Tài liệu Bài tập toán ôn thi đại học khối D 2008 có lời giải hướng dẫn ppt

www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
1
NHÁY D 2008.
Thời gian làm bài : 180 phút


Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
– 2 (1)
a) Khảo sát biến thiên hàm số và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b) Cho K là điểm bất kì có toạ độ (1; a), chứng tỏ qua K có một tiếp tuyến với (C),
tìm toạ độ tiếp điểm.
Câu 2 (2 điểm ) :
1. . Giải phương trình : 4sin x (1 + cos2x) + cos 3x + sin x = 3cos x
2. Giải hệ phương trình :
22
2x - y + x 4x 4 0
(x 1) 1+y x 1 = 4 8 x 4
yy
y y
⎧
++=
⎪
⎨
+− + +
⎪
⎩

Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân : I =
4
1
ln x d x
x
∫


Câu 4 (1 điểm ). Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại C, AC = a và CB = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC, biết góc của AM và BC’ là 60
0
, tính thể tích khối lăng trụ và khoảng
cách giữa AM và BC’
Câu 5 (1 điểm ). Cho hai số thực thay đổi x, y sao cho : x
2
+ y
2
= 1, tìm GTLN và GTNN của biểu
thức : T =
22
2
2
2
x xy y
xxy
−+
++

Câu 6 (3 điểm ).
1. Trong hệ trục Oxy, cho parabol (P): y

2
= 4x, A, B là hai điểm bất kỳ thuộc (P) sao cho A, B và tiêu
điểm F của (P) thẳng hàng , Chứng tỏ đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với một đường chuẩn
của (P). .

2. Trong hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4) và D(- 4 ; 3; 0). Viết phương trình
mặt cầu qua A, B, C, D và tìm toạ độ tâm của đường tròn (ABC).


GIẢI VẮN TẮT
Câu 1.
2. d qua K : y = k(x – 1) + a
d tiếp xúc (C) Ù => - x
32
2
x + 3x - 2 = k(x 1)
3x + 6x = k
a
⎧
−−
⎪
⎨
−
⎪
⎩
+
3
+ 3 x
2
– 2 = (x – 1)(- 3 x

2
+ 6x) + a
Ù 2x
3
– 6x
2
+ 6x – a – 2 = 0 Ù x
3
– 3 x
2
+ 3 x – 1 = a/2 Ù (x – 1)
3
= a/2
Ù x = 1 +
3
/2a .
Câu 2.
1. Thay 1 + cos2x = 2cos
2
x , ta được :
8sinx cos
2
x + (cos3x – cosx) – 2cos x + sin x = 0
Ù 4sin2x cos x - 2sinxsin2x – 2cos x + sin x = 0
Ù (2cos x – sinx)(2sin2x - 1) = 0 Ù tanx = 2 hay sin2x = ½ . . . .
www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
2
2.
(x+ y)(2x 4) 0

(x 1) 1+ y x +1= 4 8x + 4y
y
y
−+ =
⎧
⎪
⎨
+−
⎪
⎩

Do x ≥ - 1 và y ≥ 1 nên x + y > 0 (đẳng thức không xãy ra), từ phương trình đầu suy ra : y = 2x + 4.
Thế vào phương trình sau: (x + 1)
2x 3 (2x 4) x 1 16 x + 1++ + +=

Ù x = - 1 hay
(x 1)(2x 3) 12 2x ++=−

. . . . .
Câu 3.
Đặt u = lnx, dv = 1/
x
, du = 1/ x , v =
2x

4
1
ln x d x
x
∫

= [ln x .
2x
] -
4
1
4
1
1
2x
x
d
∫
= 4ln4 – 4

Câu 4. Gọi N là trung điểm của CC’ => góc (AM, MN) = 60
0
.
Vì tam giác AMN cân tại C do CM = CA = a nên góc AMN =
60
0
.
A
B
C
A’
B’
C’
M
N
=> AN

2
= AM
2
+ MN
2
– AM. MN
Ù a
2
+ h
2
./ 4 = 2a
2
+ (a
2
+ h
2
/4) -
22
2. / 4aa

h+
Ù a
22
2ah=+/4
Ù h = 2a. V = 2a
3
.
* Khoảng cách giữa AM và BC’ là d(B, (AMN)) = d(C, (AMN)
= d với
22 2 2

11 1 1
dCACMCNa
=+ + =
2
3
=> d = a/ 3.
Cách khác : Nhận xét hình chóp C. AMN là hình chóp đều có
cạnh bên CA = CM = CN = a, và cạnh đáy AM = AN = MN =
a
2
=> d là chiều cao hình chóp .

