Nghiên cứu vai trò của biến dạng bát cực đối với các hạt nhân nặng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Huỳnh Phú Đạt

NGHIÊN CỨU VAI TRỊ CỦA
BIẾN DẠNG BÁT CỰC
ĐỐI VỚI CÁC HẠT NHÂN NẶNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2015


ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Huỳnh Phú Đạt

NGHIÊN CỨU VAI TRỊ CỦA
BIẾN DẠNG BÁT CỰC
ĐỐI VỚI CÁC HẠT NHÂN NẶNG
Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử
Mã số:

60 44 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN VIẾT NHÂN HÀO

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2015


iii

Lời cảm ơn
Trong q trình thực hiện cơng trình này, tôi đã nhận được nhiều giúp đỡ và chỉ
dẫn hữu ích cũng như các điều kiện thuận lợi trong công tác và nghiên cứu để hồn
thành cơng việc. Đầu tiên, tơi xin cảm ơn gia đình đã bên tơi trong những lúc khó
khăn, khuyến khích tơi học tập và nghiên cứu; tôi xin gửi lời tri ân đặc biệt đến TS.
Trần Viết Nhân Hào, Trường Đại Học Tân Tạo - đã hướng dẫn, động viên, tạo mọi
điều kiện thuận lợi và cho những lời khun hữu ích cho tơi thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy, cô ở Khoa Vật Lý, Trường Đại Học Sư
Phạm Tp. Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và truyền thụ kiến thức đại cương về vật lý để
tơi có cách tiếp cận và hồn thành cơng việc nghiên cứu này tốt hơn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn bạn bè trong khóa K23 và các anh chị khóa
trước đã giúp đỡ tôi trong khi thực hiện luận văn.
Tp. HCM, ngày 02 tháng 03 năm 2015
Tác giả

Đặng Huỳnh Phú Đạt


iv

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tơi dưới sự

hướng dẫn khoa học của TS. Trần Viết Nhân Hào. Tất cả các dữ liệu phổ, số liệu phân
tích, đồ thị, hình vẽ và các bảng biểu trình bày trong phần kết quả nghiên cứu của tơi
là hồn tồn trung thực, khách quan và chưa từng được bất cứ cá nhân hay tập thể nào
cơng bố trong những cơng trình mà tôi không tham gia. Tất cả các kết quả sử dụng lại
của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy đủ và chi tiết.


v

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ................................................................................................................................iii
Lời cam đoan............................................................................................................................ iv
MỤC LỤC ................................................................................................................................. v
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ..................................................................................... vi
DANH SÁCH BẢNG ..............................................................................................................vii
DANH SÁCH HÌNH VẼ .......................................................................................................viii
MỞ ĐẦU.................................................................................................................................... 1
Chương 1 ................................................................................................................................... 4
Tổng quan lý thuyết trường trung bình ................................................................................. 4
1.1. Trường trung bình vi mơ .................................................................................................. 4
1.2. Xấp xỉ Hartree-Fock ........................................................................................................ 6
1.3. Định thức Slater ............................................................................................................... 7
1.4. Nguyên lý biến phân ........................................................................................................ 8
1.5. Phương trình Hatree-Fock ............................................................................................... 9
1.6. Sự lựa chọn cáctương tác ............................................................................................... 11
1.7. Tương tác Skyrme .......................................................................................................... 12
1.8. Tính tốn Hartree-Fock phá vỡ đối xứng gương ........................................................... 13
Chương 2 ................................................................................................................................. 16
Các xấp xỉ để nghiên cứu rào phân hạch hạt nhân ............................................................. 16
2.1.Xấp xỉ Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) ...................................................................... 16

2.2. Xấp xỉ HTDA................................................................................................................. 20
2.2.1. Cấu trúc của xấp xỉ HTDA...................................................................................... 21
2.2.2. Các phần tử nằm trên đường chéo ........................................................................... 22
2.2.3. Các phần tử không nằm trên đường chéo ................................................................ 23
2.2.4. Lực  ...................................................................................................................... 24
Chương 3 ................................................................................................................................. 25
Kết luận và thảo luận ............................................................................................................. 25
3.1 Rào phân hạch hạt nhân chẵn-chẵn

240

Pu ...................................................................... 25

3.2. Kết quả và Kết luận ....................................................................................................... 26
Tài liệu tham khảo .................................................................................................................. 31


vi

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu

Diễn tả

HTDA

Highly Truncated Diagonalization Approach

HFB

Hartree-Fock-Bogoliubov

HF+BCS

Hartree-Fock-Bardeen-Cooper-Schrieffer


vii

DANH SÁCH BẢNG
Bảng
1.1

Tên bảng
Một số tổ hợp tham số của tương tác hiệu dụng thực nghiệm

Trang
13

Skyrme
3.1

Chiều cao của hai rào phân hạch sử dụng xấp xỉ HF+BCS và
HTDA có (khơng có) tính đến biến dạng tứ cực (bát cực).

28


viii

DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình
3.1

Tên hình
Năng lượng biến dạng của hạt nhân 252Cf ứng với các giá trị N0

Trang
26

khác nhau tính theo phương pháp xấp xỉ HF+BCS(G) [11].
3.2

Năng lượng hạt nhân 240Pu phụ thuộc vào biến dạng tứ cực sử

28

dụng xấp xỉ HF+BCS và HTDA. Đối xứng chẵn lẻ được ấn
định.
3.3

Năng lượng hạt nhân 240Pu phụ thuộc vào biến dạng tứ cực và

29

biến dạng bát cực sử dụng xấp xỉ HF+BCS. Đối xứng chẵn lẻ bị
phá vỡ khi tính đến biến dạng bát cực.
3.4

Năng lượng hạt nhân 240Pu phụ thuộc vào biến dạng tứ cực và

29

biến dạng bát cực sử dụng xấp xỉ HTDA. Đối xứng chẵn lẻ bị
phá vỡ khi tính đến biến dạng bát cực.
3.5

Năng lượng trạng thái ½+ của hạt nhân 239Pu phụ thuộc vào biến
dạng tứ cực và biến dạng bát cực sử dụng xấp xỉ HF+BCS.

