Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.55 KB, 8 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : x x 1 3. a) f(x) =. x. ;. x. 2 1 ex. b) f(x) =. ; 1. 2 2 c) f(x) = sin x.cos x ;. d) f(x) = sin 5 x. cos 3 x ; e) f(x) = tan2x ; 3 2x. g) f(x) = e. ; 1 h) f(x) = (1 x )(1 2 x ) . Giải: x. 2 x 2x 1 e dx x x C e e (ln 2 1) e b) 1 (sin8x sin 2x)dx d) 2 1 1 cos8x cos2x C 4 4 1 1 2 1 1 x 3 1 x 1 2x 3 ln 1 2x C h) 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) c). (1 x )9 d x. . 3. (đặt u 1 x ) ;b). cos3 x sin x d x. . x(1 x2 ) 2 d x. . (đặt t cos x ) d) e. x. Giải: a) Đặt u = 1 – x du = –dx 1 10 (1 x)10 I u9 du u du C 10 10 d) Đặt u = ex du = exdx. dx e x 2. 2 (đặt u 1 x ) x (đặt u e )..
<span class='text_page_counter'>(2)</span> e x dx du 1 I x 2 2 (u 1) 2 d(u 1) x C x (e ) 2e 1 u 2u 1 e 1 3. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : 2. ( x (1 d) . x ln(1 x )dx ; x sin(2 x 1)dx c) ; a). b). 2 x 1)e xdx x ) cos x dx. Giải: 1 a) Đặt u = ln(1 + x) du = 1 x x2 dv = xdx v= 2 x2 1 x2 dx I = 2 ln(1 + x) – 2 x 1 1 1 x2 (x 1 )dx x 1 = 2 ln(1+ x) – 2 1 2 1 x (x 1)ln(1 x) x 2 C 4 2 = 2 b) Đặt u= x2+2x–1 du= (2x+2)dx dv = exdx v = ex (2x 2)e x dx I = (x2 + 2x –1)ex – Đặt u1 = 2x + 2 du1 = 2dx dv1 = exdx v1 = ex 2e x dx x I1 = (2x + 2)e – = 2xex Vậy I = (x2 – 1)ex + C c) Đặt u= x du = dx 1 cos(2x 1) dv= sin(2x+1)dx v = 2 1 I x cos(2x 1) 2 1 cos(2x 1)dx 2 x I cos(2x 1) 2 1 sin(2x 1) C 4 . .. ;.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> d) Đặt u = 1 – x du = –dx dv= cosxdx v= sinx sin xdx I = (1 – x)sinx + = (1 – x)sinx – cosx 2. sin. 2. x cos xdx.. 5.a. Tính 0. Giải. Đặt u=sinx du cos x dx . x u ( ) 1. x 0 u(0) 0, 2 2 2. 1. sin x cos x dx u2du u3. . 2. . Vậy 0. 0 1. b. Tính 0 1. 1 . 0 3. x. (1 x2 )3 dx. Giải.. 1. .. 2. Đặt u 1 x , ta có du 2 x dx và u(0) = 1, u(1) = 2 2. 1 1 1 1 2 3 dx du . . 23 2 u3 4 u2 1 16 (1 x ) 0 1. . x. . 2. x sin xdx. c. Tính 0 . Giải. Đặt u = x và dv = sinxdx Ta có du = dx và v = -cosx. Do đó . /2. x sin xdx ( x cos x) 0 0. . cos x dx. . 0. e. /2. ln x. x2 dx. d. Tính 1. /2. ( x cos x ) 0 (sin x) 0 0 1 1 = .. .. Giải. Đặt u ln x và. dv . 1 x. 2. dx. 1 1 du dx v x x . Do đó , ta có và.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> e. e e 1 1 dx ln x dx 1 x x2 x2. ln x. 1. 1 e 1 ln x x 1 x. 1. 2 1 1 (0 1) 1 e e e 6. Tính các tích phân sau : 1 2. 3. . 2. 2. (1 x ) dx. b) 0. 1. 2. x( x 1) dx. c). 1 2. 2. ;. 2. 1 3x. ( x 1)2 dx. e). sin x dx 4 . . 1 a) 2 2. 2. 1 2. sin 3 x cos5 xdx ; f). . . Giải:. 5 3 I (1 x) dx (1 x) 3 5 1/ 2 1/ 2. a). / b). I cos 4 2. 2 3. 1/ 2. 1/ 2. 3 3 (3 3 9 1) 10 4. 2. x 0 0. 1 1 I dx ln x x x 1 1/ 2 c). 2 1 2. 