(Sáng kiến kinh nghiệm) sử DỤNG đạo hàm để GIÚP học SINH lớp 12 GIẢI tốt một số bài TOÁN cực TRỊ có nội DUNG THỰC TIỄN với VIỆC vận DỤNG KIẾN THỨC LIÊN môn

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU..........................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài............................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu......................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu....................................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu................................................................................2
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI........................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận..................................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề...........................................................................................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề..............................................3
Dạng 1: Bài toán liên hệ với diện tích và thể tích.................................................7
Dạng 2: Bài tốn liên hệ với vật lí.......................................................................10
Dạng 3: Bài tốn liên hệ với qng đường..........................................................12
Dạng 4: Bài tốn liên hệ với hóa – sinh..............................................................13
Dạng 5: Bài toán liên hệ với kinh tế....................................................................14
Bài tập tự luyện...................................................................................................16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................18
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ............................................................................18
3.1. Kết luận........................................................................................................18
3.2. Kiến nghị......................................................................................................19
3.3. Lời kết...........................................................................................................19

HS:
GV:
THPT:
GDCD:
PP:
BĐT:
HSG:

MỘT SỐ TỪ VIẾT TẮT

Học sinh
Giáo viên
Trung học phổ thông
Giáo dục công dân
Phương pháp
Bất đẳng thức
Học sinh giỏi


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong toán học. Các bài tốn là một
phương tiện hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng tri thức toán học vào cuộc sống
từ đó góp phần nâng cao các kỹ năng cuộc sống thông qua các tri thức lĩnh hội ở
trường phổ thông. Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một
nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế
giới với bốn tiêu chí: ‘’ Học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để
khẳng định mình’’. Chính vì thế vai trị của các bài tốn có nội dung thực tiễn
trong dạy học tốn là khơng thể khơng đề cập đến.
Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện
ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất
và đời sống xã hội. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, khoa học, kỹ
thuật và sản xuất đòi hỏi ở con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng, ý thức
để có thể vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể
mang lại hiệu quả lao động thiết thực, muốn vậy thì ngay từ bây giờ khi đang
còn ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức toàn diện để học sinh
vận dụng được các kiến thức tổng thể như: Vật lý, Hóa học, Sinh học, Cơng
nghệ thơng tin,… vào học Tốn để tạo ra những con người lao động tự chủ,
năng động, sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được nhu cầu phát triển của đất
nước, của nền kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế, dạy

học tốn ở trường THPT phải ln gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống, với
việc vận dụng các kiến thức liên môn để tạo hứng thú nội dung bài học để cho ra
đời những sản phẩm thiết thực, toàn diện hơn.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập
trung rèn luyện cho học sinh vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ mơn tốn là
chủ yếu. Cịn kỹ năng vận dụng kiến thức liên mơn trong Tốn học vào đời sống
thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xun. Những bài tốn có nội
dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất cịn đang
được trình bày một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ thơng. Tuy
nhiên các bài tốn này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi THPT
quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia mơn tốn năm 2017 mã đề 101 có
hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu
27, câu 31 và câu 32. Chính vì vậy mà khi giải các bài tốn có nội dung thực
tiễn học sinh nói chung và học sinh lớp 12 nói riêng đang cịn lúng túng và gặp
khó khăn trong việc phân tích đề bài, xác định dạng bài và những kiến thức có
liên quan đến bài tốn, dẫn đến cách giải dài dịng, thậm chí khơng giải được.
Việc tìm ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú
học tập, kích thích trí tị mị tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phương
pháp có tính vận dụng liên mơn.
Nhận thấy việc sử dụng đạo hàm trong việc tìm cực trị, tìm giá trị lớn nhất,
tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm số rất hữu hiệu. Thông qua việc dạy học kiến
thức này, ta có thể giúp học sinh giải tốt những bài toán thực tiễn khá hấp dẫn và
mang nhiều ý nghĩa. Vì vậy mà tơi chọn đề tài “Sử dụng đạo hàm để giúp học
1


sinh lớp 12 giải tốt một số bài toán cực trị có nội dung thực tiễn với việc vận
dụng kiến thức liên mơn”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng

cường vận dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn vào dạy học việc vận dụng
các kiến thức liên môn để giải quyết.
- Phân tích và xây dựng các bài tốn có nhiều nội dung thể hiện mối liên hệ giữa
toán học và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy cho học
sinh ở THPT. Qua đó chúng ta thấy được ý nghĩa “Học đi đôi với hành”.
- Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào dạy học toán.
- Góp phần nâng cao tính thực tế, hứng thú học tập cho học sinh tạo nên chất
lượng dạy học bộ mơn tốn ở trường THPT.
- Giúp học sinh giải tốt một số bài tốn cực trị có nội dung thực tiễn trong đề thi
THPT Quốc Gia
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu đã nêu trên đối tượng nghiên cứu của đề tài là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của tốn học.
- Tốn học liên hệ với thực tiễn thể hiện như thế nào trong nội dung phần ứng
dụng đạo hàm để giải toán.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học mơn tốn ở chương trình THPT và vấn đề tăng
cường vận dụng các bài tốn có nội dung thực tiễn vào để giảng dạy cùng với
việc vận dụng các kiến thức liên môn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương pháp
giảng dạy mơn tốn đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận
- Điều tra quan sát thực tiễn
- Thực nghiệm sư phạm: Phân tích kết quả học tập và lấy ý kiến của học sinh.

