Một số ứng dụng của đa thức trong đại số tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG THỊ QUỲNH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC
TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG THỊ QUỲNH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC
TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2021


Mục lục

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Đa thức và nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Đa thức quân cờ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1. Đa thức quân cờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Ứng dụng trong tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.1. Hoán vị và xáo trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.2. Hốn vị với vị trí cấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.3. Bài tốn đếm số hốn vị với khối ơ vuông Latinh . . . . . . .

29

Chương 3. Một số ứng dụng khác của đa thức trong tổ hợp .
32
3.1. Lũy thừa đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng . . .

32

3.2. Nghiệm của đa thức và bài tốn phủ bảng các ơ vng . . . . .

42

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

ii

MỞ ĐẦU
Đa thức có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán
học cũng như trong giải toán sơ cấp. Luận văn tìm hiểu một số ứng
dụng của đa thức trong giải tốn tổ hợp.
Mục đích chính thứ nhất của luận văn là nghiên cứu về đa thức
quân cờ (rook polynomial) và ứng dụng trong giải toán tổ hợp. Lý thuyết
các quân cờ (Rook Theory) mà đối tượng của nó là đa thức quân cờ được
nghiên cứu đầu tiên bởi Kaplansky và Riordan vào năm 1946 ([10]), và
sau đó là các mở rộng của Goldman ([6], [7]) với sự ứng dụng của nhiều
phương pháp tổ hợp hiện đại từ những năm 1970. Trong những năm
gần đây Haglund đạt được nhiều thành công trong việc gắn kết đa thức
quân cờ với nhiều lĩnh vực khác như bài toán đếm ma trận trên trường
hữu hạn, lý thuyết biểu diễn nhóm. Lý thuyết các quân cờ cũng có quan
hệ gần gũi với nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị, người ta cũng đã
vận dụng đa thức quân cờ cùng với cơ học lượng tử và đại số Weyl. Còn
trong tổ hợp đếm nói riêng, đa thức quân cờ liên quan đến hàng loạt
các bài toán đếm về hoán vị, hoán vị với vị trí cấm, hình vng Latin,
. . . Luận văn trình bày một số tính chất của đa thức quân cờ và vận
dụng vào tìm hiểu một số bài toán đếm cơ bản, bài toán đếm số hoán vị,
hoán vị cấm (Derangement problem, Ménage problem), bài toán đếm
liên quan đến hình vng Latin. Luận văn trình bày định nghĩa, một
số tính chất cơ bản và một số ứng dụng của đa thức quân cờ theo [13,
Chapter 2], [3] và [2]. Một số ứng dụng và ví dụ tham khảo theo [11],
[12], [5] và [2].
Mục đích chính thứ hai tìm hiểu một số ứng dụng khác của đa
thức trong giải toán tổ hợp. Trong rất nhiều ứng dụng luận văn chọn
tìm hiểu ứng dụng trong bài tốn đếm khi khai triển lũy thừa đa thức,
1

ứng dụng nghiệm của đa thức liên quan đến bài tốn phủ bảng các ơ
vng. Đa thức là trường hợp đặc biệt của chuỗi lũy thừa hình thức.
Luận văn trình bày khai triển chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng trong
bài toán đếm (Bài toán chia kẹo Euler). Bên cạnh việc tổng hợp một số
kiến thức liên quan, luận văn trình bày ứng dụng qua hệ thống các vị
dụ được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi của các nước, IMO, Bay Area
Math Circle, Olympic sinh viên, ....
Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày một số
kiến thức cơ sở về đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức. Chương 2 trình
bày về đa thức quân cờ, các tính chất phổ biến và ứng dụng trong một
số bài tốn tổ hợp. Chương 3 trình bày một số ứng dụng khác của đa
thức trong một số bài toán đếm, bài tốn phủ bảng các ơ vng.
Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận được sự hướng dẫn
và giúp đỡ tận tình của TS. Trần Ngun An. Tơi xin được bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cơ giảng dạy lớp
Cao học tốn khố 12 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021

Đặng Thị Quỳnh

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này, luôn giả thiết R một vành giao hốn có
đơn vị.

1.1. Đa thức và nghiệm của đa thức
Định nghĩa 1.1.1. Một đa thức một biến với hệ số trên R có thể được
viết dưới dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , trong đó

a0 , . . . , an ∈ R và x là một kí hiệu gọi là biến (hay biến không xác định).
∞

Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) =

ai xi hoặc f (x) =

ai xi ,

i=0

trong đó ai = 0 với mọi i > n. Hai đa thức

ai xi và

bi xi là bằng

nhau nếu ai = bi với mọi i.
Kí hiệu là R[x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên R.
Cho f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ∈ R[x]. Ta gọi a0 là hệ số
tự do của f (x). Nếu an = 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được kí
hiệu là deg f (x). Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất
của f (x). Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn (monic

polynomial). Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0. Nếu f (x) = a ∈ R
thì f (x) được gọi là đa thức hằng. Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức
tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Với hai đa thức f (x) =

