22de thi HSG toan 8 co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI SỐ 1 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2;. b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).. Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức :. 2x 4x2 2 x x 2  3x A (  2  ):( ) 2 x x  4 2 x 2 x 2  x3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. a b c x y z x2 y 2 z 2   0   1  2  2 1 2 Cho a b c và x y z . Chứng minh rằng : a b c .. b). Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài 1 a 2. 2. 3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1). b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1). 1. Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 2: a. 5,0 3,0 ĐKXĐ : 2  x 0  2  x  4 0   2  x 0  x 2  3 x 0  2 x 2  x3 0.  x 0   x 2   x 3. 1,0. 2  x 4x2 2 x x 2  3x (2  x) 2  4 x 2  (2  x) 2 x 2 (2  x ) A (   ):( ) .  2  x x 2  4 2  x 2 x 2  x3 (2  x )(2  x ) x ( x  3) 4 x2  8x x(2  x) .  (2  x)(2  x) x  3. 0,5. 4 x ( x  2) x (2  x ) 4x2  (2  x)(2  x)( x  3) x  3. 0,25. . Vậy với x 0, x 2, x 3 thì. 1,0. A. 4x 2 x 3 .. 0,25. b. 1,0 2. Với. x 0, x 3, x 2 : A  0 . 4x 0 x 3.  x 30  x  3(TMDKXD). 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0. Vậy với x > 3 thì A > 0. c  x  7 4 x  7 4    x  7  4  x 11(TMDKXD )   x 3( KTMDKXD ). 0,5 0,25. 121 Với x = 11 thì A = 2. 0,25. Bài 3 a. 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 2. 2. 2. Do : ( x  1) 0; ( y  3) 0;( z 1) 0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). b Từ :. a b c ayz+bxz+cxy   0  0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = 0 2. 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x y z x y z   1  (   ) 2 1 a b c a b c. Ta có :. 0,5. x2 y2 z 2 xy xz yz  2  2  2(   ) 1 2 a b c ab ac bc 2 2 2 x y z cxy  bxz  ayz  2  2  2 2 1 a b c abc x2 y 2 z 2  2  2  2 1(dfcm) a b c. 0,5. . 0,5 0,25. Bài 4. 6,0 H. C. B. 0,25. F O E. A. D. K. a Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g  c  g ) => BE = DF Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. b . . . . Ta có: ABC  ADC  HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g  g ) . CH CK   CH .CD CK .CB CB CD. b,. 0,5 1,75 0,25. Chứng minh : AFD AKC ( g  g ) AF AK    AD. AK AF . AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g  g ) . 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0. 0,25 0,25. CF AH  CD AC. 0,25 . CF AH   AB. AH CF . AC AB AC. Mà : CD = AB Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 3. 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ĐỀ SỐ 2 Câu1. a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:. x4  4  x  2   x  3   x  4   x  5   24 4. b. Giải phương trình: x  30x. 2.  31x  30  0. a b c a2 b2 c2   1   0 c. Cho b  c c  a a  b . Chứng minh rằng: b  c c  a a  b. Câu2.. 2 1   10  x 2   x A  2    :x  2  x 2   x  4 2  x x 2   . Cho biểu thức:. a. Rút gọn biểu thức A.. 1 b. Tính giá trị của A , Biết x = 2 . c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME  AB, MF  AD. a. Chứng minh: DE CF b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy. c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Câu 4.. 1 1 1   9 a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a b c b. Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8. Câu Câu 1 (6 điểm). Đáp án 4. 4. 2. Điểm. 2. a. x + 4 = x + 4x + 4 - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b. x  30x. 4. 2. . .  31x  30  0 <=> 2 x  x  1  x  5  x  6  0. 1 3 Vì x2 - x + 1 = (x - 2 )2 + 4 > 0. x.  (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0. 4. (2 điểm) (2 điểm). (*).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8.  x  5 0  x 5  x  6 0   x  6    a b c   1 c. Nhân cả 2 vế của: b  c c  a a  b với a + b + c; rút gọn  đpcm. (2 điểm) 2. Câu 2 (6 điểm). 2 1   10  x   x A  2   : x  2    x  4 2 x x2  x2   Biểu thức: 1 A x 2 a. Rút gọn được kq: 1 1 1 x   x x 2 2 hoặc 2 b. 4 4 A 3 hoặc 5 c. A  0  x  2 1 AZ   Z ...  x   1;3 x  2 d.  A. (1.5 điểm). (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm). HV + GT + KL. (1 điểm). Câu 3 (6 điểm). AE FM DF  AED DFC  đpcm b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm a. Chứng minh:. (2 điểm) (2 điểm). c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi  ME  MF a không đổi. Câu 4: (2 điểm).  S AEMF ME.MF lớn nhất  ME MF (AEMF là hình vuông)  M là trung điểm của BD. b c 1  a 1  a  a  a c 1  1   b b b a b 1  c 1  c  c a. Từ: a + b + c = 1   5. (1 điểm) (1 điểm).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8. 1 1 1  a b a c b c   3             a b c b a c a  c b 3  2  2  2 9 1 Dấu bằng xảy ra  a = b = c = 3 . b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002  (a+ b) – ab = 1  (a – 1).(b – 1) = 0  a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2. (1 điểm). §Ò thi SỐ 3 3. C©u 1 : (2 ®iÓm). Cho. P=. 2. a − 4 a −a+ 4 3 2 a − 7 a +14 a− 8. a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . C©u 3 : (2 ®iÓm) 1 1 1 1 + 2 + 2 = 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :. A=. 2. a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c. C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : 2. a) BD.CE= BC 4 b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi . đáp án đề thi học sinh giỏi C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 3 2 3 2 a -7a + 14a - 8 =( a -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4). 0,5. Nªu §KX§ : a 1; a≠ 2 ; a ≠ 4 Rót gän P= b) (0,5®) P=. 0,25. a+1 a− 2. 0,25. a− 2+3 3 =1+ a−2 a −2. ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,. mµ ¦(3)= { −1 ; 1; − 3 ;3 }. 0,25. Từ đó tìm đợc a { −1 ; 3 ; 5 } C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .. 