Phân tích hàm giải tích thành nhân tử

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Trí

PHÂN TÍCH HÀM GIẢI TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số :

60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Giải tích phức là một ngành có nhiều ứng dụng và được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa
học. Các công cụ của nó giúp giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán học như: bài toán phân bố số
nguyên tố, chứng minh định lí cơ bản của số học… cũng như để giải quyết các vấn đề thực tiễn: bài
tốn lí thuyết đàn hồi, bài tốn nổ mìn có định hướng…
Sự phân tích thành nhân tử của hàm giải tích đến nay vẫn cịn được nhiều nhà tốn học nghiên
cứu. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung để học tập, nghiên cứu.

2. Mục đích.
Đề tài nghiên cứu sự phân tích thành nhân tử của hàm giải tích, sau đó ứng dụng để nghiên cứu
tính chất số học của vành các hàm giải tích.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Hàm giải tích, sự phân tích hàm giải tích thành nhân tử, tính chất số học.
4.Ý nghĩa khoa học thực tiễn.
Đề tài cho một kết quả về sự phân tích thành nhân tử của hàm giải tích, từ đó cho các tính chất
số học của vành các hàm nguyên, tương tự với vành đa thức đã quen biết.


Chương 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm giải tích
Xét số phức z  x  iy . Đặt r  z  x 2  y 2 và gọi là mô đun của z . Nếu z  0 thì ta
2

2

x  y
có       1 . Vì vậy tồn tại duy nhất số thực 0 , 0  0  2 , sao cho
r r 
x
 cos 0
 x  r cos 0
 r
.


y

y
r

sin

0

  sin 
0
 r
Từ đó ta có

z  z  cos 0  i sin 0  ,0  0  2

(1.1.1)

Định nghĩa 1.1.1.
Số thực 0 thỏa mãn (1.1.1) đuợc gọi là argument chính của z , ký hiệu là arg z .
Mọi số thực  mà z  z  cos   i sin   đều đuợc gọi là agrument của z.
Rõ ràng đối với mọi argument  của z tồn tại số nguyên k sao cho

  arg z  2k .
Với mọi    0, 2  , ký hiệu C   \ rei : r  0 và arg  z   arg z   . Ta có
Định lí 1.1.1.

arg là hàm liên tục trên C .
Trong luận văn này ta ký hiệu  là một miền (tức là tập con mở và liên thông của  hoặc  ).
Định nghĩa 1.1.2.
Cho hàm số f  z  xác định trên miền    , f  z  được gọi là có đạo hàm hay khả vi tại
điểm z0   nếu tồn tại giới hạn

lim

z  0

f  z0  z   f  z0 
.
z

Trong trường hợp đó ta kí hiệu

f '  z0   lim

z  0

f  z0  z   f  z0 
.
z

và gọi f '  z0  là đạo hàm của hàm f tại điểm z0 .
Hàm f được gọi là khả vi trên miền  nếu nó khả vi tại mọi điểm z   .
Định nghĩa 1.1.3.
Hàm f xác định trong miền    với giá trị trong  gọi là giải tích tại z0   nếu tồn tại
r  0 sao cho f khả vi tại mọi z  D  z0 , r    z   : z  z0  r   .

Nếu f giải tích tại mọi z   , ta nói f giải tích trên  .
Nhận xét 1.1.1.
i) Hàm f giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó.
ii) Trên miền  , hàm f giải tích khi và chỉ khi f khả vi trên miền đó.

Định lí 1.1.2.
Giả sử    là một miền và A  là tập các hàm giải tích trên  . Khi đó với phép tốn hàm

 

thơng thường
i)

A    là một không gian vecto trên  .

 

ii) A  là một vành.

 

iii) Nếu f  A  và f  z   0, z  thì

1 A  .
 
f

 

iv) Nếu f  A  và f chỉ nhận giá trị thực thì f là hàm hằng.
Định lí 1.1.3. (Cơng thức tích phân Cauchy).
Giả sử f là hàm giải tích trên miền  và z0   . Khi đó với mọi chu tuyến  sao cho

z0     ta có công thức

f  z0  

f  
1
d .
2 i    z0


Nếu thêm f liên tục trên  và  là một chu tuyến, thì với mọi z   ta có

f  z 

f  
1
d .
2 i    z

Định lí 1.1.4. (Định lí Liouville).
Nếu hàm f  z  giải tích và bị chặn trên  thì f  const .
Định lí 1.1.5. (Sự tồn tại của hàm logarit).
Cho  là một miền đơn liên và f là hàm giải tích, f  z   0 với mọi z   . Khi đó tồn tại
hàm g giải tích trên  sao cho

e

g z 

 f  z  với mọi z   .

