Nghiên cứu cấu trúc bong bóng trong hạt nhân 54ca

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC
BONG BĨNG TRONG HẠT NHÂN 54Ca

Thuộc nhóm ngành khoa học: Vật Lý Hạt Nhân

TP Hồ Chí Minh - Năm 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGHIÊN CỨU CẤU TRÚC
BONG BĨNG TRONG HẠT NHÂN 54Ca
Thuộc nhóm ngành khoa học: Vật Lý Hạt Nhân
SV thực hiện:

Lê Ngọc Uyên

Nam, Nữ: Nữ

Dân tộc: Kinh
Lớp, khoa: K42.SP.LyA, Khoa Vật Lý

Ngành học: Sư Phạm Vật Lý

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn khoa học

Xác nhận của phản biện

TP Hồ Chí Minh - Năm 2020


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Vật Lý – Đại học Sư Phạm TPHCM,
tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và động viên từ các thầy cơ, gia đình và bạn bè. Tơi
xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến
Các thành viên trong gia đình đã ln quan tâm, ủng hộ về mặt tinh thần, tạo nên nguồn
động lực để tơi phấn đấu trong q trình học tập tại trường đại học và bền chí xun suốt
q trình thực hiện khóa luận.
PGS.TS Nguyễn Quang Hưng (Viện Nghiên cứu Khoa học cơ bản và Ứng dụng) cùng
các Thầy, Cô giảng viên của Khoa Vật Lý trường Đại học Sư Phạm TPHCM đã tận tâm
chỉ dẫn nhiệt tình trong quá trình giảng dạy kiến thức mới và nghiên cứu khoa học giúp
tôi có thể lĩnh hội kiến thức học thuật và kĩ năng nghiên cứu trong môi trường NCKH
chuyên nghiệp.
TS. Phạm Nguyễn Thành Vinh cùng Th.S. Lê Tấn Phúc, đồng hướng dẫn khoa học, đã
tận tâm cố vấn về mọi mặt về nội dung kiến thức, định hướng nghiên cứu cũng như kĩ
thuật tính tốn và lập trình, dẫn dắt tơi ngay từ những ngày đầu tiên thực hiện nghiên cứu
khoa học, giúp tôi phát triển bản thân về tư duy học thuật cũng như thái độ làm việc có
trách nhiệm, đúng giờ, và đã tận tình đọc luận văn và góp ý để tơi có thể hồn thiện khóa
luận tốt nghiệp một cách tốt nhất.
Các thành viên của nhóm AMO Group – Đại học Sư Phạm TPHCM đã quan tâm và giúp
đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu khoa học từ năm thứ hai đến nay.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2020.

Sinh viên
Lê Ngọc Uyên


MỤC LỤC
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT .....................................................................................2
DANH SÁCH HÌNH VẼ ...............................................................................................4
DANH SÁCH BẢNG ..................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ..........................................................................................9
1.1 Cấu trúc bong bóng ............................................................................................ 9
1.2 Hạt nhân 54Ca.................................................................................................... 11
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT ...........................................................14
2.1 Trường trung bình Hartree-Fock kết hợp với thế Skyrme............................... 14
2.1.1 Trường trung bình Hartree-Fock.................................................................... 14
2.1.2 Tương tác Skyrme hiệu dụng ......................................................................... 15
2.1.3 Một số tương tác Skyrme thông dụng............................................................ 16
2.2 Hiệu ứng kết cặp trong hạt nhân. ..................................................................... 17
2.2.1 Lời giải chính xác bài tốn kết cặp ................................................................ 19
2.3 Phương pháp trường trung bình Hartree-Fock kết hợp với lời giải chính xác
bài tốn kết cặp ..................................................................................................... 22
CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ...............................................................26
3.1 Cấu trúc hạt nhân 54Ca tại T=0......................................................................... 26
3.2 Cấu trúc hạt nhân 54Ca tại T > 0....................................................................... 28
3.2.1 Khe năng lượng kết cặp ................................................................................. 28
3.2.2 Bán kính proton và neutron của 54Ca ............................................................. 30
3.2.3 Phân bố mật độ proton và neutron theo bán kính .......................................... 31
3.2.4 Độ sụt giảm mật độ hạt nhân ......................................................................... 33
KẾT LUẬN ...................................................................................................................35
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................36
1

DANH SÁCH HÌNH VẼ

HÌNH 1. Hàm sóng đơn hạt các proton trong hạt nhân 34Si ............................................. 9
HÌNH 2. Mật độ proton của hai hạt nhân 34Si và 36S ...................................................... 10
HÌNH 3. Minh họa sự phân bố neutron của 54Ca theo các mức năng lượng .................. 11
HÌNH 4. Minh họa sự phân bố neutron của 54Ca theo các mức năng lượng khi có sự đảo
mức .................................................................................................................................... 12
HÌNH 5. Cấu hình khơng gian rút gọn trong các tính tốn EP ...................................... 23
HÌNH 6. Cấu trúc thuật tốn của quy trình giải tự hợp sử dụng phương pháp HF kết hợp
với EP ................................................................................................................................ 24
HÌNH 7. Mật độ proton của hạt nhân 54Ca thu được từ các phương pháp HF, FTEP và
HFB tại nhiệt độ bằng 0 ................................................................................................... 27
HÌNH 8. Mật độ neutron của hạt nhân 54Ca thu được từ các phương pháp HF, FTEP và
HFB tại nhiệt độ bằng 0 ................................................................................................... 27
HÌNH 9. Khe năng lượng kết cặp của neutron trong hạt nhân 54Ca thu được từ phương
pháp FTEP tại nhiệt độ hữu hạn ...................................................................................... 29
HÌNH 10. Bán kính proton và neutron của hạt nhân 54Ca thu được từ các tính tốn FTEP
tại nhiệt độ hữu hạn ......................................................................................................... 30
HÌNH 11. Mật độ neutron của hạt nhân 54Ca tại nhiệt độ hữu hạn thu được từ phương pháp
FTEP ................................................................................................................................. 31
HÌNH 12. Mật độ proton của hạt nhân 54Ca tại nhiệt độ hữu hạn thu được từ phương pháp
FTEP ................................................................................................................................. 32
HÌNH 13. Độ sụt giảm mật độ neutron trong hạt nhân 54Ca theo nhiệt độ .................... 34

2


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

Hartree-Fock mean field

HF

Trường Trung bình Hartree-Fock.