2


2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận

- Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền
giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới
với bốn tiêu chí: học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng
định mình. Chính vì thế vai trị của các bài tốn có nội dung thực tiễn trong dạy
học tốn là khơng thể khơng đề cập đến.
- Những bài tốn có nội dung thực tiễn liên hệ trực tiếp với đời sống lao động
sản xuất cịn đang được trình bày một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ
thơng. Tuy nhiên các bài tốn này lại xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi
THPT quốc gia, như trong đề thi THPT quốc gia mơn tốn năm 2017 mã đề 101
có hai câu là câu 35 và câu 41, còn năm 2018 trong mã đề 101 có ba câu là câu
27, câu 31 và câu 32.
- Các vấn đề lý thuyết của Toán học từ đại số, giải tích, hình học đều xuất
phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn cũng như các mơn học khác. Việc tìm ra
một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập, kích
thích trí tị mị tìm hiểu của học sinh, đặc biệt là những phương pháp có tính vận
dụng liên mơn.
2.2. Thực trạng vấn đề.
- Trong chương trình tốn học phổ thơng rất ít các bài tốn có nội dung thực
tiễn được áp dụng vào đời sống chẳng hạn khi dạy bài bất đảng thức của đại số
10 cơ bản có phần ứng dụng thực tế nhưng trong SGK khơng có bài tập vận
dụng hoặc trong bài giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số của giải tích
12 cơ bản có 3 ví dụ …chiếm rất ít trong tổng thể các bài tập.
- Nhiều học sinh nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết nhưng khi
giải các bài tốn có nội dung thực tiễn thì lại lúng túng và gặp khó khăn trong
việc phân tích đề bài , xác định dạng bài và những kiến thức có liên quan đến bài
tốn, dẫn đến cách giải dài dịng, thậm trí khơng giải được.
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài tốn có nội
dung thực tiễn là rất nhiều mà để giải quyết chính xác các bài tốn đó thì địi hỏi
học sinh ngồi việc thành thạo các cơng thức tốn học mà phải hiểu biết thêm về
vật lí , cơng nghệ thơng tin, hóa học…kinh nghiệm để có thể suy luận giải quyết

các bài tốn thực tiễn một cách đầy đủ và chính xác.
Trước thực trạng nói trên tơi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào để
giúp học sinh khi đứng trước những bài tốn có nội dung thực tiễn có thể giải
quyết được một cách nhanh chóng và chính xác bằng kỹ năng toán học và bằng
vốn thực tế hiểu biết cuộc sống của mình.
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống, bổ sung những kiến thức cơ bản về toán học
*Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  M
với mọi x thuộc D và tồn tại xo  D sao cho f ( xo )  M .
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu
3


f ( x )  m với mọi x thuộc D và tồn tại xo  D sao cho f ( xo )  m .

b) Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó.
c) Hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên từng khoảng
mà nó xác định.
* Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K ( K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc
đoạn )
+ Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .
+ Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà
x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) .
b) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K.
+ Nếu f ' ( x)  0 với mọi x thuộc K và f ' ( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì

hàm số y  f ( x) đồng biến trên K.
+ Nếu f ' ( x)  0 với mọi x thuộc K và f ' ( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì
hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K.
* Một số công thức cơ bản được sử dụng :
+ Định lí pitago: Nếu tam giác ABC vng tại A thì: BC2 = AB2 + AC2
A
b
c

h
c'

B

b'
H

a

C

+ Đạo hàm của các hàm số sơ cấp và hàm hợp:
+ Thể tích của hình lăng trụ: V = h. Sday
+ Thể tích của hình trụ trịn xoay: V = h. Sday
+ Ý nghĩa vật lí của đạo hàm:
a) Vận tốc tức thời – gia tốc tức thời:
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), và s = s(t) là một
hàm số có đạo hàm.
- Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số
s = s(t) tại thời điểm to:

v(t) = s’(to)
- gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to là đạo hàm cấp hai của hàm
số s = s(t) tại thời điểm to:
a(t) = v’(t) = s’’(to).
b) Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của
thời gian Q = Q(t) (Q = Q(t) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời
của dịng điện tại thời điểm to là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại to :
4