3

ai xi và g(x) =

bi xi


trong R[x], định nghĩa

f (x) + g(x) =
f (x)g(x) =

(ai + bi )xi .
ck xk , trong đó ck =

ai bj với mọi k.
i+j=k

Khi đó R[x] là vành giao hốn với phép cộng và nhân đa thức. Vành

R[x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong R. Phần tử
không của vành là đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1.
Để định nghĩa đa thức nhiều biến trước hết ta định nghĩa đơn
thức. Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1 , · · · , in ) ∈ Nn cho ta một
đơn thức xi11 · · · xinn của n biến x1 , . . . , xn với bậc là i1 + · · · + in . Chúng

ta thường viết đơn thức này dưới dạng xi .
Với j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn , hai đơn thức xi và xj là bằng nhau nếu

i = j, tức là ik = jk với mọi k.
Một từ là một biểu thức có dạng axi với a ∈ R (được gọi là hệ số
của từ) và xi là một đơn thức được gọi là đơn thức của từ. Hai từ được
gọi là đồng dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau. Hai từ được
gọi là bằng nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số.
Một đa thức là một tổng của hữu hạn từ. Nếu u = axi và v = bxi
là hai từ đồng dạng thì ta có thể ước lược tổng của chúng:

u + v = (a + b)xi .
Vì vậy, bằng cách ước lược các từ đồng dạng, mỗi đa thức f (x1 , . . . , xn )
có một biểu diễn chính tắc

ai x i

f (x1 , . . . , xn ) =
i∈Nn

thành tổng của các từ đơi một khơng đồng dạng, trong đó chỉ có hữu
hạn từ khác 0 (tức là hệ số của từ khác 0), và biểu diễn này là duy nhất
nếu không kể đến thứ tự các hạng tử. Mỗi từ khác 0 xuất hiện trong
biểu diễn chính tắc của đa thức được gọi là một từ của đa thức đó.
4


ai xi và

Hai đa thức

i∈Nn

bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i ∈
i∈Nn

Nn . Bậc của một từ khác 0 là bậc của đơn thức của từ đó. Bậc (hay bậc
tổng thể) của đa thức f (x1 , . . . , xn ) = 0, kí hiệu bởi deg f (x1 , . . . , xn ),
là số lớn nhất trong các bậc của các từ khác không của f (x1 , . . . , xn ).
Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0. Đa thức hằng là đa thức 0 hoặc
đa thức bậc 0. Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính. Đa
thức thuần nhất bậc m (hay một dạng bậc m) là một đa thức mà các
từ khavs khơng của nó đều có bậc m. Đa thức thuần nhất bậc hai được
gọi là dạng toàn phương. Với mỗi k ∈ {1, . . . , n}, bậc theo biến xk của
một đa thức là số lớn nhất trong các số mũ của xk xuất hiện trong các
từ của đa thức đó.
Định nghĩa 1.1.3. Kí hiệu R[x1 , . . . , xn ] là tập các đa thức n biến

x1 , . . . , xn với hệ số trong R. Với i, j ∈ Nn , trong đó i = (i1 , . . . , in ) và
j = (j1 , . . . , jn ), ta định nghĩa
i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ).
Khi đó R[x1 , . . . , xn ] là một vành với phép cộng và phép nhân

ai x i +
i∈Nn

bi xi =
i∈Nn

ai x i
i∈Nn

i∈Nn

i∈Nn

bi xi =
i∈Nn

ai x i ,

với mọi đa thức

(ai + bi )xi ;
ck xk , ck =

k∈Nn

ai bj .
i+j=k

bi xi ∈ R[x1 , . . . , xn ]. Vành R[x1 , . . . , xn ]
i∈Nn

được gọi là vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong R.
Nhận xét 1.1.4. Bằng quy nạp, vành đa thức n biến R[x1 , . . . , xn ] với
hệ số trong R chính là vành đa thức một biến xn với hệ số trong vành

R[x1 , . . . , xn−1 ].
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử R là vành con của vành S, và f (x) = an xn +

· · · + a1 x + a0 là một đa thức trong R[x]. Với mỗi phần tử α ∈ S , ta
kí hiệu f (α) = an αn + · · · + a1 α + a0 ∈ S . Phần tử α ∈ S được gọi
5


là nghiệm của f (x) nếu f (α) = 0. Trong trường hợp này ta cũng nói α
là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên S . Tìm các nghiệm của

f (x) trên S được gọi là giải phương trình đa thức f (x) = 0 trên S.
Định lý 1.1.6 (Định lý Bézout). Cho R là một miền nguyên và đa thức

f (x) ∈ R[x], α ∈ R. Điều kiện cần và đủ để α là một nghiệm của f (x)
là f (x) chia hết cho (x − α).
Định nghĩa 1.1.7 (Nghiệm bội). Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥

1. Ta gọi α là nghiệm bội k của f (x) nếu f (x) chia hết cho (x − α)k
nhưng không chia hết cho (x − α)k+1 nghĩa là:

f (x) = (x − α)k g(x), ∀x ∈ R,
g(α) = 0.
Nếu k = 1, ta gọi α là nghiệm đơn hay còn gọi nghiệm, nếu k = 2, ta
gọi α là nghiệm kép.
Bổ đề 1.1.8. Cho f (x) ∈ R[x]. Phần tử a ∈ R là nghiệm bội k của

f (x) nếu và chỉ nếu f (x) = (x − a)k g(x) với g(x) ∈ R[x] và g(a) = 0.
Định lý 1.1.9. Cho R là một miền nguyên. Cho 0 = f (x) ∈ R[x] và

a1 , a2 , . . . , ar ∈ R là các nghiệm phân biệt của f (x). Giả sử ai là nghiệm
bội ki của f (x) với i = 1, 2, . . . , r. Khi đó ta có

f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 . . . (x − ar )kr g(x)
trong đó g(x) ∈ R[x] và g(ai ) = 0 với mọi i = 1, . . . , r.
Hệ quả 1.1.10. Cho R là một miền nguyên và f (x) ∈ R[x] là một đa
thức khác 0. Khi đó số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của
nó, khơng vượt q bậc của của f (x).

1.2. Chuỗi lũy thừa hình thức
Định nghĩa 1.2.1. Một chuỗi lũy thừa hình thức trên R là một biểu thức
∞

∞

j

có dạng a = a(x) =

aj xj , b(x) =

aj x , sao cho giả sử a(x) =
j=0

j=0
6


∞

bj xj là hai chuỗi lũy thừa hình thức thì a(x) = b(x) khi và chỉ khi
j=0

aj = bj với mọi j . Tập các chuỗi lũy thừa hình thức trên R kí hiệu là
R[[x]].
∞

∞
j

Giả sử a(x) =

bj xj là hai chuỗi lũy thừa

aj x và b(x) =
j=0

j=0

hình thức bất kỳ. Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân trong

R[[x]] như sau:
∞

∞
j

a(x) + b(x) =

aj x +
j=0
∞

aj xj )(
j=0

(aj + bj )xj ,

bj x =
j=0

∞

a(x)b(x) = (

∞
j

j=0
j

∞

bj xj ) =
j=0

(

ak bj−k )xj .

j=0 k=0
∞

0.xj

Đối với phép nhân, R[[x]] có phần tử đơn vị là 1(x) = 1 +
j=0

mà ta sẽ đơn giản kí hiệu là 1. Ta cũng dễ kiểm tra thấy rằng R[[x]] lập
thành một vành giao hoán có đơn vị 1 đối với phép cộng và phép nhân
trong R[[x]].
Nếu với n ∈ N, chuỗi lũy thừa hình thức a(x) có an = 0 và aj = 0
cho mọi j > n, thì a(x) chính là đa thức bậc n và được đơn giản viết
n

aj xj hay a0 + a1 x + ... + an xn . Hơn thế nữa, nếu ai = 0 cho một

là
j=0

i nào đó của tập 0, 1, 2, ..., n − 1, thì số hạng ai xi cũng khơng cần viết;
cịn nếu ai = 1 cho một i nào đó của tập {0, 1, 2, ..., n − 1} , thì ai xi
n

0xj , mà ta đơn giản kí

được đơn giản viết là xi . Phần tử 0(x) =
j=0

hiệu là 0, là phần tử 0 của R[[x]].
Mệnh đề 1.2.2. Chuỗi a(x) ∈ R[[x]] là khả nghịch khi và chỉ khi a0
khả nghịch.
∞

bj xj . Khi đó a(x)b(x) = 1 khi và chỉ

Chứng minh. Giả sử b(x) =
j=0

7


khi hệ phương trình sau có nghiệm:

a0 b0 = 1,
a0 b1 + a1 b0 = 0,
a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0,
.................. ... ...........
a0 nb + a1 bn−1 + ... + an b0 = 0,
............................ ... ...........................,
ở đây b0 , b1 , .., bn là các ẩn số. Dễ thấy rằng hệ này có nghiệm khi và chỉ
khi a0 khả nghịch.
Nếu a(x) là phần tử khả nghịch của R[[x]] thì phần tử nghịch đảo
1
của nó sẽ được kí hiệu là (a(x))−1 hay
hay a−1 (x). Nếu a(x) và
a(x)
b(x) là các đa thức với a0 = 0, thì phần tử b(x)a−1 (x) cũng thường được
b(x)
và được gọi là hàm số hữu tỷ. Với mọi a(x) ∈ R[[x]] ta định
viết là
a(x)
nghĩa a0 (x) = 1, an (x) = a(x)a(x)...a(x) cho mọi số nguyên dương n.

n

Nếu a(x) là phần tử khả nghịch và a−1 (x) là phần tử nghịch đảo của

a(x), thì ta định nghĩa
a−n (x) = a−1 (x)a−1 (x)...a−1 (x)
n

cho mọi số nguyên dương n.
Với z ∈ R và 0 = n, k ∈ N, đa thức (1 − zxn )k là khả nghịch theo
Mệnh đề 1.2.2. Ta có một số tính chất sau.
Mệnh đề 1.2.3. Với mọi z ∈ R và 0 = n, k ∈ N, ta có

1
(i)
=
1 − zxn

∞

z j xnj ,
j=0

1
(ii)
=
(1 − zxn )k

∞

j=0

k + j − 1 j nj
z x .
j
8


Chứng minh. Ta có
∞
n

∞

∞

j nj

(1 − zx )(

j nj

z j+1 xn(j+1) = 1.

