Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học toán ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------------------

LÂM THỊ NGỌC DUNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số
: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh-2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------------------

LÂM THỊ NGỌC DUNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

:

Thành phố Hồ Chí Minh-2009

Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Cơng
Khanh, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và đã
cho tơi những ý kiến đóng góp q giá giúp tơi hồn thành luận văn này.
Xin trân trọng cám ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS.
Alain Birebent, PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PSG.TS. Lê Văn Tiến, TS.
Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý Thầy Cơ đã
nhiệt tình và tận tâm khi tham gia giảng dạy lớp cao học chun nghành
Didacdtic Tốn khóa 17.
Xin chân thành cám ơn : Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ
toán trường trung học chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (thành phố Vĩnh long)
đã giúp đỡ và tạo mọi điểu kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn này.
Xin chân thành cám ơn các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 17 đã
ln chia sẻ với tơi những buồn vui và khó khăn trong suốt thời gian học
tập.
Cuối cùng, tơi cũng xin chân thành cám ơn gia đình và những người
thân thiết của tôi đã luôn động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.

Lâm Thị Ngọc Dung


MỞ ĐẦU
II. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài tốn hình học trong sách giáo khoa
Tốn lớp 8 như sau:
“Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều
kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là:
a/ hình chữ nhật
b/ hình thoi

c/ hình vng
Chúng tơi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây:
“Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là
hình bình hành) thì MN  MQ
Mà MN// AC
Mà MQ// BD
Nên AC  BD
Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo AC và BD vng góc
với nhau.”
Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng:
“Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”.
“ Vậy tứ giác MNPQ là hình vng thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng
nhau vừa vng góc với nhau”.
Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong
khi yêu cầu của bài tốn là phải tìm điều kiện cần và đủ. Nói cách khác, học
sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương
ứng hình thoi, hình vng) mà chưa chứng minh được rằng ngồi điều kiện đã


nêu, bài tốn khơng cịn điều kiện nào khác. Vì vậy, học sinh đã nêu ra một
lời giải đúng về mặt kết quả nhưng sai lầm về mặt lập luận.
Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tơi thấy cần thiết phải đặt ra các câu
hỏi sau đây:
- Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở
thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì?
- Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như
thế nào trong sách giáo khoa?
- Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp
thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào?
- Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép

tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có
tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ
thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lơgic như
đã nêu trong phần trên?
III. Phạm vi lí thuyết tham chiếu
Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tơi đặt nghiên cứu
của mình trong lí thuyết didactic tốn, cụ thể là :
 Lí thuyết nhân chủng học didactic
 mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái
 mối quan hệ cá nhân
 các tổ chức toán học
 Khái niệm hợp đồng didactic
IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu


Trong khn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu vừa lựa chọn, chúng tơi
trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép
tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các cơng trình nghiên cứu
đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo
theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng tốn học nào có
ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này?
Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào
trong chương trình và sách giáo khoa Tốn lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung
học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài
tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương
đương có khả năng vận hành tốt nhất?
Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái
niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái
niệm này?

Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên
và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này?
V. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã
nêu ra ở trên.
Để làm được điều đó, chúng tơi tiến hành các nghiên cứu sau đây:
- Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các cơng trình đã được cơng bố
về lịch sử tốn học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép
kéo theo, phép tương đương. Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi
Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở
phần sau.


- Phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam có so sánh, đối
chiếu với sách giáo khoa của Pháp. Đồng thời tiến hành phân tích các
tổ chức tốn học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép
tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4. Từ đó, có thể đưa ra
các giả thuyết nghiên cứu.
- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các
giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối
quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học
sinh.
VI. Tổ chức của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương:
- Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
- Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo
theo, phép tương đương.
- Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo
theo, phép tương đương.
- Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương

đương trong việc giải một số bài tốn hình học tiêu biểu và trong việc
giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở
mẫu và các bài tốn có tham số.
- Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả
thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên.
-

Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và
nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn .


Chương 1.
Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các khái niệm
phép kéo theo, phép tương đương
Chương này phân tích chương trình hiện hành, sách giáo viên, sách giáo
khoa, sách bài tập Toán các lớp 7, 8, 9 để làm rõ mối quan hệ thể chế với các khái
niệm phép kéo theo, phép tương đương và những điều kiện, ràng buộc của thể chế
đối với các khái niệm này. Trong khi phân tích, chúng tơi xem sách giáo viên khơng
những là văn bản chính thức giải thích cho chương trình và sách giáo khoa mà còn
là tài liệu cơ bản có ảnh hưởng lớn đến việc thực hành giảng dạy của giáo viên
trong lớp học.

