(Sáng kiến kinh nghiệm) các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ f '( x)

Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xuân 5
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2018
1


MỤC LỤC

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3.Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
2

Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 2
Trang 17
Trang 18


Trong mơn giải tích đạo hàm là một cơng cụ mạnh để giải quyết nhiều bai toán. Giữa
hàm số f  x  và đạo hàm của y = f '( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự
đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng
các cơng thức thì nó cịn được biểu diễn dưới dạng đồ thị. Việc đưa vào đồ thị của f '( x)

để tìm ra tính chất của hàm số f ( x ) cho ta những bài toán hay.
Trong các đề thi hiện nay xuất hiện nhiều bài tốn có giả thiết là cho đồ thị của hàm số
f '( x )
và yêu cầu chỉ ra các tính chất về sự biến thiên cũng như cực trị và một số tính

chất khác của hàm số f ( x ) . Chính vì vậy tơi chọn đề tài “Các bài tốn liên quan đến
đồ thị của hàm số f '( x ) ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh học tốt hơn bài toán liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
- Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 và đồng nghiệp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5.
- Các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của đạo hàm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Tìm hiểu những khó khăn khi học sinh khi làm các dạng bài tập liên quan đến đồ thị
của đạo hàm.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan.
- Áp dụng giảng dạy các lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 5.
1.5. Những điểm mới trong sáng kiến kinh nghiệm.
- Dùng hình ảnh trực quan được vẽ từ phần mềm [10].
- Áp dụng trong các bài toán trong các đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2017-2018
[3].
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo
của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn
toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở
phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách
thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
Đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình tốn giải tích lớp
12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm số,
trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Để học sinh hiểu về các dạng bài
tốn đồ thị của f '( x) Tơi đã phân dạng và các bài tập minh họa, sau đó là bài toán thực

tế trong các đề thi thử của các trường trong năm học 2017-2018.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3


Chủ đề đồ thị hàm số là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình tốn giải tích
lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ hơn các tính chất hàm
số, trực quan hơn trong các bài toán liên quan đến đồ thị. Nhìn chung khi học vấn đề
này, đại đa số học sinh(kể cả học sinh khá giỏi)thường gặp những khó khăn, sai lầm
sau:

- Các bài tốn đều liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số f '( x) từ đồ thị học sinh tìm ra
các tính chất của hàm số f ( x ) hoặc các điểm cực trị, so sánh các giá trị hàm số, hay tìm
số nghiệm phương trình....
- Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập cịn ít “ chưa đủ” để giúp
học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng.
- Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác khó hiểu.
- Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh còn chưa thành thạo.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị của hàm số:
y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ) ± ax.
y = f ( x)

liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) trên

Bài 1.1: Hàm số

K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) trên K .
A. 1.
B. 2.

C. 3.
D. 4.

y

Giải:

Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị y = f '( x ) cắt trục
1
Ox tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị
y = f '( x )
tiếp xúc với trục Ox . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét:
a) Xét một thực a dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm số
y = f ( x + a)

x

hoặc y = f ( x - a) trên K , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số

cực trị của các hàm số y = f ( x) , y = f ( x + a ) và y = f ( x - a) là bằng nhau nhưng
mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị x0 khác nhau!
b) Giả thiết ở thí dụ 1 và các thí dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:
Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K và có đồ thị như hình vẽ. Biết y = g ( x ) là

một nguyên hàm của hàm số y = f ( x) . Tìm số cực trị của hàm số y = g ( x ) trên K .

Bài 1.2: Hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) trên
K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g ( x) = f ( x +1) trên K ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

4


Giải:

Ta có g '( x) = f '( x +1) có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f '( x) theo
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số g '( x) = f '( x +1) vẫn cắt trục
hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.
y

Bài 1.3: Cho hàm số f  x  có đồ thị f  x  của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó

trên K , hàm số y  f  x  2018  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
O

x

Giải:


Đồ thị hàm số f '( x - 2018) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f  x  theo phương trục

hoành nên đồ thị hàm số f '( x - 2018) vẫn cắt trục hoành 1 điểm.Ta chọn đáp án A.
Bài 1.4: Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị của hàm

số f  x  như hình vẽ . Hàm số y = g ( x) = f ( x) + 4 x có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 1.
B.2.
C. 3.
D.4.
Giải:
Cách 1:

y ' = g '( x ) = f ' ( x ) + 4
có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm
f '( x )
Oy

số

theo phương

lên trên 4 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số g '( x ) cắt trục hoành tại 1 điểm, ta
chọn đáp án A.
Cách 2:

Số cực trị của hàm g ( x) bằng số nghiệm bội lẻ của

phương trình g '( x) = f '( x) + 4 = 0 Û f '( x) =- 4

Dựa vào đồ thị của hàm f '( x) ta thấy phương trình trên có
một nghiệm đơn.
5


Bài 1.5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ . Hàm số y = f '( x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
cực trị?
A. 1.
C. 3.
Giải:

y = g ( x) = f ( x) +

2017 - 2018 x
2017
có bao nhiêu

B. 2.
D. 4.

y
5

2
1

2018
y ' = g '( x ) = f ' ( x ) 2017 . Suy ra đồ thị của hàm
Ta có
g '( x )
y = f '( x )

số

là phép tịnh tiến đồ thị hàm số

x1

x2 x3

x

theo

2018
phương Oy xuống dưới 2017 đơn
2018
1<
<2
2017
vị. Ta có
và dựa vào đồ thị của hàm số y = f '( x) , ta suy ra đồ thị của hàm
g '( x )

số

cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
y

5

2
1

x
x1

x2 x3

Bài 1.6: Cho hàm số y = f ( x) . Biết f ( x ) có đạo hàm f '( x) và hàm số y = f '( x) có đồ
thị như hình vẽ. Đặt g ( x) = f ( x +1) . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực trị.

B. Hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng ( 1;3) .

C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4) .

D. Hàm số g ( x ) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Giải:
éx +1 = 1
ê
g '( x ) = f '( x +1) = 0 Û êx +1 = 3 Û
ê
êx +1 = 5
ë

Cách 1:

6

éx = 0
ê
êx = 2
ê
êx = 4
ë


é1 < x +1 < 3
g '( x ) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û
ê
ëx +1 > 5
x

y

0

−∞
+∞

,

-

0

é0 < x < 2
ê
ê
ëx > 4

2
+

0

4
-

0

+

y

Ta chọn đáp án C.

Cách 2: Đồ thị hàm số g '( x) = f '( x +1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo
phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
g'(x)

f '(x)

Ta thấy trên khoảng ( 2; 4) đồ thị hàm số g '( x) = f '( x +1) nằm bên dưới trục hoành nên

hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng ( 2; 4) , ta chọn đáp án C.
Bài 1.7: Cho hàm số y = f ( x) . Biết f ( x) có đạo hàm
f '( x )

và hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

g ( x ) = f ( x - 1)

A. x = 2.
Giải:

đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
B. x = 4.
C. x = 3.
D. x = 1.

éx - 1 = 1
éx = 2
ê
ê
g '( x ) = f '( x - 1) = 0 Û êx - 1 = 3 Û êx = 4
ê
ê
êx - 1 = 5 êx = 6
ë
ë
Cách 1 :
é1 < x - 1 < 3 é2 < x < 4
g '( x ) = f '( x - 1) > 0 Û ê
Û ê

ê
ê
x
1
>
5
ë
ëx > 6
x

−∞

2

4

6

+∞

7


y

,

-

0

+

0

-

0

+

y

Ta chọn đáp án B.

Cách 2 : đồ thị hàm số g '( x) = f '( x - 1) là phép tịnh

tiến đồ thị hàm số y = f '( x ) theo phương trục hoành
sang phải 1 đơn vị.

Đồ thị hàm số g '( x) = f '( x - 1) cắt trục hồnh tại các
điểm có hồnh độ x = 2; x = 4; x = 6 và giá trị hàm số
g '( x )
đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm x = 4 .
Ta chọn đáp án B.
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hoặc so
y = f ( x) .
sánh các giá trị của hàm số

Bài 2.1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f  x  . Đồ thị của


hàm số y  f  x  được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

f  0   f  3  f  2   f  5 

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị

lớn nhất M của f  x  trên đoạn  0;5 ?
A.
C.

m  f  0 , M  f  5 .

