Đối đồng điều địa phương môđun a minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Chƣơng Hoa Anh

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA
MƠĐUN

-MINIMAX

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

Chƣơng Hoa Anh

ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA
MƠĐUN

-MINIMAX

Chun ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của
thầy giáo PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí
Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN-SĐH của
trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập của
mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh
Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, GS.TS Bùi Xuân Hải và các quý
thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số
khóa 24 của trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh.
Cảm ơn Thạc sĩ Nguyễn Minh Trí (Đại học Đồng Nai) đã dành thời gian đọc
toàn bộ luận văn và cho tơi nhiều nhận xét, góp ý rất q báu để luận văn được hồn
thành tốt hơn.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập cũng như trong
q trình thực hiện luận văn.
Tp.HCM, ngày 1 tháng 9 năm 2015

Chương Hoa Anh


BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT

Spec R

: Tập các iđêan nguyên tố của vành R.

Ass(M)

: Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun M.

V()

: Tập các iđêan nguyên tố (trong vành R cho trước) chứa iđêan .

HomR(M, N)

: Tập tất cả các R-đồng cấu f : M ⟶ N.

Supp(M)

: Giá của môđun M.

Gdim M

: Chiều Goldie của môđun M.

GdimM

: Chiều Goldie -tương đối của môđun M.

Hi ( M )

: Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan .

E(M)

: Bao nội xạ của môđun M.

 (M )

: Môđun con -xoắn của môđun M.

MP

: Địa phương hóa của mơđun M tại iđêan ngun tố P.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
BẢNG CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................... 3
1.1 Hàm tử Ext ..................................................................................................... 3
1.2 Địa phương hóa .............................................................................................. 5
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá ..................................................................... 9
1.4 Hàm tử -xoắn .............................................................................................. 12
1.5 Môđun đối đồng điều địa phương ............................................................... 14
1.6 Bao nội xạ ..................................................................................................... 16
1.7 Số Bass ......................................................................................................... 20
Chƣơng 2: MÔĐUN -MINIMAX VÀ CHIỀU GOLDIE ..................................... 21
2.1 Chiều Goldie ................................................................................................ 21
2.2 Môđun minimax ........................................................................................... 22

2.3 Môđun -minimax ........................................................................................ 24
Chƣơng 3: ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƢƠNG CỦA MÔĐUN -MINIMAX ....... 32
3.1 Môđun -cominimax và đối đồng điều địa phương ................................... 32
3.2 Tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết ................................... 36
KẾT LUẬN................................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 41


1

MỞ ĐẦU
Cho R là một vành Noether giao hoán,  là iđêan của R, M là R-môđun hữu
hạn sinh. Một câu hỏi quan trọng trong đại số giao hoán được đưa ra là khi nào thì
tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i là

Hi  M  là hữu hạn. Brodmann và Lashgari [11, Định lý 2.2] đã chỉ ra rằng nếu cho
M là R-môđun hữu hạn sinh và một số nguyên không âm t sao cho các môđun đối
đồng điều địa phương H0  M  , H1  M  ,..., Ht 1  M  là hữu hạn sinh. Khi đó,

Ass R Ht  M  là hữu hạn.
Theo [5] thì một R-mơđun M có chiều Goldie hữu hạn ( G dimM <  ) nếu M
không chứa tổng trực tiếp vô hạn của các môđun con khác không, hoặc bao nội xạ
E(M) của M được phân tích thành tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con không
phân tích được (nội xạ). Ngồi ra, một R-mơđun M có chiều Goldie -tương đối
hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun con -xoắn Γ(M ) của M là hữu hạn. Ta gọi
R-môđun M là -minimax nếu chiều Goldie -tương đối của bất kỳ môđun thương
trong M là hữu hạn.
Luận văn này sẽ trình bày khái niệm, tính chất của mơđun -minimax (viết tắt
là -minimax) và cho thấy rằng kết quả của Brodmann và Lashgari ở trên vẫn đúng
cho lớp R-môđun -minimax. Cụ thể nội dung chính trong luận văn này là chúng

tôi sẽ chứng minh định lý sau đây:
Định lý 3.2.2. Cho R là vành giao hoán Noether,  là một iđêan của R và M là
một R-môđun -minimax. Cho t là một số nguyên không âm sao cho Hi  M  là minimax với mọi i < t . Khi đó, với mọi R-mơđun con -minimax N của Ht  M  thì


2





R-môđun Hom R R / ,Ht  M  / N là -minimax. Nói riêng, chiều Goldie của
Ht  M  / N là hữu hạn và do đó Ass R (Ht  M  / N ) là hữu hạn.

