Phương trình truyền nhiệt ngược với nguồn lipschitz địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thái Bảo

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC
VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thái Bảo

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC
VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


i

LỜI CÁM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin kính gửi lời cám ơn sâu sắc và chân thành nhất tới
Thầy, GS. TS. Đặng Đức Trọng, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và dẫn dắt
tơi trong thời gian học tập và làm luận văn.
Tôi cũng xin kính gửi lời cám ơn đến q Thầy, Cơ Trường Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tơi trong suốt bậc đại học và cao
học.
Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Tin, Phịng
Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo
điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường.
Xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã
dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tơi hồn
thành luận văn này một cách hồn chỉnh nhất.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln quan tâm và
động viên giúp tơi hồn thành luận văn này.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015
Học viên

Trần Thái Bảo


ii

MỤC LỤC
Trang

LỜI CÁM ƠN ............................................................................................. i

MỤC LỤC .................................................................................................. ii
MỞ ĐẦU .................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN VĂN ............................................................................................... 4
Chương

2. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

NGƯỢC VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG
TRÊN TỒN KHƠNG GIAN  n ................................................... 15
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC
VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG TRÊN NỬA
KHƠNG GIAN TRÊN  n−1 ×  + ...................................................... 47
Chương 4. BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI
GIAN VỚI NGUỒN LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG ................... 64
KẾT LUẬN ............................................................................................. 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................. 90


1

MỞ ĐẦU
Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn và có mối liên hệ rất chặt chẽ với
thực tiễn. Ngày nay, những ứng dụng của tốn học đóng vai trị đặc biệt quan
trọng trong các ngành khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống. Mặc dù xã
hội ngày càng phát triển, có nhiều phát minh được ra đời nhưng tốn học vẫn
khơng tụt hậu, vẫn đáp ứng được những yêu cầu của xã hội, đặc biệt những
ứng dụng của tốn học ngày càng được mở rộng và nhanh chóng trở thành
công cụ thiết yếu cho nhiều ngành khoa học khác nhau.
Phương trình truyền nhiệt là một phương trình cổ điển có nhiều ứng

dụng trong khoa học kỹ thuật và cũng đã được nghiên cứu rất nhiều. Trong
luận văn này, chúng tơi quan tâm đến một bài tốn về phương trình truyền
nhiệt ngược thời gian. Đây là loại bài tốn tìm nhiệt độ tại thời điểm ban đầu
từ nhiệt độ tại thời điểm cuối.
Cụ thể, chúng tơi xét bài tốn sau. Cho T là một số thực dương và cho
f :  n × [ 0, T ] ×  là một hàm liên tục thỏa điều kiện f ( x, t , 0 ) = 0 . Chúng

tôi xét bài tốn tìm hàm u ( x, t ) sao cho
ut =∆u + f ( x, t , u ( x, t ) ) , x ∈  n , 0 < t < T ,

(1)

u=
( x, T ) g ( x ) , x ∈  n ,

(2)

trong đó g là một hàm được cho.
Bài toán (1)-(2) là một trường hợp cụ thể của bài toán Parabolic ngược thời
gian


2
wt Aw + h ( t , w ( t ) ) ,
=

(3)

w (T ) = ϕ ,

(4)

trong đó A là một toán tử tự liên hợp, xác định trên một không gian con

D ( A ) trù mật của một khơng gian Hilbert H . Bài tốn (3)-(4) là bài tốn
khơng chỉnh theo nghĩa của Hadamard, nghĩa là ít nhất một trong ba trường
hợp sau xảy ra:
i) Bài toán khơng có nghiệm,
ii) Bài tốn có nghiệm nhưng nghiệm khơng duy nhất,
iii) Bài tốn có nghiệm nhưng nghiệm khơng ổn định.
Do đó, một phép chỉnh hóa cho Bài tốn (3)-(4) cần được đưa ra.
Đã có nhiều nghiên cứu trên Bài tốn (3)-(4), ví dụ như các bài báo [1],
[8], [10], [14], [21], [22] . Trong tất cả các bài báo bên trên, ngoại trừ bài báo
của Ames-Hughes (xem [1]), ta thấy giả thiết quan trọng là
h (t, u ) − h (t, v )

H

≤ k u−v

H

.

