(Sáng kiến kinh nghiệm) TIẾP cận và CHINH PHỤC TOÁN tổ hợp NHẰM bồi DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ ĐỘNG TÍCH cực của các EM TRONG học tập

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
*****************

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT VÀI KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU - TRUNG BÌNH
TIẾP CẬN VÀ CHINH PHỤC TỐN TỔ HỢP
NHẰM BỒI DƯỠNG HỨNG THÚ, PHÁT HUY TÍNH CHỦ
ĐỘNG TÍCH CỰC CỦA CÁC EM TRONG HỌC TẬP

Người thực hiện: Hoàng Thị Trang Nhung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn

THANH
I –HỐ
MỞ NĂM
ĐẦU 2018
MỤC LỤC


MỤC LỤC
Trang
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………..…………………………2
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………….…………………………2
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2

II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ………..…………………….........2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….….3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………..…….3
2.3.1. Dạy học quy tắc cộng, quy tắc nhân bằng sơ đồ……...…………… 3
a) Quy tắc cộng…………………………….…………………….....3
b) Quy tắc nhân…………………………...……………...…………4
c) BT áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân cho bài toán đếm………5
d) Bài tập kết hợp hai quy tắc đếm…………………………………8
2.3.2.Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp….9
a) Hoán vị………………….. ………………………………………9
b) Chỉnh hợp…………….…………………………………...….….9
c) Tổ hợp………………………………………………………......10
2.3.3. Các bài tập giúp HS phân biệt Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp…….12
2.3.4. Cách khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh……………..….16
2.3.5. Bài tập trắc nghiệm củng cố……………………………………….17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………………….........19
III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận…………………………………………………………………….20
3.2 Kiến nghị………………………………………………………………...…20
Tài liệu tham khảo


I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về Đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát
triển của Toán học, là nền tảng của lý thuyết xác suất, là công cụ giải quyết
nhiều bài tốn trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh.
Những kiến thức này cũng giúp ích rất nhiều cho học sinh khi các em tiếp tục
học lên đại học ở các ngành toán học, kế tốn, tài chính, xây dựng…Vì vậy, dạy

học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thơng có một ý nghĩa rất lớn.
Thực tế cho thấy những kiến thức toán học về Tổ hợp được đưa vào
trường phổ thông mới là những kiến thức cơ bản, nhưng nếu so sánh với những
loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân …thì học Tốn tổ hợp
ln là việc khó đối với học sinh. Học sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc
cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ
hợp, số chỉnh hợp…
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác
tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng
khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó” [5]. Trong quá trình
học chủ đề Đại số Tổ hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái
niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được
định nghĩa. Khơng ít học sinh cịn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngơn
ngữ tốn học, học sinh hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa.
Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả địi hỏi người giáo viên phải
đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy
cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả?
Làm thế nào để học sinh khơng bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập?
Công tác tại một trường miền núi, trong quá trình giảng dạy, nhiều năm
tơi dạy chương trình lớp 11 ở những đơn vị lớp đa phần là học sinh yếu, trung
bình và nhận thấy các em gặp khó khăn trong việc giải bài tập chương tổ hợp,
xác suất. Dẫn đến chán nản trong học tập, tiếp thu thụ động, chưa tích cực, kết
quả học tập thấp.
Nhận thức được những điều trên, tôi viết đề tài: “Một số kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh yếu, trung bình tiếp cận và chinh phục tốn tổ hợp nhằm
bồi dưỡng hứng thú, phát huy tính chủ động tích cực của các em trong học
tập” với mong muốn đưa ra phương pháp tiếp cận giúp các em hiểu đúng bản
chất và có hứng thú học với chương Tổ hợp xác suất, từ đó giúp các em tích cực
hơn trong học tập, thấy được ý nghĩa thực tế của toán học trong cuộc sống, u
thích mơn học hơn, chủ động và học tập đạt kết quả cao hơn.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 11 ở trường THPT,
cùng với kinh nghiệm trong giảng dạy. Tôi đã hệ thống lại kiến thức cơ bản, kĩ
năng giải tốn Tổ hợp thơng qua sơ đồ “Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp 1


Tổ hợp”. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ giúp cho học sinh yếu,
trung bình, trung bình - khá hiểu đúng bản chất các khái niệm cơ bản về quy tắc
cộng, quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Thành thạo phương pháp sơ đồ
trong vận dụng suy luận làm bài tập. Từ đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp các
em u thích mơn học hơn, có động lực hơn để học tập đạt kết quả tốt nhất. Và
quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các em kĩ năng và giáo dục cho các
em tự tin, chủ động, sẵn sàng ứng dụng tốn học một cách có hiệu quả trong các
lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc – như trong Nghị quyết
TW4 (khoá VII) đã nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo những con người
lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do
thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống,
qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn
minh” [8]
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh yếu, trung bình, trung bình - khá các lớp 11.
- Nội dung phần tổ hợp của chương II - Đại số & giải tích 11 [1]
+ Quy tắc đếm
+ Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
+ Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo
có liên quan.
+ Điều tra, quan sát. Thực nghiệm sư phạm.
+ Tổng kết rút kinh nghiệm.

