(Sáng kiến kinh nghiệm) nâng cao năng lực tự học cho học sinh lớp 11 thông qua bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghiên cứu, đổi mới phương pháp giảng dạy là những nhiệm vụ quan
trọng của mỗi giáo viên trong giai đoạn hiện nay. Các trường trung học phổ
thông đã và đang rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu
khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như:
Đổi mới sinh hoạt tổ, ứng dụng CNTT trong các các giờ dạy; phát động phong
trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài
khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khố, phát động phong trào “mỗi
thầy cơ là tấm gương sáng tự học, tự sáng tạo”
Toán học là bộ mơn quan trọng trong chương trình phổ thơng. Trong mơn
tốn có nhiều đơn vị kiến thức, giáo viên khơng những tích cực trau dồi, bồi
dưỡng kiến thức và phương pháp mới để đạt hiệu quả cao khi truyền tải kiến
thức mà còn phải biết khơi dậy và phát huy năng lực tự học và sáng tạo của học
sinh. Hơn nữa, trong giai đoạn hiện nay, với cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia
mơn tốn có những câu hỏi phân loại mức vận dụng và vận dụng cao, vì vậy mỗi
giáo viên phải tìm tịi, sáng tạo hơn nữa để giúp học sinh tìm ra phương pháp
mới để có thể tự giải quyết các câu hỏi, bài tốn khó trong các đề thi học sinh
giỏi, thi THPT Quốc Gia.
Trong chương trình tốn THPT, sách giáo khoa Hình học 11 cơ bản các
bài tốn tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học khơng gian được
đưa ra khá đơn giản, học sinh chưa được tiếp cận với cách tính cụ thể dẫn đến
phần lớn học sinh học phần hình học khơng gian lớp 11 cịn gặp rất nhiều khó
khăn và vướng mắc. Với suy nghĩ làm thế nào để học sinh tự tháo gở những
vướng mắc đó và nâng cao năng lực tự học cho bản thân. Từ kinh nghiệm giảng
dạy của mình, để giúp học sinh nâng cao năng lực tự học để có thêm kiến thức ,
sự tự tin trong việc giải quyết các bài tốn khó. Đồng thời giúp cho quý Thầy,
Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Tốn có thêm một tài liệu tham khảo trong q
trình giảng dạy bộ mơn của mình. Vì vậy, tơi chọn đề tài:
''Nâng cao năng lực tự học cho học sinh lớp 11 thơng qua bài tốn
tính khoảng cách trong hình học khơng gian''.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp các em học sinh lớp 11 rèn luyện kĩ năng giải bài toán tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học khơng gian lớp 11 từ đó
học sinh tự tìm ra việc tính khoảng giữa các đối tượng trong hình học khơng gia
là quy về bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Giúp học sinh tự tìm ra phương pháp tối ưu để giải các bài tốn tính
khoảng cách, đặc biệt là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng
câu hỏi tự luận cũng như dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm như hiện nay.
Chia sẻ kinh nghiệm dạy học với quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.
1.3. Phương pháp nghiên cứu.
1


Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham
khảo, một số tài liệu liên quan và nguồn tài liệu trên mạng…
Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT
Như Thanh, Thanh Hoá.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học cho học sinh khối
11.
1.4. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Bài khoảng cách trong hình học khơng gian lớp 11
Phương pháp, kỹ thuật quy về điểm hình chiếu vng góc của một điểm
lên một mặt phẳng để tính khoảng cách trong hình học khơng gian lớp 11.
Phương pháp tối ưu để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
trong không gian và áp dụng vào câu hỏi trắc nghiệm một cách linh hoạt hơn.
Phạm vi áp dụng: Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho các em học sinh lớp
11, 12 ôn thi THPT Quốc Gia , các em học sinh giỏi và tất cả Thầy, Cơ giáo
giảng dạy mơn Tốn ở các trường trung học phổ thông tham khảo
1.5. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.
Nghiên cứu phương giải nhanh bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng bằng kỹ thuật quy tính khoảng cách từ điểm (là hình chiếu vng
góc của một điểm lên một mặt phẳng lên một mặt phẳng.
Nâng cao năng lực tự học và tạo hứng thú cho học sinh khi giải bài tốn
tính khoảng cách trong hình học không gian.
Xây dựng hệ thống các bài tập trắc nghiệm mức độ vận dụng và vận dụng
cao về bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian.

2


2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
Hiện nay, nền giáo dục nước ta đang đổi mới và áp dụng những phương
pháp giáo dục hiện đại, nhằm phát huy năng lực tự học, năng lực tư duy sáng
tạo, và năng lực giải quyết vấn đề của người học.
Việc đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường phổ thông đang
được thực hiện. Việc đổi mới này nhắm đến người học, người học làm trung
tâm, chủ động tìm hiểu và giải quyết vấn đề. Người dạy là người hướng dẫn,
định hướng và phát huy được năng lực tụ học cho người học.
Hình học khơng gian là mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong
phú, là mơn học địi hỏi học sinh có tư duy lơgic, trí tưởng tượng khơng gian, và
tính sáng tạo cao. Đặc biệt là bài tốn tính khoảng cách là bài tốn khó u cầu
học sinh phải có vốn kiến thức tổng hợp về hình khơng gian, hình học phẳng từ
vẽ hình đến các kiến thức cơ bản để vận dụng vào bài tốn cụ thể.
Vì vậy, là giáo viên tôi phải áp dụng nhiều phương pháp giáo dục khác
nhau trong dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh. Trong đó, việc tổ chức
các hoạt động học tập để giúp các em học sinh nắm bắt được những kiến thức cơ
bản của hình học khơng gian nói chung và bài tốn tính khoảng cách nói riêng.
Bồi dưỡng cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu, độc lập tư duy và nhất là
tạo cho các em có sự hứng thú trước các vấn đề khó hay các bài tốn khó. Từ đó