Định nghĩa 1.1.4.

Hàm g trong Định lí 1.1.5 là một logarit của f , kí hiệu

g  log f .
Nhận xét 1.1.2.
Áp dụng Định lí 1.1.5 cho hàm f  z   z , với mọi miền đơn liên  không chứa 0, tồn tại log
giải tích trên  .
Đặc biệt, ta có hàm log trên miền C0 (xem Định lí 1.1.1) là
log z  ln z  i arg z .

Với mọi    0, 2  , ta kí hiệu
log z  log z  i  arg z    .

Ta có log là hàm giải tích trên C .

1.2 Lí thuyết chuỗi
Cho dãy hàm biến số phức

f1 , f 2 ,..., f n ,...

(1.2.1)


cùng xác định trên tập tùy ý A   .
Định nghĩa 1.2.1.
Dãy hàm (1.2.1) đuợc gọi là hội tụ tại z  A nếu dãy số

 f  z  hội tụ. Nếu dãy (1.2.1) hội tụ
n

tại mọi z  A , ta nói nó hội tụ trên A.

Trong truờng hợp giới hạn của dãy là hữu hạn trên A, bằng cách đặt

f  z   lim f n  z  , z  A
n

ta nhận đuợc hàm f : A   .
Hàm f như trên gọi là hàm giới hạn của dãy (1.2.1) và viết f  lim f n . Nói một cách cụ thể
n 

hơn hàm f là giới hạn của dãy hàm  f n  trên A nếu

  0, z  A, N   , z  , n  N   , z  : f n  z   f  z    .
Định nghĩa 1.2.2.
Dãy hàm (1.2.1) gọi là hội tụ đều đến hàm f trên tập A nếu   0, N    sao cho

f n  z   f  z    , n  N   và z  A .
Nhận xét 1.2.1.
Mọi dãy hội tụ đều trên A thì hội tụ trên A.
Định nghĩa 1.2.3.
Giả sử

 fn  là một dãy hàm trên

A   . Khi đó tổng hình thức


f1  f 2  ...  f n  ...   f n

(1.2.2)

n 1

được gọi là chuỗi hàm trên A.
n

Với mỗi n  1, đặt S n  z    f k  z , z  A , S n gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Chuỗi
k 1

hàm (1.2.2) gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy Sn  hội tụ. Nếu dãy Sn  hội tụ đều thì chuỗi (1.2.2)




gọi là hội tụ đều. Hàm f  z   lim Sn  z  , z  A gọi là tổng của (1.2.2) và viết f   f n hay
n

n 1



f  z    f n  z , z  A .
n 1

Giả sử chuỗi (1.2.2) hội tụ và f là tổng của nó. Với mọi n  1 , đặt


Rn  z   f  z   S n  z  

 f  z , z  A .
k

k  n 1

Khi đó  Rn  là một dãy hàm trên A, và gọi là dãy các phần dư của chuỗi (1.2.2), Rn gọi là phần dư
thứ n. Rõ ràng chuỗi (1.2.2) hội tụ nếu và chỉ nếu dãy  Rn  hội tụ tới không và chuỗi (1.2.2) hội tụ đều
nếu và chỉ nếu dãy  Rn  hội tụ đều tới khơng. Vì vậy
i)

Chuỗi (1.2.2) hội tụ nếu và chỉ nếu z  A,   0, N  N   , z  , n  N : Rn  z    .

ii)

Chuỗi (1.3.2) hội tụ đều nếu

  0, N  N    , n  N , z  A : Rn  z    .


Đặt f n  z   f n  z  . Khi đó từ chuỗi (1.2.2) có chuỗi các mơ đun



f n . Chuỗi (1.2.2) hội tụ

n 1



tuyệt đối nếu chuỗi



f n hội tụ. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.

n 1

Định lí 1.2.1. (Tiêu chuẩn Cauchy).
Để chuỗi (1.2.2) hội tụ đều trên A điều kiện cần và đủ là

  0, N  N   , n  N , p  1, z  A : f n 1  z   ...  f n p  z   
Định lí 1.2.2. (Tiêu chuẩn Weierstrass).