1.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Tốn
trung học cơ sở
Chương trình Tốn trung học cơ sở không đưa vào các khái niệm Phép kéo
theo, phép tương đương như là hai đối tượng tri thức với đầy đủ tên gọi và định
nghĩa của chúng. Việc này được thực hiện trễ hơn ở trung học phổ thông. Tuy
nhiên, một số yếu tố liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương được đưa dần
vào chương trình trung học cơ sở, bắt đầu từ phân mơn Hình học lớp 7. Tại sao
chương trình lại chọn Hình học thay vì Đại số, chọn lớp 7 thay vì một lớp khác để

đưa vào phép kéo theo, phép tương đương? Chúng tơi sẽ phân tích sự lựa chọn này
trong phần sau.
1.1.1.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Tốn 7
Tiến độ thực hiện chương trình Tốn 7 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy
định như sau:
Học kỳ 1 (72 tiết)
4 tiết x 19 tuần = 76 tiết
Học kỳ 2 (68 tiết)
4 tiết x 18 tuần = 72 tiết

Đại số (42 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30
tiết
3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Đại số (32 tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28

Hình học (34 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết
1tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết
Hình học (40tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28tiết


Cả năm (148 tiết)
4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

tiết
1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết
Đại số (74 tiết)

3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Hình học (74 tiết)

Định lí - bài đầu tiên liên quan đến phép kéo theo - được xếp cuối chương I
(Đường thẳng vng góc. Đường thẳng song song) của phân mơn Hình học, rơi vào
tiết 12, tuần thứ 6 của học kỳ 1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cơ bản, tư duy của
bài học là “biết cấu trúc của một định lí (giả thiết, kết luận), biết thế nào là chứng
minh một định lí, biết đưa một định lí về dạng ‘Nếu... thì...’, làm quen với mệnh đề
lơgic p  q” [2, tr. 102]
Trong chương II (Tam giác), thông qua việc giới thiệu định lí Py-ta-go và
định lí Py-ta-go đảo, chương trình đưa vào các thuật ngữ định lí thuận, định lí đảo
nhằm “giúp học sinh biết quan hệ thuận, đảo của hai mệnh đề và hiểu rằng có
những định lí khơng có định lí đảo” [2, tr.133]. Đa số định lí trong chương II được
thừa nhận trong khi hầu hết các định lí trong chương III (Quan hệ giữa các yếu tố
của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác) được chứng minh để học sinh
quen dần với phép chứng minh toán học. Tuy nhiên, chứng minh phản chứng và
một số chứng minh phức tạp không được đưa vào chương trình. Như vậy, chương
trình Tốn 7 chưa sử dụng phép chứng minh phản chứng như là một kỹ thuật để
giải quyết cho kiểu nhiệm vu

“Chứng minh một mệnh đề tốn học” Có sự thiếu

vắng yếu tố cơng nghệ nào khiến kỹ thuật này không thể vận hành?. Điều này ảnh
hưởng thế nào đến các bài toán chứng minh trong phần bài tập? Chúng tôi sẽ cố
gắng trả lời câu hỏi này khi phân tích sách giáo khoa.
Tóm lại, thơng qua các khái niệm định lí, định lí thuận, định lí đảo,
chương trình Tốn 7 tìm cách đưa vào một số yếu tố ban đầu của phép kéo
theo, phép tương đương trong điều kiện không đề cập đến các thuật ngữ liên
quan. Sự xuất hiện của các khái niệm này tạo ra một yếu tố công nghệ mới

giúp nosphere tạo ra sự nối khớp giữa hình học trực quan của hình học lớp 6
và hình học suy diễn của hình học lớp 7, giúp học sinh rèn luyện năng lực tư
duy. Còn tại sao nosphere lại lựa chọn cách tiếp cận thơng qua chương trình hình


học mà không phải là đại số? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi bắt buộc phải quan
tâm đến đặc trưng khoa học luận của các khái niệm này.
1.1.2.1Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Tốn 8
Tiến độ thực hiện chương trình Tốn 8 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy
định như sau:
Học kỳ 1 (72 tiết)
4 tiết x 19 tuần = 76 tiết
Học kỳ 2 (68 tiết)
4 tiết x 18 tuần = 72 tiết
Cả năm (148 tiết)
4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Đại số (42 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30
tiết
3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Đại số (32 tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28
tiết
1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết
Đại số (74 tiết)