+ Xây dựng hệ thống bài tập có phân biệt các mức độ: Nhận biết, thông
hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của Thầy
và hoạt động học của Trò
Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức phổ
thơng nói chung, đặc biệt là kiến thức bộ mơn Tốn học là việc làm rất cần thiết.
Muốn học tốt mơn Tốn, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở
môn Tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào
từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học
sinh phải có tư duy lơgic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy trong quá trình dạy học,
giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiến thức đã học
vào từng bài tốn cụ thể. Mục đích là làm cho học sinh khi đứng trước một bài
tốn biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bài toán mới về bài toán đơn
giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cách giải
2.1.2. Dạy học Toán ở trường THPT hiện nay là làm cho học sinh học
tập một cách tích cực, biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển được tư
duy linh hoạt

2


Điều 24.2 Luật giáo dục (1998) viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng
phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù
hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học
sinh” [ 5]
Trên quan điểm chung về phương pháp dạy học như vậy, người giáo viên
phải đề ra được phương pháp hợp lý, phù hợp với từng đối tượng học sinh Dạy

làm sao để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, khơng bị nhầm lẫn
kiến thức khi làm bài tập.
2.1.3. Tổ hợp là nền tảng của lý thuyết xác suất
Ban đầu tiếp cận với tập hợp thì học sinh thường liệt kê các phần tử của
tập hợp. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng liệt kê được. Quy tắc đếm ra đời
nhằm giúp học sinh có thể xác định được số lượng các phần tử trong tập hợp
nhanh chóng và chính xác, làm cơ sở nền cho “lí thuyết xác suất” phát triển và
một số ngành khoa học khác cần dùng.
2.2- Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
- Nội dung chương tổ hợp xác suất được xem là trừu tượng, khó nắm bắt,
khó phân biệt các khái niệm.
- Học riêng lẻ các khái niệm thì học sinh có thể nắm bắt được nhưng khi
kết hợp thì học sinh lại lúng túng khi phải phân biệt, kết hợp quy tắc cộng và
quy tắc nhân giữa hoán vị - chỉnh hợp, giữa chỉnh hợp - tổ hợp.
- Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và
ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai
lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái
niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan
làm học sinh khơng hiểu, khơng nắm được khái niệm mới.
- Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến
việc tất yếu là học sinh giải toán sai. Điều đó địi hỏi người giáo viên phải dạy
để học sinh phân biệt rõ bản chất các khái niệm và kĩ năng tư duy, phân tích bài
tốn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Trong khuôn khổ đề tài tôi xin nêu một số vấn đề:
- Sử dụng sơ đồ quy tắc dạy học sinh quy tắc cộng, nhân.
- Trình bày khái niệm và cách phân biệt hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp.
- Các bài tập cơ bản giúp học sinh nhận biết, thông hiểu và vận dụng kiến
thức làm bài tập.
- Một số sai lầm học sinh thường mắc phải và hướng khắc phục

2.3.1. Dạy học quy tắc cộng và quy tắc nhân bằng sơ đồ
Mục đích: Nhằm giúp học sinh dễ dàng hơn trong phân biệt được thế nào là
công việc được thực hiện bởi nhiều phương án và công việc được thực hiện bởi
nhiều công đoạn.
a) Quy tắc cộng.

3


Định nghĩa: Một công việc được thực hiện theo hai phương án A1; A2.
Phương án A1 có thể làm bằng n1 cách. Phương án A2 có thể làm bằng n2 cách
(khơng trùng cách thực hiện phương án 1).
Þ Khi đó, cơng việc đó có thể được thực hiện bởi n1 + n2 cách. [1]
Sơ đồ:
Phương án A1

Có n1 cách

Phương án A2

Có n2 cách

Có ( n1 + n2 ) cách
thực hiện cơng việc

Cơng việc

Ví dụ : Đi từ Hà Nội vào Thanh Hóa có thể đi bằng ơ tơ hoặc tàu hỏa. Mỗi
ngày có 15 chuyến ơ tơ; 4 chuyến tàu hỏa. Vậy có bao nhiêu cách chọn đi từ Hà
Nội – Thanh Hóa.

HD Giải: Phân tích theo sơ đồ
Phương án 1

HN®TH
Phương án 2

Đi ơ tơ

Có 15 lựa chọn

Đi tàu hỏa

Có 4 lựa chọn

Có 19 cách chọn
đi Hà Nội – Thanh
Hóa

Sơ đồ Quy tắc cộng (dạng tổng qt)

Cơng việc

Phương án A1

Có n1 cách

Phương án A2

Có n2 cách
…

...
Phương án Am

(n1+n2+...+nm) cách
thực hiện cơng việc

Có nm cách

b) Quy tắc nhân.
Định nghĩa: Một cơng việc được thực hiện gồm 2 công đoạn.
Công đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện. Cơng đoạn thứ hai có n2 cách thực
hiện Þ có n1n2 cách hồn thành công việc. [1]
Sơ đồ:
Công việc

Công đoạn 1

Công đoạn 2

2
n2 cách

n1 cách
n1n2 cách

Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau lập từ các số 1;2;3;..;9?
HD giải:
Gọi số cần tìm có dạng ab . Ta có sơ đồ sau:

4


Chọn a

Chọn b

Có 9 cách chọn

Có 8 cách chọn

ab

9.8 = 72 số
Sơ đồ Quy tắc nhân (dạng tổng quát)
Công việc

Công đoạn 1

Công đoạn 2

2
n1 cách

n2 cách

…

Công đoạn m

…

nm cách

2

n1n2 …nm cách
Chú ý: - Một cơng việc có nhiều phương án thực hiện nghĩa là ta có thể thực
hiện theo phương án này thì khơng cần thực hiện theo phương án kia.
Þ Sử dụng quy tắc cộng.
- Một cơng việc được thực hiện bởi nhiều cơng đoạn tức là muốn hồn
thành công việc phải thực hiện từng công đoạn, không được bỏ qua bước nào
mới xong cơng việc.Þ Sử dụng quy tắc nhân.
- Trong nhiều trường hợp cần kết hợp cả 2 quy tắc để giải bài toán đếm.
c) Bài tập sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân cho bài toán đếm.
Bài tập 1: [2] Từ các chữ số 1;2;3;4;5; 6 có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên
a) Có 3 chữ số? b) Có 3 chữ số khác nhau? c) Số chẵn có 3 chữ số khác
nhau?
HD giải:
a) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn b
Chọn c
Chọn a
abc
Có 6 cách chọn