Nếu chuỗi số dương

a

n

n 1

(1.2.2) hội tụ đều.
Định lí 1.2.3.

hội tụ và tồn tại N sao cho f n  z   an , z  A, n  N thì chuỗi


Nếu chuỗi (1.2.2) hội tụ đều và các hàm f n liên tục trên A thì tổng f của nó cũng liên tục trên
A.
Định lí 1.2.4.
Cho chuỗi (1.2.2) hội tụ đều trên A và z0  A . Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn:



lim f  z   ck , k  1,2,... Khi đó chuỗi số

z  z0
zA

c

hội tụ và nếu f là tổng của chuỗi (1.2.2) thì

k

k 1





lim f  z    cn   lim f n  z  .

z  z0
zA

n 1

z z
n 1 zA 0

Định lí 1.2.5.

Nếu

 fn 

là dãy các hàm giải tích trên miền  , hội tụ đều đến hàm f xác định trên  thì f

là hàm giải tích trên  .

Định nghĩa 1.2.4. (Chuỗi Taylor).
Chuỗi hàm có dạng


c z  z 
n

n

(1.2.3)

0

n 1

gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z  z0 . Giả sử chuỗi (1.2.3) hội tụ trong hình trịn
z  z0  R . Ký hiệu f  z  là tổng của nó. Ta có f  z  khả vi vô hạn lần và

f

k



 z    n  n  1 ...  n  k  1 cn  z  z0 

nk

, k  0,1, 2...

(1.2.4)

n k

thay z  z0 vào các đẳng thức (1.2.4) ta nhận được

f

n

 z0   n!cn

(1.2.5)

Các đẳng thức này chứng tỏ rằng giá trị tất cả các đạo hàm của f tại z0 xác định một cách duy
nhất các hệ số của chuỗi (1.2.3). Một cách cụ thể, các hệ số của chuỗi (1.2.3) đuợc tính theo cơng thức


f  n   z0 
cn 
, n  0,1, 2...
n!

Định lí 1.2.6. (Định lí Taylor).
Nếu hàm f  z  giải tích trên hình trịn z  z0  R thì trong hình trịn này f  z  là tổng của
chuỗi Taylor của nó tại z0 . Cụ thể


n

f  z    cn  z  z0  , z  z0  R .

(1.2.6)

n 0

ở đây các hệ số cn được xác định một cách duy nhất theo công thức

cn 

f

n

 z0  

n!

f  
1
d

2 i   z0  r   z0 n1

0  r  R  .

(1.2.7)

Định lí 1.2.7. (Định lí duy nhất).
Giả sử f và g là các hàm giải tích trên miền  . Nếu f  zn   g  zn  trên một dãy điểm khác
nhau  zn    mà nó hội tụ tới một điểm a   thì f  g .
Định nghĩa 1.2.5. (Chuỗi Laurent).
Chuỗi hàm dạng


 c z  z 
k

k

(1.2.8)

0

k 

gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của  z  z0  hay chuỗi Laurent tại z0 .
Định lí 1.2.8.
Nếu các hệ số của cn của chuỗi (1.2.8) thỏa mãn

0  lim sup n c n  r  R 
n 

1

 

(1.2.9)

lim sup n cn
n 

thì miền hội tụ của chuỗi (1.2.8) là hình vành khăn r  z  z0  R

(1.2.10)

và tổng f  z  của chuỗi(1.2.8) là một hàm giải tích trong vành khăn (1.2.10). Các hệ số cn của chuỗi
(1.2.8) cho bởi


cn 

f  
1
d , n  0,  1,...

2 i  s   z0 n 1

(1.2.11)

ở đây  s là đường tròn tùy ý   z0  s với r  s  R .
Định lí 1.2.9. (Định lí Laurent).
Nếu hàm f  z  giải tích trong vành khăn 0  r  z  z0  R   thì f  z  biểu diễn được duy



nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent f  z  

 c z  z 
n

n

0

. Các hệ số của chuỗi này được xác

n 

định bởi công thức

cn 

f  
1
d , n  0,  1,...
2 i  p   z0 n1

trong đó  p là đường tròn bất kỳ z  z0  p, r  p  R .
Định nghĩa 1.2.6.
Trong khai triển Laurent


f z 

n

 c z  z  , r  z  z
n

0

0

R

n 

ta gọi


f   z    cn  z  z0 

n

n 0

là phần đều,
1

f   z 

n



 cn  z  z0   

n 

n 1

c n

 z  z0 

n

là phần chính.
Định nghĩa 1.2.7.
Giả sử f là hàm xác định trên miền  . Điểm z0   gọi là điểm bất thường của f nếu tồn tại
r  0 sao cho vành khăn 0  z  z0  r được bao hàm trong  và f giải tích trên vành khăn đó khơng

thể mở rộng giải tích tới z0 , tức là khơng tồn tại hàm giải tích g trên hình trịn z  z0  r sao cho
g  z   f  z  với 0  z  z0  r .