giúp các em đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và vận dụng được các
kiến thức, kỹ năng được học vào hoạt động thực tiễn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Thực trạng học mơn Tốn hiện nay ở các trường THPT nói chung và
trường THPT Như Thanh nói riêng là một bộ phận khơng nhỏ các học sinh học
tốn nhưng khơng hiểu rõ bản chất, chưa chủ động tìm hiểu sâu về một vấn đề
dẫn đến các em gặp phải nhiều khó khăn trong q trình học tập mơn tốn cũng
như các môn học khác.
Ở trường các em học sinh được học sách Hình học 11 cơ bản, các bài tập
tương đối đơn giản nhưng trong thực tế bài tập có u cầu cao hơn; hình thức thi
trắc nghiệm cũng đòi hỏi học sinh phải giải quyết nhanh các bài tốn dẫn đến
học sinh đã khơng mấy hứng thú với mơn hình học khơng gian lại cịn thấy lúng
túng và bế tắc hơn.
Giáo viên còn hạn chế trong việc nâng cao hiệu quả sử dụng phương
pháp, phương tiện, công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học bộ môn, phần lớn giáo viên
mới chỉ dừng lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một
vài bài tập cụ thể mà khơng có hệ thống cho học sinh, chưa khai thác bài toán ở
nhiều dạng khác nhau.
Bên cạnh đó cịn có ngun nhân như các em chưa xác định đúng đắn
động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn
hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do
chính các thầy cơ chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, hay
phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức của học sinh...
3


Từ thực trạng trên, là giáo viên dạy Toán trực tiếp giảng dạy khối lớp 11,
tôi đã mạnh dạn đưa ra giải pháp để nâng cao năng lực tự học cho các em học
sinh và rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn tính khoảng cách giữa các đối tượng
trong hình học khơng gian lớp 11.

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Trong kỳ thi THPT QG năm 2018, đề thi mơn Tốn có bài tốn:
Câu 29. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật
AB  a, BC  2a, SA  a , SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB .
Đây là bài tương đối khó đối với hầu hết các em học sinh phổ thơng, theo
tơi lí do là làm thế nào để xác định được đoạn thẳng vng góc chung của hai
đường thẳng AC và SB. Tuy nhiên để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau khơng phải lúc nào cũng đi tìm đoạn thẳng vng góc chung của
chúng. Sau đây là cách giải bài toán này.
Giải
Kẻ đường thẳng BE sao cho BE / / AC , E  AD ,
ta có: AC / /( SBE ) , suy ra:
d ( AC , SB )  d ( AC , ( SBE ))  d ( A,( SBE ))
Kẻ AM  BE tại M , AH  AM tại H
. Khi đó: BM  ( SAM )  ( SBM )  ( SAM )
( SBM )  ( SAM )  SM . Suy ra
AH  ( SBE )  d ( A,( SBE ))  AH
Trong tam giác vng ABE, ta có:
1
1
1
1
1
5






AM 2 AB 2 AE 2 a 2 4a 2 4a 2
Tam giác SAM vuông tại A và đường cao AH nên
1
1
1
1
5
9
2a






d
(
AC
,
SB
)

AH

.
3
AH 2 AS 2 AM 2 a 2 4a 2 4a 2
Nhận xét: Để học sinh có thể tự giải được các bài tốn dạng câu hỏi
trên, địi hỏi các em đó phải có tổng hợp kiến thức về hình học khơng gian mà
điều này rất ít học sinh có được. Do vậy, các thầy, cơ giáo ngồi việc trang bị

cho học sinh các kiến thức cơ bản sách giáo khoa cịn phải hướng dẫn cho học
sinh giải các bài tốn về khoảng cách từ dễ đến khó. Từ đó, tơi thấy cần thiết
phải xây dựng một cách có hệ thống cách giải và giải nhanh bài toán khoảng
cách bằng cách đưa về tính khoảng cách từ điểm (là chân đường vng góc của
đường thẳng với nặt phẳng) đến mặt phẳng, qua đó phát huy được năng lực tự
học của học sinh và giúp học sinh giải quyết các câu hỏi vận dụng và vận dụng
cao trong đề thi trắc nghiệm THPT QG mơn tốn hiện nay.
2.3.1. Giải pháp để giải quyết vấn đề được nêu:

4


Bước 1. Tổ chức cho học sinh nắm bắt các kiến thức cơ bản về lí thuyết
và giải được các bài tập cơ bản của Bài 5: Khoảng cách (SGK Hình học 11, cơ
bản) theo phân phối chương trình dạy học.
Bước 2. Tổ chức bồi dưỡng rèn luyện kĩ năng đua bài tốn tính khoảng
cách về bài tốn tính khoảng cách từ điểm ( là hình chiếu vng góc của một
điểm lên một mặt phẳng) đến một mặt phẳng.
Thời lượng thực hiện thông qua các tiết bài tập và thời lượng các tiết dạy
học tự chọn. Qua đây cũng rèn luyện khả năng tự học, phương pháp tư duy sáng
tạo và tạo hứng thú học mơn hình học khơng gian cũng như giải các bài tốn khó
cho học sinh.
2.3.2. Tổ chức thực hiện giảng dạy nội dung:
Bài tốn tính khoảng cách trong hình học khơng gian lớp 11
Phần I. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng
a) Kiến thức cần nhớ ( SGK Hình học 11, cơ bản).

+ d(M, a) = MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a (Hình 1).

