(Sáng kiến kinh nghiệm) hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THT quốc gia
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (421.49 KB, 24 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
---------------------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI BÀI TOÁN MAX, MIN SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN
DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
Người thực hiện: Nguyễn Văn Vương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn
THANH HĨA NĂM 2019
1
MỤC LỤC
Trang
I.
Mở đầu…..……………………………………………..………3
1.
Lí do chọn đề tài……..………………………………..……….3
2.
Mục đích và đối tượng nghiên cứu……………………..…..….3
3.
Phương pháp nghiên cứu…………………..…………..………4
II.
Nội dung………... …………………………………………….4
1.
Cơ sở lí luận……………………………………………............4
2.
Thực trạng………………………………………………….......4
3.
Giải pháp……………………………………………….………5
3.1Kiến thức cơ bản của chương số phức …………….……………...5
3.2Các phương pháp…………………...…………..….……………...5
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức..……..…………………...5
3.2.2 Phương pháp xét hàm……..……………………......................10
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học……………..........................14
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai…………………….…………..21
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa……………….....……………….22
3.3Bài tập tự luyện……………………………………………...........25
III. Kết luận……………………………………………..…………26
1.
Kết quả nghiên cứu……………………………….….………..26
2.
Kết luận và kiến nghị……………………………………..…...26
Tài liệu tham khảo………………………………………….…..........26
2
I.
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện,
năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo,
đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội.
Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó một
yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, bao gồm cả phương pháp
dạy học mơn Tốn.
Mục tiêu Giáo dục phổ thơng đã chỉ: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải
phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm
vui, hứng thú học tập cho học sinh.”
Trong những năm trước đây, bài toán max, min trong số phức chỉ nằm phần
lớn ở chương trình đại học . Năm 2017, khi bộ GD & ĐT quyết định áp dụng
phương thức thi trắc nghiệm cho mơn tốn thì bài toán max, min số phức đã
được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia, minh chứng
điều đó chúng ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ
GD& ĐT. Sự đổi mới quyết đoán ấy đã làm thay đổi tồn bộ cấu trúc của đề thi
mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với
học sinh khơng cịn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng
hơn cả là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ. Để thành công
trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Tốn thì ngồi việc học sâu cần
phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán.
Trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán max, min trong
số phức nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng cao, là bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10. Cái khó ở bài tốn này được đa phần
các thầy cơ giáo khi giảng dạy đều nhận xét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất
là đề bài được viết đa phần bằng các kí hiệu tốn, nếu học sinh không nắm chắc
kiến thức đọc sẽ rất khó hiểu đề; yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy bất đẳng
thức, tư duy hình học, tư duy hàm số, đây là những tư duy khó đối với học sinh
phổ thơng; yếu tố thứ ba, bài tốn đòi hỏi sự biến đổi phức tạp dễ gây sai sót,
nhầm lẫn trong tính tốn cho học sinh. Đây là bài toán mới, được áp dụng vào
thi cử chưa nhiều, trên thị trường sách các tài liệu tham khảo còn ít, còn hạn chế
cũng như chưa được đầu tư kĩ lưỡng về nội dung và hình thức. Việc có một tài
liệu hồn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng tốn khoa học luôn là một nhu cầu
cấp thiết cho cả thầy cơ và học sinh.
2. MỤC ĐÍCH VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Mục đích nghiên cứu: giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học,
thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán max, min số phức.
- Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài toán max, min số
phức mức độ vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia ”.
3
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các
đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các đề thi học sinh giỏi
của các tỉnh và khu vực, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng
của một số giảng viên toán,…).
- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn.
II.
NỘI DUNG
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò. Đối với người thầy giáo dạy Toán, việc giúp học sinh nắm
vững những kiến thức Tốn phổ thơng nói chung, đặc biệt là xâu chuỗi các nội
dung, tạo ra mối liên hệ mật thiết giữa các mặt kiến thức là việc làm rất cần
thiết. Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn Tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt
vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi
học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt.
Khi gặp một bài toán max, min trong số phức chúng ta có rất nhiều hướng
tiếp cận để tư duy ra lời giải. Tuy nhiên với những bài tốn hay và khó, lối tư
duy theo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của chương hay kiến thức của
cấp học sẽ khiến học sinh khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết. Vì tính
chất phân loại của đề thi THPT Quốc gia hiện nay, bài toán max, min trong số
phức đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh. Để giải quyết được bài toán, học
sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản của chương số phức, các phép biến
đổi logic toán học đã biết và kiến thức về bất đẳng thức, hàm số, hình học . Tạo
ra một mối liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức, các kĩ năng, kết hợp lí luận
và thực tiễn giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gây nên sự
hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong tiếp thu và
lĩnh hội tri thức, giúp các em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, rút
ngắn đến mức tối đa thời gian làm bài, suy luận chắc chắn đưa đến kết quả đúng,
khắc phục được tâm lý lo sợ khi gặp dạng toán khó. Đây là mục tiêu quan trọng
nhất trong hoạt động dạy học của mỗi giáo viên.
2. THỰC TRẠNG
Khảo sát thực tế rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơn cũng
như các trường THPT khác trên địa bàn huyện Nga Sơn (THPT Ba Đình, THPT
Mai Anh Tuấn, THPT Trần Phú) cho thấy học sinh ngày nay không mặn mà lắm
với bài tốn max, min trong số phức. Lí do được các bạn đưa ra là bài tốn này
khó, khó ngay từ khâu đọc đề và tư duy hiểu đề, quá trình biến đổi phức tạp, sử
dụng rất nhiều đơn vị kiến thức ngoài chương và hay gây nhầm lẫn, trong khi
điểm số dành cho dạng này trong đề thi chỉ có từ 0,2 đến 0,4 điểm. Một phần
khó cịn do yếu tố tâm lí của học sinh khi nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học
sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan không học, không làm. Điều này đã dẫn đến
4
một sự thật đáng buồn, phần lớn các bạn học sinh khi ôn thi hay làm thử đề thi
trắc nghiệm tốn đều bỏ qua hồn tồn hoặc chỉ khoanh “chùa” đáp án, trong khi
bài tốn này khơng phải bài tốn q khó, bài tốn mấu chốt nhất của đề. Từ
thực tiễn đó đã thúc đẩy tơi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh một số
phương pháp giải bài toán max, min số phức mức độ vận dụng cao trong đề
thi THPT Quốc gia ”.