Điều đó có nghĩa h là một hàm Lipschitz toàn cục theo biến u . Các kết quả
cho trường hợp Lipschitz địa phương vẫn rất ít. Gần đây, trong [23], tác giả
có đưa ra một phương pháp chỉnh hóa dựa trên một số điều kiện của h ( t , .) ,
trong đó có điều kiện
h (t, u ) − h (t, v )

với u

H

, v

H

H

≤ k (M ) u − v

H

,

≤ M , M là một số thực dương cho trước. Bài toán sau đó được

áp dụng cho trường hợp h ( u ) = u u

2
H

. Tuy nhiên, điều này vẫn còn hạn chế

cho nhiều trường hợp, chẳng hạn như h ( u ) =
au − bu 3 ( b > 0 ) của phương


3

trình loại Ginzburg-Landau (xem [23]). Do đó, chúng tơi tìm một phương
pháp chỉnh hóa khác cho bài tốn khi nguồn là một hàm Lipschitz địa
phương. Như vậy, chúng tôi chọn đề tài: “Phương trình truyền nhiệt ngược
với nguồn Lipschitz địa phương” để thực hiện luận văn thạc sĩ.
Dựa trên bài báo [24], luận văn này trình bày một chỉnh hóa cho bài toán
(1)-(2) và một số bài toán tương tự. Bằng cách xây dựng một xấp xỉ cho hàm
f

, sau đó chúng tơi sử dụng phương pháp Fourier và phương pháp tựa biên

để đưa ra một nghiệm xấp xỉ tốt cho bài tốn. Từ đó, nghiệm chỉnh hóa được
xây dựng cùng với các đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính
xác được đưa ra. Tương tự, chúng tôi cũng giải quyết cho một số kết quả mở
rộng khác của bài tốn trên.
Luận văn này được trình bày thành 4 chương.
Chương 1: Trình bày một số định nghĩa, định lý và công thức quan trọng
được áp dụng trong luận văn.
Chương 2: Tập trung trình bày bài tốn nhiệt ngược với nguồn Lipschitz
địa phương trên không gian  n . Bằng các phương pháp trên, chúng tôi xây
dựng một bài toán xấp xỉ nghiệm cho bài toán trên, đồng thời đưa ra một kết
quả đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ.
Chương 3: Sẽ trình bày bài toán truyền nhiệt ngược với nguồn Lipschitz
địa phương trên nửa khơng gian trên  n−1 ×  + .
Chương 4: Trình bày bài tốn parabolic ngược thời gian với nguồn
Lipschitz địa phương.


4

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG

LUẬN VĂN

1.1. Không gian hàm
Định nghĩa 1.1.1. Không gian L2 (  n ) là tập hợp tất cả các hàm

f :  n →  bình phương khả tích trên  n , tức là

∫

f dx < +∞ . Trong
2

n

L2 (  n ) , ta không phân biệt các hàm bằng nhau hầu khắp nơi, khi đó L2 (  n )

là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn f  f =

∫

f

2

d µ . L2 (  n ) là

n

không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian L∞ (  n ) là tập hợp tất cả các hàm

f :  n →  bị chặn hầu khắp nơi trên  n . Trong L∞ (  n ) , ta cũng không
phân biệt các hàm bằng nhau hầu khắp nơi, khi đó L∞ (  n ) là khơng gian
vectơ định chuẩn với chuẩn
f

∞

{

}

ess sup f ( x ) =
inf k > 0 : f ( x ) ≤ k hầu khắp nơi trên n .
=
x n

nh nghĩa 1.1.3. Cho H là không gian vectơ, trên H xác định hàm hai
biến ( x, y )  x, y , gọi là tích vơ hướng thỏa:
i. x, y = y, x .
ii. x + y, z = x, z + y, z .

x, y λ x, y , ∀λ ∈ R .
iii. λ=


5
iv. x, x > 0, x ≠ 0 và x, x = 0 nếu x = 0 .

(

Với chuẩn x =

x, x trên H thì H , .

) là một không gian định chuẩn.

Nếu ( H , . ) là đầy đủ thì ta gọi H là khơng gian Hilbert.
Định nghĩa 1.1.4. Cho G mở, G ⊂  n . Không gian L2 ( G ) là tập hợp tất
cả các hàm

f : G →  bình phương khả tích, với tích vơ hướng

f , g = ∫ f .g dx . L2 ( G ) cùng với tích vơ hướng trên là một không gian
G

Hilbert.
Không gian Sobolev H 1 ( G ) là không gian Hilbert các hàm f : G →  có

,g
f , ∇f bình phương khả tích, với tích vơ hướng f=

∫ ( f .g + ∇f .∇g ) dx .