+ d(M, (P)) = MH trong đó H là hình chiếu của M trên mp ( P ) ( Hình 2).
Lưu ý: Giáo viên cần củng cố cho học sinh một số kiến thức, như:
+ Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mp ( P ) thì d vng góc với mp( P ) .
+ Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến thì vng góc với mặt phẳng kia.
b) Bài tốn 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách sử
dụng điểm hình chiếu vng góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Giáo viên tổ chức hoạt động cho học sinh rèn luyện kỹ
năng tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho một điểm M và mp( P )
không chứa M , xác định khoảng cách
từ M đến mp(P)? Vì khoảng cách
d ( M ,( P))  MH ( Hình 2) nên A ln
nằm trên một mp(Q) nào đó mà
mp (Q) vng góc với mp( P) . Vì vậy,
để xác định khoảng cách này ta cần
làm theo các bước sau:
5


Bước 1. Dựng mp (Q) đi qua M và vuông góc với mp( P )
Bước 2. Xác định giao tuyến d của mp ( P ) và mp (Q)
Bước 3. Kẻ MH vng góc với d tại H thì: MH  ( P )  d ( M ,( P))  MH
Lưu ý: Các trường hợp đặc biệt :
+ Hình chóp đều có hình chiếu vng góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy một
góc bằng nhau thì hình chiếu vng góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường
trịn ngoại tiếp đa giác đáy.

+ Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc thì hình chiếu
vng góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
c) Áp dụng.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh bằng a . SA
vng góc với đáy và SA  2a . Tính khoảng cách
a) Từ D đến mp( SAC ) .
b) Từ A đến mp( SBC )
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh dễ dàng tính được)
Ta có: BD  AC , BD  SA
 BD  ( SAC )
a 2
2
b) Giáo viên cần hình thành cho học sinh tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
qua ba bước sau:
Bước 1: Xác định được BC  ( SAB)
BC  ( SBC )  ( SBC )  ( SAB ) .
Bước 2: SB  ( SBC )  ( SAB )
Bước 3:Trong ( SAB ) kẻ  AH  SB tại H thì AH  ( SBC ) , suy ra
d ( A,( SBC ))  AH .
1
1
1
1
1
5
2a 5
2a 5



 2  2  2  AH 
 d ( A,( SBC )) 
.
2
2
2
AH
AB
AS
a
4a
4a
5
5
 d ( D,( SAC ))  DO 

Ví dụ 2. Cho hình chóp S . ABC đều có cạnh bằng a , G là trọng tâm của tam
giác ABC và N là trung điểm của AB. Tính khoảng cách
a) Từ S đến mp( ABC ) .
b) Từ G đến mp( SBC )
c) Từ N đến mp( SBC )
Hướng dẫn giải.
a) ( Học sinh áp dụng trường hợp đặc biệt)
S . ABC là hình chóp đều nên trọng tâm G của tam giác ABC và cũng là
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có: SG  ( ABC )
6


 d (G ,( ABC ))  SG mà AG  2 AM  2 . a 3  a 3

3

3

2

3

 SG  SA2  AG 2  a 6  d (G ,( ABC )) = a 6 .

3

3

b) Giáo viên tiếp tục rèn luyện cho học sinh tìm khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng qua ba bước sau:
Ta có: M là trung điểm của BC , BC  AM , BC  SM  BC  ( SAM ) hay
( SBC )  ( SAM ) , và ( SBC )  ( SAM )  SM .
Kẻ GH  SM tại H , suy ra: GH  ( SBC )  d (G,( SBC ))  GH
1
1
1
12 3
27

 2 2 2 2
2
2
GH

GM
GS
a 2 a 2a
 GH  a 6 . Vậy d (G ,( SBC )) = a 6

9

9

Nhận xét 1: Trong Ví dụ 2. nếu thay yêu cầu tính khoảng cách từ
điểm G đến mp(SBC) bằng tính khoảng cách từ trung điểm N
của AB đến mp(SBC) thì việc tìm mp(Q) qua N và vng góc với
(SBC) khá là khó đối với học sinh khi mới làm quen với bài tốn
tính khoảng cách. Vì vậy, giáo viên gợi mở cho học sinh có thể
tính khoảng cách đó bằng cách quy về tính khoảng cách từ G
đến (SBC), ( G là hình chiếu vng góc của điểm S lên (ABC)) và
sử dụng kết quả sau:

7


* Nếu M , N không thuộc mp( P) mà
MI
 k thì:
MN cắt mp(P) tại I và
NI
d ( M ,( P ))  k .d ( N ,( P))
Thậtvậy,
MH MI


 k  MH  k .MH '
NH ' NI
 d ( M ,( P))  k .d ( N ,( P)) ( Hình 3)
Ví dụ 2. c) Tính khoảng cách từ N ( trung
điểm của AB ) đến ( SBC )?
Giải:
Ta có:
NC 3
3
a 6
  d ( N ,( SBC ))  d (G,( SBC )) 
GC 2
2
6
(theo câu b) Ví dụ 2).

