(Sáng kiến kinh nghiệm) một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của tích phân

MỤC LỤC
NỘI DUNG

Trang

1. MỞ ĐẦU

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

4

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

12

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

13

3.1. Kết luận

13

3.2. Kiến nghị

13

0

1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong xã hội công nghệ thông tin như hiện nay, kiến thức và khoa học kỹ
thuật phát triển như vũ bão thì kiến thức mà học sinh học được trong nhà trường
không thể đáp ứng địi hỏi của xã hội. Do đó đổi mới phương pháp dạy - học là
cần thiết và cấp bách; phải dạy học sinh để từ vốn kiến thức học được trong nhà
trường kết hợp với phương pháp tư duy hợp lý giải quyết được các vấn đề thực
tiễn đặt ra. Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp
hiện đại trong dạy học Toán là xây dựng các phương tiện dạy học và chỉ dẫn
phương pháp sử dụng chúng trong các giờ Tốn, nhằm hình thành ở học sinh các
hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có
vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học Toán.
Cùng với sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học,
nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường phổ thông. Nó khơng chỉ
là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức điều
khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ chức khoa học hoạt
động sư phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường THPT nước ta là học sinh ngại học giải
tích; đặc biệt theo SGK Phân ban hiện nay, khái niệm nguyên hàm - tích phân
được trình bày một cách giản lược. Như khái niệm Tích phân xác định được
trình bày thơng qua ngun hàm và nhờ cơng thức Newton - Leibnitz mà khơng
trình bày thơng qua giới hạn tổng tích phân - độc lập với nguyên hàm. Với lý do
giảm tải, giảm tính chất hàm lâm - kinh viện nên kiến thức Nguyên hàm - Tích
phân được trình bày như hiện nay làm cho giáo viên khi dạy khó giải thích việc
b

dùng các công thức

 f ( x)dx,  f ( x)dx

để chỉ nguyên hàm, tích phân và việc

a

vận dụng tích phân để tính diện tích, thể tích, quãng đường đi được của vật,...
Học sinh thường gặp khơng ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm đạo hàm, nguyên
hàm và tích phân; nhiều học sinh có thể nhớ các cơng thức, học thuộc khái niệm,
nhưng khơng được giải thích đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới
việc vận dụng một cách máy móc, hoặc khơng biết hướng vận dụng. Do vậy
việc sử dụng các PTTQ vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp
với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thơng.
Để có thể hồn thành mục đích dạy học mơn Tốn trong nhà trường phổ
thơng với thời lượng hạn chế như hiện nay, thì việc sử dụng các phương tiện dạy
học trực quan trong mơn Tốn nước ta là cấp thiết. Xu thế chung của phương
pháp dạy học mơn Tốn mà nhiều nước đã khẳng định là phải sử dụng nhiều loại
hình phương tiện dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, đặc biệt là ứng dụng công nghệ
thông tin và các phần mềm dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, thúc đẩy hoạt động
nhận thức tích cực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn
Tốn.
1


Từ thực tế đó tơi chọn đề tài nghiên cứu của mình với tiêu đề: "Một số
kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của
Tích phân, thông qua việc sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực
quan".
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai
thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành: "Một số kinh nghiệm góp phần

nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của Tích phân, thơng qua việc
sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan".
Đề tài đã xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết và
chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong dạy học Giải tốn phần tích phân ở
SKG Giải tích 12.
Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em
học sinh có một cái nhìn tồn diện cũng như phương pháp giải một số các bài
tốn về ứng dụng tích phân thông qua sử dụng một số dạng phương tiện trực
quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng PTTQ trong dạy học phần
ứng dụng của tích phân và thể hiện cụ thể qua một số dạng PTTQ tương ứng với
các hoạt động chủ yếu trong dạy học toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua q
trình giảng dạy.
- Thơng qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học từ
2008 đến 2019.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy
và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thơng đặc biệt là bộ mơn tốn học rất cần thiết không thể thiếu trong đời

sống của con người. Mơn Tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Trong thực tiễn dạy học, HS thường gặp khó khăn khi chuyển từ cụ thể
lên trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụ thể trong tư duy. Khó khăn
đó nằm chủ yếu ở chỗ: khi tri giác cái cụ thể hiện thực HS không biết phát hiện
ra cái chung bản chất và chủ yếu ẩn nấp hoặc bị che lấp trong muôn vàn cái
2


