(Sáng kiến kinh nghiệm) GIÚP học SINH lớp 10 KHẮC PHỤC một số SAI lầm KHI GIẢI TOÁN bất PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 10 KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM
KHI GIẢI TỐN BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện :

Thi Văn Chung

Chức vụ

Phó Hiệu trưởng

:

SKKN thuộc mơn:

Tốn

THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC
NỘI DUNG

Trang

1. MỞ ĐẦU

2

1.1. Lí do chọn đề tài

2

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI

3

2.1. Cơ sở lí luận

3

2.1.1. Bất phương trình bậc nhất, bậc hai

3

2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất

3

2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai

3

2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu

3

2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp

3

2.2. Thực trạng vấn đề

5

2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải tốn
bất phương trình và biện pháp khắc phục

5

2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai

5

2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức

7

2.3.3. Sai lầm khi giải các bất phương trình chứa tham số

10

2.3.4. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức

12

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

15

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

16

3.1. Kết luận

16

3.2. Kiến nghị

16

Danh mục SKKN đã được ngành GD và Đào tạo xếp loại

17

Tài liệu tham khảo

18

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và trong chương trình Tốn ở nhà trường phổ
thơng nói riêng, chủ đề về bất phương trình có một vị trí rất quan trọng. Kiến
thức và kỹ năng về chủ đề bất phương trình có mặt xun suốt trong chương
trình mơn tốn ở trường phổ thơng, đặc biệt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng,
thi học sinh giỏi cấp tỉnh chúng ta thường gặp các bài toán này.
Chương trình Đại số lớp 10, các em học sinh bước đầu được tiếp cận với
các dạng bất phương trình cơ bản cũng như cách giải những dạng bất phương
trình cơ bản đó. Tuy nhiên phần lớn học sinh lớp 10, nhất là đối tượng học sinh
có học lực trung bình và yếu thì đây vẫn là phần kiến thức khó và học sinh dễ
mắc phải những sai lầm. Để giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc tiếp thu kiến
thức và kỹ năng giải tốn bất phương trình. Trong q trình giảng dạy, tơi đã kết
hợp giữa việc hướng dẫn chi tiết cách giải các dạng bất phương trình cơ bản với
việc chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp, đồng thời chỉ ra nguyên nhân
của những sai lầm đó và những biện pháp khắc phục, sửa chữa kịp thời. Từ thực
tế đó, tơi thấy rằng việc làm của mình đã có tác dụng rèn luyện năng lực giải
tốn cho học sinh và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán trong trường
THPT Triệu Sơn 2. Chính vì thế tơi lựa chọn đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 khắc
phục một số sai lầm khi giải tốn bất phương trình ”.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Tơi thực hiện đề tài này nhằm hướng tới một số mục đích cơ bản sau:
+ Khảo sát, đánh giá được thực trạng việc học toán của học sinh khối lớp 10 ở
trường THPT Triệu Sơn 2 trong năm học 2017-2018 và năm học 2018-2019.
+ Tìm hiểu khó khăn của học sinh lớp 10 khi giải tốn bất phương trình, phân
tích các sai lầm phổ biến của học sinh. Từ đó nghiên cứu, đề xuất một số cách
sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học
mơn tốn trong trường trung học phổ thơng.
+ Truyền cảm hứng học mơn Tốn cho học sinh, giúp các em học sinh tạo sự tự
tin, u mơn học, tích cực tự tìm tịi, học hỏi để nâng cao trình độ nhằm đạt kết
quả cao trong kì thi HSG văn hóa cấp tỉnh và thi THPT quốc gia ở lớp 11, 12.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu những sai lầm thường gặp và một số giải pháp khắc
phục sai lầm của học sinh lớp 10 khi học chương bất phương trình đại số.
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Các tài liệu tập huấn
(một số phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực; phương pháp, kĩ thuật tổ chức
hoạt động học và hướng dẫn học sinh tự học; đổi mới tổ chức hoạt động giáo
dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh…); Trường học kết nối;
Nguồn tài liệu mạng Internet; tài liệu về bất phương trình đại số lớp 10...
+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế và thu thập thông tin: Thu thập thơng
tin từ thực trạng học tốn của học sinh lớp 10 tại Trường trung học phổ thông
Triệu Sơn 2.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tổng hợp, xử lí số liệu về hiệu quả của
việc áp dụng đề tài trước và sau khi thực hiện nghiên cứu.
2