G

Không gian Sobolev H 2 ( G ) là không gian Hilbert các hàm f : G → 
sao cho Dαf , với mọi α = 0, 1, 2 bình phương khả tích, với tích vơ hướng
2

f , g = ∫ ∑ Dαf Dgα dx .
G α =0

Định nghĩa 1.1.5 (xem [13, tr.13]). Cho X là không gian Banach với
chuẩn

. . Không gian L2 ( 0, T ; X ) gồm tất cả các hàm đo được
T

∫

u : ( 0, T ) → X thỏa điều kiện

u ( t ) dt < +∞ . Khi đó L2 ( 0, T ; X ) là không
2

0

gian vectơ định chuẩn với chuẩn
T

u=
L2 0, T ; L2 R n

(

( ))

∫
0

u ( t ) dt < +∞ .
2


6

(

( )) là tập hợp

2
2
n
Cụ thể với X = L2 (  n ) . Không gian định chuẩn L 0, T ; L 

tất cả các hàm đo được u : ( 0, T ) → L2 (  n ) với chuẩn
T

∫

=
u L2 0, T ; L2 n

(

( ))

u (t )

2

( )

L2 R n

0

dt < +∞ .

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là không gian Banach với chuẩn . . Không
gian L∞ ( 0, T ; X ) gồm tất cả các hàm đo được u : ( 0, T ) → X bị chặn hầu
khắp nơi trên X . L∞ ( 0, T ; X ) là không gian định chuẩn, với chuẩn
u

L∞ ( 0, T ; X )

= ess sup u ( t )
t∈( 0, T )

{

X

= inf a ∈ R : u ( t )

X

}

≤ a hầu khắp nơi trên ( 0, T ) < + .

Định nghĩa 1.1.7. Cho X là không gian Banach với chuẩn . . Không
gian C ([ 0, T ]; X ) là không gian định chuẩn, gồm tất cả các hàm liên tục

u : [ 0, T ] → X với chuẩn u=
max u ( t ) < ∞ .
C ([ 0, T ]; X )
0≤t ≤T

(

( ))

2
n
Cụ thể X = L2 (  n ) thì khơng gian C [ 0, T ]; L 

là không gian định

chuẩn với chuẩn =
u C [0, T ]; L2 n
u ( t ) L2 n < ∞ .
( )) max
(
( )
0≤ t ≤T
Cho X là không gian Hilbert. Không gian C ([ 0, T ]; X ) là không gian
Banach. Không gian L2 ( 0, T ; X ) với chuẩn u L2 ( 0, T ; X ) là không gian Hilbert.

(

( )) là không gian Hilbert ( xem [13, tr.13]). Không

2
2
n
Không gian L 0, T ; L 

(

( ) ) là không gian Banach.

2
n
gian C [ 0, T ]; L 


7

1.2. Tốn tử tuyến tính và chuỗi Fourier
Các định nghĩa và kết quả sau được trình bày trong [19]. Cho một khơng
gian Hilbert X với chuẩn . và tích vơ hướng .,. .
Định nghĩa 1.2.1. Cho A : D ( A ) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính liên tục
trên khơng gian Hilbert X , với D ( A ) = X . Toán tử A* : D ( A* ) → X gọi là
toán tử liên hợp của A xác định bởi:

Au , v = u , A*v ,
trong đó D ( A* ) =

{u ∈ X | ∃f ∈ X :

u , Av =

f , v , ∀v ∈ D ( A )} . Nếu A = A*

thì ta gọi A là tốn tử tự liên hợp.
Định nghĩa 1.2.1. Cho {ϕ n } là một hệ trực chuẩn trong X . Với mỗi

u ∈ X thì

+∞

∑ u, ϕ
n =1

n

ϕn là chuỗi Fourier. Hệ trực chuẩn {ϕn } được gọi là đầy
+∞

đủ trong X nếu u = ∑ u , ϕn ϕn với mọi u ∈ X .
n =1

Định lý 1.2.1. Chuỗi

+∞

∑a ϕ
n =1

+∞

∑a
n =1

2

n

n

n

với an ∈ R, ∀n hội tụ trong X nếu chuỗi

hội tụ.

Định lý 1.2.2. Cho X là không gian Hilbert trên trường K ( K =  hoặc
K = C ) và ϕn là hệ trực chuẩn trong X. Khi đó các điều sau là tương đương.

i) Hệ trực chuẩn ϕn là đầy đủ.


8
ii) Bao lồi tuyến tính của ϕn là trù mật trong X.
+∞

iii) Với mỗi u ∈ X ta có đẳng thức Parseval: u = ∑ u , ϕn
2

2

.

n =1

1.3. Nửa nhóm tốn tử
Các định nghĩa sau được trình bày trong [11], [15]. Cho H là một không
gian Hilbert tách được với tích vơ hướng là .,. .
Định nghĩa 1.3.1 (Nửa nhóm tốn tử). Một tập {T ( t )}t ≥0 những tốn tử
tuyến tính, bị chặn đi từ H vào H gọi là nửa nhóm tốn tử nếu thỏa các tính
chất sau: với mọi w ∈ H và s, t ≥ 0

(i )

T ( 0) w = w .

s) w
( ii ) T ( t +=

( iii )

T ( t ) T=
( s ) w T ( s )T ( t ) w .