0,25 0,25. Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [( a2 +2 ab+b2 )− 3 ab ] = 2. a+b ¿ − 3 ab ¿ ¿ V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; =(a+b). 0,5. a+b ¿ 2 − 3 ab Do vËy (a+b) chia hÕt cho 9 ¿ ¿ b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nªn P=(x2+5x)2-36 -36 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm đợc x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x ≠ − 4 ; x ≠ −5 ; x ≠ − 6 ; x ≠ −7 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : ¿ 1 1 1 1 + + = (x+ 4)( x +5) ( x+5)( x +6) ( x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x +5 x +5 x +6 x+ 6 x +7 18. 0,25 0,5 0,25 0,25. 0,25 0,25. 1 1 1 − = x + 4 x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0. 0,25. 0,25. y+z x+ z x+ y ; ; b= ; c= 2 2 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z Thay vào ta đợc A= + + = ( + )+( + )+( + ) 2x 2 y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A (2+2+2) hay A 3 2 Từ đó suy ra a=. [. 7. 0,5. ]. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> C©u 4 : (3 ®) a) (1®) Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^ M 2 =600 nªn ta cã. V×. Suy ra. :. ^ M 3=1200 − ^ M1. Δ BMD. BD CM = BM CE. V× BM=CM=. BC 2. b) (1®) Tõ (1) suy ra. Chøng minh Từ đó suy ra. y. A. ^ D 1= ^ M3. Chøng minh Suy ra. 0 ^ ^1 D1=120 − M. ∾ Δ CEM. (1). x. , từ đó BD.CE=BM.CM. D 1. , nªn ta cã BD MD = CM EM. 0,5. E. 2 BD.CE= BC 4. B. 2 1. 2 3. C. M. 0,5. mµ BM=CM nªn ta cã. BD MD = BM EM Δ BMD ∾ Δ MED ^ D 1= ^ D 2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE. Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. C©u 5 : (1®) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) ĐỀ THI SỐ 4 Câu1( 2 đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A  a  1  a  3  a  5   a  7   15. Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:.  x  a   x  10   1 8. 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên 4 3 Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x  3x  ax  b chia hết cho đa 2 thức B ( x)  x  3 x  4. Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và phân giác Hy của góc AHC. Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy. Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng P. 1 1 1 1  2  4  ...  1 2 2 3 4 1002 Đáp án và biểu điểm. Câu 1 2đ. Đáp án A  a  1  a  3  a  5   a  7   15. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ.  a 2  8a  7 a 2  8a  15  15.   a  a  a. . . 2. 2.  8a  22 a 2  8a  120. 2.  8a  11  1. . . . 2.   8a  12   a  a  2   a  6   a 2 2đ. Biểu điểm. 2. Giả sử:. 2.   8a  10 .  8a  10. 2.  x  a   x  10   1  x  m   x  n  ; (m, n  Z )  x 2   a  10  x  10a  1  x 2   m  n  x  mn . . m  n a 10 m. n 10 a 1. Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + 1  mn  10m  10n  100 1  m(n  10)  10n  10) 1. . 3 1đ. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ. . m  10 1 v m  10  1 vì m,n nguyên ta có: n  101 n 10 1 suy ra a = 12 hoặc a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 a  30 3  ba 4 Để A( x )B ( x ) thì b 40. . 0,5 đ 0,5 đ. . 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 4 3đ 0,25 đ. 5 2đ. Tứ giác ADHE là hình vuông    Hx là phân giác của góc AHB ; Hy phân giác của góc AHC mà AHB  và AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc    Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900 Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1) 0  AHD  AHB  90 450 2 2 0  AHE  AHC  90 450 2 2   Do  AHD  AHE  Hay HA là phân giác DHE (2) Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông 1 1 1 1 P  2  2  4  ...  2 3 4 1002 1 1 1 1     ...  2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1     ...  1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1     ...   2 2 3 99 100 1 99 1   1 100 100. ĐỀ THI SỐ 5. Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) 1. 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Giải phương trình: x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23 . Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: 2 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010 .  2009  x . 2.   2009  x   x  2010    x  2010 . 2. 19  49. .. Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A. 2010x  2680 x2 1 .. Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao       cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .   a) Chứng minh rằng: BDF BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a).   x  y  z  3  x 3    y3  z3     (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 =  =.  y  z    x  y  z . 2.   x  y  z  x  x 2    y  z   y 2  yz  z 2  . y  z   3x 2  3xy  3yz  3zx   =. =3.  y  z   x  x  y   z  x  y  . = 3  x  y  y  z  z  x  . b). 4. x + 2010x =. 2. x + 2009x + 2010 =. 4.  x    2010x 2  2010x  2010 . x  x  1  x 2  x  1  2010  x 2  x  1. Bài 2: 1. x =. 2.  x  1  x 2  x  2010 . ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23 . x  241 x  220 x  195 x  166  1  2  3  4 0 17 19 21 23. x  258 x  258 x  258 x  258    0 17 19 21 23 1   1 1 1   x  258       0  17 19 21 23   x 258 Bài 3: 2 2  2009  x    2009  x   x  2010    x  2010  .  2009  x . 2.   2009  x   x  2010    x  2010 . 2. 19  49. .. ĐKXĐ: x 2009; x 2010 . Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức: 2 2  a  1   a  1 a  a 2 19 a  a  1 19 2   2 2 49  a  1   a  1 a  a 3a  3a  1 49  49a 2  49a  49 57a 2  57a  19  8a 2  8a  30 0 3   a 2   a  5 2 2   2a  1  4 0   2a  3  2a  5  0  2 (thoả ĐK) 4023 4015 Suy ra x = 2 hoặc x = 2 (thoả ĐK) 4023 4015 Vậy x = 2 và x = 2 là giá trị cần tìm. Bài 4: 2010x  2680 A x2 1  335x 2  335  335x 2  2010x  3015 335(x  3) 2  335   335 2 2 x  1 x  1 = Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: o    a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E A F 90 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân  giác của BAC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD. 1. C. F. D.