riêng không bản chất và thứ yếu của cái cụ thể; ngược lại, khi vận dụng khái
niệm, định lý vào những trường hợp cụ thể thì HS lại lúng túng trong việc tìm ra
cái riêng biệt đơn nhất, độc đáo của chúng mặc dù chúng đều có cùng một cái
chung bản chất.
Mặt khác, không phải bất cứ cái cụ thể hiện thực nào cũng có thể mang
đến cho HS tri giác trực tiếp được. Vì vậy nhà trường phải nghiên cứu một dạng
phương tiện dạy học là: “Phương tiện dạy học trực quan" để giúp HS dễ dàng
chuyển tư duy của mình từ diện cụ thể cảm tính sang diện trừu tượng, khái quát
hóa và từ đó lên cái cụ thể trong ý thức .
Phương tiện dạy học trực quan tạo điều kiện thuận lợi cho việc tổ chức
quá trình học tập. Chúng có thể tiếp nối, mở rộng giác quan của con người, hình
thành những mơi trường có dụng ý sư phạm, mơ phỏng những hiện tượng, q
trình phức tạp hoặc khắc phục những hạn chế về mặt thời gian, khơng gian và
kinh phí.
Trong dạy học nói chung PTTQ là rất cần thiết, vì từ trực quan HS có được
cảm nhận đầu tiên về vấn đề cần tiếp thu. Điều đó giúp cho HS sau này khi gặp vấn
đề cần phải có sự liên tưởng tới kiến thức đã học thì HS sẽ có tư duy tốt hơn.
Trong dạy học Tốn nói riêng việc sử dụng hợp lý các PTTQ đóng một
vai trị rất quan trọng. Phương tiện trực quan không chỉ giúp cho việc minh họa
và tập trung sự chú ý của HS vào những thuộc tính và đặc điểm bên ngoài của
đối tượng và hơn thế PTTQ cịn giúp HS nhanh chóng phát hiện những thuộc

tính bên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra
nó như một cái tồn bộ thống nhất.
Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào q trình hình thành khái
niệm mà cịn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán... Phương
tiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ
cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (tái
tạo ra cái cụ thể trong tư duy
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là
rất sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba
yếu tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều
cần thiết và mang lại cái mà yếu tố khác khơng thể đem lại được. Sự tác động
lẫn nhau đó qn xuyến tồn bộ q trình nhận thức từ đầu chí cuối "Từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con
đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách
quan".
Vai trò của PTTQ trong quá trình dạy học là rất quan trọng. Do đặc điểm
của Tốn học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất
trong mơn tốn là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, cơng thức,
kí hiệu...). Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước
nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất cả các tính chất khác
của đối tượng và hiện tượng .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
3


Học sinh trường THPT Thạch Thành 2 nói riêng và một số học sinh của
các trường miền núi nói chung, đa số là học sinh ở vùng nông thôn, khu vực
đặc biệt khó khăn, cịn thiếu thốn về mọi mặt- vật chất, các thiết bị dạy học
cũng như các kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ
thống được kiến thức. Khi gặp các bài tốn về tích phân cũng như các bài tốn

vận dụng tích phân vào thực tế khiến học sinh chưa phân loại và định hình
được cách giải, lúng túng khi phân chia các trường hợp cách tính diện tích, thể
tích của vật thể và thường xuyên mắc sai lầm. Nhưng bên cạnh đó chương trình
Giải tích 12 khơng nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho
phần này là q ít.Trong khi đó mấy năm lại gần đây trong cấu trúc đề thi
THPT quốc gia thì câu hỏi vận dụng tích phân vào các bài tốn thực tế gặp rất
nhiều và câu lấy điểm 8 đôi khi là điểm 9, điểm 10 đòi hỏi mức độ tư duy cao
của học học sinh.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng
ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc gặp sai lầm
lớn khi giải các dạng bài toán phần này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Một số dạng và phương pháp giải:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh.
Khái niệm tích phân có nhiều ứng dụng trong Tốn học và thực tiễn, nhưng
trong khn khổ chương trình Giải tích 12 Nâng cao, tích phân có những ứng dụng
như: Tính quãng đường đi được của vật khi biết phương trình vận tốc, tính diện tích
hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số và các đường x  a, x  b ( a  b) , tính thể tích
của vật thể giới hạn bởi các mặt x  a, x  b (a  b) với giả thiết là biết được diện
tích thiết diện của vật thể với mặt x  c,(a  c  b) là một hàm của biến c; và bài
tốn tính thể tích của một vật thể trịn xoay sinh bởi một hình phẳng D khi quay
quanh trục Ox hoặc Oy. Trong phần này, tôi chỉ đi vào việc xác định và xây dựng
một số PTTQ sau:
2.3.1. Sử dụng các phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tích
phân tính diện tích của hình phẳng
Đây là một ứng dụng quan trọng của tích phân, có nhiều ý nghĩa trong
thực tiễn. Sử dụng PTTQ không chỉ giúp HS học tốt nội dung này mà còn làm
cho HS nhận thức sâu hơn bản chất của phép tính tích phân để có thể vận dụng
kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống. Phương tiện trực quan ở đây chủ yếu