Hình học (34 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết
1 tiết x 4 tuần cuối = 4tiết

Hình học (40tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết
3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Hình học (74 tiết)

Phần hình học, trong chương I: Tứ giác, mục tiêu của chương là “ rèn luyện kỹ
năng lậpluận và chứng minh hình học do đó, hầu hết các định lí trong chương được
chứng minh hoặc gợi ý chứng minh” [4, tr.93].
Trong chương này, chúng tơi cịn thấy xuất hiện một kiểu nhiệm vụ mới” dựng
hình” thơng qua cấu trúc logic của bài tốn dựng hình:” Dựng hình H có tính chất
 ”như sau:

-

Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất


-

Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và
các bài tốn dựng hình cơ bản).

-

Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H )

-

Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài tốn.

Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo khơng
dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo khơng dựng thừa hình) của
hình phải dựng”. Như vậy, thơng qua bài tốn dựng hình , sách giáo viên có giới
thiệu các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ. Chúng tơi đặt câu hỏi có phải


đây là hai phần thuận và đảo của một vấn đề mà giáo viên cần phải làm rõ khi dạy
học khái niệm này?.Việc “giảm tải” cho học sinh trình bày phần phân tích và biện
luận trong bài làm nói lên mối ràng buộc nào của thể chế khi dạy học khái niệm
này? (có phài là hình ln dựng được và khi đó, chỉ có một nghiệm hình…). Những
câu hỏi này là những định hướng cho chúng tôi khi đi vào phân tích sách giáo khoa
hình học lớp 8.
Sự xuất hiện của định lí Thales thuận , định lí Thales đảo trong chương II
:Tam giác đồng dạng, cùng với ghi nhận trong sách giáo viên “Chỉ cần cho học
sinh tiếp cận với định lí bằng cách nhận xét trên hình vẽ rồi rút ra các cặp tỉ số bằng
nhau, rồi cho học sinh thừa nhận định lí vì cách chứng minh dài dịng và phức tạp…
Đây khơng phải là chứng minh định lí mà chỉ cho học sinh tiếp cận dần với định
lí.” [4, tr.67-69] cho phép chúng tơi kết luận kỹ thuật chứng minh bằng phản
chứng vẫn chưa được sử dụng ở năm lớp 8. Như vậy, phải chăng trong chương
trình lớp 8, nosphere vẫn chưa giới thiệu yếu tố công nghệ cho phép kỹ thuật chứng
minh bằng phản chứng xuất hiện và vận hành cùng với kỹ thuật chứng minh trực
tiếp đã giới thiệu ở năm lớp 7?
Chuyển sang phần đại số, “Trong chương trình, có nêu định nghĩa hai
phương trình, bất phương trình tương đương nhưng khơng đưa vào các định lí về
các phép biến đổi tương đương mà chỉ giới thiệu các phép biến đổi tương đương
một số dạng phương trình cụ thể. “Lần đầu tiên, kí hiệu “  ” được sử dụng để chỉ
sự tương đương của hai phương trình, bất phương trình. Giáo viên cần lưu ý cho
học sinh khơng dùng kí hiệu này một cách tùy tiện: “Biết dùng đúng chỗ, đúng lúc
kí hiệu “  ” [4, tr.3, tr.53].
Như vậy, cùng với khái niệm phương trình, bất phương trình tương đương,

học sinh còn được tiếp cận với phép biến đổi tương đương và kí hiệu”  ” được
xem là hai cơng cụ chủ yếu của kỹ thuật giải các phương trình trong đại số. Đến
đây, chúng tơi đặt ra câu hỏi: có những ràng buộc nào của thể chế được đặt ra ở đây,
khi sách giáo viên không đưa vào đầy đủ yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ


thuật giải phương trình, bất phương trình? mà vẫn đảm bảo kỹ thuật này vận hành
tốt nhất?
Việc đề nghị giáo viên lưu ý học sinh sử dụng kí hiệu ”  ” này một cách
hết sức cẩn trọng phải chăng là lưu ý có một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn nào đó,
giữa giáo viên và học sinh khi dạy học khái niệm này? Đây là những câu hỏi giúp
chúng tơi định hướng khi phân tích chương trình lớp 8
1.1.3.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Tốn 9
Tiến độ thực hiện chương trình Tốn 9 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy
định như sau:
Học kỳ 1 (72 tiết)
4 tiết x 19 tuần = 76 tiết
Học kỳ 2 (68 tiết)
4 tiết x 18 tuần = 72 tiết
Cả năm (148 tiết)
4 tiết x 37 tuần = 148 tiết