I(to) = Q’(to)
+ Định lý côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ BC= a, CA= b, AB = c ta có
a2 = b2+ c2 – 2bc.cosA
b2 = a2+ c2 – 2ac.cosB
c2 = a2+ b2 – 2ab.cosC
A

C

B

Hệ quả:

CosA 

b2  c2  a2
2bc

,

CosB 

a2  c2  b2
2ac

,

CosC 

a2  b2  c2
2ab

2.3.2. Các kiến thức liên quan đến vật lý, sinh học, kinh tế,…, các kiến thức
từ khoa học
+ Các kiến thức về vật lí: sự phân rã của chất phóng xạ. Vận tốc, gia tốc của một
vật chuyển động thẳng.
+ Các kiến thức về sinh học: khả năng nhớ trung bình của một học sinh trong
một tháng. ni cấy sinh trưởng của một loại tế bào …
+ Các kiến thức về lĩnh vực kinh tế: bài toán lãi suất, bài toán kinh doanh,…
2.3.3. Đổi mới phương pháp dạy học
- Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng
thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh động
hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán
2.3.4. Vài nét về phương pháp dạy học tích hợp liên mơn
- Dạy học theo hướng tích hợp liên mơn là lồng ghép các nội dung cần thiết
vào những nội dung vốn có của một mơn học
- Dạy học theo hướng tích hợp liên mơn có tính thực tiễn nên sinh động, hấp
dẫn đối với học sinh. Có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập. Học
các chủ đề tích hợp liên mơn học sinh được tăng cường vận dụng kiến thức tổng

hợp vào giải quyết các tình huống thực tiễn
- Dạy học theo hướng tích hợp liên mơn giáo viên có thể tích hợp các nội
dung ở các môn học khác nhau, hoặc các kiến thức khác nhau liên quan đến bài
giảng để truyền tải đến cho học sinh những chủ đề giáo dục lồng ghép thơng qua
đó khơng những truyền đạt kiến thức cho học sinh mà còn rèn luyện kỹ năng
sống, giá trị sống cho học sinh.
- Dạy học theo hướng tích hợp liên mơn khơng phải là tích hợp đa mơn.
Ví dụ: Khi đưa ra số liệu là tích hợp được mơn tốn, trình chiếu bài giảng trên
máy tính là tích hợp mơn tin học, dùng các từ khố Tiếng Anh là tích hợp mơn
Ngoại Ngữ, thơng tin cảnh báo là tích hợp mơn GDCD,…
- Dạy học theo hướng tích hợp liên mơn khơng phải bài nào cũng dạy được
mà nó phải được dạy theo từng nội dung giảng dạy cần thiết và phải trả lời được
5


câu hỏi học để làm gì ? (Học để biết, Học để hiểu, Học để làm, Học để chung
sống, Học để làm người)
2.3.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần
thiết, sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài tốn nó sẽ giúp
học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó việc tìm
ra một phương pháp giải bài tập nhanh, độc đáo sẽ gây được hứng thú học tập,
kích thích trí tị mị tìm hiểu của học sinh.
Đặt vấn đề:
Từ một miếng tơn có dạng là nửa đường
trịn bán kính 1m, người ta cắt ra một
hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được
miếng tơn có diện tích lớn nhất là bao
nhêu ?
Giải:

Ta xem miếng tơn cần cắt là một hình chữ nhật ABCD.
Đặt BC = x (0 < x < 1)  OC = 1  x 2  DC = 2 1  x 2
 SABCD = 2.x.

1  x2

Đến đây ta có 2 cách làm
Cách 1:
Ta có SABCD = 2. x 2 (1  x 2 )
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số: x2 và (1 - x2)
Ta có : x2 + (1 - x2)  2. x 2 (1  x 2 )  S ABCD  1
 SABCD lớn nhất = 1  x2 = (1 - x2)  x =

2
2

Cách dùng bất đẳng thức Cô-si là một cách hay nhưng nó cũng là một nhược
điểm bởi nhắc đến bất đẳng thức nó là một dạng tốn khó và ngay cả học sinh có
lực học khá, giỏi cũng cảm thấy e ngại và gặp khó khăn khi giải bài toán dù ta
thấy bài toán được giải khá đơn giản khi áp dụng theo bất đẳng thức Cô-si.
Tuy nhiên cách giải quyết bài toán theo cách 2 sau đây khá dễ hiểu và ngay cả
một học sinh có lực học trung bình khá cũng có thể giải tốt bài tốn và hơn thế
nữa phương pháp này có thể giải quyết tốt nhiều bài toán thực tiễn ở các dạng
khác nhau.
Cách 2 : sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số
Xét hàm số
f(x) = 2.x. 1  x 2 trên khoảng  0;1