3. GIẢI PHÁP
3.1 Kiến thức cơ bản chương số phức có liên quan
Đơn vị ảo i 2 1
Mỗi biểu thức dạng x yi ( x ; y R) được gọi là một số phức; x là
phần thực, y là phần ảo
Hai số phức bằng nhau:
Mỗi số phức x yi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ bởi điểm
x x'
x yi x ' y ' i
y y'
M ( x; y )
Môđun của số phức: x yi x y OM
Số phức z x yi có số phức liên hợp là z x yi
Phép cộng: ( x yi) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i
Phép trừ: ( x yi) ( x' y ' i) ( x x' ) ( y y ' )i
Phép nhân: ( x yi).( x' y ' i) ( xx' yy ' ) ( x' y xy ' )i
2
Phép chia:
x ' y ' i
xx ' yy '
xy ' x ' y
i
2
2
x yi
x y2
x y2
Dạng lượng giác
* Chú ý:
z. z z
z r (cos i sin )
2
z z
z z' z z'
z. z ' z. z '
z
z
z
'
z'
z z z
z
z
z'
z'
z. z ' z . z '
z z'
2
z z'
z z'
2
2
2
2z
2
2 z'
z ' z"
2
2
z" z
2
z
2
3.2 Các phương pháp
3.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
+ Giải dấu = của bất đẳng thức để chỉ ra số phức thỏa mãn
5
* Chú ý: Nếu đề bài khơng u cầu tìm số phức z thì để q trình làm tốn
được ngắn gọn ta có thể khơng cần biểu diễn số phức z thông qua x, y và
không cần giải dấu bằng. Ta chỉ cần làm hai bước:
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo giả thiết
+ Quan sát và nhận biết dấu hiệu bất đẳng thức xuất hiện ở biểu thức để đánh
giá max, min
* Các bất đẳng thức thường được sử dụng:
( x y ) 2 0 x; y
( x y ) 2 k k x; y . Dấu = xảy ra khi x y
k ( x y ) 2 k x; y . Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Côsi: x y xy x; y 0 . Dấu = xảy ra khi x y
1 1
1
9
x; y; z 0
x
y
x yz
z
x y 2 xy x; y . Dấu = xảy ra khi x y
Bất đẳng thức Bunhia: (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 . Dấu = xảy ra khi
2
2
ad bc
Bất đẳng thức số phức:
z z' z z' z z'
z z' z z' z z'
Bất đẳng thức vectơ: a b a b
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 i
nhất và nhỏ nhất
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, z 1 i 1 ( x 1) ( y 1)i 1
+,
. Tìm số phức z có mơđun lớn
z x yi ( x 1) ( y 1)i 1 i ( x 1) ( y 1)i
z
max
1
z
2
2
1
1
i 1
2
2
2
2.
Dấu = xảy ra khi
+,
1
1
1
x 1 2
x 1 2
1 1
z 1 1 i
2 2
y 1 1 y 1 1
2
2
1
1
i ( x 1) ( y 1)i
2
2
Dấu = xảy ra khi
2 1 z
min
2 1.
1
1
x 1 2 x 1 2
1 1
z 1 1 i
2
2
y 1 1
y 1 1
2
2
Nhận xét: Vì bài tốn cần đánh giá dấu = để tìm số phức z nên số phức 1 i
cần đưa về số phức có mơ đun bằng mơ đun số phức ( x 1) ( y 1)i cho ở
giả thiết.
; z
biết (1 i) z 2i 1 1
Ví dụ 2: Tìm z
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
max
+,
min
(1 i ) z 2i 1 1 z
1 2i
1
1 3
1
z i
1 i
2 2
2
2
6
1
3
1
x y i
2
2
2
+,
1
3 1 3
1
3
1 3
1
10
z x yi x y i i x y i i
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
z max
+,
1
2
10
2
1 3
1
3
z i x y i
2 2
2
2
z min
10
1
2
2
10
1
2
2
Theo chú ý, ví dụ trên ta có thể làm gọn hơn như sau:
1 2i
1
1 3
1
z i
1 i
2 2
2
2
1 3
1 3
1 3
1 3
1
10
+, z z 2 2 i 2 2 i z 2 2 i 2 2 i
2
2
1
10
z max
2
2
+,
(1 i ) z 2i 1 1 z
+,
z
1 3
1 3
i z i
2 2
2 2
z min
10
1
2
2
10
1
2
2
Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của z i 1 biết z 2 4i
Hướng dẫn:
+, z i 1 z 2 4i 3 5i z 2 4i 3 5i 5 34
z max
+,
min
5
5 34
z i 1 3 5i z 2 4i
z
34
5
34 5
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn
z z 3 4i 0
B. z 3 4i
A. z 3 4i
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi
C.
3
2i
2
D.
z z 3 4i 0 6 x 8 y 25 0 x
+,
z
2
8 y 25
2
x2 y2
y
6
y 2 x
min
là:
3
2i
2
8 y 25
6
1
10 y 20 2 225 15
36
6
3
3
z 2i .
2
2
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
A. 2
B. 1
Hướng dẫn:
Đáp án D
z2 z2 2
. Khi đó
C. 3
2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 z z 1 z min 1 .
z
min
?
D. 4
Đáp án B
Ví dụ 6: Cho số phức z khơng phải là số thực và
GTLN của
z
z
( x ; y R)
+,
Dấu = xảy ra khi
z
. Số phức z có
z
2 z2
là số thực. Tìm
z 1 i
7
A. 2
Hướng dẫn:
B.
C. 8
2
D.
2 2
z
z
z
z
2( z z ) z z ( z z ) 0
2
2
2
2
2 z
2 z
2 z
2 z
( z z )(2 z
2
) 0 z
z 1 i z 1 i
z 1 i
max
2
2
2 2 2
2 2
Ví dụ 7: Cho số phức z x yi ( x; y R) thoả mãn z 2 4i
m min z . Tính mơđun số phức w m ( x y )i
A. w 2 6
B. w 2 3
C. w 3 10
D.
