Hình thành kĩ năng giải toán bất phương trình mũ và bất phương trình loogarit cho học sinh lớp 12 thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH THẮNG

HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TỐN BẤT PHƢƠNG
TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Nghệ An,2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐÌNH THẮNG

HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TỐN BẤT PHƢƠNG
TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH LƠGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT
Chun ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thuận

Nghệ An, 2019

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc tới Trường Đại học Vinh, Phòng
Đào tạo sau đại học, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.
Xin được bày tỏ lòng cảm ơn, biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo, các nhà
khoa học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên
cứu và hồn thành khóa học.
Đặc biệt tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Văn Thuận đã giành nhiều
thời gian và tâm huyết chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh nghiệm quý
báu, giúp tơi tự tin trong q trình nghiên cứu để hồn thiện luận văn thạc sĩ này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp, người thân đã
tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành khóa học.
Mặc dù trong q trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp, bản
thân đã rất nổ lực và cố gắng, song chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Vì vậy, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các nhà khoa
học, các nhà giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... i
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................ iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu - khách thể nghiên cứu ............................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
6. Giả thuyết khoa học ........................................................................................ 3

7. Đóng góp của đề tài ......................................................................................... 3
8. Cấu trúc luận văn ............................................................................................ 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 5
1.1.Một số thuật ngữ và khái niệm .................................................................... 5
1.1.1.Phương pháp dạy học ................................................................................. 5
1.1.2. Kĩ năng và các yếu tố liên quan................................................................. 5
1.1.3.Kĩ năng giải toán ......................................................................................... 9
1.2.Con đƣờng hình thành kĩ năng giải tốn cho HS trung học phổ thơng. .........14
1.3Q trình dạy – học...................................................................................... 17
1.4. Các vấn đề trong việc hình thành kĩ năng giải tốn cho HS khi dạy học
"phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ – logarit" - Giải tích 12 THPT......... 18
1.4.1. Về việc rèn luyện kĩ ăng giải toán cho HS khi dạy học "phương trình,
bất phương trình mũ – logarit" - Giải tích 12 THPT ....................................... 18
1.4.2. Thực trạng dạy và học nội dung “bất phương trình mũ và bất phương
trình logarit” ở Trường THPT. ......................................................................... 22
CHƢƠNG 2.

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁNBẤT PHƢƠNG

TRÌNH MŨ – LƠGARIT ................................................................................. 28
2.1. Tổng quan kiến thức về bất phƣờng trình mũ – logarit ........................ 28
ii


2.1.1. Các kiến thức cơ bản................................................................................ 28
2.1.2. Kĩ năng cơ bản ......................................................................................... 35
2.2. Hình thành kĩ năng giải bất phƣơng trình mũ và bất phƣơng trình
logarit. ................................................................................................................. 36
2.2.1. Dạng 1: Dạng bài toán vận dụng định nghĩa ......................................... 36
2.2.2 Dạng 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương ........................................ 45

2.2.3. Dạng 3: Phương pháp logarit hóa đưa về cùng cơ số ............................ 49
2.2.4. Dạng 4: Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ........................................... 50
2.2.5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ............................. 56
2.2.6. Dạng 6: Sử dụng phương pháp đánh giá ............................................... 58
2.2.7. Dạng 7: Sử dụng tích chất của bất đẳng thức hoặc đưa về bất phương trình
tích......................................................................................................................................59
2.2.8. Dạng 8: Dùng phương pháp hàm số, (sử dụng tính chất của hàm sơ) để
giải bất phương trình mũ và logarit .................................................................. 64
2.2.9. Dạng 9: Giải một số bất phương trình mũ, logarits khơng mẫu mực ... 70
CHƢƠNG III: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................. 76
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm .................................. 76
3.2. Đối tƣợng và phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ................................. 76
3.3. Quá trình thực nghiệm sƣ phạm............................................................... 76
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm .................................................................. 77
3.4.1. Nội dung 2 đề kiểm tra (45 phút) .......................................................... 77
3.4.2. Các kết quả .............................................................................................. 85
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 89

iii


BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Nội dung

BPT

Bất phương trình

GDTX

Giáo dục thường xuyên

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

KN

Kỹ năng

PP

Phương pháp

PT

Phương trình

THPTQG

Trung học phổ thông quốc gia

THPT

Trung học phổ thông

TXĐ

Tập xác định

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, Tốn học là một mơn khoa học rất quan trọng trong
trường PT. Nó khơng chỉ là cơng cụ để lĩnh hội các mơn khoa học khác mà nó
cịn góp phần rèn luyện cho HS khả năng tư duy logic, kĩ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề...
Qua thực tiễn dạy học tốn chúng tơi thấy rằng HS cịn rất lúng túng và
khó khăn khi giải tốn. Nhiều em giải bài tốn nào thì biết bài tốn đó, chưa có
kĩ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học, trong nhiều trường hợp chưa biết
phân loại, nhận dạng bài toán, chưa đưa ra được phương pháp giải với từng dạng
cụ thể. Thậm chí một số em cịn tỏ ra lúng túng, chưa định hướng được cách giải
của một bài toán như thế nào và nhiều kiến thức Toán học được HS áp dụng có
phần tùy tiện gây những sai lầm trong giải tốn.
Trong q trình dạy – học, một số GV chưa có điều kiện kết nối những
kiến thức cần củng cố cho HS trong từng trường hợp cụ thể, do vậy các em gặp
nhiều khó khăn khi tiếp cận phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán tương tự.
Hưởng ứng cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp
trong ngành giáo dục với định hướng: “Dạy học tập trung vào người học”;
phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Định