6


 x  0(loai )

2 x  4 x3
2

3
(tm)
f’(x) = 2 4  0  2 x  4 x  0   x 
2
x x

 x   2 (loai )

2

từ đó ta có bảng biến thiên
x
f’(x)

2
2

0
+

0

1

-

1

f(x)

 Max y = 1 vậy SABCD lớn nhất = 1

Dạng 1: Bài tốn liên hệ với diện tích và thể tích.
Ví dụ 1: (Đề minh họa 2017)
Có một tấm nhơm hình vng cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm
đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x(cm) rồi gấp tấm
nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hình
hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
Giải
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12  2 x.
Diện tích đáy của cái hộp: (12  2 x)2 .
Thể tích cái hộp là:
V  (12  2 x)2 . x  4 x 3  48 x 2  144 x với x  (0;6)
Ta có: V '(x)  12 x 3  96 x 2  144 x.
Cho V '(x)  0 , giải và chọn nghiệm x  2.
Lập bảng biến thiên ta được Vmax  128 khi x  2.
Ví dụ 2:
Ơng A dự định sự dụng hết 6,5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình
hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích
thước khơng đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm
tròn đến hàng phần trăm) ?
Giải
Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể cá lần lượt là x, 2x, y ( x, y > 0)
Diện tích phần lắp kính là:

7


6,5  2 x 2
6,5
13
0 x

2x.x + 2xy + 2.2x.y = 2x2 + 6xy = 6,5  xy 
6

2

6,5  2 x
6
6,5  2 x 2
13 x  4 x 3
=
với 0 < x <
Thể tích bể cá là: V = 2x.x.y = 2x
6
6

Thể tích bể cá là: V = 2x.x.y = 2x

V’ =

13  12 x 2
6

2

2

13
2


39
x 
6
 V’ = 0  

39
( L)
x  
6


Ta có bảng biến thiên:
x

39
6

0

f’(x)

+

0

13
2

-

13 39
54

f(x)
0

0

Vậy Max V =

13 39
 1,50m3
54

Ví dụ 3: Từ một khúc gỗ hình trụ, cần xẻ thành một chếc xà có tiết diện ngang là
hình vng và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng
phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất ?
Giải:
Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường
kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện ngang của thanh xà có cạnh là:

d

2 và

8


0
d (2  2)
d
,0  y 
.
4
2

Gọi x, y là chiều rộng, chiều dài của
miếng phụ như hình vẽ. Gọi d là đường
kính của khúc gỗ, khi đó ta có tiết diện
ngang của thanh xà có cạnh là:
0
d
2 và

d (2  2)
d
,0  y 
.
4
2

Theo bài ra ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, Theo định lí pitago ta có:
1
d 2
)  y  d2  y 
d 2  8x2  4 2 x
2
2
1
d (2  2)
, với S là diện
Suy ra S = S(x) = 2 .x. d 2  8 x 2  4 2 x , với 0 < x <
4
(2 x 

tích một miếng phụ.
Áp dụng đạo hàm vào hàm
S = S(x) =

1
d (2  2)
,
d 2  8 x 2  4 2 x , với 0 < x <
.x.
2
4

Ta có S lớn nhất khi và chỉ khi x 

34  3 2
16

Ví dụ 4:Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước
dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện
y
ngang của mương là S,  là độ dài đường biên giới
x
hạn của tiết diện này,  - đặc trưng cho khả năng thấm
nước của mương; mương đựơc gọi là có dạng thuỷ
động học nếu với S xác định,  là nhỏ nhất). Cần xác định các kích thước của
mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học ? (nếu mương dẫn nước
có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
Giải
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta có: S = xy;
2S
2S
2S
x 2  2S
 x . Xét hàm số (x) 
 x . Ta có ' (x) = 2 + 1 =
.
x
x
x
x2
S
S
' (x) = 0  x 2  2S  0  x  2S , khi đó y =
=
.
x

2

  2y  x 

Dễ thấy với x, y như trên thì mương có dạng thuỷ động học, vậy các kích thước
của mương là x  2S , y =

S
thì mương có dạng thuỷ động học.
2
9


Ví dụ 5:(Trích đề minh họa HSG Phú Thọ 2016 – 2017)
Một người nơng dân có 3 tấm lưới thép B40, mồi tấm dài a (m) và muốn rào một
mảnh vườn dọc bờ sơng có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (bờ sơng là
đường DC khơng phải rào). Hỏi ơng ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích
lớn nhất là bao nhiêu m2 ?
Giải
Đặt AA’ = h, CD = x, ta có AB = AD = BC = a  AD2 = AA’2 + A’D2