B. m  f  2  , M  f  0  .

m  f  1 , M  f  5  .

D. m  f  2  , M  f  5  .

Hướng dẫn:
x

0

y,

0

-

2
0

+

3

5

+

f ( 3)

f ( 0)

f ( 5)

y

f ( 2)

8

f '(x)

g'(x)


min f ( x) = f ( 2)
é0;5ù

ê
ë ú
û

ff( 0) <

( 5)

và

ff( 3) >

( 2) f  0   f  3  f  2   f  5 

f  0   f  5   f  2   f  3  0 

Ta chọn đáp án D.


Bài 2.2: Cho hàm số f  x  có đạo hàm là f  x  . Đồ thị của


hàm số y  f  x  được cho như hình vẽ bên. Biết rằng
f  0   f  1  2 f  2   f  4   f  3

. Tìm giá trị nhỏ nhất m và

giá trị lớn nhất M của f  x  trên đoạn  0; 4 ?
A.
C.

m  f  4 , M  f  2 .

B. m  f  4  , M  f  1 .

m  f  0 , M  f  2 .

D. m  f  1 , M  f  2  .

Giải

:
0

x
,

y 0

1
+

2
0
f ( 2)

3

4

-

y

f ( 0)

f ( 4)

Dựa vào BBT ta có M = f ( 2) , GTNN chỉ có thể là f ( 0) hoặc f ( 4)

Ta lại có: f ( 1) ; f ( 3) < f ( 2) Þ f ( 1) + f ( 3) < 2 f ( 2) Û 2 f ( 2) - f ( 1) - f ( 3) > 0
f  0   f  1  2 f  2   f  4   f  3  f  0   f  4  2 f  2   f  3  f  1  0  f  0   f  4  .

Ta chọn đáp án A.

Bài 2.3: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Biết f  a   0 .

Phương trình f  x  0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A. 2 nghiệm.
B. 1 nghiệm.
C. 4 nghiệm.
D. 3 nghiệm.

9


y

a

b

c

O

x

Giải:

Từ đồ thị của hàm số y = f '( x ) ta có bảng biến thiên như sau:
x
a
b
c
−∞
+∞

y,

-

0

+

0

-

0

+

f ( b)

y

f ( a)

f ( c)

c

b

c

f ( c ) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < 0 Þ f ( c ) < f ( a )
a

a

b

f ( c) > 0 :

PT f ( x) = 0 vô nghiệm.
f ( c) = 0 :
PT f ( x) = 0 có 1 nghiệm.

f ( c) < 0 :
y

. Do f ( a) > 0 nên

PT f ( x) = 0 có 2 nghiệm.
Chọn đáp án: A
f  x 
Bài 2.4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số
y  f  x 

a

O

b

Từ đồ thị của hàm số
x

x của đồ thị hàm số y = f ( x ) ?
A. 3 .
B. 5 .
C. 2.
D. 7 .

c

Giải:

y = f '( x )

ta có bảng biến thiên như sau:

a

−∞

như trong hình vẽ bên, f  a   0 . Tìm số điểm cực trị

c

b

+∞

y,
y

-

0

+

0

-

0 +

f ( b)

10


f ( a)

f ( c)

c

b

c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx > 0 Þ f ( c ) > f ( a ) > 0
a

a

b

f ( x)
Đồ thị f ( x ) nằm trên trục ox với mọi x Þ đồ thị f ( x ) cũng chính là đồ thị
Chọn đáp án: A

Bài 2.5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x  liên tục trên  và đồ thị của hàm số

f  x 

như hình vẽ. Số nào lớn nhất trong các số sau f ( 0) ; f ( 1) ; f ( 3) ; f ( 4) ?
A. f ( 0) .

B. f ( 1) .

C. f ( 3) .

D. f ( 4) .

 
Giải:
x

y

0
,

+

1
0

-

3
0

+

f ( 1)
f ( 4)

y

f ( 0)
4

4

f ( 3)
3

4

f ( 4) - f ( 1) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ị f '( x )dx < 0 Þ f ( 4) < f ( 1) .
1

1

3

Ta chọn đáp án B.