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất  D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6:       a) Đặt AFE BFD , BDF CDE , CED AEF  . 0  Ta có BAC     180 (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. A     OED  ODF 90o (1)  OFD E F  o    Ta có OFD    OED    ODF   270 (2) O  o (1) & (2)       180 (**)   (*) & (**)  BAC  BDF . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:   C  B   ,  s D C  AEF s DBF s DEC ABC B 5BF 5BF 5BF  BD BA 5     BF  BC 8 BD  8 BD  8 BD  8     7CE 7CE 7CE  CD CA 7       CD   CD   CD   8 8 8  CE CB 8     AE AB 5 7AE 5AF 7(7  CE) 5(5  BF) 7CE  5BF 24  AF  AC  7          CD  BD 3 (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4)  BD = 2,5 ĐỀ SỐ 6 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x −17. x −21. x+ 1. b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1. Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và x + y + z =0 . Tính giá trị của biểu thức:. A=. yz xz xy + 2 + 2 2 x + 2 yz y +2 xz z +2 xy. Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> HA '. HB' HC '. a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức. AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿. ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2. ( 1 điểm ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ).  Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 + + =0 x y z. ⇒. xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz. ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm ). x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z). ( 0,25điểm ). Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y). ( 0,25điểm ). yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y). ( 0,25điểm ). Tính đúng A = 1. ( 0,5 điểm ).  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có:. N, 0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0. (0,25điểm). 2. abcd=k 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m 2 abcd=k 2 abcd +1353=m. ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33. với k, m. N, 31<k <m<100 (0,25điểm). (0,25điểm) ( k+m < 200 ). m+k = 123 m+k = 41 hoặc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặc ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136 Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm). (0,25điểm). ⇒. (0,25điểm) (0,25điểm). 1.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1 . HA ' . BC S HBC 2 HA ' = a) S = 1 ; AA ' ABC . AA ' .BC 2 S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC S S S HA ' HB' HC ' + + = HBC + HAB + HAC =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm). b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI . AN . CM=BN . IC. AM. (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ). c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD - Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm). AB+ BC+CA ¿2 ¿ ⇔ (0,25điểm) Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều. Kết luận đúng (0,25điểm) *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó ĐỀ SỐ 7 Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức A =. (. 3. 2. 1− x 1−x −x : 1−x 1 − x − x 2+ x 3. ). với x khác -1 và 1.. a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A tại x. ¿ −1. 2 . 3. c, Tìm giá trị của x để A < 0. Bài 2 (3 điểm) 2. 2.  a  b   b  c   c  a  Cho. 2. 4. a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc . Chứng minh rằng a=b=c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. 1. ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2 a3 +3 a2 −4 a+5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1. 1. 2. b, Chứng minh rằng AB + CD =MN . c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì :. 0,5đ. (1 − x )(1+ x) 1 − x 3 − x+ x2 : 1−x (1+ x )(1 − x+ x2 )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x 2 − x) (1 − x )(1+ x) : 1− x (1+ x )(1− 2 x + x 2) 1 (1+x 2) : (1− x) 2 (1+ x )(1 − x). A= = =. = b, (1 điểm). 0,5đ 0,5đ 0,5đ. 5 − ¿2 3. 0,25đ. 2 5 Tại x = −1 3 = − 3 thì A = 5 1+¿ − 1 −(− ). [. 3. ]. ¿. 25 5 )(1  ) 9 3 = 34 8 272 2 ¿ . = =10 9 3 27 27. 0,25đ. (1 . 0,5đ. c, (1điểm) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+ x 2)(1 − x)< 0 (1) Vì 1+ x 2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x< 0 ⇔ x >1 KL. 0,25đ 0,5đ 0,25đ. Bài 2 (3 điểm). Biến đổi đẳng thức để được 2. 2. 2. 2. 2. 0,5đ 2. 2. 2. 2. a +b −2 ab+ b +c − 2 bc+ c + a + 2ac=4 a + 4 b + 4 c − 4 ab −4 ac − 4 bc Biến đổi để có (a2 +b 2 − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 1. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> a − c ¿2=0 2 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ 2 a −b ¿ ≥ 0 b − c ¿2 ≥ 0 ; a − c ¿2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c Vì ; ¿ ¿ ¿ 2 2 a −b ¿ =0 ; b − c ¿ =0 và nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ¿ ¿. Từ đó suy ra a = b = c. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ. 2. a − c ¿ =0 ; ¿. 0,5đ. Bài 3 (3 điểm). Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số. 0,5đ. x. cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7. Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x +15 (x khác -15). 0,5đ. Theo bài ra ta có phương trình x +11 = x − 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn). 0,5đ. x. x +15. 1đ 0,5đ. 5 Từ đó tìm được phân số − 6 Bài 4 (2 điểm). 0,5đ. Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2) −2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 a −1 ¿2+3 = (a2 +2)(a 2 −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿. 