2

xa
2
2
2
 a 2  h 2  
3a 2  2ax  x 2  2h
  3a  2ax  x  4h 

 2 
ax
ax
1
3
h
3a 2  2ax  x 2 
 3a  x  .  x  a 
Diện tích mảnh vườn S =
2
4
4

Áp dụng đạo hàm ta tìm được diện tích lớn nhất của mảnh vườn S =

3a 2 3
khi
4

x = 2a.
Dạng 2: Bài toán liên hệ với vật lí.
Ví dụ 1:
Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t 3  6t 2  17t , với t (giây) là khoảng
thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi
được trong khoảng thời gian đó. Khi đó vận tốc v  m / s  của chuyển động đạt giá
trị lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên bằng:
Giải:
Áp dụng cơng thức tính đạo hàm ta có : v(t) = s’(t)
= -3t2 + 12t + 17
Xét hàm số f(t) = -3t2 + 12t + 17 trên đoạn [0;8]

Ta có f’(t) = - 6t + 12 = 0  t = 2  [0;8]
 f(0) = 17, f(2) = 29, f(8) = -79
Vậy Max f(t) = 29  vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất trong
khoảng 8 giây đầu tiên bằng 29 (m/s)
Ví dụ 2:
Một nguồn điện với suất điện động E và điện trở r được nối với một biến trở R.
Với giá trị nào của biến trở thì cơng suất tỏa nhiệt ở mạch ngoài sẽ đạt cực đại ?
Giải:

10


Áp dụng công thức: P = R.I2 với I 

E
Rr

P

E2R
, ( R  0)
( R  r )2

E2R
trên khoảng  0;  
( R  r )2
 R  r (loai )
E 2 (r 2  R 2 )
 0  r 2  R2  0  
f’(x) =

2
(R  r)
 R  r (tm)

Xét hàm số :

f(x) =

từ đó ta có bảng biến thiên
x

r

0
+

f'(x)

0

_

+

f(r)

f(x)

 Max y = f(r)  R = r, vậy P lớn nhất R = r

Ví dụ 3:
Một con cá bơi ngược dịng (từ nơi sinh sống) để vựơt khoảng cách 300km (tới
nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước
đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong thời gian t giờ cho bởi
cơng thức E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số cho trước; E tính bằng jun. Vận tốc
bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng bao
nhiêu ?
Giải:
Vận tốc của con cá khi bơi ngược dòng: v - 6 (km / h),(v  6).
Theo thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: t =

300
( h) .
v6

Năng lượng tiêu thụ của con cá khi bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản:
E(v) = cv3

300
300v3
c
(J )
v6
v6

Bài tốn trở thành tìm v để E(v) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
E’(v) =

300cv 2
300cv 2

v
v
(3 
)  E'(v)  0 
(3 
)0
v6
v6
v6
v 6

11


 3

v
0v9
v6

Lập bảng biến thiên của hàm số y = E’(v) trên khoảng  6;  
Ta có Emin đạt được tại v = 9. Vậy vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên để
năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng v = 9 (km / h).
Nhận xét:
Đối với bài tốn này có rất nhiều em tính nhầm hàm E(v) = c(v  6)3

300
( J ) và
v6

sẽ chọn được v = 6 km / h đó là lựa chọn sai vì vận tốc v trong biểu thức
E(v) = cv3 t là vận tốc thực của con cá khi di chuyển, còn t là thời gian con cá
bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc của con cá đã trừ đi vận
tốc dịng nước.
Dạng 3: Bài tốn liên hệ với qng đường
Ví dụ 1
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB  5km.Trên bờ
biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km.Người canh hải đăng có
thể chèo đị từ A đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km/ h rồi đi bộ đến C với vận
tốc 6km/ h .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến
kho nhanh nhất?
Giải
Đặt BM = x( km) Þ MC = 7 - x( km) ,(0 < x < 7) .
Ta có: Thời gian chèo đị từ A đến M là:
t AM 

x 2  25
(h).
4

Thời gian đi bộ đi bộ đến
Thời gian từ
Khi đó: t  

A

đến kho t 
x

4 x 2  25



1
6,

C

là: tMC 

7x
( h)
6

x 2  25 7  x

4
6

cho t   0  x  2 5

Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi x = 2 5( km).
Ví dụ 2:
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét
C
so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ
1,4
nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất.