Bài 2.6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x  liên tục

trên  và đồ thị của hàm số f  x  như hình vẽ. Khẳng định
nào sau đây đúng?

A. f ( a ) > f ( b) và f ( c ) > f ( a ) .
B. f ( a ) > f ( b ) và f ( c ) < f ( a ) .
C. f ( a ) < f ( b ) và f ( c ) > f ( a ) .

D. f ( a ) < f ( b) và f ( c ) < f ( a ) .
11


a

Giải:

f ( a ) - f ( b) = ò f '( x )dx > 0 Û f ( a ) > f ( b ) .
b

c

f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx < 0 Û f ( c ) < f ( a ) .
a

Ta chọn đáp án B.

Bài 2.7:  Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên ¡
, có đồ thị của hàm số y = f '( x) như hình vẽ sau. Đặt
g ( x) = f ( x) - x

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) . B. g ( 2) < g ( 1) < g ( - 1) .

C. g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) . D. g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .
Giải :

Ta có g '( x) = f '( x) - 1 . Ta vẽ thêm đường thẳng y = 1.
1

Ta có:

1

ù
g ( 1) - g ( - 1) = ò g '( x )dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0
- 1

Þ g ( 1) < g ( - 1) .

Þ g ( 2) < g ( 1) .

y=1

- 1

2

2

1

1

ù
g ( 2) - g ( 1) = ò g '( x)dx = ò é
ëf '( x ) - 1ûdx < 0

Ta chọn đáp án B.

Dạng 3: Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực trị, so sánh các giá trị của hàm số
ù
y= f é
ëu ( x) û, y = kf ( x ) ± g ( x )
Bài

3.1: (Câu 39 đề minh hoạ 001 năm 2018) Cho hàm số

y  f  x  . Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số
y g  x   f (2  x ) đồng biến trên khoảng

A.  1;3

B.  2; 

C.   2;1
Giải:

D.   ;  2 

é2 - x <- 1
g '( x ) =- f '( 2 - x ) >Û f '( 2 - x ) < 0 Û ê
Û

ê
1
<
2
x
<
4
ë
Ta có

Chọn đáp án C.

12

éx > 3
ê
ê
1 > x >- 2
ë


Bài 3.2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên  thoả f ( 2) = f ( - 2) = 0 và đồ thị của
2
y = ( f ( x) )
y = f '( x )
hàm số
có dạng như hình bên. Hàm số
nghịch biến trên khong
no trong cỏc khong sau?
ổ 3ử

ỗ
- 1; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
ứ
2
A.

B. ( - 1;1) .

C. ( - 2; - 1) .

D. ( 1;2) .

Giải:

Ta có f '( x) = 0 Û x = 1; x = ±2. f ( 2) = f ( - 2) = 0 .
Ta có bảng biến thiên :

x

f ' (x)
f ( x)

1

−2

−∞
+∞

+

0
0

-

2

0

+

0
0

-

−∞
−∞

Þ f ( x) < 0; " x ¹ ±2.

éf ( x) = 0
y'=0 Û ê
êf '( x) = 0 Û

ê
ë

2

Xét

y = ( f ( x ) ) Þ y ' = 2 f ( x ) . f '( x )

éx = ±2
ê
ê
ëx = 1; x = ±2

Bảng xét dấu :
x

1

−2

−∞
+∞

f ' (x)

+

0

-

f ( x)

-

0

-

-

0

+

'

2
y=é
(ë f ( x ) ) ùúû
ê

0

0

Chọn đáp án D.
13

2
+

0

-

-

0

-

-

0

+


y

Bài 3.3: (câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm

số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f  x  như hình bên. Đặt

4

g  x  2 f  x    x 1

2
1
2

x

3

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g  3  g   3  g  1 .

3
O

2

B. g   3  g  3  g  1 .
C. g  1  g   3  g  3 .
D. g  1  g  3  g   3 .

Giải:
g '  x  2 f '  x   2  x  1 2  f '  x    x  1 

Ta có:
Ta vẽ đường thẳng y = x +1 .