Exact pairing

EP

Lời giải chính xác bài tốn kết cặp

Bardeen-Cooper-Shrieffer theory
Hartree-Fock-Bogoliubov method

BCS
HFB

Lý thuyết Bardeen-Cooper-Shrieffer
Phương pháp trường trung bình
Bogoliubov

Root-mean-square radii

r.m.s

Bán kính căn qn phương

Independent-particle model

IPM

Mẫu đơn hạt độc lập

3


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 1. Một số lực Skyrme thông dụng......................................................................... 15
Bảng 2. Năng lượng liên kết riêng và bán kính hạt nhân 54Ca thu được từ phương pháp
HF và FTEP tại nhiệt độ bằng 0 .................................................................................... 25

4


MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Hạt nhân nguyên tử là một hệ nhiều hạt (many-body system) gồm các proton và
neutron được liên kết với nhau bằng lực tương tác mạnh. Việc nghiên cứu cấu trúc của
hạt nhân giúp chúng ta làm sáng tỏ nhiều vấn đề quan trọng như các quá trình hạt nhân
xảy ra trong tự nhiên (trên trái đất và ngoài vũ trụ), các phản ứng hạt nhân nhân tạo và
làm tiền đề cho các ứng dụng kỹ thuật hạt nhân vào công nghiệp và đời sống.
Trong các nghiên cứu về cấu trúc hạt nhân, hướng nghiên cứu về sự phân bố của
các nucleon trong hạt nhân là một hướng quan trọng. Hướng nghiên cứu này giúp ta có
thể mơ hình hóa một cách rõ ràng hình dạng và cấu trúc của hạt nhân thông qua biểu diễn
mật độ nucleon. Đại lượng mật độ nucleon (gồm mật độ proton và neutron) được tính
tốn thơng qua hàm sóng đơn hạt của hạt nhân. Thông thường, mật độ nucleon cực đại
tại tâm hạt nhân (r=0) và giảm dần khi bán kính tăng. Tuy nhiên đối với một số hạt nhân
đặc biệt, mật độ nucleon bị sụt giảm tại tâm. Cụ thể là, mật độ hạt nhân cực đại không
xuất hiện tại r=0 mà tại vị trí bên ngồi tâm (trong khoảng 1-4 fm). Cấu trúc mật độ

nucleon đặc biệt này được gọi là cấu trúc bong bóng (bubble structure). Cấu trúc này
được đề cập đến lần đầu tiên bởi H. A. Wilson vào năm 1946 khi ông sử dụng các dao
động cổ điển của các lớp vỏ cầu trong hạt nhân để mơ tả các trạng thái kích thích thấp
(low-lying excited state) trong hạt nhân cầu [1]. Cho đến những năm 1970-1973, các
nhóm nghiên cứu của Wong [2,3], Campi và Sprung [4] mới thực hiện các tính tốn vi
mơ đầu tiên cho cấu trúc “bong bóng” trong hạt nhân. Từ đó đến nay, đã có rất nhiều
nghiên cứu về cấu trúc này [5-12], điển hình như cấu trúc bong bóng trong các hạt nhân
tiêu biểu 34Si và 22O [7,9,11]. Hiện nay, các lý thuyết hạt nhân hiện đại lý giải rằng sự
hình thành cấu trúc bong bóng là do sự khơng chiếm đóng quỹ đạo s của các nucleon
[11,12]. Lý do là hàm sóng s là hàm sóng duy nhất có đỉnh cực đại tại vị trí tâm hạt nhân
và đóng góp chính vào vị trí r=0 của phân bố mật độ hạt nhân. Do đó việc khơng chiếm
đóng mức s sẽ làm cho sự đóng góp của hàm sóng này vào mật độ bị bỏ qua. Điều này
làm giảm mật độ hạt nhân tại tâm và gây ra cấu trúc bong bóng.
Các nghiên cứu cấu trúc bong bóng cho đến trước năm 2017 vẫn là những nghiên
cứu lý thuyết thuần túy. Vào năm 2017, lần đầu tiên người đo được giá trị rất bé của số
5


chiếm đóng tồn phần (occupancy) tại mức 2s1/2 của hạt nhân

34Si

[13]. Đây là bằng

chứng thực nghiệm đầu tiên cho thấy rằng cấu trúc bong bóng được tiên đốn bởi lý
thuyết có tồn tại trong phân bố mật độ proton của hạt nhân này. Từ đó đến nay, hương
nghiên cứu cấu trúc bong bóng đang dần sơi động trở lại trong cộng đồng nghiên cứu hạt
nhân lý thuyết [10-12].
Tại Việt Nam, hướng nghiên cứu này đang được hình thành và phát triển bởi nhóm
Vật Lý Hạt Nhân của trường Đại Học Duy Tân (cơ sở TP. HCM) mà đứng đầu là PGS.

TS. Nguyễn Quang Hưng cùng các cộng sự. Gần đây, nhóm vừa cơng bố kết quả nghiên
cứu về cấu trúc “bong bóng” của hạt nhân 22O và 34Si sử dụng trường trung bình HartreeFock (HF) có tính đến hiệu ứng kết cặp trong hạt nhân tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu
hạn [11]. Nghiên cứu này đã lần đầu tiên khảo sát sự thay đổi của cấu trúc bong bóng
theo nhiệt độ và đánh giá sự tồn tại của cấu trúc này tại nhiệt độ hữu hạn. Đây là tiền đề
để phát triển các nghiên cứu về cấu trúc bong bóng tại nhiệt độ hữu hạn [12,14-16]. Mặt
khác, các nghiên cứu về những hạt nhân giàu neutron và xa đường bền như 48Si [17-19]
và 54Ca [20,21] đang là những hướng nghiên cứu có ảnh hưởng lớn, nhằm khám phá ra
các số magic mới như 14 và 34 [19,20].
Dựa trên sự kế thừa hướng nghiên cứu về cấu trúc bong bóng của hạt nhân tại nhiệt
độ hữu hạn [11] và tầm quan trọng của các nghiên cứu cấu trúc các hạt nhân giàu neutron
xa đường bền, trong khuôn khổ khóa luận, tơi sẽ nghiên cứu cấu trúc mật độ nucleon của
một hạt nhân magic kép giàu neutron và xa đường bền đó là 54Ca. Đây là một hạt nhân
đặc biệt, có lớp vỏ proton Z=20 là lớp vỏ magic truyền thống và số neutron N=34 được
cho là số magic mới của các hạt nhân xa đường bền và chưa có nhiều dữ liệu thực nghiệm
cũng như các tính tốn lý thuyết về hạt nhân này [20]. Hơn nữa, với 34 neutron, hạt nhân
54Ca

sẽ trống phân lớp neutron 3s1/2. Đây là cơ sở tồn tại cấu trúc bong bóng trong mật