30


1

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Sự tồn tại của hạt nhân bền biến dạng đã được khẳng định từ rất sớm trong lịch
sử của vật lý hạt nhân.Các nghiên cứu moment tứ cực điện dẫn đến các giả thuyết cho
rằng hạt nhân có hình dạng của một elip biến dạng đối xứng trụ. Điều này đã được xác
nhận bởi sự phát hiện phổ của các hạt nhân quay. Giả thuyết các hạt nhân có hình dạng
biến dạng đối xứng trục và đối xứng qua gương đã có thể mơ tả được hầu hết các phổ
biến dạng của các hạt nhân này. Do tính đối xứng gương, tất cả các trạng thái của phổ
dao động quay có cùng tính chẵn lẻ. Tuy nhiên, sự phát hiện lần đầu tiên trạng thái
kích thích tập thể với độ chẵn lẻ âm của hạt nhân

224

Ra và

228

Th bởi nhóm Berkeley

vào năm 1950 [5] đã dẫn đến giả thuyết về sự tồn tại của hạt nhân biến dạng hình quả
lê. Thật vậy, phổ hạt nhân gắn liền với biến dạng bát cực có những đặc điểm khác với
những hạt nhân biến dạng tứ cực. Ví dụ, các hạt nhân biến dạng bát cực có them dãy
trạng thái kích thích với độ chẵn lẻ âm. Hai dãy dao động này được kết nối với nhau
bằng một sự dịch chuyển điện mạnh E1. Sự tồn tại của biến dạng bát cực nhiều nhất
đối với các hạt nhân có số hạt xấp xỉ N= 34(vùng Ge và Se), N=56(Zr), N=88(Ba và
Sm), N=134(Ra và Th).
Các xấp xỉ vĩ-vi mô hiện tượng luận kết hợp mẫu giọt chất lỏng và hiệu chỉnh
lớp Strutinsky là công cụ phổ biến nhất để phân tích các hạt nhân biến dạng này[38].
Mưller và Nilsson [33] sử dụng lần đầu tiên thế năng dao động điều hịa biến dạng để
tính tốn các rào phân hạch. Họ phát hiện ra năng lượng thế năng bề mặt không bền
vững khi tính đến biến dạng bát cực ở rào phân hạch thứ hai của một số hạt nhân
actinide. Sau đó các tính tốn tương tự đã được thực hiện bởi Leander và cộng sự [29]
cho các hạt nhân trong khu vực Po-U. Các tính tốn như đã nêu trên sử dụngthế năng
Woods-Saxon được nghiên cứu bởi Nazarewicz và cộng sự [36] để phân tích sự khơng
bền của năng lượng thế bề mặt hạt nhân khi tính đến các biến dạng bát cực trong vùng
hạt nhân nặng như

220-228

Ra,

220-230

Th và

222-230

U. Để hiểu thêm chi tiết về sự thành

công của hướng tiếp cận này chúng ta có thể tìm hiểu thêm trong các tài liệu tham
khảo [4], [14].


2

Điều quan trọng cần lưu ý là phương pháp vĩ-vi mô không phải là một lý thuyết
tự hợp. Trong khuôn khổ của lý thuyết trường trung bình có tính đến tương tác cặp, M.
Brack và P. Quentin đã tìm lại được các kết quả của V. M. Strutinsky [13] một cách
hồn tồn vi mơ và tự hợp. Tất nhiên, sự thành công của phương pháp vi mô đã cung
cấp một cơng cụ nghiên cứu quan trọng hơn. Các tính tốn Hartree-Fock tính đến biến
dạng bát cực cho hạt nhân nhẹ cụ thể là A  30 đã được thực hiện rất sớm bởi Kelson
[26] với 16O, bởi Krappe và Washweiler [28] cho 20Ne và 24Mg, bởi Giraud và Sauer
[21] cho các hạt nhân 19F, 20Ne, 24Mg và 28Si.
Đối với hạt nhân nặng biến dạng bát cực, tương tác hiệu dụng Skyrme SIII đã
được Bonche và các cộng sự [8] sử dụng lần đầu tiên thực hiện tính tốn tự hợp
HF+BCS cho trạng thái cơ bản của hạt nhân

222

Ra. Họ đã tìm thấy một điểm cực tiểu

minh chứng cho sự tồn tại của hạt nhân biến dạng bát cực. Robledo và Egido [17] sử
dụng các phương pháp HF+BCS với thế tương tác Gogny để nghiên cứu biến dạng bát
cực trong trạng thái cơ bản của hạt nhân

222,224

Ra,

222

Th và

142-148

Ba. Bằng cách hiệu

chỉnh vị trí của khối tâm, họ đã có thể tính toán moment lưỡng cực nội tại của các hạt
nhân. Các tính tốn cũng được thực hiện bởi nhóm này cho các trạng thái có spin và
isotone N  88 [20]. Kể từ đó, nhiều tính tốn vi mơ đã được thực hiện được dựa trên
phương pháp HF+BCS để nghiên cứu hạt nhân chẵn và biến dạng bát cực ở các vùng
khác nhau trong bảng tuần hoàn: Zn [41], Ce-Nd-Sm [18], Xe [25], [31], Ba [16], [25]
và các hạt nhân actinide [8], [16], [39]. Thật thú vị khi chúng tôi biết rằng vẫn chưa có
nghiên cứu nào trong lĩnh vực này cho các hạt nhân chẵn-lẻ.
Biến dạng bát cực là một minh chứng cho sự khiếm khuyết của phương pháp
trường trung bình vì trong rất nhiều trường hợp chúng ta đã ấn định sự bảo tồn đối
xứng gương trong các tính toán lý thuyết. Bằng sự phá vỡ đối xứng gương này,
Bonche và các cộng sự [9] lần đầu tiên sử dụng phương pháp HF+BCS với thế tương
tác Skyrme SkM* để nghiên cứu biến dạng bát cực của trạng thái cơ bản và trạng thái
siêu biến dạng của hạt nhân

194

Pb. Kết hợp phương pháp Tọa độ suy rộng (GCM) và

áp dụng phép chiếu để khôi phục lại đối xứng gương, họ đã giả thuyết sự tồn tại của
năng lượng kích thích nội tại đến từ biến dạng bát cực khoảng 2 MeV. Heenen và cộng
sự [33] đã sử dụng phương pháp tương tự với lực SIII để nghiên cứu các kích thích bát