ánh xạ t  T ( t ) w là liên tục từ [ 0, + ∞ ) vào H.
Định nghĩa 1.3.2 (Nửa nhóm co). T được gọi là nửa nhóm co nếu

T ( t ) ≤ 1 với mọi t ≥ 0 .

Định nghĩa 1.3.3 (Nửa nhóm compact). T được gọi là nửa nhóm
compact nếu với mỗi t , T ( t ) là toán tử compact.



T (t )u − u
H
tån
t¹i
trong
Định nghĩa 1.3.4. Đặt D ( A=
) : u ∈ H tlim

→0+
t


và


9

=
− Au lim+
t→ 0

T (t )u − u
t

( u ∈ D ( A) ) .

Ta gọi − A : D ( A ) → H là toán tử vi phân được sinh ra từ nửa nhóm tốn tử

{T ( t )}

t ≥0

, D ( A ) là miền xác định của A .

1.4. Một số bất đẳng thức
Mệnh đề 1.4.1 (bất đẳng thức Young). Cho p, q > 0 thỏa

1 1
+ =
1.
p q

Lúc đó với mọi a, b > 0 ta có
a p bq
ab ≤
+
.
p
q

Mệnh đề 1.4.2 (bất đẳng thức Holder). Cho p, q > 0 thỏa

1 1
+ =

1 và
p q

f ∈ Lp ( Ω ) , g ∈ Lq ( Ω ) . Khi đó ta có

∫

Ω

1
p

1
q


 

p
q
f .g dx ≤  ∫ f dx   ∫ g dx  .
Ω
 Ω


Những bất đẳng thức trên đã được trình bày trong rât nhiều tài liệu khác nhau.
Riêng bất đẳng thức Gronwall có thể xem [20, tr.55] hoặc [6, tr.82].
Mệnh đề 1.4.3 (bất đẳng thức Gronwall). Cho T > 0 , ϕ ∈ L1 ( 0, T ) ,

ϕ ≥ 0 hầu khắp nơi và C1 , C2 ≥ 0 . Giả sử f ∈ L1 ( 0, T ) , f ≥ 0 hầu khắp nơi

sao cho ϕ . f ∈ L1 ( 0, T ) .
t

1. Nếu f ( t ) ≤ C1 + C2 ∫ ϕ ( s ) f ( s ) ds hầu khắp nơi trong ( 0, T ) , thì ta có
0


10

t

f ( t ) ≤ C1e

∫

C2 ϕ ( s )ds
0

hầu khắp nơi trong ( 0, T ) .

T

2. Nếu f ( t ) ≤ C1 + C2 ∫ ϕ ( s ) f ( s ) ds hầu khắp nơi trong ( 0, T ) , thì ta có
t

T

f ( t ) ≤ C1e

∫

C2 ϕ ( s )ds
t

hầu khắp nơi trong ( 0, T ) .

Trường hợp khác
1. Cho f , g : [t0 , T ] →  là hàm liên tục, với g không giảm. Với C > 0 cố
định, thỏa mãn bất đẳng thức
t

f ( t ) ≤ g ( t ) + C ∫ f ( s ) ds , ∀t ∈ [t0 , T ]
t0

thì ta có
f (t ) ≤ g (t ) e

C ( t − t0 )

, ∀t ∈ [t0 , T ] .

2. Cho f , g : [t0 , T ] →  là hàm liên tục, với g không giảm. Với C > 0 cố
định, thỏa mãn bất đẳng thức
T

f ( t ) ≤ g ( t ) + C ∫ f ( s ) ds , ∀t ∈ [t0 ,�ược rằng tồn tại và duy nhất phần
tử u ∈ C ([ 0, T ]; L2 ( Ω ) ) sao cho F ( u ) = u .
Do đó bài tốn (39) có duy nhất một nghiệm trong uα ( g ) ∈ C ([ 0, T ]; L2 ( Ω ) ) .

75

Ta lại có
uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

=

+∞

e

λn ( t −T )

∑ 1+ αe
n =1

2
L2 ( Ω )

T

−T λn

( g n − wn ) − ∫
t

e

λn ( t − s )
s

T

1+α e

− sλn

(f

uα ( g ), M , n

( s ) − fu ( w), M , n ( s ) ) ds
α

2

.