0,5đ. 2 a −1 ¿2 ≥0 ∀ a a −1 ¿ ≥0 ∀ a Vì a +2>0 và nên ¿ (a 2+2)¿ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a −1=0 ⇔ a=1 2. ∀a. do đó. a −1 ¿2 +3 ≥ 3 ∀ a ( a2 +2)¿. 0,5đ 0,25đ 0,25đ. KL Bài 5 (3 điểm). B. N. M. A D. I. a,(1 điểm) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân b,(2điểm) 1. C. 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 0,5đ. 4 √3 8 √3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 √3 cm AM = 2 BD=¿ 3 4 √3 cm Tính được NI = AM = 3 1 8 √3 4 √3 DC=¿ cm , MN = cm DC = BC = 2 3 3 8 √3 cm Tính được AI = 3. Tính được AD =. 0,5đ 0,5đ 0,5đ B. A. Bài 6 (5 điểm) M. O. N. C. D. a, (1,5 điểm). OM OD Lập luận để có AB = BD OD. ,. ON OC = AB AC. 0,5đ. OC. 0,5đ. Lập luận để có DB =AC OM ON = AB AB. ⇒. ⇒. 0,5đ. OM = ON. b, (1,5 điểm). OM DM OM AM = (1), xét Δ ADC để có DC = AD (2) AB AD 1 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD )=1 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC S AOB . S DOC =S BOC . S AOD = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chứng minh được S AOD =S BOC 2 S AOD ¿ ⇒ S AOB . S DOC =¿ Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009. Xét. Δ ABD để có. Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) ĐỀ SỐ 8 Bài 1: a 2  (b  c ) 2 b2  c2  a 2 2 2 2bc Cho x = ; y = (b  c)  a 1. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tính giá trị P = x + y + xy Bài 2: Giải phương trình: 1 b. 1 1 1 a, a  b  x = a + + x (x là ẩn số) (b  c )(1  a )2 (c  a )(1  b) 2 (a  b)(1  c ) 2 x  a2 x  b2 x  c2 b, + + =0. (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau) Bài 3: Xác định các số a, b biết: (3x  1) a b 3 3 ( x  1) = ( x  1) + ( x  1)2. Bài 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên. Bài 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C ĐỀ SỐ 9 Bài 1: (2 điểm)  2 1  1  1  x  1 A   1  2  1 3   2  : 3 x x  2x  1 x x  1      x     Cho biểu thức: a/ Thu gọn A b/ Tìm các giá trị của x để A<1 c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10 b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1) Bài 4 (3,5 điểm): Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM. a/ Tính số đo góc DBK. b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một đường thẳng. Bài 5 (1 điểm): Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6. 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (3 điểm) 3   x2 1  1 A   2   : 2 x  3   3 x  3x   27  3x Cho biểu thức a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < -1. c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 1. a). 3y. 3 2+ 2 x −3 x. :. (. x2 27 − 3 x. ).  6 x 1 x 3x  1  . 3  2  2 4 x 3  2 2 b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh: a) BD // MN. b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC. Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4). Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương. ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm) N. 3x 2 y  1 4xy. 2 2 a) Cho x  2xy  2y  2x  6y  13 0 .Tính b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số A a 3  b3  c3  3abc dương: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì: a b   a  b b  c c  a  c A        9 a b  a  b b  c c  a   c Bài 3: (2 điểm) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.. 2.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ. Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N. a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi. b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC Bài 5: (1 điểm). x 6  3x 2  1 y 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:. ĐỀ SỐ 12 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2 b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 Bài 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14. Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4 b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011 x2  y 2  z 2 x2 y 2 z 2 2 2 2 2 2 2 Biết x,y,z thoả mãn: a  b  c = a + b + c. Bài 3: 1 1 4 a, Cho a,b > 0, CMR: a + b  a  b. b, Cho a,b,c,d > 0 a d d  b b c c a CMR: d  b + b  c + c  a + a  d  0. Bài 4: x 2  xy  y 2 2 2 a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x  xy  y với x,y > 0 x 2 b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( x  1995) với x > 0. Bài 5: a, Tìm nghiệm  Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm  Z của PT: x2 + x + 6 = y2 Bài 6: Cho ABC M là một điểm  miền trong của ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D. a, CMR: AB’A’B là hình bình hành. b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’ ĐỀ SỐ 13 2.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 1: (2 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a+b ¿ 2( a −b) c +a ¿ 2(c − a)+ c ¿ b+ c ¿2 (b − c)+b ¿ a¿. 1 1 1. b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và a + b + c =0 Rút gọn biểu thức: N=. 1 1 1 + 2 + 2 a +2 bc b + 2ca c +2 ab 2. Bài 2: (2điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2. 2. M =x + y − xy − x+ y+1 4 y − 5,5 ¿ −1=0 4 b) Giải phương trình: y − 4,5 ¿ +¿ ¿. Bài 3: (2điểm) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km. Tính quãng đường AB. Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD. a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau. b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy. c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 x2 +5 y 2=345 §Ề SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1 b) x4 + 4 c) x √ x - 3x + 4 √ x -2 với x  0 Bài 2 : (1,5điểm) Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức: A=. a b 2c + + ab+a+2 bc +b+1 ac+2 c+ 2. Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0 Tính:. P=. ab 2 2 4 a −b. Bài 4 : (3điểm). 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F. a) Tính chu vi tứ giác AEMF. Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ? d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của  ABC để cho AEMF là hình vuông. Bài 5: (1điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23. §Ò SỐ 15 Bài 1: (2 điểm) 3 3 3 3 a) Phân tích thành thừa số: a+b +c ¿ −¿ a −b − c b) Rút gọn:. 2 x 3 − 7 x2 −12 x+ 45 3 x 3 − 19 x2 +33 x − 9. Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng:. 2. 2. n −7 ¿ −36 n 3 A=n ¿. chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.. Bài 3: (2 điểm) a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mình thì máy bơm A hút hết nước trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B. Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước. 2 x+ a−x −2 a=3 a b) Giải phương trình: (a là hằng số). Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N. a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN. b) So sánh hai tam giác ABC và INC. c) Chứng minh: góc MIN = 900. d) Tìm vị trí điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đôi diện tích ∆ABC. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng số: 224 99 . .. .. . .. .. 9 1 ⏟ 00 .. .. . .. .. . .. . 09 ⏟ là số chính phương. ( n ≥2 ). n-2 sè 9. n sè 0. Đề SỐ 16: Câu 1 : (2điểm) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : (4iểm) Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . 2.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Câu 3 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : P=. (. 2. x 6 1 10 − x + + : x − 2+ 3 x +2 x − 4 x 6 −3 x x+ 2. )(. a) Rút gọn p .. 2. ). 3. b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3 điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 điểm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .. đề SỐ 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 2 1. x  7 x  6 4 2 2. x  2008x  2007 x  2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i phư¬ng tr×nh: 2 1. x  3x  2  x  1 0 2. 2. 2. 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  x x  x  x   . 2. Bµi 3: (2®iÓm) 1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè d¬ng ,ta cã: (a+b+c)(. 1 1 1 + + ¿≥9 a b c  x  2   x  4   x  6   x  8   2008. 3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc cho ®a 2 thøc x  10 x  21 . Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H  BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m  AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh:. GB HD  BC AH  HC .. 2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Bµi 1.. C©u 1.1. Néi dung (0,75 ®iÓm). 2. §iÓm 2,0.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>  x  1  x  6 . 0.5. x 4  2008 x 2  2007 x  2008  x 4  x 2  2007 x 2  2007 x  2007  1. 0,25. x 2  7 x  6 x 2  x  6 x  6 x  x  1  6  x  1 1.2. (1,25 ®iÓm) 2.  x  x  1  2007  x  x  1  x  1  x  2007  x  x  1 4. 2. 2. 2. 2. 2. 0,25.  x  x  1  x  x  1  2007  x  x  1  x  x  1  x  x  2008  2. 2. 2. 2. 2. 0,25 2,0. 2. 2.1. x 2  3 x  2  x  1 0 + NÕu x 1 : (1) + NÕu x  1 : (1). (1) 2   x  1 0  x 1. (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1 ).  x 2  4 x  3 0  x 2  x  3  x  1 0   x  1  x  3 0. 0,5.  x 1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x 1 .. 2.2. 2. 2. 0,5. 2. 1 1  1  1 2    8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4  x x  x  x    (2) x  0 Điều kiện để phơng trình có nghiệm:. (2). 2 1 1   1     8  x    4  x2  2    x2  2   x x    x   . 1   x  x . 2.  2   x  4  . 0,25. 2. 1 1  2 2    8  x    8  x 2  2   x  4    x  4  16 x x     x 0 hay x  8 vµ x 0 . Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x  8. 0,5 0,25. 3. 2.0 3.1. 3.2. Ta cã:. 1 1 1 a a b b c c A= (a+ b+c )( + + )=1+ + + +1+ + + +1 a b c b c a c a b a b a c c b = 3+( + )+( + )+( + ) b a c a b c x y Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si) y x Do đó A 3+2+2+2=9. Vậy A 9 Ta cã: P ( x )  x  2   x  4   x  6   x  8   2008. 0,5. 0,5.  x 2  10 x  16   x 2  10 x  24   2008 2. Đặt t  x  10 x  21 (t  3; t  7) , biểu thức P(x) đợc viết lại: P( x)  t  5  t  3  2008 t 2  2t  1993 2 Do đó khi chia t  2t  1993 cho t ta có số d là 1993. 4 4.1. + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc C chung. CD CA  CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng). 0,5. 0,5 4,0 1,0. 0,5 2.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 0   Suy ra: BEC  ADC 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). 0  Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:. 4.2. 4.3. BE  AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD     Ta cã: BC 2 BC 2 AC (do BEC ADC ) mµ AD  AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH       AB 2 BE (do ABH CBA ) nªn BC 2 AC 2 AC 0 0    Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135  AHM 45 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. GB AB AB ED AH HD    ABC DEC    ED // AH   HC HC Suy ra: GC AC , mµ AC DC GB HD GB HD GB HD      GB  GC HD  HC BC AH  HC Do đó: GC HC. Phßng GD & §T huyÖn Thêng TÝn Trêng THCS V¨n Tù Gv: Bïi ThÞ Thu HiÒn đề SỐ 18 đề bài:. Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:. 2x  3 2x  8 3  21  2 x  8 x 2    1  2 : 2 2 4 x  12 x  5 13 x  2 x  20 2 x  1 4 x  4 x  3   P=. a) Rót gän P. x . 1 2. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. d) Tìm x để P > 0. Bµi 2(3 ®iÓm):Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 15 x 1   1  1  12    2  x  4 3x  3  a) x  3 x  4 b). 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19. x  2  3 5. c) Bµi 3( 2 ®iÓm): Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:. 2. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút. Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó. Bµi 4 (7 ®iÓm): Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P. a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×? b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm P. PD 9  d) Gi¶ sö CP  BD vµ CP = 2,4 cm, PB 16 . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:. 1 1 2   1  x2 1  y 2 1  xy иp ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi 1: Ph©n tÝch: 4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x) 21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x) 4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3). 0,5®. 1 5 3 7 x  ; x  ; x  ; x  ; x 4 2 2 2 4 §iÒu kiÖn: 2x  3 a) Rót gän P = 2 x  5 x  b). 0,5® 2®. 1 1 1  x x 2 hoÆc 2 2. 1 1 2  …P= 2 +) 1 2 x 2  …P = 3 +) 2 2x  3 1 x 5 c) P = 2 x  5 = x. Ta cã:. 1®. 1 Z. 2 Z VËy P  Z khi x  5. . . x–5 ¦(2) Mµ ¦(2) = { -2; -1; 1; 2} x – 5 = -2 x – 5 = -1 x–5=1.   . x = 3 (TM§K) x = 4 (KTM§K) x = 6 (TM§K) 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> x–5=2 KL: x. . x = 7 (TM§K).  {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.. 1®. 2 2x  3 1 x 5 d) P = 2 x  5 =. 0,25®. Ta cã: 1 > 0. 2 x 5. §Ó P > 0 th× >0 Víi x > 5 th× P > 0. Bµi 2:. a). . . x–5>0. x>5. 0,5® 0,25. 15 x 1   1  1  12    x 2  3x  4  x  4 3x  3 . .  1 15 x 1   1 12    x  4 3 x  1  x  4   x  1    . §K:. x  4; x 1.  3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4). ….  3x.(x + 4) = 0  3x = 0 hoÆc x + 4 = 0 +) 3x = 0 => x = 0 (TM§K) +) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K) S = { 0}. 1®. 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 b)  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2   3    4  0    23   21   19    25 1 1 1  1       (123 – x)  25 23 21 19  = 0 1 1 1   1      Do  25 23 21 19  > 0 Nªn 123 – x = 0 => x = 123 S = {123}. 1®. x  2  3 5 c) Ta cã:. x  2 0x. =>. x  2 3. >0. x  2 3  x  2 3 nªn PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:. x  2  3 5 2.

<span class='text_page_counter'>(30)</span>  x 2 =5–3  x 2 =2 +) x - 2 = 2 => x = 4 +) x - 2 = -2 => x = 0 S = {0;4} Bµi 3(2 ®) Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:. x 3x  (km / h) 1 10 3 3. 1® 0,25®. 1  h h ’ 3 (3 20 = ) 3. 0,25®. VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:. 3x  5  km / h  10. 0,25®. Theo đề bài ta có phơng trình:.  3x    5  .3  x  10 . 0,5® 0,5® 0,25®.  x =150 VËy kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 3.150 45  km / h  10 Vận tốc dự định là: Bµi 4(7®) Vẽ hình, ghi GT, KL đúng D. 0,5® C. P M F. I E. A. O. B. a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.  PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.  AM//PO  tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1® b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë I nªn gãc IAE = gãc IEA. Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1® MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®. 3.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> c). MAF DBA  g  g . MF AD  nên FA AB không đổi.. (1®). PD PB PD 9  k  PD 9k , PB 16k  16 d) NÕu PB 16 th× 9. CBD DCP  g  g  . NÕu CP  BD th× do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = 5 (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm) CD = 3 (cm). CP PB  PD CP. 0,5d 0,5® 0,5®. Bµi 5: a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) V× 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.. 1 1 2   2 1 y2 1  xy b) 1  x. 1®. 1®. (1).  1 1   1 1         0 2 2  1  x 1  xy   1  y 1  xy  x  y  x y  x  y   0 2 2  1  x   1  xy   1  y   1  xy  2. .  y  x   xy  1 0 2   2 2 1  x 1  y 1  xy    . V× x 1; y 1 => xy 1 => xy  1 0 => BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y). ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để A  B biết A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 . c) Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 2 x  y x y  3  2 2 0 3 y  1 x  1 x y 3 3. 1®.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 x+1 x +2 x +3 x+ 4 x+5 x +6 + + = + + b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF a) Chứng minh  EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng. Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ). b) (0,75đ) Xét. x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x 2  7x  5 7  5x  4  B 2x  3 2x  3. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ). 7 Với x  Z thì A  B khi 2 x  3  Z  7  ( 2x – 3) Mà Ư(7) =   1;1;  7;7  x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B. (0,25đ) (0,25đ). x y x 4  x  y4  y  3 3 3 3 c) (1,5đ) Biến đổi y  1 x  1 = (y  1)(x  1)  x 4  y4   (x  y) 2 2 = xy(y  y  1)(x  x  1) ( do x + y = 1  y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)  x  y   x  y   x 2  y2   (x  y) 2 2 2 2 2 2 = xy(x y  y x  y  yx  xy  y  x  x  1) (0,25đ).  y 2  1) xy  x 2 y 2  xy(x  y)  x 2  y 2  xy  2 .  x  y  (x. =.  x  y  (x. 2. (0,25đ).  x  y  y)  x  y   x(x  1)  y(y  1)  xy  x y  (x  y) 2  2 xy(x 2 y 2  3) = =  x  y   x(  y)  y( x)   x  y  ( 2xy) 2 2 xy(x 2 y 2  3) = = xy(x y  3) 2. =. 2. 2. 2.  2(x  y) x 2 y 2  3 Suy ra điều cần chứng minh. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ). Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = 0 ⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 * x2 + x = - 6 vô nghiệm vì x2 + x + 6 > 0 với mọi x * x2 + x = 2 ⇔ x2 + x - 2 = 0 ⇔ x2 + 2x - x - 2 = 0 ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1 Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1 3. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ).