Nội dung của luận văn bao gồm 3 chương, có thể tóm tắt như sau:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một
số kết quả về hàm tử Ext, địa phương hóa, iđêan nguyên tố liên kết và giá, hàm tử
-xoắn, môđun đối đồng điều địa phương, bao nội xạ và số Bass.
Chƣơng 2: Mơđun -minimax và chiều Goldie. Chương này trình bày khái
niệm về chiều Goldie, mơđun -minimax và một số tính chất của mơđun minimax, trong đó có tính chất quan trọng là Mệnh đề 2.3.3 được áp dụng để chứng
minh Định lý 3.2.2.
Chƣơng 3: Đối đồng điều địa phƣơng của môđun -minimax. Chương này
được chia 2 mục nhỏ là 3.1 và 3.2. Mục 3.1 trình bày khái niệm về mơđun cominimax và một số tính chất của nó, trong đó có tính chất quan trọng là Hệ quả
3.1.6 được áp dụng để chứng minh Định lý 3.2.2. Mục 3.2 sẽ cho thấy rằng kết quả
của Brodmann và Lashgari trong [11, Định lý 2.2] vẫn đúng cho lớp R-môđun minimax, đây cũng là phần chính của luận văn này.
Trong Chương 1 thì vành R ln là vành giao hốn, Chương 2 và Chương 3
thì vành R ln là vành giao hốn Noether và có đơn vị khác khơng,  là một iđêan
của R. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo iđêan  được định nghĩa
như sau:
i

i

H ( M ) = lim Ext R ( R /

n

, M ).

n≥1

Độc giả có thể tham khảo thêm trong [12, Định lý 1.3.8].


3

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất, mệnh đề
mà chúng tôi sẽ sử dụng trong chương 2 và chương 3, vành R trong chương này
luôn là vành giao hốn. Chúng tơi khơng chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh
đề, định lý ở chương này, độc giả có thể tham khảo thêm ở một số tài liệu [1], [2],
[3], [4], [7], [12], [15], [16].
1.1 Hàm tử Ext
Cho A, C là các R-môđun. Xét phép giải xạ ảnh của C
n

1

X : ...  X n  X n-1  ...  X1  X 0  C  0 .
Phức thu gọn tương ứng của X là:

n

1

X : ...  X n  X n1  ...  X1  X 0  0 .

Ta có dãy nửa khớp sau:
0

1

 n 1

Hom( X , A) : 0  Hom( X 0 ,A)  Hom( X 1 ,A)  ...  Hom( X n 1 ,A) 
 n 1

n

 Hom( X n ,A)  Hom( X n 1 ,A)  ....

trong đó các đồng cấu  n  (1)n 1 *n 1 , với mọi n  0.
Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này là:





Hn Hom  X ,A  Kerδ n / Im δ n-1,

gọi là tích mở rộng n-chiều của mơđun A bởi C, kí hiệu là Ext nR (C,A). Khi vành R

đã được chỉ rõ, ta kí hiệu đơn giản hơn là Extn(C,A).
Mệnh đề 1.1.1. Cho A, C là các R-mơđun. Khi đó


4

Ext0(C,A) ≅ Hom(C,A).
Mệnh đề 1.1.2. Tích mở rộng n-chiều Extn là hàm tử của hai biến, phản biến theo
biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng, Ext n (, B) (tương ứng
Ext n ( A,  ) ) là các hàm tử phản biến (tương ứng hàm tử hiệp biến) từ phạm trù các

môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm Abel, với mọi môđun A (tương
ứng mọi môđun B).
Mệnh đề 1.1.3. Với mỗi R-mơđun G và bất kì dãy khớp ngắn các R-môđun
χ