Đại số (42 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30
tiết
3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Đại số (32 tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28
tiết
1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết

Đại số (74 tiết)

Hình học (34 tiết)
2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết
1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết
Hình học (40tiết)
2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết
3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết
Hình học (74 tiết)

Về kỹ năng, “ yêu cầu về chứng minh định lí được nâng cao hơn so với các
lớp dưới, nhiều định lí được chứng minh đầy đủ” [6, tr.121].
Giải thích cho nhận định trên, chúng tơi ghi nhận so với chương trình lớp 8, chương
trình lớp 9 có mật độ xuất hiện các định lí thuận và định lí đảo dày đặc hơn. Một vài
chứng minh, sách giáo khoa có trình bày bằng phương pháp phản chứng (ở
chương II: Đường tròn , bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn,
cách xác định đường trịn…) mà khơng thừa nhận như ở lớp 7 và lớp 8.Như vậy,
sách giáo khoa đã bổ sung yếu tố công nghệ nào để kỹ thuật nảy có thể vận hành?
Nó được trình bày ra sao? câu hỏi này sẽ được chúng tôi trả lời khi phân tích sách
giáo khoa .
Chương III: Góc với đường trịn, ở bài cung chứa góc , học sinh tiếp cận
với bài tốn quỹ tích thơng qua bài tốn quỹ tích “ cung chứa góc”.Sách giáo viên
có đề nghị lời giải một bài tốn quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luận


Thuật ngữ “điều kiện ắt có và điều kiện đủ” được giới thiệu trong Sách giáo viên
ở bài tứ giác nội tiếp nhằm giới thiệu cho học sinh điều kiện để tứ giác nội tiếp
(điều kiện ắt có và điều kiện đủ). Tuy nhiên,” sách giáo khoa chưa sử dụng cụm từ
“điều kiện ắt có và đủ” [6, tr.106].
Như vậy, trong chương trình lớp 9

-

Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ.

-

Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho
học sinh.

Qua phân tích chương trình các lớp 7, 8, 9, chúng tơi nhận thấy so với chương
trình trung học phổ thông, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa
vào một cách không đầy đủ , nhiều tính chất, đặc trưng quan trọng của phép kéo
theo và phép tương đương cũng không được nêu rõ ràng trong cả sách giáo viên và
sách giáo khoa. Chính sự thiếu vắng các yếu tố cơng nghệ- lí thuyết này đã làm hạn
chế nhiều việc giảng dạy khái niệm này ở trung học cơ sở.
Nhằm có thể tìm kiếm câu trả lời cho một loạt các câu hỏi đã nêu ra và minh chứng
cho những điều ghi nhận ở trên chúng tơi xin được đi vào phân tích sách giáo khoa
1.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa
1.2.1. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa
Tốn 7
.

Ở chương I: Đường thẳng vng góc- Đường thẳng song song, bài Định

lí, sách giáo khoa Tốn 7, tập 1, tr99-100, có ghi:
Định lí
-

Tính chất “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng khơng
phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận. Một tính chất như thế là một định

lí. Ta có thể hiểu: Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định
được coi là đúng.


-

Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”, phần nằm giữa từ
“Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết (GT), phần sau từ “thì” là phần kết luận
(KL).
Chứng minh định lí
Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận.

