Tính artin của mô đun đối đồng điều địa phương hình thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Quốc Sang

TÍNH ARTIN CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Phạm Quốc Sang

TÍNH ARTIN CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG HÌNH THỨC
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2020

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn tốt nghiệp do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn
khoa học của PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham
khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020
PHẠM QUỐC SANG


LỜI CẢM ƠN
Trong ba năm qua thật sự là khoảng thời gian không hề dễ dàng đối các bạn sinh
viên mới ra trường khi phải cố gắng hoàn thành tốt các nhiệm vụ ở cơ quan và công
việc học tập, kể cả tơi. Có thời điểm cơng việc nhiều đến nỗi tưởng chừng sẽ không
thể tiếp tục con đường học vấn. Nhưng, "Khó khăn rồi sẽ qua đi. Giống như cơn mưa
ngồi cửa sổ, có tầm tã cỡ nào rồi cuối cùng cũng sẽ trời quang mây tạnh". Để vượt
qua những khó khăn ấy, trên con đường tơi đi ln có sự đồng hành của gia đình, Thầy,
Cơ và bạn bè.
Luận văn tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.
Trần Tuấn Nam. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Tôi trân trọng
cảm ơn quý thầy cô giáo trong khoa Tốn - Tin và Phịng Sau đại học đã tạo điều
kiện để tơi hồn thành cuốn luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn học
viên cùng khóa đã góp ý và giúp đỡ trong q trình học tập và hồn thành luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót, hạn chế.
Tơi mong nhận được ý kiến đóng góp của Thầy, Cơ và các bạn để hồn thiện luận văn
một cách tốt nhất.
Một lần nữa, xin cảm ơn tất cả mọi người, chúc mọi người thật nhiều sức khỏe và
thành cơng trong cuộc sống!
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2020
PHẠM QUỐC SANG

Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Giới hạn ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hàm tử đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Đối ngẫu Matlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Phức Cech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Môđun đối đồng điều địa phương hình thức và các tính chất liên quan 11
2.1

Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3

Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4

Phức đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5

Đại số giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6

Đối đồng điều hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.7

Các định lí triệt tiêu và khơng triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.8

2.7.1

Môđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ khơng . . . . .

18

2.7.2

Tính khơng triệt tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Tính liên thơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.8.1

26

2.8.2

Dãy Mayer - Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính liên thơng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Tính artin của mơđun đối đồng điều địa phương hình thức
3.1

Tính artin của mơđun đối đồng điều địa phương hình thức . . . . . . .

27
31
31

3.2

Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương hình thức. 38

KẾT LUẬN

41

Tài liệu tham khảo

42


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
R

Vành Nơte giao hốn khơng tầm thường.

(R, m)

Vành địa phương với iđêan tối đại m.

Spec(R)

Tập các iđêan nguyên tố của vành R.

V (I)

Tập các iđêan nguyên tố chứa I.

Supp(M )

Giá của môđun M.

Ass(M )

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M.

Att(M )

Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M.

dimM

Chiều Krull của môđun M.

depth(M )

Độ sâu của môđun M.

HIi (M )

Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M đối với iđêanl I.

R − M od

Phạm trù các R môđun và R đồng cấu.

C(R)

Phạm trù các phức R môđun và ánh xạ dây chuyền.

D(R)

Phạm trù dẫn xuất.


1

Mở đầu
Vào thế kỉ 20, nhà toán học J.P.Serre đã áp dụng thành công đại số đồng điều và lĩnh
vực hình học đại số. Thời gian sau đó, đại số đồng điều đã được rất nhiều nhà toán học
chú ý và nghiên cứu. Đối đồng điều địa phương ra đời do nhà toán học Grothendieck
giới thiệu trong bài giảng của mình tại đại học Harvard. Nó nhanh chóng trở thành
một cơng cụ hiểu quả trong đại số giao hốn và hình học đại số. Lý thuyết này đã thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngồi nước, trong đó có nhiều
nhà tốn học lớn như G.Faltings, R.Hartshorne, Nguyễn Tự Cường,...
Vào năm 2006, một loại đối đồng điều địa phương mới, đối đồng điều địa phương hình
thức được giới thiệu bởi P. Schenzel và lý thuyết này đã được nhiều người biết đến và
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà tốn học. Hiện nay cịn rất nhiều tính chất của
đối đồng điều địa phương hình thức chưa được nghiên cứu. Do đó, nó vẫn ln là một
đề tài hấp dẫn đối với các nhà toán học hiện tại nghiên cứu. Mục đích của luận văn là
trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản của đối đồng điều địa phương hình
thức để đưa ra một số tính chất về tính Artin của mơđun đối đồng điều địa phương
hình thức. Nội dung luận văn được chia làm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này tơi trình bày sơ lược một số kiến thức nền tảng liên quan đến đề
tài như: Giới hạn ngược, hàm tử đối đồng điều địa phương, iđêan nguyên tố gắn kết,
phức Cech, đối ngẫu Matlics.

Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương hình thức và các tính chất liên quan.
Trong chương này tơi trình bày về mơđun đối đồng điều địa phương hình thức. Các
nội dung chủ yếu như sau:
• Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức.

1


2
• Đối đồng điều địa phương.
• Các định lí triệt tiêu và khơng triệt tiêu.
• Tính liên thơng.
Chương 3. Tính Artin của mơđun đối đồng điều địa phương hình thức
Trong chương này, tơi trình bày về tính Artin của mơđun đối đồng điều địa phương
hình thức thơng qua các nội dung:
• Tính Artin của mơđun đối đồng điều địa phương hình thức.
• Iđêan ngun tố gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phương hình thức.


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới hạn ngược

Cho phạm trù C và tập chỉ số thuận J (tập hợp J được trang bị quan hệ thứ tự toàn
phần sao cho i, j ∈ J có k ∈ J : i, j ≤ k). Họ các vật Mi và các xạ φki : Mj → Mi (φii =
IdMi ) với i, j ∈ J và i ≤ j được gọi là hệ ngược nếu φki = φkj φji với i ≤ j ≤ k. Giới hạn

ngược được định nghĩa dựa trên tính phổ dụng.
Định nghĩa 1.1.1. Với các kí hiệu trên, giới hạn của hệ ngược của hệ {Mi , φji }i∈J là
vật lim Mi cùng họ các xạ fi : lim Mi → Mi thỏa mãn
←−

←−

i) φji fi = fi .
ii) Với vật X và họ các xạ gi : X → Mi thỏa mãn tính chất đầu tiên, tồn tại duy
nhất xạ ξ : X → lim Mi sao cho fi ξ = gi .
←−

Mệnh đề 1.1.2. Mọi hệ ngược trong phạm trù R − M od đều có giới hạn ngược.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử 0 → {Ni } → {Mi } → {Li } → 0 là dãy khớp ngắn các hệ
ngược được định nghĩa như trên. Khi đó, ta có dãy khớp các R−mơđun
0 → lim Ni → lim Mi → lim Li .
←−

←−

←−

Mệnh đề 1.1.4. Cho {Mi , φji }i∈J và {Ni , ψij }i∈J lần lượt là hệ ngược và hệ thuận các
mơđun. Khi đó ta có các đẳng cấu
Hom(A, lim Mi ) ∼
= lim Hom(A, Mi )
←−

←−

3


4
và
Hom(lim Ni , A) ∼
= lim Hom(Ni , A)
−→

−→

với mọi môđun A.

1.2

Hàm tử đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R−môđun và I là iđêan của R, khi đó ΓI (M ) được định
nghĩa là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi lũy thừa nào đó của iđêan I tức
ΓI (M ) = {x ∈ M | ∃n ∈ N : I n x = 0}.
Dễ dàng kiểm tra phép toán cộng và phép tốn nhân vơ hướng ổn định trên M và
do đó ΓI (M ) là môđun con của M . Với mỗi đồng cấu R−môđun f : M → N , ta
có f (ΓI (M )) ⊆ f (ΓI (N )). Đặt ΓI (f ) : f (ΓI (M )) → f (ΓI (N )) là đồng cấu cho bởi
ΓI (f )(x) = f (x) với mọi x ∈ ΓI (M ). Khi đó với các đồng cấu f, g : M → N, h : N → T
và x ∈ R thì ΓI (hf ) = ΓI (h)ΓI (f ), ΓI (f + g) = ΓI (f ) + ΓI (g), ΓI (rf ) = rΓI (f ) và
ΓI (IdM ) = IdΓI (M ) . Khi đó ΓI (✷) trở thành hàm tử hiệp biến từ phạm trù R−Mod
vào chính nó.
Mệnh đề 1.2.2. Dãy khớp ngắn các mơđun và đồng cấu 0 → N → M → L → 0 cảm
sinh dãy khớp
0 −→ ΓI (N ) −→ ΓI (M ) −→ ΓI (L)

với mọi iđêan I.
Hàm tử I−xoắn là duy nhất theo căn của iđêan I.
Mệnh đề 1.2.3. Cho J là iđêan của vành R, khi đó ΓI = ΓJ khi và chỉ khi

√

I=

√

J.