ζ

0 
 A 
 B 
 C 
 0 ta ln có các khớp dài sau:
*

*

ζ
χ
*

... 
 Ext n ( B,G ) 
 Ext n ( A,G) 
 Ext n+1 (C,G) 
 ... , (1)
χ

ζ

E

E

*
*
*
... 
 Ext n (G,B) 
 Ext n (G,C ) 
 Ext n+1 (G,A) 
 ... . (2)

Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là
0 ⟶ Hom(C,G) = Ext0(C,G) (đối với dãy (1)) và 0 ⟶ Hom(G,A) = Ext0(G,A) (đối
với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n = 0, 1, 2,….
Mệnh đề 1.1.4. Cho A là mơđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây
là tương đương
(i)

A là xạ ảnh.

(ii) Ext( A, B)  0 với mọi môđun B trên vành R.
(iii) Ext n ( A, B)  0 với mọi n > 0 và mọi môđun B trên vành R.
Mệnh đề 1.1.5. Cho B là môđun bất kỳ trên vành R. Khi đó các phát biểu sau đây
là tương đương
(i)

B là nội xạ.

(ii) Ext( A, B)  0 với mọi môđun A trên vành R.


5

(iii) Ext n ( A, B)  0 với mọi n > 0 và mọi môđun A trên vành R.
Mệnh đề 1.1.6. Cho họ các môđun {X i }iI và R-mơđun A. Khi đó, ta có đẳng cấu
Ext n ( A,  X i )   Ext n ( A,X i ).
iI

iI

Mệnh đề 1.1.7. Cho A và B là các R-môđun tùy ý,

0M  P  A0
là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là mơđun xạ ảnh trên R. Khi đó ta có
Ext n ( A, B)  Ext n1( M , B) víi mäi n  1.

Mệnh đề 1.1.8. Cho A và B là các R-môđun tùy ý,

0  B  J  B'  0

là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó J là mơđun nội xạ trên R. Khi đó ta có
Ext n ( A, B)  Ext n1( A, B ') víi mäi n  1.

1.2 Địa phƣơng hóa
Vành R ở đây là vành giao hốn có đơn vị 1 ≠ 0.
Định nghĩa 1.2.1 ( Iđêan nguyên tố)
Iđêan P của R được gọi là nguyên tố nếu P ≠ R và với mọi x,y ∈ R, từ xy ∈
P suy ra hoặc x ∈ P hoặc y ∈ P.
Iđêan nguyên tố P của R được gọi là tối tiểu trên  nếu nó là iđêan nguyên tố
thực sự nhỏ nhất chứa .
Định nghĩa 1.2.2. Một tập S ⊂ R được gọi là tập con nhân của R nếu S thỏa 2 tính
chất là: 1 ∈ S và với mọi x,y ∈ S thì xy ∈ S.


6

Giả sử S là tập con nhân của R. Trên tập A x S ta định nghĩa quan hệ hai
ngôi ~ như sau: (a, s) ~ (a ', s ') khi và chỉ khi tồn tại t  S sao cho (as ' a ' s)t  0.
Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên A x S . Kí hiệu tập thương ( A x S )

S 1 A . Kí hiệu lớp tương đương của phần tử (a, s) là

~

là

a
. Ta đặt
s

r

S 1R   | r  R , s  S .
s

Với mọi

r r'
,  S 1R , ta định nghĩa
s s'

* Phép cộng (+) :
* Phép nhân (.) :

r r' rs' + r's
+ =
.
s s'
ss'
r r' rr'
. =
.
s s' ss'

Khi đó ( S 1 R,+, .) là vành giao hốn có đơn vị, gọi là vành các thương của vành R
theo tập con nhân S.
Định nghĩa 1.2.3 (Địa phƣơng hóa của vành R)
Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập S  R \ P là tập con nhân của R. Ta
kí hiệu RP = S 1 R. Khi đó, vành RP là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là

r

tập hợp S 1P =  | r  P , s  S  và được gọi là địa phương hóa của vành R theo
s

iđêan nguyên tố P.
Định nghĩa 1.2.4 (Môđun các thƣơng)
Cho R-môđun M, S là tập con nhân của R. Trên tập M x S ta định nghĩa quan
hệ hai ngôi ~ như sau: (m, s) ~ (m ', s ') khi và chỉ khi tồn tại t  S sao cho

t (sm ' s ' m)  0. Dễ thấy ~ là một quan hệ tương đương trên M x S . Kí hiệu tập


7

thương ( M x S )