Giả sử f giải tích trên vành khăn 0  z  z0  r . Khi đó chỉ xảy ra một trong các khả năng sau
i)

Tồn tại lim f  z   a   . Trường hợp này z0 được gọi là điểm thường của f .

ii)

Tồn tại lim f  z    . Khi đó z0 được gọi là cực điểm của f .

iii)

Khơng tồn tại lim f  z  (trong  ). Trường hợp này z0 được gọi là điểm bất thường cốt

z  z0

z  z0

z  z0

yếu của f .
Để khảo sát các trường hợp này ta xét khai triển Laurent của f tại z0 trên vành khăn


0  z  z0  r : f  z  

 c z  z 
n

n

(1.2.12)

0

n 

trong đó

cn 

f  
1
d , n  0,  1,...

2 i    z0 n1

(1.2.13)

với p tùy ý, 0  p  r .
Định lí 1.2.10.
Cho f giải tích trong vành khăn 0  z  z0  r . Nếu tồn tại lim f  z   a   tức z0 là điểm
z  z0

thường của f, hay tổng quát hơn f bị chặn trong lân cận của a thì f có thể mở rộng giải tích tới z0 .
Định lí 1.2.11.
1)

Điểm z0 là cực điểm của hàm giải tích f  z  trên 0  z  z0  r nếu và chỉ nếu trong
khai triển (1.2.12) tồn tại m  0 để c m  0 và ck  0 với k   m . Số nguyên m  0
được gọi là cấp của cực điểm của z0 .

2)

Điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại vô số k  0 để c k  0 .

Nhận xét 1.2.2.
1)

Như đối với đa thức điểm z0 được gọi là không điểm cấp m của hàm giải tích f nếu

f  z0   ...  f 

m 1

 z0   0

nhưng f 

m

 z0   0 . Như vậy

z0 là không điểm cấp m của f  z 

nếu và chỉ nếu khai triển (1.2.12) có dạng


k

f  z    ck  z  z0    z  z0 
k m

m



k

c z  z  , c
m k

k 0

0

m

 0.


2)

Trong khai triển (1.2.12) đặt m  inf k : ck  0 . Khi đó
i) z0 là cực điểm nếu và chỉ nếu   m  0 . Trong trường hợp này m là cấp của cực
điểm z0 .
ii) z0 là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m   .

1
.
f z

3)

z0 là cực điểm cấp m của f  z  nếu và chỉ nếu nó là khơng điểm cấp m của hàm

4)

Điểm  gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f  z  trên z  R nếu 0 là điểm bất thường

1
của hàm g  z   f   . Như vậy, tồn tại R  0 sao cho f giải tích trên vành khăn z  R và
z

1
1
khơng giải tích tại  . Khai triển Laurent của hàm f   trong vành khăn 0  z 
đưa tới
R
z
khai triển mà ta cũng gọi là khai triển Laurent của hàm f  z  tại  , trong vành khăn z  R


f  z 

cz
n

n

,

(1.2.14)

n 


nhưng trong đó chuỗi

 cn z n là phần chính cịn chuỗi
n 0

1

cz
n

n

là phần đều. Tuy nhiên đó cũng

n 

chính là khai triển Laurent của f tại 0 trong vành khăn R  z   .
Phân loại tính bất thường của  được suy tương ứng từ phân loại tính bất thường của điểm 0

1
đối với hàm f   . Như vậy, nếu tồn tại lim f  z    thì z   là điểm thường của hàm f
z 
z
tức là f có thể mở rộng giải tích tới  .
Nếu tồn tại lim f  z    thì tồn tại m  0 để cn  0 với mọi n  m và cm  0 . Lúc đó z  
z 

được gọi là cực điểm cấp m của f  z  . Như vậy z   là cực điểm của mọi đa thức khác hằng số. Cấp
của nó chính là bậc của đa thức.
Định lí 1.2.12. (Định lí Weierstrass).
Điểm a   là điểm bất thường cốt yếu của hàm giải tích f  z  nếu và chỉ nếu f  D  a, r  \ a 

trù mật trong  với mọi r  0 .


