Cac ham phan phoi xac suat

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 68 trang )

(1)Các phân phối xác suất thường gặp Hoàng Văn Hà Ngày 21 tháng 10 năm 2012. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 1.

(2) Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Các phân phối rời rạc. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 2.

(3) Biến ngẫu nhiên Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Định nghĩa 1 (Biến ngẫu nhiên Bernoulli). Thực hiện một phép thử, ta quan tâm đến biến cố A. Nếu biến cố A xảy ra (thành công) thì X nhận giá trị là 1 (X = 1), ngược lại biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0. Phép thử này gọi là phép thử Bernoulli. Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p, 0 < p < 1 P (A) = P (X = 1) = p và . P Ā = P (X = 0) = 1 − p = q Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B(1; p).. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 3.

(4) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặt. sấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa.. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 4.

(5) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặt. sấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa. ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếu. gặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém.. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 4.

(6) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặt. sấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa. ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếu. gặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém. ✔ Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: X = 0 nếu trả lời. đúng, X = 1 nếu trả lời sai.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 4.

(7) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Ví dụ 1. Các phép thử sau đây cho kết quả là một biến ngẫu nhiên Bernoulli ✔ Tung ngẫu nhiên một đồng xu: X = 1 nếu xuất hiện mặt. sấp, X = 0 nếu xuất hiện mặt ngửa. ✔ Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm trong lô hàng: X = 1 nếu. gặp được sản phẩm tốt, X = 0 nếu gặp được sản phẩm kém. ✔ Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: X = 0 nếu trả lời. đúng, X = 1 nếu trả lời sai. ✔ Khảo sát một ca sinh: X = 0 nếu sinh con trai, X = 1 nếu. sinh con gái.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 4.

(8) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) có dạng X. 1. 0. P. p. q. với q = 1 − p.. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 5.

(9) Phân phối Bernoulli Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) có dạng X. 1. 0. P. p. q. với q = 1 − p. Dựa vào bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X ta dễ dàng tính được E(X) = p Var(X) = pq. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 5.

(10) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Định nghĩa 2 (Binomial distribution). Thực hiện n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất thành công trong mỗi phép thử là p. Gọi X là số lần thành công (biến cố A xảy ra) trong n phép thử thì X = X1 + · · · + Xn với Xi , (i = 1, . . . , n), là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với cùng tham số p. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị S = {0, . . . , n} và xác suất. Các phân phối liên tục. P (X = k) = Cnk pk q n−k ,. k∈S. (1). X được gọi là có phân phối nhị thức với các tham số n, p ký hiệu X ∼ B (n; p).. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 6.

(11) Phân phối nhị thức - hàm xác suất Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 7.

(12) Phân phối nhị thức - hàm phân phối Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 8.

(13) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Ví dụ 2. Tại một địa phương tỷ lệ sốt rét là 25%. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất (a) Có 4 người bị sốt rét. (b) Có ít nhất 1 người bị sốt rét.. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 9.

(14) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Định lý 3 (Các đặc trưng của BNN có phân phối nhị thức). Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B (n, p) thì i) E (X) = np. ii) Var (X) = npq. iv) Với x, h là hai số nguyên nguyên dương thì P (x ≤ X ≤ x + h) =P (X = x) + P (X = x + 1) + · · · · · · + P (X = x + h) .. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 10.

(15) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Ví dụ 3. Một học sinh làm một bài thi trắc nghiệm có 60 câu hỏi, mỗi câu có 5 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Biết rằng học sinh không học bài và đánh ngẫu nhiên toàn bộ bài thi. Tính xác suất: (a) Học sinh làm đúng ít nhất 1 câu. (b) Học sinh làm đúng 30 câu. (b) Số câu trả lời đúng trung bình mà học sinh làm được là bao nhiêu? Tính phương sai của số câu trả lời đúng.. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 11.

(16) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Ví dụ 4. Trong một nhà máy, hàng đóng thành kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Khi kiện hàng được giao cho khách hàng, khách hàng sẽ lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm trong kiện để kiểm tra. Nếu cả hai sản phẩm đều tốt, kiện hàng sẽ được nhận, ngược lại kiện hàng sẽ bị trả lại. Gọi X là số kiện hàng được nhận trong số 50 kiện hàng giao cho khách hàng. (a) Tính xác suất có 40 kiện hàng được nhận. (b) Tính E (X) và Var (X).. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 12.