3

cực trong khu vực của Xe và Ba. Họ đã cho thấy sự tồn tại mạnh mẽ của biến dạng bát
cực trong khu vực này.
Các cơng trình được đề cập bên trên đã chứng tỏ sự thành công của xấp xỉ
trường trung bình có tính đến tương tác cặp HF+BCS. Tuy nhiên nhược điểm lớn nhất
của xấp xỉ HF+BCS đó là sự vi phạm bảo toàn số hạt của hàm sóng mơ tả hệ hạt nhân
vốn có số lượng hạt hữu hạn A < 300 hạt. Để khắc phục nhược điểm này, xấp xỉ
Highly Truncated Diagonalization Approach (HTDA) đã được xây dựng bởi nhóm
nghiên cứu tại phịng thí nghiệm CENBG (đại học Bordeaux, Pháp) [37] để nghiên
cứu tương tác cặp trong hệ hạt nhân trong một mơ hình bảo tồn một cách chính xác số
hạt của hệ. Xấp xỉ này đã được ứng dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau như:
+ Nghiên cứu trạng thái cơ bản 0+ và trạng thái đồng phân của 16+ của hạt
nhân chẵn-chẵn 178Hf [30].
+ Nghiên cứu trạng thái cơ bản 0+ và trạng thái đồng phân của hạt nhân chẵnlẻ, lẻ-lẻ xung quanh vùng hạt nhân chẵn-chẵn 178Hf;
+ Nghiên cứu tương tác cặp neutron-proton cho các hạt nhân trong vùng A=64
[35].
+ Nghiên cứu tương quan dao động tập thể của các hạt nhân magic [40].
+ Nghiên cứu sự trộn lẫn spin đồng vị trong hệ hạt nhân [12].
+ Nghiên cứu rào phân hạch hạt nhân thứ hai và hiệu ứng của sự khơi phục tính
chẵn lẻ cho xấp xỉ HTDA trong vùng rào phân hạch thứ hai [27].
Trong bối cảnh này, mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là nghiên cứu một
cách có hệ thống và hồn chỉnh rào phân hạch cho hạt nhân chẵn – chẵn

240

Pu khi có

tính đến biến dạng bát cực.
Dựa trên các kết quả đạt được với hạt nhân chẵn - chẵn, chúng tôi tiếp tục mở
rộng nghiên cứu rào phân hạch hạt nhân chẵn - lẻ 239Pu sử dụng xấp xỉ HF+BCS.
Luận văn sẽ có 3 phần:
+ Chương 1: Giới thiệu về phương pháp trường trung bình là nền tảng cho tất
cả các mẫu hạt nhân chúng tôi sử dụng.
+ Chương 2: Mô tả chi tiết về các xấp xỉ HF+BCS và HTDA.
+ Chương 3: Trình bày kết quả thu được và thảo luận.


4

Chương 1
Tổng quan lý thuyết trường trung bình
1.1. Trường trung bình vi mơ
Để mơ tả cấu trúc hạt nhân chúng ta sử dụng xấp xỉ vi mô dựa trên các giả định
cơ bản sau:
+ Hạt nhân nguyên tử là một hệ lượng tử với N hạt fermion
+ Nucleon xem như là chất điểm và khơng có cấu trúc nhỏ hơn.
+ Động năng của các nucleon trong trạng thái cơ bản của hạt nhân hoặc trong
một số trạng thái kích thích được giả định phi tương đối tính.
+ Tương tác chủ yếu của nucleon là tương tác hai hạt.
+ Do đó các phương trình chuyển động cho hàm sóng  của hệ là phương
trình Schrưdinger phi tương đối tính: Hˆ   E  ,

(1.1)

Trong đó Hamiltonian Hˆ của hệ bao gồm toán tử động năng Kˆ và thế tương tác
giữa hai hạt Vˆ : Hˆ  Kˆ  Vˆ .

(1.2)

Hiện nay chúng ta chưa thể có một xấp xỉ vi mơ chính xác để xử lý vấn đề hệ
nhiều hạt khi số hạt N>2. Chúng ta phải sử dụng các xấp xỉ. Một trong những xấp xỉ vi
mô phi tương đối tính trong vật lý nguyên tử được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay
trong vật lý hạt nhân là xấp xỉ Hartree-Fock. Xấp xỉ trường trung bình này được sử
dụng để mơ tả các đặc tính của trạng thái cơ bản của toàn bộ các nguyên tử trong bảng
tuần hoàn.
Trong lịch sử, một trong những mẫu hạt nhân đầu tiên do Niels Bohr đề xuất
vào năm 1936 là mẫu giọt chất lỏng trong đó hạt nhân được coi như là một giọt chất
lỏng cổ điển gồm các nucleon được giới hạn trong không gian hữu hạn. Các nucleon
trong giọt chất lỏng này tương tác với nhau bằng tương tác mạnh. Mẫu hạt nhân này
đóng một vai trị rất quan trọng: nó mơ tả khối lượng ngun tử với độ chính xác khá
tốt. Tuy nhiên, mẫu giọt chất lỏng này là hồn tồn vĩ mơ. Hơn nữa, sự tồn tại của
nguyên lý Pauli đã đặt ra yêu cầu xây dựng mẫu giọt chất lỏng lượng tử thay vì một