1.5. Những điểm mới của đề tài
Có thể nói, chủ đề SKKN về khắc phục những sai lầm khi giải tốn bất

phương trình đại số lớp 10 là một chủ đề cũ, đã có rất nhiều SKKN làm, tuy
nhiên ở SKKN này tôi tập trung sâu vào vấn đề mà các SKKN khác ít làm đó là:
đưa ra các ví dụ và giải pháp hiệu quả để “khắc phục được sai lầm cho học sinh
khi giải tốn bất phương trình” đây cũng là nội dung quan trọng trong chương
trình SGK lớp 10.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận
2.1.1. Nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai.
2.1.1.1. Nhị thức bậc nhất và định lí về dấu nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất: f  x   ax  b; a,b  R,a  0 .
b
Nghiệm của nhị thức là x 
.
a
Định lí: Nhị thức bậc nhất f  x   ax  b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn
nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm.
2.1.1.2. Định lí về dấu tam thức bậc hai
2
Định lí: Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c ( a  0 ).
Nếu   0 thì tam thức f(x) cùng dấu với a với mọi x  R
 b
Nếu   0 thì tam thức f(x) cùng dấu với a với mọi x  R \  
 2a 
Nếu   0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm x1; x 2 và
Tam thức f(x) cùng dấu với a với x   ; x1    x 2 ;    .
Tam thức f(x) trái dấu với a với x   x1; x 2  .
2.1.1.3. Tam thức bậc hai không đổi dấu
Cho tam thức f(x)= ax2 + bx + c
(a  0)
a  0

f(x)>0, x  R  
  0
a  0
f (x)  0, x  R  
  0
a  0
f (x)  0, x  R  
  0
a  0
f (x)  0, x  R  
  0
2.1.2. Cách giải một số bất phương trình thường gặp
2.1.2.1. Bất phương trình bậc hai.
Xét bất phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0;a  0 . Dựa vào định lí về dấu
tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau:
3




0
+ Nếu a  0 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  R
  0
+ Nếu  a  0 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

0
+ Nếu a  0 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S  Ø


 b

0
+ Nếu  a  0 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   
 2a 
trong đó x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0; a  0
0
+ Nếu a  0 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   x1; x 2  , trong
đó x1; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2  bx  c  0; a  0 .
Với cách suy luận tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các
bất phương trình dạng khác như:
ax 2  bx  c  0; ax 2  bx  c  0; ax 2  bx  c  0; a  0 .



2.1.2.2. Bất phương trình tích
Phương pháp
Bước 1: Đưa bất phương trình về dạng P(x)<0, P(x)>0, P(x)  0 , P(x)  0 .
Trong đó P(x) là tích của một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
Bước 2: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số biểu thức P(x) rồi suy
ra miền nghiệm của bất phương trình.
2.1.2.3 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Phương pháp
Bước 1: Đặt điều kiện xác định.
Bước 2: Đưa bất phương trình đã cho về dạng
P(x)
P(x)
P(x)
P(x)
 0,
 0,
 0,

0
Q(x)
Q(x)
Q(x)
Q(x)
trong đó tử thức và mẫu thức là tích một số nhị thức bậc nhất và tam thức bậc
hai.
Bước 3: Lập bảng xét dấu hoặc xét dấu trên trục số vế trái, từ đó chọn miền
nghiệm thích hợp với điều kiện.
* Chú ý
ax  b
 0  (ax  b)(cx  d)  0
cx  d
ax  b
 0  (ax  b)(cx  d)  0 .
cx  d  0
cx  d
2.1.2.4. Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.