Áp dụng bất đẳng thức ( a + b ) ≤ 2a 2 + 2b 2 ta được
2

uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

≤

+∞

T

∑2 ∫
n =1

t

e

λn ( t − s )
s
T

1+α e

− sλn

(f

2
L2 ( Ω )

uα ( g ), M , n

e n( )
g − wn )
+ ∑2
−T λn ( n
α
1
e
+
n =1
λ t −T

+∞

( s ) − fu ( w), M , n ( s ) ) ds

2

α

2

2

2
t −T
T

λn ( t − s )
+∞
e
T
fuα ( g ), M , n ( s ) − fuα ( w), M , n ( s ) ds  + 2∑ α ( g n − wn )
≤ 2∑  ∫
s


n =1
n =1 t
− sλ
 1+α T e n



(

+∞

)

2

t 
+∞
2 −1
 T Ts  st −1

2
T 


g n − wn ) .
≤ 2∑  ∫ α
fuα ( g ), M , n ( s ) − fuα ( w), M , n ( s ) ds  + 2∑α
(


n =1
n =1  t


(

+∞

)

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta được
uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )
≤ 2α

t 
2 −1
T 

g−w

2
L2 ( Ω )

t
T

+∞ T

+ 2α T ∑ ∫ α
L (Ω)
2

2

−2

s
T

2

n =1 t

Áp dụng điều kiện Lipschitz ta nhận được

(

fuα ( g ), M , n ( s ) − fuα ( w), M , n ( s )

)

2

ds .


76
uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )
≤ 2α

t 
2 −1
T 

g−w

2
L2 ( Ω )

+∞ T

t
T

−2

+ 2α T ∑ ∫ α
L (Ω)
2

2

s
T

K 2 ( M ) uα ( g ) − uα ( w ) ds
2

2

n =1 t

≤ 2α

≤ 2α

t 
2 −1
T 

t 
2 −1
T 

g−w

g−w

+ 2K
L (Ω)

2

+ 2K

2

2

2

2
L2 ( Ω )

( M )α

2

t
T

+∞ T

T ∑ ∫α

−2

s
T

n =1 t

( M )α

2

t
T

T

T ∫α

−2

s
T

uα ( g ) − uα ( w ) ds
2

uα ( g ) − uα ( w )

2
L2 ( Ω )

ds .

t

Từ đó suy ra rằng

α

−2

≤ 2α

t
T

−2

uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

2
L2 ( Ω )

T

g−w

+ 2K
L (Ω)

2

2

2

( M )T ∫ α

−2

s
T

uα ( g ) − uα ( w )

2
L2 ( Ω )

ds .

t

Theo bất đẳng thức Gronwall ta nhận được

α

−2

t
T

uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

2
L (Ω)
2

≤ 2α −2 g − w

2

e
L (Ω)

2 K 2 ( M )T (T −t )

2

.

Nghĩa là

uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

2
L (Ω)
2

≤ 2α

2

t −T
T

g−w

2

e
L (Ω)

2 K 2 ( M )T (T −t )

2

.

Do đó

uα ( g )(., t ) − uα ( w )(., t )

4.2. Sự chỉnh hóa

L2 ( Ω )

≤ 2α

t −T
T

g−w

e
L (Ω)
2

K 2 ( M )T (T −t )

.




77
Định lý 4.2.1. Cho g ∈ L2 ( Ω ) và giả sử gα ∈ L2 ( Ω ) là một dữ liệu
tương ứng với α sao cho g − gα

L2 ( Ω )

≤α .

Giả sử rằng bài toán (33)-(34) có một nghiệm u ( g ) ∈ C ([ 0, T ]; L∞ ( Ω ) ) ,
du ( g )
∈ L2 ( 0, T ; L2 ( Ω ) ) ,
dt

2

 T − sλn

fu( g ), n ( s ) ds  < +∞ . Nếu α là đủ nhỏ
∫ e
∑
n =1  0

+∞

thì
u ( g )(., t ) − uα ( gα ) (., t )

L (Ω)
2

≤

(

)

1
P + 2 α ln β   , ∀t ∈ ( 0, T ) ,
α 
t
T

(41)

 t 1
trong đó β = min  ,  và tồn tại một tα > 0 sao cho
T 4 
u ( g )(., 0 ) − uα ( gα )(., tα )

−

L (Ω)
2

≤

4

1
4

T   1  
ln    E +
2   α   

(

 1 
P + 2 ln β    ,
 α 

)

(42)

t 1 
trong đó β = min  α ,  . Trong đó hằng số P, E không phụ thuộc vào α .
T 4

Theo kết quả của Mệnh đề 4.1.2 thì bài tốn (37)-(38) là một chỉnh hóa
của bài tốn (33)-(34). Để chứng minh được Định lý 4.2.1, ta cần một số kết
quả sau đây.
Mệnh đề 4.2.2. Với mỗi g ∈ L2 ( Ω ) , bài tốn (33)-(34) có nhiều nhất một
nghiệm

u ∈ C ([ 0, T ]; H 1 ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H 2 ( Ω ) ) ∩ C1 ( ( 0, T ) ; H 1 ( Ω ) ) .