độ neutron của 54Ca. Cấu trúc bong bóng của hạt nhân này sẽ được nghiên cứu thơng qua
cách tính tốn mật độ của các nucleon trong hạt nhân. Các tính toán này sẽ được thực
hiện dựa trên việc giải phương trình HF trong trường trung bình hạt nhân, chi tiết cụ thể
sẽ trình bày ở phần bên dưới. Trong khn khổ khóa luận, cấu trúc bong bóng trong hạt
nhân 54Ca se được khảo sát tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn có xét đến tương tác
cặp giữa các nucleon thơng qua phương pháp trường trung bình Hartree-Fock kết hợp lời
giải chính xác của bài tốn kết cặp trong hạt nhân (Exact pairing, viết tắt là EP).
6


Mục tiêu của luận văn

Nghiên cứu cấu trúc bong bóng tồn tại trong mật độ neutron của hạt nhân 54Ca tại
nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn thông qua các tính tốn hồn tồn vi mơ.
Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp trường trung bình Hartree-Fock với lực Skyrme
hiệu dụng có tính đến hiệu ứng kết cặp thơng qua bài tốn EP tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt
độ hữu hạn. Ngơn ngữ lập trình FORTRAN 77 được sử dụng để thực hiện các tính tốn
trong luận văn.

Nội dung nghiên cứu
Nội dung chính của nghiên cứu là mô tả được mật độ nucleon của hạt nhân 54Ca,
thơng qua đó cấu trúc bong bóng có thể được phát hiện và khảo sát tại nhiệt độ bằng 0 và
nhiệt độ hữu hạn. Các tương tác nucleon-nucleon của hạt nhân được mơ tả thơng qua một
trường trung bình nơi chúng chỉ tương tác với trường trung bình này mà khơng tương tác
lẫn nhau. Dựa trên cơ sở đó, hiệu ứng kết cặp được đưa vào trường trung bình này thơng
qua các số chiếm đóng đơn hạt được biểu diễn trong hệ thống kê chính tắc (Canonical
ensemble) nhằm mơ tả tính chất của hạt nhân tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ. Các đại
lượng mơ tả tính chất của hạt nhân như năng lượng liên kết, bán kính hạt nhân, mật độ
hạt nhân và số chiếm đóng đơn hạt sẽ được khảo sát.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là hạt nhân 54Ca. Đây là hạt nhân magic kép
giàu neutron và xa đường bền đồng thời cũng là hạt nhân bong bóng.
Nội dung của luận văn
Chương 1: Tổng quan
Chương 1 trình bày tổng quan về cấu trúc bong bóng và hạt nhân 54Ca.
Chương 2: Phương pháp lý thuyết
Chương 2 trình bày các phương pháp lý thuyết sử dụng trong luận văn gồm:

7

- Phương pháp trường trung bình Hartree-Fock (HF) với tương tác Skyrme hiệu
dụng.
- Mô tả cách tiếp cận hiệu ứng kết cặp thơng qua bài tốn kết cặp giải chính xác
(EP) tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn.
- Phương pháp HF kết hợp EP tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn
Chương 3: Kết quả và thảo luận
Chương 3 trình bày kết quả tính tốn các đại lượng mơ tả tính chất của hạt nhân
theo nhiệt độ như: mật độ proton và neutron, bán kính neutron và bán kính proton, khe
năng lượng kết cặp. Từ đó, chúng ta đưa ra một số nhận xét về đặc điểm của cấu trúc hạt
nhân 54Ca và khảo sát cấu trúc bong bóng trong phân bố mật độ neutron tại nhiệt độ bằng
0 và nhiệt độ hữu hạn.

8


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1 Cấu trúc bong bóng
Cấu trúc bong bóng trong một hạt nhân được định nghĩa bằng sự sụt giảm phân bố
mật độ proton/neutron tại tâm của hạt nhân. Hiện tượng này được giải thích là do sự
khơng chiếm đóng quỹ đạo s của các nucleon. Cụ thể, trong lý thuyết mẫu vỏ (shellmodel), các nucleon sẽ lần lượt nằm tại các mức năng lượng đơn hạt khác nhau. Đặc
trưng cho mỗi nucleon là các thông số lượng tử n, l, j, và m. Cụ thể, n là số lượng tử
chính, l là số lượng tử đặc trưng cho momen góc, j là số lượng tử đặc trưng cho sự tự
quay của nucleon – spin và m là giá trị hình chiếu của j. Ứng với mỗi trạng thái đơn hạt
tồn tại một hàm sóng đơn hạt mơ tả trạng thái đó. Hình 1 mơ tả dạng của các hàm sóng
đơn hạt các mức s (1s1/2 và 2s1/2), p (1p1/2 và 1p3/2) và d (1d5/2) của các proton chiếm đóng
các quỹ đạo dưới mức Fermi trong hạt nhân 34Si [11]. Qua hình 1 ta có thể thấy rằng các
hàm sóng s là những hàm có đỉnh cực đại tại tâm của hạt nhân và đóng góp chính vào
mật độ nucleon tại vị trí r=0. Các hàm sóng khác có đỉnh cực đại nằm xa tâm và đóng
góp vào mật độ nucleon tại các vùng có r >0. Điều này nói lên việc những hạt nhân nào
có lớp vỏ nucleon bị trống các mức s sẽ dẫn đến mật độ nucleon tại tâm của hạt nhân đó

bị sụt giảm.