z x −

z x )=
j=0

j=0

j=0

Vậy ta có đẳng thức (i).
Ta chứng minh đẳng thức (ii) bằng quy nạp theo k . Với k = 1,
đẳng thức (ii) chính là đẳng thức (i). Giả sử đẳng thức (i) đã được chứng
minh là đúng cho k = t ≥ 1 khi đó,

1
1
1
=
.
n
t+1
n
t
(1 − zx )
(1 − zx ) 1 − zxn



∞
∞
t + j − 1 j nj  
= 
z x
z j xnj 
j
j=0

j=0
j

∞

=

t + i − 1 i j−i nj
z z )x
i

(
j=0 i=0
j

∞

=

t+i−1
)z j xnj .
i

(
j=0 i=0

Áp dụng công thức tổng cho hệ số nhị thức ta có
j

i=0

t+i−1
i

(t − 1) + j + 1
j

=

(t + 1) + j − 1
j

=

và do đó đẳng thức (ii) cũng được chứng minh cho k = t + 1.
∞
−1

Hệ quả 1.2.4. (i) (1 − x)

∞
j

=

x , (1 + x)
j=0

∞

x2j ,

(ii) (1 − x2 )−1 =
j=0
∞

(iii) (1 − x)−3 =
j=0

−1

j+2 j
x.
j

9

(−1)j xj ,

=
j=0


Chương 2

Đa thức quân cờ và ứng dụng
2.1. Đa thức quân cờ
Lý thuyết đa thức quân cờ (rook polynomial) được giới thiệu bởi
Kaplansky và Riordan [10] và được phát triển bởi Riordan trong [12].
Một trình bày đầy đủ về đa thức quân cờ và ứng dụng nghiên cứu các

hoán vị với vị trí cấm được trình bày trong [13, Chapter 2]. Luận văn
trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản và một số ứng dụng của
đa thức quân cờ theo [13, Chapter 2], [3] và [2]. Một số ứng dụng và ví
dụ tham khảo theo [11], [12].
Định nghĩa 2.1.1. Một bàn cờ là một tập con của N∗ × N∗ . Ta đánh
nhãn các dòng từ dưới lên trên, các cột từ trái sang phải bởi 1, 2, 3, ...
và (i, j) ký hiệu ô vuông (ô cờ) ở dịng i, cột j .
Đơi khi để đơn giản ta có thể bỏ các chỉ số cột dịng và hiểu một
bàn cờ là tập hợp các ô vuông bất kì, với đánh nhãn các dịng từ trên
xuống dưới, các cột từ trái qua phải.
Hai bàn cờ A, B được gọi là độc lập nếu khơng có ơ nào của A và

B chung hàng hoặc chung cột. Ví dụ như các bàn cờ bên dưới thì A và
B là hai bàn cờ độc lập.

10


A

B

Qn cờ (rook), cịn gọi là qn xe có thể đặt vào các ô của bàn cờ.
Quân cờ di chuyển theo hàng ngang hoặc cột dọc, có thể nhảy qua các
ô trên cùng hàng, cùng cột không thuộc bàn cờ. Hai quân cờ được gọi
là không ăn nhau (non attacking rooks) nếu chúng không chung hàng
hoặc chung cột.
Định nghĩa 2.1.2. Cho bàn cờ C , miền ô vuông S được gọi là một
block của bàn cờ C nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với bất kì hai dịng i, i chứa ô S và cột j không chứa ô nào của S

thì hai ơ (i; j) và (i ; j) hoặc cùng là ô vuông của C hoặc không cùng là
ơ vng của C
(ii) Với bất kì hai cột j, j chứa ơ của S và dịng i khơng chứa ơ nào của

S thì hai ơ (i; j) và (i; j ) hoặc cùng là ô vuông của C hoặc không cùng
là ô vuông của C .
Nhận xét 2.1.3. Nếu C là bàn cờ gồm các ơ vng thì mỗi ô vuông
của C được xem là một block của C .
Ví dụ 2.1.4. Xét bàn cờ như hình vẽ dưới. Khi đó bảng ơ vng S
được xác định gồm các ơ ở các vị trí (2; 2); (3; 2); (3; 3); (3; 4) ( ô được

tô) là một block của C .
C
11


Định nghĩa 2.1.5. Cho bàn cờ C bất kì gồm m hàng và n cột, đa thức
quân cờ của bàn cờ C là R (C, x) = r0 (C) + r1 (C) x + ... + rk (C) xk +
∞

... =

rk (C) xk trong đó rk (C) là số cách sắp k quân cờ không ăn

k=0

nhau trên bàn cờ C . Số rk (C) được gọi là rook number thứ k của C .
Nhận xét 2.1.6.
(i) Hệ số r0 (C) = 1 vì có một cách đặt 0 qn cờ lên bàn cờ C và r1 (C)
là số ô vuông của C vì đây là cách đặt một quân cờ trên C .

(ii) Nếu C có m dịng và n cột thì rk (C) = 0 với mọi số nguyên k >

min {m, n}.
Ví dụ 2.1.7. Cho bàn cờ như hình vẽ sau.