78
Chứng minh. Với g ∈ L2 ( Ω ) , chúng ta giả sử rằng bài tốn (33)-(34) có hai
nghiệm

u , v ∈ C ([ 0, T ]; H 1 ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) ) ∩ L2 ( 0, T ; H 2 ( Ω ) ) ∩ C1 ( ( 0, T ) ; H 1 ( Ω ) ) .
Bởi vì u ∈ C ([ 0, T ]; H 1 ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) ) , chúng ta có thể đặt (do hàm u (., t ) ,
v (., t ) liên tục trên [ 0, T ] nên bị chặn trên đó)

{

=
M : max u

(

C [ 0, T ]; L∞ ( Ω )

}

) , v C ([0, T ]; L ( Ω )) < ∞ .
∞

Đặt w=
( x, t ) u ( x, t ) − v ( x, t ) , chúng ta có

=
wt − ∆w

f ( x, t , u ( x, t ) ) − f ( x, t , v ( x, t ) ) ≤ K ( M ) w .

và

w ( x, T ) = u ( x, T ) − v ( x, T ) = g ( x ) − g ( x ) = 0 .
Sử dụng Định lý 1.1 trong [7], chúng ta nhận được w ( x, t ) = 0 .


Mệnh đề 4.2.3. Giả sử g ∈ L2 ( Ω ) , bài tốn (33)-(34) có một nghiệm

u ( g ) ∈ C ([ 0, T ]; L ( Ω ) )
∞

2

 T − sλn

fu( g ), n ( s ) ds  < +∞ .
thỏa mãn điều kiện ∑  ∫ e
n =1  0

+∞

Chúng ta có

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )
(43)

L2 ( Ω )

≤α

t
T

Pe

3 K 2 ( M )T (T −t )
2

,

∀t ∈ ( 0, T )


79

2

 T − sλn

=
trong đó P 3 u ( g )(., 0 ) L2 ( Ω ) + 6∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds  .
n =1  t

+∞

2

Chứng minh. Đầu tiên, ta có điều sau đây
u ( g )(., 0 ) ; ϕn = e

−T λn

T

g n − ∫ e − sλn fu( g ), n ( s ) ds .
0

T λn

Do đó g ; ϕn= g=
e
n

T

u ( g )(., 0 ) ; ϕn + ∫ e(

T − s )λn

fu( g ), n ( s ) ds .

(44)

0

Khi đó ta cũng có
u ( g )(., t ) ; ϕn − uα ( g )(., t ) ; ϕn

= e

( t −T )λn

T

=∫
t

e

T
e n( )
gn −
gn + ∫
1 + α e −T λn
t

λ t −T

λn ( t − s )
s
T

1+α e

− sλn

(f

e

λn ( t − s )
s
T

1+α e

− sλn

T

fuα ( g ), M , n ( s ) ds − ∫ e(

fu( g ), n ( s ) ds

t

( s ) − fu( g ), n ( s ) ) ds − ∫
T

uα ( g ), M , n

t − s )λn

t

e(

t − s )λn

s

α T e − sλ

n

s
T

1+α e

− sλn

fu( g ), n ( s ) ds

λ t −T
 (t −T )λn

e n( )
gn −
g
+  e
 .
n
−T λn
1
e
α
+



Theo (44), chúng ta nhận được kết quả sau
u ( g )(., t ) ; ϕn − uα ( g )(., t ) ; ϕn

=

T

∫
t

e

λn ( t − s )
s
T

1+α e

− sλn

(

)

T

fuα ( g ), M , n ( s ) − fu( g ), n ( s ) ds − ∫
t

e

( t − s )λn

s
T

α e − sλ

s
T

1+α e

n

− sλn

fu( g ), n ( s ) ds


80
e( ) nα e −T λn
+
1 + α e −T λn
t −T λ

=

T

∫
t

e

λn ( t − s )
s
T

1+α e

− sλn

(

T
 T λn

T −s λ
u ( g )(., 0 ) ; ϕn + ∫ e( ) n fu( g ), n ( s ) ds 
e
0



)