5

mẫu giọt chất lỏng thơng thường. Vì vậy, sự cùng tồn tại của hai loại thuộc tính chất
lỏng (cổ điển và lượng tử) nhấn mạnh đến tính trung gian (vi mơ) của hạt nhân ngun
tử.
Một cách nhìn khác về cấu trúc của hạt nhân nơi mà các nucleon được coi như
các hạt tồn tại độc lập trong một thế năng trung bình giữa các nucleon. Tương tự như
trong vật lý nguyên tử, thực nghiệm đã minh chứng sự tồn tại của một trường trung
bình thơng qua sự tồn tại của các lớp vỏ. Vì vậy mục tiêu chính trong vật lý hạt nhân

là việc xác định thế năng trung bình được tạo ra do chính bản thân của các nucleon
(điều này khác với trong vật lý nguyên tử trong đó các electron tương tác trong trường
Coulomb tạo ra bởi hạt nhân).
Để mơ phỏng trường trung bình của hạt nhân, nhiều loại thế năng thực nghiệm
đã được đề xuất. Thế năng tốt nhất được biết đến là:
+ Thế năng dao động điều hòa của Nilsson. Đây là mẫu đơn hạt đầu tiên mơ tả
sự biến dạng của hạt nhân. Nó bao gồm thế dao động điều hòa do biến dạng quay
quanh trục có các số hạng liên quan đến tương tác spin-quỹ đạo l .s và một hiệu chỉnh
tỉ lệ với l 2 cho phép đạt tới những trạng thái thấp hơn với moment động lượng quỹ
đạo lớn
VNilsson 

m
[ w ( x 2  y 2 )  wz z 2 ]  2k w00 (l .s   (l 2   l 2  )) .
2

(1.3)

với k ,  là các tham số hiệu chỉnh độc lập cho proton và neutron, w00 w , wz là hằng số
dao động điều hòa của hạt nhân cầu, w00  41A1/3 MeV mơ tả bán kính hạt nhân.
+ Thế năng Wood-Saxon mơ hình hóa các phần Hartree của trường trung bình
vi mơ cho trường hợp hạt nhân bị biến dạng. Nó được thể hiện trong tọa độ cầu:
VWS ( r, , )  

V0
.
r  R( , )
1  exp(
)
a

(1.4)

Với dạng thế năng này, chúng ta không thể mô tả tất cả hạt nhân magic. Bước
đột phá quan trọng đến năm 1949 khi Goeppert-Mayer và Jensen đề nghị bổ sung thêm


6

một thế năng spin-quỹ đạo Vso ~

1 dVWS( r )
l .s . Sự hiệu chỉnh này đã giúp giải thích tất
r r

cả các hạt nhân magic.
Những thế năng thực nghiệm có thể được sử dụng để tính tốn hàm sóng đơn
hạt và năng lượng tương ứng. Tuy nhiên, cùng với sự tiến bộ của các máy tính từ
những năm 50 đến 80 của thế kỷ trước, trường trung bình tự hợp đơn hạt có thể được
xây dựng từ tương tác hiệu dụng vi mô giữa hai hạt (tương tác nucleon-nucleon) theo
nguyên tắc biến phân áp dụng trong khuôn khổ xấp xỉ trường trung bình. Hai loại thế
năng thực nghiệm nêu trên thường được sử dụng như điểm khởi đầu trong một q
trình tự hợp để tính tốn thế Hartree-Fock. Hamiltonian mô tả hệ được viết như sau:
N
pˆ 2 1 N
Hˆ  Kˆ  Vˆ   i   vˆij ,
2 i , j 1
i 1 2m

(1.5)

i j

trong đó pˆ i là động năng của hạt i , vˆij là thế năng tương tác giữa hạt i và j , m là khối
lượng của các nucleon và số hạng tương tác được xây dựng với tương tác hiệu dụng vˆ .
N là số nucleon của hệ hạt nhân.
1.2. Xấp xỉ Hartree-Fock
Xấp xỉ Hartree-Fock đã được phát triển lần đầu tiên bởi Hartree năm 1928 để
mô tả cấu trúc nguyên tử. Xấp xỉ này có tính đến sự tương tác tĩnh điện giữa hai
electron. Cơng trình của Hartree đã khơng tính đến các ảnh hưởng của nguyên lý Pauli.
Năm 1930, Fock đã đưa thêm các phản đối xứng vào phương pháp Hartree để bổ sung
nguyên lý Pauli. Mặc dù hạt nhân có nhiều đặc điểm tương tự với một nguyên tử
nhưng chúng khác nhau ở chổ các nucleon trong hạt nhân tương tác với nhau bằng
tương tác mạnh trong một trường không xuyên tâm. Áp dụng trực tiếp lý thuyết hệ
nhiều hạt của vật lý nguyên tử vào hạt nhân sẽ gặp nhiều khó khăn vì: hiện nay chúng
ta khơng biết rõ dạng tường minh của tương tác mạnh nucleon-nucleon, và số hạt của
hệ hạt nhân là hữu hạn. Tuy nhiên, xấp xỉ Hartree-Fock áp dụng lần đầu tiên trong vật
lý hạt nhân vào năm 1963 bởi Kelson đã dẫn đến thành cơng lớn. Dựa trên cách tiếp
cận trường trung bình, xấp xỉ Hartree-Fock giả sử tất cả các nucleon tham gia vào việc


7

xây dựng trường này. Trong mẫu xấp xỉ trường trung bình, hàm sóng ở trạng thái cơ
bản của một hạt nhân với N nucleon được mô tả bởi định thức Slater |  .
1.3. Định thức Slater
Trong xấp xỉ của các hạt độc lập hoặc xấp xỉ Hartree-Fock, từ "độc lập" cần
được hiểu theo nghĩa là độc lập về mặt xác suất. Trạng thái của hệ N hạt |  khơng
tính đến các ngun tắc Pauli, có thể được hình thành trực tiếp từ N trạng thái của các
hạt riêng lẻ |  i 

|  | 1  |  2  | 3  |  N 

(1.6)

Nhưng nucleon là các hạt Fermion nên hàm sóng của hệ phải phản đối xứng để
thỏa mãn nguyên lý Pauli. Do đó để chuyển từ trạng thái phản đối xứng phi vật lý | 
về trạng thái vật lý |  HF  ta phải tác dụng toán tử Aˆ lên trạng thái |  :
|  HF   N ! Aˆ | 

Trong đó

(1.7)

ˆ có dạng:
N ! hệ số chuẩn hóa và tốn tử phản đối xứng A

1
Aˆ 
( 1) p Pˆ

N! P

(1.8)

với Pˆ toán tử hoán vị và p số chuyển vị có tác dụng tương đương với P. Hàm
sóng trạng thái cơ bản của một hạt nhân với N nucleon ở trạng thái |  HF  là định thức
Slater  HF có dạng:

|  HF  ( r1 , r2 , , rN ) 

1
N!

1 ( r1 )
2 ( r1 )

1 ( r2 )  1 ( rN )
2 ( r2 )  2 ( rN )

(1.9)

N ( r1 ) N ( r2 )  N ( rN )
(i ( rj ) là

hàm sóng của một hạt j trong trạng thái i ). Tất cả các mối tương

quan khác giữa các nucleon sẽ được bỏ qua trong  HF . Khi hoán vị tọa độ của 2
nucleon trong khơng gian tức là hốn vị hai hàng của định thức. Các định thức Slater
thỏa mãn nguyên lý phản đối xứng. Để đơn giản hóa từ giờ chúng ta sử dụng các ký
kiệu |  thay vì |  HF  để mô tả định thức Slater.