Có 6 cách chọn

Có 6 cách chọn

6.6.6 = 216 số
b) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn a
abc
a≠b
b≠c

c≠a

Có 6 cách chọn

Chọn b

Chọn c

Có 5 cách chọn

Có 4 cách chọn

6.5.4 = 120 số
c) Phân tích bằng sơ đồ:
5


abc
* Số chẵn
cỴ{2,4,6}

ưu tiên

Chọn c

Chọn a

Chọn b

Có 3 cách chọn

Có 5 cách chọn

Có 4 cách chọn

* a≠b
b≠c
c≠a

3.5.4 = 60 số

Bài tập 2: Từ các số A {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể tạo nên bao nhiêu số tự nhiên.
a) Có 3 chữ số khác nhau.
b) Có 3 chữ số chẵn khác nhau.
c) Có 3 chữ số chẵn khác nhau chia hết cho 5. [2]
HD giải:
Số cần lập có dạng abc
a) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn b
Chọn c
Chọn a
abc
a≠0, A

Có 6 cách chọn

cỴA\{a,b}

bỴA\{a}

Có 6 cách chọn

Có 5 cách chọn

6.6.5 = 180 số
b) Phân tích: Số có 3 chữ s l s chn ị cẻ{2,4,6,0} ị u tiờn chn c
đ chn a
đ chn b
Phõn tớch bng s :
abc

Chn cẻ{2,4,6}

Chn a
(a≠c, a≠0)

Chọn b
b≠a
b≠c

Có 3 cách chọn

Có 5 cách chọn

Có 5 cách chọn

3.5.5 = 75 số
c=0

Chọn a

Chọn b

1 cách

6 cách

5 cách

chọn

chọn

chọn

75+30
=105
(số)

1.6.5=30 (số)

6

c) Phân tích bằng sơ đồ:
b b≠0

c=0

a ≠0

Có 1 cách chọn

Có 6 cách chọn

b≠a

Phươn
g
án 1

abc

Có 5 cách chọn
30+25
=55 (số)

6.5 = 30 số

Phươn
g án 2

c=5

a≠0
a≠5

b b≠a

c có 1 cách chọn

a có 5 cách chọn

b có 5 cách chọn

b≠c

25 số
Bài tập 3: Lớp 11A3 có 32 học sinh gồm 18 học sinh nam, 14 học sinh. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn được:
a) 1 bạn học sinh trong lớp đó?
b) 1 đội song ca nam nữ của lớp đó? [3]
HD giải:
a) Phân tích bằng sơ đồ:
HS nam

18 cách chọn

Chọn 1 HS

32 cách chọn
HS nữ

14 cách chọn

b) Phân tích bằng sơ đồ:
Chọn 1 đội
song ca

Chọn 1 HS nam

Chọn 1 HS nữ

2
Có 18 cách

Có 14 cách

18´14 = 252 (cách

Bài tập 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều
chữ số đứng giữa thì giống nhau?
HD giải:
A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Số cần lập: có dạng abcde Phân tích bằng sơ đồ:
7


abcde

Chọn b
bỴA

Chọn a

a≠0
Có 9
cách chọn

Có 10
cách chọn

Chọn c
cỴA
Có 10
cách chọn

Chọn d

Chọn e

d=b

e=a

Có 1
cách chọn

Có 1
cách chọn

9.10.10.1.1 = 900 số
d) Bài tập kết hợp hai quy tắc
Bài tập 1: Từ A={1;2;3;4;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
[3]

HD giải:
Số tự nhiên
có 1 chữ số

Có 7 số

Số tự nhiên
nhỏ hơn 100
Số tự nhiên
có 2 chữ số

ab

Chọn a

Chọn b

A
Có 7
cách chọn

bỴA

7 + 49
= 56 số

Có 7
cách chọn

7.7 = 49 số

Bài tập 2:Từ A={0;1;2;3;4;5;6;7} lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Số tự nhiên
nhỏ hơn 100

Số tự nhiên
có 1 chữ số
Số tự nhiên
có 2 chữ số

Có 8 số

ab

Chọn a

Chọn b
bỴA

A\{0}

Có 7
cách chọn

8+56
= 64
số

Có 8
cách chọn

7.8 = 56 số

● Các bài toán trên đây là các bài toán mở đầu và tương đối đơn giản nên
việc sử dụng sơ đồ tưởng chừng có vẻ cồng kềnh. Nhưng đối với đối tượng học
sinh yếu kém, trung bình thì việc dạy học theo sơ đồ sẽ giúp các em tiếp cận tốt
hơn kiến thức về quy tắc đếm, có cái nhìn tổng quát hơn cho bài toán, dễ dàng
phân biệt quy tắc cộng và quy tắc nhân để giải quyết bài toán. Hơn nữa tạo cho

8


các em thói quen tư duy để có thể vận dụng linh hoạt cho các bài toán phức tạp
hơn sau này.
2.3.2. Sử dụng sơ đồ quy tắc đếm để dạy Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
a) Hoán vị
* Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Mỗi cách sắp xếp thứ tự
n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
* Số các hoán vị: Số các hoán vị của n phần tử là: Pn  n! n(n  1)(n  2)...3.2.1
Quy ước: 0! 1
[1]
Ví dụ 1: Cho 3 số 1, 2, 3 . Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập
từ bộ số trên?
HD giải
* Hiểu theo sơ đồ quy tắc nhân
abc