~

là S 1M . Kí hiệu lớp tương đương của phần tử (m, s) là

m
. Ta
s

đặt

m

S 1M =  | m  M , s  S .

s

Với mọi

m m'
a
,  S 1M ,với mọi  S 1R ta định nghĩa
s s'
s

* Phép cộng (+) :

m m' ms' + m's
+ =
.
s s'
ss'

* Phép nhân (.) :

a m' am'
. =
.
s s'
ss'

Khi đó ( S 1M , ,.) là một S 1R -môđun gọi là môđun các thương của Rmôđun M theo tập con nhân S. Hiển nhiên S 1M cũng là một R-mơđun với phép
nhân ngồi r.

m rm

=
.
s
s

Định nghĩa 1.2.5 (Địa phƣơng hóa của R-mơđun M)
Cho P là iđêan nguyên tố của vành R. Tập S  R \ P là tập con nhân của R. Ta
kí hiệu S 1R = RP và S 1M = M P . Ta gọi RP và MP là địa phương hóa của vành R
và mơđun M theo iđêan ngun tố P.
Mệnh đề 1.2.6. Cho dãy khớp các R-môđun
f
g
N 
 M 
L

và giả sử S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có dãy khớp các S -1R-môđun
sau:
1

1

S f
S g
S 1N 
 S 1M 
 S 1L.


8

Mệnh đề 1.2.7. Cho N là một môđun con của R-mơđun M và S là một tập đóng
nhân của R thì ta có đẳng cấu S-1R-mơđun
S 1(M / N)  S 1M / S 1N.

Mệnh đề 1.2.8. Cho f : N ⟶ M và g : M ⟶ L là những đồng cấu R-mơđun. Khi
đó các điều kiện sau là tương đương:
(i)

Dãy
f
g
N 
 M 
L

là khớp
(ii) Dãy
f
g
NP 
 M P 
 LP
P

P

là khớp với mọi iđêan nguyên tố P của R.
(iii) Dãy
f

g
N 
 M 
L

là khớp với mọi iđêan cực đại  của R.
Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo tồn tổng qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I là một họ
các mơđun con của R-mơđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó ta có
S 1 ( M i )   S 1M i .
iI

iI

Mệnh đề 1.2.10 (Tính bảo tồn tổng trực tiếp qua địa phƣơng hóa). Cho {Mi}i∈I
là một họ các môđun con của R-môđun M và S là một tập đóng nhân của R. Khi đó
ta có
S 1(  M i )   S 1M i .
iI

iI


9

Mệnh đề 1.2.9 (Tính bảo tồn giao hữu hạn qua địa phƣơng hóa). Cho
{M1,…,Mn} là một họ hữu hạn các mơđun con của R-mơđun M và S là một tập
đóng nhân của R. Khi đó ta có
n

n

i 1

i 1

S 1( M i )   S 1M i .
Mệnh đề 1.2.10. Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R
thì S 1M là một S 1R -môđun Noether.
1.3 Iđêan nguyên tố liên kết và giá
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) sao cho P = Ann(x).
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssRM. Nếu vành R được
chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Ass(M) .
Giá của mơđun M, kí hiệu: SuppRM = { P ∈ Spec R | MP ≠ 0 }. Nếu vành R
được chỉ rõ thì ta có thể kí hiệu đơn giản hơn là Supp(M).
Đặt V() = { P ∈ Spec R |  ⊆ P } là tập các iđêan nguyên tố trong R chứa .
Nếu R là vành Noether và  là một iđêan của R thì Supp(R / ) = V().
Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và  là một
iđêan của R. Khi đó Supp(M ) ⊂ V() khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho
kM = 0.
Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun và  là một iđêan của R. Khi đó, ta có:
(i)

M ≠ 0 khi và chỉ khi Supp(M ) ≠ ∅.

(ii) V() = Supp(R / ).


