Đối đồng điều của đại số lie toàn phương thấp chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hà Thị Ngọc Phượng

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE
TỒN PHƯƠNG THẤP CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hà Thị Ngọc Phượng

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ LIE
TOÀN PHƯƠNG THẤP CHIỀU

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số

: 8460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. DƯƠNG MINH THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi. Mọi sự
kế thừa và phát huy các kết quả của các nhà khoa học đều được trích dẫn rõ
ràng và đúng quy định. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn do tôi tự tìm
hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan, phù hợp với nội dung và yêu
cầu của đề tài cần nghiên cứu.
Học viên

Hà Thị Ngọc Phượng


LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn nhiệt tình của q thầy cơ trường Đại học Sư Phạm Thành
phố Hồ Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.
Trước hết, Tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Dương Minh Thành.
Thầy đã luôn quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và cơng sức hướng dẫn
để giúp tơi hồn thành luận văn thạc sĩ của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá
trình học tập. Xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi
Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Nguyễn Tự Cường, thầy Trần Tuấn Nam,
cô Phạm Thị Thu Thủy, q thầy cơ đã tận tình dạy bảo và mở mang cho tơi
nhiều kiến thức về Tốn học, đặc biệt là kiến thức về chuyên ngành Đại số,
làm nền tảng vững chắc để tôi học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số và Lý thuyết số Khóa 27 cũng
như bạn bè và người thân đã hết lịng động viên giúp đỡ tơi trong quá trình
học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tơi. Gia đình tơi ln là nguồn động viên

tinh thần to lớn giúp tơi hồn thành khóa học và luận văn này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2019

Hà Thị Ngọc Phượng


BẢNG KÍ HIỆU
Trường số phức

End V 

Khơng gian các đồng cấu trên không gian vector V

gl  n 

Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường

sl  n 

Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường

C k  g,V 

Khơng gian các ánh xạ k - tuyến tính phản xứng từ g  ...  g vào
V

span X ,Y  Không gian sinh bởi cơ sở  X ,Y 
dim  g

Số chiều của không gian vector g

g*

Không gian đối ngẫu của đại số Lie g



Tổng trực tiếp





Tổng trực tiếp trực giao

3  g* 

Không gian các 3 - dạng phản xứng trên g*


MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
BẢNG KÍ HIỆU
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều của đại số
Lie và đại số Lie toàn phương ........................................................................ 4
1.1

Đại số Lie ..................................................................................................... 4

1.2

Đại số Lie toàn phương .............................................................................. 7

1.3

Đối đồng điều đại số Lie .......................................................................... 12

Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều ........................................... 15
2.1.

Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều ................................ 15

2.2.

Đại số Lie toàn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được 7
chiều ............................................................................................................ 17

Chương 3. Tính tốn về họ đối đồng điều đại số Lie ................................. 24
3.1.

Mô tả không gian các đạo hàm phản xứng của đại số Lie ................... 24

3.2.

Tính tốn trực tiếp nhờ toán tử đối bờ .................................................... 40

KẾT LUẬN .................................................................................................... 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 50


1

MỞ ĐẦU
Các không gian vectơ được xét trên trường số phức

và hữu hạn chiều.

Trong Lý thuyết đại số Lie, bài toán nghiên cứu đối đồng điều của các
đại số Lie là một bài toán lý thú nhưng mức độ giải quyết cho đến nay vẫn
còn khá hạn chế. Cụ thể, một bài toán đơn giản trong lĩnh vực này là mơ tả
các nhóm đối đồng điều của một đại số Lie cho trước cũng mới chỉ giải quyết
được trên một số ít các họ đại số Lie hoặc chỉ mới dừng lại ở việc mơ tả số
chiều của các nhóm đối đồng điều trong một số trường hợp đơn lẻ nào đó. Đối
với trường hợp đơn giản nhất là các nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ) với 𝔤 là
một đại số Lie cho trước và số chiều của các nhóm này hiện vẫn tồn tại nhiều
câu hỏi.
Một trong những kết quả đầu tiên được nhiều người nhắc đến là cơng
thức số Betti, tức số chiều của nhóm đối đồng điều 𝐻𝑘 (𝔤, ℂ), của đại số đại số
Lie Heisenberg 2n+1 chiều h2 n1 được L. J. Santharoubane tìm ra năm 1983:

 2n   2n 
bk     
 [1]. Gần đây, H. Pouseele [2] đã chứng minh được kết
k
k

2

  

quả sau: giả sử g là một mở rộng của đại số Lie 1 chiều Z bởi đại số Lie
Heisenberg h2 n1 bởi dãy khớp
1 
h2 n1 
 g 
 Z 
0

sao cho g tác động tầm thường trên tâm z  W của h2 n1 . Đặt f  g / z . Khi
đó:


2
bk (f ),
b (f )  b (f ),
k 2
 k
bk (g)  2bn1 (f )  2bn1 (f ),
b (f )  b (f ),
k 1
 k 1
bk 1 (f ),

k  0, k  1,
2  k  n,
k  n  1,
n  2  k  2n,
k  2n  1, k  2n  2.

và đã dùng kết quả này để tìm ra cơng thức tính số Betti cho hai họ đại số Lie:
 g sinh bởi cơ sở xi , yi , w, z , 1  i  n ,  z, xi   yi ,  xi , yi   w .
 g sinh bởi cơ sở

xi , w, z , 1  i  2n ,  z, xi   xi1

với 1  i  2n  1,

 z, x2n   w ,  xi , x2ni1   (1)i w với 1  i  n .
Trong luận văn này, chúng tôi quan tâm nhiều hơn đến một bài tốn cụ
thể là tính tốn đối đồng điều nhưng là cho một lớp đại số Lie khá đặc biệt,
lớp các đại số Lie toàn phương. Đây là lớp các đại số Lie được trang bị thêm
một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến, khơng suy biến và chúng được
coi là lớp đại số Lie tổng quát của các đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến
tính đối xứng được khái quát từ dạng Killing. Lớp các đại số Lie toàn phương
được đề cập trong cuốn sách chuyên khảo của V. Kac (1985) [3] và sau đó
được một số nhà tốn học quan tâm nghiên cứu [trích dẫn cơng trình của
Medina, Bordemann, Benayadi]. Một trong những bài toán được đưa là phân
loại các đại số Lie tồn phương ở chiều thấp. Cơng trình đầu tiên phải kể đến
là kết quả phân loại trường hợp lũy linh đến 7 chiều của G. Favre và L. J.
Santharoubane [4], sau đó là những cơng trình khác như [5] đối với các đại số
Lie toàn phương giải được đến 6 chiều trên trường số thực, [6] đối với trường
hợp lũy linh đến 10 chiều. Điều này dẫn tới câu hỏi: liệu có thể mơ tả tường
minh các nhóm đối đồng điều của các đại số Lie toàn phương thấp chiều hay
không? Và câu hỏi này đưa chúng tôi đến việc thực hiện đề tài luận văn.
Một trong lý do chúng tơi quan tâm đến việc tính tốn đối đồng điều của
các đại số Lie toàn phương là trong trường hợp 𝔤 là một đại số Lie toàn

3
phương, thì việc tính tốn 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số chiều của nó sẽ trở nên đơn giản
hơn và có nhiều cách hơn nhờ các kết quả được đưa ra trong [7] “New
Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie
Algebras, and Cohomology” của tác giả G. Pinczon và R. Ushirobira năm
2007 (J. of Lie Theory). Cụ thể hơn, ta sẽ thu được nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số
chiều của nó thơng qua hai cách: mơ tả khơng gian các đạo hàm phản xứng
của 𝔤 hoặc tính tốn trực tiếp nhóm 𝐻2 (𝔤, ℂ) nhờ tốn tử đối bờ  bây giờ
chỉ đơn giản là   I ,. với I là 3- dạng liên kết với 𝔤 và .,. là tích Super
– Poisson được định nghĩa trên khơng gian Λ(𝔤∗ ) chứa các dạng đa tuyến tính
phản xứng trên 𝔤. Việc mơ tả tường minh các nhóm đối đồng điều giúp cung
cấp thêm các thông tin về các đại số Lie tồn phương, từ đó giúp hiểu biết
thêm về lớp đại số này.
Phần nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương
đầu tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ
bản trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Chương hai chủ yếu dành để
khảo sát các đại số Lie toàn phương cơ bản và phân loại đại số Lie toàn
phương đến 7 chiều dựa trên kết quả của bài báo khoa học [8]. Chương ba sẽ
trình bày lại một cách rõ ràng và chi tiết hơn các kết quả của bài báo khoa học
[9] của tác giả Dương Minh Thành. Trong đó tập trung tính tốn về họ đối
đồng điều của đại số Lie, mơ tả nhóm đối đồng điều 𝐻2 (𝔤, ℂ) và số chiều của
nó bằng hai phương pháp chính. Đối với đại số Lie thông thường ta sẽ mô tả
không gian các đạo hàm phản xứng từ đó tính số chiều của 𝐻2 (𝔤, ℂ). Đối với
đại số Lie toàn phương cơ bản ta tính tốn trực tiếp nhờ tốn tử đối bờ.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng trong việc hồn thành luận văn nhưng do sự
hạn hẹp trong kiến thức cũng như thời gian nên chắc chắn luận văn vẫn cịn
có những sai sót khơng mong muốn. Rất mong nhận được sự đánh giá, nhận
xét và phản hồi từ quý thầy cô và các bạn.