Ta có:

1

1

- 3

- 3

ù
g ( 1) - g ( - 3) = ò g'( x )dx = 2 ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx > 0 Þ g ( 1) > g ( - 3) .
3

3

ù
g ( 3) - g ( 1) = ò g'( x )dx = 2 ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx < 0 Þ g ( 3) < g ( 1) .
1

1

3

3

1

3

ù

é
ù
é
ù
g ( 3) - g ( - 3) = ò g'( x )dx = 2ò é
ëf '( x ) - ( x +1) ûdx = 2ò ëf '( x ) - ( x +1) ûdx + 2ò ëf '( x ) - ( x +1) ûdx
- 3

- 3

- 3

= 2 S1 - 2 S 2 > 0 Þ g ( 3) > g ( - 3) .

Như vậy ta có: g  1  g  3  g   3 Ta chọn đáp án D.

14

1


Bài 3.4: (câu 47-đề 104-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số y  f ( x) . Đồ thị của hàm
,
2
số y  f ( x) như hình bên. Đặt g ( x ) 2 f ( x)  ( x  1) .
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g (1)  g (3)  g (  3) .
B. g (1)  g (  3)  g (3) .
C. g (3) g ( 3)  g (1) .
D. g (3)  g ( 3)  g (1) .

Giải:
Ta có:
g '  x  2 f '  x   2  x  1 2  f '  x    x  1    g '  x  2    x  1  f '  x  

Ta vẽ đường thẳng y =- ( x +1) .

S1
S2

1

g   3  g  1 

1

g '  x  dx 2    x 1  f '  x   dx  0  g   3  g  1 .

3

3

3

3

g  1  g  3  g '  x  dx 2   x  1  f '  x   dx  0  g  3  g  1 .
1

1

3

g   3  g  3 

1

3

g '  x  dx 2    x 1  f '  x   dx  2   x 1  f '  x   dx 2S

1

3

3

1

 g   3  g  3

Như vậy ta có: g (1)  g (3)  g (  3) Ta chọn đáp án A.
Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số
y = f ( x ) ; y = f '( x ) ; y = f ''( x ) .

15

 2S2  0

Bài 4.1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên ¡ ,
sao cho đồ thị hàm số y = f '( x ) là parabol có dạng như
trong hình bên. Hỏi đồ thị của hàm số y = f ( x) cò đồ thị
nào trong bốn đáp án sau?

Hướng dẫn: đáp án B.

Bài 4.2: Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f  x  ,
y  f  x 

được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm



số y  f  x  , y  f  x  và y  f  x  theo thứ tự, lần lượt tương
ứng với đường cong nào ?

A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C3  ;  C2  .

Giải:

Trong khoảng ( 0;+¥ ) thì ( C2 ) nằm trên trục hồnh và
( C3 ) “đi lên”.

Trong khoảng ( - ¥ ;0) thì ( C2 ) nằm dưới trục hoành và ( C3 ) “đi xuống”.
( C1 ) nằm hoàn toàn trên trục hoành và ( C2 ) “đi lên”. Ta chọn đáp án A.
Đồ thị
Hoặc:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C2 ) cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị
hàm số ( C3 ) .

16


Đồ thị ( C2 ) đồng biến trên ¡ mà đồ thị ( C1 ) lại
nằm hoàn toàn trên trục hoành.Ta chọn đáp án A.

Bài 4.3: Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f  x 

, y  f  x  được vẽ mơ tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

các hàm số y  f  x  , y  f  x  và y  f  x  theo thứ
tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?




A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C2  ;  C3  .

Giải:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C2 ) cắt trục Ox tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị
hàm số ( C1 ) . Đồ thị ( C3 ) cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số

( C2 ) . Ta chọn đáp án D.

Bài 4.4: Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f  x  ,
y  f  x 

được vẽ mơ tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

các hàm số y  f  x  , y  f  x  và y  f  x  theo thứ
tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?




A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C2  ;  C3  .

Giải:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C2 ) cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị
hàm số ( C3 )

Đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số ( C2 ) Ta chọn
đáp án A.