Hướng dẫn:
+, z 2 4i z 2i x y 4
2
x y
2
2
+, z x y
2 2 z
2 2
z 2i
w 3
và
2
min
2
+, Dấu = xảy ra khi
. Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Tìm GTLN của A z 2 2 z 2
A. 3 5
B. 4 5
C. 3
D. 5
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia và đẳng thức z z ' z z ' 2 z 2 z ' ta có
x y 4 x 2
w 2 2 4i w 2 6
x y
y 2
2
A z2 2z2
1
2
22 z 2 z 2
2
2
5.2 z
2
2
2
2
2.2 2 4 5
Amax 4 5
Chọn B
Ví dụ 9: Cho các số phức
2
nhỏ nhất của biểu thức P z1
A. 1
B. 2
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Cơsi ta có:
+, P z z z 3. z . z
2
2
1
+,
z1 z 2 z 3
2
2
3
3
thỏa mãn
z1 ; z 2 ; z 3
2
1
2
z2
2
C. 3
2
. z3
Tính giá trị
D. 4
2
1
3
i z1 z 2 z 3 1 z1 z 2 z 3 1 P 3
2
2
1
2
nhỏ nhất của biểu thức
A. 2
Hướng dẫn:
2
1
3
i.
2
2
2
z3
Dấu = xảy ra khi z z z 1
Ví dụ 10: Cho các số phức z1 ; z 2 ; z 3 thỏa mãn
z1 z 2
z1 z 2 z 3
2
C. 1
z 3 z1
2
Tính giá trị
D. 5
z1 z 2 z1 z 2 z 2 z 3 z 2 z 3 z 3 z1 z 3 z1
9 z1 z 2 z 3 z1 z 2 z 3 9 z1 z 2 z 3
Theo bất đẳng thức
z1 z 2 z 3 1 .
1
1
1
P
z1 z 2 z1 z 3
z 2 z1 z 2 z 3
z 3 z1 z 3 z 2
B. 3
z 2 z3
3
2
9
1 1
1
9
x; y; z 0
x y
z x yz
và Cơsi ta có:
8
9
z1 z 2 z1 z 3 z 2 z1 z 2 z 3 z 3 z1 z 3 z 2
z1 z 2
P
9
9 z1 z 2 z 3
2
9
2
z 2 z3
2
z 3 z1
2
1
Chọn C
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 và P z i z 2 i . Tính
mơđun của số phức w Pmax iPmin
A. 2 6
B. 3 5
C. 4 2
D. 4
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
+, z 1 2 ( x 1) y 2
+, P z i z 2 i x ( y 1) ( x 2) ( y 1)
Đặt M ( x; y ) ; A(0;1) ; B(2;1) . Theo bất đẳng thức vectơ ta có
2
2
2
2
P MA MB MA MB
2
( x 2 x ) 2 ( y 1 1 y ) 2 2 2 Pmin 2 2
+, Theo bất đẳng thức Bunhia:
P
2
x 2 ( y 1) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 2.2 x 1 y 2 2 4 Pmax 4
2
. Chọn A
III.2.2
Phương pháp xét hàm
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi biểu thức đã cho ở giả thiết theo x và y (1)
+ Biến đổi yêu cầu bài toán theo x và y (2)
+ Rút x hoặc y ở (1) thế vào (2)
+ Xét hàm số, và kết luận
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của phần thực số phức
w 2 6
1
z3
P 8
w z3
, trong đó z là số phức có
A.
Hướng dẫn:
z 1
B. P 5
+, Gọi số phức
. Tính P M 2 m 2
C. P 29
z x yi ( x ; y R ) z
D. P 10
1
2x
z
3
+,
w z3
1
1
1
z 3 z 8 x 3 6 x
3
z
z
z
+, Từ z 1 x y 1 x 1;1
+, Xét hàm số f ( x) 8 x 3 6 x ( x 1;1 )
2
2
1
(t / m)
4
1
11
f (1) 2 ; f (1) 2 ; f ( ) M 2 ; m 2 P 8 .
4
8
f ' ( x) 24 x 2 6 x 0 x
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
số phức z biết
z
1
3i
2
Chọn A
4( z z ) 15i i ( z z 1) 2 .
Tìm mơđun của
min
9
41
64
A.
241
64
B.
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức
241
8
C.
41
8
D.
z x yi ( x ; y R )
2
+,
1
15
15
15
4( z z ) 15i i ( z z 1) x 2 y
2y
0 y
2
4
4
8
+,
z
2
1
3i
2
2
y2 8y
+, Xét hàm số
Min f ( y )
21
4
f ( y) y 2 8 y
1521
1
z 3i
64
2
min
21
15
y ; . Lập bảng biến
4
8
1
x
1521
241
2
z
8 . Chọn C
64 khi y 158
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i z 2i và
đạt GTLN. Đặt z x yi ( x ; y R ) . Tính giá trị biểu thức
A. 1
B.
Hướng dẫn:
+, z 2 2i
+, P z 2i
C. 5
P z 2i z 1 2i
T x y
D.
1
50
z 2i x 2 y 1
z 1 2i
5y2 8y 5
1
25
thiên ta được:
+, Xét hàm số:
x 2 ( y 2) 2
( x 1) 2 ( y 2) 2
5 y 2 12 y 8
5y2 8y 5
f ( y)
f ' ( y) 0 y
26
.
25
5 y 2 12 y 8
Lập bảng biến thiên được
26
max f ( y ) f
25
khi
27
x
25
y 26
25
T
1
.
25
Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức z có phần ảo dương và môđun bằng 1. Gọi M, m lần
lượt là GTLN, GTNN của z z 2 . Tính M m
3
A.
359
108
B.
359
100
C.
35
108
D.
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) .
