơi cần phải trở về với thực tế
dạy học. Nghiên cứu thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết
đưa ra.
5.2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.
Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn
đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu
và cấu trúc của luận văn.
9
Chương 1 của luận văn, chúng tôi tiến hành điểm lại lịch sử hình thành hình
học giải tích nói chung, và phương trình đường thẳng trong khơng gian nói riêng. Các
hình thức tiếp cận của phương trình đường thẳng trong khơng gian. Từ đó, chúng tơi
cố gắng chỉ ra những cơ sở nhằm trả lời cho câu hỏi CH1.
Chương 2 là một nghiên cứu về quan hệ thể chế dạy học hình học lớp 12 với
đối tượng tri thức “phương trình đường thẳng trong khơng gian”. Chúng tơi sẽ nghiên
cứu chương trình, tài liệu hướng dẫn giáo viên, SGK. Thơng qua việc phân tích SGK,
chúng tơi sẽ cố gắng chỉ rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật,... có mặt trong phần vị
trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Những nghiên cứu này sẽ giúp
chúng tôi xác định rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng “vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng trong khơng gian”, đồng thời cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2, từ
đó làm cơ sở hình thành một số giả thuyết nghiên cứu. Chúng tơi chọn phân tích cà
hai bộ sách Hình học 12 do nhóm tác giả Trần Văn Hạo làm chủ biên và bộ sách Hình
học 12 nâng cao do nhóm tác giá Đồn Quỳnh làm chủ biên.
Chương 3 nhằm trả lời câu hỏi CH3, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm, thực
nghiệm thứ 1 là khảo sát mức độ Ứng dụng GeoGebra vào việc dạy và học của Giáo
viên và học sinh. Thực nghiệm thứ 2 là ứng dụng GeoGebra để dạy học tri thức Vị trí
tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.
Phần kết luận là tổng hợp các kết quả chúng tôi đã nghiên cứu được, từ đó có
hướng mở rộng cho luận văn.
10
Chương 1
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Phương trình đường thẳng trong khơng gian là một yếu tố của hình học giải tích,
vì vậy chúng tơi bắt đầu từ việc nghiên cứu lịch sử hình thành hình học giải tích với
mong muốn tìm được nguồn gốc sơ khai nhất. Thơng qua đó làm rõ những đặc trưng
khoa học luận cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian. Bằng cách
điểm lại phần lịch sử hình thành, tổng hợp kết quả từ cơng trình nghiên cứu của các
tác giả Lê Quang Minh (Lê Quang Minh, 2009), (Nguyễn Minh Phong, 2012). Từ đó
làm cơ sở trả lời các câu hỏi sau:
Hình học giải tích đã xuất hiện và tác động đến các bài toán nào?
Những đối tượng, những khái niệm tốn học nào có liên quan và góp phần làm
nảy sinh tri thức phương trình đường thẳng trong khơng gian?
Phương trình đường thẳng trong khơng gian có những cách tiếp cận nào?
1.1. Phân tích đặc trưng khoa học luận phương trình đường thẳng trong
khơng gian
1.1.1. Hình học giải tích thời cổ đại
Apollonius (262-190 TCN)
Ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cơnic dựa theo phương trình của
chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic) được định nghĩa là
giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học đơn giản như quan
hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vng góc trong “hình học giải tích” mà
ơng xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặt chẽ, thậm chí là đồng nhất giữa chúng với
các khái niệm, các quan hệ hình học của hình học tổng hợp. Một vài quan hệ hình
học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi hình học giải tích, dựa trên đặc trưng
độ dài, diện tích… của chúng. Do vậy, hình học giải tích ở giai đoạn này chỉ ở giai
đoạn ý tưởng, mầm móng.
Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một
đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” khơng tượng trưng. Ông cho rằng nếu
11
tọa độ 𝑥 và 𝑦 của một điểm M có tỉ lệ cho trước 𝑦 = 𝑎𝑥, hoặc nếu 𝑥 tăng một hằng
số và có một tỉ lệ cho trước đối với, 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑏)thì quỹ tích những điểm 𝑀 nằm
trên một đường thẳng.