T

fuα ( g ), M , n ( s ) − fu( g ), n ( s ) ds − ∫

e

( t − s )λn

s
T

α e − sλ
s
T

1+α e

t

n

− sλn

fu( g ), n ( s ) ds

e( ) n α
e( ) n α
u ( g )(., 0 ) ; ϕn +
e − sλn fu( g ), n ( s ) ds .
+
−T λn
−T λn ∫
1+ αe
1+ αe
0
t −T λ

t −T λ

T

Khi đó ta có

u ( g )(., t ) ; ϕn − uα ( g )(., t ) ; ϕn
e( ) n α
≤
u ( g )(., 0 ) ; ϕn +
1 + α e −T λn
t −T λ

T

+

e

( t −T )λn

∫ 1+ αe
t

≤α

α

−T λn

∫
t

e

1 + α e − sλn

e − sλn fu( g ), n ( s ) ds + ∫
t

u ( g )(., 0 ) ; ϕ n + ∫ α

t −s
T

(f

λn ( t − s )
s
T

T

T

t
T

T

e

( t − s )λn
s

T

(f

α

uα ( g ), M , n

s
T

1 + α e − sλn

uα ( g ), M , n

( s ) − fu( g ), n ( s ) ) ds

e − sλn fu( g ), n ( s ) ds

( s ) − fu( g ), n ( s ) ) ds

t

T

t
T

+ ∫α e
t

≤α

− sλn

T

t

T

t
T

t

fu( g ), n ( s ) ds + ∫ α T e − sλn fu( g ), n ( s ) ds

u ( g )(., 0 ) ; ϕ n + ∫ α

t −s
T

(f

uα ( g ), M , n

( s ) − fu( g ), n ( s ) ) ds

t

T

t
T

+ 2 ∫ α e − sλn fu( g ), n ( s ) ds .
t

Khi đó, áp dụng bất đẳng thức ( a + b + c ) ≤ 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 chúng ta có được
2


81
u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )
+∞

≤ ∑ 3α

2

t
T

u ( g )(., 0 ) ; ϕn

n =1

2
L2 ( Ω )

2

 T Tt − sλn

+ ∑ 6  ∫ α e fu( g ), n ( s ) ds 
n =1  t

+∞

2

2

 T t T− s

fuα ( g ), M , n ( s ) − fu( g ), n ( s ) ds  .
+∑ 3 ∫ α


n =1  t


(

+∞

)

Từ bất đẳng thức trên, áp dụng bất đẳng thức Holder ta nhận được

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

≤

+∞

∑ 3α

2

+ 3α

2

t
T

u ( g )(., 0 ) ; ϕn

n =1

t
T

+∞ T

(T − t ) ∑ ∫ α
n =1 t

≤ 3α

2

L2 ( Ω )

2

(f

 T − sλn

+ 6α ∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds 
n =1  t

2

t +∞
T

uα ( g ), M , n

( s ) − fu( g ), n ( s ) )

2

2

2

t

T

T

(T − t ) ∫ α

−2

s
T

t +∞
T

fuα ( g ), M ( s ) − fu( g ) ( s )

t

Chọn M α ≥ u

(

C [ 0, T ]; L∞ ( Ω )

2

2

ds

 T − sλn

u ( g )(., 0 ) L2 Ω + 6α ∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds 
( )
n =1  t


t
T

+ 3α

−s
T

2

2

2
L2 ( Ω )

ds .

) . Từ đó ta có f Mα ( x, t , u ( x, t ) ) = f ( x, t , u ( x, t ) ) .

Do đó
u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

2

L2 ( Ω )


82

≤ 3α

2

 T − sλn

u ( g )(., 0 ) L2 Ω + 6α ∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds 
( )
n =1  t


t
T

+3α

2

2

2

T

t

T

(T − t ) ∫ α

−2

s
T

t +∞
T

fuα ( g ), M ( s ) − fu( g ), M ( s )

2

2

ds .

L2 ( Ω )

t

Sử dụng điều kiện Lipschitz ta nhận được
u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

≤ 3α

2

2
L2 ( Ω )

 T − sλn

u ( g )(., 0 ) L2 Ω + 6α ∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds 
( )
n =1  t


t
T

2

2

2

t
T

T

+ 3α T ∫ α

s
T

−2

t +∞
T

K 2 ( M ) uα ( g )(., s ) − u ( g )(., s )

2
L2 ( Ω )

t

Suy ra

α

−2

t
T

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

2
L2 ( Ω )

 T − sλn

≤ 3 u ( g )(., 0 ) L2 Ω + 6∑  ∫ e fu( g ), n ( s ) ds 
( )

n =1  t

+∞

2

T

+ 3K

2

( M )T ∫ α

−2

s
T

uα ( g )(., s ) − u ( g )(., s )

2

2
L2 ( Ω )

t

Theo bất đẳng thức Gronwall ta được

α

−2

Nghĩa là

t
T

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

2

≤ Pe
L (Ω)
2

3 K 2 ( M )T (T −t )

.

ds .