4

Chương 1. Đại số Lie và đại số Lie toàn phương, đối đồng điều
của đại số Lie và đại số Lie toàn phương
1.1

Đại số Lie

Định nghĩa 1.1.1 Cho g là một khơng gian vector trên trường

. Khi đó, g

được gọi là một đại số Lie nếu trên g được trang bị một phép tốn (gọi là tích
Lie hay móc Lie).

.,. : g  g  g
 X ,Y   X ,Y 
thỏa mãn tính chất sau:
i.

Phép tốn .,. là một ánh xạ song tuyến tính;

ii.

Phép tốn .,. là phản xứng, tức là  X , X   0 , với mọi X g ;

iii.

 X , Y , Z   Y ,  Z , X    Z ,  X , Y   0, X , Y , Z  g .

(Đồng nhất thức Jacobi).
Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của khơng gian vector g .
Ví dụ: Cho V là một không gian vector trên trường F . Kí hiệu gl V  là
tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f : V  V . Khi đó gl V  cũng là một
khơng gian vector trên trường F . Ta xác định tích Lie trên gl V  như sau:

 x, y  x

y  y x với x, y  gl V  trong đó

kí hiệu cho tích hai ánh xạ.

Định nghĩa 1.1.2 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con A của

g được gọi là một đại số Lie con của g nếu  X ,Y   A với mọi X ,Y g .
Định nghĩa 1.1.3 Cho g là một đại số Lie. Một không gian vector con I của

g được gọi là ideal của g nếu  X ,Y   I với mọi X  g,Y  I (tính hút).


5
Ví dụ: Cho đại số Lie g ta kí hiệu  g, g 

 X ,Y  X ,Y  g

thì  g, g là

một ideal của g và được gọi là ideal dẫn xuất của đại số Lie g .
Định nghĩa 1.1.4 Cho g là một đại số Lie. Một ideal con I của g được gọi là
ideal thuộc tâm của 𝔤 nếu  I , g  0 .

Kí hiệu Z  g   X  g  X , Y   0, Y  g là một ideal của g và được gọi là
ideal tâm của g .
Định nghĩa 1.1.5 Cho g là một đại số Lie và a là ideal của g . Khi đó khơng
gian thương g / a là một đại số Lie thương. Trong đó tích Lie trong ideal
thương được cho bởi  X  a,Y  a    X ,Y   a với X ,Y g .
Định nghĩa 1.1.6 Cho một đại số Lie g trên trường

. Ta kí hiệu:

1
2
1
1
n
n 1
n 1
g    g, g, g   g  , g   ,..., g   g  , g   . Khi đó đại số Lie g được

gọi là giải được nếu tồn tại m

\ 0 sao cho g   0 .
m

Ta kí hiệu Rad  g là ideal giải được lớn nhất của g .
Định nghĩa 1.1.7 Cho một đại số Lie g trên trường

. Ta kí hiệu:

g1   g, g, g2  g, g1  ,..., gn  g, gn1  . Khi đó đại số Lie g được gọi là lũy

linh nếu tồn tại m

\ 0 sao cho gm  0 . Từ đây có thể nhận xét được

rằng nếu g là một đại số Lie lũy linh thì hiển nhiên g giải được.
Định nghĩa 1.1.8 Cho g1 , g2 là hai đại số Lie trên trường

. Khi đó ánh xạ

tuyến tính  : g1  g2 được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu nó bảo tồn
tích Lie, tức là   X , Y     X  , Y   , X , Y  g1 .
Nếu  là đẳng cấu thì ta nói  là đẳng cấu đại số Lie, đồng thời g1 và g2 là
hai đại số Lie đẳng cấu. Trong bài toán phân loại các đại số Lie, người ta chú
ý đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Cụ thể hơn, người ta không phân biệt


6
hai đại số Lie đẳng cấu với nhau mà coi chúng là một (sai khác nhau bởi một
đẳng cấu đại số Lie).
Định nghĩa 1.1.9 Một đại số Lie g  0 gọi là nửa đơn nếu nó khơng có một
ideal giải được nào khác 0 (hay Rad  g  0 ).
Định nghĩa 1.1.10 Một đại số Lie không giao hốn g là đơn nếu nó khơng có
một ideal nào ngoài 0 và g .
Định nghĩa 1.1.11 Cho g là một đại số Lie và V là không gian vector. Kí
hiệu End V  là khơng gian các đồng cấu đi từ V vào V . Khi đó End V 
cũng là một đại số Lie với tích Lie [ f , g ]  f g  g f với mọi f , g V .
Ta nói  là một biểu diễn của g trong V nếu  là đồng cấu đại số Lie
đi từ g vào End V  , tức là:

  X , Y      X  ,  Y   , X ,Y  g .