Định nghĩa 1.2.4. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI được gọi là hàm tử
đối đồng điều địa phương thứ i của mơđun M ứng với iđêan I và kí hiệu là HIi . Cụ
thể, giả sử
d0

d1

d2

... −→ 0 −→ I 0 −→ I 1 −→ I 2 −→ ...
là một phép giải nội xạ của mơđun M . Khi đó
HIi (M ) = KerΓ(di )/ImΓI (di−1 )


5
với mọi i ∈ Z. Dễ thấy HIi (M ) = 0 với mọi i < 0.
Nhận xét. Áp dụng các kết quả của đại số đồng điều ta có
i) Hàm tử ΓI là hiệp biến và R−tuyến tính do đó hàm tử HIi cũng là hàm tử hiệp

biến và R−tuyến tính.
ii) Do hàm tử ΓI khớp trái nên hàm tử HI0 và ΓI là tương đương tự nhiên.
r

r

iii) Cho r ∈ R và đồng cấu f : M → M thì HIi (f ) : HIi (M ) → HIi (M ).
iv) Cho M là R−mơđun, khi đó mỗi phần tử HIi (M ) điều bị triệt tiêu bởi lũy thừa
của iđêan I.
v) Cho dãy khớp ngắn các R−môđun 0 → N → M → L → 0 khi đó ta có dãy khớp
dài các mơđun đối đồng điều địa phương
... −→ HIi (N ) −→ HIi (M ) −→ HIi (L) −→ ...
Định nghĩa 1.2.5. R−môđun M được gọi là I−xoắn nếu ΓI (M ) = M và I−xoắn tự
do nếu ΓI (M ) = 0. Dễ thấy ΓI (M ) là môđun I−xoắn và M/ΓI (M ) là môđun I−xoắn
tự do.
Mệnh đề 1.2.6. Cho M là R−môđun và I là iđêan của vành R. Khi đó:
i) Nếu I chứa phần tử t ∈
/ ZdvR (M ) thì ΓI (M ) là môđun I−xoắn tự do.
ii) Giả sử M là R−mơđun hữu hạn sinh. Khi đó M là I−xoắn tự do khi và chỉ khi
I chứa phần tử t ∈
/ ZdvR (M ).
iii) Nếu M là R−môđun I−xoắn thì HIi (M ) = 0 với mọi i ∈ Z. Đặc biệt HIi (ΓI (M )) =
0 với mọi i ∈ Z.
iv) Với mỗi R−mơđun M , tồn cấu chính tắc π : M → M/ΓI (M ) cảm sinh đẳng
cấu
HIi (π) : HIi (M ) → HIi (M/ΓI (M )).


6
Định nghĩa 1.2.7. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−mơđun hữu hạn

sinh. Ta kí hiệu
grade(I, M ) = inf {i ∈ Z | HIi (M ) = 0}, cd(I, M ) = sup{i ∈ Z | HIi (M ) = 0},
được gọi là bậc của M đối với I. Trong trường hợp tổng quát ta có thể ràng buộc
heightM I ≤ cd(I, M ) dim M . Trong trường hợp m là iđêan tối đại thì ta có grade(m, M ) =
depthM và cd(m, M ) = dim M .
Định lý 1.2.8. Cho M là R−mơđun. Khi đó HIi (M ) = 0 với i > dim M .
Định lý 1.2.9. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−môđun hữu hạn sinh
khác khơng với chiều n. Khi đó Hmn (M ) = 0.
Định lí trên được gọi là định lí khơng triệt tiêu Grothendieck. Điều này chỉ ra rằng
tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng đều địa phương chỉ ta thông tin
về môđun ban đầu. Cụ thể
dim M = sup{i ∈ Z | HIi (M ) = 0}
nói cách khác dim K = cd(m, M ).
Mệnh đề 1.2.10. Cho I là iđêan của vành địa phương (R, m) và M, N là các R−môđun
hữu hạn sinh. Khi đó nếu Supp(M ) ⊆ Supp(N ) thì cd(I, M ) ≤ cd(I, N ). Hơn nữa
cd(I, M ) = cd(I, R/(0 :R M ) = max{cd(I, R/p) | p ∈ min M }.
Định lý 1.2.11. Cho M là môđun hữu hạn sinh sao cho M/IM = 0. Khi đó
depthI (M ) = inf {i ∈ Z | HIi (M ) = 0}.
Định lý 1.2.12. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−môđun hữu hạn sinh.
Khi đó Hmi (M ) là Artin với mọi i ∈ Z.

1.3

Iđêan nguyên tố gắn kết

Định nghĩa 1.3.1. Cho S là R−mơđun, khi đó S được gọi là thứ cấp nếu S = 0
và với mỗi r ∈ R thì rS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rn S = 0. Hơn nữa, ta có
p=

(0 :R S) là iđêan nguyên tố và ta gọi S là môn đun p−thứ cấp.

7
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là R−môđun, nếu M phân tích được thành tổng các
mơđun pi −thứ cấp (biểu diễn thứ cấp) thì M được gọi là biểu diễn được. Cụ thể,
M = S1 + S2 + ... + Sn
với Si là các môđun pi −thứ cấp. Biểu diễn trên là tối tiểu nếu
i) p1 , p2 , p3 , ..., pn là các iđêan nguyên tố riêng biệt.
ii) Với mọi j, ta có Sj

i=j

Si tức khơng thể bỏ đi thành phần Sj trong biểu diễn.