Hình 1. Hàm sóng đơn hạt của các proton trong hạt nhân 34Si [11].
Như vậy, để tiên đoán một hạt nhân có cấu trúc bong bóng hay khơng ta có thể
xem xét các lớp vỏ nucleon của nó. Nếu hạt nhân nào trống các quỹ đạo s thì khả năng
cao là tồn tại cấu trúc bong bóng trong phân bố mật độ nucleon của chúng. Trên hình 2
9


trình bày mật độ proton của hai hạt nhân 34Si và 36S là trường hợp tiêu biểu để nhận biết
cấu trúc bong bóng trong tồn tại trong một hạt nhân. Hạt nhân 34Si có 14 proton và trống
mức 1s1/2 (có cấu trúc bong bóng) trong khi đó hạt nhân 36S có 16 proton và lấp đầy mức
1s1/2 (khơng có cấu trúc bong bóng). Dựa vào luận điểm trên, các hạt nhân bong bóng tiêu
biểu được tiên đốn như: 22O trống mức 2s1/2 trong lớp vỏ neutron [7,11,12,15], 34Si và
46Ar

trống mức 2s1/2 trong lớp vỏ proton [6,7,11-15], 48Si trống mức 3s1/2 trong lớp vỏ

neutron và 2s1/2 trong lớp vỏ proton [15,17], 54Ca trống mức 3s1/2 trong lớp vỏ neutron
[17]. Trong đó các hạt nhân 46Ar, 48Si và 54Ca là những hạt nhân xa đường bền thường
được gọi là hạt nhân lạ (exotic nuclei), có hiện tượng đảo mức đơn hạt. Có nghĩa là, các
mức đơn hạt sẽ không được xếp theo thứ tự của mẫu vỏ truyền thống mà xảy ra việc đảo
thứ tự ở một vài mức. Tiêu biểu như hạt nhân 46Ar có 18 proton và lẽ ra phải chiếm đóng
mức 2s1/2; tuy nhiên do có sự đảo mức 2p3/2 xuống dưới mức 2s1/2 do đó làm trống mức
2s1/2 và gây ra cấu trúc bong bóng [6]. Đặc biệt hai hạt nhân 48Si và 54Ca được tiên đoán
là những hạt nhân magic kép và có rất ít các nghiên cứu về cấu trúc hai hạt nhân này.

Hình 2. Mật độ proton của hai hạt nhân 34Si và 36S [7]
Các nghiên cứu cấu trúc bong bóng trong hạt nhân được bắt đầu vào năm 1946 bởi
H. A. Wilson khi ông mơ tả các trạng thái kích thích thấp trong hạt nhân cầu bằng các

dao động của các lớp vỏ cầu có cấu trúc như các bong bóng [1]. Từ đó cho đến những
năm 1970 mới xuất hiện những mơ hình tính tốn vi mơ đầu tiên được phát triển bởi các
nhóm của Wong [2,3], Campi và Sprung [4]. Hiện nay các nghiên cứu lý thuyết về cấu
trúc bong bóng được thực hiện chủ yếu trên cơ sở trường trung bình tương đối tính
10


(relativistic mean field) và trường trung bình phi tương đối tính (non-relativistic mean
filed) [5-16]. Gần đây, cấu trúc bong bóng được quan tâm nghiên cứu nhiều trong vùng
hạt nhân có khối lượng nặng và siêu nặng [15,22-25]. Bằng chứng thực nghiệm đầu tiên
về sự tồn tại của cấu trúc bong bóng được cơng bố vào năm 2017 [13] đã chứng tỏ các
tiên đoán lý thuyết từ trước tới nay là có cơ sở tin cậy. Tại Việt Nam, các nghiên cứu lý
thuyết về cấu trúc bong bóng mới được thực hiện gần đây bởi nhóm nghiên cứu của Đại
học Duy Tân [11]. Kết quả nghiên cứu của nhóm này lần đầu tiên chỉ ra sự biến mất của
cấu trúc bong bóng khi nhiệt độ của hệ hạt nhân tăng lên tới một giá trị xác định. Các kết
quả này mở ra hướng nghiên cứu đầu tiên về cấu trúc bong bóng của hạt nhân tại nhiệt
độ hữu hạn [12,14-16] và là tiền đề để luận văn này được thực hiện.
1.2 Hạt nhân 54Ca
Với số neutron N=34 (trống mức 3s1/2) và là một hạt nhân magic kép giàu neutron
và xa đường bền, 54Ca là một ứng cử viên tốt cho việc nghiên cứu cấu trúc bong bóng và
là đối tượng nghiên cứu chính của luận văn.

Hình 3. Minh họa sự phân bố neutron của 54Ca theo các mức năng lượng
theo mẫu truyền thống [37].
Sự phân bố các neutron của 54Ca trên các mức đơn hạt được minh họa bởi hình 3.
Ta dễ dàng quan sát thấy ngay trên mức Fermi của lớp vỏ neutron trong hạt nhân 54Ca
không phải là mức s, vì vậy có thể cấu trúc bong bóng của neutron không tồn tại. Tuy
11

nhiên đối với hạt nhân nằm xa đường bền như hay 54Ca, mẫu vỏ hạt nhân truyền thống
khơng cịn mơ tả đúng cấu trúc nucleon của các hạt nhân này. Sự thay đổi vị trí các mức
đơn hạt trong các hạt nhân giàu neutron nằm xa đường bền (hạt nhân lạ) đến từ các hiệu
ứng phức tạp có liên quan đến lực hạt nhân [17] mà cụ thể hơn là các thành phần lực
tương tác ba nucleon (three-nucleon forces) [26]. Hình 4 minh họa các mức đơn hạt của
lớp vỏ neutron trong hạt nhân 54Ca được tính tốn từ phương pháp Hartree-Fock với lực
Skyrme hiệu dụng [27]. Hình 4 cho thấy một số mức đơn hạt trên mức Fermi đã được sắp
xếp lại, hiện tượng này được gọi là hiện tượng đảo mức [17,26]. Cụ thể là, mức 3s1/2 đã
được dời xuống ba mức và nằm ngay trên mức 1g9/2. Lúc này mức 3s1/2 cách mức Fermi
hai mức đơn hạt thay vì năm mức đơn hạt như trong mẫu vỏ truyền thống. Việc đảo mức
như vậy tạo điều kiện cho cấu trúc bong bóng tồn tại trong mật độ neutron của 54Ca.