Trong trường hợp này, V được gọi là một g  module . Với mỗi số
nguyên k  0 , kí hiệu C k  g,V  là không gian các ánh xạ k  tuyến tính phản
xứng từ g  g  ...  g vào V nếu k  1 và C 0  g,V   V .
Ví dụ: Đối với một đại số Lie g và một X g . Kí hiệu ánh xạ tuyến tính:
ad X : g  g
Y

ad X (Y )   X ,Y 

Khi đó biểu diễn phụ hợp (adjoint representation) của g trong g được
định nghĩa bởi:
ad : g  gl  g 
X

ad X

Để hiểu rõ hơn về biểu diễn phụ hợp của một đại số Lie, ta xét một
trường hợp cụ thể g  span X ,Y  với  X ,Y   Y (xem như X tác động vào

Y được Y ).


7
Khi đó ánh xạ ad được tính tốn như sau: ad X  X    X , X   0 ,

ad X Y    X ,Y   Y , adY  X   Y , X   Y và adY Y   Y ,Y   0 .
0 0
Từ đó ta suy ra: ad X  
  gl  2,
0 1 

,

 0 0
adY  
  gl  2,
 1 0

.

Xét tích Lie:  ad X , adY   ad X adY  adY ad X
 0 0  0 0   0 0 

  0 0   1 0  adY  ad X ,Y 

1
0

 
 


Thật ra ta có thể chứng minh được kết quả tổng quát rằng

ad X ,Y    ad X , adY , X ,Y g đúng với mọi đại số Lie. Do đó ánh xạ ad
thỏa mãn tính chất ad  X , Y    ad  X  , ad Y   của một đồng cấu đại số
Lie.
Định nghĩa 1.1.12 Cho g là một đại số Lie và g*   X i* : g 

 là không

gian đối ngẫu g . Khi đó, ánh xạ:
ad * : g  End  g* 
X

ad *  X  : g*  g*

trong đó ad *  X  f    f ad X  g* với f g* được gọi là biểu diễn đối
phụ hợp (coadjoint representation) của g trong g* .
1.2

Đại số Lie toàn phương

Định nghĩa 1.2.1 Cho một khơng gian vector phức g . Một dạng song tuyến
tính B : g  , được gọi là:
i.

Đối xứng nếu B  X ,Y   B Y , X  với mọi X ,Y g .

ii. Không suy biến nếu B  X ,Y   0 với mọi Y g thì X  0 .
iii. Bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu:
B  X , Y  , Z   B  X , Y , Z  , X ,Y , Z  g .


8
Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng,
khơng suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số
Lie tồn phương thường được kí hiệu là  g, B  .
Ta có một số ví dụ về đại số Lie tồn phương:
3

Ví dụ 1.2.2 Trong

với tích Lie là tích có hướng, dạng tồn phương là tích

vơ hướng.
Ví dụ 1.2.3 Cho g  span X ,Y  trong đó tích Lie cho bởi  X ,Y   0 . Dạng
song tuyến tính đối xứng B cho bởi B  X ,Y   1 , các trường hợp cịn lại bằng
0.
Ví dụ 1.2.4 Cho g  span X , P, Q, Z  trong đó tích Lie cho bởi  X , P  P ,

 X , Q  Q ,  P, Q  Z , các trường hợp cịn lại bằng 0. Khi đó g được gọi là
đại số Lie kim cương. Đại số này cũng là một đại số Lie toàn phương với
dạng song tuyến tính được cho bởi: B  X , Z   B  P, Q   1 , các trường hợp
còn lại bằng 0.
Định nghĩa 1.2.5 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương và V là một
không gian vector con của g . Khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của
V là V    X  g B  X , Y   0, Y V  .

Cho V ,W là các không gian vector con của g . Khi đó ta có các tính chất sau:
a)

g  0 ;

b)

Nếu V  W thì V   W  ;

c)

V  W 

d)

V 

 



 V   W  và V  W   V   W  ;


 V và dim V   dim V    dim  g .

Một phần tử X g được gọi là tự đẳng hướng nếu B  X , X   0 . Một
không gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu


9

B  X ,Y   0 với mọi X ,Y V . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có
V V .

Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau:
Mệnh đề 1.2.6 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh xạ

 : g  g* ,   X Y   B  X ,Y  với g* là không gian đối ngẫu của g . Khi đó

 là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của g tương

đương với nhau bởi  .
Chứng minh. Giả sử g là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến
tính đối xứng bất biến và khơng suy biến B . Nhắc lại ở đây các biểu diễn phụ
hợp ad và đối phụ hợp ad * được định nghĩa như sau:

ad : g  End  g với ad  X Y    X ,Y 
ad * : g  End  g*  với ad *  X  f    f ad  X 

Cho  : g  g* là ánh xạ được xác định bởi   X   B  X ,. . Do B không suy
biến nên  là đẳng cấu. Hơn nữa ta có



ad  X Y   Z  B  X ,Y  , Z    B Y ,  X , Z  , X  g , nghĩa là ad và

ad * tương đương.
Nghiên cứu các đại số Lie tồn phương có thể quy về nghiên cứu các đại
số Lie tồn phương bất khả phân nhờ phân tích sau:
Mệnh đề 1.2.7 Cho

 g, B  là một đại số Lie toàn phương.

a) Nếu I là một ideal của g . Khi đó I  cũng là một ideal của g . Hơn
nữa, nếu thu hẹp của B trên I  I khơng suy biến thì thu hẹp của B trên

I   I  cũng không suy biến,  I , I    0 và I  I   0 , g  I  I  .
b) Nếu

Z  g

là

dim Z  g  dim g, g  dim g .

tâm

của

g

thì

Z  g   g, g


và


10
Chứng minh.
a)

Nếu I là ideal của g . Lấy A  I  , X  g ta có:

B  A, X , Y   B  A,  X ,Y   0 với mọi Y  I (do I là ideal của g ). Do
đó:  A, X   I  . Suy ra I  là ideal của g .
Giả sử B I I không suy biến. Lấy X  I  thỏa mãn B  X , I    0 thì

X  I và B  X , I   0 . Do B I I không suy biến nên X  0 . Suy ra
B I  I  không suy biến.



 



Nếu I , I  là các ideal của g thì B  I , I   , X  B I ,  I  , X   0 với
mọi X g và do B không suy biến trên g nên  I , I    0 .
Nếu X  I  I  thì B  X , I   0 . Do B không suy biến trên I nên
X  0 . Do đó I  I   0 .

Ta có: 0  I  I    I    I    I   I  .








Suy ra 0  I  I
b)





 



 I   I hay g  I   I .

Nếu X  Z  g    X , g  0  B  X , g, g   0 .
 B  X , g, g  0  X  g, g .


Nên Z  g   g, g và dim Z  g  dim g, g  dim g .


Nếu thu hẹp của B trên I  I không suy biến thì ta gọi I là một ideal
khơng suy biến của g và g  I  I  . Vì tổng trực tiếp này là tổng trực


tiếp trực giao nên ta dùng kí hiệu sau: g  I  I  .
Định nghĩa 1.2.8 Một đại số Lie tồn phương g là bất khả phân nếu g phân


tích thành hai ideal g  g1  g2 thì g1  0 hoặc g2  0 .


11
Định nghĩa 1.2.9 Cho  g, B  và  g ', B ' là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói

 g, B 

và  g ', B ' đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie

A : g  g ' thỏa mãn:

B '  A  X  , A Y    B  X ,Y  , X ,Y  g .

Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy,

A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự.
Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương
đương nhau.
Mệnh đề 1.2.10 Cho  g, B  là một đại số Lie tồn phương khơng giao hốn.
Khi đó tồn tại một ideal tâm z và một ideal l  0 sao cho:






i. g  z  l , ở đây z, B zz và l, B ll  là các đại số Lie toàn phương. Hơn
nữa, l khơng giao hốn.
ii. Tâm Z l  của l tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z l   l,l  , và

1
dim  Z l    dim l   dim l,l  .
2
iii. Cho g ' là một đại số Lie toàn phương và A : g  g ' là một đẳng cấu
đại số Lie. Khi đó:


g  z'  l' .

ở đây z '  A  z thuộc tâm, l '  A z , Z l ' tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l'


đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì l và l' đẳng
cấu đẳng cự.
Định nghĩa 1.2.11 Một đại số Lie toàn phương g khác 0 được gọi là một
đại số Lie rút gọn nếu nó có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.