Dễ thấy tất cả các biểu diễn thứ cấp đều tối tiểu. Hơn nữa các iđêan nguyên tố pi
trong biểu diễn đều duy nhất nên không phụ thuộc vào biểu diễn của M .
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử
M = S1 + S2 + ... + Sn
là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M với Si là mơđun pi −thứ cấp. Khi đó p ∈ Spec(R)
là một trong các iđêan nguyên tố p1 , p2 , ..., pn nếu tồn tại ảnh đồng cấu p−thứ cấp của
M . Đặc biệt, nếu R là vành Nơte, ta có thể thay ảnh đồng cấu p−thứ cấp bằng ảnh
đồng cấu với linh hóa tử là p. Từ đó, suy ra tập hợp {p1 , p2 , ..., pn } không phụ thuộc
vào biểu diễn của M và ta gọi là tập hợp các iđêan nguyên tố gắn kết của M , kí hiệu
Att(M ).
Mệnh đề 1.3.4. Mọi R−mơđun Artin bất khả tổng là thứ cấp. Hơn nữa, bằng cách sử
dụng điều kiện tối tiểu, mọi R-môđun Artin đều có thể biểu diễn thành tổng của các
mơđun con bất khả tổng và do đó là các mơđun thứ cấp.
Mệnh đề 1.3.5. Cho M là R−môđun Artin và r ∈ R. Khi đó
i) rM = M nếu r ∈ R\ ∪p∈Att(M ) p;
ii)

(0 :R M ) = ∩p∈Att(M )) p.

Bổ đề 1.3.6. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R−mơđun Artin thì M là
hữu hạn sinh và do đó có chiều dài hữu hạn nếu Att(M ) ⊆ {m}.
Định lý 1.3.7. Giả sử (R, m) là vành địa phương và cho M là R−môđun hữu hạn
sinh khác khơng với chiều n. Khi đó Hmn (M ) = 0 và
Att(Hmn (M )) = {p ∈ Ass(M ) | dim R/p = n}.


8
Hệ quả 1.3.8. Giả sử (R, m) là vành địa phương và cho M là môđun hữu hạn sinh
với chiều n > 0. Khi đó Hmn (M ) khơng hữu hạn sinh.
Định lý 1.3.9. Cho I là iđêan của vành (R, m) thì
dim M/IM = sup{i ∈ Z : lim Hmi (M/I n M ) = 0}
←−

với mọi M là R−môđun hữu hạn sinh.

1.4

Đối ngẫu Matlis

Cho (R, m) là vành địa phương. Kí hiệu E : E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư
R/m. Với M là một R−môđun bất kì, ta gọi HomR (M, E) là mơđun đối ngẫu Matlis
của M .
Định lý 1.4.1. Cho R là một vành Nơte, I, J là các iđêan nguyên tố.
i) E(R/I) là môđun nội xạ bất khả quy;
ii) Mỗi môđun nội xạ bất khả quy đều có dạng E(R/I) với I là một iđêan nguyến tố;
ii) Với mỗi x ∈ R/I, tự đồng cấu nhân bởi x trên E(R/I) là đẳng cấu;

iv) Nếu I = J thì E(R/I)

E(R/J);

v) E(R/I) là mơđun I−xoắn nghĩa là E(R/I) =

(0:I n E (R/I)).

Định lý 1.4.2. Cho R là vành Nơte. Mỗi R−môđun nội xạ đều phần tích thành tổng
của các mơđun nội xạ bất khả quy. Cụ thể, cho I là R−môđun nội xạ khi đó tồn tại họ
các iđêan nguyên tố (pi )i∈Λ sao cho
I∼
= ⊕i∈Λ E (R/pi ) .
Định lý 1.4.3. R−môđun M là Artin nếu M có thể nhúng vào tổng trực tiếp hữu hạn
bản sao của E.
Định lý 1.4.4. Giả sử (R, m) là vành địa phương đầy đủ m−adic. Khi đó
i) Nếu M là R−mơđun hữu hạn sinh thì Hom(M, E) là R−môđun Artin. Hơn nữa
đồng cấu tự nhiên M → Hom(Hom(M, E), E) là đẳng cấu.
ii) Nếu N là R−mơđun Artin thì Hom(N, E) là R−mơđun Nơte. Hơn nữa đồng cấu
tự nhiên N → Hom(Hom(N, E), E) là đẳng cấu.


