De thi HSG toan 91011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2010-2011. ĐỀ CHÍNH THỨC. - Môn thi: - Ngày thi: - Thời gian:. TOÁN 9 16-01-2011 150 phút (không kể phát đề). Bài 1: (4 điểm) Cho A =. (. √ x −2 − √ x+2 . 1− x x −1 x +2 √ x +1 √2. 2. )( ). a. Rút gọn A. b. Tìm x để A > 0. c. Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2: (4 điểm) a. Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: P = 2a2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2. b. Cho a > 1. Chứng minh rằng: 5 (a -1) < a5 -1 < 5a4 (a -1) Bài 3: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB. O là giao điểm của AM và DN. Biết. OA =4 OM. và. OD 2 = . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình ON 3. hành. Bài 4: (3,5 điểm) Giải phương trình. x=. 1 1 1− + x − x x. √ √. Bài 5: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH kẻ từ A xuống cạnh BC, O là trung điểm của cạnh BC. Đường vuông góc với BC tại O cắt BA kéo dài tại P. a. Chứng minh các góc HAB, góc OPB, góc ACB bằng nhau. b. Cho AB = c, BC = a, AC = b. Tính AH theo a, b, c. c. Tính diện tích hình thang OHAP theo a, b, c.. --- HẾT ---.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2010-2011 Môn thi: TOÁN 9 Cu 1 (4đ). Nội dung. Điểm 0.5. a- Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1. √ x+1 ¿2 (¿¿). A=. 1− x √2. 2. 0.5. ( ). 0,5. √ x−2 √ x +2 − ¿ ( √ x+1)( √ x − 1). ¿ √ x +1 ¿2 (√ x −1) ¿ √ x −1 ¿2 ¿ = √ x +1 ¿2 ¿ ¿ ¿ ( √ x −2)( √ x+1) −( √ x +2)( √ x+1) ¿ = − √ x ( √ x −1)=√ x − x b. Vì A = √ x(1 − √ x ) nên A > 0 ⇔ √ x − x > 0 ⇔ x > 0 và 1 ⇔ 0 < x <1 (thỏa mãn).. 2 (4,0 ). 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. √x > 0. c. Ta có A = √ x − x = ¼ - ( √ x - ½)2 ¼ Từ đó Pmax = ¼ tại √ x = ½ ⇔ x = ¼ a. P = 2a2 + 2b2 – a2c + c – b2c -2 P = 2(a2 + b2) – c(a2 + b2) + c – 2 P = (a2 + b2) (2 – c) – (2 – c) P = (2 – c) ((a2 + b2 -1). 0,5 0,5 0,5 0,5. b. Ta có: a5 – 1 = (a-1) (a4 + a3 + a2 +1) Và do a > 1. Cho nên: 5(a-1) < a5 -1 < 5a4 (a-1) ⇔ 5 < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4 Mặt khác: a > 1 ⇒ a2 > a ⇒ a3 > a2 ⇒ a4 > a3 Cho nên: 5 < a4 + a3 + a2 +1 < 5a4 (đpcm). 0,5 0,5 0,5 0.5. A. 3 (4,0 ). B N O. D Kẻ OH // AD, MK // BC (H Vì. OD 2 = ON 3. nên. OD 2 = DN 5. K. H M CD, K. C DN).. Vì MK // BC và M là trung điểm CD nên K là trung điểm DN.. 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> OD 4 = DK 5. Suy ra. 0,5. Mặt khác, vì OH // AD nên:. 0,5. DH OA DH 4 = =4 = ⇒ HM OM DM 5 DO DH = Do đó . Suy ra OH // MK. DK DM. 0,5 0.5 0.5. Mà OH // AD, MK // BC nên AD // BC. Tương tự AB // CD, ta có điều phải chứng minh. 4 (3,5 ). 1 1 1− + x − x x. √ √. Giải phương trình x =. (1). Khi x là nghiệm của (1) thì x ≥ 0 (vì VP (1) ≥ 0). Suy ra điều kiện để VP (1) có nghĩa là x > 0. Từ đó: x ≥ 1. Đặt u =. √. 1−. 1 ;v= x. √. x−. 1 x. ( u, v ≥ 0). 0,5. Suy ra u2 – v2 = 1- x hay (u + v)(u - v) = 1 – x. Kết hợp với (1) ta được: u – v =. Từ đó ta có hệ phương trình:. Vì v2 = x −. 1 x. 0,25. 1−x x. ¿ u+ v=x 1−x u − v= x ¿{ ¿. nên (3) ⇔ v = ½(x –. 0,5 0,5. ¿ x 2 − x+1 u= (2) 2x x 2 + x −1 v= (3) 2x ¿{ ¿. ⇔. 1 x. +1) ⇔ v = ½ (v2 + 1) ⇔ (v – 1)2. 0,75. 0,5 0.5. =0 ⇔ v=1 1+ √ 5 Do đó: x – 1/x = 1 ⇔ x2 – x – 1 = 0 ⇔ x = 2. (vì x ≥ 1) thử lại thỏa. mãn.. 5 (4,5 ). C O H P. A. B. a. Chứng minh ∠ HAB = ∠ OPB = ∠ ACB: Dùng tính chất đồng dạng của 3 tam giác vuông: HAB, ACB và OPB, suy ra sự bằng nhau của các trên. b. Tính AH theo a, b, c: Tìm ra được AH.BC AB.AC = 2 SABC Vậy AH.a = bc, suy ra : AH = bc/a c. Tính SOHAP theo a ,b, c: Theo chứng minh trên ABC ~ HBA nên AB/AC = HB/HA. 0.75 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Suy ra: HB = HA.AB/AC = (bc/a).c / b = c2 / a Tương tự: ABC ~ OBP nên AB/AC = OB/OP Suy ra: OP = AC.OB/AC = b(a/2)/c = ab / 2c Vậy: SOHAP = .SOPB – SHAB = ½ (OB.OP – HA.HB) = ½ (a/2.ab/2c – bc/a.c2/a) = ½ (a2b/4c – bc3/a2) Phụ ch: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ vẫn hưởng điểm tối đa. - Điểm thi không làm tròn.. 0,5 0,25 0,5 0.25 0,5 0.25 0,25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>