8

Định thức Slater có thể viết dưới dạng lượng tử hóa lần hai:
N

|  N    ai† | 0

(1.10)

i 1

Trong đó tốn tử sinh hạt ai† tạo ra hàm sóng đơn hạt i từ trạng thái chân
khơng | 0 .
Các định thức Slater |  mô tả hệ hạt nhân trong mẫu hạt độc lập, và có tính
đến các mối tương quan liên quan đến nguyên lý Pauli. Chúng ta cần phải xác định
hàm sóng của từng nucleon i tham gia vào định thức này, cũng như một thế năng
đơn hạt có nguồn gốc từ tương tác hiệu dụng giữa hai hạt Vˆ . Để làm được điều này
chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý biến phân Ritz.
1.4. Nguyên lý biến phân
Nguyên lý biến phân Ritz
Xét một hệ N hạt đặc trưng bởi Hamiltonian Hˆ và các hàm riêng |  thỏa mãn
phương trình Schrưdinger: Hˆ |   E | 
Nguyên lý biến phân Ritz chỉ ra rằng có sự tương quan giữa lời giải của phương
trình Schrödinger trên và hàm năng lượng cực tiểu E |  xác định bởi:

E[] 

 | Hˆ | 
 E0
 | 

(1.11)

ta có: Hˆ |   E |    E[ ]  0
Nguyên lý biến phân
Trong thực tế hai mệnh đề tương đương là rất khó để xử lý, bởi vì nếu áp dụng
chính xác trong trường hợp biến phân ta phải kiểm tra tất cả các trạng thái trong không
gian vật lý của hệ N hạt. Đó là lý do tại sao chúng ta phải giới hạn tính tốn biến phân

trong một tập hợp con của các trạng thái vật lý. Đó chính là các hàm thử. Nếu hàm
sóng cần tìm khơng có trong tập hợp con của các hàm sóng thử thì hàm sóng cực trị
khơng chính xác hồn tồn và nó chỉ là gần đúng.
Phương pháp Hartree-Fock là một phương pháp biến phân xấp xỉ bởi vì nó chỉ
được áp dụng cho các tập hợp con của không gian Hilbert của định thức Slater. Thật


9

không may, tổng của hai định thức Slater thường không phải là một định thức Slater,
do đó nó khơng tuyến tính. Khi lấy biến phân, trạng thái năng lượng cơ bản E0 với bất
kỳ hàm thử |  nào chúng ta cũng có: E[ ]  E0 .
Phép biến phân gần đúng dựa trên cơ sở hàm sóng  i phải là tập hợp của các
hàm sóng thử. Vì vậy, độ chính xác của nguyên lý biến phân phụ thuộc vào sự lựa
chọn các hàm sóng thử.
1.5. Phương trình Hatree-Fock
Nền tảng của phương trình Hartree - Fock là giả định sự tồn tại của một thế
trung bình và phiếm hàm năng lượng tương ứng với giá trị năng lượng thấp nhất ở
trạng thái cơ bản. Phiếm hàm năng lượng này phụ thuộc vào định thức Slater và định
thức này còn có thể viết lại dưới dạng như sau:  A   iA1a j m | 0
i

i

Trong đó, tốn tử a jm là toán tử sinh trạng thái đơn hạt | jm và | 0 là chân
không. Tương tự, a jm được dùng để ký hiệu toán tử hủy trạng thái đơn hạt.
Dạng thế Wood Saxon đã và đang được sử dụng rộng rãi trong các tính tốn
cho phổ đơn hạt hạt nhân. Lý do chính để giải thích sự thành cơng này là thế WS có
hình dạng tương tự với thế trường trung bình hạt nhân tính tốn vi mô từ các bậc tự do
nucleon. Trong cơ học lượng tử khơng tương đối tính, phương pháp Hartree-Fock

(HF) đã được dùng từ nhiều thập kỷ qua để nghiên cứu vi mơ thế trường trung bình
của một hệ đa Fermion như tập hợp các electron trong nguyên tử hoặc các nucleon
trong hạt nhân.
Dạng phương trình HF cho các trạng thái đơn hạt trong hạt nhân có thể suy ra
từ một phép biến đổi hình thức Hamiltonian hạt nhân
2 2
A
i
ˆ
H A  [
  v(| ri  ri ' |)]
2m i 'i
i 1

(1.12)

Với v(| ri  ri |) là tương tác cặp giữa hai nucleon i  và i . Ta thay tổng tương
tác cặp bằng tổng các giá trị trung bình của nó theo hàm sóng đơn hạt | i  như sau

 v(| r  r
i i

i

i

|)  U i ( ri )   i | v | i 
i i

(1.13)

10

Với i | v | i   i* (ri )v(| ri  ri |) i (ri )d 3ri
Nguyên lý Pauli yêu cầu hàm sóng của cặp nucleon-nucleon tương tác phải là
phản đối xứng và phép phản đối xứng hóa hoàn toàn tương đương với việc dùng hệ
thức (1.13) tương tác cặp v dưới dạng: v(| ri  ri |)  v(| ri  ri |)(1  Pii )
Với Pii  Piir Pii Pii

(1.14)