1.3. Hàm nguyên và hàm phân hình
Định nghĩa 1.3.1.
Hàm f giải tích trong tồn mặt phẳng  được gọi là hàm nguyên.
Nhận xét 1.3.1.
Như vậy theo Định lí Taylor mọi hàm nguyên đều có khai triển thành chuỗi Maclaurin trên  .


f  z    cn z n , z   .
n 0

Đối với hàm nguyên f có các trường hợp xảy ra sau đây
1) Tồn tại lim f  z   a   , nói cách khác  là điểm thường của f . Khi đó f bị chặn trên
z 

 nên theo Định lí Liouville f  const .
2) Tồn tại lim   . Khi đó khai triển Laurent của f tại  có phần chính là một đa thức
z

m

g  z    ak z k . Hiệu   z   f  z   g  z  cũng là một hàm nguyên và lim   z  bằng hệ số
k 1

z 

a0 trong khai triển Laurent của f tại  . Vì vậy f  z   g  z   const hay f  z  là một đa
thức.

3) lim f  z  không tồn tại. Trường hợp này ta gọi f là hàm siêu việt.
z 

Định nghĩa 1.3.2.
Hàm giải tích trên miền    trừ ra một số các điểm bất thường là cực điểm được gọi là hàm
phân hình trên  .


Nhận xét 1.3.2.
Do Định lí 1.2.10 tập các cực điểm của f cùng lắm là đếm được, hơn nữa là rời rạc trong  .
Giả sử f là giải tích trên  không đồng nhất bằng không trên  . Khi đó

 f  z   0 và nhận cực điểm tại z khi f  z   0 . Vậy

1
giải tích ngồi
f z

f là phân hình trên  . Suy ra g / f phân hình

trên  nếu f và g giải tích trên  .
Bây giờ giả sử f là hàm phân hình trên  có chỉ một số hữu hạn các cực điểm z1 ,..., zm với cấp
m

p1 ,..., pm . Khi đó hàm g  z   f  z    z  z j 

pj

giải tích trên  . Như vậy f là được viết dưới dạng

j 1

thương của hai hàm giải tích.
Định lí 1.3.1. (Định lí Runge).
Cho K là tập con compact của  , S là tập con của  \ K chứa ít nhất một điểm trong mỗi thành
phần của  \ K . Đặt B(S)={ f : f là giới hạn đều trên K của các hàm hữu tỉ có cực điểm nằm trong
S}. Khi đó mỗi hàm f giải tích trong lân cận của K thì thuộc B(S). Tức là có một dãy {Rn} các hàm
hữu tỉ có cực điểm nằm trong S sao cho Rn  f đều trên K.


Chương 2.

PHÂN TÍCH HÀM GIẢI TÍCH THÀNH NHÂN
TỬ
Trong chương này chúng ta xét tập khơng điểm của hàm giải tích f trên miền  . Giả sử f
giải tích trên miền

, f  0 . Theo định lí duy nhất tập các không điểm của

f:

Z  f    z   : f  z   0 khơng có điểm giới hạn trong Ω.
Nếu A là tập con bất kỳ của Ω, khơng có điểm giới hạn trong Ω thì tồn tại f  A    , mà tập các
khơng điểm của f chính là A. Ta cịn có thể chỉ ra cấp của khơng điểm mà f có tại mỗi điểm của A.
Nếu A là tập con hữu hạn của Ω, giả sử A   z1 , z2 ,...zn  thì hàm f cần tìm có dạng phân tích
m

m

thành nhân tử: f  z    z  z1  1 ...  z  zn  n , m1,..., mn tương ứng là cấp của không điểm của z1 ,..., zn .

Trong trường hợp tổng quát, hàm f được xây dựng bằng tích vơ hạn.

2.1 Tích vơ hạn
Định nghĩa 2.1.1.
n



Cho  zn  là dãy số phức và đặt Pn   zk là tích riêng thứ n. Tích vơ hạn
k 1

zn gọi là hội tụ nếu

n 1



dãy Pn  hội tụ đến số phức P. Khi đó, ta viết: P   zn .
n 1

Chú ý rằng nếu Pn  P  0 thì zn 

Pn
P
  1 khi n   .
Pn1
P

Vậy một điều kiện cần cho sự hội tụ của tích vơ hạn là lim zn  1 .
Bổ đề 2.1.1.



Giả sử zn  0, n  1, 2,... Khi đó


log zn hội tụ.

n 1

zn hội tụ đến một giới hạn khác không nếu và chỉ nếu chuỗi

n 1


Chứng minh.
Đặt
n

n

Pn   zk , S n   log zk .
k 1

k 1



(  ) Giả sử

log zn  S . Khi đó S n  S .


n 1

Ta có
n

n

n

Pn   zk   e
k 1

log zk

e

log zk

k 1

 e Sn  e S  0 .

k 1



Vậy

zn hội tụ.


n 1

   Giả sử Pn  P  0 .Chọn  để

arg liên tục tại P (Định lí 1.1.1).