hướng này có thể gọi tắt là học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, hay ngắn
gọn hơn là hoạt động hố người học.
Cụ thể trong mơn Tốn: Đổi mới phương pháp dạy học Tốn theo hướng
tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự
học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, rèn luyện
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh.
Chủ đề bất phương trình có vị trí quan trọng trong chương trình mơn Tốn
THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến
1


cuối cấp. Những kiến thức về bất phương trình cịn là chìa khố để giải quyết
nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình
học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức
lý thuyết về chủ đề bất phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương
trình, việc hình thành kỹ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy
học nhiều nội dung mơn Tốn ở Trường THPT. Từ những lý do trên tôi lựa chọn
đề tài: Hình thành kĩ năng giải tốn Bất phƣơng trình mũ và bất phƣơng
trình logarit”cho học sinh lớp 12 THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định các kĩ năng cơ bản và đề xuất các dạng toán cụ thể để hình thành
kĩ năng giải tốn bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho HS
trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết về kĩ năng, kĩ năng giải tốn và con đường hình
thành kĩ năng giải tốn.
- Nghiên cứu nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit,
điều tra thực trạng dạy học chủ đề này ở trường THPT.

- Đề xuất dạng toán cụ thể nhằm hình thành kĩ năng giải bài tốn bất
phương trình mũ và bất phương trình logarit.
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu - khách thể nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Là việc rèn luyện kĩ năng giải toán về bất phương trình mũ – logarit
4.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học giải tốn cho HS
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục liên quan đến đề tài.
2


+ Các tài liệu vể nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit.
- Quan sát, điều tra:
+ Quan sát điều tra tình hình thực tiễn giảng dạy nội dung hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ở trường THPT. Dự giờ, tổng kết rút kinh
nghiệm việc dạy học nội dung này.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm:
+ Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất.
6. Giả thuyết khoa học:
Nếu chỉ ra được các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và
thực hiện tốt giải pháp đã đề xuất thì có thể giúp HS hình thành được các kĩ
năng giải tốn bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, góp phần nâng
cao chất lượng học tốn cho HS lớp 12 THPT
7. Đóng góp của đề tài:
7.1. Về lí luận
- Làm rõ các vấn đề về kĩ năng như khái niệm kĩ năng, rèn luyện kĩ năng,

kĩ năng giải toán
- Đề xuất được cách day – học nội dung bất phương trình mũ – logarit cho
HS lớp 12 THPT
7.2. Về mặt thực tiễn
- Chỉ rõ các kĩ năng cơ bản thuộc nội dung BPT mũ – logarit cho HS lớp
12 THPT
- Đề xuất được cách dạy học nội dung BPT mũ – logarit cho HS lớp 12
THPT.
- Các ví dụ và bài dạy thực nghiệm có thể được xem là tài liệu cho HS,
SV các trường SP và GV toán

3


8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết thúc, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm 3 chương
Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương II: Rèn luyện kĩ năng giải toán BPT mũ – logarit thơng qua từng
dạng tốn cụ thể.
Chương III: Thực nghiệm sư phạm

4


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số thuật ngữ và khái niệm
1.1.1. Phương pháp dạy học
Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để đạt được mục tiêu
nhất định

Phương pháp dạy học là cách thức hoạt động và giao lưu của thầy tạo nên
các hoạt động của Thầy và trò nhằm đạt được mục tiêu là lĩnh hội được tri thức
1.1.2. Kĩ năng và các yếu tố liên quan
1.1.2.1. Kĩ năng
a. Trong từ điển Tiếng Việt định nghĩa: Kĩ năng là khả năng vận dụng
những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [2,tr.426]
Trong giáo trình tâm lý học đại cương thì, ”kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính, những bản chất của các sự vật và giải quyết thành công
những nhiệm vụ hay thực hành xác định. [14,tr.149].
Theo Tâm lí học lứa tuổi và tâm lí học sư phạm thì ” Kĩ năng là khả năng
vận dụng kiến thức ( khái niệm, cách thức, phương pháp...) để giải quyết một
nhiệm vụ mới. [13,tr.131].
Theo [2, tr.548]: “KN là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực
tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để thực
hiện một việc gì”
KN là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được để
đạt được mục đích , KN cịn có thể đặc trưng như tồn bộ các thói quen nhất
định; KN là khả năng làm việc có phương pháp ”. G.Polya đã khẳng định rằng: “
Trong Toán học, KN là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh
cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được KN
trong toán học quan trọng hơn nhiều những kiến thức thuần túy, so với thông tin
trơn ” [5,tr. 99].
5