Trong đó, Piir , Pii và Pii tương ứng là các toán tử trao đổi các tọa độ không
gian, spin và spin đồng vị giữa hai nucleon i  và i . Thí vụ, Piir i ( ri ) i ( ri )   i ( ri ) i ( ri )
và Pii  s (ms )  s (ms )   s (ms )  s (ms ) . Nếu v là tương tác Coulomb giữa hai proton thì
Pii  Piir

bởi vì lực tĩnh điện không phụ thuộc vào spin và spin đồng vị của hai proton

tương tác. Khi v là thành phần xuyên tâm của tương tác nucleon-nucleon ta có thể biểu
diễn: v( r ) Pii  vD ( r ) Piir Pii Pii  vEX ( r ) Piir
Với vD (r ) là thành phần trực tiếp và vEX ( r )  vD ( r ) Pii Pii là thành phần trao đổi
của thế xuyên tâm. Tương tự, các thành phần spin-quỹ đạo và tensor cũng bao gồm các
thành phần trực tiếp và trao đổi sau khi được phản đối xứng hóa. Sau khi thế trường
trung bình được “phản đối xứng hóa”, ta có thể biểu diễn phương trình Schrưdinger
dưới dạng sau:
[

 2i2
 U D ( r )]i ( r )   U EX ( r, r)i ( r)d 3r  Ei  i ( r )

2m

(1.15)

Phương trình (1.15) được gọi là phương trình Hartree-Fock.
Thành phần chứa thế trực tiếp U D được gọi là số hạng Hartree (Hartree term)
với thế định xứ U D được xác định theo:
U D (r)   i* (ri )vD (| ri  ri |) i (ri )d 3ri

(1.16)

Thành phần chứa thế trao đổi được gọi là số hạng Fock (Fock term), với thế phi
định xứ U EX được xác định theo:
U EX (r)   i* (ri )vEX (| ri  ri |) i (ri )dr

(1.17)

Ta thấy phương trình Schrưdinger thực tế là một phương trình vi tích phân do
có chứa thế trao đổi phi định xứ của trường trung bình.


11

Để thu được chính xác phương trình Hartree-Fock người ta phải áp dụng
phương pháp biến phân dựa trên cơ sở Hamiltonian và hàm sóng phản đối xứng của
hạt nhân.
Do cả hai thế trực tiếp và trao đổi chỉ có thể xác định được khi ta đã biết dạng
tường minh của hàm sóng đơn hạt i , phương trình HF là một bài tốn tự hợp và chỉ
có thể giải được bằng một phương pháp lặp thích hợp. Cụ thể, người ta bắt đầu giải
phương trình Hartree-Fock dùng U D ,U EX xác định bởi một hệ hàm sóng thử mà

thường là nghiệm của phương trình Schrưdinger với một thế Wood Saxon, nghiệm vừa
thu được từ phương trình HF sẽ được dùng để tính các thế theo U D ,U EX cho phương
trình Hartree-Fock tại vịng lặp tiếp theo để tìm hệ hàm sóng đơn hạt mới. Q trình
lặp này được dừng lại sau khi người ta đạt được độ hội tụ cần thiết trong nghiệm của
của phương trình HF.
1.6. Sự lựa chọn cáctương tác
Phương pháp Hartree-Fock đã giải quyết vấn đề làm sao để tách thế đơn hạt ra
khỏi thế hai hạt. Điều kiện cần thiết cho thành công của phương pháp Hartree-Fock là
tương tác giữa hai nucleon phải hữu hạn. Chúng ta biết rằng hai nucleon tự do thì đẩy
nhau bằng một lực rất mạnh ở tầm ngắn. Vì vậy, việc tính tốn các yếu tố ma trận của
các tương tác này là rất phức tạp. Mặc dù vậy, đối với nucleon tồn tại trong hạt nhân
thì lực tương tác cặp giữa hai nucleon rất yếu, một nucleon có thể tương tác với tất cả
các nucleon còn lại trong hạt nhân. Do đó, có thể thay thế việc mơ tả tương tác thực
của các nucleon bằng một tương tác nucleon-nucleon hiệu dụng.
Vào năm 1955, Brueckner đề xuất một xấp xỉ xuất phát từ tương tác hiệu dụng
(gọi là ma trận G) giữa hai nucleon trong hạt nhân, tùy thuộc vào mật độ của môi
trường vật chất hạt nhân xung quanh các nucleon. Để xử lý hệ hữu hạn như hạt nhân,
ma trận này làm đơn giản hóa các lực đẩy tầm ngắn của tương tác giữa các nucleon.
Việc mô tả vi mô tương tác hiệu dụng rất quan trọng và phải phù hợp với thực
nghiệm. Đứng từ một cách nhìn khác, chúng ta tự hỏi liệu có thể biết được loại tương
tác hạt nhân nếu biết trước năng lượng liên kết và phổ năng lượng khơng? Vì vậy, các


12

tương tác hiệu dụng với các tham số hiệu chỉnh sao cho phù hợp với thực nghiệm được
sử dụng rộng rãi. Có rất nhiều các loại tương tác khác nhau trong vật lý hạt nhân
(Skyrme và Gogny cho phép mô tả các thuộc tính của hạt nhân như năng lượng liên
kết, bán kính, moment tứ cực, moment góc…). Trong luận văn này chúng tơi sẽ sử
dụng mẫu trường trung bình vi mô Hartree-Fock sử dụng tương tác nucleon-nucleon

hiệu dụng Skyrme.
1.7. Tương tác Skyrme
Đề xuất vào năm 1959 bởi Skyrme, tương tác này chứa tương tác giữa hai hạt
và ba hạt:
Vˆ   vij(2) 
i j

v

i  j k

(3)
ijk

(1.18)

với vijk(3)  t3 ( r1  r2 ) ( r2  r3 )
Vautherin và Brink cho thấy sự tương đương giữa tương tác ba hạt và tương tác
hai hạt phụ thuộc vào mật độ: vijk(3)  vij(2) 

t3
r r
(1  Pˆ ) ( r1  r2 )   ( 1 2 )
6
2

Ngày nay, tương tác này có cấu tạo tiêu chuẩn như sau:
V ( r1 , r2 )  t0 (1  x0 Pˆ ) ( r1  r2 ) (số hạng xuyên tâm)

(1.19)