Hãy xác định vị trí đó ? ( BOC

gọi là góc nhìn)

Giải
Với bài tốn này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất.
Đặt OA = x (m) với x > 0,

B
1,8
A

O

tan AOC  tan AOB

ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = 1  tan AOC .tan AOB
12


1,4
1,4 x
x
=
=
2
3,2.1,8
x  5,76
1
2
x

AC AB

OA OA
=
AC . AB
1
OA2
1,4 x

Xét hàm số f(x) = x 2  5,76
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có :
1,4 x 2  1,4.5,76
, f'(x) = 0  x =  2,4
f'(x) =
(x 2  5,76)2

Ta có bảng biến thiên
x

2,4

0
+

f'(x)

0

_

+

84
193

f(x)
0

0

Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Ví dụ 3:
Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển
hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên
đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn
địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất ?
Giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
Thời gian t là:
AE  CE CD
AC CD

t= v  v = v
=
v2
1
2
1

=



h
h
tan  sin
v1
v2

  h.cot 
h

=
v1
v2 sin

A

D
C



h
E

B



  h.cot 
h

. Ứng dụng Đạo hàm ta được t ( ) nhỏ nhất
v1
v2 sin
v2
v2
khi cos  v . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho cos  v .
1
1

Xét hàm số t ( ) 

Dạng 4: Bài tốn liên hệ với hóa – sinh
Ví dụ 1:
Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ơxít từ nitơ (II) ơxít và ơxy. Hãy
xác định nồng độ khí ơxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất?
13


Giải:
Phương trình phản ứng: 2NO + O2 = 2NO2
Vận tốc của phản ứng: v = kx2y = kx2(100 – x) = -kx3 + 100kx2 (0 < x < 100)
Trong đó x là nồng độ % của khí NO, y là nồng độ % của khí O2, k là hằng số
chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào các chất tham gia phản ứng.
Áp dụng đạo hàm ta thu được v lớn nhất khi x = 66,67%. Lúc này, nồng độ %
khí ơxy là y = 33,33%.
Vậy để phản ứng xảy ra nhanh nhất thì nồng độ % khí ơxy tham gia phản ứng là

33,33%.
Ví dụ 2:
Trong một mơi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực
nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật:
p(t) = 1000 +

100t
(t là thời gian (đơn vị giờ)). Hãy xác định thời điểm sau
100  t 2

khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ?
Giải
Áp dụng đạo hàm ta có: p’(t)=

10000  100t 2
(100  t 2 ) 2

t  10
 p’(t) = 0  10000  100t 2  0  
t  10( L)

Áp dụng đạo hàm ta tìm được p(t) lớn nhất khi t = 10
Vậy thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là
lớn nhất là t = 10.
Ví dụ 3:
Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào thì tỉ lệ mol H 2O ; mol CO2
giảm dần khi số cacbon tăng dần?
Giải:
Công thức tổng quát của một hidrocacbon là Cn H 2 n  2 2 k với k là số liên kết 
trong phân tử. Phương trình phản ứng cháy là:

0

xt ,t
Cn H 2 n  2 2 k O2 
 nCO2  (n  1  k ) H 2O . Ta có:

Xét hàm số. f (n) 

nH 2 O
nCO2



n 1 k
.
n

n 1 k
k 1
; n  N * . Ta có f '(n)  2 ; n  N * .
n
n

Theo giả thiết f (n) là hàm nghịch biến nên
k 1
kN
 0  k  1  0  k  1 
k  0
2
n

 công thức tổng quát là Cn H 2 n  2 : ankan
f '(n)  0 

Dạng 5: Bài toán liên hệ với kinh tế.
Ví dụ 1: (trích đề thi khảo sát chất lượng trường THPT Đông Sơn 1)
Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn
hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người th và cứ
14


tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị
bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì cơng ty đó phải cho thuê mỗi căn
hộ với giá bao nhiêu một tháng.
Giải:
Nếu tăng giá thuê mỗi căn hộ là x (đồng/tháng) thì sẽ có

2x
căn hộ bỏ
100.000

trống.

Khi đó số tiền cơng ty thu được là: S   2.000.000  x   50 



Xét hàm số f (x)   2.000.000  x   50 


2x 


100.000 

2x 
 , x  0
100.000 

4x
 0  x  250.000
100.000
Hàm số f (x) đặt max  x  250.000
f '(x)  10 

Giá tiền thuê mỗi căn hộ là: 2.250.000 đ.
Ví dụ 2:
Một cửa hàng bán bưởi ở Đoan Hùng Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000
đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng
này dự định giảm giá bán , ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng
thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu
được lợi nhuận lớn nhất, Biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.
Giải
Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng;
30.000  x  50.000 )
 nếu giảm ( 50.000 – x) thì ta bán thêm được số quẩ bưởi là:
( 50000 – x)

50
1

(50000  x).