Như vậy ta thấy có rất nhiều cách để phát biểu về khái niệm KN, do đó
khó có thể đưa ra một khái niệm chung về KN. Tuy nhiên trong các cách phát
biểu trên thì chúng ta vẫn có thể chỉ ra một điểm chung, đó là nói đến khả năng
vận dụng các kiến thức đã có để giải quyết một nhiệm vụ mới. Bên cạnh đó, khi

nói đến khả năng là nói đến triển vọng và kết quả khi hành động sẽ diễn ra, cịn
khi nói đến KN là nói đến sự nắm vững cách thức thực hiện và trình tự thực hiện
các thao tác. Vậy ta có thể hiểu về KN như sau:
KN là khả năng biết vận dụng những tri thức khía niệm, tri thức phương
pháp và , kinh nghiệm đã có một cách hợp lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn để
thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó. Nói đến KN là
nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự thực hiện chuỗi các thao tác hành động
để đạt được mục đích đã đề ra. KN được hình thành và phát triển dựa trên cơ
sở là kiến thức, nó giúp hệ thống lại kiến thức; và đặc biệt, có thể phát triển
thành kĩ năng, kĩ xảo mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và yêu cầu của cuộc
sống. KN vừa là kết quả vừa là tri thức trong hoạt động, được hình thành và
phát triển trong hoạt động và bằng hoạt động.
1.1.2.2.Đặc điểm của kĩ năng
Kĩ năng có một số đặc điểm như sau:
- Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết – đó là kiến thức. Bởi
cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích – biết cách thức đi đến kết quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức ấy.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
- Muốn có kĩ năng về một hành động nào đó cần phải có:
+ Có đủ kiến thức để nắm rõ mục đích của hành động ấy, biết được điều
kiện, cách thức để thực hiện và đi đến kết quả cuối cùng.
+ Tiến hành hành động đó kết hợp với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả như mục đích đề ra ban đầu
6


+ Có hiệu quả khi thực hiện hành động trong các điều kiện khác nhau.
+ Có thể bắt chước, rèn luyện thành kĩ năng, kĩ xảo nhưng phải tập luyện
trong một lượng thời gian nhất định.

Thực tiễn cho thấy rằng HS gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng các khái
niệm và kiến thức vào việc giải quyết các vấn đề cụ thể. Nguyên nhân sâu xa là
các em chưa phát hiện được bản chất của đối tượng để đưa ra các mối liên hệ
bản chất giữa tri thức sẵn có với các đối tượng mới đó. Như vậy, lúc này, tri
thức đã không trở thành công cụ của hoạt động nhận thức mà chỉ là một khối
kiến thức thô cứng, không được vận dụng, không được gắn với thực tiễn, không
trở thành cơ sở của kĩ năng.
Tri thức sự vật, tri thức phương pháp là rất đa dạng, nó phản ánh những
thuộc tính bản chất khác nhau của sự vật, hiện tượng, do đó, để tri thức trở thành
cơ sở cho việc hình thành kĩ năng thơng qua các hoạt động thì chúng ta cần phải
biết lựa chọn tri thức phản ánh đúng bản chất và phù hợp mục tiêu hoạt động.
Trong thực tế, một số HS thuộc lí thuyết, tuy nhiên lại chưa vận dung
được tri thức đó vào bài tập, chưa biết lựa chọn tri thức sự vật, tri thức phương
pháp nào cho bài tốn đó, ngun nhân chủ yếu là do kĩ năng chưa được hình
thành trong quá trình học tập.
1.1.2.3.Sự hình thành kĩ năng
Trong quá trình dạy – học, để hình thành được kĩ năng thì cần có tri thức
là cơ sở cho việc hình thành và thực hiện các hoạt động luyện tập... kĩ năng chỉ
được hình thành trong quá trình HS tư duy để tìm ra phương thức giải quyết các
nhiệm vụ được đặt ra, khi đó, HS phải phân tích, biến đổi các đối tượng sẵn có
để đưa ra bản chất và thuộc tính mới. Q trình tư duy này là tổ hợp của các
hoạt động phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa và khái qt hóa cho tới khi hình
thành được mơ hình của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài
tốn đã cho.
Có thể hướng dẫn HS hình thành kĩ năng bằng các con đường khác nhau:
1. Dạy học nêu vấn đề:
7


Ở con đường này, GV truyền thụ cho HS những kiến thức cần thiết, sau

đó, đưa ra các bài tốn cần thiết để ứng dụng các kiến thức đó. HS sẽ phải tìm ra
lời giải bằng con đường thử nghiệm: đúng hoặc sai, qua đó, phát hiện ra các mốc
định hướng, các phương thức biến đổi thông tin, các thủ thuật trong hoạt động.
2. Hướng dẫn HS nhận biết được các dấu hiệu mà dựa vào đó có thể định
hướng được lời giải cho một dạng toán cụ thể nào đó.
3. Hướng dẫn HS hoạt động vận dụng tri thức. GV khơng những hướng
dẫn HS tìm hiểu các ”key word” trong bài toán, cách chọn lọc dấu hiệu, các thao
tác mà còn tổ chức các hoạt động thu thập, xử lí giả thiết để định hướng lời giải
cho bài tốn.
Ở giai đoạn đầu, các định hướng của đối tượng được đưa ra dưới dạng có
sẵn, được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu. Ở giai đoạn 2, các mốc định
hướng và các thao tác được thay thế bằng hệ thống kí hiệu và các hoạt động
ngơn ngữ.
Như vậy, GV đã định hướng cho HS phân dạng bài tập và tìm nội dung,
tri thức sẵn có phù hợp, tương thích để làm cơ sở suy luận và tìm lời giải cho
bài tốn cụ thể, từ đó, xây dựng tri thức phương pháp cho từng dạng tốn. Bên
cạnh đó, cần hướng dẫn HS mở rộng bài toán bằng các hoạt động như trừu
tượng hóa, khái quát hóa, dặc biệt hóa...
Cuối cùng kết quả nhận được trong quá trình dạy – học đó là kĩ năng giải
bài tập tốn của HS.
Người ta gọi phương pháp dạy học này là PP hình thành các hoạt động trí
tuệ qua từng giai đoạn.
Trong quá trình hình thành tri thức mới thì chủ thể hoạt động luôn phải
trải qua các giai đoạn này, cho dù nó có thể được định dạng một cách tường
minh hay khơng tường minh. Chính vì thế, hầu như, HS đều phải được rèn luyện
cách phát hiện những dấu hiệu này theo cảm tính và kinh nghiệm của bản thân.
Thực chất, sự hình thành kĩ năng là tạo cho HS khả năng nắm vững một chuỗi
các thao tác phức hợp nhằm biến đổi và sáng tạo các dữ liệu của bài toán.
8