9

1.5

Phức Cech

Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành Nơte giao hốn và C là phức các R−mơđun và
R−đồng cấu. Kí hiệu C[k] là phức

C[k]n = C k+n ; d[k]n = (−1)k dk+n
tức là phức C chuyển vị k vị trí về bên trái với vi phân đổi dấu theo (−1)k . Hơn nữa
H n (C[k]) = H k+n (C).
Bổ đề 1.5.2. Cho f : C → D là ánh xạ dây chuyền giữa các R−mơđun. Khi đó ta có
dãy khớp ngắn
0 → H 1 M H n−1 (f )

→ H n (M (f )) → H 0 (M (H n (f ))) → 0

với mọi n ∈ Z.
Định nghĩa 1.5.3. Với C là phức các R−môđun và x ∈ R, cho C → C ⊗ Rx là
ánh xạ dây chuyền cảm sinh bởi địa phương hóa, tức là đồng cấu trên C n cho bởi
C n → C n ⊗ Rx .
Xem R là phức hạn chế tại bậc không, phức Cech của phần tử x ứng với phức R là
nón
Cx (A) = M (A → Ax ) .
Sử dụng quy nạp, với x = x1 , x2 , ..., xr là một dãy phần tử trong R, ta định nghĩa
Cx (A) = M Cy (A) → Cy (A) ⊗ Axr
với y = x1 , x2 , ..., xr−1 . Với M là một R−môđun,
Cx (M ) = Cx (A) ⊗ M
gọi là phức Cech của x ứng với môđun M .
Định lý 1.5.4. Cho x = x1 , x2 , ..., xr là dãy phần tử của R với I = xR. Khi đó
HIi (M ) ∼
= H i (Cx (M ))
với mọi R−môđun M và mọi i ∈ Z.


10
Hệ quả 1.5.5. Với M là một R−môđun, HIi (M ) = 0 với mọi i > ara(I). Nói cách
khác ara(I) ≤ cd(I, M ) với

ara (I) = min n ∈ ∃x1 , x2 , ..., xn ,

√
Rx1 + Rx2 + ... + Rxn =

I

.


11

Chương 2
Mơđun đối đồng điều địa phương
hình thức và các tính chất liên quan
2.1

Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức

Định nghĩa 2.1.1. Cho R là vành Nơte giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của R và
M là một R-môđun.
Ta đặt môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với I là HIi (M ).
Nếu (R, m) là vành địa phương thì với mỗi i ≥ 0, FiI (M ) := lim Hmi (M/I n M ) được gọi
←−

là môđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ i của M đối với I.

2.2

Tính chất

Định lý 2.2.1. Cho I là iđêan của vành (R, m) thì
dim M/IM = sup{i ∈ Z : lim Hmi (M/I n M ) = 0}
←−

với mọi M là R−môđun hữu hạn sinh.
Sự miêu tả inf {i ∈ Z : lim Hmi (M/I n M ) = 0} về mặt dữ liệu là không rõ ràng. Dựa
←−

theo ý tưởng của Peskine và Szpiro (Tham khảo tại [17], chương 3 ) ta định nghĩa bậc
hình thức như sau:
f grade(I, M ) = inf {i ∈ Z : lim Hmi (M/I n M ) = 0}
←−

11


12
với I là iđêan và M là R−môđun hữu hạn sinh.
Định lý 2.2.2. Cho (R, m) là một vành địa phương chứa một phức đối ngẫu DR . Gọi
I là iđêan của của R. Khi đó với M là một R−mơđun hữu hạn sinh thì
(a) lim Hmi (M/I n M )
←−

HomR (H −1 (HomR (M, DR )), E), với mọi i ∈ Z.

(b) f grade(I, M ) = inf{i − cd(I, K i (M )) : i = 0, ..., dim M }.
Với K i (M ) = H −i (Hom(M, DR )), i = 0, ..., dim M, là môđun khuyết thứ i.
Các kết quả khác liên quan đến sự triệt tiêu của đối đồng điều hình thức lim Hmi (M/I n M )
←−

và chiều của iđêan nguyên tố liên kết của môđun cơ bản.
Định lý 2.2.3. Cho I là iđêan của vành địa phương (R, m). Cho M là một R−mơđun
hữu hạn sinh. Khi đó
(a) f grade(I, M ) ≤ dim M − cd(I, M ),
(b) f grade(I, M ) ≤ dim R/p − cd(I R, R/p) với mọi p ∈ AssM ,
với M là một m−adic đầy đủ của M .