Ví dụ 3.( Trích đề thi tuyển sinh- Khối A – 2014, mơn Tốn) Cho hình chóp
3a
S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, SD  , hình chiếu vng
2
góc của S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ
điểm A đến mp( SBD ) .
Phân tích bài tốn: để tính khoảng
cách từ điểm A đến ( SBD ) ta cần dựng
được hình chiếu vng góc của A lên
( SBD ) , tuy nhiên nếu việc làm này
khó khăn thì ta có thể dùng cách khác
để tính d ( A,( SBD)) . Nếu theo Nhận
xét 1 ta có thể đưa về tính khoảng cách
khác. Vậy, ta có thể đưa việc tính

d ( A,( SBD )) về tính khoảng cách từ
điểm nào đến ( SBD ) ? Điểm đó có gì
đặc biệt?
Áp dụng Bài tốn 1.
+ Học sinh lập luận và đưa ra lời giải:
Bước 1: Đưa việc tính d ( A,( SBD )) về tính d ( H ,( SBD)) .
Bước 2: Tính d ( H ,( SBD)) với H là hình chiếu vng góc của S lên (ABCD).
Giải.
SH
 ( ABCD) . Ta có:
Gọi H là trung điểm của AB , nên
8


AB
 2  d ( A,( SBD))  2.d ( H ,( SBD)) .
AH
Kẻ HM  BD tại M thì BD  ( SMH ) hay ( SBD)  ( SMH ) , ( SBD )  ( SMH )  SM .
Trong ( SMH ) kẻ HK  SM tại K , suy ra: d ( H ,( SBD ))  HK . Ta có:
a 5
a 2
.
, SH  SD2  HD 2  a, HM 
2
4
Tam giác SHM vuông tại H , HK là đường cao nên:
1
1
1
1 8 9

a






HK

.
3
HK 2 HM 2 HS 2 a 2 a 2 a 2
2a
Vậy d ( A,( SBD))  2.d ( H ,( SBD)) 
.
3
Nhận xét 2: Trong các ví dụ trên việc tích khoảng cách từ một điểm A đến một
mặt phẳng ( P ) chúng ta đều phải dựng hình chiếu vng góc của A lên ( P ). Bài
tốn dễ dàng giải được nếu ta đưa khoảng cách đó về khoảng cách từ điểm M
đến ( P ), mà M là hình chiếu vng góc của một điểm N trên ( P ) lên ( Q ) nào
đó và ( Q ) phải cắt ( P ).
Khi đó việc tính khoảng cách từ A đến ( P ) như sau:
+Bước 1: Sử dụng Nhận xét 1. Đưa
việc tính d ( A,( P )) về tính d (M ,( P))
+Bước 2: Tính d ( M ,( P)) .
- Kẻ MI vng góc với giao tuyến d
của ( P ) và ( Q ) tại I .
- Kẻ MH  NI tại H thì MH  ( P) , suy
ra: d (M ,( P ))  MH
HD 

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AA '  2 AB  2a
, G là trọng tâm của tam giác ABB ' . Tính khoảng cách từ điểm G đến
mp ( AB ' C ')
Giải.

9


Gọi O là tâm của ABB ' A ' , ta có:

GO 1

A 'O 3

1
=> d (G,( AB ' C '))  d ( A ',( AB ' C '))
3
Gọi M là trung điểm của B ' C ' , ta có:
A ' M  B ' C ', B ' C '  AA ' => B ' C '  ( AA ' M )
hay ( AB 'C ')  ( AA ' M ) và ( AB ' C ')  ( AA ' M )  AM
Trong ( AA ' M ) kẻ A ' H  SM tại H , suy ra:
A ' H  ( AB ' C ')  d ( A ',( AB ' C '))  A ' H .
A'M 

1
1
1
a 3



và
2
2
A' H
A' M
A ' A2
2

4
1
19
 A ' H  2a 57  d ( A ',( AB ' C '))  2a 57 .


2
2
2
3a
4a 12a
19
19
1
2a 57
Vậy d (G,( AB ' C '))  d ( A ',( AB ' C ')) 
.
3
57


Phần II. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)

+ d(a,(P)) = d(M,(P))
với a // (P), M là điểm bất kì nằm trên a ( Hình 4).
+ d((P),(Q)) = d(M,(P)) với (P) // (Q), M là điểm bất kì nằm trên (Q) (Hình 5).
b) Bài tốn 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song.
Phương pháp giải:
Bước 1. Bằng định nghĩa chuyển khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, giữa hai mặt phẳng song song về khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng.( tức là chuyển Bài toán 2 về Bài tốn 1)
Bước 2. Giải Bài tốn 1.
c) Áp dụng.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh bẳng a. Tính khoảng cách
10


giữa AB và ( SCD) .
Giải.
Ta có: AB / /CD  AB / /( SCD ) nên
d ( AB,( SCD))  d ( A,( SCD)) .
Gọi O là tâm của ABCD thì
AC
SO  ( ABCD ) mà
 2 , suy ra:
OC
d ( A,( SCD))  2.d (O,( SCD ))
Gọi M là trung điểm của CD . Ta có:

CD  ( SOM ) hay ( SCD)  ( SOM ) và
( SCD)  ( SOM )  SM .
Trong ( SOM ) kẻ OH  SM tại H thì OH  ( SCD) nên d (O,( SCD ))  OH .
1
1
4
4
a 3
a 3
a 1
Ta có: SH 
 2
 2  2  OH 
, OM  ,
2
2
4
2
2 OH OS OM 3a a
a 3 a 3
Vậy d ( AB,( SCD))  2.d (O,( SCD)) =2.
=
.
4
2
Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bẳng a. Gọi M , N , P
lần lượt là trung điểm của AB, C ' D ' và B ' C ' . Tính khoảng cách:
a) Giữa BC ' và ( AB ' D ') .
b) Giữa ( MNP ) và ( AB ' D ') .
Giải.

a) Ta có BC '/ / AD '  BC '/ /( AB ' D ') , suy ra: d ( BC ', ( AB ' D '))  d (C ', ( AB ' D ')) .
Gọi O là tâm của A ' B ' C ' D ' , vì OA '  AC ' nên d (C ', ( AB ' D '))  d ( A ', ( AB ' D ')) .
Ta có: B ' D '  (OAA ') hay ( AB ' D ')  (OAA ') mà ( AB ' D ')  (OAA ')  AO .
Kẻ A ' H  OA tại H thì A ' H  ( AB ' D ') suy ra d ( A ', ( AB ' D '))  A ' H .
1
1
1
1 2
a 3
a 3
. Vậy d ( BC ', ( AB ' D ')) 
.