2. ln x 1 1 ln 2 2 2. x4 2 3 x2 34 I (x 3 2x 2 x)dx x 2 0 3 4 3 0 d) e) Đặt u =x+1 du =dx 1 3 x u ; x 2 u 3 2 2 2. 3. 4 4 4 3u I 2 du u 3ln u 3 3 3ln2 u 3/ 2 2 3. . 1 1 1 2 1 cos8x cos2x I (sin8x sin2x)dx 2 8 2 2 /2 2 /2. f). =0. x( x 1). d) 0. dx.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> 7. Tính các tích phân sau : . 2. 1 . x dx. a) 0. sin. ;. ln 2 2 x 1. xdx. b) 0. 1. a). 2. . e. ;c) 0 Giải:. e. 1. x. 1. 2. . dx. sin 2 x cos. 2. xdx.. ; d) 0 2. x2 x2 I (1 x)dx (x 1)dx (x ) ( x) 1 2 0 2 0 1 1 . /2. 1 cos 2x x 1 2 I dx sin 2x 2 2 4 0 4 0 b) ln 2. I (e.e x e x )dx (e.e x e x ) ln 2 e 1 0 0 2 c) 1 cos 2x 1 1 I sin 2x dx ( sin2x sin 4x)dx 2 2 4 0 0 d) . 1 1 cos 2x cos 4x 0 16 4 0 8. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : 3. a). 0. x2. (1 . 3 x )2. dx (đặt u x 1 );. 1. 1. x2 d x (đặt x sin t ) ;. b) 0. 1 x. e (1 x ). 1 xe x. dx. c) 0 a 2. 1. a2 . d) 0. x. 2. x (đặt u 1 xe ). dx (a>0)(đặt x a sin t ) Giải:. a) Đặt u = x+1 du =dx và x=u -1 x=0u=1;x=3u=4 4 4 1 1 3 (u 1)2 I 3 du (u 2 2u 2 u 2 )du 1 1 u2 b) Đặt x = sint dx = costdt.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> x=0t=0 x=1t= 2 /2. . /2. 1 cos2t x 1 2 I cos t cos tdt dt sin 2t 2 2 4 0 4 0 0 c) Đặt u = 1 + xe x du = ex + xex x=0u=1 1e. 1e du I ln u 1 u ln(1 e) 1. x=1u=1+e d) Đặt x = asint dx = acostdt a x = 0 t = 0 ; x = 2 t =6 /6 / 6 a cos tdt I dt 6 a2 cos2 t 0 0. 9. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính : . ( x 1)sin xdx. a) 0. x. ; 1. e 2. ln xdx. b) 1. ln(1 x )dx. ;. c) 0. ;. 1. ( x. 2. 2 x 1)e xdx. d) 0. . Giải:. 1 b) Đặt u = lnx du = x x3 dv = x2dx v = 3 e. x 3 ln x I 3 1 2. e. x2 e3 x 3 dx 3 3 9 1. e. 1. d) Đặt u=x –2x–1 du =(2x–2)dx dv = e–xdx v = –e–x. 2e3 1 9.
<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. 1. I (x 2 2x 1)e x (2x 2)e x dx 2 1 I 0 1 0 e Đặt u1 = 2x – 2 du1 = 2dx dv1 = e–xdx v1 = –e–x I1 (2x 2)e. x 1 0. 1. 2e x dx 2 2e x 1 2 0 0 e. Vậy I = –1 10. Tính các tích phân sau : 1. (1. . 1 2. 3 3 x ) 2 dx. a) 0. x3 1. x2 1. 2. dx. ln(1 x ). . ; b) 0. c) 1 Giải:. x2. dx.. 1. a). 5 1 2 62 I . (1 3x) 2 3 5 15 0 1/ 2. b). I 0. x2 x 1 dx x 1 1. x2 2 1 ln x 1 1 ln 3 (x )dx x 1 2 0 8 0 2 dx c) Đặt u = ln(1+x) du = x 1 1 1 dx v 2 x dv = x 1/ 2. 2. 2. 2 ln3 x 2 3 ln(1 x) 1 ln 2 ln 3ln I dx 2 x 1 1 3 x x(x 1) 1 1. 1. x(1 . x )5 dx. 11. Tính 0 bằng hai phương pháp : a) Đổi biến số u = 1 x ; b) Tích phân từng phần. Giải: a) Đặt u = 1 –x du = –dx x=0u=1.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> x=1u=0 1. u6 u7 1 I (1 u)u du 6 7 0 42 1 0. 5. b) Đặt u = x. du = dx (1 x)6 6 dv = (1 – x)5dx v = 1. 1. . 1 42. x(1 x)6 (1 x)6 I dx 6 6 0 0 (1 x)7 42. 1. 0.
<span class='text_page_counter'>(9)</span>