Chọn a

Chọn b

Chọn c

Có 2 cách chọn

Có 1 cách chọn

A

Có 3 cách chọn

3.2.1 = 3! = 6 số
* Hiểu theo hoán vị 3 phần tử
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 số vào 3 vị trí khác nhau cho ta một hốn vị
của 3 phần tử Þ Số các số tạo thành là 3! = 6 (số).
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một
hàng sao cho nam nữ xếp xen kẽ? [2]
HD giải: Phân tích theo sơ đồ:
4 HS nam
3 HS nữ

Sắp xếp 4
HS nam

Sắp xếp 3
HS nữ

Đổi chỗ
nam và nữ

P4=4! cách sắp xếp

P3=3! cách sắp xếp

P2=2! cách sắp xếp

4! 3! 2! cách sắp xếp

b) Chỉnh hợp
* Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ), với một số nguyên k
với ( 1  k  n ). Khi đó lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta
được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A .
* Số các chỉnh hợp: Số chỉnh hợp chập k của n . Kí hiệu Ank
Ank  n( n  1)...(n  k  1) 

n!
[1]
( n  k )!

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào 3 vị trí khác nhau?
HD giải
9


a1

a1a2a3

Có 5 cách chọn 1
người vào vị trí a1

a2

a3

Có 4 cách chọn 1
người vào vị trí a2

Có 3 cách chọn 1
người vào vị trí a3

5.4.3  A53

* Phân biệt Ank và Pn .
+ Giống nhau : Đều có tính thứ tự.
+ Khác nhau:
- Hốn vị :có bao nhiêu phần tử thì sắp xếp thứ tự bấy nhiêu phần tử.
- Chỉnh hợp:Sắp xếp thứ tự các phần tử của 1 tập con của tập A.
Þ Khi k = n thì A kn =Pn.(hoán vị là 1 trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp)
Ví dụ 2: Cho A ={0; 1; 2; 3; 4; 5}.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ A?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ A? [2]
HD giải
a) Phân tích theo sơ đồ:
SXTT 5 số vào 5 vị trí

Chọn a1

a1a2a3a4a5a6

a1 ≠0

a2,a3,a4,a5

P5 = 5!

Có 5 cách chọn
5.5! = 600 (số)

b) Phân tích theo sơ đồ:
Chọn các số vào 2 vị trí

Chọn a1

a1a2a3

a2,a3

a1≠0
a1 có 5 cách chọn

cách chọn

5. = 100 (số)

c) Tổ hợp
* Định nghĩa: Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ), với một số nguyên k
( 1  k  n ). Mỗi tập con của A có k phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử của A .
* Số các tổ hợp: Số tổ hợp chập k của n kí hiệu là C nk Công thức:

C nk 

Ank
n!

[1]
Pk
k!(n  k )!

Sơ đồ tổng quát:

10


Lấy k phần tử từ n phần tử

Tập A có n phần tử

A kn

=
 C kn 

k
n

C kn

SXTT k phần tử đó

Pk

x

A
n!

Pk k!(n - k)!

Ví dụ: Một hộp có 10 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả
cầu trong hộp. Hỏi:
a) Có bao nhiêu cách lấy được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen?.
b) Có bao nhiêu cách lấy được 3 quả cầu trong đó có ít nhất một quả cầu đen?
c) Có bao nhiêu cách lấy được nhiều nhất 2 quả cầu đen? [3]
HD giải
a) Phân tích theo sơ đồ:
Lấy 3
quả cầu

Lấy 2 quả cầu trắng
từ 10 quả cầu trắng

Lấy 1 quả cầu đen từ
6 quả cầu đen
cách lấy

cách lấy
(cách lấy)

b) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ:

1 quả
cầu đen

2 quả
cầu trắng

C16

2
C10

(cách lấy)
Lấy 3 quả cầu
trong đó có ít
nhất 1 quả cầu
đen

2 quả
cầu đen

1 quả
cầu trắng

C 62

C110

(cách lấy)

3 quả

cầu đen

++
= 440 (cách lấy)

cách lấy

Cách 2: làm gián tiếp: * Lấy 3 quả cầu từ 16 quả cầu Þ

3
C16

(cách lấy)

11


* Lấy 0 quả cầu đen, 3 quả cầu trắng Þ
Þ Lấy 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả cầu đen là:
c) Cách 1: Phân tích theo sơ đồ:
2 quả
cầu đen

2
6 lấy)
(cách

C
Lấy 3 quả cầu
trong đó có ít

nhất 2 quả cầu
đen

- C = 440 (cách lấy)

C110
2 quả
cầu trắng

C16

C102

3 quả
cầu trắng

C

(cách lấy)

3
10

1 quả
cầu trắng

1 quả
cầu đen

(cách lấy)

3
16

3
C10

++
= 540 cách lấy

cách lấy

Cách 2:* Lấy 3 quả cầu từ 16 quả cầu Þ C16 (cách lấy)
3
* Lấy 3 quả cầu đen Þ C6 (cách lấy) Þ Lấy 3 quả cầu trong đó có
3
nhiều nhất 2 quả cầu đen là: C16
- C36 = 540 (cách lấy)
● Trong một số bài toán nếu đi “đường thẳng” sẽ gây cho học sinh, đặc
biệt là đối tượng học sinh yếu kém chán nản. Nên việc hướng dẫn các em tư
duy, lựa chọn phương án giải quyết bài toán bằng “đường tắt” cũng rất quan
trọng. Giúp các em tự tin, chủ động hơn trong việc chiếm lĩnh tri thức.
2.3.3. Các bài tập giúp học sinh phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp
Sơ đồ tổng quát:
3

Chỉnh hợp
chập k của n
Số chỉnh hợp

A

k
n

Lấy k phần tử
của n phần tử

SXTT k phần
tử đó
Số cách sắp xếp

Số cách lấy

(cách lấy)

Pk = k!