Bài 4.5: Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f  x 

, y  f  x  được vẽ mơ tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị

các hàm số y  f  x  , y  f  x  và y  f  x  theo thứ
tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?


A.  C1  ;  C2  ;  C3  .



B.  C2  ;  C1  ;  C3 

17


C.  C3  ;  C2  ;  C1  .

D.  C3  ;  C1  ;  C2  .

Giải:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng :  C3  ;  C1  ;  C2  hoặc  C2  ;  C1  ;  C3  . Quan
sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị ( C1 ) nằm trên trục hồnh thì đồ thị

( C3 ) “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị ( C2 ) nằm trên trục
hoành thì đồ thị ( C1 ) “đi lên” và ngược lại. Ta chọn đáp án D .


Bài 4.6: Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f  x  , y  f  x  được vẽ mô tả ở hình


dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y  f  x  , y  f  x 

và y  f  x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào ?


A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C3  ;  C2  .

Giải:

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( C1 ) cắt trục Ox tại 2 điểm

là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số ( C2 ) ; đồ thị
( C3 ) cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của
đồ thị hàm số ( C1 ) . Ta chọn đáp án B.

Dạng 5: Một số dạng toán khác liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x) .
Bài 5.1: Cho hàm số
y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a, b, c, d Ỵ ¡ ; a ¹ 0)

có đồ thị (C). Biết
rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm có hoành
độ dương và đồ thị hàm số y = f '( x ) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần
nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và
trục hồnh?
A. 2.
B. 27.
C. 29.
D. 35.
Giải:
2
Ta có f '( x) = 3ax + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy đồ thị hàm số
1
a
=
; b =- 1; c =- 3
y = f '( x )
3
đi qua 3 điểm ( - 1;0) ,( 3,0) ,( 1, - 4) ta tìm được:
. Suy
1
f '( x ) = x 2 - 2 x - 3 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3 x + C
3
ra:
.

18


Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y =- 9 tại điểm có hồnh độ dương nên ta có:
f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 3 Þ x = 3.
Như vậy (C) đi qua điểm ( 3; - 9) ta tìm được
1
C = 0 Þ f ( x ) = x 3 - x 2 - 3x
3
.

Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm và trục hoành:
3+3 5
2

1 3
3 ±3 5
x - x 2 - 3x = 0 Û x = 0; x =
3
2
.

S=

ò

3- 3 5
2

1 3

x - x 2 - 3x dx = 29, 25.
3

Ta chọn đáp số C.
3
2
Bài 5.2: Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d Ỵ ¡ ; a ¹ 0) có đồ thị (C).
y
Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có
y = f '( x )
hồnh độ âm và đồ thị hàm số
cho bởi hình vẽ bên. Tìm
1
1
S
diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh?
27
21
5
9
B. 4
C. 4
D. 4
3
A.
Giải:

x

Ta có f '( x) = 3ax + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x ) ta thấy đồ thị hàm số

y = f '( x )
là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b = 0.
2

Đồ thị hàm số y = f '( x ) đi qua 2 điểm ( 1;0) ,( 0, - 3) ta tìm được: a = 1; c =- 3 .
Suy ra: f '( x ) = 3x - 3 Þ f ( x ) = x - 3x + C .
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hồnh độ âm nên ta có:
2

3

f '( x ) = 0 Û x =- 1; x = 1 Þ x =- 1.

3
Như vậy (C) đi qua điểm ( - 1;4) ta tìm được C = 2 Þ f ( x) = x - 3x + 2 .
Xét phương trình trình hồnh độ giao điểm và trục hồnh:

x 3 - 3x + 2 = 0 Û x = - 1; x = 2.
2

S = ò x 3 - 3x + 2 dx =
- 1

27
.
4

Ta chọn đáp số B.

3

2
Bài 5.2: Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d ( a, b, c, d ẻ Ă ; a ạ 0)
cú th (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc toạ độ và đồ thị

hàm số
A. 24.
Giải:

y = f '( x )

cho bởi hình vẽ bên. Tính
B. 28.
C. 26.

y

f ( 3) - f ( 1)

19

5

 ?
D. 21.