A

B

Đa thức quân cờ của các bàn cờ lần lượt là

R (A, x) = 1 + 9x + 18x2 + 6x3 , R (B, x) = 1 + 5x + 5x2 + x3 .
Mệnh đề 2.1.8. Cho m, n là các số nguyên dương thỏa mãn m ≤ n.
Khi đó đa thức quân cờ của bàn cờ C hình chữ nhật kích thước m × n là
m

R (C, x) =
k=0

n!m!
xk .
k! (n − k)! (m − k)!

Chứng minh. Với mỗi 0 ≤ k ≤ m thì có

m
k

cách chọn k dòng trong

n
cách chọn k cột trong n cột. Với dịng thứ nhất trong
k
k dịng đã chọn ta có k cách đặt quân cờ trên k cột đã chọn, với dịng
m dịng và có

12


thứ hai ta có k − 1 cách đặt quân cờ trên k − 1 cột còn lại (trừ cột đã
chứa quân cờ ở dòng đã chọn đầu tiên). Tiếp tục cách chọn như vậy,
suy ra số cách đặt k quân cờ trên bàn cờ sao cho các quân này không
n
m
n!m!
ăn nhau là rk (C) =
k! = k!(n−k)!(m−k)!
. Vậy đa thức quân cờ
k
k
m

của bàn cờ C là R (C, x) =
k=0

n!m!
k
k!(n−k)!(m−k)! x .

Hệ quả 2.1.9. Đa thức quân cờ của bàn cờ vng kích thước n × n là

n

R (C, x) =
k=0

n
k

2

k!xk .

Theo cách làm trên, việc tìm đa thức qn cờ của bàn cờ như hình
chữ nhật, hình vng là tương đối đơn giản, nhưng đối với bàn cờ phức
tạp ta cần nhiều phép biến đổi trên các dòng và cột để đưa về các bàn
cờ đơn giản hơn để tính. Các tính chất sau đây cho phép chúng ta thực
hiện được điều này. Sau đây luận văn trình bày một số tính chất quan
trọng của đa thức quân cờ.
Mệnh đề 2.1.10. Cho bàn cờ C . Gọi Cd , Cc lần lượt là bàn cờ tương
ứng có được khi đổi chỗ hai dịng bất kì và hai cột bất kì của C . Khi đó

R (C, x) = R (Cd , x) = R (Cc , x) .
Chứng minh. Vì với mỗi cách đặt k quân cờ trên bàn cờ C thì trên mỗi
dịng và cột chứa qn cờ có duy nhất 1 quân cờ của C trong k quân
nên với các phép đổi hai dòng cho nhau hay hai cột cho nhau ta vẫn
nhận được một cách sắp đặt cho các bàn cờ Cd , Cc . Do đó ta có điều
cần chứng minh.
Mệnh đề 2.1.11. Nếu A, B là hai bàn cờ độc lập thì

R (A ∪ B, x) = R (A, x) .R (B, x) .

Chứng minh. Sắp xếp k quân cờ trên bàn cờ A ∪ B , có rs (A) cách sắp

s (1 ≤ s ≤ k) quân cờ trong A và có rk−s (B) cách sắp k − s quân còn
13


lại trong B nên số cách sắp k quân cờ trên bàn cờ A ∪ B là
k

rk (A ∪ B) =

rs (A)rk−s (B) .
s=0

Vậy đa thức quân cờ của bàn cờ A ∪ B là
∞

k

rs (A) rk−s (B) xk = R (A, x) .R (B, x) .

R (A ∪ B, x) =
k=0

s=0

Mệnh đề 2.1.12. Cho C là bàn cờ các ơ vng có block S nằm trên m
dịng và n cột, đặt p = min {m; n}. Với mỗi 0 ≤ k ≤ p, kí hiệu Dk (S)
là bàn cờ có được từ bàn cờ C sau khi thực hiện các bước sau:
(i) Bỏ tất cả các ô của S.

(ii) Bỏ tất cả các ơ thuộc k dịng tùy ý trong số m dịng chứa các ơ của

S.
(iii) Bỏ tất cả các ô thuộc k cột tùy ý trong số n cột chứa các ơ của S.
Khi đó, đa thức quân cờ của bàn cờ C là
p

rk (S)xk R (Dk (S) , x) .

R (C, x) =
k=0

Chứng minh. Vì S là một block nên với hai bộ bất kì mỗi bộ gồm

k (0 ≤ k ≤ p) ô vuông chứa k qn cờ khơng ăn nhau trong S thì những
bàn cờ mới sinh ra vẫn không thay đổi khi thực hiện các phép bỏ đi tất
cả các ô của S, k dịng và k cột chứa các ơ này, đó chính là bàn cờ

Dk (S). Do đó nếu sắp t qn cờ trên bàn cờ C , thì có rk (S) cách sắp
xếp k (0 ≤ k ≤ t) quân cờ vào S tương ứng với mỗi cách sắp xếp này
có rt−k (Dk (S)) cách sắp xếp các qn cịn lại vào bàn cờ Dk (S). Vậy
t

số cách sắp t quân cờ trên bàn cờ C là rt (C) =

rk (S) rt−k (Dk (S)).
k=0

Vì ri (S) = 0 với mọi i > p. Do đó đa thức quân cờ của C là R (C, x) =

rk (S) rt−k (k (S)) xt =

rk (S) xk R (Dk (S) , x). Trong từng

trường hợp S là ơ vng bất kì trong C ta có hệ quả sau.
14


Hệ quả 2.1.13. Cho a là ơ vng bất kì trong C . Gọi Υ là bàn cờ có
được từ C bằng cách xóa đi hàng cột chứa a, và X là bàn cờ có được từ