Ta có
log Pn  ln Pn  i arg  Pn   ln P  i arg  P   log P .

(2.1.1)

Vì
e Sn  Pn

nên

S n  log Pn  2 iln , ln   .

(2.1.2)

Mặt khác

S n  S n 1  log zn  log1  0

 log Pn  log Pn1  2 i  l n  ln 1   0
log P  log Pn1  log P  log P  0
  n
ln  ln1  , ln  ln1  0
nên ln  ln1  0 với mọi n hay ln  l với mọi n .

(2.1.3)


n

Từ (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) suy ra S n  log P  2 il , hay

 log z

k

hội tụ.

k 1

Bổ đề 2.1.2.


Nếu an  0 với mọi n thì



 1  an  hội tụ nếu và chỉ nếu
n 1

a

n

hội tụ.

n 1

Chứng minh.
Dễ chứng minh: 1  x  e x với mọi x   .
Áp dụng (2.1.4).

(2.1.4)

1  a1  e a1 .

1  a2  e a2 .
...............
1  an  e an .
Suy ra

1  a1  ...1  an   ea ...a
1

.





Do đó nếu

n

a

n

hội tụ thì

n 1

 1  a  hội tụ.
n

n 1

Mặt khác

a1  a2  ...  an  1  a1  ... 1  an  .


Nên nếu



 1  an  hội tụ thì  an

hội tụ.

n 1

n 1

Định nghĩa 2.1.2.


Tích vơ hạn



 1  z  gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích vơ hạn  1  z  hội tụ.
n

n

n 1

n 1



Theo Bổ đề 2.1.2,

 1  zn





hội tụ nếu và chỉ nếu

n 1

n 1



Vậy

 1  zn  hội tụ tuyệt đối nếu và chỉ nếu
n 1

Bổ đề 2.1.3.





zn hội tụ, hay



z
n 1

n

hội tụ tuyệt đối.

z
n 1

n

hội tụ tuyệt đối.




Nếu tích vơ hạn



 1  zn 

hội tụ tuyệt đối thì tích vơ hạn

n 1

 1  z  hội tụ.
n

n 1

Chứng minh.




 1  zn 

hội tụ tuyệt đối thì

n 1



 1  z  hội tụ. Từ đó  z
n

n

hội tụ (theo Bổ đề 2.1.3), suy ra

n 1

n 1

zn  0 .

Với z  1 , ta có

z 2 z3 z 4
log 1  z   z     ...
2 3 4

 z z3 z 4

 z 1     ...   z.h  z  ,
 2 3 4

trong đó h  z   1 

z z2
  ...  1 khi z  0 .
2 3

Với m  p :
p

p

 log 1  zn  

n m

p

 zn h  zn    zn . h  zn  .

n m

(2.1.5)

n m

Vì h  zn  : n  1, 2,... là tập bị chặn (do zn  0 thì h  zn   1) và



z

n

hội tụ nên từ (2.1.5)

n 1

p

suy ra



 log 1  zn   0 khi m, p   nên theo tiêu chuẩn Cauchy

n m

 log 1  z 
n

hội tụ. Áp dụng

n 1



Bổ đề 2.1.2, ta có

 1  z  hội tụ.
n

n 1

Định lí 2.1.1.


Cho

 1  z 
n

hội tụ tuyệt đối đến P. Khi đó với mỗi hốn vị k  nk của tập số tự nhiên,

n 1



 1  z  hội tụ đến P.
nk

k 1


Chứng minh.


Do



 1  zn  hội tụ tuyệt đối nên
n 1

 1  zn





hội tụ. Từ đó

n

hội tụ (theo Bổ đề 2.1.3).

nk

 hội tụ. Từ đó theo Bổ đề

n 1

n 1





Với mỗi hốn vị k  nk thì

z

z

nk

hội tụ nên theo Bổ đề 2.1.3

k 1

 1  z
k 1



2.1.4

 1  z  hội tụ.
nk

k 1



Ta còn phải chứng minh



1  znk





hội tụ đến P. Gọi Q j là tích riêng thứ j của

k 1

 1  z  ,
nk

k 1

cần chứng minh Q j  P .