Ckn .Pk
 A kn  Ckn .Pk  Ckn 

n!
k!(n - k)!

Bài tập 1: Cho A = {1; 2; 3}
a) Có bao nhiêu tập con gồm 2 phần tử thuộc A?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau lập từ A? [4]
12

HD giải
3

C32 =

a) Số các tổ hợp chập 2 của 3 là:
b) Phân tích theo sơ đồ
a1a2
Chọn 2 phần tử từ A

SXTT 2 phần tử ấy
Số các số lập được

= 6 (số)
Liệt kê: Chọn {1; 2} ® SXTT ta được số 12 và 21 là hai số khác nhau.
Chọn {1; 3} ® SXTT ta được số 13 và 31 là hai số khác nhau.
Chọn {2; 3} ® SXTT ta được số 23 và 32 là hai số khác nhau.
Nhận xét: Sự thay đổi thứ tự 2 số ta được 2 số khác nhau (tính phân biệt thứ
tự).
Bài tập 2: Cho 5 điểm phân biệt không thẳng hàng trong mặt phẳng Oxy.
a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có 2 đầu từ 5 điểm trên?
b) Có bao nhiêu vec tơ (¹ 0 ) có điểm đầu và điểm cuối từ 5 điểm trên?[2]
HD giải
a) Mỗi tổ hợp 2 điểm phân biệt cho ta một đoạn thẳng
2
Þ Số đoạn thẳng được tạo thành là: C 5 = 10 ( không phân biệt thứ tự)
b) Phân tích theo sơ đồ:
Chọn 2 điểm từ 5 điểm đã cho

Chọn véc tơ

SXTT 2 điểm ấy

Số véctơ

A

2
5

=

C

2
5

´

P2

Phân tích: Þ Qua 2 điểm phân biệt xác định 2 véc tơ AB ; BA
Bài tập 3: Lớp 11B4 có 31 học sinh cần bầu một ban cán sự có 3 người.
a) Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp?
b) Có bao nhiêu cách bầu ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy
viên?[1]
HD giải
* Sai lầm thường gặp:
- Chọn ra 3 bạn vào ban cán sự lớp => Số cách chọn là: A 331 = 26970 (cách)
- Số cách chọn 3 cán sự lớp trong đó có 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên là:

C 331 = 4495 (cách chọn).
* Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm rõ bản chất của tổ hợp và chỉnh hợp.
-Tổ hợp: Khơng có tính sắp xếp thứ tự
Ví dụ: Chọn 3 bạn Lan; Hoa; My cũng giống chọn 3 bạn My; Lan; Hoa
13


-Chỉnh hợp: Có tính sắp xếp thứ tự.
Phân biệt thứ tự: Chọn 3 bạn
Sắp xếp vào các vị trí chức danh
Ví dụ: bạn Lan làm lớp trưởng khác bạn Thương làm lớp trưởng.
* Lời giải đúng: a) Mỗi cách chọn 3 bạn từ 31 bạn trong lớp là một tổ hợp chập
3
3 của 31 Þ Số cách chọn là: C 31 = 4495 (cách)
b) Phân tích theo sơ đồ:
Chọn 3 bạn: Lớp
trưởng-lớp phó-ủy viên

Chọn 3
bạn từ 31
bạn
3
C31

Sắp xếp các chức danh:
Lớp trưởng-lớp phó-ủy viên

P3

´

=26970 cách

Bài tập 4: Một tập vé xổ số có 100 vé. Mỗi người mua 3 vé xổ số.
a) Có bao nhiêu cách chọn 3 vé xổ số?
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 vé xổ số trong đó 1 vé được giải nhất, 1 vé được
giải nhì, 1 vé được giải ba? [4]
HD giải
a) Chọn mua 3 vé xổ số (không phân biệt thứ tự). Số cách chọn 3 vé xổ số từ
3
100 vé xổ số là: C100
=161700 (vé xổ số)
b) Phân tích theo sơ đồ:
Chọn 3 vé xổ số trúng giải:
nhất, nhì, khuyến khích

Chọn 3 vé
từ 100 vé

3
C100

Sắp xếp thứ tự 1 nhất, 1 nhì, 1
khuyến khích

´

P3

== 970200

Bài tập 5: Một bộ đề thi Tốn là mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10
câu trung bình, 5 câu khó. Một đề thi gọi là “tốt” nếu trong đề thi có 3 loại câu
hỏi: dễ, trung bình, khó và số câu dễ khơng ít hơn 2.
a) Có bao nhiêu cách tạo 1 đề thi?
b) Có bao nhiêu cách tạo 1 đề thi “tốt”?
HD giải
5
a)
C 30
Chọn câu hỏi ra 1 đề thi
Chọn 5 câu hỏi từ 30 câu
cách
b) Phân tích theo sơ đồ:

hỏi

14


Chọn 2
câu dễ

Chọn 2
câu khó

2
15

C

C
Chọn 1 đề
thi “tốt”

Chọn 2
câu dễ

2
15

C

Chọn 3
câu dễ

3
15

C

Chọn 1 câu
trung bình

1
10

2
5

C

Chọn 1
câu khó

Chọn 2 câu
trung bình

C15

C102

Chọn 1
câu khó

Chọn 1 câu
trung bình

C15

C110

Þ C15 C5 C10 + C15 C 5 C10 + C15 C 5 C10 =58250 (cách)
Bài tập 6: Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh.
a) Tìm số đường chéo đa giác.
b) Xét các tam giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác đã cho [2]
HD giải
a) Cứ nối 2 đỉnh đa giác ta được cạnh hoặc đường chéo của đa giác.
2
Þ Số đường chéo = Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh - số cạnh = C10 - 10 = 35 đường.

b) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh lấy từ 10 đỉnh của đa giác lồi là: C320 = 1140
Ứng với 1 cạnh của đa giác có 8 đỉnh để tạo nên tam giác,có 10.8 = 80(tam giác)
B
10
8
A
9
1
2

2

1

2

1

7

1

2

3

1

1

2

8

3

7

6

2
3

5
4

4

5

6

Trong số tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác tính lặp Þ Số tam
giác phân biệt có ít nhất 1 cạnh là 1 cạnh của đa giác là 80 – 10 = 70 (tam giác)
● Các bài tập trên đây khơng mang nặng tính trình bày. Dạy học theo sơ
đồ vừa giúp học sinh tư duy một cách mạch lạc, chính xác và mang tính tổng
quát, vừa phù hợp với phương pháp kiểm tra đánh giá bằng hình thức trắc
15

nghiệm như hiện nay. Học theo phương pháp sơ đồ giúp tiết kiệm thời gian giải
toán. Làm cho học sinh cảm thấy được sự mới mẻ của phương pháp học tập,
tăng hứng thú học và hiệu quả được nâng lên. Các bài tập đề nghị cũng đa phần
là các bài tốn ứng dụng thực tế. Đưa vào chương trình học để các em thực sự
thấy toán học gần gũi với cuộc sống. Thấy được tầm quan trọng của việc học
toán để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống như thế nào.
2.3.4. Cách khắc phục sai lầm thường gặp của HS khi học tốn Tổ hợp
Khơng ít học sinh mắc những sai lầm cơ bản khi học toán tổ hợp:
+ Sai lầm khi vận dụng quy tắc đếm.
+ Sai lầm khi chưa phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số
chỉnh hợp, số tổ hợp. Đặc biệt nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp.
+ Sai lầm khi phân chia các trường hợp riêng, giải bài tốn gián tiếp.
Trong khn khổ đề tài tơi đề xuất cách khắc phục sai lầm cho học sinh:
a) Giáo viên: Trước tiên, người giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ
ngơn ngữ thơng thường đến ngơn ngữ tốn học, phải mẫu mực về phương pháp,
tư duy và lời giải chính xác cho từng bài tốn. Khơng nhận xét lời giải sai của
học sinh một cách chung chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của
học sinh một cách chính xác và thuyết phục. Chính xác hố lời giải cho học sinh
từ khâu trình bày, diễn đạt,.. Đánh giá cho điểm công bằng, giúp các em ngày
càng hứng thú học và tiến bộ hơn.
b) Về phương pháp, kĩ năng
- Rèn luyện cho học sinh kĩ năng học - hiểu - ghi nhớ
Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững
những kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy
tắc. Học tốt các khái niệm tốn chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy tốn
học chính xác, nếu khơng học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc
dẫn đến sai lầm khi giải bài tập toán.
- Cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân,
kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm:
* Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức

là mỗi cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng
có thể phát biểu dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau.
* Trong quy tắc nhân đã phát biểu: Với mỗi cách thực hiện ở cơng đoạn
Ai thì cơng đoạn tiếp theo Ai+1 có thể làm theo ni+1 cách. Như vậy, số cách thực
hiện ở công đoạn tiếp theo Ai+1 luôn bằng ni+1 không phụ thuộc vào bất kỳ cách
nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại.
- Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học
sinh nắm được: [7]
* Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp
khác nhau nghĩa là gì, nhớ cơng thức tính số hốn vị của một tập hợp
* Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử,
hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp
16


đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ cơng
thức tính số chỉnh hợp.
* Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự
khác nhau giữa hai tổ hợp, cơng thức tính số tổ hợp.
* Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp,
số tổ hợp.
- Dạy học phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp:
Giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng cơng thức về tổ
hợp, khi nào thì dùng cơng thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực tế
cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá
trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh
* Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là
việc thay đổi vị trí của các phần tử khơng tạo ra cách mới.
* Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra,
việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới.

c) Hướng dẫn học sinh giải bài tốn gián tiếp.
Một bài tốn có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần
biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi
ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toán.
Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài tốn đếm phức tạp
giáo viên có thể hướng dẫn học sinh:
- Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì sử dụng quy tắc đã biết để giải
- Nếu bài tốn là khơng chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng: Tách từ bài toán
ra hoặc chia nhỏ bài tốn ra thành những bài tốn nhỏ có dạng chuẩn hoặc diễn
đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài tốn đến một bài tốn có dạng
chuẩn.
2.3.5. Bài tập trắc nghiệm củng cố [1], [5]
Câu 1: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 3 chữ số đôi một khác nhau?
B. P3
D. 83
A. C 83
C. A 83
Câu 2: Từ 0; 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 2 chữ số
khác nhau?
A. 2
B. 10
C. 20
D. 4
Câu 3: A={0; 1; 4; 6; 7; 9}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số đơi một khác nhau trong đó có mặt số 1.
A. 36
B. 32
C. 24
D. 92

Câu 4: X={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 4 chữ số đơi một khác nhau và chia hết cho 5?
A. 630
B. 315
C. 24
D. 44
Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bệnh nhân vào 1 phịng có 5 giường bệnh?
17


A. 125
B. 120
C. 1
D. 100
Câu 6: Cho 10 điểm phân biệt trên một đường trịn. Hỏi có bao nhiêu véctơ
(khác 0 ) có gốc và ngọn trùng với 2 trong số 10 điểm đã cho?
A. 45
B. 5
C. 90
D. 15
Câu 7: Một họ có 4 đường thẳng song song cắt một họ gồm 3 đường thẳng song
song (không song song với 4 đường ban đầu). Hỏi có bao nhiêu hình bình hành
được tạo nên?
A. 36
B. 18
C. 12
D. 72
Câu 8: Cho 2 đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Trên d1 lấy 5 điểm, trên
d2 lấy 3 điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các
điểm đã chọn?