12
Theo như Mệnh đề 1.2.7, từ tính chất bất biến và khơng suy biến của
dạng song tuyến tính xác định trên g , ta dễ dàng chứng minh được

g, g  Z  g



. Do đó, Z  g  tự đẳng hướng hoàn toàn khi và chỉ khi

Z  g   g, g .
1.3

Đối đồng điều đại số Lie
Cho g là một đại số Lie, V

là một không gian vector và

 : g  End V  là một biểu diễn của g trong V , tức là
  X , Y      X  ,  Y   , X ,Y  g .
Nói một cách khác,  là một đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số

End V  chứa các tự đồng cấu trên V . Trong trường hợp này, V là một

g  module . Với mỗi số nguyên k  0 , kí hiệu C k  g,V  là không gian các
ánh xạ k  tuyến tính phản xứng từ g  g  ...  g vào V nếu k  1 và
C 0  g,V   V .

Định nghĩa 1.3.1
Định nghĩa toán tử đối bờ  k : C k  g,V   C k 1  g,V  như sau:
k

 

 k f  X 0 ,.., X t     1   X i  f X 0 ,.., X i ,..., X k
i

i 0
k

   1
i j

i j





f  X i , X j  , X 0 ,..., X i ,..., X j ,..., X k



với mọi f  C k  g,V  , X 0 ,..., X k  g , ở đây kí hiệu X i để chỉ X i khơng có

trong cơng thức.
Ta có thể kiểm tra được rằng  k  k 1  0 . Thông thường ta kí hiệu
   k nếu khơng quan tâm đến chỉ số. Khi đó  thỏa mãn tính chất  2  0 .


13
Định nghĩa 1.3.2 Ta nói rằng f  C k  g,V  là một k  đối chu trình nếu

 f  0 và f là một k  đối bờ nếu có g  C k 1  g,V  sao cho f   g .
Kí hiệu Z k  g,V  là tập hợp các k  đối chu trình và B k  g,V  là tập hợp
các k  đối bờ, tức là Z k  g,V   Ker k và B k  g,V   Im  k 1 . Công thức

 2  0 chứng tỏ B k  g,V   Z k  g,V  và do đó ta có khơng gian thương
Z k  g,V  / B k  g,V  . Không gian thương này được kí hiệu là H k  g,V  và

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của g trong V . Mỗi phần tử thuộc
H k  g,V  cũng được gọi là một k  đối chu trình.

Hiện nay sự hiểu biết về nhóm đối đồng điều của các đại số Lie vẫn chưa
nhiều. Bài toán chúng tơi đặt ra ở đây là tìm cách mơ tả tường minh các nhóm
đối đồng điều của một đại số Lie g cho trước hoặc ít nhất tính được chiều của
H k  g,V  . Một công thức thường được sử dụng để tính số chiều

dim H k  g,V  như sau:

 n 
dim H k  g,V   dim  Ker k 1   dim  Ker k   m 
,
k


1



 n  n  n  1... n  k  2 
ở đây n  dim  g , m  dim V  và 
.

k

1
k

1
k

2
...1






Định nghĩa 1.3.3 bk  g   dim H k  g,

 được gọi là số Betti thứ k của g .

Ví dụ 1.3.4 Với mỗi n , kí hiệu hn là đại số Lie Heisenberg 2n  1 chiều,
khi đó, J. Santharoubane đã chứng minh được trong [1] rằng:

 2n   2n 
bk hn      
 , với mọi 0  k  n .
k
k

2
  


Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian vector phức V hữu hạn chiều được trang bị
một dạng song tuyến tính đối xứng B (ta cịn gọi V , B  là một không gian


14
vector toàn phương). Năm 2007, G. Pinczon và R. Ushirobira đã giới thiệu
khái niệm tích super-Poisson trên khơng gian  V *  chứa các dạng song
tuyến tính phản xứng trên V như sau:

,  '   1  X      X   ',    k V * 
k 1

n

j 1

j

j

và  '  V *  ,

ở đây  X j  j 1 là một cơ sở trực chuẩn của V .
n

Với một đại số Lie toàn phương  g, B  ta định nghĩa 3 - dạng liên kết
với g xác định bởi:

I  X ,Y , Z   B  X ,Y , Z  , X ,Y , Z  g .
Khi đó ta có đẳng thức I , I   0 , hơn nữa   I ,  (xem [7]).


15

Chương 2. Đại số Lie toàn phương thấp chiều
2.1.