Với   0 tùy ý, chọn N đủ lớn để



z n   (do

n  N 1

z

n

hội tụ). Chọn J đủ lớn để khi j  J

n 1

thì 1, 2,...N   n1 , n2 ,..., n j  .
Với j  J ta có Q j  P  Q j  PN  PN  P , trong đó
j





Q j   1  znk .
k 1

N



N 
PN   1  zn , PN 
 P (do
n 1

 1  z   P ).
n

n 1

Khi đó





Q j  PN . 1  znk , k  j thỏa nk  N .
k

Do đó



Q j  P  PN   1  znk  1  PN  P .
 k




Vì w1 ,..., wn là các số phức thì

n

n

k 1

k 1



 1  wk   1   1  wk   1 nên



Q j  P  PN   1  znk  1  PN  P .
 k






(2.1.6)

Áp dụng bất đẳng thức 1  x  e x suy ra

 znk
ở đây k  j , nk  N .
1  znk  e k


k



Khi N đủ lớn thì



z n   nên

n  N 1



 1  z

  e . Từ (2.1.5) và (2.1.6) suy ra


nk

k

Q j  P  PN  e  1  PN  P .

(2.1.7)

Vế phải (2.1.7) có thể nhỏ tùy ý, bằng cách chọn  đủ nhỏ và chọn N đủ lớn.


Vậy Q j  P, hay

 1  z   P .
nk

k 1

Bổ đề 2.1.4.
N

N

Cho u1 , u2 ,..., un là các số phức. Đặt p N   1  un  , p   1  un  . Khi đó
*
N

n 1

n 1

p*N  exp  u1  u2  ...  u N

pN  1  p*N  1 .



(2.1.8)
(2.1.9)

Chứng minh.
Từ bất đẳng thức 1  x  e x với mọi x  0 , ta có
N

N

n 1

n 1

p   1  un    exp un  exp  u1  u 2  ...  u N  .
*

N

Đó chính là bất đẳng thức (2.1.8).
Với N=1, (2.1.9) hiển nhiên đúng.
Giả sử (2.1.9) đúng tới N-1. Khi đó

pN  1  p N 1 1  u N   1   p N 1  11  u N   u N


 pN 1  1 1  u N   u N
  p*N 1  1 1  u N   u N  p*N  1 .
Như vậy (2.1.9) được chứng minh.
Định lí 2.1.2.


Cho g1 , g 2 ,... là dãy các hàm phức bị chặn xác định trên tập S, chuỗi

g

n

hội tụ đều trên tập

n 1

S. Khi đó


i)

Tích

 1  g  hội tụ tuyệt đối và đều trên S.
n

n 1



ii)

Đặt f  z    1  g n  z  , z  S thì f  z   0 tại z  S nếu và chỉ nếu1  g n  z   0 tại
n 1

n   nào đó. Ngồi ra nếu n1 , n2 ,... là một hốn vị nào đó của 1, 2,... thì






f  z    1  g nk  z  .

(2.1.10)

k 1

Chứng minh.


 1  gn 
n 1



hội tụ tuyệt đối   1  g n

 hội tụ .

n 1



  g n hội tụ.
n 1





Vậy nếu



g n hội tụ đều trên S thì

n 1

 1  g 
n

hội tụ tuyệt đối trên S. Ta chứng minh thêm

n 1



 1  g  hội tụ đều trên S.
n

n 1

N

Đặt p N  z    1  g n  z   . Do  g n  bị chặn và
n 1

chặn trên S. Vì vậy theo Bổ đề 2.1.4 ta có





 g z
n

n 1

hội tụ đều trên S nên

 g z
n

n 1

bị






sup pN  z  : z  S , N  1  C   .
Giả sử n1 , n2 ,... là hoán vị của 1, 2,... .
Cho 0   

1
. Lấy N 0 để
2




g n  z    , s  S .

(2.1.11)

n N 0

Nếu N  N 0 và M đủ lớn để 1, 2,..., N   n1 , n2 ,..., nM  và nếu qM  z  là tích riêng thứ M của

(2.1.10) thì



qM  qN  p N   1  g nk  1 .

nk  N





Từ (2.1.11) và Bổ đề 2.1.4 ta suy ra

qM  pN  p N

 1  g   1
nk

nk  N

 pN

 1  g

nk  N

nk

 1



 
 pN  exp   g nk   1

 nk  N
 

 p N  e  1  2 pN   2C .

(2.1.12)

Nếu n  nk ,  k  1, 2,... thì qM  pM và từ (2.1.12) ta suy ra
pM  pN  2C , M ,N  N 0 , s  S .