là các hình vẽ minh họa được thiết lập nhờ phần mềm và máy tính.
Sử dụng cơng cụ của Maple để tạo ra các hình ảnh trực quan và các thơng
số tính tốn cần thiết để hình thành cơng thức tính diện tích của hình được giới
hạn bởi đồ thị của hàm số y  f ( x) khơng âm trên [a; b], trục hồnh và các
b

đường x  a, x  b là S   f ( x)dx .
a

Sau đó xét một số hình ảnh tương tự với hàm f(x) liên tục trên [a; b], từ
trực quan để HS nhận thức thấy rằng nếu thay hàm f(x) bởi hàm f ( x) thì diện
4


tích khơng thay đổi. Từ đó nhận được diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f ( x ) , trục hoành và các đường x  a, x  b được tính bởi cơng thức
b

S   f ( x ) dx . Sau đó có thể dùng trực quan để HS nhận thấy cách tính tích
a

phân của hàm dưới dấu tích phân nằm trong giá trị tuyệt đối.
Từ công thức, sử dụng trực quan là đồ thị của hai hàm số y  f ( x ) và
y  g ( x ) trên cùng một hệ trục tọa độ và hình ảnh diện tích tương ứng của hai
hình lần lượt giới hạn bởi đồ thị các hàm y  f ( x ) và y  g ( x ) với trục Ox,
x  a, x  b . Giáo viên nên cho HS nhận được hình ảnh với tuần tự các trường
hợp như sau:
Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm về hai phía của trục hồnh. (Hình 2.1.a)
Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm về cùng một phía của trục hồnh. (Hình 2.1.b)

Hình 2.1.a

Hình 2.1.b

Trên [a;b] chỉ có một đồ thị cắt trục hồnh.(Hình 2.1.c)
Trên [a;b] cả hai đồ thị đều cắt trục hồnh. (Hình 2.1.d)

Hình 2.1.d

Hình 2.1.c

5

Hình 2.2


Sau khi quan sát các hình tượng trưng cùng với sự phân tích của GV; như
thế HS có thể nhận thấy được là diện tích của hình giới bởi đồ thị của hai hàm số
y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b và trục hồnh được tính bởi cơng thức
b

S   f ( x )  g ( x) dx
a

Sau khi nêu công thức, GV cho HS nhắc lại phương pháp tính tích phân
mà hàm dưới dấu tích phân nằm trong giá trị tuyệt đối. Và xét bài tốn mà diện
tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số bằng ở hình 2.2.
Cho HS nhận dạng và thể hiện lần lượt các bài toán sau:
Bài toán 2.1. (Bài tập 27,tr 167 Giải tích 12 Nâng cao)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  cos 2 x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x  
Diện tích cần tính là: Từ hình minh họa
cho HS xây dựng quy trình giải bài tốn tính diện
tích của hình thang
1
1
1  cos 2 x
2
S   cos x.dx  
dx
2
0
0
 x sin 2 x  1 2  sin 2
Hình 2.3
 
( dvdt )
0
4 
4
2
Bài tốn 2.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi parbol y 2  8 x và đường thẳng x  2 .
Với bài tốn này HS sẽ gặp khó khăn khi
vận dụng công thức ở trên. Là do HS không phát
hiện ra hai hàm số f(x) và g(x) như trong công
thức. Dựa vào trực quan, giúp HS phát hiện ra
hình này được giới hạn bởi đồ thị của các hàm
số y  2 2 x , y  2 2 x và đường thẳng x  2 ;
và tính chất đối xứng của hình.