Sau đó, , sách giáo khoa giới thiệu chứng minh một định lí
Ví dụ: Chứng minh định lí:
Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vng.
Giải (h.35)
GT

xƠz và zƠy kề bù
Om là tia phân giác của xOz
On là tia phân giác của zOy
mÔn = 900

KL
chứng minh
mƠz =

1
xƠz
2

(1)

(vì Om là tia phân giác của xƠz)

zƠn =

1
zƠy
2

(2)

(vì On là tia phân giác của zƠy)

Từ (1) và (2) ta có :
mƠz+ zƠn=

1
. (xƠz+ zƠy).
2

(3)

Vì tia OZ nằm giữa tia Om, On và vì xƠz và zƠy kề bù (theo giả thiết).
nên từ (3) ta có mƠn =
Vậy

mƠn = 900

1
×1800
2


z

m

n

x

O

y

(h.35)
Qua trình bày của sách giáo khoa , ta nhận thấy thể hiện ngầm ẩn quy tắc hợp
đồng sau:
“ chứng minh một mệnh đề là :
-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,
- nối chúng lại bằng các liên từ :…ta có, vì… nên, suy ra…”
Qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép kéo theo được giới thiệu
thơng qua định lí được viết dưới dạng “ Nếu … thì…” và học sinh ghi nhận
thơng qua các ví dụ cụ thể. Một chú ý là sách giáo khoa khơng giới thiệu kí hiệu
“  ” khi nói về phép kéo theo nhưng trong các phần chứng minh về sau thì kí hiệu
này được sử dụng rất phổ biến, nhằm tạo ra sự nối khớp giữa các suy luận trong
chứng minh. Phải chăng sách giáo khoa ngầm quy ước việc giới thiệu kí hiệu này
thuộc về trách nhiệm của giáo viên?

Chương II: Tam giác, trước bài Định lí Py- ta- go, trong phần bài đọc
thêm, tr 128, sách giáo khoa có ghi:
GT và KL của định lí 1 và dịnh lí 2 ở tr 126 có thể viết như sau:
GT

ĐỊNH LÍ 1

ĐỊNH LÍ 2

 ABC

 ABC

AB=AC
KL

Bˆ  Cˆ

Bˆ  Cˆ

AB=AC


Ta thấy, Bˆ  Cˆ là GT của định lí 2 nhưng là KL của định lí 1.AB=AC là KL
của định lí 2 nhưng là GT của định lí 1. Nếu gọi định lí 1 là định lí thuận thì
định lí 2 là định lí đảo.
Ta có thể viết gộp hai định lí 1 và 2 như sau:
Với mọi  ABC: AB=AC  Bˆ  Cˆ
Kí hiệu “  ” đọc là khi và chỉ khi.
Nếu có X  Y và có Y  X thì ta có thể viết X  Y

Sau đó, sách giáo khoa có đưa một số ví dụ về định lí thuận và định lí đảo
Ví dụ: xét hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ ba.
Định lí thuận: Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song
song.
Định lí đảo: Nếu hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng
nhau.
Chú ý rằng khơng phải định lí nào cũng có định lí đảo.
Chẳng hạn với định lí : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, câu phát biểu đảo :
Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh khơng đúng, nó khơng phải là một định lí.
Vậy làm thế nào để giải thích cho nhận định « Hai góc bằng nhau thì đối
đỉnh » là khơng đúng, sách giáo viên có ghi rõ : « Để chứng tỏ một mệnh đề tốn
học là sai, ta bác bỏ nó. Cách bác bỏ thơng dụng là dùng phản ví dụ, là một tình
huống thỏa mãn giả thiết nhưng khơng thỏa mãn kết luận ».[1, tr. 103].
Qua phần trình bày trên, sách giáo khoa đã cho HS tiếp cận với một tính chất
quan trọng của phép kéo theo, là khơng có tính giao hoán đồng thời giới thiệu
cho học sinh một kỹ thuật giải quyết cho kiểu nhiệm vụ « Giải thích một mệnh
đề tốn học là sai » bằng bác bỏ thơng qua phản ví dụ.
Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu Bài Định lí Py- ta- go cho HS bao gồm
định lí Py- ta- go và định lí Py- ta- go đảo.
Định lí Py- ta- go được giới thiệu thơng qua hai hoạt động :
-

HĐ 1 : Vẽ một tam giác vng có các cạnh góc vng bằng 3cm và 4cm. Đo
độ dài cạnh huyền.