 2  2  A ' H 
2
2
2
3
3
A ' H A ' A A 'O a a
b) Ta có:
MN / / AD ', NP / / B ' D '  ( MNP ) / /( AB 'D ')
nên d (( MNP), ( AB ' D '))  d ( N , ( AB ' D ')) .
Gọi I là giao của A ' N và B ' D ' thì I là trọng
tâm của tam giác A ' C ' D ' , suy ra:
khi đó:

NI 1
 ,

A' I 2

1
a 3
d ( N , ( AB ' D '))  d ( A ', ( AB ' D ')) =
.
2
6
(theo câu a))
a 3
Vậy d (( MNP), ( AB ' D ')) =
.
6

11


Nhận xét 3: Trong các Ví dụ 5, Ví dụ 6 thì việc tính khoảng cách giữa các đối
tượng đều dùng kỹ thuật quy về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và
điểm đó phải là hình chiếu vng góc của một điểm lên một mặt phẳng. Đây
là kỹ thuật rất cần thiết và quan trọng mà học sinh cân có trong tính khoảng
cách.
Phần III. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Kiến thức cần nhớ. ( SGK Hình học 11, cơ bản)
a) Đường thẳng d cắt cả a, b và cùng vng
góc với a, b được gọi là đường vng góc
chung của a, b.
b) Nếu d là đường thẳng vng góc và cắt
a, b tại M , N thì MN được gọi là đoạn
vng góc chung của a, b.

c) Độ dài đoạn vng góc chung MN của a,
b được gọi là khoảng cách giữa a, b.
+ d (a, b)  MN trong đó MN là đoạn vng
góc chung của a và b ( Hình 6).
b) Bài tốn 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, xác định khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b. Ngoại trừ trường hợp đoạn vng góc chung
có sẵn, ta thường dựng đoạn vng góc chung của a và b như sau:
Cách 1 (Áp dụng khi hai đường thẳng
a, b vng góc):
Bước 1. Dựng mp( P) chứa b, vng
góc với a tại A ( Hình 7).
Bước 2. Kẻ AB vng góc với b tại B .
Đoạn AB là đoạn vng góc chung
của a và b.
Cách 2:
Bước 1. Dựng mp( P ) chứa b song song
với a,
Bước 2.Dựng mp( Q ) chứa a ( Q )  ( P ),
( Q ) cắt b tại B
Bước 3. Từ B dựng d  ( P) cắt a tại A .
Đoạn AB là đoạn vng góc chung của
a và b. (Hình 8)

12


Cách 3:
Bước 1. Dựng ( P)  a tại O và dựng
hình chiếu vng góc b' của b lên ( P

).
Bước 2. Dựng hình chiếu vng góc
H của O lên b'
Bước 3. Qua H dựng d // a và d cắt b
tại B, kẻ BA  a tại A . Đoạn AB là
đoạn vng góc chung của a và b.
(Hình 9)
c) Áp dụng.
Ví dụ 7. Cho hình tứ diện S . ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và
SA  SB  SC  a . Gọi I là trung điểm của BC . Xác định và tính khoảng cách:
a) Giữa SA và BC .
b) Giữa AI và SC .
Hướng dẫn giải
a)( Học sinh dễ dàng giải được)
Ta có: SA  ( SBC ) nên SA  BC , SI  SA mà tam giác SBC cân tại S . Suy ra SI là
đoạn vng góc chung của SA và BC .
Ta có: SI 

BC a 2

2
2

Nhậ xét: Ở câu a) thì SA  BC nên việc dựng đoạn vng góc chung khá dễ
dàng. Nhưng ở câu b) này thì việc dựng đoạn vng góc chung khó hơn, vậy ta
sẽ dựng theo cách nào? Nếu quan sát thật kỹ thì có ( SAB)  SC nên ta có thể
dùng cách 3 để dựng đoạn vng góc chung của AI và SC như sau:
b) Hướng dẫn giải

13

Ta có: ( SAB)  SC
Bước 1 Ta đi dựng hình chiếu vng
góc của AI lên ( SAB) :
Qua I kẻ IK / / SC và cắt SB tại trung
điểm K , suy ra IK  ( SAB) , nên AK là
hình chiếu vng góc của AI lên ( SAB) .
Bước 2 Kẻ SH  AK tại H .

Bước 3 Hồn thành dựng đoạn
vng góc chung của AI và SC :
Kẻ HN / / SC ( N  AI ) và kẻ MN / / SH
( M  SC ). Khi đó MN là đoạn vng
góc chung của AI và SC và
MN  SH . Ta có:
1
1
1
1 4
a 5
a 5
. Vậy d ( AI , SC )  MN 
.
 2  2  2  2  SH 
2
5
5
SH SA SK a a
Ví dụ 8. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA vng

góc với ( ABCD ) và SA = a. Tính khoảng cách giữa SD và AC .
Hướng dẫn giải.
Ta đi dựng đoạn vng góc chung của AC và SD theo cách 2 như sau:
Dựng đường thẳng Dt / / AC , dựng AI  Dt tại I , suy ra Dt  ( SAI ) , kẻ
AE  SI tại E , kẻ EM / / AC ( M  SD ) và kẻ MN / / AE ( N  AC ). Khi
đó MN là đoạn vng góc chung của SD và AC và MN  AE .
Ta có AIDO là hình vng nên
AI  OD 

BD a 2
, tam giác SIA

2
2

vuông tại A và AE là đường cao nên
1
1
1
1 2
a 3
.