Dạng 1:

f  x   0
f  x  g x  
f  x   g  x 
4


Dạng 2:

Dạng 3:

Dạng 4:

Dạng 5:

g  x   0

f  x   g  x   f  x   0
f  x   g 2  x 
g  x   0
f  x  g x  
hoặc
f  x   0

g  x   0
f x  g 2 x
 
  
h  x   0
f  x   0

f  x   g  x   h  x   g  x   0
2

f
x

g
x

 h2  x 





h  x   0
f  x   0

f  x   g  x   h  x   g  x   0
hoặc
2

2
 f  x   g  x   h  x 









h  x   0

f  x   0
g  x   0

2.2. Thực trạng vấn đề

Phần bất phương trình là một phần mới đối với các em học sinh lớp 10. Đa
số các em đang quen giải theo kiểu phương trình nên khi chuyển thành dấu bất
phương trình thì các em gặp khơng ít những bỡ ngỡ. Nhiều em kỹ năng sử dụng
máy tính cầm tay chưa thạo các thuật toán.
Một mặt học sinh trường THPT Triệu Sơn 2 mà tôi đang giảng dạy thuộc
vùng nơng thơn, đời sống nhân dân đang cịn khó khăn, chất lượng học tập của
một bộ phận học sinh còn chưa cao. Đối với học sinh lớp 10 nhất là các em có
học lực trung bình và yếu, khi giải tốn bất phương trình thường gặp những khó
khăn, sai lầm như: Không nắm vững định lý dấu của nhị thức bậc nhất và dấu
của tam thức bậc hai. Không nắm vững phương pháp giải các bất phương trình
cơ bản. Lúng túng trong giải quyết các bài tốn bất phương trình chứa tham số,
trình bày bài giải cịn thiếu logic, chặt chẽ, khoa học…
2.3. Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 10 khi giải tốn bất phương
trình và biện pháp khắc phục
2.3.1. Sai lầm khi giải bất phương trình bậc hai
Học sinh khơng biết vận dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để giải
bất phương trình bậc hai mà thường nhầm lẫn giữa cách giải bất phương trình
bậc hai với cách giải phương trình bậc hai hoặc bất phương trình bậc nhất. Đặc
biệt là với những bất phương trình bậc hai khuyết hệ số.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của hàm số sau
1
y  5x  3 
x2  9
Sai lầm thường gặp
Điều kiện xác định của hàm số là: x 2  9  0  x 2  9  x  3
5


Hướng khắc phục
Học sinh cần nắm vững cách giải bất phương trình bậc hai và chú ý lấy

nghiệm của bất phương trình dựa vào dấu của tam thức bậc hai (khi tam thức có
hai nghiệm phân biệt thì dấu tam thức được xác định theo qui tắc ngoài cùng
trong trái)
Lời giải đúng
Điều kiện xác định của hàm số là : x 2  9  0
Dấu của vế trái trên trục số:
+ -3 -

3 +

Vậy điều kiện xác định x  (; 3)  (3; ) .
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình
5x 2   m  1 x   m 2  6m  16   0 có 2 nghiệm trái dấu.
Sai lầm thường gặp
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:
ac < 0  5(m 2  6m  16)  0
m  8
 m 2  6m  16  0  
 m2
Hướng khắc phục
Trong giải bất phương trình bậc hai khi tam thức có   0 , học sinh thường
nhầm lẫn trong cách dùng kí hiệu  và  . Do đó cần chỉ rõ cho học sinh thấy
tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng hay hai khoảng để lựa chọn kí
hiệu phù hợp. Trong bài toán trên khi xét dấu của tam thức miền nghiệm là hợp
của 2 khoảng do vậy ta phải dùng kí hiệu  .
Lời giải đúng
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu là:
ac < 0  5(m 2  6m  16)  0
 m 2  6m  16  0
+