Suy ra diện tích được tính bởi công thức:
2
2
2 32 (đvdt)
16 2
S  2  2 2 xdx  4 2  xdx 
. x 
Hình 2.4
0 3
3
0
0
Tuy nhiên, với HS khá có thể nhận ra rằng diện hình trên có thể được tính
khi xem x là hàm của biến y và tính tương tự như biến x.
6


4

y2
y2 
S
 2 dy    2   dy
8 
4 8
4 

y3  4
32
  2x  


(đvdt)
24  4 3

Bài tốn 2.3. Tính diện tích của hình phẳng
giới bởi đồ thị các hàm số sau:
1
8
x2
y  x 2 , y  , y  , y  . (Hình 2.5)
Hình 2.5
x
x
8
Hình này được giới hạn bởi bốn đường cong nên việc áp dụng công thức
sẽ phức tạp hơn, khi sử dụng cơng cụ trực quan thì áp dụng cơng thức sẽ chính
xác và đơn giản hơn.
2.3.2. Sử dụng các phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tích
phân tính thể tích của vật thể
Với tính năng minh họa trực quan của Maple 12 nhờ gói cơng cụ Volume
of Revolution Tutor, GV có thể thực hiện việc chia một vật thể thành nhiều khối
nhỏ hơn. Khi quan sát trực tiếp, GV có thể thay đổi linh hoạt số hình phân chia;
quan sát hình nguyên bản, hình thay thế và đồng thời. Ngồi ra HS cịn thấy
được kết quả thể tích của vật thể và tổng thể tích của các hình được phân chia.
Qua đó HS có thể liên tưởng lại bài tốn tính diện tích hình thang cong, với sự
tương ứng chiều cao hình phẳng với diện tích mặt đáy vật thể. Từ đó, nhận thức
4

b

của HS tiếp nhận cơng thức tính thể tích V   S ( x)dx một cách tự nhiên hơn.
a

Cơng thức tính thể tích của vật thể trịn xoay được hình thành từ việc kết hợp
trực quan với suy luận. Cho HS quan sát hình 2.6 và trả lời các câu hỏi như sau:
Câu hỏi 1: Để áp dụng công thức trên vào tính thể tích vật thể cần xác
định được những yếu tố nào?

V = 193, 256 (đvtt)

V = 193,496 (đvtt)
Hình 2.6

Câu hỏi 2. Khi cắt vật thể tròn xoay bởi một mặt phẳng vng góc với
trục thì thiết diện là hình gì?
7


Câu hỏi 3: Khi đó diện tích thiết diện S(x) được tính bởi cơng thức nào?
Câu hỏi 4: Vậy thể tích có cơng thức tính như thế nào?
Hoạt động nhận dạng và thể hiện là ví dụ tính thể tích của khối chỏm cầu.
Hoạt động tư duy tiếp theo có thể không cần trực quan, nếu ta thay đổi vai trị
của x và y thì kết quả là cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g ( y ) , trục tung và các đường y  a, y  b
quay quanh trục tung.
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản trên, GV
nên cho HS phát triển thêm với các bài toán tổng
quát sau:
Bài toán 2.4. Cho hình phẳng D giới hạn
bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , y  c ( f ( x) và c

cùng dấu) và các đường thẳng x  a, x  b (a, b
và c là các hằng số). Tìm thể tích của vật thể
trịn xoay sinh bởi hình D quay quanh trục Ox,
Oy. (Hình 2.7)
Hình 2.7
Bài tốn 2.5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) ,
y  g ( x ) ( f ( x ), g ( x) cùng dấu trên [a; b] ) và các đường thẳng x  a, x  b (a, b là
các hằng số). Tìm thể tích của vật thể trịn xoay sinh bởi hình D quay quanh trục
Ox, Oy. (Hình 2.8, 2.9)