10

(iii) Nếu M = Σ Mi thì Supp(M ) = ∪ Supp(Mi ) .
(iv) Nếu M là hữu hạn sinh thì Supp(M ) = V(Ann(M )).
Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh,  là một iđêan bất kì của R,
khi đó:
Supp(M / M ) = V(+AnnM ).
Định lý 1.3.5. Cho R là vành Noether, M là R-mơđun khác 0. Khi đó:
(i) Phần tử tối đại của F = {Ann(x) | 0 ≠ x ∈ M } là iđêan nguyên tố liên kết
của M. Hay AssRM ≠ ∅.
(ii) Tập các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết
của M.
Mệnh đề 1.3.6. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và N là
một R-môđun bất kỳ. Khi đó :
Ass(HomR(M, N )) = Supp(M ) ∩ Ass(N ).
Mệnh đề 1.3.7. Cho M, N, P là các R-môđun và dãy khớp ngắn
0 ⟶ M ⟶ N ⟶ P ⟶ 0.
Khi đó, ta có:
(i)

Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P).

(ii) Supp(N ) = Supp(M ) ∪ Supp(P).
Mệnh đề 1.3.8. Cho R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi
đó, ta có:
(i)

AssRM là tập hữu hạn.

(ii) AssRM ⊂ Supp(M).

11

(iii) Tập các phần tử tối tiểu của AssRM và Supp(M) trùng nhau.
Mệnh đề 1.3.9. Nếu N là một môđun con của một R-mơđun M thì
Ass(N ) ⊆ Ass(M ).
Mệnh đề 1.3.10. Cho M là một R-mơđun. Khi đó ta có các khẳng định sau đây:
(i)

Nếu M = 0 thì Ass(M) = ∅.

(ii) Nếu M ≠ 0 và R là vành Noether thì Ass(M) ≠ ∅.
(iii) Nếu P là một iđêan nguyên tố của vành R thì AssR( R / P ) = {P}.
Mệnh đề 1.3.11. Nếu có một dãy lồng nhau các môđun con của M
M  M n  M n1  ...  M 0  0 ,

thì

Ass( M ) 

n
i 1

Ass( M i / M i 1).

Mệnh đề 1.3.12. Cho M là một R-môđun Artin khi đó Ass R ( M ) là tập hữu hạn.
Định lý 1.3.13. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether R,

M  0 . Khi đó tồn tại một dãy các môđun con
0  M 0  M1  ...  M n  M

và một họ các iđêan nguyên tố P1,..., Pn của R sao cho
M i / M i 1  R / Pi

với mọi i  1,...,n , đồng thời
Ass(M )  {P1,..., Pn}  Supp(M ).

Định lý 1.3.15. Cho ( M i )iI là một họ tùy ý các R-môđun với I là một tập khác
rỗng. Khi đó


12

Ass(  M i )   Ass( M i ).
iI

iI

1.4 Hàm tử -xoắn
Cho  là một iđêan của vành giao hốn R. Với m i R-mơđun M, ta đặt:
 M  



Trong đó: 0 :M

n

  {m  M ,

n

n

0 :

M

n

.

m  0} , môđun   M  được gọi là môđun -xoắn

của R-môđun M. Chú ý rằng   M  là môđun con của M.
Mệnh đề 1.4.1. Gọi f : M ⟶ N là một đồng cấu giữa các R-mơđun. Khi đó
f    M      N .

Do đó ta có đồng cấu

 f  :  M  



 N

là thu hẹp của f trên   M  .
Khi đó,  là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù các R-mơđun vào
chính nó,  cịn được gọi là hàm tử -xoắn. Thật vậy, nếu g : M  N và

h : N  L là các đồng cấu R-môđun và r ∈ R, ta kiểm tra được

  h f     h 

 f ,

  Id M   Id  M  , (IdM là ánh xạ đồng nhất từ M vào M )
  rf   r


f

 f ,

 g  

 f    g.

Mệnh đề 1.4.2. Cho ,  là các iđêan của vành R. Với mỗi R-mơđun M, ta có


13

Γ  Γ  M   = Γ +  M .
Mệnh đề 1.4.3. Cho , là các iđêan của vành R. Khi đó,    khi và chỉ khi



.