-8
2
+
 m  8

 m2
Vậy với m (; 8)  (2; ) thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình 5x 2  4x  1  0
Sai lầm thường gặp
5x 2  4x  1  0
2
Đặt f  x   5x  4x  1 có  '  1  0 , suy ra bất phương trình vơ nghiệm.
Khi giải bất phương trình bậc hai trong trường hợp   0 học sinh không
dựa vào định lí để kết luận nghiệm mà thường kết luận ngay bất phương trình vơ
nghiệm.
Hướng khắc phục
Dấu của tam thức phụ thuộc vào dấu của hệ số a và dấu của  . Khi tam
thức có   0 thì tam thức luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x  R .
6


Lời giải đúng
5x 2  4x  1  0
2
Đặt f  x   5x  4x  1
Ta có a  5  0 ,   1  0 suy ra f  x   0 với mọi x  R
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  R .
2.3.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích hoặc chứa ẩn ở mẫu thức
2.3.2.1. Dạng f 2 (x).g(x)  0  g(x)  0; f 2 (x).g(x)  0  g(x)  0 ?
Hướng khắc phục

Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm
bội chẵn) thì dấu của biểu thức không đổi khi đi qua nghiệm kép đó.
f (x)  0, x  D g
f 2 (x)g(x)  0  
Đặc biệt:
g(x)  0, x  D f
f (x)  0, x  D g
f 2 (x)g(x)  0  
g(x)  0, x  D f
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau
2x 3  3x 2  0
3
2
2
Sai lầm thường gặp Đặt f  x   2x  3x  x  2x  3  .
Ta có : x 2  0  x  0
3
+ 0 +
2x  3  0  x 
2
Xét dấu f  x  trên trục số
Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
3

S   ;0    ;    .
2

Hướng khắc phục
Học sinh cần lưu ý khi xét dấu một biểu thức có nghiệm kép (hoặc nghiệm
bội chẵn) thì dấu của biểu thức khơng đổi khi đi qua nghiệm kép đó.

f (x)  0, x  D g
f 2 (x)g(x)  0  
Đặc biệt:
g(x)  0, x  D f
f (x)  0, x  D g
f 2 (x)g(x)  0  
.
g(x)  0, x  D f
3
2
2
Lời giải đúng Đặt f  x   2x  3x  x  2x  3
Ta có :
x2  0  x  0
- 0 +
3
2x  3  0  x 
2
Xét dấu f  x  trên trục số
3

Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S   ;    .
2

7


f (x)

a

2.3.2.2. Dạng g(x)  b
f (x)

a

Sai lầm của học sinh: g(x)  b  b.f (x)  a.g(x)
Đối với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, khi giải bất phương
trình học sinh thường hay khử mẫu thức mà không để ý đến dấu của mẫu thức
và phép biến đổi đó có tương đương hay khơng.
Hướng khắc phục:
Học sinh cần chú ý đến xét dấu mẫu số và biến đổi về dạng:
b.f (x)  a .g(x)
 0 sau đó lập bảng xét dấu vế trái hoặc dùng phương pháp trục số
b.g(x)

Ví dụ 5. Giải bất phương trình
x 1
1

x  x  12
2
2

Sai lầm của học sinh thường gặp:
x  2
x 1
1
2
2




2(x

1)


(x

x

12)

x

3x

10

0

 x  5
x 2  x  12
2

S

(


;

5]

[2;


)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình:
Nguyên nhân sai lầm: x  (4;3) thì x 2  x  12 <0 học sinh nhiều em không nắm được
điều này.