5000 100

Do đó số bưởi bán được tương ứng với giá x là:
40 +

1
1
(50000  x) = 
x  540
100
100

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được ( F(x): đồng).
1 2
1
x  840 x  16200000
x  540 ).(x - 30.000) =
100
100
1 2
x  840 x  16200000 vói điều kiện 30.000  x  50.000
Xét hàm số F(x) =
100
1
F '( x) 
x  840  F '( x)  0  x  42000
50
Ta có: F (30000)  0
F (42000)  1.440.000
F (50000)  800.000

Ta có F(x) = ( 

Vậy với x = 42000 thì F(x) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy để cửa hàng đó thu lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi của bưởi
Đoan Hùng là 42.000 đồng.
15


Ví dụ 3:
Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho
chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích tồn phần của hình trụ
là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích tồn phần của
hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy sấp sỉ bằng bao nhiêu ? ( lấy chính xác đến
hàng phần trăm).
Giải
2
Ta có Stp = Sxq + 2Sđ = 2 rl  2 r (1)
2
thay vào (1) ta có:
 r2
4
4
Stp =  2 r 2  f (r)  f ' (r )  2  4 r
r
r
'
 f (r )  0 khi r gần bằng 0,68

V = 2 r 2 = 2  l 

Chú ý : Khi làm bài toán thực tiễn, điều quan trọng là biết liên hệ đưa về các bài
toán mà em đã được học, sau đó cố gắng thiết lập một hàm số một biến từ đó sử
dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho một tấm tơn hình trịn có diện tích 4π dm2. Người ta cắt thành một
hình quạt có góc ở tâm là α ( 0    2 ) như Hình 1 để làm thành một cái gầu
múc nước hình nón như Hình 2. Thể tích lớn nhất của cái gầu là:
A.

16 3
(dm3 )
27

 3
(dm3 )
3
3 7
(dm3 )
C.
9
2 2
D.
(dm 3)
3

B.

Hình 1

Hình 2

Bài 2: Từ một bờ tường có sẵn, người ta muốn rào quanh một khu đất với một số
vật liệu cho trước là 100 m thẳng hàng rào. Vậy làm thế nào để rào khu đất ấy
theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất. Khi đó: chiều dài và chiều rộng
hình chữ nhật là:
A. 50 và 25
B. 35 và 35
C. 75 và 25
D. 50 và 50
Bài 3: Thầy Hồng dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình trịn có đường
kính AB  10m , để cho ấn tượng thầy Hồng thiết kế có hai hình trịn nhỏ trong
hình trịn lớn bằng cách lấy điểm M giữa A và B rồi dựng các đường trịn đường
kính MA và MB . Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ,
còn phần còn lại thầy trồng hoa hồng trắng. Biết giá hoa hồng đỏ là 5.000 đồng,
hoa hồng trắng là 4.000 đồng và ít nhất 0.5 m2 mới trồng được một bơng hoa.
Hỏi chi phí thấp nhất để trồng hoa của thầy là bao nhiêu?
16


A. 706858 đồng.
B. 752000 đồng.
C. 702000 đồng. D. 622000 đồng.
Bài 4: Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước
là a sao cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế
nào?
y
a
a
a

a
A. x  ; y 
B. x  ; y 
4
2
2a
a
C. x  ; y 
6
3

3

3

D. Đáp án khác

x



x

Bài 5: Một viên đạn được bắn lên trời, người ta chỉnh thiết bị bắn sao cho độ cao
2
của viên đạn tuân thủ theo công thức h  t   80t  5t trong đó h tính theo đơn vị
là mét, t là thời gian sau khi viên đạn được bắn đi. Sau bao lâu kể từ lúc bắn ra,
viên đạn đạt độ cao lớn nhất?
A. t  320 .
B. t  4 .

C. t  8 .
D. t  16 .
Bài 6: Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội đến
để khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét
khoan thứ 2 giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá của mét
khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước. Vậy hỏi phải
trả ít nhất bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó ?
A. 4.000.000 đồng
B. 4.245.000 đồng
C. 10.125.000 đồng.
D. 5.2500.000 đồng
Bài 7: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ
sâu h(m) của con kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi
1

t





công thức: h  cos     3 . Thời điểm mực nước của kênh cao nhất là:
2
8
4


B. t  16 .
C. t  13 .
D. t  14 .

A. t  15 .
Bài 8: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức
G(x) = 0.025x2(30-x), trong đó x(mg) và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh
nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng
bằng bao nhiêu ?
A. 15 mg.
B. 30 mg.
C. 40 mg.
D. 20 mg.
Câu 9: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng

500

3

nắp có thể tích bằng 3 m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều
2
rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m . Người ta cần tính tốn
sao cho chi phí th nhân cơng là thấp nhất. Hỏi chi phí th nhân cơng thấp
nhất là bao nhiêu?
B. 80.000.000 đồng.
A. 85.000.000 đồng.
C. 50.000.000 đồng.
D. 75.000.000 đồng.

17


Câu 10: Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình
trụ với đáy cốc dày 1, 5cm , thành xung quanh cốc dày

0, 2 cm và có thể tích thật ( thể tích nó đựng được ) là
480 cm3 thì người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh
(lấy gần đúng)?
3
3
B. 269  cm  .
A. 238  cm  .
3
C. 217  cm  .