Khi hình thành kĩ năng cho HS chúng ta cần chú trọng các mục đích sau:
+ Hướng dẫn HS các tìm tịi, phân biệt giả thiết và kết luận, giữa cái cần
tìm và cái được cho, để từ đó tìm ra mối liên hệ giữa chúng.
+ Hướng dẫn HS mô hình hóa, khái qt hóa một dạng tốn nhất định nào
đó.
+ Hướng dẫn HS xây dựng được mối liên hệ giữa mơ hình và các kiến
thức tương ứng.
Như vậy, chuỗi các hoạt động để hình thành kĩ năng, kĩ xảo là phức hợp
giữa việc vận dụng tri thức trong từng trường hợp thực tiễn cụ thể và việc rèn
luyện, tập dượt để hồn thiện kĩ năng đó. Bên cạnh đó, ta còn phải kể đến sự
linh hoạt trong hoạt động trí tuệ của HS trong q trình hình thành kĩ năng.
1.1.2.4. Những yếu tố tác động đến quá trình hình thành kĩ năng
+ Nội dung và đặc trưng của từng dạng tốn: Nhiệm vụ, các thơng tin của
bài tốn có thể tường minh hoặc khơng tường minh, có thể được trừu tượng hóa
hay bị che phủ bởi các yếu tố gây nhiễu, làm lệch hướng tư duy.
+ Tâm thế, thói quen cũng góp phần tác động đến sự hình thành khả năng.
Việc gây cảm giác thành cơng, thích thú tìm hiểu vấn đề nhằm tạo ra tâm thế
tích cực tạo điều kiện thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS dễ dàng hơn trong quá
trình hình thành kĩ năng.
+ Ứng dụng trong nội bộ Toán học và trong thực tiễn của kĩ năng nào đó
cũng tác động đến q trình hình thành kĩ năng của HS.
1.1.3. Kĩ năng giải tốn
1.1.3.1. Khái niệm kĩ năng giải toán
Như chúng ta đã biết, quá trình để đi đến một lời giải trọn vẹn cho một bài
toán cụ thể là tiến hành một hệ thống các hoạt động có mục đích, điều này chỉ
diễn ra một cách sn sẻ, có tính hướng đích cao khi chủ thể nắm vững được các
tri thức sự vật, tri thức phương pháp, nắm vững các yêu cầu cụ thể của bài toán,
dự đoán được kết quả trong những điều kiện khác nhau. Chúng tơi cho rằng,
trong giải tốn: ”Kĩ năng giải tốn là khả năng vận dụng có mục đích các tri

9


thức toán học (bao gồm tri thức phương pháp, tri thức sự vật) và kinh nghiệm đã
có của chủ thể hoạt động vào giải tốn, thực hiện có kết quả một chuỗi các hoạt
động phức hợp để đưa ra một lời giải tối ưu cho bài tốn đó”.
Để thực hiện tốt các yêu cầu đặt ra trong việc dạy – học mơn tốn THPT,
một trong những yếu tố chúng ta cần chú ý đến trong quá trình hình thành kĩ
năng cho HS đó là tri thức phương pháp, đặc biệt là TTPP có tính chất thuật tốn
và những kĩ năng tương ứng.
1.1.3.2. Vai trị của kĩ năng giải tốn
Mục đích chính của việc dạy – học mơn Tốn trong trường THPT là lĩnh
hội tri thức toán học, rèn luyện kĩ năng để tạo cơ sở cho việc phát triển tư duy.
Chính vì vậy, việc tổ chức hoạt động để rèn luyện kĩ năng nói chung, kĩ năng
giải tốn nói riêng là một yêu cầu đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành. Q
trình dạy – học sẽ khơng đạt được kết quả như mong muốn nếu HS chỉ học
thuộc lí thuyết mà chưa áp dụng được chúng vào việc giải quyết các bài toán
(bao gồm các bài toán đã được mơ hình hóa). Có thể nói, hoạt động giải bài tập
toán là một trong những cách ngắn nhất để rèn luyện kĩ năng giải toán, nên việc
tăng cường các hệ thống bài tập có tính phân bậc và chọn lọc là một điều tất yếu
trong dạy – học toán trong trường THPT. Trong quá trình này, GV cũng cần
quan tâm đến một số vấn đề sau:
+ Cần hướng dẫn HS biết tìm tịi, nhận xét các u tố đã cho, yếu tố cần
tìm (giả thiết – kết luận) và mối liên hệ giữa chúng. Tức là hướng dẫn cho HS
biết cách nhận dạng bài toán.
+ Cần xây dựng mối tương quan giữa bài tập mơ hình hóa với các tri thức
tương ứng.
+ Tạo tư duy logic, tâm thế hứng thú cho HS bằng việc nhìn bài tốn
dưới nhiều góc độ khác nhau, quan sát tỉ mỉ để tìm ra đặc trưng của từng dạng
tốn hay khuyến khích HS tìm ra lời giải tối ưu nhất có thể.