2.3

Đối đồng điều địa phương

Bổ đề 2.3.1. Cho I là iđêan của vành địa phương (R, m). Cho M, N là hai R−môđun
hữu hạn sinh thỏa SuppN ⊆ SuppM . Khi đó cd(I, N ) ≤ cd(I, M ).
Chứng minh. Chứng minh trên tương đương với việc chứng minh HIi (N ) = 0 với mọi
số nguyên cd(I, M ) < i ≤ dim M + 1. Ta sẽ chứng minh nhận định trên bằng quy nạp
lùi theo i.
Đầu tiên, chú ý rằng nhận định trên đúng với i = dim M + 1 (Trích [27] ). Bây giờ
với i ≤ dim M . Ta tiến hành chứng minh dựa trên một phương pháp được phát
minh bởi Delfino và Marley. Ta giả sử SuppN ⊆ SuppM , suy ra c ⊆ RadAnnR N với
c = AnnR M . Mặt khác, tồn tại n để cn N = 0. Khi đó ta có cái lọc
0 = cn N ⊂ cn−1 N ⊂ ... ⊂ cN ⊂ N,


13
thỏa ci−1 N/ci N, i = 1, 2, ..., n là R/c−mơđun hữu hạn sinh.
Theo định lí Gruson (Trích [25], định lí 4.1 ) tồn tại T là R/c−mơđun hữu hạn sinh
thừa nhận cái lọc
0 = T0 ⊂ T1 ⊂ ... ⊂ Tk = T,
thỏa Tj /Tj−1 , j = 1, 2, ..., k là ảnh đồng cấu của nhiều bản sao hữu hạn của M .

Bây giờ ta chứng minh sự triệt tiêu của HIi (T ). Bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn và
quy nạp theo k ta đủ chứng minh được trong trường hợp k = 1. Ta có dãy khớp
0 → K → Mm → T → 0
với m là số nguyên dương. Khi đó ta có dãy khớp
... → HIi (K) → HIi (M )m → HIi (T ) → HIi+1 (K) → ...
Theo giả thiết quy nạp HIi+1 (K) = 0, vì vậy HIi (T ) = 0.
Cuối cùng ta chứng minh rằng HIi (N ) = 0 bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn và quy
nạp theo n, điều này đủ chứng minh trong trường hợp n = 1. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
Hệ quả 2.3.2. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh thì
cd(I, M ) = cd(I, R/AnnR M ) = max{cd(I, R/p) : p ∈ M inM }
với mọi iđêan I của R.
Chứng minh. Dấu bằng thứ nhất khá đơn giản vì (V AnnR M ) = SuppR M (theo bổ đề
2.3.1). Đối với dấu bằng thứ hai ta định nghĩa N =

p∈M inM

R/p. Khi đó, ta có

cd(I, N ) = max{cd(I, R/p) : p ∈ M inM }.
Chú ý rằng đối đồng điều địa phương có tính giao hốn với tổng trực tiếp. Ngồi ra,
ta có SuppM = SuppN . Vì vậy khẳng định trên là một kết quả của bổ đề 2.3.1.
Bổ đề 2.3.3. Cho I là một iđêan của vành địa phương (R, m). Cho M là R−mơđun
hữu hạn sinh. Khi đó
cd((I, xR), M ) ≤ cd(I, M ) + 1
với mọi x ∈ m.


14
Chứng minh. Với giả thiết của bổ đề ta có dãy khớp ngắn

i+1
1
0
0 → HxR
(HIi (M )) → H(I,xR)
(M )) → HxR
(HIi+1 (M )) → 0

với mọi i ∈ Z. Bây giờ đặt c = cd(I, M ). Khi đó theo định nghĩa của chiều đối đồng điều,
i+1
dãy khớp ngắn trên suy ra H(I,xR)
(M )) = 0 với mọi i > c. Mặt khác cd((I, xR) ≤ c + 1.

Vậy bổ đề được chứng minh.

2.4

Phức đối ngẫu

Trong mục này, ta kí hiệu (R, m) là vành địa phương có chứa phức đối ngẫu DR . Là
phức bị chặn với mỗi thành phần là mơđun nội xạ, ngồi ra H i (DR ) hữu hạn sinh với
mọi i ∈ Z. Ta có thể tham khảo (Trích [14], chương V, bài 2 ) hoặc (Trích [19], 1.2 )
về kết quả cơ bản của phức đối ngẫu.
Theo kết quả của T. Kawasaki (Trích [16] ), R chứa một phức đối ngẫu nếu R là vành
thương của vành Gorenstein.
Chú ý rằng đối đồng đều tự nhiên của số phức
M → HomR (HomR (M, DR ), DR )
tạo ra một đẳng cấu trong đối đồng điều với mọi R−mơđun M hữu hạn sinh. Mặt
khác có số nguyên l ∈ Z thỏa
HomR (k, DR )

k[l],

với k = R/m là trường thặng dư của R. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng
l = 0. Khi đó phức đối ngẫu DR được gọi là đối ngẫu chính tắc. Trong phần sau, chúng
ta có thể giả sử phức đối ngẫu là phức đối ngẫu chính tắc.
Khi đó một phức đối ngẫu có cấu trúc như sau
−i
DR

⊕

ER (R/p) ,

p∈SpecR,dim R/p=i

với ER (R/p) kí hiệu là bao nội xạ của R/p đồng thời cũng là một R−mơđun. Do đó,
i
DR
= 0 với i < dimR và i > 0.