(17) Phân phối nhị thức Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Ví dụ 5. Trong các chuyến bay, có thể có những hành khách bỏ chuyến bay mặc dù đã đặt vé trước. Một hãng hàng không bán ra 125 vé cho một chuyến bay chỉ có 120 ghế. Xác suất một hành khác vắng mặt là 0.10 và độc lập với các hành khách khác. (a) Tính xác suất tất cả những hành khác có mặt tại sân bay đều có thể thực hiện chuyến bay (có đủ ghế). (b) Xác suất máy bay cất cánh mà còn dư ghế ngồi là bao nhiêu?. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 13.

(18) Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tín hiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suất một bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x. x n−x λ x λ = Cn 1− n n. Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 14.

(19) Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tín hiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suất một bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x. x n−x λ x λ = Cn 1− n n. Giả sử số truyền đi tăng lên và xác suất một bit lỗi giảm xuống sao cho np không đổi. Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảm sao cho E(X) = λ là hằng số.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 14.

(20) Phân phối Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Ví dụ 6. Giả sử ta cần truyền đi n bit qua một kênh truyền tín hiệu số. Gọi X là số bit lỗi trong n bit được truyền. Khi xác suất một bit bị lỗi là hằng số và việc truyền tín hiệu độc lập, X có phân phối nhị thức. Gọi p là xác suất một bit truyền đi bị lỗi. Đặt λ = np thì E(X) = np = λ và P (X = x) = Cnx px (1 − p)n−x. x n−x λ x λ = Cn 1− n n. Giả sử số truyền đi tăng lên và xác suất một bit lỗi giảm xuống sao cho np không đổi. Nghĩa là, n và p đồng thời tăng và giảm sao cho E(X) = λ là hằng số. Ta có thể chỉ ra e−λ λx , x = 0, 1, 2, . . . lim P(X = x) = n→∞ x! Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 14.

(21) Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Định nghĩa 4 (Poissson distribution). Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, . . . gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P (λ) nếu e−λ λx , x = 0, 1, 2 . . . f (x) = P(X = x) = x!. (2). Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 15.

(22) Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Định nghĩa 4 (Poissson distribution). Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị từ 0, 1, 2, . . . gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P (λ) nếu e−λ λx , x = 0, 1, 2 . . . f (x) = P(X = x) = x!. (2). Kỳ vọng và phương sai của X lần lượt bằng. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson. E(X) = λ. Các phân phối liên tục. Var(X) = λ. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 15.

(23) Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Một số biến ngẫu nhiên mô tả các sự kiện sau thường được xem là tuân theo phân phối Poisson i) Số lỗi in trong một (hoặc một số) trang sách. ii) Số cặp trẻ sinh đôi trong một năm tại một bệnh viện. iii) Số người đến một bưu điện nào đó trong một ngày. iv) Số tai nạn hoặc sự cố giao thông xảy ra tại một điểm giao thông trong một ngày .... Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 16.

(24) Định nghĩa Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Một số biến ngẫu nhiên mô tả các sự kiện sau thường được xem là tuân theo phân phối Poisson i) Số lỗi in trong một (hoặc một số) trang sách. ii) Số cặp trẻ sinh đôi trong một năm tại một bệnh viện. iii) Số người đến một bưu điện nào đó trong một ngày. iv) Số tai nạn hoặc sự cố giao thông xảy ra tại một điểm giao thông trong một ngày ... Các biến ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả, "đếm" số lần xảy ra của một biến cố, sự kiện nào đó xảy ra trong một khoảng thời gian và thỏa một số điều kiện (các điều kiện này thường thỏa mãn trong thực tế) thường được mô tả bằng phân phối Poisson.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 16.

(25) Hàm xác suất Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 17.

(26) Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 18.

(27) Ví dụ Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Ví dụ 7. Giả sử số lỗi in trong một trang nào đó của quyển sách có phân phối Poisson với tham số λ = 21 . Tính xác suất có ít nhất một lỗi in trong trang này. Ví dụ 8. Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài điện thoại trong một giờ có phân phối Poisson với λ = 10. Tính xác suất (a) Có 5 cuộc điện thoại gọi đến trong một giờ. (b) Có nhiều nhất 3 cuộc điện thoại gọi đến trong một giờ. (c) Có 15 cuộc điện thoại gọi đến trong hai giờ. (d) Có 5 cuộc điện thoại gọi đến trong 30 phút.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 19.

(28) Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ. Định lý 5. Cho X ∼ B(n, p), nếu n → ∞ và p → 0 sao cho np → λ thì e−λ λx P(X = x) = x! Trong thực tế, phân phối Poisson sẽ xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức khi n ≥ 100 và np ≤ 10.. Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 20.