10


Như vậy, Giúp HS lĩnh hội tri thức và Hướng dẫn HS rèn luyện kĩ năng là
hai hoạt động diễn ra song song, đan cài vào nhau trong quá trình dạy – học toán
ở trường THPT.
1.1.3.3. Phân loại kĩ năng trong việc học tốn
Sự phức tạp (tính trừu tượng hóa, tính thời sự ...) trong Tốn học diễn ra
trên nhiều cấp độ và dưới nhiều hình thức khác nhau, nên việc rèn luyện cho HS
nhừng kĩ năng trên nhiều phương diện là điều cần thiết. Chúng ta có thể phân
loại các kĩ năng trong việc học toán như sau:
1. Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mơn Tốn:
Là sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức trong nội bộ Toán học. Một
người hiểu những tri thức Toán học (bao gồm tri thức sự vật và tri thức phương
pháp) sẽ vận dụng một cách nhuần nhuyễn lí thuyết và các thuật tốn vào việc
giải tốn. Ta có thể chia các kĩ năng này thành các loại kĩ năng nhỏ hơn:
a. Kĩ năng chung (bao gồm kĩ năng thu thập, xử lí các thơng tin từ bài
tốn và kĩ năng tìm kiếm, định hướng lời giải)
 Kĩ năng thu thập, xử lí các thơng tin từ bài tốn.
Đây là bước quan trọng nhất khi giải toán, là cơ sở cho sự tư duy và định
hướng lời giải. Đứng trước một bài tốn, cần rèn luyện cho HS tìm ra Giả thiết –
kết luận, đưa ra các yếu tố liên quan đến đối tượng đã biết như một thuật toán,
một điều kiện, hay một quy tắc nào đó và mối liên hệ giữa cái cần tìm và những
cái đã có.
 Kĩ năng tìm kiếm, định hướng lời giải
Việc khó khăn nhất đối với HS là định hướng và phương pháp giải, đặc
biệt là đối với các bài toán đại số - giải tích, bởi vì đa số những bài tốn này đều
chưa có thuật tốn chung để giải. Thậm chí, một số em còn chưa biết nên bắt
đầu từ đâu để giải một bài tốn. Nói chung, xét về nhận thức thì việc đưa ra lời

giải cho một bài tốn bao gồm hai bước: một là định hướng lời giải, hai là tiến
hành giải tốn cịn gọi là chiến thuật giải. Hai bước này độc lập và hỗ trợ cho

11


nhau, tùy trường hợp cụ thể của bài toán mà có thể thực hiện riêng biệt hay thưc
hiện song song với nhau.
b. Những kĩ năng cụ thể
Một số kĩ năng GV cần rèn luyện cho HS:
 Kĩ năng nhận thức: bao gồm: khả năng lĩnh hội một khái niệm, định lí:
Kĩ năng áp dụng quy tắc thành thạo, linh hoạt mỗi thuật toán hay quy tắc, kĩ
năng dự đoán và suy đoán.
 Kĩ năng thực hành: bao gồm kĩ năng vận dụng tri thức ( tri thức sự vật,
tri thức phương pháp) vào hoạt động giải bài tập toán, kĩ năng mơ hình hóa các
tình huống thực tiễn, kĩ năng áp dụng các kết quả của toán học vào thực tiễn
hoặc các môn khoa hoc khác.
 Kĩ năng tự tổ chức các hoạt động nhận thức: để có được kĩ năng này
thì cần hình thành cho HS thói quen lập kế hoạch, tìm cách học phù hợp với
năng lực của bản thân.
 Kĩ năng kiểm tra - đánh giá, tự kiểm tra - đánh giá
Theo quan điểm hoạt động hóa người học, kết quả của quá trình học là
chủ thể lĩnh hội được tri thức dưới sự hướng dẫn của GV và sự tựu giác điều
chỉnh phù hợp với mục đích đề ra, muốn được như vậy thì HS cần phải rèn
luyện kĩ năng đánh giá, tự kiểm tra đánh giá. HS không chỉ tự kiểm tra đánh giá
kết quả của bản thân mà cịn có thể đánh giá chéo kết quả của bạn hay đối tác,
để tự đưa ra nhận xét đúng đắn nhất làm cơ sở cho sự tự điều chỉnh này.
Để rèn luyện được kĩ năng này thì địi hỏi chủ thể hoạt động cần định
hướng rõ mục tiêu học tập của bản thân trong từng giai đoạn cụ thể, trong từng
phần kiến thức của chương trình tốn học. Sau đó cần kết hợp với các kết quả

đánh giá của GV, bạn học và đặc biệt là sự tự đánh giá khả năng của bản thân
thông qua việc học lí thuyết... để từ đó thấy được điểm yếu và có sự điều chỉnh
phù hợp. Và rõ ràng, khi HS đã được trang bị đầy đủ kĩ năng kiểm tra – đánh
giá, tự kiểm tra - đánh giá thì kết quả học tập sẽ được cải thiện đáng kể.