Hình 4. Minh họa sự phân bố neutron của 54Ca theo các mức năng lượng khi có
sự đảo mức.
Sự tồn tại của cấu trúc bong bóng trong các hạt nhân xa đường và giàu neutron
như 54Ca được coi là một dẫn dắt quan trọng cho việc tiên đoán các số magic mới của các
hạt nhân lạ dựa trên quan hệ giữa sự sụt giảm mật độ tại tâm và tính magic của một hạt
nhân [26]. Từ những năm đầu của thập niên 70, việc nghiên cứu những hạt nhân lạ trở
thành chủ đề thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học, khơi nguồn từ hai hội nghị
quốc tế quan trọng về hạt nhân xa đường bền năm 1967 [28] và 1970 [29]. Từ đó đến
nay, đã có nhiều hạt nhân xa đường bền được nghiên cứu về mặt lý thuyết và thực nghiệm.
Các kết quả tiêu biểu đạt được như tìm ra các số magic mới trong các hạt nhân lạ
12


[13,20,30-32]. Do đó, việc nghiên cứu 54Ca đóng góp vai trị vào nghiên cứu lý thuyết hạt
nhân. Vì thế, trong đề tài luận văn này, tôi chọn hạt nhân 54Ca làm đối tượng nghiên cứu.
Một số thông số thực nghiệm đo đạc được của 54Ca tại trung tâm KAERI [33]:
-

Khối lượng hạt nhân: 53.97340 ± 0.00054 u

-

Năng lượng liên kết: 8.240 ± 0.009 MeV

13


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT
2.1 Trường trung bình Hartree-Fock kết hợp với thế Skyrme
2.1.1

Trường trung bình Hartree-Fock

Các nucleon trong một hạt nhân nguyên tử tương tác với nhau bằng lực tương tác
mạnh và bài toán hệ hạt nhân là bài toán hệ nhiều hạt tuân theo các quy luật thống kê
lượng tử. Việc giải bài toán hệ nhiều hạt cho 3 hạt trở lên tương tác lẫn nhau là phức tạp
và gần như khơng có lời giải chính xác. Do đó các mơ hình gần đúng để làm đơn giản
hóa bài tốn được áp dụng rộng rãi trong nghiên cứu cấu trúc hạt nhân. Một trong các
phương pháp mạnh mẽ và phổ biến để mô tả hệ nhiều hạt là phương pháp trường trung
bình Hartree-Fock (HF). Phương pháp này được phát triển bởi Hartree và Fock vào những
năm 1930 [34,35]. Trong nghiên cứu cấu trúc hạt nhân, phương pháp HF được sử dụng
rộng rãi để mơ tả tính chất của hạt nhân ở trạng thái cơ bản. Ý tưởng chính của phương
pháp HF là xem các tương tác giữa những nucleon với nhau như một trường trung bình.
Mỗi nucleon sẽ tương tác với trường này chứ không tương tác lẫn nhau nữa. Hệ hạt nhân
gồm các nucleon độc lập nằm trong trường trung bình với hàm sóng tồn phần được mơ
tả bởi hàm sóng đơn hạt thơng qua định thức Slater có biểu thức như sau [36,37]:
1
 (r1...rA ) =

A!

 1 (r1 )

 1 (rA )

(2.1)
 A (r1 )

 A (rA )

với  1 , 2 , …,  A là các hàm sóng đơn hạt của hệ gồm có A nucleon và  (r1...rA ) là hàm
sóng tồn phần của hệ. Phương pháp HF được áp dụng cho proton và neutron một cách
riêng lẽ. Hamiltonian của hệ sẽ được xây dựng dựa trên hàm sóng đơn hạt và các mức
năng lượng đơn hạt. Cụ thể là:

 Hˆ i i =  Ei i với Hˆ i = −
i

i

2

2m

 2 + V (r ) .

(2.2)

Phương trình (2.2) gồm các thành phần động năng và thế năng tương tác của hệ

hạt nhân. Phương trình HF được giải bằng phương pháp lặp thơng qua việc định nghĩa
các phương trình dịng và mật độ của hệ nucleon. Cụ thể là [38]:

14


q (r ) =  f j
j

2 j +1 2
 j (r ) ,
4

(2.3)

 q (r ) =  f j

2
2 j +1 
l (l + 1) 2 




r
+
 j ( r ) ,
(
)
r

j



4 
r2


(2.4)

J q (r ) =  f j

2 j +1 
3 2
j ( j + 1) − l (l + 1) −   2j ( r ) ,

4 
4 r

(2.5)

j

j

với ρ, τ và J lần lược là các phương trình mơ tả mật độ nucleon, mật độ động năng và mật
độ dòng spin-quỹ đạo. Ký hiệu q đại diện cho proton hoặc neutron, số hạng fj là số chiếm
đóng đơn hạt đại diện cho xác suất tồn tại nucleon trên một mức đơn hạt j. Đối với trường
trung bình HF mơ tả hạt nhân ở trạng thái cơ bản, fj nhận giá trị bằng 1 đối với các mức
đơn hạt bị chiếm đóng nằm dưới mức Fermi, và bằng 0 đối với các mức đơn hạt khơng

chiếm đóng nằm trên mức Fermi. Khi tính đến kết cặp hoặc nhiệt độ, các giá trị số chiếm
đóng này có sự phân bố lại và sẽ được trình bày trong phần kế tiếp.
2.1.2

Tương tác Skyrme hiệu dụng

Trong phương trình HF (2.2), thành phần thế năng tương tác mạnh giữa các
nucleon hiện nay vẫn chưa có dạng tường minh. Do đó, để giải phương trình HF, ta sử
dụng các dạng thế bán thực nghiệm như thế Wood-Saxon, thế Skyrme, thế Gogny. Trong
khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sử dụng tương tác Skyrme hiệu dụng để mơ hình hóa
trường trung bình và thực hiện các tính tốn số.
Tương tác Skyrme hiệu dụng được đề xuất bởi T. H R Skyrme vào năm 1958 [39].
Trong cơng trình của mình, Skyrme đã biểu diễn lại thế tương tác hiệu dụng giữa các
nucleon với nhau thông qua hai thành phần là tương tác giữa 2 nucleon V (i, j ) và 3
nucleon V (i, j, k ) như sau:
V = V (i, j ) +
i j

 V (i, j, k) .