Hướng khắc phục
Học sinh cần nắm vững khi quy đồng bỏ mẫu khi nào và không được bỏ
mẫu khi nào.
Lời giải đúng: Bất phương trình
x 1
1
x 1
1
2(x  1)  x 2  x  12





0

0
x 2  x  12

2
x 2  x  12 2
x 2  x  12
x 2  3x  10
 2
0
x  x  12

Lập bảng xét dấu:
x

VT

-

-5

-4

+ 0

-

+

+

+ 0

-

2

3

+

- 0 +

+

0

-

- 0

+

||

+ 0 - ||

+

Vậy tập nghiệm S  (;  5]  (4; 2]  (3;  )
Khi giải bất phương trình dạng tích mà trong biểu thức có nghiệm kép khi
xét dấu trên trục số học sinh vẫn áp dụng theo quy tắc đan dấu dẫn đến kết luận
sai tập nghiệm của bất phương trình.
x 2  3x  2

Ví dụ 6: Giải bất phương trình
0
x2 1
Sai lầm thường gặp
8


x 2  3x  2
Đặt f  x  
x2 1

 x 1
2
Ta có : x  3x  2  0  
x  2
x 2  1  0  x  1

-

-1

+

1

-

2 +

Xét dấu f(x) trên trục số

Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là
S   1; 1   2;   
Hướng khắc phục
Ta thấy x  1 là nghiệm của cả tử thức và mẫu thức của f(x) nên f(x) không
đổi dấu khi đi qua x  1. Lời giải trên đã vi phạm điều này.
Lời giải đúng
Điều kiện : x 2  1  0  x  1
x 2  3x  2
Đặt f  x  
x2 1
 x 1
2
Ta có : x  3x  2  0  
x  2
x 2  1  0  x  1
Xét dấu f(x) trên trục số

+

-1

-

1

-

2

+

Dựa vào kết quả xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là:
S   ;  1   2;    .
1
1

Ví dụ 7: Giải bất phương trình
x 2  2x  3 x  5
Sai lầm thường gặp
1
1

x 2  2x  3 x  5
 x  5  x 2  2x  3   x  5   x 2  2x  3
7
 12x  28  0  x 
3
Hướng khắc phục
2

1 1
  b  a , đây
a b
là cách suy luận thường sử dụng khi so sánh các phân số dương ở lớp dưới
nhưng không đúng khi a, b tùy ý. Vì vậy học sinh cần chú ý rằng:
1 1
ab
 
0 .
a b

ab
Trong cách giải trên học sinh đã sai lầm khi nghĩ rằng

9


 x 3
Lời giải đúng Điều kiện: 
 5  x  1
Với x  5 ta có vế trái dương vế phải âm nên bất phương trình vơ nghiệm.
Với x   5;  1   3;    ta có
1
1


2
x

5
x  2x  3
 x  5  x 2  2x  3   x  5   x 2  2x  3
7
 12x  28  0  x  .
3
7

Kết hợp với x   5;  1   3;    ta được x   5;  
3

2.3.3. Sai lầm khi giải các bất phương trình chứa tham số

Khi giải bất phương trình bậc hai chứa tham số cũng như giải tốn tam thức
bậc hai nói chung, các sai lầm thường xuất hiện do học sinh vội vàng áp dụng
định lý khi chưa chú ý đến giả thiết bài toán hoặc là lạm dụng suy diễn những
mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu các trường hợp cần biện luận.
Ví dụ 8: Tìm m để biểu thức
P  x    m  1 x 2  2  m  1 x  3m  3
2

có nghĩa với mọi x.
Sai lầm thường gặp
Biểu thức có nghĩa với mọi x
 f  x    m  1 x 2  2  m  1 x  3m  3  0, x
m 1  0

a 0
 '

2
  0  m  1  3  m  1  m  1  0

 m 1
m 1



  m  1  m  1
2  m  1  m  2   0   m  2


Hướng khắc phục

Dễ thấy rằng với m  1 thì f  x   6  0, x . Lời giải trên đã xét thiếu trường
hợp m  1 . Do đó cần lưu ý với học sinh rằng:
 a  b  0

 c0
2
f  x   ax  bx  c  0, x  
 a 0
 
   0.
Lời giải đúng
Biểu thức có nghĩa với mọi x
 f  x    m  1 x 2  2  m  1 x  3m  3  0, x
10


Với m  1 thì f  x   6  0, x
2
Với m  1 thì f  x    m  1 x  2  m  1 x  3m  3  0, x
m 1  0

a 0
 '