1.1.2. Hình học giải tích thế kỉ 17-18
Rene Descartes (1596-1650)
Việc sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một
bề mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế
kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài tốn hình
học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R. Descartes đã nảy
ra ý tưởng về tọa độ khi ơng nhìn thấy một con cơn trùng bay trước những ơ kính cửa
sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát các bài tốn hình học theo phương
pháp đại số.
Cách giải một bài tốn hình học của Descartes là “dịch nó sang ngơn ngữ các
phương trình đại số, biến đổi chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi dùng các
phép dựng hình học để giải chúng, bằng cách sử dụng tương ứng mà ông đã thiết lập
giữa các phép toán đại số và phép dựng hình học” (R. Descartes, 1954).
Bài tốn gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ là bài toán
Pappus, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:
“Cho 2𝑛 (hoặc 2𝑛 − 1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho
tỉ số của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một
góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới 𝑛 (hoặc 𝑛 − 1) đường
thẳng cịn lại là một số khơng đổi”
Đây là một bài tốn rất khó của hình học, trong lịch sử gần hơn một ngàn năm
trăm năm xuất hiện của nó, cho tới thời của Descartes, chỉ có một số bài giải của các
trường hợp đặc biệt trong trường hợp ba, hoặc bốn đường thẳng. Ta xét cách làm của
Descartes trong trường hợp bốn đường thẳng và không có bất kì hai đường nào trong
số đó song song với nhau.
Như trong lời giải được dịch từ cuốn “The geometry of Rene Descartes” trích
bởi Nguyễn Minh Phong (2012) như sau:
12
“Gọi điểm cần tìm là 𝐶. Gọi các đoạn thẳng dựng được từ 𝐶 xuống bốn đường
thẳng đã cho là 𝐶𝐵, 𝐶𝐷, 𝐶𝐹, 𝐶𝐻. Chọn một trong bốn đường thẳng làm gốc, ba đường
thẳng còn lại cắt đường thẳng gốc tại 𝐴, 𝐸, 𝐺. Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥, 𝐵𝐶 = 𝑦. Ba đường thẳng
còn lại cắt 𝐵𝐶 tại 𝑅, 𝑆, 𝑇. (hình vẽ)
Vì các góc của tam giác ARB đã biết nên tỉ số giữa cạnh AB và BR hoàn toàn
xác định. Đặt
𝐴𝐵
𝐵𝑅
𝑧
𝑏𝑥
𝑏
𝑧
= , mà 𝐴𝐵 = 𝑥 nên 𝐵𝑅 =
.
Vì 𝐵 nằm giữa 𝐶 và 𝑅 nên 𝐶𝑅 = 𝐶𝐵 + 𝐵𝑅 = 𝑦 +
thì 𝐶𝑅 = 𝑦 −
𝑏𝑥
𝑧
𝑏𝑥
hoặc C nằm giữa B, R thì 𝐶𝑅 =
𝑧
𝑏𝑥
𝑧
(cịn nếu 𝑅 nằm giữa 𝐵, 𝐶
− 𝑦).
Lại có: ba góc của tam giác 𝐷𝑅𝐶 đã biết, do đó tỉ số giữa cạnh 𝐶𝑅 và 𝐶𝐷 cũng
xác định. Gọi
𝐶𝑅
𝐶𝐷
𝑧
𝑏𝑥
𝑐
𝑧
= vì 𝐶𝑅 = 𝑦 +
nên 𝐶𝐷 =
𝑐𝑦
𝑧
+
𝑏𝑥
𝑧2
.
Vì các đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐸𝐹 cố định nên độ dài đoạn 𝐴𝐸 đã biết. Nếu đặt
𝐴𝐸 = 𝑘 thì 𝐸𝐵 = 𝑘 + 𝑥 (hoặc 𝐸𝐵 = 𝑘 − 𝑥 khi B nằm giữa 𝐴, 𝐸 và 𝐸𝐵 = 𝑥 − 𝑘 khi
𝐸 nằm giữa 𝐴, 𝐵). Vì các góc tam giác 𝐸𝑆𝐵 đã biết nên tỉ số của 𝐵𝐸 và 𝐵𝑆 đã biết.