(2.6)

i  j k

Lúc này, Hamiltonian 2.2 trở thành:
Hˆ i = −

2

2mi

 2 +  V (i, j ) +
i j

 V (i, j, k) .

i j k

Trong đó, thế tương tác hai hạt và ba hạt lần lượt có dạng:
15

(2.7)


2
1
V (i, j) = t o (1 + xo P ) (r1 − r2 ) + t1 (1 + x1P )  (r1 − r2 )k 2 + k'  (r1 − r2 )  + t2 k ' (r1 − r2 )k


2

+iW0 ( i +  j )k   (r1 − r2 )k ,

(2.8)

V (i, j, k ) = t3 (r1 − r2 ) (r2 − r3 ) ,

(2.9)

với các tham số ti, xi (i=0,1,2,3) và W0 mô tả cường độ tương tác thu được từ phương

1
2

pháp bán thực nghiệm. Số hạng P = (1 +  i j ) là toán tử trao đổi spin với  là ma trận
Pauli. k =

(1 −  2 )
−(1 − 2 )
và k ' =
là toán tử tương quan số sóng giữa hai nucleon
2i
2i

[40]. Tương tác ba hạt V(i,j,k) có thể được đưa về tương tác hai hạt V(i,j) thông qua mật
độ hạt nhân [41]:
Vijk

Vij =

t3
r +r
(1 + P ) (r1 − r2 )   ( 1 2 ) ,
6
2

(2.10)

với ρ là mật độ hạt nhân toàn phần được tính bằng tổng mật độ neutron và proton
ρ=ρZ+ρN. Dựa vào tương tác Skyrme hiệu dụng ta có thể mơ hình hóa trường trung bình
và sử dụng phương pháp biến phân tính tốn các đại lượng mơ tả trạng thái cơ bản của

hạt nhân thơng qua các phương trình (2.3)-(2.5).
2.1.3

Một số tương tác Skyrme thông dụng

Trong biểu thức tương tác Skyrme (2.8) và (2.9), các tham số ti, xi, W0 được điều
chỉnh sao cho giá trị độ nén của vật chất hạt nhân (incompressibility) phù hợp với giá trị
thực nghiệm. Hiệu ứng nhiệt được giả định là không ảnh hưởng đáng kể đến các tương
tác nucleon-nucleon do đó giá trị các các tham số lực Skyrme được giữ nguyên khi ta xét
hạt nhân ở trạng thái kích thích thấp hoặc tại nhiệt độ hữu hạn như trong khuôn khổ
nghiên cứu của luận văn. Bảng 1 trình bày các giá trị t0, t1, t2, t3, W0, x0 của một số lực
Skyrme thông dụng.
Bảng 1. Một số lực Skyrme thông dụng
t0

t1

t2

t3

W0

x0

x1

x2

x3

α

SLy4[42]

-2488.91

486.82

-546.39

13777.00

123.00

0.834

-0.344

-1.000

1.354

1/6

SLy5[42]

-2484.88

483.13

-549.40

13763.00

126.00

0.778

-0.328

-1.000

1.267

1/6

SkM*[43]

-2645.00

410.00

-135.00

15595.00

130.00

0.090

0

0

0

1/6

16


SIII[44]

-1128.75

395.30

-95.00

14000.00

120.00

0.450

0

0

0

0

MSk3[45]

-1810.32

269.09

-269.09

13027.50

116.87

0.631

-0.5

-0.5

0.903

1/3

BSk14[46]

-1822.67

377.47

-2.41

11406.30

135.56

0.302

-0.823

61.941

0.473

1/3

Mỗi dạng lực Skyrme có những điểm mạnh riêng biệt tùy vào mục đích tạo ra
chúng. Điển hình như các lực thuộc họ BSk mô tả tốt cho khối lượng hạt nhân; họ các
lực MSk mơ tả tính chất của các hạt nhân cầu; lực SkM* được làm khớp với năng lượng
liên kết riêng và mô tả tốt rào phân hạch của Actinide; các lực thuộc họ SLy mô tả tốt
tính chất của vật chất neutron, sao neutron và các trạng thái cơ bản của hạt nhân nặng
[47]. Trong đó, hai họ lực MSk và BSk được cho là phù hợp để tính tốn cho các hạt nhân
cầu có ảnh hưởng của hiệu ứng kết cặp [11].
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi sử dụng lực MSk3 để thực hiện tất cả các
tính tốn cho hạt nhân 54Ca bởi tính ưu việt của lực này. Như đã đề cập phía trên, lực
MSk3 thuộc họ MSk là loại lực phù hợp với các tính tốn cho hạt nhân cầu có ảnh hưởng
bởi hiệu ứng kết cặp như hạt nhân giàu neutron là 54Ca. Trong đó, hiệu ứng kết cặp là
một trong những nguyên nhân quan trọng làm ảnh hưởng đến cấu trúc bong bóng tại nhiệt

độ hữu hạn [11]. Hơn nữa, lực MSk3 đã được sử dụng để mô tả tốt cho các đại lượng như
năng lượng liên kết riêng, năng lượng tách neutron và số chiếm đóng mức 2s1/2 của các
hạt nhân bong bóng 22O và 34Si [11]. Kế thừa kết quả đó, lực MSk3 sẽ tiếp tục được sử
dụng cho các tính tốn trong luận văn.
Như vậy, phương pháp trường trung bình HF với tương tác Skyrme hiệu dụng giúp
chúng ta mô tả cấu trúc của hạt nhân ở trạng thái cơ bản. Tuy nhiên, phương pháp HF chỉ
mô tả tốt cho các hạt nhân cầu có khối lượng trung bình và nặng. Đối với các hạt nhân
nhẹ, hoặc các hạt nhân giàu neutron và xa đường bền chịu ảnh hưởng mạnh mẽ của hiệu
ứng kết cặp thì các kết quả tính tốn từ HF khơng cịn phù hợp nữa [11,37]. Do đó, khi
tính tốn cho nhưng hạt nhân giàu neutron và xa đường bền (như hạt nhân 54Ca) ta cần
phải tính đến hiệu ứng kết cặp trong các tính tốn HF. Việc xây dựng trường trung bình
HF kết hợp hiệu ứng kết cặp sẽ được trình bày trong phần kế tiếp.
2.2 Hiệu ứng kết cặp trong hạt nhân.

17


Như đã biết, các nucleon là fermion nên chúng sẽ không tồn tại cùng một trạng
thái |𝑛𝑙𝑗𝑚⟩ khi nằm trong hạt nhân nguyên tử mà phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli.
Lúc này, các nucleon |𝑗𝑚⟩ và 𝑗 − 𝑚⟩ sẽ có xu hướng liên kết từng đơi một với nhau và
làm cho cho mô men tổng của hệ là cực tiểu. Người ta gọi các liên kết này là tương quan
kết cặp (pairing correlation) của các nucleon trong hạt nhân. Trong khuôn khổ luận văn
này, chúng ta sẽ đề cập đến hiệu ứng kết cặp khi xét đến tương tác giữa các hạt. Đối với
các hạt nhân magic, các nucleon sẽ lấp đầy các mức dưới mức Fermi và khơng chiếm
đóng các mức trên Fermi. Lúc này, phương pháp HF mô tả rất tốt trạng thái cơ bản của
các hạt nhân này. Tuy nhiên, phương pháp HF lại không mô tả tốt cho những hạt nhân
giàu neutron hoặc proton. Lý do là vì các nucleon xung quanh mức Fermi trong các hạt
nhân này chịu ảnh hưởng của hiệu ứng kết cặp và dịch chuyển lên các mức bên trên. Điều
này có nghĩa là giá trị số chiếm đóng đơn hạt fj (𝜖𝑗 < 𝜖𝐹 ) bé hơn 1, trong khi fj (𝜖𝑗 > 𝜖𝐹 )
lại có giá trị lớn hơn 0, với hạt 𝜖𝐹 là năng lượng mực Fermi. Các tương tác cặp này là