-

HĐ 2 : Gấp hình để rút ra nhận xét về quan hệ giữa c2, a2 + b2

Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go :
Trong một tam giác vng, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình
phương của hai cạnh góc vng.
C

B

A

 ABC vng tại A  BC 2  AB 2  AC 2

Định lí Py- ta- go đảo được giới thiệu thơng qua hoạt động
HĐ : Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Hãy dùng thước đo
góc để xác định số đo của góc BAC.
Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu định lí Py- ta- go đảo :
Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương
của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vng.
∆ABC ,BC 2 = AB 2 + BC 2  ∆ABC vuông tại A
Như vậy, phép tương đương được tiếp cận trong sach1 giáo khoa lớp 7
thơng qua định lí thuận và định lí đảo, được giới thiệu cho học sinh bằng các ví
dụ cụ thể và được kí hiệu bằng dấu «  ” .
Ở chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng
quy trong tam giác, ở bài Tính chất tia phân giác của một góc có giới thiệu hai
định lí sau:
Định lí 1 (định lí thuận)
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Chứng minh: (h. 29)


x

A
M
O

z

B
y

hình 29
Hai tam giác vng MOA và MOB có:
-

Cạnh huyền OM chung,

-

MƠA = MƠB (theo giả thiết).

Do đó, ∆MOA = ∆MOB (cạnh huyền, góc nhọn), suy ra MA = MB.
Định lí 2 (định lí đảo)
Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia
phân giác của góc đó.
Hướng dẫn chứng minh: (h.30)
x

A
M
O

B
y

hình 30
-

Kẻ tia OM.

-

Chứng minh hai tam giác MOA và MOB bằng nhau.

Từ đó suy ra MƠA = MƠB hay OM là tia phân giác của góc xOy


Nhận xét: Từ định lí 1 và định lí 2, ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một
góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.
Sau đó, sách bài tập lớp 7 có đưa vào bài tốn “ Cho hai đường thẳng AB và CD
cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD”. [10,
tr.29]
Như vậy, ở lớp 7, chúng tơi ghi nhận có một kiểu nhiệm vụ mới xuất hiện có
liên quan đến định lí thuận và định lí đảo. Đó là kiểu nhiệm vụ”Tìm tập hợp các
điểm có tính chất nào đó” mà kỹ thuật để giải quyết là chứng minh hai phần
thuận và đảo, như minh họa của sách giáo khoa .
Chương III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy
trong tam giác, các định lí đảo xuất hiện nhiều hơn so với chương II, và các định lí
này được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh.Tuy nhiên, chúng tơi ghi nhận có vài
định lí được thừa nhận mà khơng chứng minh, ví dụ: định lí:”Trong một tam giác,
cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” mà ta có thể chứng minh bằng phản

chứng dựa vào định lí 1 và tính chất của tam giác cân. Chính việc khơng đưa vào
khái niệm mệnh đề phản đảo của một mệnh đề và chỉ ra sự tương đương của
mệnh đề và mệnh đề phản đảo của nó, trong chương trình sách giáo khoa lớp 7,
mà phép chứng minh phản chứng đã không thể vận hành.
1.2.1 a. Bảng thống kê các định lí và định lí đảo được chứng minh hoặc
thừa nhận trong chương II và III, sách giáo khoa hình học 7
Chương

Số dịnh lí

Số địnhlí đảo

Chứng minh

Thừa nhận

II

11

02

08 (61,54)

05(38,46)

III

09

04

10 (76,92)

03 (23,07)

Các kiểu nhiệm vụ trong chương II và III trong sách giáo khoa và sách bài
tập Tốn lớp 7
T1 : Chứng minh định lí

τ1a: Chứng minh trực tiếp
τ1b: Chứng minh bằng phản chứng


τ1c: Chứng minh bằng quy nạp
θ1: Định nghĩa phép kéo theo
Ví dụ: Bài tập 43 , SBT ớp 7, t.1, tr. 80
Hãy chứng minh định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì
hai góc đồng vị bằng nhau.
T11 : Sắp xếp các câu hợp lí để giải bài tốn

Ví dụ : Bài tập 18,SGK lớp 7, t.1, tr. 114
Xét bài tốn : « ∆AMB và ∆ANB có MA = MB, NA = NB. Chứng minh rằng góc
AMN = góc BMN. »
Hãy sắp bốn câu sau đây một cách hợp lí để giải bài tốn trên :
a) Do đó, ∆AMN = ∆BMN

(c.c.c)

b) MN: cạnh chung.