2
  0  m  1  3  m  1  m  1  0

 m 1
m 1




  m  1  m  1
2  m  1  m  2   0   m  2


Vậy giá trị m cần tìm là m  1 .
Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình 3x 2  6x  3m  0 nghiệm đúng với mọi
x   0;    .
Sai lầm thường gặp
2
Đặt f  x   3x  6x  3m
Giả sử f(x) có hai nghiệm x1,x2, khi đó:
f  x   3x 2  6x  3m  0, x   0;     x1  x 2  0
 '  0
9  9m  0


  P  0   m  0
S0
 20



(hệ vơ nghiệm )

2
Vậy khơng có giá trị nào của m để 3x  6x  3m  0, x   0;    .
Hướng khắc phục
Trong lời giải trên học sinh đã quên không xét trường hợp  '  0 , khi đó

bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  R nên cũng nghiệm đúng với mọi
x   0;    .
Lời giải đúng
2
Đặt f  x   3x  6x  3m  0
a0
 3  0

 m  1
TH1: f  x   0, x  R   '


0
9

9m

0


TH2: Giả sử f(x) có hai nghiệm x1,x2, khi đó:
f  x   3x 2  6x  3m  0, x   0;     x1  x 2  0

 '  0

 P0
S0

9  9m  0


  m  0
 20


(hệ vô nghiệm )

11


Vậy với m (; 1] thì bất phương trình 3x 2  6x  3m  0 nghiệm đúng với
mọi x   0;    .
2.3.4. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức
Khi giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai học sinh thường
nhầm lẫn với cách giải phương trình tương ứng hoặc khơng xem xét kĩ bài tốn
dẫn đến xét thiếu trường hợp, hoặc sử dụng các phép biến đổi khơng đúng.
Ví dụ 10: Giải bất phương trình
2x 2  6x  1  x  2  0
Sai lầm thường gặp
2x 2  6x  1  x  2  0  2x 2  6x  1  x  2
 x2
x20

x2


 2
  x  3  x  3
2   2
 x  2x  3  0  
2x  6x  1   x  2 

  x  1
Hướng khắc phục
Phép biến đổi trên đã xét thiếu trường hợp x  2  0 . Học sinh cần nhớ biếu thức
tương đương khi giải bất phương trình f  x   g  x  là:
 g  x   0
 
 f  x   0
f  x  g x  
  g  x   0
 f  x   g 2  x 

Lời giải đúng
2x 2  6x  1  x  2  0  2x 2  6x  1  x  2

x2
 2
  x  2x  3  0   x  2
 
x20
 
  x2
 2
 x 3
2
  x  3
 
2x  6x  1   x  2 

 


 
3  7     x  1   x  3  7

   x 
  x20

2

2
3 7
 
 2x 2  6x  1  0
x



 
3 7

2
  x 
2
 

3 7 
Vậy bất phương trình có nghiệm là x   ;
   3;    .
2



 x  9  2x  1  0
Ví dụ 11: Giải bất phương trình:
x  2019
 x  9  2x  1  0 (*)
Sai lầm thường gặp
x  2019
12


 1

Tập xác định: D   x :  x  2019  .
 2


x 9
 0  9  x  2019.
x  2019
Đối chiếu với tập xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là
9  x  2019 .
Hướng khắc phục :
x 9
 0 là
Việc giải thích: Với mọi x  D thì 2x  1  0 nên (*) 
x  2019
x 9
chưa đủ căn cứ. Thật vậy, nếu 2x  1  0 và giá trị của
tùy ý thì (*)
x  2019
vẫn được thỏa mãn. Trong giải tốn bất phương trình học sinh thường áp dụng

phép biến đổi không đúng sau:
f  x   0
f  x g x  0  
mà đáng ra phải làm như sau:
g
x

0



Với mọi x  D thì

2x  1  0 nên (*) 

f  x   0; x  D

f  x  g  x   0   f  x   0 .
 g  x   0
 

 1

Lời giải đúng : Tập xác định: D   x :  x  2019  .
 2

1
Với 2x  1  0  x  (thỏa mãn).
2
x 9

1
 0  9  x  2019 (thỏa mãn).
Với x  thì (*) 
x  2019
2
1

x

2
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
.