(29) Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Định lý 5. Cho X ∼ B(n, p), nếu n → ∞ và p → 0 sao cho np → λ thì e−λ λx P(X = x) = x! Trong thực tế, phân phối Poisson sẽ xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức khi n ≥ 100 và np ≤ 10. Ví dụ 9. Trong một đợt tiêm chủng cho trẻ em ở một khu vực, biết xác suất một trẻ bị phản ứng với thuốc sau khi tiêm là 0,001. Thực hiện tiêm cho 2000 trẻ, tính xác suất có nhiều nhất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc sau khi tiêm.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 20.

(30) Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối rời rạc Biến ngẫu nhiên Bernoulli Phân phối nhị thức Phân phối nhị thức hàm xác suất Phân phối nhị thức hàm phân phối Phân phối Poisson Định nghĩa Hàm xác suất Ví dụ Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp Poisson Các phân phối liên tục. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 21.

(31) Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Các phân phối liên tục. Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 22.

(32) Phân phối đều Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Định nghĩa 6 (Uniform distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U ([a; b]), nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng 1 b−a f (x) =  0  . Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. khi x ∈ [a, b] nơi khác. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 23.

(33) Phân phối đều Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Định nghĩa 6 (Uniform distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu X ∼ U ([a; b]), nếu hàm mật độ xác suất của X có dạng 1 b−a f (x) =  0  . Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. khi x ∈ [a, b] nơi khác. Từ định nghĩa trên ta có được hàm phân phối xác suất của X ∼ U ([a; b]). Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp.   0    x−a F (x) =  b−a    1. khi x < a khi x ∈ [a, b] khi x > b Ha Hoang V. – 23.

(34) Phân phối đều - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 24.

(35) Phân phối đều - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 25.

(36) Kỳ vọng và phương sai của pp đều Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Định lý 7 (Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên có phân phối đều). Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [a, b] (X ∼ U ([a; b])) thì i) Kỳ vọng E (X) =. a+b . 2. (b − a)2 ii) Phương sai Var (X) = . 12. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 26.

(37) Phân phối đều Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Ví dụ 10. Lịch xuất bến của một trạm xe buýt như sau: chiếc xe đầu tiên trong ngày sẽ khởi hành vào lúc 7h, sau 15 phút sẽ có một xe khác đến trạm. Giả sử một hành khách đến trạm trong khoảng thời gian từ 7h - 7h30. Tìm xác suất để hành khách này chờ (a) ít hơn 5 phút. (b) ít nhất 12 phút.. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 27.

(38) Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Định nghĩa 8 (Exponential distribution). Biến ngẫu nhiên T (t > 0) gọi là có phân phối mũ, ký hiệu X ∼ Exp(λ), nếu nó có hàm mật độ xác suất f (t) = λe−λt ,. t>0. (3). trong đó • λ: số biến cố trung bình xảy ra trong một đơn vị thời gian • t: số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 28.

(39) Các đặc trưng của phân phối mũ Các phân phối rời rạc. Hàm phân phối của T :. Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt ,. t>0. (4). Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 29.

(40) Các đặc trưng của phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ. Hàm phân phối của T : F (t) = P (T ≤ t) = 1 − e−λt ,. t>0. (4). Định lý 9. Nếu T ∼ Exp(λ) thì kỳ vọng và phương sai của T lần lượng bằng. Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. 1 λ 1 Var(T ) = 2 λ E(T ) =. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 29.

(41) Phân phối mũ - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 30.

(42) Phân phối mũ - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 31.

(43) Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Ví dụ 11. Trong một mạng máy tính ở một công ty, biết rằng số người dùng đăng nhập vào mạng trong một giờ có phân phối Poisson với trung bình bằng 25. (a) Tính xác suất không có người dùng nào đăng nhập trong khoảng thời gian 6 phút. (b) Tính xác suất lần đăng nhập kế tiếp cách lần đăng nhập đầu từ 2 đến 3 phút.. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 32.

(44) Phân phối mũ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối. Ví dụ 12. Số khách hàng đến làm thủ tục tại một quầy dịch vụ ở ngân hàng với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu? Ví dụ 13. Trong một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, biết tuổi thọ của một mạch điện là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tuổi thọ trung bình 6.25 năm. Nếu thời gian bảo hành của sản phẩm là 5 năm. Hỏi tỷ lệ sản phẩm bảo hành của nhà máy là bao nhiêu?. Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 33.