12


2. Kĩ năng ứng dụng kiến thức toán học vào các môn khoa học khác :
Kĩ năng trên phương diện này thể hiện rõ vai trị của Tốn học là công cụ
đối với những môn học khác, thể hiện rõ tính liên mơn giữa các mơn khoa học
trong chương trình PT. Do đó, địi hỏi GV dạy Tốn cần có một hệ thống bài
tập thích hợp để giúp HS rèn luyện kĩ năng áp dụng kiến thức toán học trong
việc lĩnh hội tri thức ở những môn khoa học khác.
3. Kĩ năng ứng dụng kiến thức toán học vào thực tiễn đời sống và kĩ năng
mơ hình hóa
Đây có thể coi là mục tiêu quan trọng nhất của việc học mơn Tốn, nó
cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
1.1.3.4. Các mức độ của kĩ năng
Chúng ta có thể chia thành hai nhóm kĩ năng giải bài tập toán cần được
rèn luyện:
- Kĩ năng giải bài tập toán cơ bản
- Kĩ năng giải bài tập tốn tổng hợp
Trong mỗi nhóm lại có ba trình độ nhận thức khác nhau
+ Biết làm: Là mức độ HS nắm được quy trình giải phương trình, bất
phương trình mũ và logarit cơ bản và áp dụng đúng theo công thức hay tương tự
như bài toán mẫu.
+ Thành thạo: Là mức độ HS giải nhanh, ngắn và chính xác Theo cách
giải của bài tốn mẫu nhưng chưa có tính linh hoạt, vẫn cịn tính rập khn,
chưa sáng tạo.

+ Mềm dẻo, linh hoạt:, sáng tạo: Là mức độ HS biết vận dụng các kiến
thức, kĩ năng, kĩ xảo để đưa ra cách giải tối ưu, độc đáo hơn so với lời giải mẫu,
thậm chí, một số HS khá giỏi cịn tự sáng tạo đề toán dựa trên đề toán cũ.
 Các giai đoạn hình thành kĩ năng giải bài tập tốn cho HS:
Giai đoạn 1: HS vận dụng lí thuyết để giải các bài tập cơ bản có tính chất
củng cố tri thức khái niệm, tri thức phương pháp mới lĩnh hội, hình thành cho
HS các thao tác cơ bản như: Viết đúng các cơng thức, kí hiệu, chuyển đổi các
13


giả thiết theo ngơn ngữ Tốn học... Việc hình thành các thao tác trong giai đoạn
này là tiền đề cho việc HS tiếp cận và sáng tạo hơn trong các giai đoạn hình
thành kĩ năng tiếp theo.
Giai đoạn 2: HS vận dụng kiến thức thao tác, kiến thức phương pháp để
giải bài tập tốn cơ bản để hình thành kĩ năng giải các bài tốn cơ bản, thơng
qua đó, HS được rèn luyện giải một số bài tập toán tương tự bài tập mẫu nhằm
giúp HS nắm được sơ đồ định hướng giải trịn bài tốn đó.
Giai đoạn 3: Hình thành kĩ năng giải bài tập tổng hợp: trong giai đoạn
này, các kĩ năng đã trở thành kĩ xảo, HS có thể tự giải quyết các bài tốn mang
tính tổng hợp.
1.2. Con đƣờng hình thành kĩ năng giải tốn cho HS trung học phổ
thơng.
Có hai con đường cơ bản để hướng dẫn HS hình thành kĩ năng giải tốn
+ con đường gián tiếp: Cung cấp cho HS một số bài tốn có cùng cách
giải, sau khi HS thực hiện giải các bài tốn thì các em sẽ tự đưa ra kĩ năng giải
tốn. Đây là PP có hiệu quả nhưng lại mất rất nhiều thời gian để HS tự rèn luyện
kĩ năng, khó đánh giá và khơng đầy đủ, phụ thuộc chủ yếu vào năng lực và ý
thức chủa HS.
+ con đường trực tiếp: GV cung cấp cho HS một hệ thống các dạng bài
toán kèm theo những dấu hiệu nhận biết và thuật toán để giải. Phương pháp này

được xem là dễ dàng thực hiện đối với mọi đối tượng HS, dễ dàng nâng cao độ
phức tạp của bài tốn, tuy nhiên nhược điểm chính là làm cho HS càng ngày
càng phụ thuộc vào thuật tốn, khơng chủ động trước những dạng tốn mới,
thậm chí là những dạng tốn quen thuộc nhưng đã được mơ hình hóa hay đã
được chuyển đổi ngơn ngữ.
Theo Descartes – Leibnitz: ”Giải tốn là một nghệ thuật được thực hành
giống như bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn vậy. Có thể học được nghệ thuật đó,
chỉ cần bắt chước theo những mẫu mực đúng đắn và thường xuyên thực hành”