+, z 1 y 1 x x 1;1
+,
x y 1 2 y x 1 i x y 1 4 y ( x 1)
+, Xét hàm số: f ( x) 4 x 3 x 2 4 x 2 ( x 1;1)
2
307
102
2
z1 z 2 z1 z 2
2
2z
z 3 z 2 z z 2 1 z . z 2 1 z 2 1 2 z
2
z
z.z
z z z
2
2
2
2
2
2
2
4x 3 x 2 4x 2
2
x (tm)
3
f ' ( x) 12 x 2 2 x 4 0
x 1 (tm)
2
13
13
M 4
max f ( x ) 4
1
13
2
2
; f
; f (1) 1
f ( 1) 1; f
2
4
27
3
m 2
min f ( x ) 2
27
27
Chọn A
10
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN
của biểu thức P z 1 z z 1 . Khi đó tích M .m ?
2
A.
13 3
4
13 3
8
B.
3
3
C.
Hướng dẫn:
+, Đặt t z 1 z 1 2 t 0;2
+, Vì z 1 z z 1 P z 1 z z z z
+, t z 1 z 1 z 1 2 z z z z t
+, Khi đó
2
2
2
D.
3 3
8
z 1 z z 1
2 P f (t ) t t 2 3 (t 0;2 )
2
2
khi
t 3
3 t 2
t
f (t )
2
t 3 khi 0 t
3
t
3 t 2
1
2t 1 khi
f ' (t )
; f ' (t ) 0 t
2
3
2t 1 khi 0 t
13
1
; f ( 3)
f (0) 3 ; f ( )
4
2
3 ; f ( 2) 3 M
13
;m
4
3 M .m
13 3
4
Chọn A
Ví dụ 6: Cho hai số phức
thức
P 4 z1
3
3
4 z2
z1 ; z 2
3 z1 3 z 2 5
thỏa mãn
z1 z 2
3 4
i ; z1 z 2 3
5 5
và biểu
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
Hướng dẫn:
z1 z 2
+, Ta có
+,
C. -1
D.
3 4
i 1
5 5
z1 z 2
3 z1 z 2 z1 z 2
+, z1 z 2 z1 z 2 2 z1 z 2 2 z1 z 2
2
3
2
2
2
2
2
z
1
z2
2
2
3 z1 z 2 2
+, P 4 z1 4 z 2 3 z1 z 2 5 z1
3
Đặt t z1 z 2 P t 3t 5
+, Xét hàm số f (t ) t 3 3t 5 (t
3
3
z2
3
3 z1 z 2 5
3; 2 )
t 1 (l )
f ' (t ) 3t 2 3 0
t 1 (l )
f ( 3 ) 5 ; f (2) 7 Pmin 5 .
Dấu = xảy ra khi
trị lón nhất của biểu thức P z z i z z
A. -1
B. -2
C. 1
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R)
+,
3 z1 z 2
3.
Chọn D
z 3
1.
z 1 2i
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn
2
t
2
2
2
Tổng giá trị nhỏ nhất và giá
z (1 i) z (1 i)
D. 0
z 3
1 z 3 z 1 2i x y 1
z 1 2i
+, Biến đổi
P z2 z
2
i z2 z
2
z (1 i) z (1 i) 16 x
2
y 2 8 xy
2
+, Đặt
1
x y
t xy 0 t
4
2
11
1
f (t ) 16t 2 8t (t 0;
4
1
1
f ' (t ) 32t 8 0 t ; f (0) 0 ; f ( ) 1 Pmax 0 ; Pmin 1 .
4
4
+, Xét hàm số
Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2 z 1 2 z 1 z z 4i bằng bao nhiêu?
A.
B.
42 3
2
C.
3
4
14 15
15
D.
2
7 15
15
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) . Từ z 2 x y 4 x; y 2;2
+, P 2 z 1 2 z 1 z z 4i 2 ( x 1) y (1 x) y y 2
+, Áp dụng bất dẳng thức a b c d (a c) (b d ) với a x 1 ;
b d y; c 1 x và tính chất về giá trị tuyệt đối ta có:
2
2
2
P 2
x 1 1 x 2
+, Xét hàm số
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( y y) 2 2 y
4 1 y2 2y 4
f ( y ) 4 1 y 2 2 y 4 ( y 2;2 )
ta có
f ' ( y) 0 y
1
3
(tm)
1
10 3 1
f (2) 4 5 ; f
4
4 2 3 ; f (2) 4 5 8 min f ( y ) 4 2 3
; f
3
3
3
1
Dầu = xảy ra khi x 0 ; y 3 . Chọn A
Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện
z 10 i 1 . Tìm GTNN của biểu thức z z
A. 10 1
B. 3 5 1
C. 101 1
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) .
2
+,
1
2 z1 i z 1 z1 2i
và
2
D.
3 10 1
x2
(P)
4
z 2 10 i 1 ( x 10) 2 ( y 1) 2 1 (C )
2 z1 i z 1 z1 2i y
+,
Đường trịn (C) có tâm I (10;1)
Đặt z 0 10 i (số phức có điểm biểu diễn là I)
+, Ta có
z1 z 2 1 z1 z 0 z1 z 2 z1 z 0 1
+, Xét hàm số
x4 x2
20 x 101 1
16 2
x4 x2
x3
20 x 101 f ' ( x)
x 20 0 x 4
16 2
4
tiểu tại x 4 f ( x) f (4) 45
f ( x)
Suy ra f(x) đạt cực
z z 3 5 1 . Dấu = xảy ra khi z1 4 4i và z 2 là giao điểm của IM và
đường tròn (C) (với M là điểm biểu diễn số phức z1 )
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M, m lần lượt là
GTLN, GTNN của biểu thức P z 2 z i . Mô đun của số phức
w M mi là?
A. 3 137
B. 1258
C. 2 309
D. 2 314
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) .
1
2
2
2
12
+, z 3 4i 5 ( x 3) ( y 4) 5
+, Đặt
+, P z 2 z i 4 x 2 y 3 4 5 sin t 2 5 cos t 23
+, Xét hàm số f (t ) 4 5 sin t 2 5 cos t 23 (t 0; ) . Ta tìm được
2
x 3
y 4
2
5 sin t
5 cos t
2
(t 0;
2
Max f (t ) 33
. Chọn B
3.2.3 Phương pháp biểu diễn hình học
* Phương pháp
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) .
+, Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài tốn về phương trình theo x và y. Nhận
biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các phương trình này để biểu
diễn nó trên mặt phẳng tọa độ
+, Từ hình vẽ và các tính chất hình học giải tích biện luận max, min.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 . Tìm số phức z có mơđun lớn
nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
min f (t ) 13 w
1258
O
3
M”
-4
I
M’
+, z 3 4i 2 ( x 3) ( y 4) 4
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (3;4) ; R 2
Phương trình đường thẳng OI: 4 x 3 y 0
+, z OI R 7
+, z OI R 3
+, Tọa độ các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn là nghiệm hệ
2
2
max
min
( x 3) 2 ( y 4) 2 4
4 x 3 y 0
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
Hướng dẫn:
z 2i z 3 i
. Tìm GTNN của
z 3 2i
.I
M
13
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) có điểm biểu diễn là M
+, z 2i z 3 i 3x y 3 0
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng d: 3x y 3 0
+, Đặt R z 3 2i ( x 3) ( y 2) R ( x 3) ( y 2) (C)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm M 0 (3;2) , bán kính R
Suy ra M là giao điểm của d và (C)
2
2
2
2
2
R M 0 M d (M 0 , d )
+,
z 3 2i
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
d (M 0 , d )
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
của z 2 3i là
A. 5 5
B. 2 5
C.
Hướng dẫn:
4
10
2 10
5
z 1 i z 1 3i 6 5
D.
6 5
. Giá trị lớn nhất
4 5
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) .
+, z 1 i z 1 3i 6 5 ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( y 3) 6 5
Đặt M ( x; y ) biểu diễn số phức z; A(1;1) biểu diễn số phức 1 i ; B ( 1;3)
biểu diễn số phức 1 3i . Ta có MA MB 6 5
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6 5 và A, B là hai tiêu
điểm
+, z 2 3i ( x 2) ( y 3) MC với C (2;3) biểu diễn số phức 2 3i
+, AB (2;4) AB 2 5 ; AC (1;2) AC 5
Ta có AB 2 AC AB 2 AC
+, Gọi M’ là điểm trên elip sao cho A, B, M’ thẳng hàng và M’ khác phía A
2
2
so với B. Khi đó
BM '
2
2
2
2
6 5 AB
2 5
2
Ta thấy MC M ' C với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó MC lớn nhất khi và
chỉ khi M trùng M’. Suy ra MC M ' C CA AB BM ' 5 5 . Chọn A
Ví dụ 4: Cho các số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z 5 3i 3 ; iz 4 2i 2 . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức T 3iz 2 z
A. 554 5
B. 558 2
C. 322 1
D. 554 13
Hướng dẫn:
1
1
2
2
14
+,
+,
3iz1 15i 9
3 3iz1 9 15i 9
3i
i
iz 2 4 2i 2
2 z 2 4 8i 2 2 z 2 4 8i 4
2
z1 5 3i 3
+, Gọi A, B là điểm biểu diễn của 3iz1 và 2z 2 , khi đó A, B lần lượt thuộc
các đường trịn tâm O(9;15) bán kính bằng 9 và đường trịn tâm I (4;8)
bán kính bằng 4. Ta tính được OI 554 T 3iz 2 z 3iz (2 z ) AB
Do IO 554 4 9 nên hai đường trịn ngồi nhau.
Suy ra ABmax AO OI IB 554 13 . Chọn D
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i z 5 2i 34 . Tìm tổng GTLN
và GTNN của z 1 2i
1
A.
30
34
34
B.
30
34
5
C.
2
1
2
30
D.
34 6
34
6
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức z x yi ( x ; y R ) có điểm biểu diễn là I ( x; y )
+, Từ giả thiết ta có A(2;3); B (5;2) ;C (1;2) lần lượt là điểm biểu diễn
các số phức 2 3i ; 5 2i ; 1 2i . Ta có AB 34 ; z 1 2i CI
+, Theo giả thiết thì AI BI 34 AB I thuộc đoạn thẳng AB.
Phương trình AB: 5 x 3 y 19 0
+,
CI min d (C ; AB)
30
34
+, CI max khi I trùng với điểm đầu mút của đoạn AB
Do CA 34 ; CB 6 CI max 6 . Chọn D
Ví dụ 6: Cho các số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z
z 1 z 2i . Tìm GTNN của biểu thức P z z z 3 z
2
A.
2
4 3
2
1
B.
4 2
3
C.
4 3
2
1
D.
1
i z1 1 i
2
3
;
4 2
Hướng dẫn:
15
+, Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức
z1 a bi ; z 2 c di ( a, b, c, d R )
+,
z1 i z1 1 i 2a 4b 1 0 .
Suy ra M di động trên đường thẳng
d1 : 2 x 4 y 1 0
+,
z 2 1 z 2 2i 2c 4d 3 0 .
Suy ra N di động trên đường thẳng
d 2 : 2x 4 y 3 0
+,
P z1 z 2 z1 3 z 2 3
(a c) 2 (b d ) 2 (a 3) 2 b 2 (c 3) 2 d 2
MN MA NA ; A(3;0)
+, Gọi A1 đối xứng với A qua đường thẳng d 1 ; A2 đối xứng với A qua
đường thẳng d 2 . Ta có MN MA NA MN MA1 NA2 A1 A2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm M , N , A1 , A2 thẳng hàng.
+, Gọi 1 là đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với d1 , phương trình
5
1 : 2 x y 6 0 , H 1 1 d1 H 1 ;1 A1 (2;2)
2
Gọi 2 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d 2 , phương trình
6 18
21 9
2 : 2 x y 6 0 , H 2 2 d 2 H 2 ; A2 ( ; )
5 5
10 5
Vậy Pmin A1 A2 4 2 . Chọn D
Ví dụ 7: Cho z1 ; z 2 là hai số phức thỏa mãn hệ thức z 3 4i 2 và
z1 z 2 1 .
