Tich pan va nguyen ham

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : x  x 1 3. a) f(x) =. x. ;. x. 2  1 ex. b) f(x) =. ; 1. 2 2 c) f(x) = sin x.cos x ;. d) f(x) = sin 5 x. cos 3 x ; e) f(x) = tan2x ; 3  2x. g) f(x) = e. ; 1 h) f(x) = (1  x )(1  2 x ) . Giải: x.  2  x 2x 1  e dx     x  x C   e   e (ln 2  1) e  b)  1 (sin8x  sin 2x)dx   d) 2 1 1    cos8x  cos2x   C 4 4  1 1 2  1 1 x 3  1  x  1  2x    3 ln 1  2x  C h) 2. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) c). (1  x )9 d x. . 3. (đặt u 1  x ) ;b). cos3 x sin x d x. . x(1  x2 ) 2 d x. .  (đặt t  cos x ) d) e. x. Giải: a) Đặt u = 1 – x  du = –dx 1 10 (1  x)10 I  u9 du  u du  C 10 10 d) Đặt u = ex  du = exdx. dx  e x  2. 2 (đặt u 1  x ) x (đặt u e )..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> e x dx du 1 I  x 2  2 (u  1) 2 d(u  1)  x C x (e )  2e  1 u  2u  1 e 1 3. Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính : 2. ( x (1  d) . x ln(1  x )dx ; x sin(2 x  1)dx c)  ; a). b).  2 x  1)e xdx x ) cos x dx. Giải: 1 a) Đặt u = ln(1 + x)  du = 1  x x2 dv = xdx v= 2 x2 1 x2  dx I = 2 ln(1 + x) – 2 x  1 1 1 x2 (x  1  )dx  x 1 = 2 ln(1+ x) – 2 1 2 1 x (x  1)ln(1  x)  x 2   C 4 2 = 2 b) Đặt u= x2+2x–1  du= (2x+2)dx dv = exdx  v = ex (2x  2)e x dx I = (x2 + 2x –1)ex –  Đặt u1 = 2x + 2  du1 = 2dx dv1 = exdx  v1 = ex 2e x dx x  I1 = (2x + 2)e – = 2xex Vậy I = (x2 – 1)ex + C c) Đặt u= x  du = dx 1 cos(2x  1) dv= sin(2x+1)dx v = 2 1 I  x cos(2x  1)  2 1  cos(2x  1)dx 2 x I  cos(2x  1)  2 1  sin(2x  1)  C 4 . .. ;.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> d) Đặt u = 1 – x  du = –dx dv= cosxdx  v= sinx sin xdx I = (1 – x)sinx +  = (1 – x)sinx – cosx  2. sin. 2. x cos xdx.. 5.a. Tính 0. Giải. Đặt u=sinx  du  cos x dx .   x  u ( ) 1. x  0  u(0)  0, 2 2  2. 1. sin x cos x dx  u2du  u3. . 2. . Vậy 0. 0 1. b. Tính 0 1. 1  . 0 3. x. (1  x2 )3 dx. Giải.. 1. .. 2. Đặt u 1  x , ta có du  2 x dx và u(0) = 1, u(1) = 2 2. 1 1 1 1 2 3 dx  du  .  . 23 2 u3 4 u2 1 16 (1  x ) 0 1. . x. .  2. x sin xdx. c. Tính 0 . Giải. Đặt u = x và dv = sinxdx Ta có du = dx và v = -cosx. Do đó  . /2. x sin xdx  (  x cos x) 0 0.  .  cos x dx. . 0. e. /2. ln x. x2 dx. d. Tính 1. /2. (  x cos x ) 0  (sin x) 0  0  1 1 = .. .. Giải. Đặt u  ln x và. dv . 1 x. 2. dx. 1 1 du  dx v  x x . Do đó , ta có và.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> e. e e 1 1 dx   ln x  dx 1 x x2 x2. ln x.  1. 1 e  1    ln x   x 1  x.  1. 2  1 1       (0  1)  1  e  e e 6. Tính các tích phân sau : 1 2. 3. .  2. 2. (1  x ) dx. b) 0. 1. 2. x( x  1) dx. c). 1 2. 2. ;.  2. 1  3x. ( x  1)2 dx. e).   sin   x  dx 4 . . 1  a) 2 2. 2. 1 2. sin 3 x cos5 xdx ; f). .  . Giải:. 5 3 I   (1  x) dx  (1  x) 3 5  1/ 2 1/ 2. a). / b).  I cos   4 2. 2 3. 1/ 2.  1/ 2. 3  3 (3 3 9  1) 10 4.  2.  x  0 0. 1  1 I     dx ln x x x  1   1/ 2 c). 2 1 2. 2.  ln x  1 1 ln 2 2 2.  