Mệnh đề 2.4.1. Cho (R, m) là vành địa phương với phức đối ngẫu DR .


15
(a) DR ⊗ Rp

DRp [dim R/p] với p ∈ SpecR.

(b) (Đối ngẫu địa phương) Có một phép đẳng cấu chính tắc

Hmi (M )

HomR (H −i (HomR (M, DR )), E), E = ER (R/m),

với mọi R−môđun hữu hạn sinh M và với mọi i ∈ Z.
Chứng minh. Ta có thể tham khảo cách chứng minh (Trích [14], [19] ).
Định nghĩa 2.4.2. Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh và d = dim M . Với mọi
số nguyên i ∈ Z ta định nghĩa
K i (M ) := H −i (HomR (M, DR )).
Môđun K(M ) := K d (M ) được gọi là mơđun chính tắc của M . Với i = d môđun K i (M )
được gọi là môđun khuyết của M . Chú ý rằng K i (M ) = 0 với mọi i < 0 hoặc i > d.
Theo định lí đối ngẫu địa phương, có các đẳng cấu chính tắc
Hmi (M )

HomR (K i (M ), E), i ∈ Z,

với E = ER (R/m) là bao nội xạ của trường thương. Lưu ý, tất cả K i (M ), i ∈ Z là các
R−môđun hữu hạn sinh. Hơn nữa M là một Cohen - Macaulay môđun nếu K i (M ) = 0
với mọi i = d.
Mệnh đề 2.4.3. Cho M là một A−môđun d−chiều, k ∈ N. Khi đó các kết quả sau là
đúng:
(a) dim K i (M ) ≤ i với mọi 0 ≤ i < d và dim K(M ) = d.
(b) AssK(M ) = (AssM )d .
(c) (AssK i (M ))i = (AssM )i với mọi 0 ≤ i < d.
(d) K(M ) thỏa điều kiện S2 .
(e) M thỏa điều kiện Sk nếu dim K i (M ) ≤ i − k với mọi 0 ≤ i < dim M.
Với X là một R−môđun hữu hạn sinh, ta đặt (AssX)i = {p ∈ AssX : dim R/p = i}
với mọi số nguyên i ∈ Z. Ta có thể theo dõi cách chứng minh mệnh đề 2.4.3 theo (Trích
[19], mục 1 ).

16

2.5

Đại số giao hốn

Cho M là một R−mơđun hữu hạn sinh, R là một vành Nơte. Cho AssR M = {p1 , ..., pt }
là tập các iđêan nguyên tố liên kết. Đặt
0 = Z(p1 ) ∩ .... ∩ Z(pt )
là một phân hoạch sơ cấp tối tiểu của M . Tức là M/Z(pi ), i = 1, ..., t là một R−môđun
pi −thứ cấp khác không.
Bổ đề 2.5.1. Với các kí hiệu trước, đặt S = {p1 , ..., ps } biểu thị tập con của AssR M
cho một số nào đó của iđêan nguyến tố liên kết của M . Khi đó
AssR M/U = S và AssR U = AssR M \S
Chứng minh. Đặt AssR M = {p1 , ..., ps } và 0 = Z(p1 ) ∩ ... ∩ Z(pt ) là một phân hoạch
sơ cấp tối tiểu. Đầu tiên, rõ ràng AssR M/U = S. Chú ý rằng U =
dãy giảm các phân hoạch sơ cấp tối tiểu. Ta định nghĩa V =

t
i=s+1

s
i=1

Z(pi ) là một

Z(pi ). Để chứng

minh phần thứ hai của bổ đề, ta cần chứng minh rằng AssR U = {ps+1 , ..., pt }.

Đầu tiên chú ý rằng U

U + V /V ⊆ M/V . Hiển nhiên, ta có AssR U ⊆ {ps+1 , ..., pt }.

Bây giờ lấy p ∈ {ps+1 , ..., pt } là một iđêan nguyên tố thì U/U ∩ Z (p)

U + Z (p) /Z (p)

là một môđun pi −thứ cấp khác không. Từ U ∩ Z (p) là một phần của sự phân hoạch
sơ cấp tối tiểu của 0 trong U , điều này chỉ ra rằng p ∈ AssR U . Vậy ta có điều phải
chứng minh.

2.6

Đối đồng điều hình thức

Cho (R, m, k) là một vành Nơte. Đặt x = x1 , x2 , ..., xr biểu thị hệ thống các phần tử của
R và J = Rad(xR). Đặt Cx biểu thị số phức Cech của R đối với x. Với mỗi R−môđun
M và hệ thống xạ ảnh các iđêan I của R−môđun {M/I n M }n∈N cảm sinh hệ thống xạ
ảnh của R−số phức {Cx ⊗ M/I n M }. Xạ ảnh lim({Cx ⊗ M/I n M }) là chủ đề nghiên
cứu chính trong bài viết.
Định nghĩa 2.6.1. Với số nguyên i ∈ Z môđun đối đồng điều H i (lim(Cx ⊗ M/I n M ))
←−

là một I−đối đồng điều hình thức thứ i đối với J. Trong trường hợp J = m, ta có thể
gọi đơn giản là I−đối đồng đều hình thức thứ i.