Mệnh đề 1.4.4. Cho R là vành Noether,  là một iđêan của R, M là một R-mơđun.
Khi đó, ta có :

(i)

0 (M )  M và  R (M )  0.

(ii) Nếu



thì  (M )   (M ).

Định nghĩa 1.4.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị,  là iđêan khác khơng của R
và M là R-mơđun. Ta nói M là -xoắn tự do nếu Γ  M  = 0 và M là -xoắn khi
Γ(M) = M.
Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành giao hốn có đơn vị,  là một iđêan khác khơng của
R. Khi đó với mỗi R-mơđun M, ta có: Γ (M / Γ (M )) = 0 .
Mệnh đề 1.4.7. Nếu M là R-mơđun nội xạ thì  ( M ) cũng là R-môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.4.8. Cho I là một R-mơđun nội xạ thì dãy khớp
0   (I )  I  I /  (I )  0

là dãy chẻ.
Mệnh đề 1.4.9. Cholà một iđêan của vành Noether R. Cho M là một R-môđun xoắn. Khi đó tồn tại một đơn cấu i : M ⟶ I sao cho I là môđun nội xạ và là môđun
-xoắn.
Mệnh đề 1.4.10. Với  là iđêan của R và với bất kỳ dãy khớp ngắn các R-môđun
f

g

0  N  M  L  0.

14

Dãy sau đây là khớp
Γ (f)

Γ (g)

0  Γ ( N )  Γ ( M )  Γ ( L) .

Mệnh đề 1.4.11. Cho M là một R-môđun. Khi đó, ta có:
(i)

Ass( (M ))  Ass( M /  ( M ))  

(ii) Ass(M )  Ass( (M )) Ass(M / (M )).
1.5 Môđun đối đồng điều địa phƣơng
Định nghĩa 1.5.1 (Các hàm tử đối đồng điều địa phƣơng)
Với mỗi i ∈ ℕ, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ được kí hiệu là Hi
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với iđêan .
Với mỗi R-môđun M, ta gọi Hi (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i
của M theo iđêan .
Mệnh đề 1.5.2. Cho R là vành giao hoán Noether,  là iđêan của R và dãy khớp
ngắn 0  M '  M  M ''  0. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng
điều địa phương

0  Γ (M' )  Γ (M )  Γ ( M'' )  H1 ( M' )  H1 ( M )  H1 ( M'')  H 2 ( M' )  ...
....
 Hi (M )  Hi ( M'' )  Hi+1 ( M' )  ....
Mệnh đề 1.5.3. Với mọi nhóm giao hốn G và với mọi a ∈ ℤ, ta có: Hi a (G)  0
với mọi i ≥ 2.

Định lý 1.5.4. Với mọi R-môđun M và với mọi i ∈ ℕ, ta có
i

i

H ( M )  lim Ext R ( R /
n≥1

n

, M ).


15

Mệnh đề 1.5.5. Cho M là một R-môđun -xoắn. Khi đó, tồn tại một phép giải nội
xạ của M : 0  M  I 0  ...  I n  ... trong đó I i là R-mơđun -xoắn với mọi

i  0.
Mệnh đề 1.5.6. Cho R là vành giao hoán Noether,  là iđêan của R, M là R-mơđun.
Khi đó, nếu M là -xoắn thì Hi (M ) = 0 với mọi i  1.
Mệnh đề 1.5.7.
(i)

Với mỗi R-mơđun N thì Hi ( ( N ))  0 với mọi i  0 .

(ii) Với mỗi R-môđun N thì tồn cấu chiếu  : N  N /  ( N ) cảm sinh các
đẳng cấu


Hi ( ) : Hi ( N )  Hi ( N /  ( N )) với mọi i  0 .

Mệnh đề 1.5.8. Cho M là một R-môđun -xoắn và một phép giải nội xạ của M
d 1

d0

di

I * : 0  I  I  ...  I  I i 1  ... .
0

1

i

Khi đó phức
 ( d 1 )

 (d i )

 ( I *) : 0   ( I 0 ) ...   ( I i )   ( I i 1)  ...
cũng là một phép giải nội xạ của M.
Mệnh đề 1.5.9. Cho ,  là hai iđêan của vành giao hoán R và M là một R-mơđun
-xoắn. Khi đó, ta có đẳng cấu
Hi  ( M )  Hi ( M ) với mọi i ≥ 0.