2

ds .


83

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

2
L2 ( Ω )

2

t
T

≤ α Pe

3 K 2 ( M )T (T −t )

.

Cuối cùng ta nhận được kết quả cần chứng minh

u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

trong

L2 ( Ω )

≤α

t
T

Pe

3 K 2 ( M )T (T −t )
2

,
2

 T − sλn

=
P 3 u ( g )(., 0 ) L2 Ω + 12∑  ∫ e
fu( g ), n ( s ) ds  .
đó
( )
n =1  0

+∞

2



Mệnh đề 4.2.4. Cho một số 0 < α < 1 và cho tα là nghiệm duy nhất của
phương trình

t
T

t = α . Theo các giả thiết trong Mệnh đề 4.2.3 và điều kiện

∂u ( g ) 2
∈ L ( 0, T ; L2 ( Ω ) ) , tồn tại một số α 0 sao cho
∂t

u ( g )(., 0 ) − uα ( g ) (., tα )

3T

≤  E + Pe
L2 ( Ω )



T

với tất cả 0 < α < α 0 . Trong đó E =

∫
0

2

K 2(M )
2

∂u ( g )
(., s )
∂s

1

 T   1  − 4
 4  ln    ,
 2  α 


(45)

2

ds .
L (Ω)
2

Chứng minh. Ở đây α 0 được chọn tương tự như trong chương 2. Với mỗi
0 < α < α 0 , đặt tα là nghiệm duy nhất của phương trình

Chúng ta có

t
T

t =α .


84

t

u ( g )( x, t ) − u ( g )( x, 0 ) ≤ ∫

0

∂u ( g )
( x, s ) ds .
∂s

Khi đó suy ra

∂u ( g )
u ( g )(., t ) − u ( g )(., 0 ) L2 Ω ≤ t ∫
(., s )
( )
s
∂
0
T

2

ds =
E t.
L (Ω)
2

Từ trên chúng ta được

u ( g )(., 0 ) − uα ( g )(., t )
≤ u ( g )(., 0 ) − u ( g )(., t )

≤ E t + Pe

3T (T −t ) K 2 ( M )
2

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

+ u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

t
T

α .

Bây giờ, để nhận được (45), chúng ta chú ý rằng

ln tα 2ln α
=
. Sử dụng bất
tα
T

1
đẳng thức ln t > − với mọi t > 0 , chúng ta có
t

2ln α ln tα
1
=

>− 2 ,
T
tα
tα
từ đó suy ra rằng
T
=
tα= 4 tα2 < 4 −
2ln (α )

−

4

3T

≤  E + Pe
L2 ( Ω )



1

T   1  4
ln   .
2   α  

Với lý do này, nếu ta chọn t = tα thì

u ( g )(., 0 ) − uα ( g ) (., tα )

L2 ( Ω )

2

K 2(M )
2


 tα




85

3T

≤  E + Pe



2

K 2(M )
2

1

 T   1  − 4

 4  ln    .
 2  α 




Chứng minh Định lý 4.2.1. Với g − gα

u ( g )(., t ) − uα ( gα ) (., t )
≤ u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )

L2 ( Ω )

≤ α , với t ∈ ( 0, T ) , chúng ta có

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

+ uα ( g )(., t ) − uα ( gα ) (., t )

L2 ( Ω )

.

Từ kết quả của Mệnh đề 4.1.2 và 4.2.3, chúng ta có

u ( g )(., t ) − uα ( gα ) (., t )

L2 ( Ω )

≤ u ( g )(., t ) − uα ( g )(., t )
≤

Pe

≤
≤

Pe

(

3T (T −t ) K 2 ( M )
2

3T 2 K 2 ( M )
2

)

t
T

α + 2α

t
T

t

T

α + 2α e

P+ 2 e

L2 ( Ω )

3T 2 K 2 ( M α )
2

+ uα ( g )(., t ) − uα ( gα ) (., t )

t
−1 K 2 ( M )T (T −t )
T

e

g − gα

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

3T 2 K 2 ( M )
2

t
T

α , trong đó α là đủ nhỏ.

Chúng ta có

u ( g )(., 0 ) − uα ( gα )(., tα )
≤ u ( g )(., 0 ) − uα ( g ) (., tα )

L2 ( Ω )

L2 ( Ω )

+ uα ( g ) (., tα ) − uα ( gα )(., tα )

Theo Mệnh đề 4.1.2 và 4.2.4, chúng ta suy ra rằng

L2 ( Ω )

.