<span class='text_page_counter'>(33)</span> b) (1,75đ). x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6      2008 2007 2006 2005 2004 2003. ⇔ (. x 1 x 2 x 3 x4 x 5 x 6  1)  (  1)  (  1) (  1)  (  1)  (  1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003. x +2009 x +2009 x +2009 x+ 2009 x+ 2009 x+ 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003. ⇔. x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009      0 2008 2007 2006 2005 2004 2003. ⇔. (0,25đ). 1 1 1 1 1 1 (x+ 2009)( + + − − − )=0 (0,5đ) Vì 2008 2007 2006 2005 2004 2003. ⇔. 1 1 1 1   2008 2005 ; 2007 2004 ;. 1 1  2006 2003. Do đó :. 1 1 1 1 1 1 + + − − − <0 2008 2007 2006 2005 2004 2003. (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009 E I 1. Bài 3: (2 điểm) a) (1đ). 2. B.  EDF vuông cân  ADE =  CDF (c.g.c)   EDF cân tại D ˆ ˆ Mặt khác:  ADE =  CDF (c.g.c)  E1 F2. C. 1. 2. F. Chứng minh Ta có. O. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1  E 2  F1 = 900  F2  E 2  F1 = 900. A. 900. Vậy  EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vuông  CO là trung trực BD 1 Mà  EDF vuông cân  DI = 2 EF 1 Tương tự BI = 2 EF  DI = BI  I thuộc dường trung trực của DB  I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng. . D. EDF =. Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a). B. D. C. A. Áp dụng định lý Pitago với  ADE vuông tại A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 a2 a2 a2 = 2(x – 4 )2 + 2  2 a Ta có DE nhỏ nhất  DE2 nhỏ nhất  x = 2 a  BD = AE = 2  D, E là trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. 3. E. (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ).

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 1 1 1 1 Ta có: SADE = 2 AD.AE = 2 AD.BD = 2 AD(AB – AD)= 2 (AD2 – AB.AD) (0,25đ) AB2 1 AB AB2 AB2 1 AB AB2 = – 2 (AD2 – 2 2 .AD + 4 ) + 8 = – 2 (AD – 4 )2 + 2  8 (0,25đ) 3 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE  2 – 8 = 8 AB2 không đổi 3 Do đó min SBDEC = 8 AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC. (0,25đ) (0,25đ). ĐỀ SỐ 20. Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – 7 Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng: 4 x 2 − 16 A = x x 2 +2. Bµi 3: Cho ph©n thøc:. 5 x+5 2 x 2+ 2 x. a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định. b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1. x+ 2. 1. 2. Bµi 4: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x −2 − x = x(x −2) b) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3 Bµi 5: Gi¶i bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 s¶n phÈm. Hái theo kÕ ho¹ch tæ ph¶i s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy. Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Kẻ đờng cao AH và trung tuyÕn AM. a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n BiÓu ®iÓm §¸p ¸n Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm) b) 2x2 – 5x – 7 = 2x2 + 2x – 7x – 7 = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm) 3.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm). A=. 4 x 2 − 16 ¿ 2 x ¿2 −4 2 ¿ ¿ x¿ x¿ ¿. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 0 vµ x + 1 ⇔ 2x 0 vµ x -1 ⇔ x b) Rót gän:. 0 0 (1 ®iÓm). 5(x +1) 5 x+5 5 = = (0,5 ®iÓm) 2 2 x + 2 x 2 x (x +1) 2 x 5 5 =1⇔ 5=2 x ⇔ x= (0,25 ®iÓm) 2x 2 V× 5 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn 2. Bài 4: a) Điều kiện xác định: x - Gi¶i:. x ( x +2)- (x- 2) 2 = x ( x −2) x ( x − 2). 0; x. x=. 5 2. (0,25 ®iÓm). 2. ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2;. 1®. ⇔. x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = { −1 } b) ⇔ x2 – 9 < x2 + 4x + 7 ⇔ x2 – x2 – 4x < 7 + 9 ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 4 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4 Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày §iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1 Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày) - Sè s¶n phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (s¶n phÈm) - Sè s¶n phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (s¶n phÈm) Theo đề bài ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày. Sè s¶n phÈm ph¶i s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (s¶n phÈm) Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc) b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC ta cã : BC = √ AB2 + AC2 = √ 152+ 202 = √ 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn HB = HA =BA hay HB =HA =15 20 .05 =12 (cm) 25 15 .15 =9 (cm) 25. 1®. 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 1®. 1® 1® 1®. ⇒ AH =. BH =. 1® 3.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm) c) HM = BM – BH = BC − BH=25 −9=3,5(cm) SAHM =. 2 2 1 AH . HM = 1 . 12. 3,5 = 21 (cm2) 2 2. - Vẽ đúng hình:. 1® A 1®. B. H. M. C. ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x −17. x −21. x+ 1. b) 1990 + 1986 + 1004 =4 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1. Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và x + y + z =0 . Tính giá trị của biểu thức:. A=. yz xz xy + 2 + 2 2 x + 2 yz y +2 xz z +2 xy. Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA '. HB' HC '. a). Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. c) Chứng minh rằng:. AB+ BC+CA ¿2 ¿ . Ơ¿ ¿. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 b) Tính đúng x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2  Bài 2(1,5 điểm): 3. ( 1 điểm ) ( 1 điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ).