14


Theo các tác giả V.A.Krutetski, N.D. Levitop, AV. Petropxki, Nguyễn
Ngọc Quang thì cho dù hình thành một KN cho HS bằng con đường nào thì
cũng gồm ba bước:
- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện của hành động.
- Quan sát và làm thử theo mẫu.
- Luyện tập cách thức hoạt động theo yêu cầu và điều kiện của nó .
Trong thực tế, đối với quá trình hình thành KN ở HS, việc phân chia cụ
thể và tường minh theo các giai đoạn trên là khó khăn. Chẳng hạn khi thực hiện
các hoạt động giải toán, HS có thể chưa nắm vững các tri thức về hoạt động đó,
mà thơng qua q trình thực hiện các chuỗi hoạt động, các em dần tiếp thu được
các tri thức cần đó. Điều này làm sáng tỏ một điều giữa tri thức và KN là hai mặt
không thể phân biệt, tách rời của hoạt động học. Trong lí luận dạy học cũng đã
xác định: cách dạy của GV có tầm ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của HS. Bởi
vậy, nhiệm vụ của người GV lúc này không chỉ là người hướng dẫn các em
chiếm lĩnh tri thức mà còn là người định hướng và rèn luyện cho HS tính tự học
và các kĩ năng cần có của một công dân phù hợp với thời đại công nghệ 4.0.
Cũng như các KN khác, KN giải tốn cũng được hình thành qua hoạt
động bắt chước và tập luyện. Để KN giải tốn được rèn luyện và áp dụng trong

q trình nhận thức thì HS phải thấy được tác dụng của hệ thống KN thành
phần, mối liên hệ giữa chúng trong việc giải một bài tốn cùng với qui trình thực
hiện:
- Giải thích: HS cần biết vì sao thực hiện KN đó như vậy, cùng với các
thơng tin cơ bản khác.
- Làm chi tiết: HS cần tìm ra một cách chính xác các em phải làm và làm
như thế nào, khi được giới thiệu qua trình diễn hoặc qua nghiên cứu tình huống
thì HS sẽ có cái nhìn cụ thể và rõ ràng hơn, giúp HS dễ bắt chước hoặc tiếp thu
nhanh hơn.
- Sử dụng: HS cầnrèn luyện và thực hành KN đó.

15


- Tự Kiểm tra và tự điều chỉnh: Việc thực hành của HS nên được tự các
em điều chỉnh dưới sự kiểm tra và đánh giá của GV.
- Ghi nhớ: HS cần có cơng cụ hỗ trợ ghi nhớ như điện thoại, máy ghi âm,
giấy nhớ...
- Ôn lại và áp dụng: Là thao tác cần thiết để đảm bảo nội dung học tập
được ghi nhớ và ứng dụng.
- Kiểm tra - Đánh giá: hoạt động học phải được diễn ra dưới sự kiểm tra,
đánh giá trong từng điều kiện thực tế
- Thắc mắc, nghi vấn: HS luôn phải được đặt trong tâm thế phản biện, để
thắc mắc, nêu câu hỏi.
Cho dù HS đang chiếm lĩnh một KN thực hành cụ thể hoặc một KN trí
tuệ (kể cả một KN ngơn ngữ) thì đều phải trải qua những thao tác thành phần
trên, nếu muốn việc lĩnh hội tri thức thành công.
VD: Khi dạy học hình thành KN giải phương trình mũ, phương trình
logarit thì các thành phần kể trên có thể hiểu như sau:
- Giải thích: KN này được thực hiện dựa trên các kiến thức về hàm số mũ,

logarít, các kiến thức về phương trình đại số thơng thường.
- Làm chi tiết: HS cần phải tìm ra dạng của phương trình rồi mới có được
phương pháp giải thích hợp.
- Sử dụng: HS cần đọc dạng phương trình, sử dụng KN biến đổi tốn học
(mũ hóa, logarít, đặt ẩn phụ) để giải phương trình .
- Kiểm tra và tự hiệu chỉnh: HS phải tự biết kiểm tra đánh giá trong quá
trình biến đổi phương trình và trình bày lời giải .
- Ghi nhớ: Để hỗ trợ ghi nhớ phải dùng phiếu học tập, vở ghi, dụng cụ
học tập.
- Ôn lại và sử dụng lại: Quá trình hình thành KN giải phương trình mũ,
logarít trên đã giúp HS ơn lại các KN cũ, hình thành KN mới, củng cố, khắc sâu
kiến thức.
- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HS đánh giá việc học.
16


- Thắc mắc: HS có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước thực
hiện giải.
Trong quá trình hình thành các kĩ năng cho HS, không nên dạy quá nhiều
cùng một lúc. Mỗi bài tập cho dù dễ hay khó nên được tách thành một chuỗi các
thao tác, các bước riêng biệt để HS có thể từng bươc xử lí. Rồi sau đó, từ lúc bắt
đầu cho đến khi rèn luyện nhuần nhuyễn ở một thời điểm nhất định nị đó thì tốc
độ làm bài sẽ được cải thiện đáng kể. Tiếp tục, GV hướng dẫn HS xâu chuỗi lại
các bước để tạo thành một bài giải hoàn chỉnh.
Để một kĩ năng được cấu thành trong tiềm thức của HS thì các em cần
biết phải làm gì và làm như thế nào để đạt kết quả, làm sao để tốt nhất; bên
cạnh đó, các em phải biết nguyên nhân vì sao cách này chưa hiệu quả, cách kia
sẽ mất thời gian và có thể chỉ cho ía trị gần đúng? Các em cần được tạo cơ hội
thực hành trong nhiều tình huống khác nhau dưới sựu quan sát, kiểm tra và đánh
giá và hiệu chỉnh của GV. Và hiển nhiên, trong thực tế, sẽ có những thời điểm