3
D. 201  cm  .

Đáp án bài tập tự luyện:
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9
A
A
C
A
C
C
D
D
D

Câu 10
A

2.4. Kết quả của sáng kiến kinh nghiệm:
- Tính hiệu quả: đối với sáng kiến trên đã phát huy được hiệu quả của quá

trình dạy học, giúp HS có thể giải được các dạng tốn đã nêu, phát triển tư duy .
- Việc sử dụng sáng kiến đã có tác dụng trong việc bồi dưỡng tư duy cho học
sinh. Góp phần nâng cao tính thực tế, hứng thú học tập cho học sinh tạo nên chất
lượng dạy học đặc biệt là kỹ năng vận dụng kiến thức liên môn giúp học sinh
nâng cao hiệu quả học tập.
Để thấy được kết quả sát thực của sáng kiến kinh nghiệm tôi đã chọn hai lớp
12A3 và 12A5 trong đó lớp 12A3 có học lực khá hơn để tiến hành làm đối
chứng cụ thể như sau:
Lớp Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
12A3 44
7
15,9% 11
25%
20
45,5% 6
13,6%
12A5 42
3
7,1% 5
11,9% 26
61,9% 8
19,1%
Bài làm của học sinh chủ yếu ở mức độ trung bình, yếu, số bài đạt khá, giỏi cịn
ít. Trước tình trạng đó tôi tập trung bồi dưỡng cho các em vào tiết học tự chọn
các nội dung chủ yếu trong SKKN, các em đã tự tin hơn khi làm loại bài tập này,
kết quả thu được của bài kiểm tra lần hai là:

Lớp Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A3 44
13
29,5% 19
43,2% 11
25%
1
2,3%
12A5 42
6
14,3% 12
28,6% 19
45,2% 5
11,9%
- Các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm sau khi thực hiện, được tiến hành
chấm, xử lí kết quả theo phương pháp thống kê toán học cho kết quả tốt.
- Cụ thể là học sinh ở các lớp 12A3; 12A5 (Khoá học 2015- 2018) , đa số các
em tiếp thu tốt hứng thú bài học và rất tự tin khi áp dụng các kiến thức đã học
được vào các bài tốn có nội dung thực tiễn.

18


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Qua quá trình dạy học tôi nhận thấy việc dạy cho học sinh các bài tốn thực

tiễn cuộc sống nó khơng những giúp cho học sinh rèn luyện các lý thuyết cơ bản
đã học một cách trơi chảy mà nó cịn giúp cho học sinh vận dụng các kiến thức
một cách linh hoạt bên cạnh đó nó kích thích tư duy, óc sáng tạo, khám phá khoa
học, giúp học sinh lĩnh hội tri thức mạc lạc và tự tin hơn trong cuộc sống.
Với nội dung kiến thức đã được áp dụng vào thực tiễn cuộc sống kết hợp
liên môn với các môn học khác tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho học sinh
trường THPT Đông Sơn 1
3.2 Kiến nghị
- Tạo điều kiện để tổ chuyên môn được thường xuyên trao đổi rút kinh nghiệm
để dần nâng cao trình độ.
- Nên đưa nhiều các bài tốn thực tiễn vào chương trình học phổ thơng để các
em được va chạm và cọ sát nhiều tránh tình trạng khi vào cuộc sống thực tiễn
gặp nhiều khó khăn.
3.3. Lời kết
Chuyên đề về các bài toán ứng dụng thực tiễn là một chuyên đề khá rộng, trong
khuôn khổ giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm nên người viết cũng chỉ nêu ra
được một số bài tốn điển hình, vì vậy tơi rất mong nhận được sự góp ý của hội
đồng chuyên môn và của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện đầy đủ hơn
nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
Đông Sơn, tháng 4 năm 2019
ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.
Người viết

TRẦN THỊ THU HẢO

19

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để phát triển các năng lực
nhà trường NXBGD Hà Nội. X.Roegers.
2.
SGK, Hóa học 10 nâng cao. Lê Xuân Trọng - NXB Giáo dục 2006
(được sử dụng trong SKKN ở trang 15 và 16)
3.
SGK, Giải tích 12 Nâng cao và cơ bản. Trần Văn Hạo - NXB Giáo
dục - 2009
4.
Sách bài tập giải tích 12. Trần Văn Hạo - NXB Giáo dục - 2009
5.
SGK, vật li 10, vật lí 11 cơ bản. Lương Duyên Bình - NXB Giáo dục
- 2006 (được sử dụng trong SKKN ở trang 11 và 12)
6.
Đề THPT Quốc Gia mơn tốn năm 2017, Đề THPT Quốc Gia mơn
tốn năm 2018
7.
Đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT, một số trường đại
học và Sở GD trên cả nước.

20