MA = MB

(giả thiết)

NA = NB

(giả thiết)

c) Suy ra, A Mˆ N = B Mˆ N (hai góc tương ứng)
d) ∆AMN và ∆BMN có:
M

N
B

A

hình 71
Mục đích của bài tập này là “ giúp học sinh biết cách trình bày một bài tốn chứng
minh hình học, ở một số bài tập trong sách giáo khoa có trình bày lời giải chi tiết
(nhưng chưa sắp xếp đúng trình tự, yêu cầu học sinh sắp xếp lại cho đúng). Giáo


viên và học sinh có thể tham khảo cách trình bày đó để trình bày lời giải bài tốn
chứng minh được gọn gàng và đầy đủ” [2, tr. 113]. Phần trình bày này, càng làm
rõ quy tắc hợp đồng sau:
“ chứng minh một mệnh đề là :
-nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó,
- nối chúng lại bằng các liên từ (từ…ta có, vì… nên, suy ra…)”
T2 : Giải thích một mệnh đề toán học là đúng hay sai

τ2a: Chứng minh trực tiếp
τ2b: Bác bỏ bằng phản ví dụ
θ1: Định nghĩa phép kéo theo
Ví dụ: Bài tập 6 SGK lớp 7, t.2, tr 87
Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác. Đúng hay sai? Tại
sao?

T31 : Vẽ hình ( nêu cách vẽ hình H) là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3
« Dựng hình H có tính chất α » mà chúng tơi sẽ phân tích ở chương trình lớp 8.
τ31 : Cách dựng : Nêu tuần tự các bước dựng hình và thể hiện các nét dựng trên hình
vẽ.
Ví dụ : Bài tập 24 SGK lớp 7, t.1, tr. 118
Vẽ tam giác ABC biết Aˆ = 900, AB = AC = 3cm. Sau đó, đo các góc B và C
T4: Tìm tập hợp điểm có tính chất α
τ4 : Chứng minh phần thuận
Ví dụ : Bài tập 43 SBT lớp 7, t. 2, tr.29
Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai
đường thẳng AB và CD.


1.2.1.b. Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ của chương II và III trong
sách giáo khoa và Sách bài tập lớp 7
T11

T1
SGK SBT
II

T2

T31

SGK SBT SGK SBT SGK SBT
1/58 6/33

6/58

T4
SGK SBT

20/33 51/58 2/33

0

4/33

0

0

60.61 87.93 6.06

0

12.12 1.73 18.18 10.34 0

0

III 33/43

46/53 0

0

7/43

2/53 3/43

3/53

0

2/53

76.74

86.79 0

0

16.28 3.77 6.98

5.67

0

3.77

Như vậy, trong chương trình lớp 7:

- Học sinh tiếp cận với khái niệm phép kéo theo và phép tương đương thơng
qua các thuật ngữ định lí, định lí thuận, định lí đảo, hệ quả..
- Sách giáo khoa có nói đến một đặc trưng của phép kéo theo là khơng có
tính giao hốn nhưng ngầm ẩn thơng qua các định lí khơng có định lí đảo.
- Sách giáo khoa có nói đến hai kỹ thuật chứng minh: chứng minh trực
tiếp( hoặc bác bỏ) và chứng minh bằng phản chứng, nhưng chỉ vận hành kỹ
thuật chứng minh trực tiếp.
1.2.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa
Tốn 8
Trong phần hình học, chương I: Tứ giác, có giới thiệu định nghĩa, tính chất
và các dấu hiệu nhận biết các loại tứ giác đặc biệt như: hình thang cân (sau khi giới
thiệu hình thang), hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vng. Vì cách
trình bày của SGK khi dạy học các khái niệm này là tương tự nhau nên chúng tơi
chỉ lược trích một bài làm ví dụ để phân tích, chẳng hạn, bài hình vuông.[3, tr.107109]
Bài này được giới thiệu ngay sau khi học sinh học xong bài hình chữ nhật và hình
thoi.
1. Định nghĩa:


Tứ giác ABCD trên hình 104 có Aˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ và AB = BC = CD = DA là một
hình vng.
Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và có bốn cạnh bằng nhau.

 Aˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ
 AB  BC  CD  DA

Tứ giác ABCD là hình vng  

Từ định nghĩa hình vng, ta suy ra:
-

Hình vng là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.

-

Hình vng là hình thoi có bốn góc vng.