1
 t1 (1  x1Pˆ )[k 2 ( r )   ( r )k 2 ]  t2 (1  x2 Pˆ )k 2 . ( r )k 2 (số hạng phi định xứ)
2

iW ( 1   2 )k    ( r1  r2 )k (số hạng spin-orbit)


t3
r r
(1  x3 Pˆ ) ( r1  r2 )   ( 1 2 ) (số hạng phụ thuộc vào mật độ)
6
2

trong đó k là moment xung lượng tương đối của các hạt 1 và 2: k 
và k  là liên hợp của k : k   

1
(1   2 )
2i

1
(1   2 )
2i

1
2

với Pˆ  (1   1 2 ) tốn tử trao đổi spin.
Các thơng số của lực (t0 , t1, t2 , t3 ,W0 , x0 , x1, x2 , x3 ) đã được hiệu chỉnh dựa vào số

liệu thực nghiệm. Có nhiều tổ hợp các tham số lực Skyrme. Hai loại đầu tiên là SI và


13

SII được đưa ra bởi Vautherin và Brink [24]. Với bộ tham số SII, họ đã có thể tính
được các trạng thái cơ bản bao gồm cả năng lượng liên kết và bán kính của hạt nhân
trên bảng tuần hồn.
Các bộ tham số của lực SIII-SVI được đưa ra bởi Beiner và cộng sự [25] thu
được dựa vào dữ liệu khối lượng, điện tích và bán kính của hạt nhân hình cầu. Trong
đó, lực SIII được sử dụng phổ biến do khả năng mơ tả một cách chính xác các đặc tính
cơ bản của hạt nhân trên tồn bảng tuần hồn. Để mơ tả rào phân hạch hạt nhân 240Pu,
Bartel và cộng sự đã đề xuất lực SkM*. Sau đó, cơng trình của L.Bonneau đã chứng tỏ
rằng lực này phù hợp để nghiên cứu các biến dạng lớn của các hạt nhân nặng. Các bộ
tham số tương ứng với SIII, SkM* và Sly4 được thể hiện trong Bảng 1.1.
Bảng 1.1. Một số tổ hợp tham số của tương tác hiệu dụng thực nghiệm Skyrme
Lực

SIII

SkM*

SLY4

t0(MeV.fm3)

-1128.75

-2645.00

-2488.91

t1(MeV.fm5)

395.00

410.00

486.82

t2(MeV.fm5)

-95.00

-135.00

-546.39

14000.00

15595.0

13777.0

x0

0.450

0.090

0.834

x1

0.0

0.0

-0.344

x2

0.0

0.0

-1.0

x3

1.0

0.0

1.354

α

1

1/6

1.6

W0 (MeV.fm5)

120.0

130.0

123.0

t3(MeV.fm(3+3α))

1.8. Tính tốn Hartree-Fock phá vỡ đối xứng gương
Trong trường hợp hạt nhân độc lập, Hamiltonian của hệ có các đối xứng cơ bản
sau đây:
+ Bất biến dịch chuyển: thế năng phụ thuộc vào tọa độ tương đối r1  r2 của hạt
thứ nhất và hạt thứ hai và không phụ thuộc vào tọa độ khối tâm;


14

+ Bất biến Galile;
+ Bất biến quay tọa độ trong không gian;
+ Bất biến nghịch đảo thời gian;
+ Bất biến phản chiếu không gian;
+ Bất biến trong việc đổi chỗ các hạt đồng nhất, đây là các hạt Fermion nên chỉ
có thể là trạng thái hồn tồn phản đối xứng.
+ Bất biến quay trong không gian spin đồng vị cho các tương tác mạnh.

Các hàm sóng của hạt nhân được xem như là các hàm riêng của Hˆ , và các toán
tử Sˆ được tạo ta từ các đối xứng bên trên phải giao hoán với Hˆ : [ Hˆ , Sˆ ]  0 .
Như vậy Sˆ phải có cùng hàm riêng |  với Hˆ . Tuy nhiên điều này không thật
sự cần thiết đối với trạng thái |  (là các định thức Slater). Trong trường hợp này các
trạng thái |  không phải được xác định từ các Hamiltonian Hˆ mà là từ Hamiltonian
hiệu dụng nên khơng nhất thiết phải có các bất biến của Hˆ .
Hamiltonian của hệ có tính chất đối xứng của các tương tác được sử dụng. Các
hàm thử (định thức Slater) được sử dụng trong các trường trung bình  chỉ là gần
đúng của hàm sóng chính xác  bao gồm tất cả các tương quan. Vì hình thức đơn
giản nên nó thường phá vỡ một số đối xứng quan trọng của Hamiltonian Hˆ như là: bất
biến tịnh tiến, bất biến quay và bất biến chẳn lẽ. Hamitonian của trường tự hợp được
xây dựng trên các hàm sóng thử này do đó hồn tồn khơng giao hốn với các tốn tử
đại diện cho các đối xứng. Hamiltonian này phá vỡ các đối xứng liên quan đến trường
trung bình hạt nhân.
Gọi Hamiltonian Hartree-Fock hˆ là sự giản lượt đơn hạt của Hamiltonian hiệu
dụng Hˆ . Do đó hˆ phụ thuộc vào hàm sóng đơn hạt. Với lực Skyrme, sự phụ thuộc
này được thể hiện qua mật độ  , động năng k và spin J . Nếu chúng ta áp dụng đối
xứng trục và đối xứng gương, những mật độ định xứ này bất biến đối với các toán tử
ˆj z và ˆ . Trong trường hợp này 3 toán tử hˆ, ˆjz và ˆ hình thành một tập hợp các giao

hốn tử. Ta thấy hˆ có dạng ma trận đường chéo theo khối trong đó mỗi khối được đặc
trưng bởi  p với  , p là các giá trị riêng tương ứng ˆj z và ˆ . Do đó việc chéo hóa hˆ


15

được giảm bớt do thực hiện trong từng khối  p . Điều này làm cho việc tính tốn
nhanh hơn nhiều so với việc tính tốn chéo hóa tồn bộ hˆ . Ngược lại, nếu ma trận mật
độ phá vỡ một số đối xứng được sử dụng như là điểm khởi đầu của các lần lặp lại của
việc tính tốn, thì Hamiltonian Hartree-Fock cũng có thể phá vỡ các đối xứng.