x4 2 3 x2  34 I (x 3  2x 2  x)dx   x    2 0 3  4 3 0 d) e) Đặt u =x+1 du =dx 1 3 x   u  ; x 2  u 3 2 2 2. 3. 4  4  4  3u I   2 du   u  3ln u  3  3  3ln2 u 3/ 2 2 3. . 1 1 1 2 1   cos8x  cos2x    I   (sin8x  sin2x)dx 2  8 2  2  /2 2 /2. f). =0. x( x  1). d) 0. dx.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 7. Tính các tích phân sau :  . 2. 1 . x dx. a) 0. sin. ;. ln 2 2 x 1. xdx. b) 0. 1. a). 2. . e. ;c) 0 Giải:. e. 1. x. 1. 2. . dx. sin 2 x cos. 2. xdx.. ; d) 0 2. x2 x2 I (1  x)dx  (x  1)dx (x  )  (  x) 1 2 0 2 0 1 1 . /2. 1  cos 2x x 1 2  I  dx   sin 2x   2 2 4 0 4 0 b) ln 2. I  (e.e x  e  x )dx (e.e x  e x ) ln 2 e  1 0 0 2 c)   1  cos 2x 1 1 I sin 2x dx ( sin2x  sin 4x)dx 2 2 4 0 0 d) . 1  1    cos 2x  cos 4x  0 16  4 0 8. Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : 3.  a). 0. x2. (1 . 3 x )2. dx (đặt u  x  1 );. 1. 1. x2 d x (đặt x  sin t ) ;. b) 0. 1 x. e (1  x ). 1  xe x. dx. c) 0 a 2. 1.  a2 . d) 0. x. 2. x (đặt u 1  xe ). dx (a>0)(đặt x  a sin t ) Giải:. a) Đặt u = x+1 du =dx và x=u -1 x=0u=1;x=3u=4 4 4 1 1 3   (u  1)2 I   3 du  (u 2  2u 2  u 2 )du 1 1 u2 b) Đặt x = sint  dx = costdt.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x=0t=0  x=1t= 2 /2. . /2. 1  cos2t x 1 2  I   cos t cos tdt   dt   sin 2t   2 2 4 0 4 0 0 c) Đặt u = 1 + xe x  du = ex + xex x=0u=1 1e. 1e du I   ln u 1 u ln(1  e) 1. x=1u=1+e d) Đặt x = asint  dx = acostdt a  x = 0  t = 0 ; x = 2  t =6 /6 / 6 a cos tdt  I   dt  6 a2 cos2 t 0 0. 9. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính :  . ( x  1)sin xdx. a) 0. x. ; 1. e 2. ln xdx. b) 1. ln(1  x )dx. ;. c) 0. ;. 1. ( x. 2.  2 x  1)e xdx. d) 0. . Giải:. 1 b) Đặt u = lnx  du = x x3 dv = x2dx  v = 3 e. x 3 ln x I  3 1 2. e. x2 e3 x 3 dx    3 3 9 1. e.  1. d) Đặt u=x –2x–1 du =(2x–2)dx dv = e–xdx  v = –e–x. 2e3  1 9.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1. 1. I  (x 2  2x  1)e  x  (2x  2)e  x dx  2  1  I 0 1 0 e Đặt u1 = 2x – 2  du1 = 2dx dv1 = e–xdx  v1 = –e–x I1  (2x  2)e. x 1 0. 1.  2e  x dx  2  2e x 1  2 0 0 e. Vậy I = –1 10. Tính các tích phân sau : 1. (1. . 1 2. 3  3 x ) 2 dx. a) 0. x3  1. x2  1. 2. dx. ln(1  x ). . ; b) 0. c) 1 Giải:. x2. dx.. 1. a). 5 1 2 62 I  . (1  3x) 2  3 5 15 0 1/ 2. b). I 0. x2  x  1 dx x 1 1.  x2 2 1  ln x  1   1  ln 3  (x  )dx  x 1  2 0 8 0 2 dx c) Đặt u = ln(1+x)  du = x  1 1 1 dx v  2 x dv = x  1/ 2. 2. 2. 2 ln3 x 2 3 ln(1  x) 1  ln 2  ln 3ln I   dx  2 x 1 1 3 x x(x  1) 1 1. 1. x(1 . x )5 dx. 11. Tính 0 bằng hai phương pháp : a) Đổi biến số u = 1  x ; b) Tích phân từng phần. Giải: a) Đặt u = 1 –x  du = –dx x=0u=1.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> x=1u=0 1.  u6 u7  1  I  (1  u)u du      6 7  0 42 1 0. 5. b) Đặt u = x.  du = dx (1  x)6  6 dv = (1 – x)5dx  v = 1. 1. . 1 42. x(1  x)6 (1  x)6 I   dx 6 6 0 0 (1  x)7  42. 1. 0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>