C bằng cách xóa đi ơ a. Khi đó, ta có R (C, x) = R (X, x) + xR (Υ, x) .
Ví dụ 2.1.14. Tìm đa thức quân cờ của bàn cờ C

Lời giải. Đánh dấu
C ơ ở vị trí (2; 2) như hình vẽ thì R (C, x) = R (A, x)+
xR (B, x). Trong đó các bàn cờ A, B được đánh dấu các ơ và biến đổi
như hình vẽ sau

D

A

B

15

E

Suy ra:

R (A, x) = R (D, x) + xR (E, x)
= (1 + x)2 1 + 4x + 2x2 + x (1 + x) (1 + 2x)
= 1 + 7x + 14x2 + 10x3 + 2x4 .
Và R (B, x) = 1+4x+2x2 . Vậy R (C, x) = 1+8x+18x2 +12x3 +2x4 .
Nhận xét 2.1.15. r4 (C) = 2 chính là số hoán vị σ4 của tập {1, 2, 3, 4}
sao cho σ (1) = 2,σ (2) = 1,σ (3) = 2,σ (4) = 1.
Ví dụ 2.1.16. Cho bàn cờ vng C2n kích thước 2n × 2n, hãy tìm đa
thức quân cờ của bàn cờ tạo bởi các ô được tô bên dưới

···

Lời giải. Gọi M2n là bàn cờ tạo bởi các ô được tô, với k = 1, 2, ..., n, gọi

Ak là bàn cờ tạo bởi 4 ô có vị trí như sau
(k; k), (k; 2n − k + 1), (2n − k + 1; k), (2n − k + 1; 2n − k + 1).
Khi đó A1 ,A2 , ..., An là các bàn cờ vng kích thước 2×2 đơi một độc lập.
n

Đa thức qn cờ của bàn cờ M2n là R (M2n , x) = 1 + 4x + 2x2 .
Ví dụ 2.1.17. Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 quân cờ lên bàn cờ 8 × 8 ơ
sao cho khơng có 2 qn cờ nào ăn nhau và khơng có qn cờ nào nằm
trên một trong hai đường chéo của bàn cờ ?
16


Lời giải. Số cách xếp 8 quân cờ lên bàn cờ sao cho khơng có hai qn
cờ nào ăn nhau là 8! (có 8 cách xếp con thứ nhất ở hàng 1; có 7 cách
xếp con thứ 2 ở hàng 2;...; cuối cùng còn 1 cách xếp con thứ 8 ở hàng

8). Gọi S là tập hợp các ô vuông nằm trên hai đường chéo của bàn cờ.
Gọi Ai là tập hợp các cách sắp xếp 8 quân cờ ở hàng thứ i nằm trong
8

S . Vậy số cách xếp 8 quân cờ trên bàn cờ là

Ai . Theo nguyên lí loại
i=1

trừ ta có:
8

8

Ai =
i=0

(−1)k−1
1≤i1 <...
k=1

|Ai1 ∩ ... ∩ Aik | .

Giả sử đa thức quân cờ của S là RS (x) = a8 x8 +a7 x7 +...+a2 x2 +a1 x+

a0 . Ta tính
1≤i1 <...

|Ai1 ∩ ... ∩ Aik | (1 ≤ k ≤ 8). Sau khi sắp xếp

k quân cờ ở các hàng thứ i1 , i2 , ..., ik vào S sao cho chúng không ăn nhau
thì cịn lại 8−k qn cờ có thể xếp vào các vị trí cịn lại, có (8 − k)! cách
sắp xếp. Mỗi phần tử của Ai1 ∩ ... ∩ Aik là một cách sắp xếp k quân cờ
vào S sao cho chúng không ăn nhau.
1≤i1 <...
|Ai1 ∩ ... ∩ Aik |

=

ak (8 − k)!. Đánh số các ô của S từ 1 đến 16 như hình vẽ.
1

2
5

6
9

10
13 14
13 16

11

12

7

8

3

4

Đặt Sk là tập hợp các ô của S mang số 4k − 3;4k − 2;4k − 1;4k . Ta có

RS (x) = RS1 (x) .RS2 (x) .RS3 (x) .RS4 (x)
= 1 + 4x + 2x2

4

= 16x8 + 28x7 + 416x6 + 704x5 + 664x4 + 352x3 + 104x2 + 16x + 1
8

Ai = 16.7!−104.6!+352.5!−664.4!+704.3!−416.2!+128.1!−

Vậy
i=1

16 = 35568. Do đó số cách sắp xếp 8 quân cờ lên bàn cờ 8 × 8 sao cho
khơng có hai qn cờ nào ăn nhau là 8! − 35568 = 4752.