Tìm GTNN của biểu thức
A. -10
B. -5
C. -3
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức
P z1
2
z2
2
D. 2
z x yi ( x ; y R )
z 3 4i 2 ( x 3) 2 ( y 4) 2 4 .
phức
z1 ; z 2 ,
Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số
khi đó M, N thuộc đường trịn tâm I (3;4) ; R 2 và MN 1
16
+,
P z1
2
z2
2 NM .OJ
2
2
2
OM ON (OM ON )(OM ON ) NM (OM ON )
(với J là trung điểm MN)
2 NM (OI IJ ) 2 NM .OI ( MN IJ ) 2MN .OI . cos( NM , OI ) 2 MN .OI .( 1) 10
Chọn A
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z 4 3i 5 . Tìm mơđun của số phức z
biết P z 2 2i 2 z 4 i 3 z 2i đạt GTLN.
B. 2 7
C. 6
D. 5
A. 7 2
Hướng dẫn:
2
+, Gọi số phức
2
2
z x yi ( x ; y R )
z 4 3i 5 ( x 4) 2 ( y 3) 2 25 .
Tập hợp điểm
M ( x; y )
biểu diễn số
phức z là đường tròn tâm
+, Với A(2;2) ; B(4;1) ; C (0;2) P MA 2 2 MB 2 3MC 2
+, Gọi H ( x; y ) thỏa mãn HA 2 HB 3HC 0 H (1;1)
+, P MH HA 2 MH HB 3 MH HC
I (4;3) ; R 5
2
2
2
6 MH 2 HA 2 2 HB 2 3HC 2 2 MH HA 2 HB 3HC 6 MH 2 HA 2 2 HB 2 3HC 2
Do A, B, C, H cố định nên biểu thức P lớn nhất khi MH lớn nhất. Suy ra M,
I, H thẳng hàng HM
HM
IM
IM
x 1 2( x 4)
x 7
HI 5 HM HI MI 10 HM 2 IM
y 1 2( y 3)
y 7
Ta có
Chọn A
Ví dụ 9: Tìm số phức z thỏa mãn
nhất P z 7 9i 2 z 8i
A. z 5 2i
B. z 1 6i
Hướng dẫn:
+, Gọi số phức
z 1 i 5
và biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
C. z 3 i
D. z 4 5i
z x yi ( x ; y R )
17
z 1 i 5 ( x 1) 2 ( y 1) 2 25 .
đường tròn tâm
+, Xét các điểm
Gọi K là điểm trên tia IA sao cho
+, Do
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là
I (1;1) ; R 5
A(7;9); B (0;8) IA 10 2 IM
IK
1
5
IA K ;3
4
2
IM
IK 1
, góc MIK chung IKM đồng dạng với IMA
IA IM 2
MK
IK 1
MA 2 MK
MA IM 2
+,
P z 7 9i 2 z 8i MA 2 MB 2( MK MB) 2 BK 5 5
Pmin 5 5 M BK (C ) ,
5
M nằm giữa B và K 0 x 2
+, Phương trình đường thẳng BK : 2 x y 8 0
Ta tìm được M (1;6) . Chọn B
Ví dụ 10: Cho số phức z x yi ( x ; y R ) thỏa mãn z 2 3i z i 2
Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN của P x 2 y 2 8 x 6 y . Tính M m
A.
156
20 10
5
B.
C.
60 20 10
156
20 10
5
5
.
D.
60 2 10
Hướng dẫn:
+,
z 2 3i z i 2 5
( x 2) 2 ( y 3) 2
( x 2) 2 ( y 1) 2 5
2 x y 2 0
2
2
25
( x 2) ( y 1)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là miền phẳng (T) được tơ đậm (hình vẽ).
+, Gọi A( 2;6) ; B (2;2) là các giao điểm của đường thẳng 2 x y 2 0 và
đường tròn (C ' ) : ( x 2) 2 ( y 1) 2 25
Ta có P x 2 y 2 8 x 6 y ( x 4) 2 ( y 3) 2 P 25
Gọi (C) là đường tròn tâm J (4;3) ; R P 25
+, Đường tròn (C) cắt miền (T) khi và chỉ khi:
JK R JA IJ IK R IA 2 10 5
25 P 3 5 40 20 10 P 20
M 20; m 40 20 10 .
Chọn B
3.2.4 Phương pháp tam thức bậc hai
18
* Phương pháp
+ Gọi số phức z x yi ( x ; y R )
+ Biểu diễn giả thiết thành phương trình theo x và y (1)
+ Đặt biểu thức yêu cầu bài toán bằng P, biến đổi biểu thức này theo x và y
(2)
+ Từ các phương trình (1) và (2) đưa về phương trình bậc hai ẩn x (hoặc y)
trong đó P là tham số
+, Sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai để biện luận.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN,
GTNN của z 1 i . Tính giá trị biểu thức M 2 m 2
A. M 2 m 2 20
B. M 2 m 2 26
C. M 2 m 2 28
D. M 2 m 2 2
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R )
z 2 3i 1 ( x 2) ( y 3) 1 (1)
+, Đặt P z 1 i ( x 1) ( y 1) P ( P 0) (2)
2
2
2
2
2
P 2 6 x 10
4
52 x 2 (40 12 P 2 ) x P 4 4 P 2 52 0
Lấy (1) trừ (2) ta được
thay vào (1) ta được:
y
+, Để phương trình trên có nghiệm thì
14 2 13 P
m
(40 12 P 2 ) 2 4.52( P 4 4 P 2 52) 0
14 2 13
14 2 13 ; M
14 2 13 M 2 m 2 28
Chọn C
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 5 . Gọi M, m lần lượt là
GTLN,
GTNN của biểu thức P z 2 z i . Tính mô đun của số phức w M mi
A. w 128
B. w 1558
C. w 2 314
D. w 1258
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R )
z 3 4i 5 ( x 3) ( y 4) 5 (1)
+, P z 2 z i 4a 2b 3 (2)
+, Từ (1) và (2) ta có:
2
2
2
2
2
2
20 x 2 (64 8 P ) x P 2 22 P 137 0
Phương trình có nghiệm khi ' 4 P 2 184 P 1716 0 13 P 33
w 33 13i w
1258
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn z 1
m là tham số (m R ) . Giá trị của m để ta ln có z
A.
m 3
m 7
B.
m 7
m 3
2
C. 3 m 7
Hướng dẫn:
+, z z m i z m 1 i z m 3 3i
+, Gọi z 2 x yi ( x ; y R) . Ta có ( x m 1) ( y 1)i
1
2
2
và
là?
z1 3 2i
1
2 5
z 2 z1 m i ,
D. 3 m 7
2
( x m 3) ( y 3)i
19
( x m 1) 2 ( y 1) 2 ( x m 3) 2 ( y 3) 2 y 2 x 2m 4
2
+, z
Để z 2
2
x 2 y 2 x 2 ( 2 x 2m 4) 2 5 x 2 8( 2 m) x 4m 2 16m 16
2 5 5 x 2 8( 2 m) x 4m 2 16m 4 0 x
m 7
' 0 16( 2 m) 2 5( 4m 2 16m 4) 0
m 3
Chọn B
Ví dụ 4: Cho số phức
z x yi ( x ; y R )
môđun z lớn nhất. Tính x y ?