AE

3

AE 2 SA2 AI 2 a 2 a 2
a 3
Vậy d ( AC , SD) =
.
3

Nhận xét 4:
14


+ Ở Ví dụ 7a) thì việc dựng đoạn vng góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau này rất đơn giản nên học sinh có thể áp dụng và làm rất nhanh.
+ Cịn ở Ví dụ 7b), Ví dụ 8 thì việc dựng đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau gặp khó khăn. Nếu như học sinh khơng nắm được cách dựng
cho mỗi trường hợp cụ thể, nhất là khơng nắm rõ bản chất của nó dẫn đến học
sinh khơng mấy hứng thú gì đến bài tốn này.
Khi đó học sinh cần biết cách chuyển khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau qua các khoảng cách quen thuộc hơn nhờ hai kết quả sau ta có thể
chuyển bài toán này qua Bài toán 1.
Kết quả 1: ( SGK Hình học 11, cơ
bản) Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng
cách giữa một trong hai đường thẳng
đó đến mặt phẳng song song với nó và
chứa đường thẳng cịn lại.( Hình 10)

Kết quả 2: ( SGK Hình học 11, cơ
bản) Khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
giữa hai mặt phẳng song song lần lượt

chứa hai đường thẳng đó.( Hình 11)

* Đến đây giáo viên cần cho học sinh xác định rõ các bước (hay kỹ thuật)
chuyển Bài toán 3 về Bài toán 1 như sau:
Bước 1: Dựng mp( P ) chứa đường thẳng b và ( P ) // a. ( Hình 10, Hình 11)
Bước 2: Quy d (a, b)  d (a, ( P))
Bước 3: Quy d (a,( P ))  d ( M ,( P )) , M là điểm thuộc đường thẳng a.(Bài
toán 1)

15


Ví dụ 8. Cách giải 2:
Dựng đường thẳng Dt / / AC thì ( Dt , S ) / / AC
nên:
d ( AC , SD )  d ( AC , ( S , Dt ))  d ( A,( S , Dt ))
Kẻ AI  Dt tại I , suy ra Dt  ( SAI ) hay
( SDI )  ( SAI ), ( SDI )  ( SAI )  SI . Kẻ
AE  SI tại E và AE  ( S , Dt ) suy ra:
d ( A,( S , Dt ))  AE .
Ta có AIDO là hình vng nên AI  OD 

a 2
.
2

SAI vng tại
Tam giác
A
và

AE là đường
1
1
1
1 2
a 3
a 3
. Vậy d ( AC , SD ) =
 2  2  2  2  AE 
2
3
3
AE SA AI a a

cao

nên

Ví dụ 7. câu b) Cách giải 2:
Kẻ IK / / SC ( K  SD) thì SC / /( AIK )
nên:
d ( SC , AI ) = d ( SC ,( AIK ))  d ( S ,( AIK )) .
Ta có ( AIK )  ( SAB), ( AIK )  ( SAB)  AK .
Kẻ SH  AK thì SH  ( AIK )
 d ( S ,( AIK ))  SH . Tam giác SAK
vuông tại S và SH là chiều cao nên:
1
1
1
1 4

a 5
.





SH

5
SH 2 SA2 SK 2 a 2 a 2
a 5
Vậy d ( SC , AI )  MN 
.
5
S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật
Ví dụ 9. Cho hình chóp
AD  2 AB  2a , SA  ( ABCD ) và SA  a . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD và BC . Tính khoảng cách giữa BM và SN .
Giải.
BM
/
/(
SDN
)
Ta có BM / / DN thì
nên d ( BM , SN )  d ( BM ,( SND))
MD 1
1
 d ( M ,( SND )) , mà

 suy ra: d ( M ,( SND ))  d ( A,( SND )) .
AD 2
2
Ta có ND  AN , ND  SA  ND  ( SAN ) hay
( SND )  ( SAN ), SN  ( SND )  ( SAN ) .
Kẻ AH  SN tại H thì d ( A,( SND))  AH

16


Tam giác SAN vuông tại A, AH là chiều
cao ta có:
1
1
1
1
1
a 6
.





AH

3
AH 2 AS 2 AN 2 a 2 2a 2
1 a 6 a 6
Vậy d ( BM , SN ) = .


2 3
6

Nhận xét 5:
Qua các cách giải hai Ví dụ 7, Ví dụ 8, Ví dụ 9 phần nào giúp học sinh
nắm được ưu nhược điểm của các cánh giải để có lựa chọn cách giải tốt nhất,
nhanh nhất cho bài tốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau và vng góc với nhau thì cách dùng
đoạn vng góc chung để tính khoảng cách là tốt nhất.
+ Trường hợp cịn lại, thì việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
chéo nhau ta sẽ quy việc tính khoảng cách đó về tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng.
Nhất là đối các bài thi trắc nghiệm như hiện nay thì trước một bài tốn
học sinh khơng chỉ biết các giải nó mà cịn phải biết lựa chọn và áp dụng cách
giải nhanh nhất.
Các ví dụ sau đây giúp học sinh rèn luyện kĩ năng chuyển các bài tốn
tính khoảng cách giữa các đối tượng trong hình học khơng gian về Bài tốn 1 và
rèn luyện kỹ năng quy điểm cần tính khoảng cách về một điểm là hình chiếu
vng góc của một điểm lên một mặt phẳng.
Ví dụ 10. Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc
ABC  60o , SA  AC , SB  SD góc giữa SA và mặt đáy bằng 60o. Tính
khoảng cách giữa:
a) AC và SD .
b) AB và SC .
Giải
Gọi O là tâm của ABCD , suy ra SO  ( ABCD ) .
a) Ta có AC  ( SBD) chứa SD , từ O kẻ OH  SD tại H thì: d ( AC , SD) OH .