17


2.2. Ứng dụng trong tổ hợp
2.2.1. Hoán vị và xáo trộn

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hoán vị.
Định nghĩa 2.2.1. Cho số nguyên dương n. Một hoán vị σ có độ dài n
là một song ánh từ tập {1, 2, ..., n} đến chính nó.
Kí hiệu Sn là tập hợp tất cả các hốn vị có độ dài n. Hoán vị

σ ∈ Sn sao cho σ (i) = i với mọi i thoả mãn1 ≤ i ≤ n được gọi là một
xáo trộn của tập {1, 2, ..., n}.
Số tất cả các hoán vị đã biết là Pn = n!. Với σ ∈ Sn thỏa mãn

σ (i) = j thì ta đặt tương ứng một quân cờ ở vị trí (i; j) (tức dịng i cột
j ) trên bàn cờ ơ vng n × n. Như vậy mỗi hốn vị σ có độ dài n cho
tương ứng với một cách đặt n quân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trên
bàn cờ ơ vng kích thước n × n.
Mệnh đề 2.2.2. Cho bàn cờ ơ vng kích thước n × n. Số cách đặt n
quân cờ sao cho không ăn lẫn nhau trên bàn cờ đó là n!.
Ta cũng dễ dàng nhận thấy mỗi xáo trộn có độ dài n là cách đặt

n quân cờ trên bàn cờ ô vng n × n sao cho khơng có hai qn cờ nào
“ăn nhau” và khơng có qn cờ nào nằm trên đường chéo chính của bàn
cờ. Bây giờ ta sẽ tìm tất cả các xáo trộn σ của tập {1,2, ..., n}.
Bổ đề 2.2.3 (Bài tốn bì thư). Có n bì thư và n thùng thư được đánh
số từ 1, 2, ..., n. Bỏ ngẫu nhiên các bì thư vào các thùng thư sao cho mỗi
thùng thư chỉ chứa một bì thư. Khi đó xác suất để xảy ra mọi bì thư đều
cho vào thùng thư sai địa chỉ là

1−

1
1

1
1
+ − + ...(−1)n .
1! 2! 3!
n!

Chứng minh. Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ bì thư vào thùng thư
(mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) và Ak là tập các cách bỏ n bì
thư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bì thư) mà bì thư
18


thứ k bỏ vào thùng thư có đánh số k . Khi đó X \ (A1 ∪ ... ∪ An ) là tập
các cách bỏ n bì thư vào n thùng thư (mỗi thùng thư chứa đúng một bì
thư) sao cho khơng có bì thư nào gửi đúng địa chỉ. Đặt N = |X|, ta có

N = n!. Đặt N = |X \ (A1 ∪ ... ∪ An )|. Đặt Nk là số cách mà có k bì
thư bỏ đúng địa chỉ. Ta có

|Ai1 ∩ ... ∩ Aik | =

Nk =
1≤i1 ≤...≤ik ≤n

k
n!
(n − k)! = .
n
k!

Theo Nguyên lý bù trừ [1, Định lý 3.1]

N = N − N1 + N2 − . . . + (−1)n Nn .
Do đó N = n! 1 −
1
2!

−

1
3!

1
1!

+

1
2!

−

1
3!

+ ...(−1)n n!1 . Xác xuất là

N
N

= 1 − 1!1 +

+ ...(−1)n n!1 .

Mệnh đề 2.2.4. Số cách đặt n quân cờ trên bàn cờ ô vng n × n sao
cho khơng có hai qn cờ nào ăn nhau và khơng có qn cờ nào nằm
trên đường chéo chính của bàn cờ là n! 1 −

1
1!

+

1
2!

−

1
3!

+ ...(−1)n n!1 .

2.2.2. Hốn vị với vị trí cấm

Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n và tập M = ∅
thỏa mãn M ⊂ C . Tìm số hốn vị σ ∈ Sn sao cho σ (i) = j với mọi

(i; j) ∈ M . Hoán vị σ thỏa mãn yêu cầu bài toán được gọi là hốn vị
với vị trí cấm, tập M gọi là tập cấm của bàn cờ C , ô (i; j) ∈ M gọi

là vị trí cấm trên C . Như vậy bài tốn trên chính là tìm số cách sắp n
qn cờ trên bàn cờ C sao cho khơng có hai qn cờ nào ăn nhau và
khơng có qn cờ nào ở các vị trí cấm, đó chính là hệ số rn (C\M ). Tuy
nhiên, để tìm số cách sắp đặt các quân cờ này rất phức tạp, trong khi
đó nếu xét bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm M thì ta dễ dàng tìm được các
hệ số của đa thức quân cờ R (M, x) từ đó suy ra số cách sắp theo yêu
cầu qua định lí sau đây
Định lý 2.2.5. Cho bàn cờ hình chữ nhật C kích thước m × n với M là
tập hợp các vị trí cấm. Đặt p = min {m, n}, gọi rk (M ) là số cách đặt
19


k quân cờ không ăn nhau trên bàn cờ M , khi đó
k

rk (C\M ) =

(−1)
=0

(m − )! (n − )!
r (M ) (1)
(m − k)! (n − k)! (k − )!

đa thức quân cờ của bàn cờ C\M là
p

k

R (C\M, x) =

(−1)
k=0

=0

(m − )! (n − )!
r (M ) xk . (2)
(m − k)! (n − k)! (k − )!