Như vậy, hình vng vừa là hình chữ nhật , vừa là hình thoi.
A

B

D

C

Xuất phát từ nhận xét trên, SGK suy ra tính chất của hình vng.
2.Tính chất
Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
Như vậy, các dấu hiệu nhận biết một hình vng cũng chính là dấu hiệu nhận
biết hình chữ nhật và hình thoi mà học sinh đã được giới thiệu trong các bài học
trước. Cụ thể:
3.Dấu hiệu nhận biết
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vng.
2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau là hình vng.
3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình
vng.
4. Hình thoi có một góc vng là hình vng.
5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vng.
Đến đây thì giáo viên có thể đề nghị học sinh tự chứng minh các dấu hiệu nhận

biết trên.


Cuối cúng, sách giáo khoa có nêu nhận xét sau:
Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vng.
Tuy nhiên, trong phần bài tập, sách giáo khoa có đưa ra một số bài tập có liên
quan đến việc tìm điều kiện để một tứ giác trở thành tứ giác đặc biệt, ví dụ bài 88,
SGK tốn 8, t.1, tr.111
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Các đường chéo AC, BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EFGH là :
a) Hình chữ nhật?

b) Hình thoi?

c) Hình vng?

Chúng tơi ghi nhận lời giải sau đây trong SGV tốn 8, t.1, tr. 153
Học sinh đã được giao về nhà làm bài này. Trước hết cho học sinh chứng minh:
EFGH là hình bình hành, các cạnh của hình bình hành EFGH song song và bằng
nửa các đường chéo của tứ giác ABCD. Sau đó, gọi HS trả lời các câu hỏi a), b), c)
của bài 88.
a) Hình bình hành EFGH là hình chữ nhật  EH  EF  AC  BD (vì EH
// BD, EF //AC).
Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD vng góc với nhau.
b) Hình bình hành EFGH là hình thoi  EF = EH  AC = BD (vì EF =
AC, EH =

1
2

1
BD).
2

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau.
 AC  BD
 AC  BD

c) Hình bình hành EFGH là hình vng  

Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC và BD bằng nhau và vng góc với
nhau..
Qua phần trình bày của sách giáo viên, chúng tơi ghi nhận lời giải mong đợi
là học sinh tìm được điều kiện cần và đủ (sách giáo viên sử dụng kí hiệu “  ”) để
hình bình hành EFGH trở thành các tứ giác đặc biệt như hình chữ nhật, hình thoi,
hình vng. Tuy nhiên, trong phần bài học, chúng tơi khơng tìm thấy thuật ngữ này
được đưa vào và sử dụng trong sách giáo khoa. Phải chăng có một sự quy ước ngầm


ẩn của sách giáo khoa khi nói về thuật ngữ này “  ”được hiểu là điều kiện cần và
đủ (hay khi và chỉ khi)?
Tiếp theo, nhằm hệ thống lại các bài tốn dựng hình được giới thiệu rải rác
trong phần lí thuyết và bài tập ở lớp 6, lớp 7, sách giáo khoa lớp 8 giới thiệu bài
Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang, SGV Tốn 8, t.1, tr.116 có
nêu: “Ở tốn dựng hình, những hình cho trước coi là dựng được, việc dựng hình
dựa trên các phép dựng hình cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản.”
Giải bài tốn dựng hình là chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản và các
bài tốn dựng hình cơ bản, rồi chứng tỏ rằng hình dựng được có đủ các tính chất
mà bài tốn địi hỏi.”
Sau đó, sách giáo khoa giới thiệu bài tốn dựng hình thang sau:

3. Dựng hình thang
Ví dụ: Dựng hình thang ABCD biết đáy AB = 3cm, đáy CD = 4cm, cạnh bên AD =
2cm, Dˆ = 700
a) Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Tam giác
ACD dựng được vì biết hai cạnh và góc xen giữa. Điểm B phải thỏa mãn hai điều
kiện:
-

B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

-

B cách A một khoảng 3cm nên nằm trên đường trịn tâm A bán kính 3cm.

b) Cách dựng
- Dựng ∆ACD có Dˆ = 700, DC = 4cm, DA = 2cm.
- Dựng tia Ax song song với DC (tia Ax và điểm C nằm trong cùng một nửa mặt
phẳng bờ AD).
- Dựng điểm B trên tia Ax sao cho AB = 3cm. Kẻ đoạn thẳng BC.
c) Chứng minh
Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD
Hình thang ABCD có CD = 4cm, D = 700, AD = 2cm, AB = 3cm nên thỏa mãn yêu
cầu của bài toán.