Mệnh đề 1.5.10. Cho  là iđêan của vành giao hoán Noether R, M là R-mơđun.
Nếu  được sinh bởi t phần tử thì Hi (M ) = 0 với mọi i  t.

16

Mệnh đề 1.5.11. Cho M là một R-môđun -xoắn và (0 :M ) là Artin. Khi đó, M là
Artin.
Mệnh đề 1.5.12. Cho (R,) là vành giao hoán địa phương và M là một R-mơđun
hữu hạn sinh. Khi đó Hi ( M ) là Artin với mọi i ≥ 0.
Mệnh đề 1.5.13. Cho R /

là Artin và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

Hi ( M ) là Artin với mọi i ≥ 0.

Mệnh đề 1.5.14. Nếu M là R-mơđun nội xạ thì Hi ( M )  0 với mọi i  1.
Mệnh đề 1.5.15. Cho  là một iđêan của vành Noether R, cho n ∈ ℕ và M là một Rmơđun. Khi đó, mơđun đối đồng điều H n (M ) là môđun -xoắn.
1.6 Bao nội xạ
Định nghĩa 1.6.1 (Mở rộng cốt yếu).
(i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một R-môđun không tầm
thường M, nếu M ⊆ E và với mỗi mơđun con khác khơng N của E thì ta
ln có N ∩ M ≠ 0.
(ii) Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M được gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mọi mở rộng thực sự E’ của E không thể là mở rộng cốt yếu của
M.
Ta có một số nhận xét:
1)

Rõ ràng m i mơđun ln là một mở rộng cốt yếu của chính nó. Ngồi ra
khái niệm mở rộng cốt yếu cịn có tính chất: Nếu E là một mở rộng cốt yếu
của M và M là một mở rộng cốt yếu của N thì E là một mở rộng cốt yếu của
N.

17

2)

E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với m i phần tử 0
≠ x ∈ E luôn tồn tại phần tử a ∈ R sao cho 0 ≠ ax ∈ M.

3)

Cho M  E và M '  E ' là những R-môđun. Giả sử ta có biểu đồ sau là
giao hốn
j
M 
 E

≅

≅

j'
M ' 
E'

trong đó j và j ' là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó dễ dàng suy ra được
rằng, nếu E là mở rộng cốt yếu của M thì E ' cũng là một mở rộng cốt yếu
của M ' .
Mệnh đề 1.6.2. Cho ( M i )iI là một họ các R-môđun. Giả sử với mỗi i ∈ I, Ei là một
mở rộng cốt yếu của Mi . Khi đó  Ei là một mở rộng cốt yếu của  M i .

iI

iI

Định lý 1.6.3. Cho E là một R-mơđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i)

E là R-mơđun nội xạ.

(ii) E khơng có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức nếu E ' là một mở rộng cốt
yếu của E thì E  E ' .
Định nghĩa 1.6.4 (Bao nội xạ). Cho M là R-môđun. Một R-môđun E được gọi là
bao nội xạ của M, nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M. Kí
hiệu là E(M ).
Định lý 1.6.5. Cho E là một mở rộng của R-mơđun M. Khi đó các mệnh đề sau là
tương đương:
(i) E là một bao nội xạ của M.
(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.


18

Mệnh đề 1.6.6. Mỗi R-mơđun M ln có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, giả sử E
và E ' là những bao nội xạ của M, khi đó tồn tại một R-đẳng cấu f : E ⟶ E ' sao
cho f(x) = x với mọi x ∈ M.
Nhận xét: R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi E(M ) = M.
Hệ quả 1.6.7. Cho f : M ⟶ N là một R-đẳng cấu và i : M ⟶ E(M ) , j : N ⟶ E(N )
là các phép nhúng tự nhiên của chúng vào bao nội xạ tương ứng. Khi đó tồn tại
đẳng cấu g : E(M ) ⟶ E(N ) sao cho biểu đồ sau giao hoán
i