(45) Tính chất Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Định lý 10 (Tính mất trí nhớ - Lack of memory). Nếu T là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ thì, P (T < t1 + t2 |T > t1 ) = P (T < t2 ). (5). Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 34.

(46) Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Định nghĩa 11 (Normal distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng ! 2 (x − µ) 1 − ∞ < x < +∞ (6) f (x) = √ exp − 2 2σ σ 2π trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N µ; σ 2 .. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 35.

(47) Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Định nghĩa 11 (Normal distribution). Biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (−∞, +∞) được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ, σ nếu hàm mật độ xác suất có dạng ! 2 (x − µ) 1 − ∞ < x < +∞ (6) f (x) = √ exp − 2 2σ σ 2π trong đó µ, σ là hằng số và σ > 0, −∞ < µ < +∞, ký hiệu X ∼ N µ; σ 2 . Nếu X ∼ N (µ, σ 2 ). E(X) = µ. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Var(X) = σ 2. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 35.

(48) Phân phối chuẩn - Tính chất Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối. ✔ Đồ thị có dạng như một cái chuông ✔ Phân phối đối xứng ✔ Trung bình = trung vị (median) = Yếu vị (mode) ✔ Vị trí của phân phối được xác định bởi kỳ vọng µ ✔ Độ phân tán được xác định bởi độ lệch tiêu chuẩn σ ✔ Xác định trên R. Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 36.

(49) Phân phối chuẩn - Hàm mật độ Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 37.

(50) Phân phối chuẩn - Hàm phân phối Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 38.

(51) Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Nhờ vào định lý sau, nên nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến đổi tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn. Định lý 12 (Tính "tuyến tính" của phân phối chuẩn). Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ 2 và nếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2 σ 2 .. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 39.

(52) Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Nhờ vào định lý sau, nên nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn thì biến đổi tuyến tính của X cũng có phân phối chuẩn. Định lý 12 (Tính "tuyến tính" của phân phối chuẩn). Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ, phương sai σ 2 và nếu Y = aX + b, (a, b là hằng số và a 6= 0), thì Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng aµ + b và phương sai a2 σ 2 . Định lý 13. Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , . . . , Xn là độc lập và nếu Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi2 , (i = 1, 2, . . . , n), thì tổng X1 + · · · + Xn có phân phối chuẩn với kỳ vọng là µ1 + · · · + µn và phương sai là σ12 + · · · + σn2 .. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 39.

(53) Phân phối chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Mệnh đề 1. Nếu các biến ngẫu nhiên X1 , . . . , Xn là độc lập và Xi có phân phối chuẩn với kỳ vọng µi và phương sai σi2 , (i = 1, . . . , n). ai , . . . , an và b là các hằng số sao cho có ít nhất một ai 6= 0, thì biến ngẫu nhiên a1 X1 + · · · + an Xn + b có phân phối chuẩn với kỳ vọng a1 µ1 + · · · + an µn và phương sai a21 σ12 + · · · + a2n σn2 .. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 40.

(54) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Định nghĩa 14 (Standard normal distribution). Biến ngẫu nhiên Z được gọi là có phân phối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và σ 2 = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1).. Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 41.

(55) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối. Định nghĩa 14 (Standard normal distribution). Biến ngẫu nhiên Z được gọi là có phân phối chuẩn hóa nếu nó có phân phối chuẩn với tham số µ = 0 và σ 2 = 1, ký hiệu Z ∼ N (0; 1). Theo quy ước, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn hóa được ký hiệu là Φ(z), tức Z z 2 1 − x2 dx Φ(z) = √ e 2π −∞. Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 41.

(56) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu X −µ 2 có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ. Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 42.

(57) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu X −µ 2 có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ. Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ 2 . b−µ b−µ X −µ ≤ =Φ P (X ≤ b) = P σ σ σ. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 42.

(58) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Theo định lý về tính tuyến tính của phân phối chuẩn, nếu X −µ 2 có phân phối chuẩn hóa hay X ∼ N µ; σ thì σ X −µ ∼ N (0; 1) σ. Dựa vào tính chất này ta có thể tính xác suất của biến ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ 2 . b−µ b−µ X −µ ≤ =Φ P (X ≤ b) = P σ σ σ Tương tự, với a ≤ b thì P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b)−P (X ≤ a) = Φ Các ppxs thường gặp. . a−µ b−µ −Φ σ σ Ha Hoang V. – 42.