Ghi nhớ: Trong hình chóp SABC có ba góc vuông tại S thì
chiều cao SH của hình chóp cho bởi :

222
1111
SH SA SB SC
=++
2

S
A
B
C
I
Hơn nữa H là trực tâm tam giác ABC.

Câu 5. Thay 2 bằng 2(x
2

+ y
2
), ta được :
22
22
2
32
x xy y
T
x xy y
−+
=
++

H
• y = 0 : T = 2/3.
• y ≠ 0 : Chia tử và mẫu cho y
2
và đặt t = x/y, T
=
2
2
21
32
tt
tt
− +
+ +

Ù (3T – 2)t

2
+ (T + 1)t + 2T - 1 = 0
D = (T + 1)
2
– 4(3T – 2)(2T - 1) ≥ 0 Ù T
2
+ 2T + 1 –
4(6T
2
– 7T + 2) ≥ 0
Ù 23T
2
– 30T + 7 ≤ 0 Ù 7/23 ≤ T ≤ 1
Vậy GTNN là 7/23 và GTLN là 1.
www.saosangsong.com.vn
Năm học 2009-2010
3
Cách khác : Có thể khảo sát hàm số f(t).
Câu 6.
O
A
B
F
I
A’
;
B’
I’
1. F(1 ; 0) A(a
2

/ 4; a) và B(
2
4; b) b /
Ta có: = (a
FA
JJJG
2
/4 – 1; a) , = (b
FB
JJJG
2
/4 – 1; b)
cùng phươngÙ
22
44ab
ab
−−
=
Ù a
2
b – ab
2
+ 4(a – b) = 0 Ù (a – b)(ab + 4) = 0
Ù ab + 4 = 0
PT đường tròn đường kính AB :
.AMBM
JJJJGJJJJG
= 0
Ù (x – a
2

/4 )(x – b
2
/4) + (y – a)((y – b) = 0
Ù x
2
+ y
2
– (a
2
+ b
2
)x/4 - (a + b)y + a
2
b
2
/16 + ab = 0
Ù x
2
+ y
2
– (a
2
+ b
2
)x/4 - (a + b)y – 3 = 0
Tâm I((a
2
+ b
2
)/8 ; (a + b)/2) , bán kính :

R
2
= (a
2
+ b
2
)
2
/ 64 + (a + b)
2
/4 + 3
= (a
2
+ b
2
)
2
/ 64 + (a
2
+ b
2
)/4 + 1 = [(a
2
+ b
2
)/8 + 1]
2

=> R
2

= (x
I
+ 1)
2
Gọi d: x = - 1 , ta có : |x
I
+ 1| = (a
2
+ b
2
)/8 + 1
=> (x
I
+ 1)
2
= (a
2
+ b
2
)
2
/64 + (a
2
+ b
2
)/4 + 1 (2)
Từ (1) và (2) : (I) luôn tiếp xúc với d. Chú ý là đường chuẩn của parabol
Cách khác: Có thể giải bằng hình học. Theo định nghĩa parabol, ta có: AF = AA’, BF = BB’, A’, B’
là hình chiếu của A, B lên đường chuẩn d. Suy ra: II’ =
''

22
2
AABB AFBF AB+ +
==
= R
=> đpcm.


2. PT mặt cầu : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2ax – 2by – 2cz + d = 0
Thế toạ độ A, B, C, D: Ù a = - 2; b = - ½; c = ½ ; d = - 12.
44 0
96 0
16 8 0
25 8 6 0
ad
bd
cd
abd
−+=
⎧
⎪
−+=
⎪
⎨

−+=
⎪
⎪
+−+=
⎩
* Tâm K của đường tròn (ABC) là hình chiếu của I(- 2; - ½ ; ½) lên mặt phẳng (ABC) :
x
1 6x 4 3 12 0
234
yz
yz++=<=> + + − =