những tương tác tầm ngắn (short-range correlation) và nằm ngồi khn khổ trường trung
bình HF. Do đó, để mơ tả tính chất các hạt nhân bị ảnh hưởng mạnh bởi hiệu ứng kết cặp
như các hạt nhân giàu neutron, ta phải xây dựng một mơ hình trường trung bình có bao
gồm các tương tác cặp. Lúc này, Hamiltonian của hệ hạt nhân có dạng:
Hˆ = Hˆ HF + Hˆ pair ,

(2.11)

trong đó, Hˆ HF là thành phần mơ tả trường trung bình HF và Hˆ pair là thành phần mô tả các
tương quan kết cặp. Trong đó, hiệu ứng kết cặp được mơ tả bởi nhiều phương pháp, phổ
biến là lý thuyết siêu dẫn được xây dựng từ ba nhà khoa học Bardeen-Cooper-Shrieffer
(BCS). Lý thuyết BCS nghiên cứu và giải thích hiện tượng siêu dẫn trong vật liệu sử bằng
cách đề xuất việc kết cặp của các electron và lỗ trống trong mạng nguyên tử tạo thành
các phonon. Đối với hạt nhân nguyên tử, các quan sát thực nghiệm cho thấy sự khác biệt
lớn của năng lượng liên kết giữa các hạt nhân chẵn và lẻ (odd-even mass effect), các khe
năng lượng (energy gap) trong phổ năng lượng đơn hạt của hạt nhân, … Điều này cho
thấy rằng trong hạt nhân tồn tại sự tương tác lẫn nhau theo cặp giữa các nucleon và tương
tự hiệu ứng kết cặp trong nguyên tử. Dựa trên lý thuyết BCS, Bohr và Mottelson đã xây
dựng lý thuyết kết cặp cho hạt nhân dựa trên sự bắt cặp của các nucleon [48]. Để xử lý
Halmitonian (2.11), phương pháp BCS sử dụng biến phân
18

H = Hˆ −  Nˆ

với toán tử số


hạt Nˆ =  jm a†jm a jm và thế hóa học λ (năng lượng mức Fermi). Dựa trên phép biến đổi
Bogolyubov (Bogolyubov transformation), các phương trình khe năng lượng kết cặp ∆
và số hạt N của hệ hạt tại nhiệt độ T=0 được viết như sau [11,48]:

 = G  j u j v j (1 − 2n j ) ,

(2.12)

N = 2  j [n j u 2j + (1 − n j )v 2j ] .

(2.13)

j

j

Tuy nhiên, phương pháp này có nhược điểm là khơng bảo tồn chính xác số hạt
trong hệ mà sử dụng một tốn tử số hạt trung bình. Vì thế, chúng áp dụng tốt cho những
mơ hình có số hạt lớn (như trong vật liệu, mẫu khí Fermi). Với việc nghiên cứu cấu trúc
hạt nhân, số nucleon trong hệ thường không quá lớn – trong khuôn khổ luận văn, số hạt
của 54Ca là ít hơn rất nhiều so với mạng nguyên tử. Hơn nữa, đối với các hạt nhân nóng
có cấu trúc được mơ tả dựa trên các tính chất nhiệt động học, đại lượng khe năng lượng
kết cặp ∆ trong lý thuyết BCS sẽ đột ngột giảm về 0 tại một nhiệt độ tới hạn Tc. Tuy
nhiên, nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng hiệu úng kế cặp trong hạt nhân nguyên tử không
biến mất khi nhiệt độ tăng lên mà chỉ giảm đi từ từ và thậm chí vẫn cịn tồn tại ở nhiệt độ
rất cao (T=4 MeV) [11,49-51]. Để khắc phục các nhược điểm này, một số phương pháp
được đề xuất như phương pháp Lipkin-Nogami (LN) [52,53] và phương pháp giải chính
xác bài tốn kết cặp của Richarson [54,55]. Tuy nhiên, phương pháp LN chỉ tốt cho các
hạt có hiệu ứng kết cặp rất mạnh và phương pháp Richarson rất phức tạp cũng như khơng
có hiệu quả cao.
Đến năm 2001, nhóm nghiên cứu của Alexander Volya và cộng sự [56] đã đề xuất
một phương pháp giải chính xác bài tốn kết cặp trong hạt nhân với các quy trình khơng
q phức tạp và hiệu quả, đồng thời khắc phục được các nhược điểm của phương pháp
BCS. Phương pháp này được gọi là lời giải chính xác bài tốn kết cặp (Exact paring

solution, viết tắt là EP). Đây cũng là phương pháp chủ đạo trong luận văn này.
2.2.1

Lời giải chính xác bài tốn kết cặp

Như đã trình bày ở phần trên, phương pháp EP sẽ là phương pháp dùng để mô tả
tính chất kết cặp trong hạt nhân 54Ca. Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày chi tiết ý

19


tưởng chủ đạo của phương pháp EP tại nhiệt độ bằng không và nhiệt độ hữu hạn.
Hamiltonian kết cặp của hạt nhân có dạng [56]:
H =   j a †jm a jm +
jm

1
 G jj ' m,m ' a†jma†jma j 'm 'a j 'm ' .
4 j, j '

(2.14)

Trong đó, G hằng số mơ tả cường độ kết cặp; a †jm và a jm là các toán tử sinh và hủy
của nucleon nằm trên mức j có hình chiếu là m với không gian suy biến  j = j + 1/ 2 và
năng lượng đơn hạt tương ứng là  j . Kí hiệu ~ biểu thị tốn tử nghịch đảo thời gian (timereversal operator), cụ thể là a jm = (−1) j −m a jm và a j ' m ' = (−1) j '−m ' a j ' m ' . Hamiltonian (2.14)
được áp dụng tách biệt cho các proton và neutron của hệ hạt nhân.
Để mô tả trạng thái của hạt, người ta thường sử dụng các số lượng tử n,l,j,m. Tuy
nhiên, các số lượng tử này không đủ để mô tả các trạng thái có ảnh hương của hiệu ứng
kết cặp. Do đó, phương pháp EP đề xuất thêm một số lượng tử giả spin Lj để mô tả trạng
thái của hạt chịu ảnh hưởng của hiệu ứng kết cặp. Toán tử giả spin và hình chiếu của nó