Phân loại các đại số Lie toàn phương đến 4 chiều
Sau đây chúng ta nhắc lại các kết quả phân loại các đại số Lie tồn

phương giải được có số chiều bé hơn hoặc bằng 4 trong [8].
Mệnh đề 2.1.1 (Phân tích Witt)
Cho V là một không gian vector phức hữu hạn chiều được trang bị một
dạng song tuyến tính khơng suy biến B . Giả sử U là một không gian con tự
đẳng hướng hồn tồn của A . Khi đó tồn tại một khơng gian con tự đẳng
hướng hồn tồn W và một không gian con F không suy biến của A sao cho


dim W   dim U  , F  U  W  và V  F  U  W  .


Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là nếu  X1,..., X n  là một cơ sở
của U thì ta có thể tìm được một cơ sở

Y1,...,Yn

của W sao cho

B  X i ,Y j    ij , với 1  i, j  n .

Mệnh đề 2.1.2 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương giải được có số
chiều bé hơn hoặc bằng 4. Khi đó ta có các trường hợp sau:
i.

Nếu dim  g   3 thì g giao hốn.

ii.

Nếu dim  g  4 và g khơng giao hốn thì g đẳng cấu đẳng cự với đại
số Lie kim cương.
Chứng minh: Vì g giải được nên  g, g  g . Do đó nếu dim  g   3 thì g

phải giao hốn và ta nhận được khẳng định (i). Nếu dim  g  4 và g không
giao hoán, ta sẽ chứng minh g rút gọn. Thật vậy, nếu g khơng rút gọn thì tồn
tại một vector X nằm trong tâm của g để B  X , X   0 . Điều này chứng tỏ

I  X là một ideal không suy biến của g và do đó:


16



g  I I.
Theo mệnh đề 1.2.7 chú ý rằng I  là một đại số Lie toàn phương giải
được 3 chiều nên I  phải giao hốn. Do đó g giao hoán. Mâu thuẫn này
chứng tỏ g phải rút gọn, tức là Z  g   g, g .
Vì  g, g  g và dim  g, g  3 nên dim  g, g  3 . Do đó, dim  Z  g    1 . Ta
giả sử Z  g  sinh bởi vector Z . Vì Z  g  tự đẳng hướng hồn tồn nên theo
phân tích Witt tồn tại một khơng gian con một chiều tự đẳng hướng hồn tồn
W và một khơng gian con 2 chiều F khơng suy biến của g sao cho:


g  F   Z  g  W  .
Hơn nữa, ta có thể chọn một vector cơ sở X của W và một cơ sở P, Q
của F sao cho B  X , Z   B  P, Q   1 và B  P, P   B  Q, Q   0 .
Vì  g, g  Z  g nên  g, g  spanZ , P, Q .


Do  X , P, X , Q, P, Q  g, g nên ta có thể giả sử:

 X , P   a1Z  b1P  c1Q
 X , Q   a2 Z  b2 P  c2Q
 P, Q   a3Z  b3 P  c3Q

với ai , bi , ci  ,1  i  3

Ta có B  X ,  X , P   B  X , X , P   0 . Suy ra B  X , a1Z  b1P  c1Q   0 và
do đó ta được a1  0 .
Tính tốn tương tự, B  P,  X , P   0 suy ra c1  0 , tức là  X , P   b1P .
Từ tính bất biến của B và cách làm giống như trên, ta cũng thu được

 X , Q  c2Q và  P, Q  a3Z .
Hơn nữa từ B  X , P , Q   B  X ,  P, Q    B  X , Q , P  nên ta có
b1  c2  a3  0 .


17

Đổi cơ sở

Z , X , P, Q

bằng cách đặt Z : a3 Z và X :

X
ta được
a3

 X , P  P ,  X , Q  Q và  P, Q  Z . Chú ý rằng phép đổi cơ sở này là một
phép đẳng cấu đẳng cự nên g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie kim cương.
Trong trường hợp g khơng giải được thì chỉ có 2 trường hợp g  o 3
(đại số Lie đơn 3 chiều) hoặc g  o 3  X (trường hợp này g khơng rút
gọn).
2.2.

Đại số Lie tồn phương cơ bản và đại số Lie toàn phương giải được

7 chiều
Mệnh đề 2.2.1 Cho  g, B  là một đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
bất khả phân. Khi đó tồn tại một cơ sở Z1, Z2 ,T , X1, X 2  của g sao cho

B  X i , Z j    ij , 1  i  2 , B T ,T   1, các trường hợp còn lại bằng 0 và tích

Lie được xác định bởi  X1 , X 2   T ,  X1,T   Z 2 và  X 2 ,T   Z1 , các trường
hợp còn lại bằng 0.
Chứng minh: Giả sử  g, B  là đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều
bất khả phân. Hiển nhiên, g phải là một đại số Lie tồn phương rút gọn. Khi
đó, chỉ có 2 trường hợp: dim  Z  g    1 và dim  Z  g    2 . Ta sẽ lần lượt
xem xét hai trường hợp này:
i.

dim  Z  g    1 Giả sử Z  g  Z . Khi đó, tồn tại một vector tự đẳng

hướng Y và một không gian con F của g sao cho B  Z ,Y   1 và


g  F   Z  Y  , ở đây F   Z  Y  . Ta có thể chọn một cơ sở

P, Q, X 



của không gian F sao cho B  P, X   B  Q, Q   1 , các trường hợp

còn lại bằng 0.