Chứng minh. Với 1 ≤ k ≤ p, ta xét đặt k quân cờ trên C . Giả sử có s
dịng trong bàn cờ C chứa các ơ bị cấm là d1 , d2 , ..., ds . Với mỗi i thoả
mãn 1 ≤ i ≤ s ≤ min {m, n}, gọi Ai (k) là cách sắp k quân cờ trên bàn
cờ C sao cho có qn cờ trên dịng di ở vị trí cấm và ti là số ơ vng bị
cấm trên dịng di . Khi đó số cách sắp k quân cờ trên bàn cờ C\M là
s

m!n!
−
rk (C\M ) = rk (C)−
Ai (k) =
(m
−
k)!
(n
−
k)!
(k
−
1)!

i=1

s

Ai (k) .
i=1

Trường hợp 1. Với p ≥ k ≥ s xét mỗi Ai (k) ta có ti cách đặt qn
cờ ở vị trí cấm di , và k − 1 quân cờ còn lại nằm trên k − 1 ô vuông của
C không chứa cột và dịng của qn cờ nằm trên ơ bị cấm di nên số cách
m−1
n−1
(m−1)!(n−1)!
.
xếp k − 1 quân cờ này là
(k − 1)! = (m−k)!(n−r)!(k−1)!
k−1
k−1
Vậy
s

i=1

(m − 1)! (n − 1)!
|Ai (k)| =
(m − k)! (n − k)! (k − 1)!
= r1 (M )

s

ti
i=1

(m − 1)! (n − 1)!
.
(m − k)! (n − k)! (k − 1)!

Tương tự ta cũng có

|Ai1 (k) ∩ Ai2 (k) ∩ ...Ait (k)|
1≤i1
= r (M ) .

(m − )! (n − )!
. (∗) .
(m − k)! (n − k)! (k − )!

Theo nguyên lí bù trừ suy ra
s

s

(−1) −1 r (M )

Ai (k) =
i=1

i=1
20

(m − )! (n − )!
.
(m − k)! (n − k)! (k − )!


Vì vậy rk (C\M ) =

(m− )!(n− )!
(−1) r (M ) (m−k)!(n−)!(k−
)! . Vì rj (M ) = 0 với

mọi j > s nên có được (1) và (2).
Trường hợp 2. Với 1 ≤ k < s thì thực hiện tương tự chứng minh
như trên nhưng ở (*) chú ý rằng Ai1 (k) ∩ Ai2 (k) ∩ ... ∩ Ai (k) = ∅ nếu

> k nên cũng chỉ xét các tập Ai với ≤ k và từ đó ta cũng có (1) và
(2).
Hệ quả 2.2.6. Cho bàn cờ vng n × n và M là tập hợp các vị trí cấm.
Gọi rk (M ) là số cách đặt k quân cờ khơng ăn nhau trên bàn cờ M , khi
k

đó rk (C\M ) =

2

(−1)
i=0

((n− )!)

r
2
((n−k)!) (n−r)!
n

(M ) . Và đa thức quân cờ của

k

bàn cờ C\M là R (C\M, x) =

2

(−1)
k=0

=0

((n− )!)
r
2
((n−k)!) (n−r)!

(M ) xk .

Hệ quả 2.2.7. Cho C là bàn cờ vng n × n và M là tập hợp các vị
trí cấm. Gọi rk (M ) là số cách đặt k quân cờ không ăn nhau trên bàn
cờ M , khi đó số hốn vị σ ∈ Sn sao cho σ (i) = j với mọi (i, j) ∈ M là

rn (C\M ) =

(−1) (n − )!r (M ) .

Ví dụ 2.2.8. Tìm cách đặt 5 qn cờ khơng ăn nhau trên bàn cờ C
kích thước 5 × 5 bên dưới các vị trí cấm là các ô vuông được tô.

C
Lời giải. Gọi B là bàn cờ tạo bởi các ô bị cấm, đánh dấu ô (2; 2) ta thực
hiện biến đổi như hình bên dưới.

21


E
B

D

E

F

D
Khi đó

R (B, x) = R (D, x) + xR (E, x)
= R (E, x) .R (F, x) + xR (E, x)
= (1 + 2x) 1 + 5x + 4x2 = 1 + 7x + 14x2 + 8x3 .
Suy ra số cách xếp 5 quân cờ trên bàn cờ C thỏa mãn là r5 (C\M ) =

5! − 4!.7 + 3!.14 − 2!.8 = 20.
Ví dụ 2.2.9. Có bao nhiêu cách bố trí 6 học sinh a, b, c, d, e, f vào 6
ghế được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4, 5, 6 biết rằng học sinh a khơng thích
ngồi ghế số 3 và ghế số 4, học sinh b khơng thích ngồi ở các ghế 1, 2;
các học sinh c, d khơng thích ngồi ở các ghế 2, 3; các học sinh e, f ngồi
ở vị trí nào cũng được?
Lời giải. Số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là cách sắp 6 quân
cờ vào bàn cờ C sao cho khơng có hai con nào ăn lẫn nhau và khơng có
qn cờ nào ở vị trí cấm( các ơ được tơ) trong bàn cờ sau

22