Hình 2.8

Hình 2.9

2.3.2.1 Một số ứng dụng thực tế của tích phân
Ngồi hai ứng dụng đã nêu ở mục trên thì tích phân cịn có rất nhiều ứng
dụng. Các ứng dụng khác của tích phân có thể phân ra thành hai nhóm, ứng
dụng trực tiếp vào các nội dụng khác của toán - ứng dụng trong tốn; các ứng
dụng trong các mơn học khác, trong thực tiễn - ứng dụng ngồi tốn.
Trong mỗi ứng dụng ta sẽ xét tới một số ví dụ cụ thể. Nội dung này có ý
nghĩa, làm cho khái niệm tích phân trở nên gần gũi hơn.
Nội dung chính của mục này là xét các ứng dụng của tích phân trong mơn
Đại số ở chương trình Tốn phổ thơng.
8


a. Tính giá trị của biểu thức
Với chương trình Tốn hiện nay, phần Đại số Tổ hợp được học ở lớp 11
nên một số bài tập về mối liên hệ giữa các số Pn , Ank và Cnk được giảm bớt để
phù hợp với kiến thức của chương trình. Nhưng sau khi học tích phân, GV nên

nêu lên một số ví dụ để các em làm quen.
Ví dụ 2.3.1 Tính giá trị của biểu thức sau theo n:
1
1
1
1
1
S  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ....
Cnk  ... 
Cnn
2
3
4
k 1
n 1
Phân tích: Biểu thức của S có chứa các số Cnk với chỉ số k tăng dần,
tương tự trong khai triển theo công thức nhị thức Newton; nhưng từ số hạng
k 1
1
k
k k
k x
Cn giúp ta liên hệ tới  Cn x dx  Cn .
 C . Từ đây giúp ta xác định cần
k 1
k 1
lấy tích phân với cận từ 0 đến 1.
1
(1  x) n1 1 2 n1  1
n

(1)
 (1  x) dx  n  1 0  n  1 .
0
1

 (1  x)
0

n

1

dx    Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnk x k  ...  Cnn x n  dx
0

1
1
1
1

1
 Cn0 x  Cn1 x 2  Cn2 x 3  ... 
Cnk x k 1  ... 
Cnn x n 1 
2
3
k 1
n 1

0

1
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnk  ... 
Cnn .
(2)
2
3
k 1
n 1
Từ (1) và (2) suy ra:
1 1 1 2
1
1
2 n1  1
0
k
n
Cn  Cn  Cn  ... 
Cn  ... 
Cn 
2
3
k 1
n 1
n 1
Ví dụ 2.3.2. Tính giá trị của biểu thức sau theo n:
2 2  1 1 23  1 2

2n1  1 n
P  Cn0 
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1
b. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Để giải được các bài tập phần này, ta bổ sung một số định lý sau:
Định lý 2.1 Giả sử hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trong [a; b] và
giả sử F(x) là một nguyên hàm của nó. Khi đó nếu tồn tại các số thực
x1 , x2  [a; b] với x1  x2 , sao cho F ( x1 )  F ( x2 ) thì phương trình f ( x)  0 có
nghiệm trong đoạn [ x1; x2 ] .
Chứng minh. Giả sử phương trình f ( x )  0 khơng có nghiệm thực thuộc
[ x1; x2 ] . Vì f ( x ) liên tục, nên suy ra f ( x)  0, x  [ x1; x2 ] hoặc
f ( x)  0, x  [ x1; x2 ] .
Nếu f ( x)  0, x  [ x1; x2 ] thì F ( x) đồng biến trên đoạn [ x1; x2 ] . Suy ra
F ( x1 )  F ( x2 ) , mâu thuẫn với giả thiết.
9


Nếu f ( x)  0, x  [ x1; x2 ] thì F ( x ) nghịch biến trên đoạn [ x1; x2 ] . Suy ra
F ( x1 )  F ( x2 ) , mâu thuẫn với giả thiết.
Cả hai trường hợp đều cho F ( x1 )  F ( x2 ) . Vậy phương trình có nghiệm
trong [ x1; x2 ] .
Định lý trên cịn có thể phát biểu như sau:
Nếu hàm số y  f ( x ) xác định và liên tục trong [a; b] và nếu tồn tại các
x2

số thực x1 , x2  [a; b] sao cho  f ( x)dx  0 thì phương trình f ( x )  0 có nghiệm
x1

trong đoạn [ x1; x2 ] .
Định lý 2.2 Cho hai số thực a, b trái dấu ( a  0  b ) và f(x) là một hàm số
liên tục, khơng âm (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b]. Khi đó,
trong [a; b] phương trình
x

F ( x) :  f (t )dt  0 . Có nghiệm duy nhất x  0 .
0

Chứng minh:
x

Ta thấy F ( x)   f (t )dt là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b].
0