M 
 E (M )

f

g

j
N 
 E(N )

tức goi = jof .
Mệnh đề 1.6.8. Với mỗi R-môđun M cho trước, luôn tồn tại dãy khớp dài các Rmôđun.
ε

f0

f1

f2

0 
 M 
 E0  E1  E2  ... .
trong đó E0 = E(M ), E1 = E(E0/Im ε), Ei = E(Ei-1/Imfi-2) với mọi i ≥ 2.
Một dãy khớp như trên được gọi là phép giải nội xạ cực tiểu của M. Hơn nữa, phép
giải nội xạ là xác định duy nhất sai khác đẳng cấu. Tức, nếu
ε'
f
f

f
0 
 M 
 E0' 
 E1' 
 E2' 
 ...
'
0

'
1

'
2

là một phép giải nội xạ cực tiểu khác của M, khi đó tồn tại những R-đẳng cấu

i : Ei 
 Ei'
với mọi i ≥ 0, sao cho  '   0 o  , fi' o  i   i 1 o fi với mọi i ≥ 0, nghĩa là làm cho
biểu đồ sau là giao hoán


19

ε
0 
 M 
 E0  E1  E2  ...

f0

1M

δ0

f1

δ1

f2

δ2

ε'
f
f
f
0 
 M 
 E0' 
 E1' 
 E2' 
 ...
'
0

'
1

'
2

Định nghĩa 1.6.9. Một R-môđun khác không M được gọi là khơng phân tích được,
nếu M chỉ có duy nhất hai hạng tử trực tiếp là 0 và M.
Mệnh đề 1.6.10. Cho R là vành Noether và P, Q  SpecR , khi đó
(i)

E ( R / P) là khơng phân tích được.

(ii) Mọi mơđun nội xạ khơng phân tích được đều đẳng cấu với một E ( R / Q)
trong Q ∈ SpecR.
(iii) Nếu x  R / P thì phép nhân với x cảm sinh một tự đẳng cấu của E ( R / P).
(iv) Nếu P ≠ Q thì E ( R / P)  E ( R / Q) .
(v) Mỗi phần tử x ∈ E ( R / P) đều bị linh hóa bởi một lũy thừa của P.
(vi) Nếu Q ⊂ P thì E ( R / Q) là một RP-môđun và ERP ( RP / QP )  E R ( R / Q).
Mệnh đề 1.6.11. Cho E là một R-môđun nội xạ khác khơng. Khi đó, E khơng phân
tích được khi và chỉ khi E là bao nội xạ của mọi R-môđun con khác không của E.
Mệnh đề 1.6.12. Cho M là môđun trên vành Noether R và  là một iđêan nguyên tố
tùy ý của R. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) E ( R / ) đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của E ( M ).
(ii)

 AssR (M ).

Mệnh đề 1.6.13. Mọi môđun nội xạ trên vành Noether ln phân tích được thành
tổng trực tiếp những mơđun nội xạ khơng phân tích được.


20

1.7 Số Bass
Ở mục này, chúng tơi chỉ nói sơ qua về định nghĩa và một tính chất cơ bản của
số Bass chủ yếu để độc giả có thể hiểu rõ hơn Định nghĩa 2.1.1 và Nhận xét 2.1.4
trong Chương 2. Độc giả có thể tìm hiểu thêm về một số tính chất của số Bass
trong [9], [12], [13].
Định nghĩa 1.7.1. Cho R là vành Noether và M là R-môđun và E  ( M ) là phép giải
nội xạ cực tiểu của M. Khi đó
Ei ( M )   E( R / ) μ (
i

,M)

SpecR

trong đó: μi ( , M )  dimk ( ) Ext iR (k ( ), M ), với i  0,

 Spec R , k ( ) 

R
R

được gọi là số Bass thứ i của M đối với iđêan nguyên tố .
Chú ý rằng khi i = 0 thì μ0 ( , M )  dimk ( ) Hom R (k ( ), M ).
Mệnh đề 1.7.2. [9, Bổ đề 2.7]. Nếu M là R-mơđun hữu hạn sinh trên vành giao
hốn Noether thì μi ( , M )   với mọi i  0 và  Spec R.