<span class='text_page_counter'>(37)</span> 1 1 1 + + =0 x y z. ⇒. xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz. ⇒ yz = –xy–xz. ( 0,25điểm ). x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z). ( 0,25điểm ). Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y). ( 0,25điểm ). yz xz xy Do đó: A= (x − y )( x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )( z − y). ( 0,25điểm ). Tính đúng A = 1  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d Ta có:. ( 0,5 điểm ) N, 0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0. abcd=k 2 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)( d+ 3)=m abcd=k 2 abcd +1353=m2. ⇔ Do⇔đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33. với k, m. (0,25điểm). N, 31<k <m<100 (0,25điểm). (0,25điểm) ( k+m < 200 ). m+k = 123 m+k = 41 hoặc m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặc ⇔ k = 56 k= 4 Kết luận đúng abcd = 3136. (0,25điểm). ⇒. (0,25điểm) (0,25điểm).  Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng. (0,25điểm). 1 . HA ' . BC S HBC 2 HA ' = = a) S ; 1 AA ' ABC . AA ' .BC 2 S HAB HC ' S HAC HB ' Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC S S S HA ' HB' HC ' + + = HBC + HAB + HAC =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm). b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI . AN . CM=BN . IC. AM. (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ). c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 3. (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm).

<span class='text_page_counter'>(38)</span> - Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2). (0,25điểm). (0,25điểm) (AB+BC+AC). 2. 2. ⇔. AB+ BC+CA ¿ ¿ Ơ¿ ¿. (0,25điểm). (Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC đều). §Ò SỐ 22 C©u 1: (5®iÓm) a,. Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 lµ sè nguyªn tè.. 4 3 2 b, B = n +3 n +22 n +6 n −2 Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.. n +2. c, C©u 2: (5®iÓm) a, b,. D= n5-n+2 lµ sè chÝnh ph¬ng. (n 2) Chøng minh r»ng : a b c + + =1 biÕt abc=1. ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1. Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c 2 c b a + + ≥ + + b2 c 2 a2 b a c. c,. C©u 3: (5®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: x −214 x − 132 x −54 a, + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 2 c, x -y +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d¬ng. Câu 4: (5điểm). Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F. a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC. b. Chøng minh: 1 + 1 = 2 AB CD EF c, Gọi Klà điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia đôi diện tích tam gi¸c DEF.. C©u. Néi dung bµi gi¶i a,. (1®iÓm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A là số nguyên tố thì n-1=1 ⇔ n=2 khi đó A=5. 3. §iÓ m 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> b, (2®iÓm). B=n2+3n-. 2 n +2 ⇔ 2 ⋮ n2+2. 0,5. 2. B cã gi¸ trÞ nguyªn n2+2 lµ íc tù nhiªn cña 2 C©u 1 n2+2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho¶ m·n (5®iÓm) HoÆc n2+2=2 n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn. ⇔ c, (2®iÓm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n2 − 4 ) +5 ] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp) Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d 2 Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính ph¬ng Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng a b c a, (1®iÓm) + + =¿ ab+ a+1 bc+b+1 ac+ c+1 ac abc c + 2 + abc+ ac+c abc +abc+ ac ac+c +1 abc c abc+ ac+1 = ac + + = =1 1+ ac+c c +1+ac ac+c +1 abc+ ac+1. b, (2®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) C©u 2 ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× (5®iÓm) a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) . V× a+b+c=0 ⇒ 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4 4 Tõ (1)vµ(2) ⇒ a +b +c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2®iÓm) x=y. áp dụng bất đẳng thức: x2+y2. a2 b2 a b a ; + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 b c c b c c 2 b2 c b b + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 a c a a c. 2xy DÊu b»ng khi. a2 c 2 a c c ; + 2 ≥ 2 . . =2 . 2 b a b b a. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5. 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5. 0,5 0,5 0,5 0,5. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: 2. 2(. 2. 2. a b c a c b + 2 + 2 ) ≥2( + + ) 2 c b a b c a. ⇔ ⇔. (. 2. 2. a b c a c b + 2+ 2≥ + + 2 b c a c b a. x −214 x − 132 x −54 + + =6 86 84 82 x −214 x − 132 x − 54 ( −1)+( −2)+( − 3)=0 86 84 82 x −300 x −300 x −300 + + =0 86 84 82. a, (2®iÓm). ⇔ (x-300). 2. ⇒. 1 1 1 + + =0 86 84 82. ). ⇔ x-300=0. 1,0 0,5 0,5. ⇔ x=300 VËy S =. 0,5. { 300 } 3.

<span class='text_page_counter'>(40)</span> 2x(8x-1)2(4x-1)=9 C©u 3 b, (2®iÓm) (5®iÓm) ⇔ (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; 1 −1 ; x= ⇒ x= 2 4 Víi k=- 8,5 Ta cã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiÖm. VËy S =. {. c, (1®iÓm). 1 −1 , 2 4. 0,5 0,5 0,5. 0,5. }. 0,5. x -y +2x-4y-10 = 0 ⇔ (x +2x+1)-(y +4y+4)-7=0 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn 2. 2. 2. 2. ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7. d¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 y=1. ⇒. x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ;. Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1) a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA A B (cùng đáy và cùng đờng cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB K O Hay SAOD = SBOC E F. 0,5 0,5. I. N. M C. D EO AO C©u 4 b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ DC =AC MÆt kh¸c AB//DC (5®iÓm) AB AO AB AO AB AO EO AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒. DC OC AB+BC AO+OC AB+BC AC EF AB AB+ DC 2 1 1 2 = ⇒ = ⇒ + = 2 DC AB+ DC AB . DC EF DC AB EF. DC. AB+DC. c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +KÎ đờng thẳng KN là đờng thẳng phải dựng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th× SIKE=SIMN (cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.. 4. 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0.

<span class='text_page_counter'>(41)</span>