A. 450
B. 30
C. 45
D. 15
Câu 9: Có bao nhiêu số tự nhiên đơi một khác nhau nhỏ hơn 1000 được tạo
thành từ 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 4?
A. 48
B. 68
C. 69
D. 125
Câu 10: Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh thành 1 hàng dọc?
A. 10!
B. 1010
C. 1000
D. 10000
Câu 11: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Người ta cần chọn ra 4 em
tham gia văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 493
B. 11880
C. 24
D. 44
Câu 12: Lớp 11A3 có 31 học sinh (16 học sinh nam, 15 học sinh nữ). Chọn ra 3
học sinh trong đó có 1 học sinh nữ?
A. 900
B. 1000
C. 1800
D. 200
Câu 13: Trong một cuộc đua thuyền có 16 thuyền cùng xuất phát. Hỏi có bao
nhiêu khả năng xếp loại 4 thuyền về đích?
A. 43680

B. 1820
C. 4680
D. 1840
Câu 14: Trong một cuộc thi có 36 thí sinh. Hỏi có bao nhiêu khả năng trao giải
nhất, nhì, ba?
A. 42840
B. 7140
C. 4840
D. 3600
Câu 15: Trong buổi đi chơi dã ngoại chào mừng 26-3 của một nhóm học sinh.
Cứ 3 học sinh bất kì sẽ chụp với nhau đúng 1 kiểu ảnh. Mỗi kiểu ảnh chỉ có 3
người, mỗi người đều chụp ảnh cùng tất cả các bạn trong nhóm. Sau khi kết thúc
việc chụp ảnh thấy có 220 tấm ảnh. Tính số học sinh của nhóm?
A. 7
B. 12
C. 8
D. 10
Câu 16: Ơng Hùng có 4 chiếc nhẫn kim cương khác nhau muốn tặng 4 cô con
gái Xuân, Hạ, Thu, Đông mỗi cô 1 chiếc. Hỏi ơng Hùng có tất cả bao nhiêu cách
tặng nhẫn cho 4 cô con gái?
A. 16
B. 4
C. 256
D. 24
Câu 17: Số đường chéo trong đa giác n cạnh (n ³ 4) là:
n(n - 1)
n(n - 3)
C. n(n-1)
D. n(n-2)
A.

B.
2

2

Câu 18: Một hộp chứa 10 quả cầu trong đó có 4 quả cầu đỏ; 6 quả cầu vàng.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu trong đó có ít nhất 1 quả cầu đỏ?
18


A. 120
B. 116
C. 96
D. 100
Câu 19: Số đường chéo của đa giác lồi 20 cạnh là:
A. 170
B. 190
C. 360
D. 380
Câu 20: A- Tập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau, chọn ngẫu nhiên một số
trong A . Có bao nhiêu số có chứa 2; 0; 1; 5.
A. 900
B. 9000
C. 180
D. 1800
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy ở lớp 11B4 và 11B6 năm học 2017 - 2018 tơi đã
trình bày được 2/3 nội dung đã được chọn lọc trong sáng kiến kinh nghiệm này.
Phương pháp sử dụng sơ đồ được áp dụng ngay trong các tiết học chính khố,
trong các tiết học tự chọn, các tiết luyện tập, ôn tập chương. Kết hợp với những

kĩ thuật dạy học cơ bản khác, tôi nhận thấy đối tượng học sinh yếu, trung bình
đã dễ dàng tiếp cận được lý thuyết tổ hợp và giải quyết được các bài toán liên
quan từ mức độ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng thấp. Các em hào hứng
trong việc lập sơ đồ tuy ngắn gọn, xúc tích nhưng hiệu quả. Các bài tốn có nội
dung thực tế cũng cuốn hút các em hơn, khơi dậy trong các em sự tích cực khám
phá, chinh phục các bài tốn. Các em học sinh đã thấy được phần nào sự gần gũi
của toán học trong cuộc sống. Thấy được sự mn màu mn vẻ của mơn tốn
chứ khơng đơn thuần là các cơng thức khơ khan, các bài tốn rập khuôn và cứng
nhắc mà đối với các em, các kiến thức đó là nặng nề, khó hiểu. Sự chủ động, ý
thức tích cực của các em cũng thay đổi theo chiều hướng tích cực. Kết quả học
tập từ đó cũng được cải thiện.
Nhìn lại việc kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh trước và sau khi tôi
dạy phần này kết quả thu được rất khả quan. Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi (đối
với lớp mũi nhọn 11B4) và học sinh đạt điểm khá, trung bình (đối với lớp 11B6)
đã tăng lên so với mặt bằng chung và so với lớp dạy theo chương trình bình
thường. Số học sinh yếu kém cũng đã giảm.
Cụ thể như sau:
* Trước khi áp dụng phần kiến thức trong SKKN:
Lớp dạy

Sỹ số

11 B4 33
11 B6 44

Tỉ lệ HS đạt
điểm giỏi
(8 ->10)

HS đạt điểm

khá
( 6,5 –> dưới 8)

HS đạt điểm
TB
(5 –> dưới 6,5)

HS đạt điểm
yếu
(3,5 –> dưới 5)

HS đạt điểm
kém
(dưới 3,5)

3

11

15

4

0

(

9%)
1
%)

(33%

)
5
(2

)

(46

%)
29
(11%

(12

%)
8
(67%)

%)

(0

%)
1
(18

%)

(2

* Sau khi áp dụng phần kiến thức trong SKKN:
Lớp dạy

Sỹ số

Tỉ lệ HS đạt
điểm giỏi
(8 ->10)

HS đạt điểm
khá
( 6,5 –> dưới 8)

HS đạt điểm
TB
(5 –> dưới 6,5)