18

g, g  Z  g

Vì



nên

g, g  spanZ , P, Q, X  .

Hơn

nữa,

từ

B Y , X , Y   B Y , X , X   0 nên ta có thể giả sử Y , X   a1 X  b1Q với
a1 , b1 

. Tương tự ta thu được các tích Lie sau:

Y , X   a2 X  b2 P , Y , Q  a3Q  b3P ,
 X , P  a5Q  b5Z

 X , Q  a4 X  b4Z ,

và Q, P  a6Q  b6 Z .

ở đây ai , bi  , 2  i  6 .
Từ tính chất bất biến của B ta thu được a1  b5  b3 , b1  b4  b2 ,
a2  b6  a3 và a4  a6  a5 . Do đó ta viết lại như sau:

Y , X   xX  yQ , Y , Q  zX  yP , Y , P   zQ  xP ,
 X , Q  wX  yZ ,  X , P  wQ  yZ ,

và

Q, P  wP  zZ ,

ở đây

x, y, z, w .

Nếu w  0 , đặt các vector A   X , Q , B   X , P và C  Q, P . Khi đó
ta có  A, B    w2  X , Q   w2 A ,  B, C    w2C và C , A   w2 B . Điều này
chứng tỏ không gian vector U  span A, B, C trở thành một đại số con của g
và đại số này không giải được. Điều này mâu thuẫn với g giải được.
Do đó w  0 .
Dễ dàng kiểm tra được rằng vector zZ  xQ  yP  Z  g . Hơn nữa 3 số
x, y, z không đồng thời triệt tiêu. Điều này dẫn tới dim  Z  g    1 và do đó

trường hợp này không xảy ra.
ii. dim  Z  g    2 . Ta giả sử Z  g  spanZ1, Z2 . Theo phân tích Witt,
tồn

tại

các

vector

X1, X 2

và

T

thỏa

mãn

các

điều

kiện:

g  spanZ1, Z2 ,T , X1, X 2 , không gian W  span X1, X 2 tự đẳng hướng


19
hồn tồn, dạng song tuyến tính đối xứng B được xác định bởi
B  X i , Z j    ij , 1  i, j  2 , B T ,T   1, các trường hợp cịn lại bằng 0.

Vì  g, g  Z  g nên  g, g  spanZ1, Z2 ,T  . Do đó ta có thể giả sử rằng:


 X1, X 2   a1 X1  a2 X 2  xT ,  X1,T   b1Z1  b2Z2  yT ,
và  X 2 ,T   c1Z1  c2 Z 2  zT với a , b , c , x, y, z  , 1  i  2 .
i

i

i

Do B bất biến nên ta có thể dễ dàng suy ra  X1, X 2   xT ,  X1,T   b2 Z2
và  X 2 ,T   c1Z1 , ở đây x  b2  c1  0 . Đổi cơ sở bằng cách đặt X 1 :
Z1  c1Z1 ta được tích Lie xác định bởi

X1
và
x

 X1 , X 2   T ,  X1 ,T   Z 2

và

 X 2 ,T   Z1 .
Định nghĩa 2.2.2  g, B  là một đại số Lie toàn phương cơ bản nếu 3 - dạng
phản xứng liên kết với nó khả phân.
Mệnh đề 2.2.3
a)

g là một đại số Lie tồn phương cơ bản khơng giao hốn nếu và
chỉ nếu dim  g, g  3 .

b)

Nếu g là một đại số Lie tồn phương cơ bản thì quỹ đạo đối phụ
hợp của g có số chiều lớn nhất bằng 2.

Mệnh đề 2.2.4 Cho  g, B  là một đại số Lie tồn phương cơ bản khơng giao

hốn. Khi đó g là tổng trực tiếp trực giao của các ideal z và l , ở đây z là
ideal thuộc tâm và l đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie sau:
a)

dim l   3, l  sl  3 .

b)

dim l   4, l là đại số Lie kim cương. Đây là một đại số Lie tồn
phương với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến được cho bởi

B  X , Z   B  P, Q   1 , các trường hợp khác bằng 0.