Hầu hết các code Hartree-Fock xây dựng với lực Skyrme đối xứng theo nguyên
tắc bảo toàn đối xứng gương qua mặt phẳng xích đạo (đối xứng trái phải). Trong
trường hợp này khối tâm được chọn làm gốc tọa độ.Các mặt phẳng đối xứng có
phương trình z  0 trong trường hợp này hệ quy chiếu gắn liền với hạt nhân. Do đó
tính chẳn lẽ được thể hiện một cách rõ ràng. Nếu chúng ta áp đặt sự đối xứng, chúng ta
giới hạn mình với một số đối xứng nhất định.
Để mô tả các biến dạng bát cực của hạt nhân, chúng tôi đã mở rộng code được
xây dựng trong công trình [10]. Để làm điều này, chúng tơi loại bỏ các tính chất
f ( r, z )  f ( r,  z ) cho bất kỳ hàm f và thay thế các tích phân có dạng 2





0

f ( r, z )dz



bằng  f ( r, z )dz
Điều này tương ứng với việc kết hợp các ma trận nhỏ   và   với tính chẳn lẽ
khác nhau trong ma trận chéo hóa của Hamiltonian Hartree-Fock ( biểu thị một giá
trị riêng của ˆj z ). Chúng ta cũng phải buộc khối tâm trùng với gốc tọa độ. Điều này có
nghĩa là <z>=0 .


16

Chương 2

Các xấp xỉ để nghiên cứu rào phân hạch hạt
nhân
2.1.Xấp xỉ Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS)
Xấp xỉ HF có thể dùng để mô tả rất thành công cấu trúc của các hạt nhân magic
kép. Tuy nhiên, đối với các hạt nhân chẵn-chẵn có lớp vỏ nucleon hóa trị chưa được
lấp đầy thì mẫu cấu trúc hạt nhân nêu trên không thể giải thích được tại sao spin và độ
chẵn lẻ của các hạt nhân này trong trạng thái cơ bản luôn là J g . s  0 . Do đó, ngồi
trường trung bình hạt nhân chắc chắn cịn tồn tại một tương tác đặc biệt sao cho các
nucleon trong lớp vỏ mở nlj của một hạt nhân chẵn-chẵn luôn kết cặp từng đôi với
nhau sao cho spin tổng bằng không. Tương tác này sẽ được thảo luận tiếp dưới đây
như hiệu ứng cặp (pairing effect) để nhấn mạnh sự khác biệt của nó đối với phần
tương tác vNN đã hiện diện trong thế trường trung bình hạt nhân.
Ngồi dữ kiện về spin của các hạt nhân chẵn-chẵn, bằng chứng thực nghiệm
điển hình nhất cho hiệu ứng kết cặp là sự khác biệt rõ ràng trong năng lượng liên kết
của một hạt nhân chẵn-chẵn và một hạt nhân chẵn-lẻ nằm kề. Vì thế mà năng lượng
tách neutron S n hoặc proton S p của các hạt nhân chẵn-chẵn cũng lớn hơn so với các
hạt nhân chẳn-lẻ bên cạnh. Hiệu ứng kết cặp chính là ngun nhân của sự khác biệt
này: do có một lực cặp mỗi đôi nucleon trong cùng một lớp vỏ mở để có spin tổng
bằng khơng, chúng ta cần phải có một năng lượng lớn hơn để tách một nucleon hóa trị
ra khỏi hạt nhân. Cơ sở dữ liệu thực nghiệm của Sn ( p ) cho chúng ta biết rằng cường độ
của lực hút cặp (attractive pairing force) tạo ra một khe năng lượng (energy gap)
khoảng 1 ~ 2 MeV giữa trạng thái cơ bản và mức đơn hạt kích thích đầu tiên trong hạt
nhân chẵn-chẵn.
Hiệu ứng tương tác cặp này tương tự như hiệu ứng cặp hai electron thành một
cặp Cooper (Cooper pair) trong các quá trình siêu dẫn và vì thế lý thuyết siêu dẫn


17

(theory of superconductivity) do John Bardeen, Leon Neil Cooper và John Robert

Schrieffer đưa ra năm 1957 (được gọi ngắn là lý thuyết BCS đã đem lại giải thưởng
Nobel vật lý năm 1972 cho ba tác giả này) được dùng rộng rãi để nghiên cứu hiệu ứng
cặp trong hạt nhân. Trước hết ta viết Hamiltonian và hàm sóng hạt nhân trong biểu
diễn lượng tử hóa thứ cấp
Hˆ  H 0   e j a jma jm

và

jm

   0   a jm | 0

(2.1)

jm

với tổng và tích lấy theo tất cả các trạng thái đơn hạt | nljm | jm đã được lấp đầy bởi
một nucleon. Do tương tác cặp Cooper thường được xét cho một cặp hai nucleon cùng
loại (neutron-neutron hoặc proton-proton pairing), ta ký hiệu theo quy ước BCS chỉ số
trạng thái đơn hạt nljm  i và nlj  m  i . Với sự tồn tại của hiệu ứng cặp, Hamiltonian
trong mẫu BCS phải có thêm một số hạng tương tác cặp Cooper như sau:

1
Hˆ  H 0  Hˆ pair   ei ai ai   viiiiai a i a iai
4 i ,i0
i

(2.2)

Trong mẫu này hàm sóng của một hạt nhân chẵn-chẵn có dạng:

 BCS   (ui  vi ai ai ) | 0

(2.3)

i 0

với ui và vi là các thông số biến phân (variational parameter). Ta có | vi |2 là xác suất
trạng thái cặp | ii  được lấp đầy và | uk |2 là xác suất trạng thái cặp này là rỗng. Sử
dụng hệ thức phản giao hoán của các toán tử sinh và hủy nucleon, ta xác định được
điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng
2
2
 BCS |  BCS    (ui2  vi2 )  1 và ui  vi  1

(2.4)

i 0

Số nucleon trung bình N được xác định từ toán tử số hạt như sau:
 BCS | Nˆ |  BCS    BCS |  (aiai  aiai ) |  BCS   2 vi2
i 0

(2.5)

i 0

Yếu tố ma trận của v pair được gọi là cường độ lực cặp (strength of the pairing
force) và gần bằng nhau đối với các trạng thái với i khác nhau
G  ii | v pair | ii  viiii

(2.6)