0

Nếu x  0 thì F (0)   f (t )dt  0 . Suy ra x  0 là một nghiệm của phương
0

trình F ( x )  0 .
Nếu x  0 và x  [a; b] , thì từ giả thiết f ( x)  0 , suy ra F ( x ) đồng biến trên
[a; b] và F ( x)  F (0)  0 , tức phương trình F ( x)  0 khơng thể có nghiệm x  0
trên [a; b].
Vậy phương trình F ( x )  0 có nghiệm duy nhất x  0 trên [a; b].
Bằng cách chứng minh tương tự, ta có:
Định lý 2.3 Cho hai số thực a, b trái dấu và f(x) là một hàm số liên tục,

khơng dương (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b]. Khi đó, trong
[a; b] phương trình
x

F ( x) :  f (t )dt  0 . Có nghiệm duy nhất x  0 .
0

Định lý 2.4 Cho hai số thực a, b trái dấu ( a  c  b, a  b ) và f(x) là một
hàm số liên tục, không dương (không âm, có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm
trên [a; b ] ) trên [a; b] . Khi đó, trong [a; b] phương trình
x

F ( x) :  f (t )dt  0 . Có nghiệm duy nhất x  c thuộc [a; b] .
c

(a  0)
Ví dụ 2.5. Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c,
a
b
c

  0, m  0 .
Thỏa mãn điều kiện
m  2 m 1 m
Chứng minh phương trình f ( x)  0 có nghiệm trong (0;1) .
10


Nhận xét: Học sinh khi nói tới tam thức bậc hai sẽ liên tưởng tới định lý
đảo về dấu của tam thức bậc hai; và đi xét điều kiện f (0). f (1)  0 nhưng từ điều

a
b
c

  0 sẽ rất khó khăn.
kiện này để đi tới giả thiết
m  2 m 1 m
m 1
m
m1
m 1
2
Xét hàm số g ( x)  a.x  b.x  c.x  x  ax  bx  c  , (a  0)
Ta thấy, g ( x ) là một hàm liên tục trên  và có một nguyên hàm
a
b m1 c m
G ( x) 
x m 2 
x  x
m2
m 1
m
a
b
c

  0 , nên theo định lý 2.1 thì phương
Và G (0)  0, G (1) 
m  2 m 1 m
m 1

m
trình g ( x )  a.x  b.x  c.x m1  0 có nghiệm trong (0;1) . Suy ra phương trình
f ( x )  0 có nghiệm trong (0;1) . (Vì x  (0;1)  x m1  0 )
Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng , nếu các hệ số của phương trình
an x n  an1 x n1  ...  a1x  a0  0
a
a
a
Thỏa mãn điều kiện: n  n1  ...  1  a0  0 . Thì phương trình có
n 1 n
2
nghiệm trong (0; 1).
Nhận xét: Đây là phương trình có các hệ số chưa xác định, nếu thực hiện
biến đổi tương đương để giải thì sẽ rất phức tạp. Ta áp dụng định lý trên:
Xét hàm số f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1x  a0 là hàm số xác định
và liên tục trên  , và có một nguyên hàm.
a
a
a
a
F ( x)  n x n1  n1 x n  ...  2 x 3  1 x 2  a0 x
n 1
n
3
2
a
a
a
Ta có: F (0)  0 và F (1)  n  n1  ...  1  a0  0 .
n 1 n

2
Vậy theo định lý trên thì phương trình có nghiệm thuộc (0; 1).
Ví dụ 2.7. Chứng minh phương trình
e x  sin  e x  .cos  e x     0 . Có nghiệm duy nhất là x   ln  .
Nhận xét: Khi gặp bài tốn chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất,
HS thường liên tưởng tới cách giải: biến đổi phương trình thành dạng
f ( x)  g ( x) , trong đó f ( x) là hàm số đồng biến và g ( x ) là hàm hằng hoặc
nghịch biến. Với bài tốn này, HS có thể kiểm tra được x   ln  là một nghiệm
f ( x)  e x  
của
phương
trình
và
biến
đổi
và
1
g ( x)  sin  e  x  .cos  e  x   sin  2.e  x  ; nhưng hàm số f ( x) nghịch biến và
2
hàm số g ( x) không đơn điệu nên không kết luận được sự duy nhất nghiệm.
Nhưng nếu sử dụng phần mềm dạy học như Maple hay Geometer’s Sketchpad
thì ta vẫn có thể để cho HS nhận thấy rằng đồ thị hai hàm số trên chỉ có một
điểm chung.
11


Áp dụng định lý 2.4 như sau:
x
x
x

Xét hàm số F ( x)  e  sin  e  .cos  e  . Ta có F ( ln  )   .
Phương trình đã cho tương đương với F ( x)  F ( ln  )  0 và
x



x

F '(t )dt  0 hay

 ln 
x

Suy ra



 ln 

 2e

 ln

t

e t  sin  e t  .cos  e t   dt  0 .