Gọi tỉ số này là
𝑧𝑦−𝑑𝑘−𝑑𝑥
𝐶𝑆 =
𝑧
𝑧
𝑑
thì 𝐵𝑆 =
𝑑𝑘+𝑑𝑥
𝑧
và 𝐶𝑆 =
𝑧𝑦+𝑑𝑘+𝑑𝑥
𝑧
, cịn nếu 𝐶 nằm giữa 𝐵, 𝑆 thì 𝐶𝑆 =
(nếu 𝑆 nằm giữa 𝐵, 𝐶 thì
−𝑧𝑦+𝑑𝑘+𝑑𝑥
𝑧
).
Tương tự, các góc của tam giác FSC đã biết nên tỉ số
𝐶𝐹 =
ta đặt
𝑒𝑧𝑦+𝑑𝑒𝑘+𝑑𝑒𝑥
𝐵𝐺
𝐵𝑇
𝑧2
𝐶𝑆
𝐶𝐹
𝑧
= . Do đó
𝑒
. Mà độ dài 𝐴𝐺 = 𝑙 cố định và 𝐵𝐺 = 𝑙 − 𝑥. Trong tam giác BGT,
𝑧
𝑓𝑡−𝑓𝑥
𝑓
𝑧
= thì 𝐵𝑇 =
và 𝐶𝑇 =
𝑔𝑧𝑦+𝑓𝑔𝑙−𝑓𝑔𝑥
𝑧2
.
13
Khi đã có các đoạn thẳng cần tìm, dựa vào giả thiết và rút gọn, Descartes tìm thấy
quỹ tích điểm C là phương trình có dạng như sau:
𝑝
𝑛
𝑚
𝑧
𝑦 = √ 𝑥 2 + 𝑜𝑥 + 𝑚2 − 𝑥 + 𝑚.”
Như vậy, rõ ràng ở đây Descartes đã có ý tưởng chuyển đổi ngơn ngữ từ thuần
t hình học sang đại số, chuyển các mối liên hệ hình học sang quan hệ quan hệ đại
số dựa trên đặc trưng số của đối tượng.
Pierre de Fermat (1601-1665)
Trong tác phẩm “mở đầu và nghiên cứu các quĩ tích phẳng và khơng gian”,
Fermat phát biểu quan điểm về hình học giải tích của mình như sau: “…mỗi lần khi
trong phương trình cuối cùng ta có hai đại lượng chưa biết thì sẽ có quĩ tích và điểm
cuối cùng của một trong chúng vạch ra một đường thẳng hoặc đường cong. Để thiết
lập phương trình, ta xét hai đại lượng chưa biết tạo với nhau một góc đã cho (thường
là góc vng) và xét vị trí điểm cuối của một trong hai đại lượng chưa biết đó”
(Nguyễn Minh Phong, 2012).
Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình
biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một phương
trình và đi xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó.
Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng: “Nếu
phương trình là 𝑎𝑥 = 𝑏𝑦 (𝑎 và 𝑏 là những hằng số), quỹ tích là một đường thẳng và
nếu phương trình là 𝑐 2 − 𝑎𝑥 = 𝑏, quỹ tích vẫn là một đường thẳng.”
Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa
phương trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai
khó khăn sau:
- Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc khơng có
duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay
tất cả các phương trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến những
chữ chỉ biểu diễn những số dương, vì vậy khơng có một cách viết nào tính đến đồng
thời hai phương trình 𝑎𝑥 – 𝑐 = 𝑏𝑦 và 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝑏𝑦 bởi vì +𝑐 và – 𝑐 khơng phải
cùng một thứ như nhau.
14
- Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải
quyết những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các
trường hợp hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết
luận rằng chúng ta có thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu
chúng ta thay đổi trường hợp, cần phải thay đổi hình vẽ.
Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các
trục cho trước làm phức tạp nhiều cho bài tốn…
Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ơng giả sử
xác định phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên
nghiệm một phương trình cho trước vì khơng có trục cho trước và phương trình được
xem xét có tất cả các nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên một quỹ
tích nào đó xác định cùng một phương trình.
Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu
thế kỷ XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ
trục tọa độ khơng phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa độ
âm cho phép đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định
phương trình của một đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình
hoặc những phương trình của một đường. Theo Glaeser (1986), loại phương trình
đường thẳng đầu tiên được đề cập trong tác phẩm của Lagrange xuất hiện năm 1770.
Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất hiện trong cùng năm đó, một của hầu tước
L’Hospital và một của Marie - Gaetana Agnesi, các tác giả đưa ra ba phương trình
đường thẳng:
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑦 = −𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑦 = 𝑎𝑥 − 𝑏
Phương trình 𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑏 khơng được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó
khơng đi qua góc phần tư thứ nhất.
Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng
phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm khác
của phương pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài tốn hình học thành bài
tốn đại số, với phương pháp giải tích người ta hồn tồn thốt khỏi phạm vi hình
học, và do đó mà khơng tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tịi lời giải
15
bài tốn…”. Từ đó, “ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học
sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình
học” đã được Leibniz khởi xướng. Khuynh hướng này đã dẫn đến các nhà toán học
xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX.
Trong lịch sử, lý thuyết vectơ và hình học giải tích được xây dựng độc lập với
nhau. Tuy nhiên, sự ra đời của lý thuyết vectơ đã làm cho việc nghiên cứu hình học
giải tích trở nên dễ dàng hơn, bởi vì, như tác giả Lê Thị Hồi Châu (1997) đã phân
tích, bằng cách đặt các vectơ vào một hệ tọa độ, người ta đã tạo ra sự liên thơng giữa
hai phương pháp vectơ và giải tích. Chính vì thế mà các giáo trình tốn ngày nay đều
xây dựng hình học giải tích trên cơ sở một khơng gian vectơ.
Theo nghiên cứu “Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường
trung học phổ thơng” của tác giả Lê Quang Minh (2009), vectơ đóng vai trị quan
trọng trong việc xây dựng phương trình đường thẳng.
“Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp
nhiều khó khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp của
Fermat là việc gán một phương trình (đại số) bởi một đường.
Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hồn tồn thốt
khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong q
trình tìm tịi lời giải bài tốn.
Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải quyết.
Việc nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại
trong phạm vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận hồn
tồn dựa vào khơng gian vectơ.”
Sau khi phân tích chi tiết giáo trình Hình học cao cấp của Nguyễn Mộng Hy,
tác giả Lê Quang Minh đưa ra hai hướng tiếp cận phương trình đường thẳng trong
khơng gian:
-
Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ
(sử dụng vectơ chỉ phương)
-
Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số từ một hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn:
16
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 + 𝑑1 = 0
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 + 𝑑2 = 0
1.2. Kết luận
Việc tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu lịch sử của lý thuyết phương
trình đường thẳng ở trên cho phép chúng tơi hình dung được q trình nảy sinh, phát
triển của nó và đặc biệt là một số đặc trưng khoa học luận của phương trình đường
thẳng.
1.2.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển
Giai đoạn 1: Hình học giải tích thời cổ đại: Apollonius (262 - 190 TCN) là người
đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một đường thẳng nhưng chỉ dưới hình thức
“tu từ” khơng tượng trưng. Một vài quan hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển
sang phạm vi hình học giải tích, dựa trên đặc trưng độ dài, diện tích… của chúng. Do
vậy, hình học giải tích ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý tưởng, mầm móng.
Giai đoạn 2: Hình học giải tích thế kỉ 17 - 18
Rene Descartes (1596 - 1650): Bài toán gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra
phương pháp tọa độ là bài toán Pappus, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:
“Cho 2𝑛 (hoặc 2𝑛 − 1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho
tỉ số của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một
góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới 𝑛 (hoặc 𝑛 − 1) đường
thẳng còn lại là một số khơng đổi”. Descartes đã có ý tưởng chuyển đổi ngơn ngữ từ
thuần t hình học sang đại số, chuyển các mối liên hệ hình học sang quan hệ quan
hệ đại số dựa trên đặc trưng số của đối tượng.
Pierre de Fermat (1601 - 1665) là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng
trưng, phương trình biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Fermat đã gặp hai khó
khăn: khơng có duy nhất một cách viết phương trình của một quỹ tích và khơng thể
tổng qt cho tất cả các trường hợp hình vẽ.
Giai đoạn 3: (Giai đoạn sau Descartes, Fermat), Hình học giải tích đã có định
nghĩa riêng cho các khái niệm hình học. Đến cuối thế kỷ XVII và đầu thế kỷ XVIII:
Với sự phát triển của những phương pháp giải tích những khó khăn mà Fermat gặp
phải đã được giảm bớt.