9  x  2019
Ví dụ 12: (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ tháng 7- 2013)
Giải bất phương trình: x 2  3x  2  x 2  4x  3  2 x 2  5x  4 (**)
Sai lầm thường gặp
x 2  3x  2  x 2  4x  3  2 x 2  5x  4
 x  1. x  2  x  1. x  3  2 x  1. x  4
 x 2  x 3  2 x 4 



x 2  x 3

 
2

 2 x4



2

 2 x 2  5x  6  2x  11

13


11

x


2

2x  11  0


 x  2

x 2  5x  6  0
 
.
x

3


2

2
4
x

5x

6

2x

11






97
x 

24
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Hướng khắc phục
Lời giải trên đã mắc phải một số sai lầm sau:
Thứ nhất: Chưa tìm điều kiện để bất phương trình (**) có nghĩa.
Thứ hai: Biến đổi
 x  1  x  2   x  1. x  2;  x  1  x  3   x  1. x  3;

 x  1  x  4 

 x  1. x  4

mà không để ý đến điều kiện AB  A. B chỉ xảy ra khi A  0 và B  0 . Vì
vậy cách làm trên đã làm mất nghiệm của bất phương trình đã cho.
x  4
Lời giải đúng Điều kiện: 
.
 x 1
Với x  4 : (**)  x  1. x  2  x  1. x  3  2 x  1. x  4
 x 2  x 3  2 x 4 



x2  x3

 
2



2

 2 x4
11

x


2


2x  11  0


 x  2
 2 x 2  5x  6  2x  11  
x 2  5x  6  0
 
.
x

3


2
2
4  x  5x  6    2x  11

97
x 

24
Trường hợp này bất phương trình vơ nghiệm.
Dễ thấy x  1 là một nghiệm của bất phương trình (**).
Với x  1 : (**)  x  1. x  2  x  1. x  3  2 x  1. x  4
 2 x  3 x  2 4 x
 2  2  x   3  x   11  2x

11

11

x

x


2  x  97 .
2


24
4  x 2  5x  6    11  2x  2
 x  97


24
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x   ;1 .

14


Bài tập tham khảo
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau
1

a. y  | x | 3  2x  1

b. y   x 3  3x  2  x  1 .

c. y  x 2  1  x  1 .

d. y 

1
1
 2
.
x  7x  5 x  2x  5
2

Bài 2. Giải các bất phương trình sau
a.  x 2  3x  2x 2  3x  2  0 .
b.  2x  5  2x 2  5x  2  0 .
c.

x 2  x  2  x 2  2x  3  x 2  4x  5 .

d. x 2  8x  15  x 2  2x  3  4x 2  18x  18 .
Bài 3. Tìm m để bất phương trình:
 m  1 x 2  2mx  4  m  1  0 nghiệm đúng với x  R .
2
Bài 4. Cho bất phương trình:  m  1 x   2m  3 x  m  3  0
a. Với giá trị nào của m thì bất phương trình nghiệm đúng x  1.
b. Tìm m để bất phương trình có nghiệm thoả mãn x  1 .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Ban đầu học sinh có học lực trung bình cịn e ngại và gặp nhiều lỗi sai trong
giải bất phương trình. Tuy nhiên sau khi được giáo viên hướng dẫn tỉ mỉ phương
pháp giải của từng dạng bất phương trình và trên cơ sở nhấn mạnh những sai
lầm mà các em thường hay mắc phải, học sinh đã có thể nắm vững phương pháp
và đưa ra lời giải đúng được trình bày cẩn thận và hợp lý hơn trước rất nhiều.
Các em đã tự tin và hứng thú hơn khi giải tốn bất phương trình nói riêng và giải