Góc giữa SA và ( ABCD ) bằng góc giữa SA và OA bằng SAO

 60o , các
a 3
tam giác ABC , SAC , ADC là tam giác đều, có AC  AB  a , SO  OD 
,
2
suy ra tam giác SOD vuông cân tại O và
a 3 2 a 6
a 6
. Vậy d ( AC , SD ) 
.
OH 
. 
2 2
4
4

17


b) Ta có AB / / CD suy ra AB / /( SCD )
nên d ( AB, SC )  d ( AB, ( SCD))
= d ( A,( SCD ))
AC
 2 nên d ( A,( SCD))  2d (O,( SCD))
Vì
OC
Từ O kẻ OI  CD tại I thì CD  ( SOI ) ,
( SCD)  ( SOI ),( SCD)  ( SOI )  SI kẻ
OK  SI tại K , suy ra: OK  ( SCD )
d (O,( SCD))  OK .

Tam giác OCD vuông tại O ta có:
1
1
1
 2  2 . Tam giác SOI vng tại O ta có:
2
OI OC OD
1
1
1
1
1
1
4
4
4
20
a 15 .
 2 2





OK

2
2
2
2  2 

OK OI OS
OC
OS
OD
10
a
3a 2 3a 2 3a 2
a 15
Vậy d ( AB, SC ) =
.
10
Ví dụ 11.( Trích đề thi tuyển sinh khối A – 2012, mơn Tốn) Cho hình chóp
S . ABC có ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Hình chiếu của S lên mặt
phẳng ( ABC ) là điềm H sao cho AH  2CH . Góc giữa SB và mặt phẳng
( ABC ) bằng 60o. Tính khoảng cách giữa SA và BC .
Giải
Kẻ đường thẳng At / / BC nên :
BC / / mp ( S , At )
 d ( BC , SA)  d ( BC ,( S , At ))  d (C ,( S , At ))
mà

CA 3
3
  d (C , ( S , At ))  d ( H , ( S , At ))
HA 2
2

Kẻ HG  At tại G thì AG  ( SHG ) hay
( SAG )  ( SHG ) và ( SAG )  ( SHG )  SG
Kẻ HK  HG tại K thì HK  ( SAG ) suy

ra: d ( H , ( SAG ))  HK . Ta có
BH 2  HC 2  BC 2  2.HC .BC .cos600 

a 7
3

2
a 3 
AM 
, SCH  60o
3
3
1
1
1
24
a 42
a 21
 SH  3HB 

 2  2  HK 
2
2
3
12
HK HG HS 7a
3
a 42
 d (C , ( S , At ))  d ( H , ( S , At )) =
.

2
8
HG 

18


a 42
Vậy d ( BC , SA) =
8
Ví dụ 12. ( Trích đề thi THPT QG - 2015, mơn Tốn) Cho hình chóp
S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh bằng a, SA  ( ABCD ) , góc giữa
SC và mặt đáy bằng 45o. Tính khoảng cách giữa AC và SB .
Giải
Kẻ đường thẳng d qua B và d / / AC ,
ta có: AC / / mp ( S , d ) ,
d ( AC , SB)  d ( AC , ( S , d ))  d ( A,( S , d ))
Kẻ AM  d tại M , AH  AM tại H .
Khi đó: BM  ( SAM ), hay
( SBM )  ( SAM )
( SBM )  ( SAM )  SM . Suy ra
AH  ( S , d )  d ( A,( S , d ))  AH

Ta có SCA
 ( SC ,( ABCD ))  45o
 SA  AC  a 2 .
Tam giác SAM vuông tại A và đường cao AH nên
1
1
1

5
a 10
.




d
(
AC
,
SB
)

AH

5
AH 2 AS 2 AM 2 2a 2
Ví dụ 13. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' , G là trọng tâm của tam giác
ABC , khoảng cách từ G đến ( B ' AC ) bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng
( B ' AC ) và ( ABC ) bằng 30o . Tính khoảng cách giữa AC và B ' G .
Giải
Đường thẳng đi qua G cắt BA, BC lần
lượt tại M , N ta có: AC / / MN nên
AC / /( B ' MN ) . Khi đó:
d ( AC , B ' G)  d ( AC ,( B ' MN ))  d ( A,( B ' MN ))
Ta có:
AM 1
1
  d ( A,( B ' MN ))  d ( B,( B ' MN )) .

BM 2
2
Ta có BG  MN  ( BGB ')  ( B ' MN ) ,
kẻ BH  B ' G thì BH  ( B ' MN )
 d ( B,( B ' MN ))  BH
Gọi D trung điểm của AC , I là hình
chiếu vng góc của G lên ( B ' AC ) , ta
 '  (( B ' AC ),( ABC ))  30o
có: GI  a , BDB
suy ra GD  2a, BD  6a, BG  4a , BB '  BD.tan 30o  2a 3 . Tam giác
BB ' G vuông tại B và BH là chiều cao nên:
19


1
1
1
7
2a 84
.
 2

 BH 
2
2
2
7
BH BG BB ' 48a

1 2a 84 a 84

Vậy d ( A,( B ' MN ))  .
.

2
7
7
Ví dụ 14. ( Trích đề thi tuyển sinh khối B - 2014, mơn Tốn) Cho hình lăng
trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, hình chiếu vng góc
của A ' lên ( ABC ) là trung điểm của AB . Góc giữa A ' C và mặt đáy bằng
60o . Tính khoảng cách từ B đến ( ACC ' A ') .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB , ta có:
BA
 2  d ( B,( ACC ' A '))  2d ( H ,( ACC ' A ')) .
HA
Kẻ HM  AC tại M ta được
AC  ( A ' HM ) hay ( ACC ' A ')  ( A ' HM )
và ( ACC ' A ')  ( A ' HM )  A ' M .
Kẻ HK  A ' M  HK  ( ACC ' A ') và
d ( H , ( ACC ' A '))  HK . Ta có:
a 3
3a
,
CH 
, A ' H  CH .tan 60o 
2
2
1
a 3
. Tam giác A ' HM vuông tại H, HK là đường cao nên

MH  HC 
2
4
1
1
1
52
3a 52
.