1

1

x

2
Ta có f '( x ) = 3ax + 2bx + c . Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy đồ thị hàm số

y = f '( x )
là parabol có trục đối xứng là trục tung nên b = 0.
y = f '( x )
( 1;5) ,( 0;2)

Đồ thị hàm số

ta tìm được: a = 1; c = 2 .

đi qua 2 điểm

2
3
Suy ra: f '( x ) = 3x + 2 Þ f ( x ) = x + 2 x + C , đồ thị hàm số (C) đi qua gốc toạ độ nên

C = 0 Þ f ( x) = x3 + 2 x Þ f ( 3) - f ( 2) = 21.

Ta chọn đáp án D.

Bài 5.3: Cho hàm s
y = f ( x) =

ax + b
cx + d

ổ
ử
-d
ữ
ỗ
a
,
b
,
c
,
d
ẻ
Ă
;
ạ
0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ, đồ thị hàm số
c

y = f '( x )

( )
như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. Tìm phương

trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục
hoành ?
y= f x

1
3
y = x- .
2
2
A.
1
3
y =- x + .
2
2
C.

1
3
y = x+ .
2
2
B.
1
y = - x + 2.
2
D.

Giải:
y ' = f '( x ) =

Ta có

ad - bc
2

( cx + d ) . Từ đồ thị hàm số y = f '( x) ta thấy:

Đồ thị hàm số y = f '( x ) có tiệm cận đứng
Đồ thị hàm số y = f '( x) đi qua điểm
Đồ thị hàm số y = f '( x ) đi qua điểm
Đồ thị hàm số

y = f ( x)

đi qua điểm

x =1 Þ

( 2;2) Þ
( 0; 2) Þ
( 0;3) Þ

-d
= 1 Þ c =- d .
c

ad - bc

( 2c + d )

2

= 2 Û ad - bc = 2 ( 2c + d )

ad - bc
= 2 Û ad - bc = 2d 2
2
d
b
= 3 Û b = 3d .
d

20

2


Giải hệ gồm 4 pt này ta được a = c =- d ; b = 3d .
Ta chọn

a = c = 1; b = - 3; d =- 1 Þ y =

x- 3
x - 1 . Ta chọn đáp án A.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tơi nhận thấy rằng , tài liệu “Các bài
tốn liên quan đến đồ thị của hàm số f '( x) ” đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả

quan. Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài tốn đồ thị của
hàm số f '( x) . Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, cũng đẩy mạnh ứng dụng

cơng nghệ thơng tin và dạy học. Từ đó các em học sinh rất thích thú và học tốt vấn đề
này. Trong quá trình giảng dạy, tơi tiến hành thử nghiệm với hai lớp: 12A1, 12A4 trong
đó sử dụng các dạng bài tập này để hướng dẫn đối với lớp 12A 1. Kết quả kiểm tra thử
như sau:
Lớp
Tổng số
Điểm 8 trở lên
Điểm 5 trở lên và < 8
Điểm dưới 5
SL
TL
SL
TL
SL
TL
12A1
42
15
35,7% 27
64,3%
0
0%
12A4
42
3
7,1%
34

81%
5
11,9%
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá,
trung bình đã có tăng lên mặc dù chưa nhiều, số lượng yếu, kém vẫn còn. Nhưng đối với
tôi, điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ
mơn tốn, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận
Trên đây tơi đã trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình trong việc tìm các tính
chất hoặc so sánh hay tìm số nghiệm phương trình từ đồ thị của hàm số f '( x) . Với các
dạng toán phân các loại khác nhau để học sinh dễ hiểu bài và các bài tập cập nhật trong
các đề thi thử THPT QG của các trường trong cả nước.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là sáng kiến tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 12 trường THPT Thọ
Xuân 5 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét, mở rộng hơn nữa
để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tự tin và hứng thú khi
học mơn Tốn./.

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. SGK GIẢI TÍCH 12 cơ bản và Sách giáo viên cơ bản.
[2]. SGK GIẢI TÍCH 12 nâng cao và Sách giáo viên nâng cao.
[3]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn:
- Nguồn:
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan SKKN này của Tơi
khơng sao chép của người khác, của
chính mình những năm trước.
Người viết

Lê Ngọc Hùng

22


23