A. 2
B. 1
Hướng dẫn:
+, Đặt
+,
t z 3 4i
4
100 z
2
3 z 3 4i 3
C. 2
1
2
và
D. 1
t 1 1
t 5 z 3 4i 5 x 2 y 2 6 x 8 y
3t 3 2
x 2 y 2 6x 8 y x 2 y 2
z
z 3 4i 1
thỏa mãn
00 z
2
2
6 x 8 y 100 x 2 y 2 z
2
100 0 z 10 z
max
4
100 z
2
10
Với
Chọn C
3.2.5 Phương pháp lượng giác hóa.
* Phương pháp 1
+ Gọi z x yi ( x ; y R)
+ Biến đổi giả thiết và yêu cầu bài tốn về phương trình theo x, y
+ Quan sát phương trình giả thiết và đặt
+ Chuyển u cầu bài tốn về biểu thức theo lượng giác và biện luận max,
min
Chú ý
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường tròn x a 2 y b 2 R 2 thì đặt
x
2
x
2
x
6
y
y
2
2
100
y
8
6x
8 y
x
y
6
8
x f (sin t )
y g (cos t )
x a R sin t
y b R cos t
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip
x2 y2
1
a2 b2
thì đặt
x a sin t
y b cos t
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1 thì đặt
+ Nếu giả thiết cho tập hợp điểm là đường elip
a2
b2
x x 0 a sin t
y y 0 b cos t
* Phương pháp 2
+ Gọi số phức dạng lượng giác z r (cos x i sin x)
+ Chuyển giả thiết và yêu cầu bái toán về cosx và sinx để biện luận max, min
theo lượng giác
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 5 . Gọi M, m lần lượt là GTLN,
GTNN của biểu thức P z i z 2 . Tính M+m.
A. -3
B. -2
C. 5
D. 10
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
2
2
20
+, z 2 3i
+, P z i
Đặt
2
5 x 2 y 3 5
2
z2
2
2
4x 2 y 3
x 2 5 sin t
(t R ) P 4 5 sin t 2 5 cos t 1
y 3 5 cos t
( P 1) 2 4 5 sin t 2 5 cos t
2
4 5
2
2 5
sin
2
2
t cos 2 t 100
10 P 1 10 11 P 9 M 9 ; m 11 M m 2 .
Chọn B
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn ( z 2)i 1 ( z 2)i 1 10 . Gọi M, m lần
lượt là GTLN, GTNN của z . Tính M m
A. 2
B. 4
C. 2 21
D. 21
Hướng dẫn:
+, Gọi z x yi ( x ; y R)
( z 2)i 1 ( z 2)i 1 10 z ( 2 i ) z ( 2 i ) 10
+,
Gọi
M,
N
là
điểm biểu diễn các
. Ta thấy MC NB
số
phức
z
và
z
;
A(2;1) ; B ( 2;1) ; C ( 2;1)
+, Từ giả thiết có MA MC 10 . Quỹ tích điểm M là elip (E):
X2 Y2
1
25 21
(Phương trình elip với hệ trục IXY, I(0; 1) là trung điểm đoạn AC)
+, Áp dụng công thức đổi trục
+,Đặt
X x
x 2 ( y 1) 2
(E) :
1
25
21
Y y 1
x 5 sin t
2
(t 0;2 ) z OM 2 x 2 y 2
y 1 21 cos t
4 cos 2 t 2 21 cos t 26
4a 2 2 21a 26 (với a cos t ; a 1;1 )
+, Xét hàm số f (a) 4a 2 2 21a 26 (a 1;1 ) M 1 21 ; m 1 21
Chọn A
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 1 . Gọi M, m lần lượt là GTLN, GTNN
của biểu thức P z 1 z z 1 . Khi đó tích M .m ?
2
A.
13 3
4
B.
13 3
8
Hướng dẫn:
+, z r (cos x i sin x) x yi
Do
+, Đặt t cos x (t 1;1) P
z .z z 1
z 1
P
2
2
r x y 1
3
3
C.
D.
3 3
8
2
2 2 cos x 2 cos x 1
2 2t 2t 1
Sử dụng phương pháp xét hàm ta được
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hai số phức
z1 ; z 2
z z
Pmax
13
; Pmin
4
thỏa mãn điều kiện
2
z z
C.
2
2017 2
3 M .m
13 3
4
z1 z 2 2017 .
Tìm
2
GTNN của biểu thức P 1 2 2 1 2 2
2017 z1 z 2 2017 z1 z 2
A.
1
2017
B.
2
2017
D.
1
2017 2
Hướng dẫn:
+, Đặt z1 2017(cos 2 x i sin 2 x) ; z 2 2017(cos 2 y i sin 2 y )
z1 z 2
cos 2 x i sin 2 x cos 2 y i sin 2 y
cos(x y )
2
2017 z1 z 2 20171 cos(2 x 2 y ) i sin(2 x 2 y ) 2017 cos(x y )
21
Tương tự
z1 z 2
sin( y x)
2
2017 z1 z 2 2017 sin( y x)
2
2
cos( x y )
sin( y x )
cos 2 ( x y )
sin 2 ( y x)
P
2
2
2017 cos ( x y ) 2017 2 sin 2 ( y x)
2017 cos( x y )
2017 sin( y x)
1
1
cos 2 ( x y ) sin 2 ( x y )
2
2017 2
2017
Chọn D
3.3 Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z 1 i 2 ; z iz . Tìm
GTNN của biểu thức P z z
A. 2 1
B. 2 2
C. 2
D. 2 2 2
Câu 2: Cho z x yi ( x ; y R) thỏa mãn điều kiện 4( z z ) 15i i( z z 1) 2 .