 2  HK 
2
2
2
52
HK HM HA ' 9a
3a 52
Vậy d ( B, ( ACC ' A ')  2 HK 
.
26
2.4. Kết quả đạt được qua việc áp dụng SKKN.
*) Đối với học sinh sau khi tiếp thu nội dung: Bài tốn tính khoảng cách
trong hình học khơng gian lớp 11.
+ 100% học sinh đạt yêu cầu và thành thạo giải bài toán tính khoảng cách
từ một điểm điến một mặt phẳng ( bài tốn cơ bản).
+ Kỹ năng tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học khơng gian được
nâng lên rõ rệt qua việc quy về điểm hình chiếu vng góc của một điểm lên
một mặt phẳng.
+ Học sinh biết lựa chọn phương pháp tối ưu cho bài tốn tính khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+ Nâng cao năng lực tự học và kỹ năng giải nhanh bài tốn tính khoảng
cách cho dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm.

20


+ Các tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động tìm tịi và giải bài
tốn tính khoảng cách và các bài tốn trong hình học khơng gian khác cũng như
các em tự tin hơn trước các bài tốn khó. Năng lực tư duy của đa phần học sinh
được cải thiện đáng kể.
Trong năm học 2018 – 2019, sau khi áp dụng SKKN này vào lớp 11A 1,
11A2 và một số học sinh lớp 12C 2 ôn thi THPT quốc gia tại trường THPT Như
Thanh. Tôi đã yêu cầu học sinh của lớp này làm bài tập sau đây: Tìm các bài
tốn hình học khơng gian về tính khoảng cách dạng câu hỏi trắc nghiệm trong
các đề thi THPT QG trong những năm gần đây và giải chúng.
Kết quả các em làm bài ở phần phụ lục.
*) Đối với bản thân và đồng nghiệp qua áp dụng SKKN này:
+ Chất lượng giảng dạy và giáo dục của bản thân, đồng nghiệp và của
trường THPT Như Thanh được nâng lên đáng kể. Kỹ năng vận dụng các
phương pháp giảng dạy và giáo dục học sinh ngày càng hoàn thiện.
+ Nội dung, ý tưởng của SKKN được đồng nghiệp đánh giá cao.

21


3. KẾT LUẬN
Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :
- Rèn luyện kỹ năng giải và giải nhanh bài tốn tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng (bài toán cơ bản).

- Đưa ra phương pháp, kỹ thuật quy bài tốn tính khoảng cách giữa các
đối tượng trong hình học khơng gian lớp 11 về bài toán cơ bản, đồng thời chỉ ra
cho học sinh biết cách lựa chọn phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau (đây là bài tốn khó). Qua đó, các em học sinh đã nâng cao
năng lực tư duy trước các bài tốn mà lâu nay các em cịn bế tắc. Các em có nền
kiến thức, phương pháp vững chắc về hình học khơng để vận dụng vào kiến thức
hình học lớp 12 đặc biệt là phần thể tích khối đa diện và khối trịn xoay.
Qua giảng dạy tơi thấy rằng: Bài tốn tính khoảng cách giữa các đối
tượng trong hình học khơng gian lớp 11 khơng phải là một vấn đề mới, nhưng
thực tế cho thấy có nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm đúng mức vần đề này, đặc
biệt là chỉ rõ cho học sinh bản chất của việc tính khoảng cách và phương pháp,
kỹ thuật tính nhanh nhất. Vì vậy, vấn đề nào cho dù khó mà giáo viên quan tâm
và truyền thụ cho học sinh bằng lịng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn
hút các em trong việc học tập và nghiên cứu của các em.
SKKN này nếu được áp dụng rộng rãi sẽ giúp các em học sinh có thêm
những kĩ năng giải loại tốn này, rèn luyện tư duy từ đó tự tin hơn khi thi Đại
học, và góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp. Rất
mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các em học sinh, của quý Thầy, Cô
giáo cùng các bạn đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
Người thực hiện

Lê Thị Phương

22


TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1 Sách giáo khoa hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

 2 Sách bài tập hình học 11 Cơ bản - Nhà xuất bản giáo dục 2010
– TRẦN VĂN HẠO ( Tổng chủ biên).NGUYỄN MỘNG HY (chủ biên)

 3 Giải tốn và câu hỏi trắc nghiệm Hình Học 11- Nhà xuất bản giáo dục 2010
– Nhóm tác giả TRẦN THÀNH MINH, PHAN LƯU BIÊN, TRẦN QUANG
NGHĨA.

 4 Giải tốn Hình Học 11 - Nhà xuất bản giáo dục 2004
– TRẦN THÀNH MINH (Chủ biên)...

 5 Đề thi Đại học các khối A, B, D từ năm 2002 đến năm 2015, Đề thi THPT
quốc gia các năm gần đây của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

 6 Tài liệu nguồn Internet.

23


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Phương
Chức vụ và đơn vị cơng tác: giáo viên dạy mơn Tốn, trường
THPT Như Thanh, Thanh Hoá.
Cấp đánh giá Kết quả
Năm học
xếp loại
đánh
giá
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá
(Ngành GD cấp
xếp
loại
huyện/tỉnh;
xếp loại
(A, B, hoặc C)
Tỉnh...)

Phương pháp giải tối ưu bài
1.

Ngành GD
toán cực trị trong mặt phẳng Tỉnh
Thanh Hoá
toạ độ

C

2016 - 2017

----------------------------------------------------

24