(59) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Nếu X ∼ N. µ; σ 2. . thì . X −µ ≤k P (|X − µ| ≤ kσ) = P −k ≤ σ = 2Φ(k) − 1. . người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)".. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 43.

(60) Phân phối chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Nếu X ∼ N. µ; σ 2. . thì . X −µ ≤k P (|X − µ| ≤ kσ) = P −k ≤ σ = 2Φ(k) − 1. . người ta hay gọi đẳng thức trên là "Quy tắc k-sigma (kσ)". Với k = 3 ta có quy tắc 3-sigma: X −µ P (|X − µ| ≤ 3σ) = P −k ≤ ≤k σ = 2Φ(3) − 1 ≈ 0.9973 "Sai số giữa X và µ không quá 3 σ là gần chắc chắn (xác suất gần bằng 1)." Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 43.

(61) Phân vị chuẩn hóa Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Định nghĩa 15 (Phân vị chuẩn hóa, normal quartile). Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N µ; σ 2 , phân vị chuẩn hóa mức α, ký hiệu xα , là giá trị của biến ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện P (X ≤ xα ) = α. Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. α O. xα. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 44.

(62) Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Ví dụ 14. Đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện sản xuất có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20mm, phương sai (0.2mm)2 . Tính xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết a) có đường kính trong khoảng 19.9mm đến 20.3mm. b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0.3mm.. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 45.

(63) Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối. Ví dụ 15. Cho X ∼ N (10, 4), tính các xác suất sau (a) P(X < 13) (b) P(X > 9) (c) P(6 < X < 14) (d) P(2 < X < 4) (e) P(−2 < X < 8). Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 46.

(64) Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ. Ví dụ 16. Cho X ∼ N (10, 4), tìm x sao cho (a) P(X > x) = 0.5 (b) P(X > x) = 0.95. Phân phối mũ Hàm mật độ. (c) P(x < X < 10) = 0.2. Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. (d) P(−x < X − 10 < x) = 0.95. Phân phối chuẩn Hàm phân phối. (e) P(−x < X − 10 < x) = 0.99. Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 47.

(65) Định lý giới hạn trung tâm Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn. Định lý 16 (Central limit theorem). Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và cùng phân phối với kỳ vọng µ và phương sai σ 2 hữu hạn. Ta đặt Sn = X1 + · · · + Xn . Sn có kỳ vọng là E (Sn ) = nµ và phương sai Var (Sn ) = nσ 2 . Khi n → ∞ thì biến ngẫu nhiên F 2 Sn − → X, với X ∼ N nµ; nσ (7). Hay biến ngẫu nhiên. Sn − nµ F √ − → Z, Zn = σ n. Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. với Z ∼ N (0; 1). Nghĩa là khi n lớn thì với mọi x ∈ R Sn − nµ √ < x ≈ P (Z < x) , P σ n Các ppxs thường gặp. (8). với Z ∼ N (0; 1). (9). Ha Hoang V. – 48.

(66) Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. • Xét X ∼ B(n, p), ta có E(X) = np và Var(X) = npq (q = 1 − p). Khi n lớn, theo định lý giới hạn trung tâm phân phối của biến ngẫu nhiên X được xấp xỉ bằng phân phối chuẩn N (np, npq), ký hiệu approx X ∼ N (np; npq). Xác suất X − np b − np a − np ≤ √ < √ P (a ≤ X < b) = P √ npq npq npq b − np a − np ≈ Φ √ −Φ √ (10) npq npq • Điều kiện xấp xỉ: np > 5 và n(1 − p) > 5.. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 49.

(67) Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 50.

(68) Các phân phối rời rạc Các phân phối liên tục Phân phối đều Phân phối mũ Các đặc trưng của phân phối mũ Phân phối mũ Hàm mật độ Phân phối mũ Hàm phân phối Tính chất Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn Hàm phân phối Phân phối chuẩn hóa Phân vị chuẩn hóa Định lý giới hạn trung tâm. Ví dụ 17. Trong một cuộc bầu cử ở một thành phố, biết rằng 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A. Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất gặp được từ 76 đến 120 người ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu? Ví dụ 18. Một bệnh B chiếm 10% dân số. Chọn ngẫu nhiên 100 người. Tính xác suất: (a) Có 6 người bị bệnh B. (b) Có ít hơn 6 người bị bệnh B. (c) Có từ 6 đến 12 người bị bệnh B.. Áp dụng: Xấp xỉ pp nhị thức bằng pp chuẩn. Các ppxs thường gặp. Ha Hoang V. – 51.

(69)

Cac ham phan phoi xac suat

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về