'

.sin 2  e t   dt  0

t
2
t
Hàm số f (t )  2e .sin  e  là hàm liên tục, không dương trên  , nên
x

theo định lý 2.4 thì phương trình

 2e

t

 ln

.sin 2  e t   dt  0 có nghiệm duy nhất

x
hay phương trình e  sin  e  .cos  e     0 có nghiệm duy nhất là
x   ln  .
Bài tập tương tự:
2
1) Chứng minh rằng phương trình 2  x  x  2  cos 2 x  (1  2 x).sin 2 x có
ít nhất ba nghiệm trong (1;2) .
x

x



2
2
2) Giải phương trình x x  1  ln x  x  1



2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12,
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải tốn tích
phân và ứng dụng. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ
các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài
tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng
sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các
dạng tốn nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau:năm học 20182019, lớp thực hiện dạy áp dụng theo sáng kiến kinh nghiệm là lớp 12A2, lớp
học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm là lớp 12A6, sau khi
làm bài kiểm tra thu được kết quả như sau:
Năm học

Lớp

Tổng số

2018-2019

12A6
12A2

42

44

Điểm 8 trở lên
Số
Tỷ lệ
lượng

2
20

4%
45%

Điểm từ 5 đến 8
Số
Tỷ lệ
lượng

15
20

36%
45%

Điểm dưới 5
Số
Tỷ lệ
lượng

25

4

60%
9%

Như vậy, tôi thấy các phương pháp cơ bản có hiệu quả cao. Theo tơi khi
dạy phần giải các dạng tốn ứng dụng của tích phân chúng ta nên sử dụng các
phương tiện trực quan để giúp học sinh hiểu và vận dụng bài một cách tối đa
nhất có thể.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
12


3.1. Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình
giảng dạy tại trường THPT Thạch Thành 2. Tích phân và ứng dụng là một nội
dung quan trọng trong chương trình mơn Tốn lớp 12 nói riêng và bậc THPT
nói chung- nhất là kì thi THPTQG Nhưng đối với học sinh lại là một mảng
tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cơ giáo quan tâm. Qua thực tế giảng
dạy, tôi thấy rằng các phương pháp giải nêu trên có thể áp dụng tốt vào việc dạy
và học trong nhà trường hiện nay.
Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn khơng tránh khỏi
những thiếu sót và hạn chế. Tơi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng
nghiệp bổ sung và góp ý cho tơi. Tơi xin chân thành cảm ơn !
3.2. Kiến nghị:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có
nhiều hơn nữa tài liệu, các thiết bị hỗ trợ dạy và học trực quan, sách tham khảo
đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên
môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ

sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 5 năm 2019
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Giáo viên

Trương Thị Tuyến

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Đại số 12 (NXB Giáo dục)
- Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục)
- Tài liệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục)
- Các bài giảng luyện thi mơn tốn (NXB Giáo dục - Phan Đức Chính,
Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất)
- Toán nâng cao Đại số 12 (Phan Huy Khải)
- Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục)
- Các đề thi đại học các năm trước.
-Các đề thi thpt quốc gia các năm trước và đề thi thử thpt quốc gia của các
trường thpt,đh.

14

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trương Thị Tuyến
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên

TT

1.

Tên đề tài SKKN

Một số phương pháp giải
phương trình vơ tỷ trong cấu
trúc đề thi THPT quốc gia

Cấp đánh giá xếp
loại
(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh; Tỉnh...)

Sở GD và ĐT
Thanh Hóa

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc C)

B

Năm học
đánh giá
xếp loại

2015-2016

15


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM GÓP PHẦN NÂNG CAO
CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG CỦA
TÍCH PHÂN THÔNG QUA VIỆC SỬ DỤNG MỘT
SỐ DẠNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN

Người thực hiện: Trương Thị Tuyến
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn

THANH HỐ, NĂM 2019

16

QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TT
1
2
3
4
5

Viết Tắt
GV
HS
Nxb
PTTQ
SGK

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Nhà xuất bản
Phương tiện trực quan
Sách giáo khoa

17