1
1
Tính
4y x
khi biểu thức
A. 7
2
1
2
1
3i
2
z
B. 6
đạt GTNN.
C. 5
Câu 3: Cho hai số phức
z1 ; z 2
D. 4
thỏa mãn điều kiện
5 z1 ( 2 i )( z 2 4) .
z1 i
3 5
5
;
Tìm GTLN của biểu thức P z 1 2i z 5 2i
A. 6 7
B. 4 2 13
C. 2 53
D. 4 13
z
4 5i z 1 ;
Câu 4: Cho các số phức z ; z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện
z 4i z 8 4i . Tính z z
khi biểu thức P z z z z đạt GTNN
A. 41
B. 6
C. 2 5
D. 8
(
z
2
)
i
1
( z 2)i 1 10 . Gọi M,
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
m lần lượt là GTLN, GTNN của z . Tính tổng M m
A. 9
B. 8
C. 2 21
D. 2 21 1
Câu 6: Cho z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện z 5 5 và z 1 3i z 3 6i .
Tìm GTNN của z z
2
2
1
1
2
1
1
1
A.
5
2
B.
2
2
2
2
2
5
4
C.
D.
10
Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
z 2
3 10
. Tìm GTNN của biểu thức
P 2 z 1 2 z 1 z z 4i
A.
B.
42 3
2
C.
3
14
4
D.
15
Câu 8: Cho hai số phức
thỏa mãn điều kiện
iz 1 2i 4 . Tìm GTLN của biểu thức P 2iz 3 z
A. 313 16
B. 313
C. 313 8
z1 ; z 2
2
1
2
7
15
z1 3i 5 2 và
2
D.
313 2 5
Câu 9: Cho hai số phức z1 ; z 2 thỏa mãn điều kiện
z z 2 . Tìm GTLN của biểu thức P z z
A. 4
B. 2 3
C. 3 2
D. 3
2
2
1
Câu 10: Cho hai số phức z thỏa mãn điều kiện
biểu thức
iz
2 i 1
và
2
1
z 1
z 3i
2
. Tìm GTLN của
P z i 2 z 4 7i
22
A. 8
B. 10
C.
2 5
D.
4 5
III. KẾT LUẬN
1. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Thực tế cho thấy, với cách phân loại các dạng toán như trên đã tạo được cho
học sinh sự nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn
trong q trình giải tốn. Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong
học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, gắn kết tư duy lí luận với thực tiễn.
Cách làm trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi
đã được ơn tập những dạng tốn cơ bản và phương pháp, học sinh đã tự giải
được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử của
các trường THPT. Hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tơi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm
chứng qua một số nhóm học sinh có học lực giỏi và khá trong các lớp12 ở
trường tôi như lớp 12A, 12B, 12D năm học 2018- 2019.
Với 10 bài toán trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã chọn ra
hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi
cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tơi cho làm trước khi triển khai bài
viết, thời gian làm bài là 25 phút. Kết quả thu được cụ thể thể hiện ở bảng sau:
Nhóm
Số học sinh có lời Số học sinh có lời
Số học giải đúng 0-5 câu giải đúng 6-10 câu
sinh
0-2 câu 3-5 câu 6-8 câu 9-10 câu
NHÓM I
Lớp 12A
15
0
1
6
8
Lớp 12D
20
0
2
7
11
Lớp 12K
15
0
2
4
9
NHÓM II
Lớp 12A
15
6
8
1
0
Lớp 12D
20
7
9
1
0
Lớp 12K
15
4
10
1
0
Qua bảng thống kê ta thấy cách làm trên thể hiện được sự hiệu quả vượt trội.
2. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên nắm
chắc cơ sở lý thuyết, chủ động trong việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải và
đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh, hướng dẫn học
sinh vận dụng hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng một cách có hệ thống
thì sẽ tạo được điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với
việc thực hành giải toán hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính
chủ động và sự sáng tạo trong việc học của học sinh.
23
Đề tài đã được tác giả tâm huyết nghiên cứu, đầu tư kĩ lưỡng cả về chất
lượng, nội dung và hình thức, rất mong hội đồng KH nghành xét duyệt và phổ
biến rộng rãi giúp giáo viên và học sinh có thêm tài liệu bổ ích để giảng dạy và
học tập.
Bài viết chắc khơng tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong các bạn đồng
nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn, cũng như ứng dụng vào
việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy, đem lại cho học sinh những bài
giảng hay hơn, cuốn hút hơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25/ 05/ 2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội
dung của người khác.
Người viết:
Nguyễn Văn Vương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các đề thi chính thức và thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017, 2018
của Bộ GD & ĐT
2. Tuyển tập tạp chí tốn học và tuổi trẻ năm 2017, 2018, 2019
3. Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn tốn 2018-2019, thầy Mẫn Ngọc
Quang
4. Chun đề luyện thi trắc nghiệm toán 2017, 2018, 2019 thầy Nguyễn
Tiến Minh, thầy Đặng Thành Nam, thầy Đặng Việt Hùng, Thầy Đồn
Trí Dũng.
5. Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn toán năm 2017, 2018, 2019 của các
trường: Chuyên ĐH Vinh, Chuyên Lương Thế Vinh, Chuyên KHTN,
Chuyên Quốc Học Huế, ĐH Quốc Gia Hà Nội, ĐH Sư phạm Hà Nội,
Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, các trường THPT trong tỉnh: Chuyên
Lam Sơn, THPT Ba Đình, THPT Bỉm Sơn, THPT Mai Anh Tuấn,
THPT Quảng Xương 1, THPT Hậu Lộc 1, THPT Tĩnh Gia 1, THPT
Hàm Rồng, THPT Đào Duy Từ, THPT Như Thanh, THPT Lang
Chánh,…
6. Tổng ôn chuyên đề cực trị số phức của thầy Phạm Minh Tuấn
7. Chuyên đề giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học
giải tích của Tạ Đức Huy
24