tốn nói chung.
Sáng kiến kinh nghiệm được tơi đúng rút từ nhiều năm học và truyền đạt
cho các đồng nghiệp của tổ toán học hỏi để giảng dạy và được đồng nghiệp
trong tổ đánh giá cao và áp dụng trong quá trình giảng dạy bất phương trình.
Đặc biệt trong 2 năm học 2017-2018 tôi đã dạy cho lớp 10A1 và năm học 20182019 áp dụng dạy cho lớp 10B1. Kết quả kiểm tra tập trung học giữa học kỳ 2
(trong đề kiểm tra có nhiều câu hỏi về bất phương trình) như sau:
Xếp loại
Đối tượng
(Năm học)
10A1
(2017-2018)
10B1
(2018-2019)

Sĩ số

Giỏi

khá

TB

Yếu,
kém

40

24 HS= 60% 12HS =30%

4HS=10%

0%

38

25 HS= 66% 11HS =29%

2HS = 5%

0%
15


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Đề tài nghiên cứu của tơi đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm
thường gặp của học sinh khi giải toán bất phương trình. Với lượng kiến thức
nhất định về bất phương trình học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai
lầm mắc phải khi giải toán. Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp
giải tốn cho mình. Tạo tiền đề cho việc chủ động tìm hiểu những phần kiến
thức phong phú đa dạng hơn trong quá trình học tập.Với đề tài này đã được
đồng nghiệp tổ tốn trường THPT Triệu Sơn 2 góp ý xây dựng áp dụng vào
trong q trình giảng dạy; Qua đó học sinh của nhà trường được nâng lên về
kiến thức toán. Bản thân khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tơi thu được kết quả
đáng khích lệ, các em học sinh không chỉ tự tin hơn khi giải các bài tốn bất
phương trình mà cịn có phần hứng thú với loại tốn này.
Trong bài viết, tơi mới chỉ giới thiệu được một số dạng toán cơ bản mà các
em học sinh lớp 10 hay mắc sai lầm khi giải tốn bất phương trình để cho các
em nắm được một cách chắc chắn hơn. Mong các bạn đồng nghiệp chia sẽ và
góp ý để bài viết được hồn thiện hơn.

3.2. Kiến nghị
Hiện nay thư viện trường THPT Triệu Sơn 2 có số lượng và chất lượng sách
tham khảo cịn rất hạn chế. Kính mong các cấp lãnh đạo quan tâm giúp đỡ để
học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa sách tham khảo phục vụ việc nghiên
cứu, học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 5 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác
Kí tên

Thi Văn Chung

DANH MỤC
16


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI
Cấp đánh giá
xếp loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại

(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Ngành GD tỉnh

B

2007

Ngành GD tỉnh
bằng phương pháp hàm số
Hướng dẫn học sinh giải một số
phương trình, hệ phương trình Ngành GD tỉnh
bằng phương pháp hàm số

C

2011

C

2014

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Phương pháp đặt ẩn phụ giải

2.

phương trình chứa ẩn dấu căn
Chứng minh bất đẳng thức

3.

Ghi chú:
+ Loại B năm 2007. Số: 462/QĐ-SGD&ĐT ngày 19/12/2007 với đề tài “Phương
pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu căn”.
+ Loại C năm 2011 - Số: 539/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2011 với đề tài “Chứng
minh bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số”.
+ Loại C năm 2011 - Số: 753/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2014 với đề tài “Hướng
dẫn học sinh giải một số phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm
số”
----------------------------------------------------

TÀI LIỆU THAM KHẢO

17


1. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán (Trần Phương – Nguyễn
Đức Tấn – NXB Hà Nội - 2004).
2. Phương pháp giải toán đại số 10 (Lê Hồng Đức-Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí).

3. Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giai toán đại số 10 (Lê Hồng Đức và
nhóm cự mơn).
4. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10 (Nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà
Nội).
5. Báo Toán học tuổi trẻ ( Nhà xuất bản Giáo dục).
6. Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản và Đại số 10 nâng cao (Nhà xuất bản
Giáo dục).

18