17
Ta kí hiệu ΛI = lim(· ⊗ R/I n ) là I − adic đầy đủ. Với M là R−môđun ta có số phức

←−
n

lim(Cx ⊗ M ⊗ R/I ) đẳng cấu với ΛI (Cx ⊗ M ).
←−

Mệnh đề 2.6.2. Với các kí hiệu ở trên ta có dãy khớp ngắn
0 → lim1 HJi+1 (M/I n M ) → H i (lim(Cx ⊗ M/I n M )) → lim HJi (M/I n M ) → 0
←−

←−

←−

với mọi i ∈ Z. Trong trường hợp J = m và M là một R−môđun hữu hạn sinh thì ta
có đẳng cấu
H i (lim(Cx ⊗ M/I n M )) ∼
= lim HJi (M/I n M )
←−

←−

với mọi i ∈ Z.
Chứng minh. Do các ánh xạ dây chuyền
Cx ⊗ M/I n M → Cx ⊗ M/I n M
là tồn cấu nên ta có dãy khớp các phức
0 → lim(Cx ⊗ M/I n M ) →
←−

(Cx ⊗ M/I n M ) →

(Cx ⊗ M/I n M ) → 0.

Lấy đối đồng đều với lưu ý rằng hàm tử đối đồng đều giao hốn với tích trực tiếp, ta
thu được dãy khớp dài các các R−môđun
... → H i (lim(Cx ⊗ M/I n M )) →
←−

HJi (M/I n M ) →

HJi (M/I n M ) → ...

Chẻ dãy khớp trên tại môđun H i (lim(Cx ⊗ M/I n M ))
←−

0 → lim1 HIi+1 (M/I n M ) → H i (lim(Cx ⊗ M/I n M )) → lim HJi (M/I n M ) → 0.
←−

←−

←−

Trong trường hợp J = m và M là R−mơđun hữu hạn sinh thì Hmi (M/I n M ) là môđun
Artin với mọi i ∈ Z và n ∈ N do đó hệ ngược {Hmi (M/I n M )} thỏa tiêu chuẩn ML. Khi
đó lim1 Hmi (M/I n M ) = 0 với mọi i, kết hợp với dãy khớp ngắn trên ta suy ra kết luận
←−

còn lại của mệnh đề.
Gọi (R, m) là m−adic đầy đủ của (R, m). Một R−môđun Artin A có cấu trúc tự nhiên
của R−mơđun thỏa mãn đồng cấu tự nhiên A → A và A → A ⊗ R là đẳng cấu.

18
Mệnh đề 2.6.3. Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó, lim Hmi (M/I n M ), i ∈
←−

Z, có cấu trúc tự nhiên như một R−mơđun và có đẳng cấu
lim Hmi (M/I n M )
←−

lim Hmi (M /I n M )
←−

với mọi i ∈ Z.
Chứng minh. Gọi N là R−môđun hữu hạn sinh. Ta đã biết Hmi (N ), i ∈ Z là R−mơđun
Artin. Vì những nhận xét trước đó và tính phẳng của R trên R thì có R−đẳng cấu
Hmi (N )

Hmi (N ) với mọi i ∈ Z. Bây giờ lấy N = M/I n M và lấy giới hạn xạ ảnh thì

ta có được điều phải chứng minh.

2.7

Các định lí triệt tiêu và khơng triệt tiêu

2.7.1

Mơđun đối đồng điều địa phương hình thức thứ không

Cho (R, m) là vành địa phương, M là R−môđun hữu hạn sinh. Với mỗi môđun con N
của M ta kí hiệu (N :M m ) = (N :M mn ) với n đủ lớn.
Đặt 0 = ∩p∈Ass(M ) Z(p) là biểu diễn phân hoạch nguyên sơ tối tiểu của mơđun khơng
của M . Ngồi ra với I iđêan của R thì ta định nghĩa
TI (M ) = {p ∈ Ass(M )|dim R/(I, p) = 0}
và
uM (I) =

Q (p)
p∈Ass(M )\TI (M )

Ta thấy rằng uM (I) đóng vai trị quan trọng trong việc làm rõ cấu trúc của môđun đối
đồng điều hình thức thứ khơng.
Bổ đề 2.7.1. Với các kí hiệu như trên, các môđun sau là trùng nhau
i.
ii.

n∈N

(I n M :M m ).

p∈SI (M ) Ker (M

iii. uM (I).

→ Mp ) trong đó SI (M ) = Supp (M/IM ) \V (m) .