bộ nhớ có thể quên, nên người học cần có các phương tiện để ghi nhớ để phục
vụ cho việc học và có cơ hội ơn lại nội dung, kiến thức và kĩ năng đã học, sử
dụng lại khi cần. Quan trọng hơn, việc học của các em nên được đánh giá, điều
chỉnh thường xuyên và GV cần lắng nghe các phản biện, thắc mắc và những
nghi vấn của các em để giải đáp kịp thời.
1.3. Quá trình dạy – học
Thực chất quá trình dạy - học là quá trình tư duy để lĩnh hội tri thức.
Quá trình dạy - học suy cho cùng là vì học trị: Học trị nắm được những gì?
Lĩnh hội được cái gì và ứng dụng chúng như thế nào? Quá trình dạy - học
các tri thức thuộc một môn khoa học cụ thể được hiểu là quá trình hoạt động
của GV và HS trong sự tương tác thống nhất biện chứng của 3 thành phần
trong quá trình dạy học bao gồm: giáo viên, học sinh và tư liệu hoạt động dạy
học.
 Tương tác giữa giáo viên và học sinh:
Tương tác giữa GV đối với HS là sự hướng dẫn, định hướng của GV đối
17


với hoạt động của HS, là sự tác động có mục tiêu sư phạm của GV đối với HS.
Ngược lại, từ sự tương tác của HS đối với tư liệu dạy học đem những phản hồi
cần thiết cho sự điều chỉnh trong HĐ dạy của GV.
 Tương tác giữa HS và tư liệu dạy học:
Tương tác của HS với tư liệu hoạt động dạy học là sự thích ứng của HS
đối với các tình huống học tập, các tài liệu trực quan và sự trải nghiệm, kinh
nghiệm của những người đi trước, đồng thời là hành động hình thành kĩ năng,
lĩnh hội tri thức mới cho bản thân mình.
 Tương tác giữa GV với tư liệu hoạt động dạy học:
Tương tác của GV với tư liệu hoạt động dạy và học là sự tổ chức tư liệu,
qua đó cung cấp tư liệu tạo mơi trường và tình huống cho HS hoạt động.
Tương tác giữa HS với HS và giữa HS với giáo viên là sự tranh luận, trao đổi,

giữa các cá nhân. Và từ đó, từng cá nhân HS nhờ sự hỗ trợ từ phía giáo viên và
những HS mà lĩnh hội tri thức và hình thành kĩ năng
Hoạt động dạy - học là hoạt động phức tạp, có mục đích, Tùy thuộc vào
cách thức giải quyết mối quan hệ giữa các yếu tố : Thầy – trò – tư liệu dạy học
mà có thể tổ chức theo các hình thức khác nhau,
1.4. Các vấn đề trong việc hình thành kĩ năng giải tốn cho HS khi
dạy học "phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ – lơgarit" - Giải tích 12
THPT
1.4.1. Về việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS khi dạy học "phương
trình, bất phương trình mũ – lơgarit" - Giải tích 12 THPT
1.4.1.1 .Kĩ năng nhận thức
- Kĩ năng nắm rõ khái niệm
Khi dạy học về phần bất phương trình mũ – lơgarit, HS cần phải nắm
vững các tri thức sự vật như :
+ Khái niệm hàm số mũ, hàm số lôgarit và các đặc điểm của đồ thị hai
hàm số này, PT – BPT mũ, PT – BPT lôgarit.
+ Nhận dạng một số PT – BPT mũ, PT- BPT logatit cơ bản và cách giải
18


+ Biết vận dụng một số đặc trưng của hàm để giải hoặc đánh giá các PT –
BPT mũ, logarit.
Khi dạy khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarit, GV cần phải biết chọn
lọc các PP hay lựa chọn con đường hình thành khái, niệm phù hợp với mọi đối
tượng HS. Chẳng hạn đối với khái niệm hàm số mũ, hàm số logarit, GV nên
chọn con đường trực tiếp như nêu vấn đề…khi dạy cho HS cách gaiir bài tập
tốn BPT mũ, logarit thì cần định hướng cho HS một số dấu hiệu nhận biết cho
từng dạng toán cụ thể.
1.4.1.2. Kĩ năng thực hành
Nhóm kĩ năng thực hành bao gồm kĩ năng ứng dụng tri thức toán học vào

hoạt động giải tốn và kĩ năng mơ hình hóa các bài toán thực tiễn. Đối với việc
giải toán BPT mũ, logarit thì GV cần chú ý đến tri thức phương pháp làm nền
tảng cho HS. Thông thường, GV nên cung cấp tri thức PP cho HS thông qua
việc HD HS hoạt động giải ví dụ điển hình và khía qt lên cách giải cho một
lớp bài toán tương tự. Chẳng hạn, để giải bất phương trình mũ bằng PP đặt ẩn
phụ, ta có thể tiến hành như sau:
Bước 1: Cho ví dụ, yêu cầu HS nhận xét và thử định hướng thuật giải:
x
x
Giải bất phương trình sau: 4  4.2  3  0 (1)

Hướng dẫn HS tìm lời giải bằng hệ thống câu hỏi gợi mở:
1. Tìm điểm đặc biệt trong bài tốn? Có thể giải trực tiếp hay khơng?
2. Giữa nhân tử 4 x và 2 x có mối liên hệ nào hay không?
3. Sau khi biến đổi 4x  (2x )2 thì (1) có thể được đưa về dạng PT quen
thuộc nào ta đã được học?
4. Lưu ý điều kiện cho ẩn khi HS đã bước đầu định hướng được lời giải
cho bài toán.
Bước 2: Yêu cầu HS đưa ra lời giải sơ bộ và GV chính xác hóa lời giải
mẫu.
Đặt t = 2x , t > 0
19