được định nghĩa như sau [56]:
L−j =

1
 a jma jm ,
2 m
1
a†jm a†jm ,

2 m

(2.16)

1  †
1

 a jm a jm −  .
2 m 
2

(2.17)

L+j = ( L−j )† =

Lzj =

(2.15)

Bằng cách thay thế các toán tử sinh hủy bằng những toán tử giả spin, ta có thể biểu
diễn Hamiltonian (2.14) thành dạng:

Hˆ =   j  j + 2  j LZj +  G jj ' L+j L−j ' ,
j

j

(2.18)

jj '

trong (2.18), các tốn tử giả spin được biểu diễn thơng qua số hạt chiếm đóng N j và số
hạt khơng kết cặp s j tại mức j có dạng L j =

1
1
 j − s j ) và Lzj = ( N j −  j ) . Dựa vào đó,
(
2
2

halmitonian (2.18) có thể chéo hóa một cách chính xác với các thành phần của yếu tố ma
trận kết cặp có dạng [56]:
20


Thành phần đường chéo:


 s  ,  N  H s  ,  N  =  
j

j

j

j

j



j

Nj +


( N j − s j )(2 j − s j − N j + 2)  ,
4


G jj

(2.19)

Thành phần ngoài đường chéo:

s  ,...N
j

=

j

+ 2,...N j ' − 2,... H s j  ,...N j ,...N j ' ,...

G jj '

1/2

( N j ' − s j ' )(2 j ' − s j ' − N j ' + 2)  (2 j − s j − N j )( N j − s j + 2) 
4 

.

(2.20)

Việc chéo hóa ma trận kết cặp đưa ra các giá trị của số chiếm đóng lượng tử fj
trên các mức đơn hạt j và năng lượng kết cặp Epair. Khi nhiệt độ tăng lên, các tính chất
kết cặp của hạt nhân thay đổi và mang các tính chất nhiệt động học. Do đó, ta cần biểu
diễn các đại lượng thu được trong hệ thống kê chính tắc (canonical ensemble) là hệ thống
kê nhiệt động chỉ trao đổi năng lượng nhưng không thay đổi số hạt (phù hợp với hệ hạt
nhân). Dựa vào trị riêng năng lượng kết cặp thu được từ việc chéo hóa Hamiltoninan
(2.18) ta có thể xây dựng hàm phân chia (partition function) của hạt nhân nóng như sau
[57]:
Z (T ) =  2S e − S /T ,

(2.21)

S

trong đó: S là tổng số hạt bị phá vỡ kết cặp và  S là trạng thái riêng chính xác thu được

từ việc chéo hóa Hamiltoninan (2.18). Sau khi hàm phân chia được xây dựng, ta có thể
tính toán được các đại lượng nhiệt động khác trong hệ thống kê chính tắc như [57]:
Năng lượng tự do
Năng lượng toàn phần của hệ
Entropi
Nhiệt dung
Khe năng lượng kết cặp

F = −T ln Z (T ) .

(2.22)

 = F + TS .

(2.23)

F
.
T

(2.24)


.
T

(2.25)

S =−
C=

 = −G pair ,

21

(2.26)


trong đó, năng lượng kết cặp có dạng:  pair =  − 2  j [ j −
j

G
fj]fj ,
2

(2.27)

và số chiếm đóng đơn hạt phụ thuộc nhiệt độ fj được tính tốn thơng qua số chiếm đóng
đơn hạt theo trạng thái 𝑓𝑗𝑆 như sau:
fj =

1
2S f j( S ) e− S /T .

Z S

(2.28)

Dựa vào việc chéo hóa Hamiltonian (2.18) và mô tả các trị riêng và hàm riêng của
nó trong hệ thống kê chính tắc, ta có thể mơ tả tính chất của các hạt nhân nóng thơng qua

các đại lượng nhiệt động này. Phương pháp EP tại nhiệt độ hữu hạn như trên được gọi là
phương pháp FTEP (Finite-temperature exact pairing solution). Việc kết hợp trường
trung bình HF và phương pháp FTEP sẽ giúp chúng tôi mô tả tính chất của hạt nhân 54Ca
tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn.
2.3 Phương pháp trường trung bình Hartree-Fock kết hợp với lời giải chính xác
bài tốn kết cặp
Phương pháp HF giúp giải quyết được bài toán phức tạp nhiều hạt trở nên gọn
gàng hơn trong tính tốn số. Tuy nhiên, phương pháp HF chỉ mơ tả các mức đơn hạt được
lấp đầy ở dưới mức Fermi. Trong khi đó, đối với các hạt nhân chịu ảnh hưởng của hiệu
ứng kết cặp và hiệu ứng nhiệt, đặc biệt là các hạt nhân giàu neutron/proton, các nucleon
đang chiếm đóng bên dưới mức Fermi sẽ có xác suất chiếm đóng các mức đơn hạt phía
trên mức Fermi. Do đó, để mô tả hệ hạt nhân một cách đầy đủ, trường trung bình HF phải
được hiệu chỉnh bởi sự ảnh hưởng của hiệu ứng kết cặp. Lúc này, các mức đơn hạt phía
dưới và trên mức Fermi sẽ được mơ tả thơng qua trường trung bình mới. Cách tiếp cận
này được xây dựng bằng cách kết hợp trường trung bình HF với bài tốn kết cặp (BCS
hoặc EP). Trong khn khổ luận văn này, chúng tơi sử dụng bài tốn EP để hiệu chỉnh
lại trường trung bình HF.
Để mơ tả hạt nhân tại nhiệt độ bằng 0 và nhiệt độ hữu hạn, bài toán EP sẽ được
xây dựng trong hệ thống kê chính tắc như mục 2.2.1. Cấu hình tính tốn của EP gồm 1
khơng gian chứa các mức đơn hạt được chọn xung quanh mức Fermi. Vùng không gian
này được gọi là không gian rút gọn (truncated space) và là nơi mà hiệu ứng kết cặp ảnh
hưởng mạnh nhất lên các mức đơn hạt của hạt nhân. Vì sự giới hạn kích thước ma trận
22