HS đạt điểm
yếu
(3,5 –> dưới 5)

HS đạt điểm
kém
(dưới 3,5)

19

11 B4 33
11 B6 44

5
%)
2
%)

(15

13

(40
%)

18
(4(
%)

14

(42

%)
29
(18

1

(3

%)
5
%)

(67

%)

0

(0

%)
0
(11

%)

(0

III - KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 - Kết luận
Qua một vài kinh nghiệm nhỏ tôi đã đưa ra ở trên tôi thấy việc dùng
phương pháp sơ đồ đem lại một số kết quả thật tốt đẹp, nó giúp học sinh yếu,
trung bình tiếp cận tốn tổ hợp, học sinh cũng hứng thú hơn với môn học, thấy
toán học gần gũi hơn với cuộc sống hàng ngày, phát huy được tính tích cực, chủ
động của học sinh. Qua thực nghiệm sư phạm tôi cũng thấy học sinh ngày càng
nhạy bén hơn trong vận dụng giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn. Do

vậy tơi nghĩ rằng, để 45 phút lên lớp của mỗi giáo viên chúng ta có hiệu quả thì
các thầy cơ giáo cần sáng tạo cách thức truyền thụ kiến thức cho học sinh phù
hợp từng đối tượng, nếu làm được điều đó thì quá trình tiếp thu tri thức mới đối
với học sinh sẽ tự nhiên và dễ dàng hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi, được chắt lọc trong quá trình
giảng dạy. Vài kinh nghiệm nhỏ với các bài tập đề nghị tôi đã nêu, ở trong sách
giáo khoa chưa đề cập tới, nhưng nó có thể đã được đề cập ở một tài liệu tham
khảo nào đó. Tuy nhiên đối với học sinh của tôi, các em chưa được biết nên tôi
cũng đưa vấn đề này truyền thụ cho các em và mạnh dạn viết thành sáng kiến
kinh nghiệm này. Các bài tập đa phần đều có mức độ phù hợp với các đối tượng
học sinh yếu, trung bình - là phần lớn đối tượng học sinh miền núi nơi tơi cơng
tác.
Trong q trình viết đề tài khơng tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót.
Những vấn đề tơi đề cập đến là khía cạnh nhỏ để các đồng nghiệp tham khảo.
Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và hội đồng khoa
học các cấp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hồn thiện hơn, để tơi tích
luỹ thêm kinh nghiệm cho bản thân trong việc giảng dạy.
3.2. Kiến nghị
a) Đối với giáo viên: Tích cực tìm tịi các phương pháp dạy học phù hợp
với từng đối tượng học sinh, từng chủ đề kiến thức trong chương trình tốn phổ
thơng. Thường xun trao đổi chun mơn để có thêm kinh nghiệm giảng dạy
b) Đối với học sinh: Phải nhận thức rõ được mình là chủ thể của việc học.
Dưới sự hướng dẫn của giáo viên phải tích cực, tự giác trong học tập. Nắm vững
lý thuyết trước khi làm bài tập.
c) Đối với nhà trường:
- Tăng cường thiết bị dạy học phục vụ công tác giảng dạy.
20


- Bổ sung thêm tài liệu, sách tham khảo vào thư viện nhà trường.

- Cung cấp cho giáo viên những sáng kiến kinh nghiệm đã được Sở và
nhà trường xếp loại của những năm học trước để giáo viên được học hỏi, nghiên
cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
d) Đối với chương trình và sách giáo khoa: Giảm tải một số bài tốn
mang tính chất vận dụng cơng thức để giải. Qua đó tăng cường các bài tốn ứng
dụng thực tế, tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận và rèn luyện cách giải quyết
một số các vấn đề của cuộc sống bằng tốn học.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ

Phó Hiệu trưởng

Đỗ Duy Thành

Thanh Hóa, ngày 19 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Hồng Thị Trang Nhung

Tài liệu tham khảo:

21


[1] - Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 – Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2016
[2] - Nguồn Internet
[3] - Phân dạng và phương pháp giải toán tổ hợp - Xác suất– Lê Hồnh Phị –
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội – 2008

[4] – Bài tập trắc nghiệm đại số và giải tích 11 - Đặng Hùng Thắng (chủ biên) Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam - 2017
[5] - Luật giáo dục 1998
[6] – Phương pháp dạy học mơn tốn – Nguyễn Bá Kim – Nhà xuất Đại học sư
phạm Hà Nội - 2004
[7] - Một số sai lầm của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc
phục - Nguyễn Thị Hà - Đề tài nghiên cứu khoa học - 2013
[8] - Nghị quyết Trung ương 4 – khoá VII
9. Sách giáo viên
10. Sách bài tập Đại số và giải tích 11 - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Nhà
xuất bản giáo dục Việt Nam – 2010
11 - Môđun 12, 14, 18 - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên khối THPT

DANH MỤC
22


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC
HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CẤP SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HỐ
XẾP LOẠI

Họ và tên tác giả: Hồng Thị Trang Nhung
Chức vụ:
Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Thạch Thành 3 – Thanh Hoá

Cấp đánh Kết
STT
Tên đề tài SKKN
giá xếp quả
loại

xếp
loại
1
Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh từ
Sở
một bài tốn giải hệ phương trình trong tiết GD & ĐT
C
học tự chọn toán 10
2
Một số kinh nghiệm bồi dưỡng hứng thú
Sở
học tập cho học sinh thông qua việc tăng GD & ĐT
B
cường các bài toán liên hệ thực tế
3
Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng, phát huy
tính tích cực chủ động học tập của học sinh
Sở
C
khi học mơn Giải tích 12 thơng qua việc GD & ĐT
tăng cường các bài tốn liên hệ thực tế

Năm học
đánh giá
xếp loại
2008-2009
2014-2015
2016-2017

23