Từ đó suy ra dãy  pN  hội tụ đều trên S tới f . Ngoài ra cho N  N 0 ta được

pM  pN0  2 pN0  với M  N 0 .
Do đó

pM  1  2  pN0 , và vì vậy


f  z   1  2  pN0  z  , z  S .
Bất đẳng thức này chứng tỏ f  z   0 khi và chỉ khi p N0  z   0 .
Cuối cùng từ (2.1.12) suy ra dãy qM  hội tụ tới cùng giới hạn của dãy  pN  .
Hệ quả 2.1.1.


Nếu g1 , g 2 ,... là dãy hàm bị chặn, có giá trị phức, mỗi hàm xác định trên S và nếu

g

n

hội tụ

n 1



đều trên S thì

 1  g  cũng hội tụ đều trên S.
n

n 1

Chứng minh.
Áp dụng Định lí 2.1.2 cho dãy hàm  g n  .
Định lí 2.1.3.


Cho f1 , f 2 ... giải tích trên  ,



f n  1 hội tụ đều trên các tập con compact của  . Khi đó

n 1



f  z    f n  z  xác định một hàm giải tích trên  .
n 1

Hơn nữa với mọi z  , f  z   0  f n  z   0 tại n nào đó.
Chứng minh.


Chỉ cần chứng minh f  z    f n  z  hội tụ trên  .
n 1





Theo Định lí 2.1.2, do



f n  1 hội tụ đều trên các tập con compact của  nên

n 1

định một hàm giải tích trên  .
Cũng theo Định lí 2.1.2, f  z   0  f n  0 tại giá trị n nào đó.
Định lí 2.1.4.

 f  z  xác
n

n 1




Cho f1 , f 2 ... là các hàm giải tích trên  ,



f n  1 hội tụ đều trên các tập con compact của  , f

n 1

không

đồng nhất bằng

0

trên

mọi thành phần

liên

thơng của

.

Khi đó

mọi



z  , m  f , z    m  f n , z  , trong đó m  f , z  là cấp của không điểm của f tại z.
n 1

Chứng minh.
Nếu f  z   0 thì m  f , z   0 và theo Định lí 2.1.2 ii), m  f n , z   0 , với mọi n . Vậy ta có:


m  f , z    m  fn , z  .
n 1



Nếu f  z   0 thì do

lim f n  z   1 , tức là tồn tại N để f n  z   0 với mọi

 f  z  hội tụ nên
n

n 

n 1



n  N 0 . Khi đó g  z    f n  z  hội tụ và g  z   0 (theo Định lí 2.1.2 mục ii).
n N

Từ đó

 N 1

f  z    f n  z    f k  z   g  z  .
n 1
 k 1



Suy ra
N 1

m  f , z    m  fk , z 
k 1



  m  f n , z  (vì g  z   0 nên m  g , z   0 ).
n 1

2.2 Tích Weierstrass
Trong đoạn này chúng ta xây dựng hàm f giải tích nhận dãy số phức cho trước làm khơng
n

điểm. Nếu dãy a1 , a2 ,..., an hữu hạn thì f  z     z  ak 

mk

là hàm cần tìm, m  f , an   mn . Nhưng

k 1



nếu a1 , a2 ... là dãy vơ hạn thì tích vơ hạn

z  a 
n

n 1

bằng cách sử dụng những nhân tử Weierstrass.
Định nghĩa 2.2.1.
Ta định nghĩa

mn

có thể khơng hội tụ. Sự hội tụ có thể đạt được


E0  z   1  z .



z2
zm 
Em  z   1  z  exp  z   ...   , m  1.
2
m

Vì với z  1 thì

log 1  z   z 

z 2 z3 z 4
   ...
2 3 4

nên

log 1  z    z 

z 2 z3 z 4
  ...
2 3 4

Vì


z2
zm 
Em  z   1  z  exp  z   ...  
m
2


nên khi m   ,

Em  z   1  z  exp 
 log 1  z    1  z  .

1
 1.
1 z

Từ đó ta có các tính chất sau
1) Em  z   1, khi m   , Em  z   1 đều trên các tập con compact của đĩa đơn vị D.
2) Em  z  là những hàm nguyên.
3) Em có duy nhất không điểm cấp 1 tại z=1.
Bổ đề 2.2.1.

1  Em  z   z

m 1

, với z  1 .

Chứng minh.
Nếu m  0 thì 1  Eo  z   1  1  z   z  z
Bây giờ giả sử m  1 . Ta có

0 1

nên (2.1.1) đúng.

(2.2.1)